等比数列专题(教师版)

等比数列专题复习

（一）知识归纳： 1．概念与公式：

1°定义

2°.通项公式：

3°.前n 项和公式 2．中项定理与下标和定理

（1）中项定理： （2）下标和定理：

（3）前n 项积定理：记n n a a a a T ⋅⋅⋅••=321

则=-12n T

则=n

T 2

3.等比数列的“灵活设元：

4、前n 项和n S 的性质： （1） （2） （3）

例题与练习

一、基本量计算

例1．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，求S 20的值． 解 ∵S 30≠3S 10，∴q ≠1.

由⎩⎪⎨⎪⎧ S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴⎩

⎪⎨⎪⎧

S 10＝10S 30＝130， ∴⎩⎪⎨⎪⎧

a 1(1－q 10)

1－q

＝10

a 1

(1－q 30)

1－q

＝130

，

∴q 20＋q 10－12＝0.

∴q 10＝3，

∴S 20＝a 1(1－q 20)

1－q

＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.

练习：

1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( C )

A ．33

B ．72

C ．84

D ．189

2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为____.1

3____．

3．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1

4

，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于

( C )

A ．16(1－4－n )

B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－

n )

D.323

(1－2－n )

4、若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是__10______． 5．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1

a n

}的前5项和为 （C)

A.15

8

和5

B.31

16

和5

C.31

16

D.158

6、一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？ 解 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意， 得a n ＋1＝4

5

a n ，

因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝4

5的等比数列．

热气球在前n 分钟内上升的总高度为

S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 11－q n

1－q

＝

25×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n 1－45

＝125×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.

4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .

解 当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －

1， S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)；

当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －

1， S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－3n )1－3

＝3n

－1.

二、中项定理和下标和定理

例．已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n . 解 由等比数列的定义知a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2代入已知得，

⎩⎪⎨⎪

⎧

a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7a 1·a 1q ·a 1

q 2＝8， 即⎩⎪⎨⎪⎧

a 1(1＋q ＋q 2)＝7，a 31q 3＝8， 即⎩⎪⎨⎪⎧

a 1(1＋q ＋q 2)＝7，

①

a 1q ＝2， ②

将a 1＝2

q 代入①得2q 2－5q ＋2＝0，

∴q ＝2或q ＝1

2

，

由②得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝1

q ＝2或⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1＝4，q ＝1

2

.

练习．1、已知正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36.求数列{a n }的通项公式．

解 a n ＝12

×2n －1＝2n －

2或a n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝26－n .

三、灵活设元

[例1]解答下述问题：

（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.

[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为a －d , a , a +d ，则有

.

9

338

,926,9250,10,2,9

26

10,388,0643231680

3232))(()4()32)((22

2

22或原三数为或得或∴===∴=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=++-a d d d d d

a a d d d a d a a a d a d a

（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数. [解析]设此四数为)15(15,5,5,15>++--a a a a a ,

⎩⎨⎧=+=-⇒⎩⎨⎧=+=-∴+<-+-⨯=⨯==+-⇒=+⇒∈=++++-+-∴*25

21251,,,

2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222a m a m a m a m a m a m a m a m a m a m m a N m m a a a a 且均为正整数与

解得∴==),(1262不合或a a 所求四数为47，57，67，77

练习：

1、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。

解：.设这四个数为a aq aq a q

a

-2,,,

则⎪⎩

⎪⎨⎧=-++=⋅36)3(216·a aq aq a aq a q a

②①

由①，得

a 3=216,a =6 ③

③代入②，得3aq =36,q =2 ∴这四个数为3，6，12，18

2．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数． 解 设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ， 则有(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48，即a ＝16. 设后三个数分别为b q

，b ，bq ，则有 b q

·b ·bq ＝b 3

＝8 000，即b ＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n ， ∴m ＝2×16－20＝12，n ＝20

2

16＝25.

即所求的四个数分别为12,16,20,25.