中考复习：对称探寻相似(全等)形,旋转巧解面积题讲义
初三数学中考复习专题课件：探旋转相似型的解法
04
旋转相似型的易错点与 难点解析
识别旋转相似型的常见误区
01
02
03
误区一
将非相似图形误认为是相 似图形。
误区二
在旋转过程中，忽视角度 变化导致图形不相似。
误区三
混淆相似与全等图形的性 质。
利用旋转性质证明相似的难点解析
难点一
理解旋转的性质，特别是 旋转中心、角度和方向。
难点二
掌握如何利用旋转性质来 证明两个三角形相似。
难点三
理解旋转过程中，哪些性 质会发生变化，哪些保持 不变。
利用相似性质求解问题的常见错误
通过练习和掌握旋转相似型的解法，可以培养学生的几何直觉和空间思维能力。
02
旋转相似型的解题方法
识别旋转相似型
总结词
识别旋转相似型是解决这类问题的第一步，需要观察图形是否可以通过旋转而 相互重合。
详细描述
在解决旋转相似型问题时，首先需要观察图形，判断是否存在通过旋转某个图 形而使其与另一个图形重合的可能性。这通常涉及到对图形形状、角度和边的 长度等特征的识别。
利用旋转性质证明相似
总结词
利用旋转性质来证明两个三角形相似是解决这类问题的关键 步骤。
详细描述
在确认了可以通过旋转使两个图形重合后，需要利用旋转的 性质来证明这两个三角形相似。这通常涉及到找到两个三角 形之间的对应角或对应边成比例，从而证明它们相似。
利用相似性质求解问题
总结词
利用相似三角形的性质来求解问题是最终的目标。
中考数学模拟试题形的旋转平移对称与相似性质
中考数学模拟试题形的旋转平移对称与相似性质中考数学模拟试题：形的旋转、平移、对称与相似性质形的旋转、平移、对称与相似性质是中考数学中的重要知识点，掌握这些性质对于解题和理解几何概念至关重要。
本文将从旋转、平移、对称的定义以及相似性质的相关内容进行讲解。
一、形的旋转与平移形的旋转是指将一个形状按照一定的角度顺时针或逆时针旋转，使得原来的形状发生改变。
旋转角度可以是90°、180°、270°或其他。
形的平移是指将一个形状在平面内沿着一条直线移动，移动的距离和方向可以是任意的。
平移后的形状与原形状相比，仅仅是位置发生了改变，形状本身并不改变。
在考察旋转和平移时，往往会涉及到二维坐标系的运用。
对于给定形状的旋转，可以通过选取旋转中心和旋转角度，进而确定旋转后的新形状。
而平移则可以通过确定平移的向量实现形状的移动。
二、形的对称性形的对称性是指一个形状可以通过某种操作使得形状保持不变。
常见的对称操作有平移、旋转和翻转。
平面上的对称有三种情况：原点对称、x轴对称和y轴对称。
对于原点对称，形状的每个点关于原点对称；对于x轴对称，形状的每个点关于x轴对称；对于y轴对称，形状的每个点关于y轴对称。
对称性在数学中有广泛的应用。
对称的形状能够简化问题的分析和计算，也能够帮助我们更好地理解几何性质。
三、形的相似性质形的相似性质是指两个形状在形状和大小上相似。
相似的形状具有相同的内部结构，只是大小不同。
两个相似的形状可以通过等比例变换相互转化。
在形的相似性质中，比例尺是一个重要的概念。
比例尺是用于表示两个形状之间的大小关系的比值。
两个相似的形状的任意一对对应边之间的比例尺都相等。
相似性质在实际问题中有广泛的应用，比如地图的缩放、模型的制作等。
通过相似性质，我们可以在不进行详细计算的情况下快速推导出结果。
结语形的旋转、平移、对称与相似性质是中考数学中的重要内容。
通过掌握这些性质，我们能够更好地理解几何图形，解决与形状变换相关的问题。
初中数学提高讲义——全等三角形、轴对称
初中数学提高讲义——全等三角形、轴对称
初中数学提高讲义——全等三角形、轴对称
目录
运用三角形全等，可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，证题的基本思路是将要证明的问题，转化为证两个三角形全等，在要证的两个全等的三角形中，找出对应的边或角相等。
但在找全等的条件时，要注意添加适当的辅助线，而辅助线的添加由图形特征及已知条件决定.
我们实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，而是处于各种不同的位置，但其中一个是由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的，了解全等变换的这几种形式，有助于发现全等三角形，确定对应元素，善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键.
在轴对称变换下，图形中两点间的距离、弧长、角度、面积等保持不变，而这种变换在现实生活中有着广泛的应用和丰富的文化价值。
同时通过这种变换，可以使相关元素相对集中，从而构造出新的图形，在解决间题中起到出奇制胜的效果。
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中考数学中的形变换与对称性质解题技巧总结
中考数学中的形变换与对称性质解题技巧总结形变换是中学数学中一个重要的概念，它通过平移、旋转、翻转等操作改变了图形的位置、方向和形状。
而对称性质则是指图形在某种变换下不发生改变。
在中考数学中，形变换和对称性质常常被用于解决与图形相关的题目。
本文将对中考数学中的形变换与对称性质解题技巧进行总结和探讨。
一、平移与旋转的应用1. 平移变换平移变换是将图形在平面上沿着某个方向同时移动一定的距离，通常用箭头表示。
平移变换具有保持距离和保持方向的性质，因此可以应用于解决线段、角度、面积等相关的题目。
例如，当解决计算线段长度的题目时，可以通过将线段平移使其与坐标轴重合，然后计算坐标差值来求解长度。
2. 旋转变换旋转变换是将图形绕着某个点旋转一定的角度。
旋转变换具有保持形状和保持大小的性质，因此可以应用于解决角度、相似图形、面积等相关的题目。
例如，当解决判断两条线段是否平行的题目时，可以通过将其中一条线段绕着某个点旋转使其与另一条线段平行，然后判断旋转后的线段是否与原线段重合来得出结论。
二、翻转与对称的运用1. 翻转变换翻转变换是将图形绕着一条直线翻转对称。
翻转变换具有保持形状和改变方向的性质，因此可以应用于解决关于对称性质的题目。
例如，当解决判断一个图形是否具有对称性的题目时，可以通过对该图形进行翻转变换，然后比较翻转后的图形与原图形是否完全重合来判断。
2. 对称性质对称性质是指一个图形在某种变换下不发生改变。
常见的对称性质有中心对称和轴对称。
中心对称是指图形相对于某个点在平面上对称，关于中心对称的图形可以通过将其每个点与中心点连线的延长部分重合来得出结论。
轴对称是指图形相对于某条直线在平面上对称，关于轴对称的图形可以通过将其沿着轴线折叠或反复映射得出结论。
三、形变换与对称性质的综合应用在解决中考数学中的形变换与对称性质相关的题目时，往往需要综合应用多种变换和性质。
例如，当解决计算两个面积之比的题目时，可以通过将一个图形旋转或翻转使其与另一个图形重合，并利用面积的不变性质来求解比值。
【中考攻略】中考数学 专题9 几何三大变换之对称探讨
【2013年中考攻略】专题9：几何三大变换之轴对称探讨轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。
由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。
轴对称具有这样的重要性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识，是中考数学的必考内容。
结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换：（1）轴对称和轴对称图形的识别和构造；（2）线段、角的轴对称性；（3）等腰（边）三角形的轴对称性；（4）矩形、菱形、正方形的轴对称性；（5）等腰梯形的轴对称性；（6）圆的轴对称性；（7）折叠的轴对称性；（8）利用轴对称性求最值；（9）平面解析几何中图形的轴对称性。
一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：典型例题：例1. （2012重庆市4分）下列图形中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】B。
【考点】轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。
因此，A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误。
故选B。
例2. （2012广东湛江4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是【】A． B． C． D．【答案】A。
【考点】轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意。
故选A。
例3. （2012四川达州3分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【】【答案】A。
【考点】轴对称图形，中心对称图形。
【分析】根据轴对称及中心对称的定义，分别判断各选项，然后即可得出答案：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、既是轴对称图形也是中心对称图形；C、既是轴对称图形也是中心对称图形；D、既是轴对称图形也是中心对称图形。
初三数学中考复习专题课件：探旋转相似型的解法
作EH ⊥AB
H
可证△HEF ∽ △AEG
∴ EF：GE = HE：AE
= HE：BE
=
旋转相似中 存在双重相似的应用
例2、已知△ABC中，∠C=90°AB=9，
，
把△ABC 绕着点C旋转，使得点A落在点A’，点B落
在点B’．若点A’在边AB上，则点B、B’的距离____．
简析：
C
由题可知AA’,BB’是旋转中的对
F （2015学年上学期期末第16题） 如图，△ABC，△EFG均是边长为4的 等边三角形，点D是边BC、EF的中点， 直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕 点D旋转时，∠AMC=（ ）线段BM长 的最大值是（ ）
旋转相似中两个点的运动轨迹有共性
常见的，一个图形绕一定点旋转时， 则图像上任一点都在作圆弧运动。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
2
证 M、D、F、G四点共圆：
连DM，由MADC四点共圆可知∠ DMC= ∠ DAC
F
又∠ DAC= ∠ DGF ∴ ∠ DMC= ∠ DGF，得证.
旋转相似中 存在两组四点共圆的应用
A D
M
G
C
1
2
A DLeabharlann Rt△ADC≌ Rt △GDF， ∠ ADC=∠ GDF=90， 求∠ AMC的度数
M
G
C
F
旋转相似中两个点的运动轨迹有共性
四边形ABCD,AEFG都是正方形，点E为BC边 上一点，求证：点G一定落在直线CD上。
y
若AB=BC=2，
试描述点F的运动轨迹。
x
像这样的点E在作直线运动的旋转相似变换中，则其他 的对应点也都沿着各自的一条直线运动。
2021年中考数学满分之路(四)—旋转全等与旋转相似讲义
中考数学满分之路（四）——旋转全等与旋转相似一、旋转全等有公共顶角顶点且顶角相等的两个等腰三角形组成的图形中，必有全等三角形.旋转的性质一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE. 求证：△ABD≌△ACE.证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE.如图，若△ABD≌△ACE，则AB＝AC，∠BAD＝∠CAE（进而∠BAC＝∠DAE），AD＝AE.其中△ACE可看作是由△ABD绕点A逆时针旋转∠BAC得到的.所以，将一个三角形绕其一个顶点旋转一定角度（旋转角α满足α＜360°且α≠180°）后，会得到有公共顶角顶点且顶角相等的两个等腰三角形.1. 如图，点C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC. 以下6个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③DE＝DP；④∠AOB＝60°；⑤PQ∥AE；⑥OC平分∠AOE.其中，恒成立的有______.（把你认为正确的结论的序号都填上）2. 如图所示，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB＝2，AO tan∠AOB的值为______.E3. 如图，已知点C为线段BD上一点（不与端点重合），△ABC≌△CDE，且∠ABC＝∠CDE＝90°，连接AE，点M为AE的中点，连接MB，MD. 请判断△BMD的形状，并说明理由.二、旋转相似将一个三角形绕其一个顶点旋转一定角度（旋转角α满足α＜360°且α≠180°）并放大（或缩小），再连接对应点后会得到另一组相似三角形. （简述为：旋转相似一拖二） 如图，△ABC ∽△ADE ⇔△ABD ∽△ACE ，（可用SAS 判定相似）.圆中的旋转相似已知，△ABC 内接于⊙O ，AD 是BC 边上的高，AE 是直径. 求证：AB AC AD AE ⋅=⋅.已知，△ABC 内接于⊙O ，角平分线AD 的延长线交⊙O 于E . 求证：AB AC AD AE ⋅=⋅.进一步推导，2()AB AC AD AE AB AC AD AD DE AD AB AC AD DE AB AC BD DC ⋅=⋅⇒⋅=⋅+⇒=⋅-⋅=⋅-⋅. 即若AD 是△ABC 的角平分线，则2AD AB AC BD DC =⋅-⋅. （三角形的角平分线长公式）4. 如图，已知AC 为正方形ABCD 的对角线，点P 是平面内不与点A ，B 重合的任意一点，连接AP ，将线段AP 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PE ，连接AE ，BP ，CE .（1）求证：△APE ∽△ABC ；（2）当线段BP 与CE 相交时，设交点为M ，求BPCE的值以及∠BMC 的度数； （3）若正方形ABCD 的边长为3，AP ＝1，当点P ，C ，E 在同一直线上时，求线段BP 的长.BP备用图5. 如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连接OF 交AD 于点G .（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）设AB x =，AF y =，试用含x ，y 的代数式表示线段AD 的长；（3）若8BE =，5sin 13B =，求DG 的长.6. 已知锐角MBN ∠的余弦值为35，点C 在射线BN 上，25BC =，点A 在MBN ∠内部，且90BAC ∠=，BCA MBN ∠=∠，过点A 的直线DE 分别交射线BM ，射线BN 于点D ，E ，点F 在线段BE 上（点F 不与点B 重合），且EAF MBN ∠=∠.（1）如图1，当AF ⊥BN 时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在线段BC 上时，设BF x =，BD y =，求y 关于x 的函数解析式并写出函数的定义域；（3）连接DF ，当△ADF 与△ACE 相似时，请直接写出BD 的长.图1 图2 备用图三、旋转相似与旋转全等共锐角顶点的两个处于旋转位置的相似三角形组成的图形中，连接对应点后会得到另一组相似三角形；以该公共顶点为等腰三角形的顶角顶点可构造出有公共顶角顶点且顶角相等的两个等腰三角形，从而构造出全等三角形.EEE7. 如图，以△ABC的AB，AC边为斜边在△ABC外部作Rt△ABP和Rt△ACQ，且使∠ABP＝∠ACQ，M 是BC的中点，连接MP，MQ.求证：PM＝QM且∠PMQ＝2∠ABP.P8. 已知：等边△ABC 中，CE 平分∠ACB ，D 为BC 边上一点，且DE ＝DC ，连接BE . （1）如图1，若BC =，4CE =，求BE 的长；（2）如图2，取BE 中点P ，连接AP 、PD 、AD ，求证：AP PD ⊥且AP =；（3）在（1）的条件下，将△CDE 绕点C 顺时针旋转，如图3，连接BE ，取BE 中点P ，连接AP 、AD ，当EC ∥AD 时，求AP 的长.图1图2图39. 如图 1，已知等腰Rt △ABC 中，E 为边AC 上一点，过E 点作EF ⊥AB 于F 点，以EF 为边作正方形EF AG ，且AC ＝4，EF ＝2（1）如图1，连接CF ，求线段CF 的长（2）将等腰Rt △ABC 绕A 点旋转至如图2的位置，连接BE ，M 点为BE 的中点，连接MC 、MF ，求MC 与MF 的关系（3）将△ABC 绕A 点旋转一周，请直接写出点M 在这个过程中的运动路径长为______.图1BC图2。
几何形的旋转平移对称相似与全等的综合运用与证明
几何形的旋转平移对称相似与全等的综合运用与证明几何学是数学的一个分支，研究点、线、面及其组合的图形和空间的性质与变换关系。
在几何学的学习中，旋转平移、对称相似和全等是常见且重要的概念。
它们不仅可以用来描述和说明几何图形之间的关系，还能在实际生活中得到广泛的应用。
本文将讨论几何形的旋转平移对称相似与全等的综合运用与证明。
一、旋转平移的应用旋转和平移是几何变换中常见的操作，它们可以改变图形的位置和方向。
旋转是指围绕一个固定点进行转动，而平移是指将图形沿着固定的方向移动一定的距离。
旋转平移可以用来解决许多实际问题。
比如，我们可以利用旋转平移的概念来解决建筑设计中的问题。
例如，设计师在设计一栋建筑物时，可以通过旋转和平移几何形来确定建筑物的位置和朝向。
此外，旋转平移还被广泛应用于航空航天、机械制造等领域。
例如，飞行器的起飞、降落过程中会进行旋转平移操作，机械装置的运作也离不开旋转平移的变换过程。
二、对称与相似的应用对称和相似是几何变换中的两个重要概念。
对称是指图形围绕一个中心轴线或中心点进行镜像，而相似是指两个图形形状相似但大小不同。
对称和相似在几何学中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，对称可以用来创造美观和和谐的建筑结构；在艺术创作中，对称可以用来表现平衡和对称美；在生物学中，对称则是描述生物体结构的重要方式。
相似则常用于解决间接测量问题。
例如，我们可以利用相似三角形的性质来测量无法直接测量的高度和距离。
三、全等的应用与证明全等是指两个图形形状和大小完全相同。
全等是几何学中最基本和最严格的等价关系。
全等在几何学中有着广泛的应用和证明。
例如，在三角形的学习中，我们可以利用全等三角形的性质来证明两个三角形的各个对应边和对应角相等。
这种方法在解决直角三角形或等腰三角形问题时尤为重要。
此外，在证明各种几何定理和性质时，全等也是常见的一种证明方法。
通过证明两个图形全等，我们可以得出它们的各种性质和定理。
综上所述，几何形的旋转平移、对称相似和全等是几何学中重要且常见的概念。
旋转对称图形知识点总结
旋转对称图形知识点总结旋转对称是指图形绕一个中心点旋转一定角度后与原始图形完全重合的性质。
在数学中，旋转对称是一种重要的对称性质，对于几何学、图形学和艺术设计等领域都具有重要的意义。
本文将从基本概念、性质、应用等方面对旋转对称进行总结和讨论。
一、基本概念1.1 旋转对称的定义旋转对称是指一个图形绕一个中心点旋转一定角度后与原始图形完全重合的性质。
通常情况下，我们称绕一个中心点旋转的角度为旋转角，而将旋转的中心点称为旋转中心。
如果一个图形绕某一点旋转180°后与原始图形完全重合，那么这个图形就是旋转对称的。
1.2 旋转对称的表示方法在数学中，我们通常用旋转矩阵来表示旋转对称。
以二维平面上的点P(x,y)为例，假设点P关于原点旋转角度为θ后的新坐标为P'(x',y')，那么P到P'的旋转过程可以表示为以下等式：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，cosθ和sinθ分别表示旋转角度θ的余弦和正弦值。
通过这样的表示方法，我们可以很方便地计算出点P经过旋转后的新坐标。
二、性质2.1 旋转对称的性质旋转对称具有以下一些重要的性质：（1）旋转对称是一种刚体运动，旋转后的图形与原始图形完全重合，保持了图形的形状和大小不变。
（2）有些图形具有多个旋转对称轴，比如正方形具有四个旋转对称轴，而正六边形具有六个旋转对称轴。
（3）任意两个旋转对称轴相互垂直。
如果一个图形具有多个旋转对称轴，那么它们之间的夹角是相等的。
2.2 旋转对称的性质应用旋转对称的性质在几何学、图形学和艺术设计等领域都具有广泛的应用。
其中一些最常见的应用包括：（1）在制作对称图案时，人们常常利用旋转对称的性质来设计各种各样美观的图案和装饰。
（2）在计算机图形学中，旋转对称的性质常常用来进行图形的变换和处理，比如旋转图形和生成对称图案等。
中考数学图形的旋转与对称
中考数学图形的旋转与对称在中考数学中，图形的旋转和对称是一个重要的考点。
本文将介绍图形的旋转和对称的概念、性质以及解题技巧，帮助同学们更好地理解和应用这一知识点。
一、图形的旋转图形的旋转是指围绕某个点旋转一定角度后所得到的新图形。
在中考数学中，常见的图形旋转有顺时针旋转和逆时针旋转两种。
1. 顺时针旋转顺时针旋转是指图形围绕某个点按照顺时针方向旋转一定角度。
旋转后，原来图形上的点和线段相对位置发生改变，但是图形的大小和形状不变。
2. 逆时针旋转逆时针旋转与顺时针旋转相对，是指图形围绕某个点按照逆时针方向旋转一定角度。
同样，旋转后图形的大小和形状不变。
图形的旋转可以通过几何划线法和坐标变换法进行求解。
特别是坐标变换法，可以通过将原图形的坐标点进行变换计算，得到旋转后图形的坐标点，从而绘制出旋转后的图形。
二、图形的对称图形的对称是指图形按照某个轴或某个点进行对称，得到的新图形和原图形完全一致。
根据对称的方式，图形的对称可以分为轴对称和点对称。
1. 轴对称轴对称是指图形按照某条直线进行对称，对称后的图形与原图形重合。
对称轴是使得对称前后对应点在同一条直线上的直线。
2. 点对称点对称是指图形按照某个点进行对称，对称后的图形与原图形完全一致。
对称中心是使得对称前后对应点在同一直线上的点。
图形的对称可以通过几何划线法和坐标变换法进行求解。
对称轴可以通过观察图形特点或者通过求交点的方法来确定。
点对称也可以通过观察图形特点或者通过坐标变换法来求解。
三、图形旋转与对称的性质1. 旋转与对称的复合变换图形的旋转和对称可以进行复合变换，即先进行旋转变换，再进行对称变换，或者先进行对称变换，再进行旋转变换。
复合变换后，图形的大小和形状保持不变。
2. 旋转与对称的性质运用图形的旋转和对称性质经常在中考数学的几何题中应用。
特别是在计算图形的面积、周长、角度等问题时，通过旋转和对称可以简化计算过程，提高解题效率。
四、例题解析1. 已知一个三角形ABC，将其绕点A顺时针旋转120度，再绕点B逆时针旋转90度，得到一个新的三角形A'B'C'。
中考数学复习 第27课时 图形的平移、对称、旋转与相似课件
【解析】∵相似中心为原点O，B的坐标为(2，1)， ∴若△A1B1C1与△ABC的相似比为2，则B1到O的距离为B到O的距离
的2倍，且B1在BO所在(suǒzài)的直线上，
∴B1的坐标为(4，2)或(－4，－2)．
第二十七页，共二十八页。
内容(nèiróng)总结
是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成相似图形．
第十四页，共二十八页。
基础(jīchǔ)点
网格(wǎnɡ ɡé)
5
作图
网格作图的步骤：
1．找出图形中的关键点；
2．把关键点进行平移、对称、旋转，得到每个关键点的
对应点；
3．按原图(yuán tú)依次连接各关键点的对应点，从而得到所求图 形．
第十五页，共二十八页。
是______．60°
【解析(jiě xī)】∵∠AOB＝15°，旋转角为45° ，∴∠COD＝∠AOB＝15°，∠COA＝
45°，∵∠AOD＝∠COA＋∠COD， ∴∠AOD＝60°.
第二十一页，共二十八页。
练习4 (2017吉林)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3.矩 形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度(jiǎodù)得到矩形AB′C′D′.若 点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为______．
平面内两个图形在某条直线 的两侧，如果沿着这条直线 折叠，这两个图形能够完全 重合，那么称这两个图形成 轴对称，这条直线就是对称 轴，折叠后重合的两点互为 对应点(也叫对称点)
第五页，共二十八页。
性质
(1)对应线段相等，对应角相等，对称点所连接 的线段被对称轴垂直平分； (2)轴对称变换的特征是不改变图形的形状和大 小，只改变图形的位置； (3)对应线段或其延长线平行或相交，若相交， 则交点在对称轴上
数学知识点归纳形的相似变换与对称变换
数学知识点归纳形的相似变换与对称变换数学知识点归纳: 形的相似变换与对称变换相似变换与对称变换是数学中常见的概念，在几何学和代数学等领域中起到重要的作用。
本文将对相似变换与对称变换的定义、性质以及应用进行详细的归纳和解释。
一、形的相似变换形的相似变换是指在平面上或空间中，通过比例尺的变换将一个图形缩放成另一个相似的图形。
具体来说，相似变换满足以下三个条件：1. 相同形状：两个图形的对应部分是相似的，即它们的内角度量相等。
2. 比例关系：两个图形中对应线段的比例相等。
3. 形状保持：相似变换并不改变图形的形状，只是改变了图形的尺寸和位置。
相似变换常见的类型有平移、旋转和缩放。
平移是指通过向量将图形移动到新的位置，旋转是指将图形按照一定角度旋转，而缩放则是指通过比例因子改变图形的大小。
相似变换的应用广泛，例如在地图的绘制过程中，需要考虑到地图的比例尺以保证真实地反映地理位置。
此外，相似变换还被应用于计算机图形学、建筑设计等领域。
二、对称变换对称变换是指将一个图形通过一条线、一个点或一个面的变换使得图形在变换前后保持不变。
对称变换可以分为以下几种类型：1. 线对称：也称为镜像对称，是指图形和它的镜像是相等的。
镜像是通过以一条直线为轴将图形对折而得到的。
2. 点对称：图形中的任意一点与它的对称轴上的点互相映射，得到的图形与原图形相等。
3. 面对称：通过将图形绕某个中心旋转180度得到的图形与原图形相等。
对称变换是一种保持图形不变的变换方式，常见于几何学中的对称性问题。
在艺术设计、几何建模和密码学等领域中都有对称变换的应用。
综上所述，相似变换和对称变换是数学中重要的概念。
相似变换通过比例尺的变换保持图形的形状，对称变换则通过某种线、点或面的变换保持图形不变。
它们在几何学、代数学和应用数学中都扮演着重要的角色，对于理解和解决复杂问题具有重要意义。
初中数学中的形的旋转对称与相似
初中数学中的形的旋转对称与相似形的旋转对称是数学中的一个重要概念，它在初中数学学习中占有重要地位。
与之相关的还有形的相似性质。
下面我们将对初中数学中的形的旋转对称与相似进行探讨。
一、形的旋转对称形的旋转对称是指平面上的一个图形，它可以绕着中心旋转180度或360度后，与原来的图形完全重合。
在二维平面上，我们可以通过旋转、平移、镜像这三种变换来实现图形的旋转对称。
以一个正方形为例，我们可以将它绕着中心点旋转180度后发现，得到的图形与原来的正方形完全一样。
这就是形的旋转对称，也可以说这个正方形自身就具有旋转对称的性质。
二、形的相似性质形的相似是指两个图形形状相似，但大小可能不同。
在初中数学中，我们经常使用比例关系来判断两个图形是否相似。
例如，当两个三角形的对应边的长度比例相等时，这两个三角形就是相似的。
相似的图形之间具有一些特殊的性质。
比如，相似图形的对应角相等，相似三角形的高线、角平分线也相似，并且它们的比例等于对应边的比例。
三、旋转对称与相似性质的联系虽然旋转对称和相似性质看起来有些不同，但它们之间存在一定的联系。
事实上，旋转对称的图形也可以是相似的，而相似的图形也可以具有旋转对称的性质。
例如，一个正六边形具有旋转对称性质，它可以绕着中心点旋转60度后再次与原来的图形重合。
同时，我们可以发现这个正六边形也具有相似性质，因为它的六个边的长度比例相等。
这说明旋转对称和相似性质在某些情况下可以同时存在。
四、应用举例旋转对称和相似性质在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，很多建筑物的设计就采用了旋转对称和相似的元素，使整个建筑具有美感和协调性。
另一个例子是地图的绘制。
当我们绘制一个城市的地图时，我们通常采用相似的比例尺来缩小地图的规模，同时也要保持地图的旋转对称性，使得地图更加逼真和易于阅读。
总结起来，形的旋转对称与相似是初中数学中的重要概念。
旋转对称是指图形绕着中心点旋转180度或360度后与原来的图形重合；相似性质是指形状相似但大小可能不同的图形。
九年级数学对称旋转知识点
九年级数学对称旋转知识点对称旋转是九年级数学中的一个重要概念，它涉及到对称性和几何图形的变化。
本文将介绍九年级数学对称旋转的基本原理、规律和应用。
一、对称旋转的基本原理对称旋转是指将一个几何形状围绕一个点旋转一定角度后所得到的新形状与原形状完全一致。
这个旋转中心点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角度。
在对称旋转中，旋转中心可以是图形内部的一个点，也可以是图形外部的一个点。
若旋转中心是图形内部的一个点，我们称之为内部对称；若旋转中心是图形外部的一个点，我们称之为外部对称。
二、对称旋转的规律1. 内部对称：当旋转中心在图形内部时，对称旋转后的图形与原图形在大小、形状上完全一致。
旋转角度可以是180度、120度、90度、60度、45度等。
2. 外部对称：当旋转中心在图形外部时，对称旋转后的图形与原图形在大小、形状上完全一致，并且旋转后的图形与原图形之间可以通过直线进行连接，形成一条旋转轴。
旋转角度也可以是180度、120度、90度、60度、45度等。
三、对称旋转的应用对称旋转在实际生活中有许多应用，它们可以帮助我们解决一些几何问题。
以下是几个常见的应用场景：1. 制作压花纸：利用对称旋转的原理，我们可以制作出具有对称图案的压花纸。
将图案放在旋转中心位置，然后按照一定角度进行旋转，每次旋转都得到一个新的图案，最终形成一个完美的对称图案。
2. 绘制艺术作品：在艺术创作中，对称旋转常常被用于设计复杂的图案和装饰。
通过对称旋转，艺术家可以创造出各种有规律又美观的图案，丰富作品的表现力。
3. 建筑设计：对称旋转在建筑设计中也有广泛应用。
通过合理运用对称旋转的原理和规律，建筑师可以设计出独特而美观的建筑形式，提升建筑的整体美感和品味。
四、对称旋转的综合应用在解决数学问题时，对称旋转常常需要与其他知识点结合运用。
以下是一些常见的对称旋转与其他知识点结合应用的例子：1. 对称旋转与平移：如果我们需要将一个图形旋转并平移到指定位置，就需要运用对称旋转和平移的知识，通过调整旋转角度和平移距离使得图形得到理想的位置和方向。
中考复习：对称探寻相似(全等)形,旋转巧解面积题讲义
第（3）小问是一道精彩的相似三角形存在性问题，因题目仅指明点C与E是对应顶点，故本题需要分类求解，上述解法中的四种情形环环相扣，先求出情形一中y轴容易发现的第一个点，然后求其关于直线AD的对称点，即为第二种情形，这里采取了求对称点的一般解法，“眼中有定角，心中导定比”，巧施三角比，顺利解对称；最后，将前两种情形中点E关于AD的中点对称，即为后两种情形，这里采取了中点坐标公式，实质上还可以采取坐标平移公式或平行四边形的四个顶点坐标公式等求解；
对称探寻相似（全等）形，旋转巧解面积题
新法（相对运动）：
原来的方法：
先提供原来的代数解法：
再提供今日几何巧构法：
反思：解题应善于对图形作“简法”（或“减法”）处理，慧眼识珠，找到所需结构；
本题利用菱形的性质，巧妙识别含30°的直角三角形，构造“一线三直角”，利用相似巧求坐标，当然也可以直接利用面积求k的值.
自由的坐标平面内只要巧借对称性（含轴对称与中心对称），而限定的直线下却要先借助定性（导角）分析，找到符合条件的所有情形，画图解决；自由条件变成了约束条件，单动点升华为双动点，难度自然变大了.
反思：从头至尾，解决本题的关键始终蕴藏着点F的运动路径，即过点C与AB边平行的一条线，这一点可以由主从联动的视角（即所谓瓜豆原理）来直观感知；
更有趣的是，若将这四种情形下的点E置于同一张图中，识别“定边（AD）对定角（∠AED）”结构，则所有符合条件的点E在以AD为弦的两端劣弧上，如图所示，并且基于对称的角度作定性分析，符合条件的点E有且只有四个；
反思：本题三小问的设置也是环环相扣，步步为营，第（1）问为后两问的计算服务，提供关键的点C坐标；后两问均为全等三角形的存在性问题，由寻找一个动点变为确定两个动点，前者在坐标平面内任意寻找，后者在限定的直线上寻找；
全等、轴对称知识点归纳_共4页
全等三角形知识点归纳一、定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形，重合的顶点叫做对应点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．二、性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等；（3）全等三角形的对应边上的高相等；（4）全等三角形的对应角的平分线相等；（5）全等三角形的对应边的中线相等；（6）全等三角形的周长相等；（7）全等三角形的面积相等．三、判定公理及推论：1、三组边分别相等的两个三角形全等（简称“SSS”或“边边边”)；2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简称“SAS”或“边角边”)；3、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简称“ASA”或“角边角”)；4、两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简称“AAS”或“角角边”)；5、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简称“HL”或“斜边，直角边”)；注：A是英文角的缩写（angle），S是英文边的缩写（side）．四、角平分线的定义：（1）角的平分线定义：如果以角的顶点为端点的射线把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线．（2）三角形的角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线．五、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．六、角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．七、尺规作一个角的角平分线：（1）要点：三段弧；（2）依据：SSS．轴对称知识点归纳一、轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．二、轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．三、轴对称的性质：1、成轴对称的两个图形一定全等；2、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．四、轴对称与轴对称图形的区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．五、线段的垂直平分线：（1）定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．六、轴对称作图：（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．七、用坐标表示轴对称：（1）点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标是（a，－b）；（2）点P（a，b）关于y轴对称的点的坐标是（－a，b）；（3）点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是（－a，－b）．八、关于坐标轴夹角平分线对称：（1）点P（a，b）关于一、三象限夹角平分线对称的点的坐标是（b，a）；（2）点P（a，b）关于二、四象限夹角平分线对称的点的坐标是（－b，－a）．九、关于平行于坐标轴的直线对称：（3）点P（a，b）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－a，b）；（4）点P（a，b）关于直线y＝n对称的点的坐标是（a，2n－b）．十、等腰三角形：有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．十一、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．十二、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称为“等角对等边”．十二、等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．十三、等边三角形的性质：（1）边：三条边都相等；（2）角：三个角都相等，并且都等于60；（3）对称性：它是轴对称图形，有三条对称轴．十四、等边三角形的判定方法：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
中考数学模拟试题形的对称与相似
中考数学模拟试题形的对称与相似数学中的对称和相似是数学中常见的概念，在中考数学中也经常涉及到对称和相似的问题。
本文将从几何形的对称和相似的角度出发，探讨中考数学模拟试题中与这两个概念相关的题目。
一、对称对称是几何形最基本的性质之一，通过对称可以使图形具有一定的美感和平衡。
在中考数学模拟试题中，对称常常涉及到图形的对称轴、对称中心、对称图形等概念。
1. 图形的对称轴对称轴是指将图形按照某个轴线折叠后，两侧的部分完全重合的轴线。
在中考数学模拟试题中，对称轴的确定常常需要考生通过观察和分析图形的性质来确定。
例如，某试题给出了一个多边形，要求找出多边形的对称轴个数以及对称轴所在的位置。
此时，考生需要仔细观察多边形的结构和特点，找出所有对称轴并挑选出正确答案。
2. 图形的对称中心对称中心是指将图形按照某个点进行旋转后，旋转前后的图形完全重合的点。
在中考数学模拟试题中，对称中心常常需要考生通过观察和分析图形的性质来确定。
例如，某试题给出了一个几何图形，要求找出该图形的对称中心以及确定该图形是否关于某一个点进行对称。
此时，考生需要通过观察图形的结构和性质来确定对称中心和是否关于某一点对称。
3. 图形的对称性质对称性质是指图形具有对称性的性质。
在中考数学模拟试题中，常常需要考生利用对称性质来推导出一些未知信息。
例如，某试题给出了一个对称图形，要求计算图形的面积或周长。
此时，考生可以利用对称性质来推导出未知信息，并进一步计算出结果。
二、相似相似是几何形的另一个重要性质，通过相似可以使得图形之间保持一定的形状比例关系。
在中考数学模拟试题中，相似经常涉及到图形的比例、比例尺、形状等概念。
1. 图形的比例关系图形的比例关系是指两个图形之间边长的比值保持不变。
在中考数学模拟试题中，常常需要考生利用图形的比例关系来推导出一些未知信息。
例如，某试题给出了一个相似图形，要求计算未知边长。
此时，考生需要根据已知的比例关系来求解未知边长。
初中数学九年级下册平移、对称、旋转与位似知识点讲解
第七单元 图形与变换第 24 讲 平移、对称、旋转与位似一、 知识清单梳理知识点一：图形变换 （1）定义：①轴对称：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与 常见的轴对称图形：等腰三 另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称． 角形、菱形、矩形、正方形、 关键点拨与对应举例1. ②轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分 正六边形、圆等.能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.图 形 （1）定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图 画位似图形的一般步骤为： 形运动称为平移． （2）性质：①平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段相等且平 接并延长位似中心和能代表 行；②平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行、方向相同； 原图的关键点；③根据相似 ③平移不改变图形的形状和大小， 只改变图形的位置，平移后新旧两 比，确定能代表所作的位似 个图形全等． 图形的关键点；顺次连接上①确定位似中心，②分别连 2. 图 形 的平移 （1）在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度，这样的 述各点，得到放大或缩小的 图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角． 图形． （2）性质：①在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度；②注意每一对对应点与旋转中心的连线所成的角度3. 4.5.知识点二 ：网格作图图 形 的 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上平 移 变 (或减去)一个正数 a ，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)中作已知图形的变换是近几 在平面直角坐标系中或网格 换平移 a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一 年安徽必考题型，注意根据 个正数 a ，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移 a 个单图形变化的性质先确定图形 变换后的对应点，然后顺次 图 形 关 在平面直角坐标系内，如果两个图形关于x 轴对称，那么这两个 连接对应点即可.2. 例：平面直角坐标系中，有轴 成 对 在平面直角坐标系内，如果两个图形关于y 轴对称，那么这两个 一条线段 AB ，其 中 A （2，1）、B （2，0），以原点O 为位似图 形 关 在平面直角坐标系内，如果两个图形关于原点成中心对称，那么 中心，相似比为 2：1，将线段 AB 放大为线段 A ′B ′ ，那么 A ′点的坐标为（4，2）或（-4，-2）.图 形 关 在平面直角坐标系内，如果两个图形的位似中心为原点，相似比于 原 点 为 k ，那么这两个位似图形对应点的坐标的比等于k 或－k ．成 位 似变换。
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对称探寻相似（全等）形，旋转巧解面积题
新法（相对运动）：
原来的方法：
先提供原来的代数解法：
再提供今日几何巧构法：
反思：解题应善于对图形作“简法”（或“减法”）处理，慧眼识珠，找到所需结构；
本题利用菱形的性质，巧妙识别含30°的直角三角形，构造“一线三直角”，利用相似巧求坐标，当然也可以直接利用面积求k的值.
反思：本题依然识别到垂直处理的经典结构——“一线三等角”，设元后结合勾股定理求解，计算中应注意整体代入的运用.
（1）直接写出这两个二次函数的表达式；
（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；
（3）如图2，连接BC、CD、AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标.
反思：第（2）小问先画草图，采用设坐标法，计算求解；
第（3）小问是一道精彩的相似三角形存在性问题，因题目仅指明点C与E是对应顶点，故本题需要分类求解，上述解法中的四种情形环环相扣，先求出情形一中y轴容易发现的第一个点，然后求其关于直线AD的对称点，即为第二种情形，这里采取了求对称点的一般解法，“眼中有定角，心中导定比”，巧施三角比，顺利解对称；最后，将前两种情形中点E关于AD的中点对称，即为后两种情形，这里采取了中点坐标公式，实质上还可以采取坐标平移公式或平行四边形的四个顶点坐标公式等求解；
更有趣的是，若将这四种情形下的点E置于同一张图中，识别“定边（AD）对定角（∠AED）”结构，则所有符合条件的点E在以AD为弦的两端劣弧上，如图所示，并且基于对称的角度作定性分析，符合条件的点E有且只有四个；
反思：本题三小问的设置也是环环相扣，步步为营，第（1）问为后两问的计算服务，提供关键的点C坐标；后两问均为全等三角形的存在性问题，由寻找一个动点变为确定两个动点，前者在坐标平面内任意寻找，后者在限定的直线上寻找；
自由的坐标平面内只要巧借对称性（含轴对称与中心对称），而限定的直线下却要先借助定性（导角）分析，找到符合条件的所有情形，画图解决；自由条件变成了约束条件，单动点升华为双动点，难度自然变大了.
反思：从头至尾，解决本题的关键始终蕴藏着点F的运动路径，即过点C与AB边平行的一条线，这一点可以由主从联动的视角（即所谓瓜豆原理）来直观感知；
后面三个问题都是围绕面积展开的，其中第（2）问需识别梯形，第（3）问借助面积转化，如割补、全等转化等；第（4）问则结合相似，设元导边，巧列方程，其中还用到一个常见的面积结论，具体如下：。