人教B版高中数学必修五期中模块考试
高中数学新人教B版必修5课件:第二章数列2.3习题课——等比数列习题课
D典例透析 S随堂演练
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题型一
题型二
题型三
题型四
1
1
2
1
(2)解:由(1)知 -1= · -1 =
1
即
1
=
2
1
+1,则
设 Tn= +
2
3
=
1
22
2
2
2
2
1
+
2
2
+…+
3
=
2
1
1-
2
1
12
1
=1-
2
−
−
2
1
2
1
2
22
,
+n.
2
+
2 +1
1
,②
−
+…+
2
2 +1
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,
所以-8q=-24,q=3.
1 (1- )
所以数列{bn}的前 n 项和公式 Sn=
1-
=4(1-3n).
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IANLITOUXI
1
2
3
UITANGLIANXI
4
1等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1的值为
题型四
等比数列的基本运算
【例1】 (1)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,Sn=93,an=48,公比
(人教版B版)高中数学必修第二册 第五章综合测试试卷01及答案
第五章综合测试一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图是容量为100的样本数据质量的频率分布直方图,已知样本质量均在[5,20]内,其分组为[5,10),[10,15),[15,20],则样本质量落在[15,20]内的频数为()A.10B.20C.30D.402.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.83.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得一张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.以上都不对4.根据某跑步团体每月跑步的平均里程(单位:公里)的数据绘制了如图所示的折线图.根据折线图,下列结论正确的是()A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月,波动性更小,变化比较平稳5.在掷一个骰子的试验中,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一U发生的概率为()次试验中,事件A BA .13B .12C .23D .566.某示范农场的鱼塘放养鱼苗8万条,根据这几年的经验知道,鱼苗的成活率为95%,一段时间后准备打捞出售,第一网捞出40条,称得平均每条鱼2.5 kg ,第二网捞出25条,称得平均每条鱼2.2 kg ,第三网捞出35条,称得平均每条鱼2.8 kg ,估计这时鱼塘中鱼的总质量为( )A .192 280 kgB .202 280 kgC .182 280 kgD .172 280 kg7.为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论:①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数;②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数;③从最近五场比赛的得分看,乙比甲更稳定;④从最近五场比赛的得分看,甲比乙更稳定.其中所有正确结论的编号为()A .①③B .①④C .②③D .②④8.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A .100,10B .100,20C .200,10D .200,209.甲、乙、丙三人参加一次考试,他们合格的概率分别为23,34,25,那么三人中恰有两人合格的概率是( )A .25B .715C .1130D .1610.如图所示,小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图,设小王与小张成绩的样本平均数分别为A X 和B X ,方差分别为2A s 和2B s ,则()A .AB X X <,22A B s s >B .A B X X <,22A Bs s <C .A B X X >,22A B s s >D .A B X X >,22A Bs s <11.袋子中有四个小球,分别写有“美”“丽”“中”“国”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“中”“国”两个字都取到时停止,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“中”“国”“美”“丽”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:232321230023123021132220001231131133231031320122130233由此可以估计,恰好第三次停止的概率为( )A .19B .318C .29D .51812.有能力互异的3人应聘同一公司,他们按照报名顺序依次接受面试,经理决定“不录用第一个接受面试的人,如果第二个接受面试的人比第一个人能力强,就录用第二个人,否则就录用第三个人”,记该公司录用到能力最强的人的概率为p ,录用到能力中等的人的概率为q ,则(),p q =()A .11,66æöç÷èøB .11,26æöç÷èøC .11,24æöç÷èøD .11,23æöç÷èø二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为11: 8: 6,从中抽取200名职员作为样本,则应抽取青年职员的人数为__________.14.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.15.某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x (吨),一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费,超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x (吨),估计x 的值为__________.16.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为1白1黑的概率等于__________.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.[10分]为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两校中各抽取30名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如图所示.(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格);(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1x ,2x ,估计12x x -的值.18.[12分]为了调查某市市民对出行的满意程度,研究人员随机抽取了1 000名市民进行调查,并将满意程度以分数的形式统计成如图所示的频率分布直方图,其中4a b =.(1)求a,b的值;(2)求被调查的市民的满意程度的平均数、众数、中位数;(3)若按照分层抽样从[50,60),[60,70)中随机抽取8人,应如何抽取?19.[12分]某地区有小学21所,中学14所,大学7所。
高中数学(人教版)必修五第二章数列综合测试卷
高中数学(人教版)必修五第二章数列综合测试卷本试卷满分150分,其中选择题共75分,填空题共25分,解答题共50分。
试卷难度:0.63一.选择题(共15小题,满分75分,每小题5分)1.(5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.82.(5分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏3.(5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.1104.(5分)已知数列{a n}、{b n}、{c n},以下两个命题:①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列,则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列;②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列,则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列;下列判断正确的是()A.①②都是真命题B.①②都是假命题C.①是真命题,②是假命题D.①是假命题,②是真命题5.(5分)一给定函数y=f(x)的图象在下列图中,并且对任意a1∈(0,1),=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n,n∈N*,则该函数的图象是由关系式a n+1()A.B.C.D.6.(5分)若数列{a n},{b n}的通项公式分别为a n=(﹣1)n+2016•a,b n=2+,且a n<b n,对任意n∈N*恒成立,则实数a的取值范围是()A.B.[﹣1,1)C.[﹣2,1)D.7.(5分)数列{a n}是正项等比数列,{b n}是等差数列,且a6=b7,则有()A.a3+a9≤b4+b10B.a3+a9≥b4+b10C.a3+a9≠b4+b10D.a3+a9与b4+b10大小不确定8.(5分)已知数列{a n}满足:a1=1,a n+1=(n∈N*)若(n∈N*),b1=﹣λ,且数列{b n}是单调递增数列,则实数λ的取值范围是()A.B.λ<1C.D.9.(5分)设△A n B n C n的三边长分别是a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n∈N*,若b1>c1,b1+c1=2a1,b n+1=,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n﹣1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n﹣1}为递减数列,{S2n}为递增数列10.(5分)《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作,书中系统的介绍了等差数列,同类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题,大意为:某女子善于织布,后一天比前一天织的快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布5尺,一个月(按30天计算)总共织布390尺,问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为()A.尺B.尺C.尺D.尺11.(5分)已知数列{a n}为等差数列,S n其前n项和,且a2=3a4﹣6,则S9等于()A.25B.27C.50D.5412.(5分)《九章算术》是我国古代的数字名著,书中《均属章》有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各德几何.”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱,A、B两人所得与C、D、E三人所得相同,且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).在这个问题中,E所得为()A.钱B.钱C.钱D.钱13.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和为s n,且S2=10,S5=55,则过点P(n,a n),Q(n+2,a n+2)(n∈N*)的直线的斜率为()A.4B.C.﹣4D.﹣14.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S3=9,a2a4=21,数列{b n}满足,若,则n的最小值为()A.6B.7C.8D.915.(5分)已知函数f(x)的图象关于x=﹣1对称,且f(x)在(﹣1,+∞)上单调,若数列{a n}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则{a n}的前100项的和为()A.﹣200B.﹣100C.﹣50D.0二.填空题(共5小题,满分25分,每小题5分)16.(5分)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=,S6=,则a8=.17.(5分)等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=3,S4=10,则=.18.(5分)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{a n },则此数列的项数为.19.(5分)已知无穷数列{a n },a 1=1,a 2=2,对任意n ∈N *,有a n +2=a n ,数列{b n }满足b n +1﹣b n =a n (n ∈N *),若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次,则满足要求的b 1的值为.20.(5分)设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+bn ,若数列{a n }是单调递增数列,则实数b 的取值范围为.三.解答题(共5小题,满分50分,每小题10分)21.(10分)对于给定的正整数k ,若数列{a n }满足:a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n (n >k )总成立,则称数列{a n }是“P (k )数列”.(1)证明:等差数列{a n }是“P (3)数列”;(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”,又是“P (3)数列”,证明:{a n }是等差数列.22.(10分)设{a n }和{b n }是两个等差数列,记c n =max {b 1﹣a 1n ,b 2﹣a 2n ,…,b n ﹣a n n }(n=1,2,3,…),其中max {x 1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数.(1)若a n =n ,b n =2n ﹣1,求c 1,c 2,c 3的值,并证明{c n }是等差数列;(2)证明:或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n ≥m 时,>M ;或者存在正整数m ,使得c m ,c m +1,c m +2,…是等差数列.23.(10分)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5. (Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)求和:b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1.24.(10分)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2=2,S 3=﹣6.(1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n +1,S n ,S n +2是否成等差数列.25.(10分)已知{x n }是各项均为正数的等比数列,且x 1+x 2=3,x 3﹣x 2=2. (Ⅰ)求数列{x n }的通项公式;(Ⅱ)如图,在平面直角坐标系xOy 中,依次连接点P 1(x 1,1),P 2(x 2,2)…P n +1(x n +1,n +1)得到折线P 1 P 2…P n +1,求由该折线与直线y=0,x=x 1,x=x n +1所围成的区域的面积T n.高中数学(人教版)必修五第二章数列综合测试卷参考答案与试题解析一.选择题(共15小题,满分75分,每小题5分)1.(5分)(2017•新课标Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.8【考点】85:等差数列的前n项和;84:等差数列的通项公式.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;54 :等差数列与等比数列.【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出{a n}的公差.【解答】解:∵S n为等差数列{a n}的前n项和,a4+a5=24,S6=48,∴,解得a1=﹣2,d=4,∴{a n}的公差为4.故选:C.【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.2.(5分)(2017•新课标Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【考点】89:等比数列的前n项和;88:等比数列的通项公式.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;54 :等差数列与等比数列.【分析】设这个塔顶层有a盏灯,由题意和等比数列的定义可得:从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列,结合条件和等比数列的前n项公式列出方程,求出a 的值.【解答】解:设这个塔顶层有a盏灯,∵宝塔一共有七层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列,又总共有灯381盏,∴381==127a,解得a=3,则这个塔顶层有3盏灯,故选B.【点评】本题考查了等比数列的定义,以及等比数列的前n项和公式的实际应用,属于基础题.3.(5分)(2017•新课标Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.110【考点】8E:数列的求和.【专题】35 :转化思想;4R:转化法;54 :等差数列与等比数列.【分析】方法一:由数列的性质,求得数列{b n}的通项公式及前n项和,可知当N为时(n∈N+),数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和,即为2n ﹣n﹣2,容易得到N>100时,n≥14,分别判断,即可求得该款软件的激活码;方法二:由题意求得数列的每一项,及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n,及项数,由题意可知:2n+1为2的整数幂.只需将﹣2﹣n消去即可,分别分别即可求得N的值.【解答】解:设该数列为{a n},设b n=+…+=2n﹣1,(n∈N+),则=a i,由题意可设数列{a n}的前N项和为S N,数列{b n}的前n项和为T n,则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2,),数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和,可知当N为时(n∈N+即为2n﹣n﹣2,容易得到N>100时,n≥14,A项,由=435,440=435+5,可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230,故A 项符合题意.B项,仿上可知=325,可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4,显然不为2的整数幂,故B项不符合题意.C项,仿上可知=210,可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23,显然不为2的整数幂,故C项不符合题意.D项,仿上可知=105,可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15,显然不为2的整数幂,故D项不符合题意.故选A.方法二:由题意可知:,,,…,根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为:21﹣1,22﹣1,23﹣1, (2)﹣1,每项含有的项数为:1,2,3,…,n,总共的项数为N=1+2+3+…+n=,所有项数的和为S n:21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=(21+22+23+…+2n)﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n,由题意可知:2n+1为2的整数幂.只需将﹣2﹣n消去即可,则①1+2+(﹣2﹣n)=0,解得:n=1,总共有+2=3,不满足N>100,②1+2+4+(﹣2﹣n)=0,解得:n=5,总共有+3=18,不满足N>100,③1+2+4+8+(﹣2﹣n)=0,解得:n=13,总共有+4=95,不满足N>100,④1+2+4+8+16+(﹣2﹣n)=0,解得:n=29,总共有+5=440,满足N >100,∴该款软件的激活码440.故选A.【点评】本题考查数列的应用,等差数列与等比数列的前n项和,考查计算能力,属于难题.4.(5分)(2017•上海模拟)已知数列{a n}、{b n}、{c n},以下两个命题:①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列,则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列;②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列,则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列;下列判断正确的是()A.①②都是真命题B.①②都是假命题C.①是真命题,②是假命题D.①是假命题,②是真命题【考点】81:数列的概念及简单表示法.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;4O:定义法;5L :简易逻辑.【分析】对于①不妨设a n=2n,b n=3n、c n=sinn,满足{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列,但是不满足c n=sinn是递增数列,对于②根据等差数列的性质和定义即可判断.【解答】解:对于①不妨设a n=2n,b n=3n、c n=sinn,∴{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列,但c n=sinn不是递增数列,故为假命题,对于②{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列,不妨设公差为分别为a,b,c,∴a n+b n﹣a n﹣1﹣b n﹣1=a,b n+c n﹣b n﹣1﹣c n﹣1=b,a n+c n﹣a n﹣1﹣c n﹣1=c,设{a n},{b n}、{c n}的公差为x,y,x,∴则x=,y=,z=,故若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列,则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列,故为真命题,故选:D【点评】本题考查了等差数列的性质和定义,以及命题的真假,属于基础题.5.(5分)(2017•徐汇区校级模拟)一给定函数y=f(x)的图象在下列图中,并且对任意a1∈(0,1),由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n,n∈N*,则该函数的图象是()A.B.C.D.【考点】81:数列的概念及简单表示法.【专题】31 :数形结合;51 :函数的性质及应用.=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n(n∈N*),根据点与【分析】由关系式a n+1直线之间的位置关系,我们不难得到,f(x)的图象在y=x上方.逐一分析不难得到正确的答案.=f(a n)>a n知:f(x)的图象在y=x上方.【解答】解:由a n+1故选:A.【点评】本题考查了数列与函数的单调性、数形结合思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.6.(5分)(2017•河东区二模)若数列{a n},{b n}的通项公式分别为a n=(﹣1)n+2016•a,b n=2+,且a n<b n,对任意n∈N*恒成立,则实数a的取值范围是()A.B.[﹣1,1)C.[﹣2,1)D.【考点】82:数列的函数特性.【专题】32 :分类讨论;35 :转化思想;54 :等差数列与等比数列;59 :不等式的解法及应用.【分析】由a n=(﹣1)n+2016•a,b n=2+,且a n<b n,对任意n∈N*恒成立,可得:(﹣1)n+2016•a<2+,对n分类讨论即可得出.【解答】解:a n=(﹣1)n+2016•a,b n=2+,且a n<b n,对任意n∈N*恒成立,∴(﹣1)n+2016•a<2+,n为偶数时:化为a<2﹣,则a<.n为奇数时:化为﹣a<2+,则a≥﹣2.则实数a的取值范围是.故选:D【点评】本题考查了数列通项公式、分类讨论方法、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7.(5分)(2017•宝清县一模)数列{a n}是正项等比数列,{b n}是等差数列,且a6=b7,则有()A.a3+a9≤b4+b10B.a3+a9≥b4+b10C.a3+a9≠b4+b10D.a3+a9与b4+b10大小不确定【考点】82:数列的函数特性.【专题】54 :等差数列与等比数列.【分析】由于{b n}是等差数列,可得b4+b10=2b7.已知a6=b7,于是b4+b10=2a6.由于数列{a n}是正项等比数列,可得a3+a9=≥=2a6.即可得出.【解答】解:∵{b n}是等差数列,∴b4+b10=2b7,∵a6=b7,∴b4+b10=2a6,∵数列{a n}是正项等比数列,∴a3+a9=≥=2a6,∴a3+a9≥b4+b10.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质,属于中档题.8.(5分)(2017•湖北模拟)已知数列{a n}满足:a1=1,a n+1=(n∈N*)若(n∈N*),b1=﹣λ,且数列{b n}是单调递增数列,则实数λ的取值范围是()A.B.λ<1C.D.【考点】82:数列的函数特性.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;4O:定义法;54 :等差数列与等比数列.【分析】根据数列的递推公式可得数列{+1}是等比数列,首项为+1=2,公=(n﹣2λ)•2n,根据数列的单调性即可求出λ的范围.比为2,再代值得到b n+1【解答】解:∵数列{a n}满足:a1=1,a n+1=(n∈N*),∴=+1,化为+1=+2∴数列{+1}是等比数列,首项为+1=2,公比为2,∴+1=2n,=(n﹣2λ)(+1)=(n﹣2λ)•2n,∴b n+1∵数列{b n}是单调递增数列,>b n,∴b n+1∴(n﹣2λ)•2n>(n﹣1﹣2λ)•2n﹣1,解得λ<1,但是当n=1时,b2>b1,∵b1=﹣λ,∴(1﹣2λ)•2>﹣λ,故选:A.【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.9.(5分)(2017•海淀区校级模拟)设△A n B n C n的三边长分别是a n,b n,c n,△A nB nC n的面积为S n,n∈N*,若b1>c1,b1+c1=2a1,b n+1=,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n﹣1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n﹣1}为递减数列,{S2n}为递增数列【考点】82:数列的函数特性.【专题】54 :等差数列与等比数列;58 :解三角形;59 :不等式的解法及应用.【分析】由a n=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1,由b n+1+c n+1﹣2a1=(b n+c n+1﹣2a n),b1+c1=2a1得b n+c n=2a1,则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值,另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值,由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上,根据b n﹣c n+1=(c n﹣b n),得b n﹣c n=,可知n→+∞时b n→c n,+1据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大,再由三角形面积公式可得到答案.【解答】解:b1=2a1﹣c1且b1>c1,∴2a1﹣c1>c1,∴a1>c1,∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1>0,∴b1>a1>c1,又b1﹣c1<a1,∴2a1﹣c1﹣c1<a1,∴2c1>a1,∴c1,+c n+1=+a n,∴b n+1+c n+1﹣2a n=(b n+c n﹣2a n),由题意,b n+1∴b n+c n﹣2a n=0,∴b n+c n=2a n=2a1,∴b n+c n=2a1,﹣c n+1=,又由题意,b n+1∴b n﹣(2a1﹣b n+1)==a1﹣b n,b n+1﹣a1=(a1﹣b n)=(b1 +1﹣a1).∴b n=a1+(b1﹣a1),c n=2a1﹣b n=a1﹣(b1﹣a1),=•=单调递增.可得{S n}单调递增.故选:B.【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式,综合考查学生分析解决问题的能力,有较高的思维抽象度,属于难题.10.(5分)(2017•汉中二模)《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作,书中系统的介绍了等差数列,同类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题,大意为:某女子善于织布,后一天比前一天织的快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布5尺,一个月(按30天计算)总共织布390尺,问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为()A.尺B.尺C.尺D.尺【考点】84:等差数列的通项公式.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;54 :等差数列与等比数列.【分析】由题意,该女子从第一天起,每天所织的布的长度成等差数列,其公差为d,由等差数列的前n项和公式能求出公差.【解答】解:由题意,该女子从第一天起,每天所织的布的长度成等差数列,记为:a1,a2,a3,…,a n,其公差为d,则a1=5,S30=390,∴=390,∴d=.故选:B.【点评】本题查等差数列的公差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.11.(5分)(2017•徐水县模拟)已知数列{a n}为等差数列,S n其前n项和,且a2=3a4﹣6,则S9等于()A.25B.27C.50D.54【考点】84:等差数列的通项公式.【专题】11 :计算题.【分析】由题意得a2=3a4﹣6,所以得a5=3.所以由等差数列的性质得S9=9a5=27.【解答】解:设数列{a n}的首项为a1,公差为d,因为a2=3a4﹣6,所以a1+d=3(a1+3d)﹣6,所以a5=3.所以S9=9a5=27.故选B.【点评】解决此类题目的关键是熟悉等差数列的性质并且灵活利用性质解题.12.(5分)(2017•安徽模拟)《九章算术》是我国古代的数字名著,书中《均属章》有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各德几何.”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱,A、B两人所得与C、D、E三人所得相同,且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).在这个问题中,E所得为()A.钱B.钱C.钱D.钱【考点】84:等差数列的通项公式.【专题】11 :计算题;21 :阅读型;33 :函数思想;51 :函数的性质及应用;54 :等差数列与等比数列.【分析】设A=a﹣4d,B=a﹣3d,C=a﹣2d,D=a﹣d,E=a,列出方程组,能求出E所得.【解答】解:由题意:设A=a﹣4d,B=a﹣3d,C=a﹣2d,D=a﹣d,E=a,则,解得a=,故E所得为钱.故选:A.【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质、等差数列的性质的合理运用.13.(5分)(2017•南开区模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为s n,且S2=10,S5=55,则过点P(n,a n),Q(n+2,a n+2)(n∈N*)的直线的斜率为()A.4B.C.﹣4D.﹣【考点】84:等差数列的通项公式.【专题】54 :等差数列与等比数列.【分析】设出等差数列的首项和公差,由已知列式求得首项和公差,代入两点求直线的斜率公式得答案.【解答】解:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由S2=10,S5=55,得,解得:.∴过点P(n,a n),Q(n+2,a n+2)的直线的斜率为k=.故选:A.【点评】本题考查等差数列的通项公式,考查等差数列的前n项和,训练了两点求直线的斜率公式,是基础题.14.(5分)(2017•枣阳市校级模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S3=9,a2a4=21,数列{b n}满足,若,则n的最小值为()A.6B.7C.8D.9【考点】84:等差数列的通项公式.【专题】34 :方程思想;35 :转化思想;54 :等差数列与等比数列;59 :不等式的解法及应用.【分析】设等差数列{a n}的公差为d,由S3=9,a2a4=21,可得3a1+d=9,(a1+d)(a1+3d)=21,可得a n.由数列{b n}满足,利用递推关系可得:=.对n取值即可得出.【解答】解:设等差数列{a n}的公差为d,∵S3=9,a2a4=21,∴3a1+d=9,(a1+d)(a1+3d)=21,联立解得:a1=1,d=2.∴a n=1+2(n﹣1)=2n﹣1.∵数列{b n}满足,∴n=1时,=1﹣,解得b1=.n≥2时,+…+=1﹣,∴=.∴b n=.若,则<.n=7时,>.n=8时,<.因此:,则n的最小值为8.故选:C.【点评】本题考查了等差数列通项公式与求和公式、数列递推关系及其单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15.(5分)(2017•安徽一模)已知函数f(x)的图象关于x=﹣1对称,且f(x)在(﹣1,+∞)上单调,若数列{a n}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则{a n}的前100项的和为()A.﹣200B.﹣100C.﹣50D.0【考点】84:等差数列的通项公式.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;4O:定义法;54 :等差数列与等比数列.【分析】由函数图象关于x=﹣1对称,由题意可得a50+a51=﹣2,运用等差数列的性质和求和公式,计算即可得到所求和.【解答】解:函数f(x)的图象关于x=﹣1对称,数列{a n}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),可得a50+a51=﹣2,又{a n}是等差数列,所以a1+a100=a50+a51=﹣2,则{a n}的前100项的和为=﹣100故选:B.【点评】本题考查函数的对称性及应用,考查等差数列的性质,以及求和公式,考查运算能力,属于中档题.二.填空题(共5小题,满分25分,每小题5分)16.(5分)(2017•江苏)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=,S6=,则a8=32.【考点】88:等比数列的通项公式.【专题】34 :方程思想;35 :转化思想;54 :等差数列与等比数列.【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1,S3=,S6=,可得=,=,联立解出即可得出.【解答】解:设等比数列{a n}的公比为q≠1,∵S3=,S6=,∴=,=,解得a1=,q=2.则a8==32.故答案为:32.【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.(5分)(2017•新课标Ⅱ)等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=3,S4=10,则=.【考点】8E:数列的求和;85:等差数列的前n项和.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;54 :等差数列与等比数列.【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和,然后化简所求的表达式,求解即可.【解答】解:等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=3,S4=10,S4=2(a2+a3)=10,可得a2=2,数列的首项为1,公差为1,S n=,=,则=2[1﹣++…+]=2(1﹣)=.故答案为:.【点评】本题考查等差数列的求和,裂项消项法求和的应用,考查计算能力.18.(5分)(2017•汕头三模)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{a n},则此数列的项数为134.【考点】81:数列的概念及简单表示法.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;4R:转化法;54 :等差数列与等比数列.【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数,运用等差数列通项公式,以及解不等式即可得到所求项数.【解答】解:由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数,故a n=15n﹣14.由a n=15n﹣14≤2017得n≤135,∵当n=1时,符合要求,但是该数列是从2开始的,故此数列的项数为135﹣1=134.故答案为:134【点评】本题考查数列模型在实际问题中的应用,考查等差数列的通项公式的运用,考查运算能力,属于基础题19.(5分)(2017•闵行区一模)已知无穷数列{a n},a1=1,a2=2,对任意n∈N*,=a n,数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n(n∈N*),若数列中的任意一项都在有a n+2该数列中重复出现无数次,则满足要求的b1的值为2.【考点】81:数列的概念及简单表示法.【专题】35 :转化思想;48 :分析法;5M :推理和证明.【分析】依题意数列{a n}是周期数咧,则可写出数列{a n}的通项,由数列{b n}满足b n﹣b n=a n(n∈N*),可推出b n+1﹣b n=a n=⇒,,+1,,…要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次,则b2=b6=b10=…=b2n﹣1,b4=b8=b12=…=b4n,可得b8=b4=3即可,【解答】解:a1=1,a2=2,对任意n∈N*,有a n+2=a n,∴a3=a1=1,a4=a2=2,a5=a3=a1=1,∴a n=﹣b n=a n=,∴b n+1﹣b2n+1=a2n+1=1,b2n+1﹣b2n=a2n=2,∴b2n+2﹣b2n=3,b2n+1﹣b2n﹣1=3∴b2n+2∴b3﹣b1=b5﹣b3=…=b2n+1﹣b2n﹣1=3,b4﹣b2=b6﹣b4=b8﹣b6=…=b2n﹣b2n﹣2=3,b2﹣b1=1,,,,,,,…,=b4n﹣2∵数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次,∴b2=b6=b10=…=b4n﹣2,b4=b8=b12=…=b4n,解得b8=b4=3,b2=3,∵b2﹣b1=1,∴b1=2,故答案为:2【点评】本题考查了数列的推理与证明,属于难题.20.(5分)(2017•青浦区一模)设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn,若数列{a n}是单调递增数列,则实数b的取值范围为(﹣3,+∞).【考点】82:数列的函数特性.【专题】35 :转化思想;54 :等差数列与等比数列;59 :不等式的解法及应用.【分析】数列{a n}是单调递增数列,可得∀n∈N*,a n+1>a n,化简整理,再利用数列的单调性即可得出.【解答】解:∵数列{a n}是单调递增数列,∴∀n∈N*,a n>a n,+1(n+1)2+b(n+1)>n2+bn,化为:b>﹣(2n+1),∵数列{﹣(2n+1)}是单调递减数列,∴n=1,﹣(2n+1)取得最大值﹣3,∴b>﹣3.即实数b的取值范围为(﹣3,+∞).故答案为:(﹣3,+∞).【点评】本题考查了数列的单调性及其通项公式、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.三.解答题(共5小题,满分50分,每小题10分)21.(10分)(2017•江苏)对于给定的正整数k ,若数列{a n }满足:a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n (n >k )总成立,则称数列{a n }是“P (k )数列”.(1)证明:等差数列{a n }是“P (3)数列”;(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”,又是“P (3)数列”,证明:{a n }是等差数列.【考点】8B :数列的应用.【专题】23 :新定义;35 :转化思想;4R :转化法;54 :等差数列与等比数列.【分析】(1)由题意可知根据等差数列的性质,a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=(a n ﹣3+a n +3)+(a n ﹣2+a n +2)+(a n ﹣1+a n +1)═2×3a n ,根据“P (k )数列”的定义,可得数列{a n }是“P (3)数列”;(2)由已知条件结合(1)中的结论,可得到{a n }从第3项起为等差数列,再通过判断a 2与a 3的关系和a 1与a 2的关系,可知{a n }为等差数列.【解答】解:(1)证明:设等差数列{a n }首项为a 1,公差为d ,则a n =a 1+(n ﹣1)d ,则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3,=(a n ﹣3+a n +3)+(a n ﹣2+a n +2)+(a n ﹣1+a n +1),=2a n +2a n +2a n ,=2×3a n ,∴等差数列{a n }是“P (3)数列”;(2)证明:当n ≥4时,因为数列{a n }是P (3)数列,则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n ,①,因为数列{a n }是“P (2)数列”,所以a n ﹣3+a n ﹣3+a n +a n +1=4a n ﹣1,②,a n ﹣1+a n +a n +2+a n +3=4a n +1,③,②+③﹣①,得2a n =4a n ﹣1+4a n +1﹣6a n ,即2a n =a n ﹣1+a n +1,(n ≥4),因此n ≥4从第3项起为等差数列,设公差为d ,注意到a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4, 所以a 2=4a 4﹣a 3﹣a 5﹣a 6=4(a 3+d )﹣a 3﹣(a 3+2d )﹣(a 3+3d )=a 3﹣d ,因为a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4(a2+d)﹣a2﹣(a2+2d)﹣(a2+3d)=a2﹣d,也即前3项满足等差数列的通项公式,所以{a n}为等差数列.【点评】本题考查等差数列的性质,考查数列的新定义的性质,考查数列的运算,考查转化思想,属于中档题.22.(10分)(2017•北京)设{a n}和{b n}是两个等差数列,记c n=max{b1﹣a1n,b2﹣a2n,…,b n﹣a n n}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,x s}表示x1,x2,…,x s这s个数中最大的数.(1)若a n=n,b n=2n﹣1,求c1,c2,c3的值,并证明{c n}是等差数列;(2)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,>M;或者存在正整数m,使得c m,c m+1,c m+2,…是等差数列.【考点】8B:数列的应用;8C:等差关系的确定.【专题】32 :分类讨论;4R:转化法;54 :等差数列与等比数列.【分析】(1)分别求得a1=1,a2=2,a3=3,b1=1,b2=3,b3=5,代入即可求得c1,c2,c3;由(b k﹣na k)﹣(b1﹣na1)≤0,则b1﹣na1≥b k﹣na k,则c n=b1﹣na1=1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立;﹣n,c n+1(2)由b i﹣a i n=[b1+(i﹣1)d1]﹣[a1+(i﹣1)d2]×n=(b1﹣a1n)+(i﹣1)(d2﹣d1×n),分类讨论d1=0,d1>0,d1<0三种情况进行讨论根据等差数列的性质,即可求得使得c m,c m+1,c m+2,…是等差数列;设=An+B+对任意正整数M,存在正整数m,使得n≥m,>M,分类讨论,采用放缩法即可求得因此对任意正数M,存在正整数m,使得当n≥m时,>M.【解答】解:(1)a1=1,a2=2,a3=3,b1=1,b2=3,b3=5,当n=1时,c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0,当n=2时,c2=max{b1﹣2a1,b2﹣2a2}=max{﹣1,﹣1}=﹣1,当n=3时,c3=max{b1﹣3a1,b2﹣3a2,b3﹣3a3}=max{﹣2,﹣3,﹣4}=﹣2,下面证明:对∀n∈N*,且n≥2,都有c n=b1﹣na1,当n∈N*,且2≤k≤n时,则(b k﹣na k)﹣(b1﹣na1),=[(2k﹣1)﹣nk]﹣1+n,=(2k﹣2)﹣n(k﹣1),=(k﹣1)(2﹣n),由k﹣1>0,且2﹣n≤0,则(b k﹣na k)﹣(b1﹣na1)≤0,则b1﹣na1≥b k﹣na k,因此,对∀n∈N*,且n≥2,c n=b1﹣na1=1﹣n,c n+1﹣c n=﹣1,∴c2﹣c1=﹣1,∴c n﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立,+1∴数列{c n}是等差数列;(2)证明:设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1,d2,下面考虑的c n取值,由b1﹣a1n,b2﹣a2n,…,b n﹣a n n,考虑其中任意b i﹣a i n,(i∈N*,且1≤i≤n),则b i﹣a i n=[b1+(i﹣1)d1]﹣[a1+(i﹣1)d2]×n,=(b1﹣a1n)+(i﹣1)(d2﹣d1×n),下面分d1=0,d1>0,d1<0三种情况进行讨论,①若d1=0,则b i﹣a i n═(b1﹣a1n)+(i﹣1)d2,当若d2≤0,则(b i﹣a i n)﹣(b1﹣a1n)=(i﹣1)d2≤0,则对于给定的正整数n而言,c n=b1﹣a1n,此时c n+1﹣c n=﹣a1,∴数列{c n}是等差数列;当d2>0,(b i﹣a i n)﹣(b n﹣a n n)=(i﹣n)d2>0,则对于给定的正整数n而言,c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n,﹣c n=d2﹣a1,此时c n+1∴数列{c n}是等差数列;此时取m=1,则c1,c2,…,是等差数列,命题成立;②若d1>0,则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数,故必存在m∈N*,使得n≥m时,﹣d1n+d2<0,则当n≥m时,(b i﹣a i n)﹣(b1﹣a1n)=(i﹣1)(﹣d1n+d2)≤0,(i∈N*,1≤i≤n),因此当n≥m时,c n=b1﹣a1n,此时c n﹣c n=﹣a1,故数列{c n}从第m项开始为等差数列,命题成立;+1③若d1<0,此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数,故必存在s∈N*,使得n≥s时,﹣d1n+d2>0,则当n≥s时,(b i﹣a i n)﹣(b n﹣a n n)=(i﹣1)(﹣d1n+d2)≤0,(i∈N*,1≤i ≤n),因此,当n≥s时,c n=b n﹣a n n,此时==﹣a n+,=﹣d2n+(d1﹣a1+d2)+,令﹣d1=A>0,d1﹣a1+d2=B,b1﹣d2=C,下面证明:=An+B+对任意正整数M,存在正整数m,使得n≥m,>M,若C≥0,取m=[+1],[x]表示不大于x的最大整数,当n≥m时,≥An+B≥Am+B=A[+1]+B>A•+B=M,此时命题成立;若C<0,取m=[]+1,当n≥m时,≥An+B+≥Am+B+C>A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M,此时命题成立,因此对任意正数M,存在正整数m,使得当n≥m时,>M;综合以上三种情况,命题得证.【点评】本题考查数列的综合应用,等差数列的性质,考查与不等式的综合应用,考查“放缩法”的应用,考查学生分析问题及解决问题的能力,考查分类讨论及转化思想,考查计算能力,属于难题.23.(10分)(2017•北京)已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求和:b1+b3+b5+…+b2n﹣1.【考点】8E:数列的求和;8M:等差数列与等比数列的综合.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;54 :等差数列与等比数列.【分析】(Ⅰ)利用已知条件求出等差数列的公差,然后求{a n}的通项公式;(Ⅱ)利用已知条件求出公比,然后求解数列的和即可.【解答】解:(Ⅰ)等差数列{a n},a1=1,a2+a4=10,可得:1+d+1+3d=10,解得d=2,所以{a n}的通项公式:a n=1+(n﹣1)×2=2n﹣1.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得a5=a1+4d=9,等比数列{b n}满足b1=1,b2b4=9.可得b3=3,或﹣3(舍去)(等比数列奇数项符号相同).∴q2=3,}是等比数列,公比为3,首项为1.{b2n﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==.【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用,数列求和以及通项公式的求解,考查计算能力.24.(10分)(2017•新课标Ⅰ)记S n为等比数列{a n}的前n项和.已知S2=2,S3=﹣6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.【考点】8E:数列的求和;89:等比数列的前n项和.【专题】35 :转化思想;4R:转化法;54 :等差数列与等比数列.【分析】(1)由题意可知a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8,a1==,a2==,由a1+a2=2,列方程即可求得q及a1,根据等比数列通项公式,即可求得{a n}的通项公式;(2)由(1)可知.利用等比数列前n项和公式,即可求得S n,分别求得S n+1,S n+2,显然S n+1+S n+2=2S n,则S n+1,S n,S n+2成等差数列.。
人教版B版高中数学必修5等差数列
已知1a,1b,1c成等差数列,求证:b+a c,a+b c,a+c b也 成等差数列.
【思路点拨】 只要证明b+a c+a+c b=2ab+c,而已知条
件为1a+1c=2b,因此,这其实就是一个条件等式的证明问题.
【证明】 ∵1a,1b,1c为等差数列, ∴2b=1a+1c,即 2ac=b(a+c). ∵b+a c+a+c b=cb+c+acaa+b=c2+a2+acba+c =a2+ca2c+2ac=2baa++cc2=2ab+c. ∴b+a c,a+b c,a+c b为等差数列.
【解析】 设数列{an}的公差为 d,由题意知:
a1+4d=11 a1+7d=5
,解得ad1==-192
,
故 an=19+(n-1)×(-2)=-2n+21. ∴a10=-2×10+21=1.
在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素;有 关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均
【解析】 (1)数列{ an}是等差数列,理由如下: 由 an+1- an+1=an+ an得 an+1-an= an+1+ an, 即( an+1+ an)( an+1- an) = an+1+ an. 由于 an>0,故 an+1+ an>0, ∴ an+1- an=1 即数列{ an}是首项为 a1=1,公差为 1 的等差数列.
(1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含义:其一, 第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻 合;其二,定义中包括首项这一基本量,且必须从第2项起保 证使数列中各项均与其前面一项作差.
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求, 它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面的项减 前面的项;其二是强调这两项必须相邻.
高中数学新人教B版必修5课件:第一章解三角形1.2应用举例
面内),求两目标A,B之间的距离.
分析:要求出A,B之间的距离,可在△ABC(或△ADB)中去找关系,
但不管在哪个三角形中,AC,BC这些量都是未知的,需要在三角形中
找出合适的关系式,求出它们的值,然后解斜三角形即可.
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,
,
∴a=CD=BC-BD=tan ∠ − tan ∠ .
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D典例透析 S随堂演练
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IANLITOUXI
UITANGLIANXI
∴a=CD=BC-BD=tan ∠ − tan ∠ .
∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC=
180°-80°
2
=50°.
∴∠ABG=180°-∠CBH-∠CBA=180°-120°-50°=10°.故选B.
答案:B
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2.三角形中的有关公式和结论
(1)直角三角形中各元素间的关系.
在△ABC中,若∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,则有:
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(2)斜三角形中各元素间的关系.
在△ABC中,若∠A,∠B,∠C为其内角,a,b,c分别表示∠A, ∠B,
新教材人教B版高中数学选择性必修第一册各章综合测验及模块测验含答案解析
人教B 选择性必修第一册综合测验第一章 空间向量与立体几何............................................................................................ 1 第二章 平面解析几何 .................................................................................................... 15 模块综合测验 . (28)第一章 空间向量与立体几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是( ) A.有相同起点的向量 B .等长的向量C.共面向量 D .不共面向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 显然不是有相同起点的向量,A 不正确; 由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量,B 不正确. 又∵AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,C 正确,D 不正确. 2.已知a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),则下列结论正确的是( ) A.a ∥c ,b ∥c B.a ∥b ,a ⊥c C.a ∥c ,a ⊥b D.以上都不对a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),∴a ·b =-4+0+4=0,∴a ⊥b .∵-4-2=-6-3=21,∴a ∥c .3.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .4.如图所示,已知空间四边形ABCD ,连接AC ,BD.M ,G 分别是BC ,CD 的中点,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.GA ⃗⃗⃗⃗⃗C.AG ⃗⃗⃗⃗⃗D.MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗M ,G 分别是BC ,CD 的中点,∴12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AG⃗⃗⃗⃗⃗ . 5.在四棱锥P-ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2,3),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,1,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h 等于 ( )A.1 B .2C.13D .26ABCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{4x -2y +3z =0,-4x +y =0.不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n =(3,12,4), 四棱锥的高h=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=2613=2.6.已知两不重合的平面α与平面ABC ,若平面α的法向量为n 1=(2,-3,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),则( ) A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC 相交但不垂直D.以上均有可能,n 1·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,得n 1⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×1+1×1=0,得n 1⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以n 1⊥平面ABC ,所以平面α的法向量与平面ABC 的法向量共线,则平面α∥平面ABC.7.直线AB 与直二面角α-l-β的两个面分别交于A ,B 两点,且A ,B 都不在棱l 上,设直线AB 与α,β所成的角分别为θ和φ,则θ+φ的取值范围是( ) A.0°<θ+φ<90° B.0°<θ+φ≤90° C.90°<θ+φ<180° D.θ+φ=90°,分别过点A ,B 向平面β,α作垂线,垂足为A 1,B 1,连接BA 1,AB 1.由已知α⊥β,所以AA 1⊥β,BB 1⊥α,因此∠BAB 1=θ,∠ABA 1=φ.由最小角定理得∠BAA 1≥θ,而∠BAA 1+φ=90°,故θ+φ=θ+90°-∠BAA 1≤90°,当AB ⊥l 时,θ+φ=90°,应选B .8.长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}中元素的个数为( )A.1 B .2 C .3 D .4长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,∴建立如图的空间直角坐标系, 则A 1(1,1,0),A 2(0,1,0),A 3(0,0,0),A 4(1,0,0), B 1(1,1,2),B 2(0,1,2),B 3(0,0,2),B 4(1,0,2), 则A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),与A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)相等的向量为A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 4B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2)相等的向量为A 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)相等的向量为A 3B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4,与A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)相等的向量为A 3B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,与A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2)相等的向量为A 4B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,体对角线向量为A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2),此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3, A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,综上集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}={3,4,5},集合中元素的个数为3个.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.设向量a ,b ,c 可构成空间一个基底,下列选项中正确的是( ) A.若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥cB.则a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z cD.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底a,b,c是空间一个基底,知:在A中,若a⊥b,b⊥c,则a与c相交或平行,故A错误;在B中,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;在C中,对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z c,故C正确;在D中,a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底,故D正确.10.已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是()A.(a·b)c=b·cB.(a+b)·c=a·(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;B.左边=(4,2,2)·(-1,5,-3)=0,右边=(1,2,3)·(2,5,-4)=2+10-12=0,∴左边=右边,因此正确.C.a+b+c=(3,7,-1),左边=32+72+(-1)2=59,右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,∴左边=右边,因此正确.D.由C可得左边=√59,∵a-b-c=(-1,-3,7),∴|a-b-c|=√59,∴左边=右边,因此正确.故BCD正确.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AB,CC1,A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是 ()A.A1E⊥AC1B.BF∥平面ADD1A1C.BF⊥DGD.A1E∥CH解析设正方体的棱长为1,以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(1,0,1),E (1,12,0),C (0,1,0),F (0,1,12),C 1(0,1,1),H 0,12,1,G (12,0,1),A (1,0,0),B (1,1,0),D (0,0,0),则A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,-1),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,12),DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,1),CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-12,1), 所以A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,所以A 1E 与AC 1不垂直,故A 错误; 显然平面ADD 1A 1的一个法向量v =(0,1,0), 有BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·v =0,所以BF ∥平面ADD 1A 1,故B 正确; BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以BF ⊥DG ,故C 正确; A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-CH⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以A 1E ∥CH ,故D 正确. 12.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ,有如下四个结论:①AC ⊥BD ;②△ACD 是等边三角形;③AB 与平面BCD 所成的角为60°;④AB 与CD 所成的角为60°.其中正确的结论有( ) A.① B.②C.③D.④,建立空间直角坐标系Oxyz ,设正方形ABCD 的边长为√2,则D (1,0,0),B (-1,0,0),C (0,0,1),A (0,1,0),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故AC ⊥BD ,①正确.又|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2, 所以△ACD 为等边三角形,②正确. 对于③,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BCD 的一个法向量, cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√1=√2=-√22.因为直线与平面所成的角∈[0°,90°],所以AB 与平面BCD 所成的角为45°,故③错误.又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√2=-12,因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB 与CD 所成的角为60°,故④正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在棱长为a 的正四面体中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . -a 22a 的正四面体中,AB=BC=a ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,AC ⊥BD.∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ·a cos120°+0=-a22.14.已知a =(1,2,-y ),b =(x ,1,2),且(a +2b )∥(2a -b ),则xy= .2a +2b =(1+2x ,4,-y+4),2a -b =(2-x ,3,-2y-2),因为(a+2b )∥(2a-b ),所以存在λ∈R 使得1+2x=λ(2-x )且4=3λ且-y+4=λ(-2y-2),所以λ=43,x=12,y=-4,所以xy=-2.15.设PA ⊥Rt △ABC 所在的平面α,∠BAC=90°,PB ,PC 分别与α成45°和30°角,PA=2,则PA 与BC 的距离是 ;点P 到BC 的距离是 . √3 √7AD ⊥BC 于点D ,∵PA ⊥面ABC ,∴PA ⊥AD.∴AD 是PA 与BC 的公垂线.易得AB=2,AC=2√3,BC=4,AD=√3,连接PD ,则PD ⊥BC ,P 到BC 的距离PD=√7. 16.已知向量m =(a ,b ,0),n =(c ,d ,1),其中a 2+b 2=c 2+d 2=1,现有以下命题:①向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值(即与c ,d 无关); ②m ·n 的最大值为√2;③<m ,n >(m ,n 的夹角)的最大值为3π4;④若定义u ×v =|u |·|v |sin <u ,v >,则|m×n |的最大值为√2. 其中正确的命题有 .(写出所有正确命题的序号)取z 轴的正方向单位向量a =(0,0,1),则cos <n ,a >=n ·a|n ||a |=√c 2+d 2+12×1=√2=√22,∴向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值π4,命题正确;②m ·n =ac+bd ≤a 2+c 22+b 2+d 22=a 2+c 2+b 2+d 22=1+12=1,当且仅当a=c ,b=d 时取等号,因此m ·n 的最大值为1,命题错误;③由②可得|m ·n |≤1,∴-1≤m ·n ≤1, ∴cos <m ,n >=m ·n|m ||n | =√a 2+b 2·√c 2+d 2+12≥-1×√2=-√22, ∴<m ,n >的最大值是3π4,命题正确; ④由③可知:-√22≤cos <m ,n >≤√22,∴π4≤<m ,n >≤3π4,√22≤sin <m ,n >≤1,∴m×n =|m|×|n|×sin <m ,n >≤1×√2×1=√2,命题正确.综上可知,正确的命题序号是①③④.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图所示,在四棱锥M-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧棱AM 的长为3,且AM 和AB ,AD 的夹角都是60°,N 是CM 的中点,设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试以a ,b ,c 为基向量表示出向量BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,并求BN 的长.⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12[AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )] =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a+12b+12c , |BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-12a+12b+12c 2 =14(a 2+b 2+c 2-2a ·b-2a ·c+2b ·c )=174. 所以|BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√172,即BN 的长为√172.18.(12分)如图,正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面边长为√2. (1)设侧棱长为1,求证:AB 1⊥BC 1;(2)设AB 1与BC 1所成的角为π3,求侧棱的长.1=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为BB 1⊥平面ABC , 所以BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又△ABC 为正三角形,所以<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-<BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-π3=2π3. 因为AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-1+1=0, 所以AB 1⊥BC 1.(1)知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1.又|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12,所以|BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,即侧棱长为2.19.(12分)已知空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,求向量c ; (2)已知向量k a +b 与b 互相垂直,求k 的值; (3)求△ABC 的面积.∵空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2), ∵|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴c =m BC⃗⃗⃗⃗⃗ =m (2,1,-2)=(2m ,m ,-2m ), ∴|c |=√(2m )2+m 2+(-2m )2=3|m|=3,∴m=±1,∴c =(2,1,-2)或c =(-2,-1,2). (2)由题得a =(-1,-1,0),b =(1,0,-2),∴k a +b =k (-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k ,-k ,-2),∵向量k a +b 与b 互相垂直,∴(k a +b )·b =1-k+4=0,解得k=5.∴k 的值是5. (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,-2), cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√5=-√10,sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=√1-110=√10,∴S △ABC =12×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=12×√2×√5×√10=32.20.(12分)已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点.(1)用向量法证明E ,F ,G ,H 四点共面; (2)用向量法证明:BD ∥平面EFGH ;(3)设M 是EG 和FH 的交点,求证:对空间任一点O ,有OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).如图,连接BG ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 由共面向量定理的推论知E 、F 、G 、H 四点共面.(2)因为EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以EH ∥BD ,又EH ⊂平面EFGH ,BD ⊄平面EFGH , 所以BD ∥平面EFGH.(3)连接OM ,OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OG , 由(2)知EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 同理FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FG⃗⃗⃗⃗⃗ , EH ∥FG ,EH=FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )=1212(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).21.(12分)(2021全国甲,理19)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面AA 1B 1B 为正方形,AB=BC=2,E ,F 分别为AC 和CC 1的中点,D 为棱A 1B 1上的点,BF ⊥A 1B 1. (1)证明:BF ⊥DE ;(2)当B 1D 为何值时,平面BB 1C 1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小?如图,连接A 1E ,取BC 中点M ,连接B 1M ,EM.∵E ,M 分别为AC ,BC 中点, ∴EM ∥AB.又AB ∥A 1B 1,∴A 1B 1∥EM ,则点A 1,B 1,M ,E 四点共面,故DE ⊂平面A 1B 1ME.又在侧面BCC 1B 1中,△FCB ≌△MBB 1,∴∠FBM=∠MB 1B. 又∠MB 1B+∠B 1MB=90°,∴∠FBM+∠B 1MB=90°,∴BF ⊥MB 1.又BF ⊥A 1B 1,MB 1∩A 1B 1=B 1,MB 1,A 1B 1⊂平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥DE.(2)∵BF ⊥A 1B 1,∴BF ⊥AB ,∴AF 2=BF 2+AB 2=CF 2+BC 2+AB 2=9. 又AF 2=FC 2+AC 2,∴AC 2=8,则AB ⊥BC.如图,以B 为原点,BC ,BA ,BB 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则B (0,0,0),C (2,0,0),A (0,2,0),E (1,1,0),F (2,0,1).则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,t-1,2),设DB 1=t ,则D (0,t ,2),0≤t ≤2.则平面BB 1C 1C 的法向量为m =(0,1,0),设平面DEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),∴{EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x -y +z =0,-x +(t -1)y +2z =0,∴n =(1+t ,3,2-t ). 则cos <m ,n >=√(1+t )+32+(2-t )=√2t 2-2t+14.要求最小正弦值,则求最大余弦值.当t=1时二面角的余弦值最大,2时二面角正弦值最小.则B1D=1222.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平AD=1,CD=√3.面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=12(1)求证:平面PBC⊥平面PQB;(2)当PM的长为何值时,平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60°?AD,AD∥BC,Q为AD的中点,BC=12∴BC∥QD,BC=QD,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴BQ∥CD.∵∠ADC=90°,∴BC⊥BQ.∵PA=PD,AQ=QD,∴PQ⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD,∴PQ ⊥BC.又∵PQ∩BQ=Q,∴BC⊥平面PQB.∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PQB.(1)可知PQ⊥平面ABCD.如图,以Q为原点,分别以QA,QB,QP所在直线为x轴,y 轴,z轴,建立空间直角坐标系,则Q(0,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,√3),B(0,√3,0),C(-1,√3,0),∴QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,-√3), PC=√(-1)2+(√3)2+(-√3)2=√7.设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,-√3λ),且0≤λ≤1,得M (-λ,√3λ,√3−√3λ),∴QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,√3(1-λ)).设平面MBQ 的法向量为m =(x ,y ,z ),则{QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,QB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{-λx +√3λy +√3(1-λ)z =0,√3y =0.令x=√3,则y=0,z=λ1-λ,∴平面MBQ 的一个法向量为m =√3,0,λ1-λ. 设平面PDC 的法向量为n =(x',y',z'),则{DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{√3y '=0,x '+√3z '=0.令x'=3,则y'=0,z'=-√3,∴平面PDC 的一个法向量为n =(3,0,-√3).∴平面QMB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为60°, ∴cos60°=|n ·m ||n ||m |=|3√3-√3·λ1-λ|√12·√3+(λ1-λ) 2=12,∴λ=12.∴PM=12PC=√72.即当PM=√72时,平面QMB 与平面PDC 所成的角大小为60°.第二章 平面解析几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离,当θ,m 变化时,d 的最大值为 ( ) A.1 B.2C.3D.4cos 2θ+sin 2θ=1,∴P 为单位圆上一点,而直线x-my-2=0过点A (2,0),∴d 的最大值为|OA|+1=2+1=3,故选C .2.已知点P (-2,4)在抛物线y 2=2px (p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是( ) A.(0,2) B.(0,4) C.(2,0) D.(4,0)P (-2,4)在抛物线y 2=2px 的准线上,所以-p2=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).3.已知直线l 1:x cos 2α+√3y+2=0,若l 1⊥l 2,则l 2倾斜角的取值范围是( ) A.[π3,π2) B.[0,π6] C.[π3,π2] D.[π3,5π6]l 1:x cos 2α+√3y+2=0的斜率k 1=-2√3∈[-√33,0],当cos α=0时,即k 1=0时,k 不存在,此时倾斜角为12π,由l 1⊥l 2,k 1≠0时,可知直线l 2的斜率k=-1k 1≥√3,此时倾斜角的取值范围为[π3,π2).综上可得l 2倾斜角的取值范围为[π3,π2].4.(2021全国乙,文11)设B 是椭圆C :x 25+y 2=1的上顶点,点P 在C 上,则|PB|的最大值为( ) A.52 B.√6 C.√5 D.2方法一)由椭圆方程可得a=√5,b=1,故椭圆的上顶点为B (0,1).设P (x ,y ),则有x 25+y 2=1, 故x 2=5(1-y 2),由椭圆的性质可得-1≤y ≤1.则|PB|2=x 2+(y-1)2=5(1-y 2)+(y-1)2=-4y 2-2y+6=-4y 2+y2+6=-4y+142+254.因为-1≤y ≤1,所以当y=-14时,|PB|2取得最大值,且最大值为254,所以|PB|的最大值为52. (方法二)由题意可设P (√5cos θ,sin θ)(θ∈R ),又B (0,1),则|PB|2=5cos 2θ+(sin θ-1)2=5cos 2θ+sin 2θ-2sin θ+1=-4sin 2θ-2sin θ+6,于是当sin θ=-14时,|PB|2最大,此时|PB|2=-4×116-2×(-14)+6=-14+12+6=254,故|PB|的最大值为52.5.在一个平面上,机器人到与点C (3,-3)的距离为8的地方绕C 点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A (-10,0)与B (0,10)的直线的最近距离为( ) A.8√2-8 B.8√2+8C.8√2D.12√2C (3,-3)距离为8的地方绕C 点顺时针而行,在行进过程中保持与点C 的距离不变,∴机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示;∵A (-10,0)与B (0,10),∴直线AB 的方程为x-10+y10=1,即为x-y+10=0, 则圆心C 到直线AB 的距离为d=√1+1=8√2>8,∴最近距离为8√2-8.6.设P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上的点,F 1,F 2是焦点,双曲线的离心率是43,且∠F 1PF 2=90°,△F 1PF 2的面积是7,则a+b 等于( ) A.3+√7 B.9+√7C.10D.16,不妨设点P 是右支上的一点,|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则{ 12mn =7,m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2,c a =43,∴a=3,c=4.∴b=√c 2-a 2=√7.∴a+b=3+√7.7.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h ,跨径为a ,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.a 28ℎ B.a 24ℎC.a 22ℎD.a 2ℎ,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,该抛物线方程可写为x 2=-2py (p>0).∵该抛物线经过点(a2,-ℎ),代入抛物线方程可得a 24=2hp ,解得p=a 28ℎ.∴桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p=a 28ℎ.8.平面直角坐标系中,设A (-0.98,0.56),B (1.02,2.56),点M 在单位圆上,则使得△MAB 为直角三角形的点M 的个数是( ) A.1 B.2C.3D.4,如图,若△MAB为直角三角形,分3种情况讨论:①∠MAB=90°,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则k AB=2.56-0.561.02-(-0.98)=1,则k l1=-1,直线l1的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,此时原点O到直线l1的距离d=√2=21√2100<1,直线l1与单位圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M;②∠MBA=90°,则点M在过点B与AB垂直的直线上,设该直线为l2,同理可得,直线l2的方程为y-2.56=-(x-1.02),即x+y-3.58=0,此时原点O到直线l2的距离d=√2=179√2100>1,直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M;③∠AMB=90°,此时点M在以AB为直径的圆上,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为(0.02,1.56),|AB|=√4+4=2√2,则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=12|AB|=√2,此时|OC|=√(0.02)2+(1.56)2=√2.4340,则有√2-1<|OC|<√2+1,两圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M.综合可得,共有4个符合条件的点M.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2bAB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,故B正确;分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相减得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,∴x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.10.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为()A.4B.6C.3√2+1D.8y=kx-1恒过定点A(0,-1)点,当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离最大,等于AC+r,圆心坐标为(-3,3),所以为√(-3)2+(3+1)2+1=6,当直线与圆有交点时,点P到直线的距离最小为0,所以点P到直线y=kx-1距离的范围为[0,6].11.在平面直角坐标系中,曲线C上任意点P与两个定点A(-2,0)和点B(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>2P(x,y),则k PA+k PB=2,即yx+2+yx-2=2(x≠±2),整理得x2-xy=4(x≠±2),所以曲线C 是中心对称图形,不是轴对称图形,故C 正确,A 错误;由x 2-xy=4>2=x 2+y 2,所以曲线C 上所有的点都在圆x 2+y 2=2外,故B 正确; 由x 2-xy=4可知,x ∈R 且x ≠0,x ≠±2,故D 错误. 12.已知P 是椭圆E :x 28+y 24=1上一点,F 1,F 2为其左右焦点,且△F 1PF 2的面积为3,则下列说法正确的是 ( )A.P 点纵坐标为3B.∠F 1PF 2>π2C.△F 1PF 2的周长为4(√2+1)D.△F 1PF 2的内切圆半径为32(√2-1)P 点坐标为(x ,y ),S=12×2c×|y|=12×4×|y|=3,得y=32或y=-32,故A 错误;椭圆中焦点三角形面积为S=b 2tan θ2(θ为焦点三角形的顶角),S=4tan θ2=3,得tan θ2=34,则θ2<π4,∠F 1PF 2<π2,故B 错误;C △F 1PF 2=2a+2c=4(√2+1),故C 正确;设△F 1PF 2的内切圆半径为R ,12R (4√2+4)=3,得R=32(√2-1),故D 正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.经过点P (1,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 .4x 或y=x+3,分2种情况讨论:①直线经过原点,则直线l 的方程为y=4x ;②直线不经过原点,设直线方程为x-y=a ,把点P (1,4)代入可得1-4=a ,解得a=-3,即直线的方程为y=x+3.综上可得,直线的方程为y=4x 或y=x+3.14.若双曲线x 2m −y 2m -5=1的一个焦点到坐标原点的距离为3,则m 的值为 .或-2c=3,当双曲线的焦点在x 轴上时,m>5,c 2=m+m-5=9,所以m=7;当双曲线的焦点在y 轴上时,m<0,c 2=-m+5-m=9,所以m=-2.综上,m=7或m=-2.15.如图,过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线,与抛物线及其准线分别交于A ,B ,C 三点,若FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线AB 的方程为 ,|AB|= .√3(x-1)163F (1,0),准线方程为x=-1,设C (-1,m ),B (a ,b ),∵FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(-2,m )=3(a-1,b )=(3a-3,3b ),则3a-3=-2,m=3b ,即a=13,此时b 2=4×13,得b=-√43=-2√33,即m=-2√3,则C (-1,-2√3),则AB 的斜率k=2√32=√3,则直线方程为y=√3(x-1),代入y 2=4x ,得3x 2-10x+3=0,得x 1+x 2=103,即|AB|=x 1+x 2+2=103+2=163.16.已知点O (0,0),A (4,0),B (0,4).若从点P (1,0)射出的光线经直线AB 反射后过点Q (-2,0),则反射光线所在直线的方程为 ;若从点M (m ,0),m ∈(0,4)射出的光线经直线AB 反射,再经直线OB 反射后回到点M ,则光线所经过的路程是 (结果用m 表示).2y+2=0 √2m 2+32,设点P 1(a ,b )与点P (1,0)关于直线AB 对称,则P 1在反射光线所在直线上,又由A (4,0),B (0,4),则直线AB 的方程为x+y=4,则有{ba -1=1,a+12+b2=4,解得{a =4,b =3,即P 1(4,3), 反射光线所在直线的斜率k=3-04-(-2)=12, 则其方程为y-0=12(x+2),即x-2y+2=0;设点M 1(a 0,b 0)与点M 关于直线AB 对称,点M 2与M 关于y 轴对称,易得M 2(-m ,0); 线段M 1M 2的长度就是光线所经过的路程,则有{b 0a 0-m=1,m+a2+b 02=4,解得{a 0=4,b 0=4-m ,即M 1(4,4-m ),又由M 2(-m ,0),则|M 1M 2|=√(4+m )2+(4-m )2=√2m 2+32.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2,4),B (0,-5),C (10,0),线段AC 的垂直平分线为l.(1)求直线l 的方程;(2)点P 在直线l 上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P 的坐标.直线AC 的斜率为k AC =4-02-10=-12,所以直线l 的斜率为k 1=2,直线AC 的中点为(6,2),所以直线l 的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.(2)由(1)得点A 关于直线l 的对称点为点C ,所以直线BC 与直线l 的交点即为|AP|+|BP|最小的点.由B (0,-5),C (10,0)得直线BC 的方程为x10+y-5=1,即x-2y-10=0,联立方程{x -2y -10=0,2x -y -10=0,解得{x =103,y =-103,所以点P 的坐标为(103,-103). 18.(12分)已知直线l :ax-y-3a+1=0恒过定点P ,过点P 引圆C :(x-1)2+y 2=4的两条切线,设切点分别为A ,B.(1)求直线AB 的一般式方程;(2)求四边形PACB 的外接圆的标准方程.∵直线l :y-1=a (x-3).∴直线l 恒过定点P (3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A (3,0). 由圆的性质可知AB ⊥PC ,∵k PC =1-03-1=12,∴k AB =-2,所以直线AB 的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0. (2)由题意知|PC|=√(3-1)2+(1-0)2=√5.∵PA ⊥AC ,PB ⊥BC ,所以四边形PACB 的外接圆是以PC 为直径的圆,PC 的中点坐标为(2,12),所以四边形PACB 的外接圆为(x-2)2+(y -12)2=54.19.(12分)已知F 1,F 2分别是双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 是双曲线上一点,F 2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍, (1)求双曲线的渐近线方程;(2)当∠F 1PF 2=60°时,△PF 1F 2的面积为48√3,求此双曲线的方程.因为双曲线的渐近线方程为bx ±ay=0,则点F 2到渐近线距离为√b 2+a 2=b (其中c 是双曲线的半焦距),所以由题意知c+a=2b.又因为a 2+b 2=c 2,解得b=43a ,故所求双曲线的渐近线方程是4x ±3y=0.(2)因为∠F 1PF 2=60°,由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos60°=|F 1F 2|2,即|PF 1|2+|PF 2|2-|PF 1|·|PF 2|=4c 2. 又由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||=2a ,平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=4a 2,相减得|PF 1|·|PF 2|=4c 2-4a 2=4b 2.根据三角形的面积公式得S=12|PF 1|·|PF 2|sin60°=√34·4b 2=√3b 2=48√3,得b 2=48. 由(1)得a 2=916b 2=27,故所求双曲线方程是x 227−y 248=1.20.(12分)已知过抛物线x 2=2py (p>0)的焦点,斜率为√24的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值.抛物线x 2=2py 的焦点为(0,p2),所以直线AB 的方程为y=√24x+p 2, 联立{y =√24x +p2,x 2=2py ,消去x ,得4y 2-5py+p 2=0,所以y 1+y 2=5p4,由抛物线定义得|AB|=y 1+y 2+p=9,即5p4+p=9,所以p=4.所以抛物线的方程为x 2=8y. (2)由p=4知,方程4y 2-5py+p 2=0, 可化为y 2-5y+4=0,解得y 1=1,y 2=4,故x 1=-2√2,x 2=4√2. 所以A (-2√2,1),B (4√2,4).则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√2,1)+λ(4√2,4)=(-2√2+4√2λ,1+4λ).因为C 为抛物线上一点,所以(-2√2+4√2λ)2=8(1+4λ),整理得λ2-2λ=0,所以λ=0或λ=2.21.(12分)(2021全国乙,文20)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线OQ 斜率的最大值.在抛物线C 中,焦点F 到准线的距离为p ,故p=2,C 的方程为y 2=4x.(2)设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).又F (1,0),则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1),QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x 2,-y 2). 因为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x 2-x 1=9(1-x 2),y 2-y 1=-9y 2, 得x 1=10x 2-9,y 1=10y 2.又因为点P 在抛物线C 上,所以y 12=4x 1,所以(10y 2)2=4(10x 2-9), 则点Q 的轨迹方程为y 2=25x-925. 易知直线OQ 的斜率存在.设直线OQ 的方程为y=kx ,当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,斜率取得最大值、最小值.由{y =kx ,y 2=25x -925,得k 2x 2=25x-925,即k 2x 2-25x+925=0,(*)当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即(-25)2-4k 2·925=0,解得k=±13,所以直线OQ 斜率的最大值为13. 22.(12分)如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志,为美观考虑,要求图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等.已知椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)面积为S 椭圆=πab(1)求椭圆的离心率的值;(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到由点M 生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标志完成.请你建立合适的坐标系,求出点M 的轨迹方程.建立如图平面直角坐标系.设外椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),∵内外椭圆有相同的离心率且共轴,可得内椭圆长轴为b ,设内椭圆短轴长为b',焦距长为c',得ca =c 'b ,c'=bca ,b'2=b 2-c'2=b 2-b 2c2a 2=b 2(a 2-c 2)a 2=b 4a 2.∴内椭圆的方程为y 2b 2+x 2b 4a 2=1.图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等,由对称性只需S 外=3S 内,即πab=3πb ·b 2a 得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2),故e=√63.(2)同(1)建立如图平面直角坐标系,由于外椭圆长轴为6,∴a=3,又e=√63,∴c=√6,b 2=3. 则外椭圆方程为x 29+y 23=1.设点M (x 0,y 0),切线方程为y-y 0=k (x-x 0),代入椭圆方程得,(1+3k 2)x 2+6k (y 0-kx 0)x+3(y 0-kx 0)2-9=0.∴Δ=36k 2(y 0-kx 0)2-4(1+3k 2)[3(y 0-kx 0)2-9]=0.化简得(x 0-9)k 2-2x 0y 0k+y 02-3=0.∵两条切线互相垂直,∴k 1k 2=-1,即y 02-3x 02-9=-1,即x 02+y 02=12(x 0≠±3).当两切线与坐标轴垂直时,四点(3,±√3),(-3,±√3)也满足方程,∴轨迹方程为x 2+y 2=12.模块综合测验一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件两直线平行,∴斜率相等.即可得ab=4,又因为不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,故“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的必要不充分条件.2.如图,四面体S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,则SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SC ⃗⃗⃗⃗B.23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ C.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SC ⃗⃗⃗⃗ D.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,∴SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA⃗⃗⃗⃗⃗ +13×12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(SC ⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(SB ⃗⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ .3.圆P :(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q 的标准方程是( ) A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y-5)2=1 C.(x-2)2+(y+5)2=1 D.(x-4)2+(y+3)2=1P :(x+3)2+(y-4)2=1,圆心(-3,4),半径1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a ,b ),则{a -32+b+42-2=0,b -4a+3=1,解得{a =-2,b =5,所求圆Q 的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.(2021新高考Ⅰ,5)已知F 1,F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( ) A.13 B.12 C.9 D.6|MF 1|+|MF 2|=2a=6,则√|MF 1|·|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|2=3,则|MF 1|·|MF 2|≤9,当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时,等号成立. 故|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.故选C .5.坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,若点Q (-1,-1),那么|PQ|的取值范围为( ) A.[√2,3√2] B.[√2,2√2] C.[2√2,3√2] D.[1,3√2]mx+ny-2m-2n=0,可化为m (x-2)+n (y-2)=0,故直线过定点M (2,2),坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,故∠OPM=90°,所以P 在以OM 为直径的圆上,圆的圆心N为(1,1),半径为√2,根据点与圆的关系,|NQ|=√(1+1)2+(1+1)2=2√2, 故√2=2√2−√2≤|PQ|≤√2+2√2=3√2.6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cmxOy,如图所示,设对应抛物线的标准方程为y2=2px,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p×10,得p=5,=2.5,即焦点坐标为(2.5,0),则p2则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm.7.如图,四棱锥S-ABCD 中,底面是正方形,各棱长都相等,记直线SA 与直线AD 所成角为α,直线SA 与平面ABCD 所成角为β,二面角S-AB-C 的平面角为γ,则( ) A.α>β>γ B.γ>α>β C.α>γ>β D.γ>β>αAC ,BD ,交于点O ,连接OS ,则OA ,OB ,OS 两两垂直,以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OS 为z 轴,建立空间直角坐标系,设|AB|=2,则S (0,0,√2),A (√2,0,0),D (0,-√2,0),B (0,√2,0),SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,-√2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-√2,0),SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√2),cos α=|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SA⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4×√4=12,平面ABCD 的法向量n =(0,0,1),cos β=|n ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |·|SA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√4=√22,设平面SAB 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x -√2z =0,m ·SB⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y -√2z =0,取x=1,得m =(1,1,1),cos γ=|m ·n ||m |·|n |=√3=√33,∵cos α<cos γ<cos β,∴α>γ>β.8.设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|,则C 的离心率为( ) A.√5 B.√3 C.2 D.√2|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO|=a.在Rt △POF 2中,cos ∠PF 2O=|PF 2||OF 2|=bc ,∵在△PF 1F 2中,cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2-(√6a )22b ·2c=bc ⇒c 2=3a 2,∴e=√3.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.(2021新高考Ⅰ,11)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A (4,0),B (0,2),则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2 C.当∠PBA 最小时,|PB|=3√2 D.当∠PBA 最大时,|PB|=3√2,记圆心为M ,半径为r ,则M (5,5),r=4.由条件得,直线AB 的方程为x4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M 作MN 垂直于直线AB ,垂足为N ,直线MN 与圆M 分别交于点P 1,P 2,圆心M (5,5)到直线AB 的距离|MN|=√12+22=√5,于是点P 到直线AB 的距离最小值为|P 2N|=|MN|-r=√5-4,最大值为|P 1N|=|MN|+r=√5+4.又√5-4<2,√5+4<10,故A 正确,B 错误;过点B 分别作圆的两条切线BP 3,BP 4,切点分别为点P 3,P 4,则当点P 在P 3处时∠PBA 最大,在P 4处时∠PBA 最小.又|BP 3|=|BP 4|=√|BM |2-r 2=√52+(5-2)2-42=3√2,故C,D 正确.故选A,C,D .10.若a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,则λ的值为( ) A.17 B.-17 C.-1 D.1a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,∴cos120°=a ·b|a |·|b |=√5+λ2·√6,解得λ=-1或λ=17.11.已知P是椭圆C:x 26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则()A.C的焦距为√5B.C的离心率为√306C.圆D在C的内部D.|PQ|的最小值为2√55c=√6-1=√5,则C的焦距为2√5,e=√5√6=√306.设P(x,y)(-√6≤x≤√6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x 26=56(x+65)2+45≥45>15,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为√45−√15=√55.12.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.(14,-1,12)C.(-14,1,-12) D.(0,-1,1),所研究平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 而PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),选项A,(2,1,1)·(1,-4,2)=0,(0,2,4)·(1,-4,2)=0满足垂直,故正确;选项B,(2,1,1)·(14,-1,12)=0,(0,2,4)·(14,-1,12)=0满足垂直,故正确;选项C,(2,1,1)·(-14,1,-12)=0,(0,2,4)·(-14,1,-12)=0满足垂直,故正确;选项D,(2,1,1)·(0,-1,1)=0,但(0,2,4)·(0,-1,1)≠0,故错误.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,√2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l的斜率k=.。
优化方案·高中同步测试卷·人教B数学必修5:高中同步测试卷(五)-Word版含答案
高中同步测试卷(五)单元检测 数列的概念及表示方法和等差数列(时间:100分钟,满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法中不正确的是( ) A .数列a ,a ,a ,…是无穷数列B .数列{f(n)}就是定义在正整数集N *上或它的有限子集{1,2,3,…,n }上的函数值C .数列0,-1,-2,-3,…不一定是递减数列D .已知数列{a n },则{a n +1-a n }也是一个数列2.在数列1,1,2,3,5,8,x ,21,34,55中,x 等于( ) A .11 B .12 C .13D .14 3.已知等差数列{a n }中各项都不相等,a 1=2,且a 4+a 8=a 23,则d =( )A .0 B.12 C .2D .0或124.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若2a 6=a 8+6,则S 7=( ) A .49 B .42 C .35 D .285.已知f (x )为偶函数,且f (2+x )=f (2-x ),当-2≤x ≤0时,f (x )=2x ,若n ∈N *,a n =f (n ),则a 2 013=( )A .2B .4 C.12D .146.把70个面包分五份给5个人,使每人所得的面包个数成等差数列,且使较大的三份之和的16是较小的两份之和,问最小的一份面包的个数为( ) A .2 B .8 C .14 D .20 7.已知在数列{a n }中,a 1=1,对n ≥2且n ∈N *都有a 1a 2·…·a n =2n ,则a 2a 3=( )A .2B .4C .6D .88.已知数列{a n }是等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,{a n }的前n 项和为S n ,则使得S n 达到最大的n 是( )A .18B .19C .20D .21 9.已知数列{a n }的通项公式是a n =n 2+kn +2,若对于n ∈N *,都有a n +1>a n 成立,则实数k的取值范围是( )A .(0,+∞)B .(-1,+∞)C .(-2,+∞)D .(-3,+∞)10.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知(a1 006-1)3+2 013(a1 006-1)=1,(a1 008-1)3+2 013(a1 008-1)=-1,则()A.S2 013=2 013,a1 008>a1 006B.S2 013=2 013,a1 008<a1 006C.S2 013=-2 013,a1 008>a1 006D.S2 013=-2 013,a1 008<a1 006二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)11.已知数列2,7,10,13,4,…,3n+1,…,则210是它的第________项.12.已知数列{a n}满足a1=0,a n+1=a n-33a n+1(n∈N*),则a20=________.13.已知等差数列的前三项依次是m,6m,m+10,则这个等差数列的第10项是________.14.等差数列{a n}中,a5+a6=4,则log2(2a1·2a2·…·2a10)=________.三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.(本小题满分10分)在数列{a n}中,a1=2,点(a n,a n+1)在函数f(x)=2x1+x的图象上.(1)求a2,a3,a4的值;(2)猜想数列{a n}的一个通项公式.16.(本小题满分10分)已知数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1a n=n.(1)求a n;(2)设a n=2λ-1,试求λ的取值范围.17.(本小题满分10分)设等差数列的前n项和为S n.已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范围;(2)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大,并说明理由.18.(本小题满分10分)已知函数f(x)满足ax·f(x)=b+f(x)(ab≠0),f(1)=2,且f(x+2)=-f(2-x)对定义域上任意x都成立.(1)求函数f(x)的解析式;(2)正项数列{a n}的前n项和为S n,满足S n=14[3-2f(a n)]2,求证:数列{a n}是等差数列.附加题19.(本小题满分10分)已知数列{a n}满足:a1=2t,t2-2a n-1t+a n-1a n=0,n=2,3,4…(其中t为常数,且t≠0).求数列{a n}的通项公式.20.(本小题满分10分)国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款(既无利息贷款),旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费,每一年度申请总额规定不超过6 000元.某大学2013届毕业生王某在本科期间共申请了24 000元助学贷款,并承诺在毕业后3年内(按36个月计)全部还清.工作后,王某计划前12个月每个月还款额为500元,第13个月开始,每月还款额比前一月多x元.(1)用x和n表示王某第n个月的还款额a n元;(2)若王某恰好在第36个月(即毕业后三年)还清贷款,求x的值.参考答案与解析1.[导学号99450080]【解析】选B.A,D显然正确;对于B,因为数列{f(n)}是定义在正整数集N*上或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的函数a n=f(n),当自变量从小到大依次取值时,对应的是一列函数值,所以B项不正确;对于C,数列只给出前四项,后面的项不确定,所以不一定是递减数列.2.[导学号99450081]【解析】选C.从第三项起,每一项都等于前面连续两项的和即a n+a n +1=a n+2,所以x=5+8=13.3.[导学号99450082]【解析】选B.由已知得a1+3d+a1+7d=(a1+2d)2,即2a1+10d=a21+4a1d+4d2.又a1=2,∴4d2-2d=0,∴2d(2d-1)=0,∴d=0或d=1 2.又∵{a n }中各项都不相等,∴d =12.4.[导学号99450083] 【解析】选B.因为数列{a n }是等差数列,所以2a 6=a 4+a 8=a 8+6, 所以a 4=6,所以S 7=7(a 1+a 7)2=7×2a 42=7·a 4=7×6=42.5.[导学号99450084] 【解析】选C.因为f (2+x )=f (2-x ), 所以f (4+x )=f (-x ). 又因为f (x )为偶函数, 所以f (4+x )=f (-x )=f (x ). 所以a 2 013=f (2 013)=f (4×503+1)=f (1)=f (-1)=2-1=12.6.[导学号99450085] 【解析】选A.设等差数列为{a n },首项为a 1,公差为d >0,则有⎩⎨⎧16(a 3+a 4+a 5)=a 1+a 2,5a 1+5×42×d =70,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,d =6.7.[导学号99450086] 【解析】选D.∵a 1·a 2·…·a n =2n (n ≥2),∴a 1·a 2=22=4,∴a 2=4.又a 1·a 2·a 3=23,∴a 3=2,∴a 2·a 3=8.8.[导学号99450087] 【解析】选C.由a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,两式相减得3d =-6,即d =-2.又a 1+a 3+a 5=105,∴a 1=39,∴S n =39n -n (n -1)=-(n -20)2+400,∴当n =20时,S n 有最大值400,故选C. 9.[导学号99450088] 【解析】选D.由a n +1>a n , 得(n +1)2+k (n +1)+2>n 2+kn +2, 所以k >-(2n +1).因为当n =1时,-(2n +1)取得最大值-3, 只要k >-3,则都有a n +1>a n .10.[导学号99450089] 【解析】选B.∵(a 1 006-1)3+2 013(a 1 006-1)=1且(a 1 008-1)3+2 013(a 1008-1)=-1,∴a 1 006-1与1-a 1 008是方程x 3+2 013x -1=0的两根.设f (x )=x 3+2 013x -1,则f (x )是单调递增函数,∴a 1 006-1=1-a 1 008,即a 1 006+a 1 008=2, ∴S 2 013=2 013(a 1+a 2 013)2=2 013(a 1 006+a 1 008)2=2 013.又(a 1 006-1)3+2 013(a 1 006-1)=(a 1 006-1)[(a 1 006-1)2+2 013]=1>0,∴a 1 006-1>0,即a 1 006>1,同理可得a 1 008<1,即a 1 006>a 1 008,故选B. 11.[导学号99450090] 【解析】由3n +1=210,得3n +1=40, 所以n =393=13. 【答案】1312.[导学号99450091] 【解析】由a 1=0,a n +1=a n -33a n +1(n ∈N *)知:a 2=a 1-33a 1+1=-3,a3=a2-33a2+1=3,a4=a3-33a3+1=0,…,每3项一循环,故a20=a6×3+2=a2=- 3.【答案】- 313.[导学号99450092]【解析】由已知得12m=2m+10,所以m=1,故a1=1,a2=6,a3=11,所以d=5,所以a n=a1+(n-1)d=1+5(n-1)=5n-4,所以a10=5×10-4=46.【答案】4614.[导学号99450093]【解析】log2(2a1·2a2·…·2a10)=log22a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10=10(a1+a10)2=10×(a5+a6)2=10×42=20.【答案】2015.[导学号99450094]【解】(1)∵(a n,a n+1)在函数f(x)=2x1+x的图象上,∴a n+1=2·a n1+a n. ∵a1=2,∴a2=43,a3=87,a4=1615.(2)由a1=2=21,a2=43,a3=87,a4=1615,猜想得a n=2n2n-1.16.[导学号99450095]【解】(1)由递推关系式知a1=1,a1+3a2+32a3+…+3n-1a n=n,当n≥2时,a1+3a2+32a3+…+3n-2a n-1=n-1,两式相减得:3n-1a n=n-(n-1)=1,故a n=13n-1,当n=1时a1=1也符合此式.所以a n=13n-1(n∈N*).(2)由(1)知,数列{a n}为递减数列,0<a n≤a1=1,即0<2λ-1≤1,解得12<λ≤1,即λ的取值范围为(12,1].17.[导学号99450096]【解】(1)依题意⎩⎨⎧S12=12a1+12×112d>0,S13=13a1+13×122d<0,即⎩⎪⎨⎪⎧2a1+11d>0,a1+6d<0.①②由a 3=12,得a 1+2d =12.③把③分别代入①②,得⎩⎪⎨⎪⎧24+7d >0,3+d <0,解得-247<d <-3,即公差d 的取值范围是(-247,-3). (2)法一:由d <0可知{a n }是递减数列, 因此若在1≤n ≤12中, 使a n >0且a n +1<0,则S n 最大. 由于S 12=6(a 6+a 7)>0,S 13=13a 7<0, 可得a 6>-a 7>0,a 7<0,故在S 1,S 2,…,S 12中S 6的值最大. 法二:S n =na 1+n (n -1)2d =n (12-2d )+n (n -1)2d =d 2⎣⎡⎦⎤n -12⎝⎛⎭⎫5-24d 2-d 2⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫5-24d 2, 因为d <0,所以⎣⎡⎦⎤n -12⎝⎛⎭⎫5-24d 2最小时,S n 最大. 因为-247<d <-3,6<12⎝⎛⎭⎫5-24d <132, 所以当n =6时,⎣⎡⎦⎤n -12⎝⎛⎭⎫5-24d 2最小,S 6最大. 18.[导学号99450097] 【解】(1)由ax ·f (x )=b +f (x )(ab ≠0), 得f (x )(ax -1)=b ,若ax -1=0,则b =0,不合题意, 故ax -1≠0,∴f (x )=bax -1. f (1)=ba -1=2,得2a -2=b .① 由f (x +2)=-f (2-x )对定义域上任意x 都成立, 得b a (x +2)-1=-ba (2-x )-1,解得a =12,②把②代入①,可得b =-1,∴f (x )=-112x -1=22-x (x ≠2).(2)证明:由(1)得f (a n )=22-a n, 又S n =14[3-2f (a n )]2,∴S n =14(a n +1)2,∴a 1=14(a 1+1)2,∴a 1=1.当n ≥2时,S n -1=14(a n -1+1)2,∴a n =S n -S n -1=14(a 2n-a 2n -1+2a n -2a n -1),∴(a n +a n -1)(a n -a n-1-2)=0.∵a n >0,∴a n -a n -1-2=0,即a n -a n -1=2,∴数列{a n }是等差数列. 19.[导学号99450098] 【解】∵t 2-2a n -1t +a n -1a n =0, ∴(t 2-a n -1t )-(a n -1t -a n -1a n )=0,∴t (a n -1-t )=a n -1(a n -t ). 由a 1-t ≠0知a n -t ≠0, ∴1a n -t =a n -1t (a n -1-t )=a n -1-t +t t (a n -1-t )=1t +1a n -1-t, 即1a n -t -1a n -1-t =1t ,n =2,3,4,…,t ≠0.∴数列{1a n -t }为等差数列,公差为1t ,∴1a n -t=1a 1-t +1t(n -1)=n t ,∴a n =t +t n =(n +1)tn .20.[导学号99450099] 【解】(1)由题意得,a n =⎩⎪⎨⎪⎧500(1≤n ≤12,n ∈N *)500+(n -12)x (13≤n ≤36,n ∈N *). (2)由已知,每个月的还款额为a n ,从第13个月开始,还款额构成等差数列,其中a 13=500+x ,公差为x .从而,到第36个月, 王某共还款12×500+24a 13+24×(24-1)2x .令12×500+(500+x )×24+24×(24-1)2x =24 000,解得x =20(元),即要在三年全部还清,第13个月起每个月必须比上一个月多还20元.。
高中数学人教新课标B版必修2--《2.2.3两条直线的位置关系》课件2
H
E
2 2 3D
A
23
G
F C
B
(2) ∵BF∥AE
∴∠FBG(或其补角)为所求,
Rt△BFG中,求得∠FBG = 60 o
巩固提例高:1.空间四边形 ABCD 中, AD BC 2 , E, F 分别是 AB,CD 的中点, EF 3 , 求异面直线 AD, BC 所成的角。
2
2
在 EGF 中,cos EGF EG2 FG2 EF 2 1 ,∴ EGF 120 ,
2EG FG
2
∵两异面直线所成角的范围是:00,900
∴异面直线 AD, BC 所成的角为60
作角
证角
算角
答角
小结:
1. 异面直线的定义 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线.
相交直线
2. 空间两直线的位置关系
平行直线 异面直线
3. 异面直线的画法 辅助平面衬托法
4. 异面直线所成的角 平移,转化为相交直线所成的角 5. 公理4: 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.
6. 等角定理:空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相
等或互补.
7. 计算异面直线所成的角
补充练习
450 。
D
(3)
直线
AB, BC,CD, DA, AB,
BC,CD, DA 与直线AAA
都垂直.
C' B'
C B
课堂反馈
1.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB =2 3 , AD = 2 3 , AE = 2
高中数学 本册综合测试题(B)新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学试题
本册综合测试题(B)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014~2015学年度某某德阳五中高一上学期月考)若集合A ={x |1<x <2},B ={x |x >a },满足A ⊆B ,则实数a 的取值X 围是( )A .a ≤1B .a <1C .a ≥1D .a ≤2[答案] A[解析] 将集合A 、B 分别表示在数轴上,如图所示.∵A ⊆B ,∴a ≤1.2.(2014~2015学年度某某市第一中学高一上学期期中测试)函数g (x )=2x+5x 的零点所在的一个区间是( )A .(0,1)B .(-1,0)C .(1,2)D .(-2,-1)[答案] B[解析] g (-1)=12-5<0,g (0)=20=1>0,故选B .3.已知f (x 2)=ln x ,则f (3)的值是( ) A .ln3 B .ln8 C .12ln3 D .-3ln2[答案] C[解析] 设x 2=t ,∵x >0,x =t , ∴f (t )=ln t =12ln t ,∴f (x )=12ln x ,∴f (3)=12ln3.4.(2014~2015学年度某某某某中学高一上学期月考)设f (x )是定义在R 上的偶函数,且x >0时,f (x )=x 2+1,则f (-2)=( )A .-5B .5C .3D .-3[答案] B[解析] ∵x >0时,f (x )=x 2+1,∴f (2)=5. 又∵f (x )是定义在R 上的偶函数,∴f (-2)=f (2)=5.5.若m =(2+3)-1,n =(2-3)-1,则(m +1)-2+(n +1)-2的值是( ) A .1 B .14 C .22D .23[答案] D[解析] ∵m =(2+3)-1=2-3,n =(2-3)-1=2+ 3.∴(m +1)-2+(n +1)-2=(3-3)-2+(3+3)-2=3+32+3-323-323+32=2436=23. 6.函数f (x )=x 2-5x +6x -2的定义域是( )A .{x |2<x <3}B .{x |x <2或x >3}C .{x |x ≤2或x ≥3}D .{x |x <2或x ≥3}[答案] D[解析] 解法一:验证排除法:x =3时,函数f (x )有意义,排除A 、B ;x =2时,函数f (x )无意义,排除C ,故选D .解法二:要使函数有意义,应满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2-5x +6≥0x -2≠0,解得x <2或x ≥3,故选D .7.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:已知二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过(1,0),…,求证这个二次函数的图象关于直线x =2对称.根据已知信息,题中二次函数图象不具有的性质是( ) A .过点(3,0) B .顶点(2,-2) C .在x 轴上截线段长是2 D .与y 轴交点是(0,3) [答案] B[解析] ∵二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点(1,0), ∴1+b +c =0,又二次函数的图象关于直线x =2对称,∴b =-4,∴c =3.∴y =x 2-4x +3,其顶点坐标为(2,-1),故选B .8.(2015·某某文,3)设a =0.60.6,b =0.61.5,c =1.50.6,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A .a <b <c B .a <c <b C .b <a <c D .b <c <a[答案] C[解析] ∵c =1.50.6>1,0<b =0.61.5<0.60.6=a <1,∴b <a <c .9.(2014~2015学年度某某某某市金台区高一上学期期中测试)若lg a +lg b =0(a ≠1,b ≠1),则函数f (x )=a x 与g (x )=b x 的图象( )A .关于直线y =x 对称B .关于x 轴对称C .关于y 轴对称D .关于原点对称[答案] C[解析] ∵lg a +lg b =0,∴lg ab =0,∴ab =1,∴b =1a.∴f (x )=a x 与g (x )=b x=⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 的图象关于y 轴对称.10.函数f (x )=log 2(-x 2+1)的单调递增区间为( )A .(-∞,0)B .(0,+∞)C .(-1,0]D .[0,1)[答案] C[解析] 由-x 2+1>0,得-1<x <1.令u =-x 2+1(-1<x <1)的单调递增区间为(-1,0], 又y =log2u 为增函数,∴函数f (x )的单调递增区间为(-1,0].11.(2015·某某理,10)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x -1x <12xx ≥1,则满足f (f (a ))=2f (a )的a 的取值X 围是( )A .[23,1]B .[0,1]C .[23,+∞)D .[1,+∞)[答案] C[解析] 由f (f (a ))=2f (a )可得f (a )≥1,故有⎩⎪⎨⎪⎧a <13a -1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12a≥1,二者取并集即得a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23,+∞,故选C . 12.已知某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y =0.1x 2-11x +3 000,每台产品的售价为25万元,则生产者为获得最大利润,产量x 应定为( )A .55台B .120台C .150台D .180台[答案] D[解析] 设利润为S ,由题意得,S =25x -y =25x -0.1x 2+11x -3 000=-0.1x 2+36x -3 000=-0.1 (x -180)2+240, ∴当产量x =180台时,生产者获得最大利润,故选D .二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,将正确答案填在题中横线上) 13.(2014~2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)已知f (x )=x 22-x+(3x +1)0,则函数f (x )的定义域为________________.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,2 [解析] 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧2-x >03x +1≠0,∴x <2,且x ≠-13,故函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,2.14.(2014~2015学年度某某南开中学高一上学期期中测试)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1x <1-2x +3x ≥1,则f [f (2)]=____.[答案] 2[解析] f (2)=-4+3=1,f (-1)=(-1)2+1=2, ∴f [f (2)]=f (-1)=2.15.(2014~2015学年度某某一中高一上学期期中测试)函数y =x 2+1,x ∈[-1,2]的值域为__________.[答案] [1,5][解析] ∵x ∈[-1,2],∴当x =0时,y min =1,当x =2时,y max =5. ∴函数y =x 2+1,x ∈[-1,2]的值域为[1,5].16.设M 、N 是非空集合,定义M ⊙N ={x |x ∈M ∪N 且x ∉M ∩N }.已知M ={x |y =2x -x 2},N ={y |y =2x ,x >0},则M ⊙N 等于________.[答案] {x |0≤x ≤1或x >2}[解析] ∵M ={x |2x -x 2≥0}={x |0≤x ≤2},N ={y |y >1},∴M ∩N ={x |1<y ≤2},M ∪N ={x |x ≥0}, ∴M ⊙N ={x |0≤x ≤1或x >2}.三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)(2014~2015学年度某某某某市十三校高一上学期期中测试)已知非空集合A ={x |2a -2<x <a },B ={x |x ≤1或x ≥2},且A ∩B =A ,某某数a 的取值X 围.[解析] ∵A ∩B =A ,∴A ⊆B . ∴当A =∅时,2a -2≥a ,∴a ≥2.当A ≠∅时,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a -2<a a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a -2<a2a -2≥2,解得a ≤1.综上可知,实数a 的取值X 围是a ≤1或a ≥2.18.(本小题满分12分)(2014~2015学年度某某某某中学高一上学期期中测试)计算下列各式的值:(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412 -(-9.6)0-⎝ ⎛⎭⎪⎫33823 +(1.5)2+(2×43)4; (2)lg 25+lg2×lg500-12lg 125-log 29×log 32.[解析] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412 -(-9.6)0-⎝ ⎛⎭⎪⎫33823 +(1.5)2+(2×43)4=⎝ ⎛⎭⎪⎫9412 -(-9.6)0-⎝ ⎛⎭⎪⎫27823 +⎝ ⎛⎭⎪⎫322+⎝ ⎛⎭⎪⎫212×3144=32-1-94+94+12=252. (2)lg 25+lg2×lg500-12lg 125-log 29×l og 32=lg 25+lg2(2+lg5)-lg 15-lg9lg2×lg2lg3=lg5(lg2+lg5)+lg4+lg5-2 =lg100-2=2-2=0.19.(本小题满分12分)(2014~2015学年度某某省实验中学高一月考)已知二次函数f (x )=2kx 2-2x -3k -2,x ∈[-5,5].(1)当k =1时,求函数f (x )的最大值和最小值;(2)某某数k 的取值X 围,使函数y =f (x )在区间[-5,5]上是单调函数. [解析] (1)当k =1时,f (x )=2x 2-2x -5=2⎝⎛⎭⎪⎫x -122-112,∵x ∈[-5,5],∴当x =12时,f (x )min =-112,当x =-5时,f (x )max =55.(2)当k =0时,f (x )=-2x -2在区间[-5,5]上是减函数,当k ≠0时,由题意得12k ≥5或12k≤-5, ∴0<k ≤110或-110≤k <0.综上可知,实数k 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-110,110.20.(本小题满分12分)某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收入最大?最大月收入是多少元? [解析] (1)当每辆车的月租金定为3 600元时,未租出的车辆数为3 600-3 00050=12,所以能租出100-12=88辆车.(2)设每辆车的月租金定为x (x 为50的整数倍)元时,租赁公司的月收入为y 元,则y =⎝⎛⎭⎪⎫100-x -3 00050·(x -150)-x -3 00050×50=-150x 2+162x -21 000=-150(x -4 050)2+307 050.所以当x =4 050时,y max =307 050.故当每辆车的月租金定为4 050元时,租赁公司的月收入最大,最大月收入为307 050元.21.(本小题满分12分)(2014~2015学年度某某省实验中学高一月考)已知函数f (x )是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f (xy )=f (x )+f (y ).(1)求f (1)的值;(2)已知f (3)=1,且f (a )>f (a -1)+2,求a 的取值X 围; (3)证明:f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y =f (x )-f (y ).[解析] (1)令x =y =1, 则f (1)=f (1)+f (1)=2f (1), ∴f (1)=0.(2)∵f (xy )=f (x )+f (y ), f (3)=1, ∴f (9)=f (3)+f (3)=2.∴f (a )>f (a -1)+2化为f (a )>f (a -1)+f (9)=f (9a -9),由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0a -1>0a >9a -9, 解得1<a <98.(3)∵f (x )=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y·y =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y +f (y ),∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y=f (x )-f (y ).22.(本小题满分14分)已知函数f (x )=lg(m x-2x)(0<m <1). (1)当m =12时,求f (x )的定义域;(2)试判断函数f (x )在区间(-∞,0)上的单调性并给出证明; (3)若f (x )在(-∞,-1]上恒取正值,求m 的取值X 围.[解析] (1)当m =12时,要使f (x )有意义,须(12)x -2x >0,即2-x >2x,可得:-x >x ,∴x <0∴函数f (x )的定义域为{x |x <0}.(2)设x 2<0,x 1<0,且x 2>x 1,则Δ=x 2-x 1>0 令g (x )=m x-2x,则g (x 2)-g (x 1)=m x2-2 x2-m x1+2 x1 =m x2-m x1+2 x1-2 x 2 ∵0<m <1,x 1<x 2<0, ∴m x2-m x1<0,2 x1-2 x2<0g (x 2)-g (x 1)<0,∴g (x 2)<g (x 1)∴lg[g (x 2)]<lg[g (x 1)], ∴Δy =lg(g (x 2))-lg(g (x 1))<0, ∴f (x )在(-∞,0)上是减函数.(3)由(2)知:f (x )在(-∞,0)上是减函数, ∴f (x )在(-∞,-1]上也为减函数,∴f (x )在(-∞,-1]上的最小值为f (-1)=lg(m -1-2-1) 所以要使f (x )在(-∞,-1]上恒取正值, 只需f (-1)=lg(m -1-2-1)>0,即m -1-2-1>1,∴1m >1+12=32,∵0<m <1,∴0<m <23.。
2021-2022学年新教材高中数学 模块综合训练课后练习(含解析)新人教B版选择性必修第一册
模块综合训练一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件两直线平行,∴斜率相等.即可得ab=4,又因为不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,故“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的必要不充分条件.2.如图,四面体S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,则SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13SA⃗⃗⃗⃗⃗ +12SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SC ⃗⃗⃗⃗ B.23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ C.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SC ⃗⃗⃗⃗ D.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,∴SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA⃗⃗⃗⃗⃗ +13×12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(SC ⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(SB ⃗⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ .3.圆P :(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q 的标准方程是( ) A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y-5)2=1 C.(x-2)2+(y+5)2=1 D.(x-4)2+(y+3)2=1P :(x+3)2+(y-4)2=1,圆心(-3,4),半径1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a ,b ),则{a -32+b+42-2=0,b -4a+3=1,解得{a =-2,b =5,所求圆Q 的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.(2021新高考Ⅰ,5)已知F 1,F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A.13B.12C.9D.6|MF 1|+|MF 2|=2a=6,则√|MF 1|·|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|2=3, 则|MF 1|·|MF 2|≤9,当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时,等号成立. 故|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.故选C .5.坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P,若点Q(-1,-1),那么|PQ|的取值范围为()A.[√2,3√2]B.[√2,2√2]C.[2√2,3√2]D.[1,3√2]mx+ny-2m-2n=0,可化为m(x-2)+n(y-2)=0,故直线过定点M(2,2),坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P,故∠OPM=90°,所以P 在以OM为直径的圆上,圆的圆心N为(1,1),半径为√2,根据点与圆的关系,|NQ|=√(1+1)2+(1+1)2=2√2,故√2=2√2−√2≤|PQ|≤√2+2√2=3√2.6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cmxOy ,如图所示,设对应抛物线的标准方程为y 2=2px ,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p×10,得p=5,则p 2=2.5,即焦点坐标为(2.5,0), 则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm .7.如图,四棱锥S-ABCD 中,底面是正方形,各棱长都相等,记直线SA 与直线AD 所成角为α,直线SA 与平面ABCD 所成角为β,二面角S-AB-C 的平面角为γ,则( ) A.α>β>γ B.γ>α>β C.α>γ>β D.γ>β>αAC ,BD ,交于点O ,连接OS ,则OA ,OB ,OS 两两垂直,以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OS 为z 轴,建立空间直角坐标系,设|AB|=2,则S (0,0,√2),A (√2,0,0),D (0,-√2,0),B (0,√2,0),SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,-√2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-√2,0),SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√2),cos α=|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4×√4=12,平面ABCD 的法向量n =(0,0,1),cos β=|n ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗||n |·|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√4=√22,设平面SAB 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗=√2x -√2z =0,m ·SB ⃗⃗⃗⃗⃗=√2y -√2z =0,取x=1,得m =(1,1,1),cos γ=|m ·n ||m |·|n |=√3=√33, ∵cos α<cos γ<cos β,∴α>γ>β.8.设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|,则C 的离心率为( ) A.√5 B.√3 C.2 D.√2|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO|=a.在Rt △POF 2中,cos ∠PF 2O=|PF 2||OF 2|=bc ,∵在△PF 1F 2中,cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2-(√6a )22b ·2c=bc ⇒c2=3a 2,∴e=√3.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.(2021新高考Ⅰ,11)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A (4,0),B (0,2),则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2 C.当∠PBA 最小时,|PB|=3√2 D.当∠PBA 最大时,|PB|=3√2,记圆心为M ,半径为r ,则M (5,5),r=4.由条件得,直线AB 的方程为x 4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M 作MN 垂直于直线AB ,垂足为N ,直线MN 与圆M 分别交于点P 1,P 2,圆心M (5,5)到直线AB 的距离|MN|=√12+22=√5,于是点P 到直线AB 的距离最小值为|P 2N|=|MN|-r=√5-4,最大值为|P 1N|=|MN|+r=√5+4. 又√5-4<2,√5+4<10,故A 正确,B 错误; 过点B 分别作圆的两条切线BP 3,BP 4,切点分别为点P 3,P 4,则当点P 在P 3处时∠PBA 最大,在P 4处时∠PBA 最小.又|BP 3|=|BP 4|=√|BM |2-r 2=√52+(5-2)2-42=3√2,故C,D 正确.故选A,C,D .10.若a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,则λ的值为( ) A.17 B.-17 C.-1 D.1a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,∴cos120°=a ·b |a |·|b |=√5+λ2·√6,解得λ=-1或λ=17.11.已知P 是椭圆C :x 26+y 2=1上的动点,Q 是圆D :(x+1)2+y 2=15上的动点,则( ) A.C 的焦距为√5B.C 的离心率为√306C.圆D 在C 的内部D.|PQ|的最小值为2√55c=√6-1=√5,则C的焦距为2√5,e=√5√6=√306.设P(x,y)(-√6≤x≤√6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x26=56(x+65)2+45≥45>15,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为√45−√15=√55.12.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.(14,-1,12)C.(-14,1,-12) D.(0,-1,1),所研究平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,而PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),选项A,(2,1,1)·(1,-4,2)=0,(0,2,4)·(1,-4,2)=0满足垂直,故正确;选项B,(2,1,1)·(14,-1,12)=0,(0,2,4)·(14,-1,12)=0满足垂直,故正确;选项C,(2,1,1)·(-14,1,-12)=0,(0,2,4)·(-14,1,-12)=0满足垂直,故正确;选项D,(2,1,1)·(0,-1,1)=0,但(0,2,4)·(0,-1,1)≠0,故错误.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,√2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l 的斜率k= .(1,√2)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,就是弦长最小,就是与圆心(2,0)和点(1,√2)的连线垂直的直线,连线的斜率是√2-01-2=-√2,直线l的斜率k=√22.14.(2021新高考Ⅰ,14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为.x=-32PF⊥x轴,∴x P=x F=p2,将x P=p2代入y2=2px,得y=±p.不妨设点P在x轴的上方,则P(p2,p),即|PF|=p.如图,由条件得,△PFO∽△QFP,∴|OF||PF|=|PF||QF|,即p2p=p6,解得p=3.故C的准线方程为x=-32.15.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=AC=BC=1,则异面直线BC1与A1B1所成角为;二面角A-BC1-C的余弦值是.√33C 为原点建立如图空间直角坐标系,则A (0,1,0),B (1,0,0),C 1(0,0,1),A 1(0,1,1),B 1(1,0,1),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0).由cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=|√2×√2|=12,故异面直线BC 1与A 1B 1所成角为π3, 设平面ABC 1的一个法向量为m =(a ,b ,c ),由{m ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +c =0,m ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a -b =0,设a=1,得m =(1,1,1),平面BC 1C 的一个法向量n =(0,1,0),cos <m ,n >=√3=√33.16.已知抛物线的方程为x 2=2py (p>0),过抛物线的焦点,且斜率为1的直线与抛物线交于A ,B 两点,|AB|=8,则p= ,M 为抛物线弧AOB⏜上的动点,△AMB 面积的最大值是 .4√2抛物线的方程为x 2=2py (p>0),过抛物线的焦点F ,且斜率为1的直线与抛物线交于A ,B 两点,故直线AB 的方程为y-p 2=x-0,即y=x+p2,且直线AB 的倾斜角为45°. 代入抛物线的方程x 2=2py ,可得x 2-2px-p 2=0.设A ,B 两点的横坐标分别为m ,n ,m<n ,由根与系数的关系可得m+n=2p ,mn=-p 2.∵|AB|=|AF|+|BF|=(yA +p2)+y B+p2=(m+p2)+p2+(n+p2)+p2=8=m+n+2p=4p=8,∴p=2,故抛物线的方程为x2=4y,直线AB为y=x+1.设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+m,代入抛物线方程,得x2-4x-4m=0.由Δ=42+16m=0,得m=-1.与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x-1,两直线间的距离为d=√2=√2,∴△AMB面积的最大值为12·|AB|·d=12×8×√2=4√2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)求分别满足下列条件的直线l的方程.(1)已知点P(2,1),l过点A(1,3),P到l距离为1;(2)l过点P(2,1)且在x轴,y轴上截距的绝对值相等.当l斜率不存在时,l的方程为x=1,满足条件.当l斜率存在时,设l:y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,由d=√k2+1=1,得k=-34,即l:3x+4y-15=0.故直线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.(2)当直线过原点时,直线的斜率为1-02-0=12,直线l的方程为x-2y=0.当直线截距相等时,设为xa +ya=1,代入(2,1),则a=3,即x+y-3=0.当直线截距互为相反数时,设为xa +y-a=1代入(2,1),则a=1,即x-y-1=0.综上,要求的直线l 的方程为x-2y=0或x+y-3=0或x-y-1=0. 18.(12分)(2021新高考Ⅰ,21)在平面直角坐标系xOy 中,已知点F 1(-√17,0),F 2(√17,0),点M 满足|MF 1|-|MF 2|=2.记M 的轨迹为C.(1)求C 的方程;(2)设点T 在直线x=12上,过T 的两条直线分别交C 于A ,B 两点和P ,Q 两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.∵|MF 1|-|MF 2|=2,且F 1(-√17,0),F 2(√17,0),∴点M的轨迹为双曲线的右支,且满足{2a =2,c =√17,c 2=a 2+b 2,∴{a 2=1,b 2=16,c 2=17.∴C 的方程为x 2-y 216=1(x ≥1).(2)设T (12,m),显然直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率都存在.设直线AB 的方程为y=k 1(x -12)+m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{y =k 1(x -12)+m ,16x 2-y 2=16,得16x 2-k 12(x 2-x +14)+2k 1m (x -12)+m2=16,即(16-k 12)x 2+(k 12-2k 1m )x-14k 12+k 1m-m 2-16=0. ∴|TA|·|TB|=(1+k 12)x 1-12x 2-12=(1+k 12)x 1x 2-12(x 1+x 2)+14=(1+k 12)k 1m -14k 12-m 2-1616-k 12−12·2k 1m -k 1216-k 12+14=(1+k 12)-m 2-1216-k 12=(1+k 12)·m 2+12k 12-16.设k PQ =k 2,同理可得|TP|·|TQ|=(1+k 22)·m 2+12k 22-16. ∵|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,∴(1+k 12)·m 2+12k 12-16=(1+k 22)·m 2+12k 22-16. ∴k 22-16k 12=k 12-16k 22.∴k 12=k 22.∵k 1≠k 2,∴k 1=-k 2. ∴k 1+k 2=0.19.(12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点A (-2,0),点B 为其上顶点,且直线AB 的斜率为√32.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P 为第四象限内一点且在椭圆C 上,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,求证:四边形ABNM 的面积是定值.,设直线AB :y-0=√32(x+2),令x=0,则y=√3,于是B (0,√3), 所以a=2,b=√3, 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)设P (x 0,y 0)(x 0>0,y 0<0),且3x 02+4y 02=12,又A (-2,0),B (0,√3),所以直线AP :y -0y 0-0=x+2x 0+2,令x=0,y M =2y 0x 0+2,则|BM|=√3-y M =√3−2y 0x 0+2=√3x 0+2√3-2y 0x 0+2. 直线BP :√3y -√3=x -0x 0-0,令y=0,x N =√3x 0y -√3,则|AN|=2+x N=2+√3x0y-√3=0√3-√3x0y-√3.所以四边形ABNM的面积为S=12|BM|·|AN|=1 2×√3x0+2√3-2y0x0+2×0√3-√3x0y-√3=0202√3x000√3y02(x y-√3x+2y-2√3)=√3(00√3x00√3)2(λy-√3x+2y-2√3)=2√3,所以四边形ABNM的面积为定值2√3.20.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=120°,PA=PC,PB=PD,AC∩BD=O.(1)证明:PO⊥平面ABCD;(2)若PA与平面ABCD所成的角为30°,求二面角B-PC-D的余弦值.四边形ABCD是菱形,∴O为AC,BD的中点.又PA=PC,PB=PD,∴PO⊥AC,PO⊥BD.∵AC∩BD=O,且AC,BD⊂平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD.ABCD的边长为2t(t>0).∵∠ABC=120°,∴∠BAD=60°,∴OA=√3t.由(1)知PO ⊥平面ABCD ,∴PA 与平面ABCD 所成的角为∠PAO=30°,得到PO=t ,建立如图所示的空间直角坐标系,则B (0,t ,0),C (-√3t ,0,0),P (0,0,t ),D (0,-t ,0),得到BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-t ,t ),CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3t ,0,t ). 设平面PBC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面PCD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2).则{n 1·BP ⃗⃗⃗⃗⃗=0,n 1·CP ⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{-ty 1+tz 1=0,√3tx 1+tz 1=0.令x=1,则y=z=-√3,得到n 1=(1,-√3,-√3). 同理可得n 2=(1,√3,-√3),所以|cos <n 1,n 2>|=|n 1·n 2||n 1||n 2|=17.因为二面角B-PC-D 为钝二面角,则余弦值为-17.21.(12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线Γ:y=x 2-mx+2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ,B ,曲线Γ与y 轴交于点C.(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由. (2)求证:过A ,B ,C 三点的圆过定点,并求出该定点的坐标.由曲线Γ:y=x 2-mx+2m (m ∈R ),令y=0,得x 2-mx+2m=0. 设A (x 1,0),B (x 2,0),则可得Δ=m 2-8m>0,x 1+x 2=m ,x 1x 2=2m. 令x=0,得y=2m ,即C (0,2m ).若存在以AB 为直径的圆过点C ,则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得x 1x 2+4m 2=0,即2m+4m 2=0, 所以m=0或m=-12.由Δ>0,得m<0或m>8,所以m=-12,此时C (0,-1),AB 的中点M (-14,0)即圆心,半径r=|CM|=√174.故所求圆的方程为(x +14)2+y 2=1716. (2)设过A ,B ,C 的圆P 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2满足{(x 1-a )2+b 2=r 2,(x 2-a )2+b 2=r 2,a 2+(2m -b )2=r 2,x 1x 2=2m ,x 1+x 2=m⇒{ a =m2,r 2=5m 24-m +14,b =m +12,代入P 得(x -m 2)2+y-m-122=5m 24-m+14,展开得(-x-2y+2)m+x 2+y 2-y=0, 当{-x -2y +2=0,x 2+y 2-y =0,即{x =0,y =1或{x =25,y =45时方程恒成立, ∴圆P 方程恒过定点(0,1)或(25,45).22.(12分)某高速公路隧道设计为单向三车道,每条车道宽4米,要求通行车辆限高5米,隧道全长1.5千米,隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状(如图所示).(1)若最大拱高h 为6米,则隧道设计的拱宽l 至少是多少米?(结果取整数)(2)如何设计拱高h 和拱宽l ,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?(结果取整数) 参考数据:√11≈3.3,椭圆的面积公式为S=πab ,其中a ,b 分别为椭圆的长半轴和短半轴长.建立直角坐标系xOy如图所示,则点P(6,5)在椭圆x2a2+y2b2=1上,将b=h=6与点P(6,5)代入椭圆方程,得a=√11,此时l=2a=√11≈21.8,因此隧道设计的拱宽l至少是22米.(2)由椭圆方程x2a2+y2b2=1,得36a2+25b2≤1,因为1≥36a2+25b2≥2×6×5ab,即ab≥60,S=πab2≥30π,当且仅当6a=5b时,等号成立.由于隧道长度为1.5千米,故隧道的土方工程量V=1.5S≥45π,当V取得最小值时,有6a =5b,且ab=60,得a=6√2,b=5√2,此时l=2a=12√2≈16.97,h=b≈7.07.①若h=b=8,此时l=2a=17,此时V1=3πab4=3×17×8π8=51π,②若h=b=7,此时l=2a=18,此时V2=3πab4=3×9×7π4=47.25π,因为V1>V2,故当拱高为7米、拱宽为18米时,土方工程量最小.。
人教B版高中数学必修五—第一学期
3.在等比数列 中,已知 ,则 等于 ( )
A.16B.6C.12D.4
4.若等比数列的公比为 ,且其前 项和为 ,则这个等比数列的前 项和等于
A. B. C. D.
5.已知等比数列 中, , ,则前9项之和等于() A.50B.70C.80D.90
6.在等比数列 中, ,公比 .若 ,则m=( )
13、 14、2 15、 16、15
17、(1)依题意有
由于 ,故
又 ,从而 ………………… 6分
(2)由已知可得
故
从而 …………… 12分
18、当 时,
当 时,
19、
20、(2)当 时, ,
所以 .故数列 是等比数列, .
21、( ) 或
( ) .
22、解:(Ⅰ)∵ ( ), ,
∴ , ┅┅┅┅┅┅2分
A. B. C.4 D.8
10.设等比数列 的前 项和为 ,且 等于( )
A. B. C. D.
11.设等比数列 的公比 ,前 项和为 ,则 ( )
A. B. C. D.
12.在等比数列 中,若公比q=4,且前3项的和等于21,则该数列的通项公式 =( ) A. B. C. D.
第II卷
二、填空题
13.已知 为等比数列, 是它的前 项和.若 且 与 的等差中项为 则
(A)9(B)10(C)11(D)12
7.各项均为正数的等比数列 的前n项和为Sn,若Sn=2,S30=14,则S40等于( )(A)80 (B)30 (C)26 (D)16
8.已知五个实数 成等比数列,那么 等于()
A.—6或—14 B.6或14C.—6或14D.6或—14
2021_2022学年新教材高中数学模块测试卷二含解析新人教B版必修第一册
新教材高中数学:模块测试卷(二)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知函数f (x )=-x 2+2x+4(x ∈R ),则它的值域与单调递增区间分别是( )A.值域[5,+∞),单调递增区间[1,+∞)B.值域[5,+∞),单调递增区间(-∞,1]C.值域(-∞,5],单调递增区间[1,+∞)D.值域(-∞,5],单调递增区间(-∞,1]f (x )=-x 2+2x+4=-(x 2-2x )+4=-(x-1)2+5,则函数f (x )=-x 2+2x+4(x ∈R )的值域是(-∞,5],单调递增区间为(-∞,1].故选D .2.(2021江苏扬州邗江高一期中)已知命题p :“∃x>0,x+t-1=0”,若p 为真命题,则实数t 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.[1,+∞) D.(-∞,1]p :“∃x>0,x+t-1=0”,即“∃x>0,x=1-t ”,又p 为真命题,则1-t>0,即t<1.故选B . 3.已知函数f (x )=ax+1x 2+2是定义在R 上的偶函数,则实数a 的取值为( ) A.1 B.0C.-1D.2f (x )=ax+1x 2+2是定义在R 上的偶函数,所以f (x )=f (-x ),即ax+1x 2+2=-ax+1(-x )2+2,解得a=0.故选B . 4.(2021湖南长沙湖南师大附中高一期末)下列说法正确的是( ) A.若a>b ,则1a<1bB.若a<b<0,则|a|>|b|C.若a>b ,则ac 2>bc 2D.若ac>bc ,则a>ba>0>b 时,1a >1b ,故A 不正确;若a<b<0,则-a>-b>0,则|a|=-a>|b|=-b ,故B 正确;当c=0时,ac 2>bc 2不成立,故C 不正确;若ac>bc ,当c<0时,a<b ,故D 不正确.故选B.5.(2021山东济宁高一期末)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a ,b ,c ,则三角形的面积S 可由公式S=√p (p -a )(p -b )(p -c )求得,其中p 为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a=3,b+c=5,则此三角形面积的最大值为( ) A.3B.3C.√7D.√11p=12×(3+5)=4,S=√4(4-a )(4-b )(4-c )=√4(4-b )(4-c )=2√(4-b )(4-c )≤8-(b+c )=3,当且仅当4-b=4-c ,即b=c 时,等号成立,∴此三角形面积的最大值为3.故选B .6.(2021湖北八市高三一模)已知M ,N 均为R 的子集,且M ⊆∁R N ,则∁R M ∩N=( ) A.⌀ B.MC.ND.R,如图所示,故∁R M ∩N=N.故选C .7.(2021辽宁营口高一期末)奇函数f (x )在(0,+∞)内单调递减且f (2)=0,则不等式(x+1)f (x )<0的解集为( )A.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(2,+∞)B.(-2,-1)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,2)f (x )在(0,+∞)内单调递减且f (2)=0,所以f (x )在(-∞,0)上单调递减,且f (-2)=0.由不等式(x+1)f (x )<0得{x +1>0,f (x )<0或{x +1<0,f (x )>0,即{x >-1,x >2或-2<x <0或{x <-1,0<x <2或x <-2,故x>2或-1<x<0或x<-2.故选A .8.(2021安徽江淮名校高一入学考试)设x ,y 均为正实数,且32+x +32+y =1,则x+y 的最小值为( ) A.8 B.16 C.9 D.6解析因为x ,y 均为正实数且32+x+32+y=1,所以x+y=2+x+2+y-4=[(2+x )+(2+y )]3x+2+3y+2-4=32+y+2x+2+x+2y+2-4≥32+2√y+2x+2·x+2y+2-4=12-4=8,当且仅当y+2x+2=x+2y+2,即x=y=4时,等号成立.因此x+y的最小值为8.故选A .二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2021山东烟台高一期中)已知集合U=(-∞,+∞),A={x|2x 2-x ≤0},B={y|y=x 2},则( ) A.A ∩B=0,12 B.∁U A ⊆∁U BC.A ∪B=BD.∁B A=12,+∞解析∵集合U=(-∞,+∞),A={x|2x 2-x ≤0}=x 0≤x ≤12,B={y|y=x 2}={y|y ≥0},∴A ∩B=0,12,故A 正确;∁U A=x x<0或x>12,∁U B={y|y<0},∴∁U A ⊇∁U B ,故B 错误;A ∪B=[0,+∞)=B ,故C 正确;∁B A=12,+∞,故D 正确.故选ACD .10.(2021云南昆明高一期末)已知函数f (x )=ax 2+2x+1(a ≠0),若方程f (x )=0有两个不等的实数根x 1,x 2,且x 1<x 2,则( )A.当a>0时,不等式f (x )<0的解集为{x|x 1<x<x 2}B.当a>0时,不等式f (x )<0的解集为{x|x<x 1或x>x 2}C.若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则x 1>0D.若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则x 2>0a>0时,函数图像开口方向向上,所以不等式f (x )<0的解集为{x|x 1<x<x 2},故A 正确,B 错误;若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则a<0,对称轴-1a >0,函数又过定点(0,1),则x 1<0,故C 错误;若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则a<0,对称轴-1a >0,则x 2>0,故D 正确.故选AD .11.(2021湖北黄冈、天门高一期末)下列各说法中,p 是q 的充要条件的有( ) A.p :四边形是正方形;q :四边形的对角线互相垂直且平分 B.p :两个三角形相似;q :两个三角形三边对应成比例 C.p :xy>0;q :x>0,y>0D.p :x=1是一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根;q :a+b+c=0(a ≠0),则四边形的对角线互相垂直且平分成立,但对角线互相垂直且平分的四边形可能是菱形,故p 不是q 的充要条件;两个三角形相似与两个三角形三边对应成比例可以互相推导,故p 是q 的充要条件;当xy>0时,可能x<0,y<0,故p 不是q 的充要条件;x=1是一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根,将x=1代入方程可得a+b+c=0,当a+b+c=0时,将c=-a-b 代入方程ax 2+bx+c=0得ax 2+bx-a-b=(ax+a+b )(x-1)=0,解得x=1,故p 是q 的充要条件.故选BD . 12.(2021山东威海高一期末)已知函数f (x )={x 2-2x ,x <0,-2x +3,x ≥0,则( )A.f [f (-1)]=-3B.若f (a )=-1,则a=2C.f (x )在R 上是减函数D.若关于x 的方程f (x )=a 有两解,则a ∈(0,3]f(-1)=(-1)2-2×(-1)=3,所以f[f(-1)]=f(3)=-2×3+3=-3,故A正确;当a<0时,f(a)=a2-2a=-1,解得a=1,不符合题意,舍去,当a≥0时,f(a)=-2a+3=-1,解得a=2,符合题意,故B正确;作出f(x)的图像,如图所示,所以f(x)在R上不是减函数,故C错误;方程f(x)=a有两解,则y=f(x)图像与y=a图像有两个公共点,如图所示.所以a∈(0,3],故D正确.故选ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021河北石家庄一中高一月考)已知集合A={x|-1≤x≤2,x∈Z},集合B={x|x>0},则集合A∩B的子集个数为.A={x|-1≤x≤2,x∈Z}={-1,0,1,2},B={x|x>0},∴A∩B={1,2},共有2个元素, 故集合A∩B的子集个数为22=4个.14.(2021山东威海高一期末)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式,后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=2,b=3,则该矩形的面积为.x,∵a=2,b=3,∴AB=a+b=5, 在Rt △ABC 中,AC 2+BC 2=AB 2, 即(2+x )2+(3+x )2=52,即x 2+5x=6,则该矩形的面积为(2+x )(3+x )=x 2+5x+6=12.15.(2021广东深圳高三一模)已知函数的图像关于y 轴对称,且与直线y=x 相切,则满足上述条件的二次函数可以为f (x )= .2+14(答案不唯一)f (x )的图像关于y 轴对称,所以设f (x )=ax 2+c.由{y =ax 2+c ,y =x ,得ax 2-x+c=0, 所以Δ=1-4ac=0,即ac=14. 取a=1,c=14,则f (x )=x 2+14(答案不唯一).16.(2021河北邯郸高一期末)已知函数f (x )={|x +1|,x >0,x 2+1,x ≤0,若f (f (m ))=2,则m= .f (m )=t ,则f (t )=2,①当t>0时,|t+1|=2,则t=1,所以f (m )=1; 当m>0时,|m+1|=1,则m=0(舍去), 当m ≤0时,m 2+1=1,则m=0. ②当t ≤0时,t 2+1=2,则t=-1, 所以f (m )=-1;当m>0时,|m+1|=-1,显然此时方程无实数解,当m ≤0时,m 2+1=-1,显然此时方程无实数解.综上所述,m=0.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021江西名校协作体高一联考)已知二次函数f (x )的最小值为1,函数y=f (x+1)是偶函数,且f (0)=3.(1)求f (x )的解析式;(2)若函数f (x )在区间[2a ,a+1]上不单调,求实数a 的取值范围.因为函数y=f (x+1)是偶函数,所以f (x )的图像关于x=1对称.又最小值为1,所以设f (x )=a (x-1)2+1. 又f (0)=3,解得a=2. ∴f (x )=2(x-1)2+1=2x 2-4x+3.(2)要使f (x )在区间[2a ,a+1]上不单调,则2a<1<a+1, ∴0<a<12.故实数a 的取值范围为0,12.18.(12分)(2021安徽安庆高一期末)已知正实数x ,y 满足4x+4y=1. (1)求xy 的最大值;(2)若不等式4x +1y ≥a 2+5a 恒成立,求实数a 的取值范围.x+4y=1,所以14=x+y ≥2√xy ,解得xy ≤164,当且仅当x=y=18时,等号成立,∴xy 的最大值为164. (2)4x+1y =4x+1y(4x+4y )=20+16y x+4x y≥20+2√16y x·4x y=36,当且仅当x=16,y=112时,等号成立, ∴a 2+5a ≤36,解得-9≤a ≤4, 即a 的取值范围是[-9,4].19.(12分)(2021江苏苏州新区吴县中学高一月考)已知f (x )={1,x <0,2,x ≥0,g (x )=3f (x -1)-f (x -2)2. (1)当1≤x<2时,求g (x );(2)当x ∈R 时,求g (x )的解析式,并画出其图像; (3)求函数h (x )=x f (g (x ))-2g (f (x ))的零点.当1≤x<2时,x-1≥0,x-2<0,故g (x )=6-12=52.(2)由(1)知,当1≤x<2时,g (x )=52. 当x<1时,x-1<0,x-2<0, 故g (x )=3-12=1. 当x ≥2时,x-1>0,x-2≥0,故g (x )=6-22=2.所以当x ∈R 时,g (x )的解析式为g (x )={1,x <1,52,1≤x <2,2,x ≥2.其函数图像如下:(3)因为g (x )>0,则f (g (x ))=2,x ∈R , 故g (f (x ))={g (1)=52,x <0,g (2)=2,x ≥0,所以方程x f (g (x ))=2g (f (x ))化简后可得x 2=5(x<0)或x 2=4(x ≥0), 解得x=-√5或x=2.20.(12分)(2021福建三明高一期末)某市居民用电收费方式有以下两种,用户可自由选择其中一种. 方式一:阶梯式递增电价,即把居民用户每月用电量划分为三档,电价实行分档递增,具体电价如下表:方式二:阶梯式递增电价基础上实行峰谷分时电价,即先按阶梯式递增电价标准计算各档电量的电费,然后高峰时段(8:00—22:00)每度加价0.03元,低谷时段(22:00至次日8:00)每度降价0.20元,得出用户的总电费.(1)假设某居民用户月均用电量为x 度,按方式一缴费,月均电价为y 元,求y 关于x 的函数解析式; (2)若该用户某月用电a 度(0<a<420),其中高峰时段用电量占该月总用电量的23,按方式二缴费,电费为143元,求该月用电量.由题意可得当0≤x ≤230时,y=0.5x ,当230<x ≤420时,y=230×0.5+0.6(x-230)=0.6x-23,当x>420时,y=230×0.5+0.6×(420-230)+0.8(x-420),即y=0.8x-107,所以y={0.5x ,0≤x ≤230,0.6x -23,230<x ≤420,0.8x -107,x >420.(2)因为该用户某月用电a 度,高峰时段用电量为23a 度,当0≤x ≤230时,用电费用为0.3×13a+0.53×2a3=143,解得a ≈315.4>230,不合题意,舍去.当230<x ≤420时,用电费用为0.3×13+0.53×23×230+0.4×13+0.63×23(a-230)=143,解得a ≈300, 所以该月用电量约为300度.21.(12分)(2021福建福州高一期末)已知函数f (x )=√x 2-(a -1)x +2a ,且f (1)=√3. (1)求实数a 的值;(2)判断f (x )在区间(-∞,0]上的单调性并用定义证明.由f (1)=√3,得1-(a-1)+2a=3,所以a=1.(2)由(1)知f (x )=√x 2+2,其定义域为R , f (x )在区间(-∞,0]上单调递减. 证明如下:任取x 1,x 2∈(-∞,0],且x 1<x 2,f (x 1)-f (x 2)=√x 12+2−√x 22+2=(√x 12+2-√x 22+2)(√x 12+2+√x 22+2)√x 1+2+√x 2+2=1222√x 1+2+√x 2+2 =1222√x 1+2+√x 2+2 =1212√x 1+2+√x 2+2.因为x 1≤0,x 2≤0,且x 1<x 2,所以x 1+x 2<0,x 1-x 2<0,√x 12+2+√x 22+2>0,则f (x 1)-f (x 2)>0,所以f (x 1)>f (x 2), 故f (x )在区间(-∞,0]上单调递减.22.(12分)(2021安徽滁州高一期末)设命题p :对任意x ∈[1,4],不等式x 2-4x+2≥m 2-3m 恒成立;命题q :存在x ∈0,12,使得不等式x 2-x+m-54≥0成立. (1)若p 为真命题,求实数m 的取值范围;(2)若命题p ,q 有且只有一个是真命题,求实数m 的取值范围.对任意x ∈[1,4],不等式x 2-4x+2≥m 2-3m 恒成立,即(x 2-4x+2)min ≥m 2-3m.x 2-4x+2=(x-2)2-2,当x=2时,x 2-4x+2取到最小值-2,即-2≥m 2-3m ,∴1≤m ≤2. 故p 为真命题时,实数m 的取值范围是[1,2].(2)命题q :存在x ∈0,12,使得不等式x 2-x+m-54≥0成立,故只需x 2-x+m-54max ≥0.而x 2-x+m-54=x-122+m-32, 所以当x=0时,x 2-x+m-54取到最大值m-54, 故m-54≥0,解得m ≥54.即命题q 为真命题时,实数m 的取值范围是54,+∞.依题意命题p ,q 一真一假,若p 为假命题,q 为真命题,则{m <1或m >2,m ≥54,,得m>2; 若q 为假命题,p 为真命题,则{1≤m ≤2,m <54,得1≤m<54.综上,实数m 的取值范围为1,54∪(2,+∞).。
【高中数学新人教B版必修5】第三章《不等式》测试
《不等式》专项训练1.设a b <,c d <,则下列不等式中一定成立的是 ( ) A .d b c a ->- B .bd ac > C .d b c a +>+ D .c b d a +>+ 2.不等式b ax >的解集不可能是 ( )A .φB .RC .),(+∞a bD .),(ab --∞ 3.不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-,则b a -的值等于 ( ) A .-14 B .14 C .-10 D .104.不等式||x x x <的解集是 ( ) A .{|01}x x <<B .{|11}x x -<<C .{|01x x <<或1}x <-D .{|10,1}x x x -<<> 5.若011<<ba ,则下列结论不正确的是 ( ) A .22b a < B .2b ab < C .2>+ba ab D .||||||b a b a +>+6.若13)(2+-=x x x f ,12)(2-+=x x x g ,则)(x f 与)(x g 的大小关系为 ( )A .)()(x g x f >B .)()(x g x f =C .)()(x g x f <D .随x 值变化而变化 7.下列各式中最小值是2的是 ( )A .y x +x yB .4522++x x C .tan x +cot x D . xx -+228.如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立,则a 的取值范围是 ( )A . }8|{<a aB . }8|{>a aC . }8|{≥a aD . }8|{≤a a9.若+∈R b a ,,则b a 11+与b a +1的大小关系是 . 10.函数121lg +-=x xy 的定义域是 .11.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x = 吨.12. 已知0()1,0x x f x x ≥⎧=⎨-<⎩,, 则不等式3)2(≤+x f 的解集___ _ ____.13.已知()f x 是奇函数,且在(-∞,0)上是增函数,(2)0f =,则不等式()0xf x <的解集是___ _ ____. 14.解不等式:21582≥+-x x x15.已知1<a ,解关于x 的不等式12>-x ax.16.已知0=++c b a ,求证:0≤++ca bc ab .17.对任意]1,1[-∈a ,函数a x a x x f 24)4()(2-+-+=的值恒大于零,求x 的取值范围.18.已知函数b ax x x f ++=2)(.(1)若对任意的实数x ,都有a x x f +≥2)(,求b 的取值范围; (2)当]1,1[-∈x 时,)(x f 的最大值为M ,求证:1+≥b M ;参考答案一、选择题1.C ; 2.D ; 3.C ; 4.C ; 5.D ; 6.A ; 7.D ; 8.A . 二、填空题 9.b a b a +>+111; 10.)21,1(-; 11. 20 ; 12. ]1,(-∞;13. {|20,}x x -<<或0<x<2 三、解答题14.解:原不等式等价于:0158301720158301720215822222≤+-+-⇔≥+--+-⇔≥-+-x x x x x x x x x x x3250)5)(3()52)(6(<≤⇔≤----⇔x x x x x 或65≤<x ∴原不等式的解集为]6,5()3,25[15.解:不等式12>-x ax 可化为022)1(>-+-x x a . ∵1<a ,∴01<-a ,则原不等式可化为0212<---x a x , 故当10<<a 时,原不等式的解集为}122|{ax x -<<; 当0=a 时,原不等式的解集为φ; 当0<a 时,原不等式的解集为}212|{<<-x ax . 16.证明:法一(综合法)0=++c b a , 0)(2=++∴c b a展开并移项得:02222≤++-=++c b a ca bc ab 0≤++∴ca bc ab法二(分析法)要证0≤++ca bc ab ,0=++c b a ,故只要证2)(c b a ca bc ab ++≤++ 即证0222≥+++++ca bc ab c b a ,也就是证0])()()[(21222≥+++++a c c b b a ,而此式显然成立,由于以上相应各步均可逆,∴原不等式成立. 法三:0=++c b a ,b a c +=-∴222223()()[()]024b b ab bc ca ab b a c ab a b a b ab a ∴++=++=-+=---=-++≤ 0≤++∴ca bc ab法四:,222ab b a ≥+ bc c b 222≥+,ca a c 222≥+ ∴由三式相加得:ca bc ab c b a ++≥++222两边同时加上)(2ca bc ab ++得:)(3)(2ca bc ab c b a ++≥++ 0=++c b a , ∴0≤++ca bc ab17.解:设22)2()2(24)4()(-+-=-+-+=x a x a x a x a g ,则)(a g 的图象为一直线,在]1,1[-∈a 上恒大于0,故有⎩⎨⎧>>-0)1(0)1(g g ,即⎩⎨⎧>+->+-02306522x x x x ,解得:1<x 或3>x ∴x 的取值范围是),3()1,(+∞⋃-∞18. 解:(1)对任意的R x ∈,都有⇔+≥a x x f 2)(对任意的R x ∈,0)()2(2≥-+-+a b x a x 0)(4)2(2≤---=∆⇔a b a)(1412R a b a b ∈≥⇔+≥⇔ ∴),1[+∞∈b .(2)证明:∵,1)1(M b a f ≤++=,1)1(M b a f ≤+-=-∴222+≥b M ,即1+≥b M .(3)证明:由210<<a 得,0241<-<-a ∴)(x f 在]2,1[a --上是减函数,在]1,2[a-上是增函数.∴当1||≤x 时,)(x f 在2ax -=时取得最小值42a b -,在1=x 时取得最大值b a ++1.故对任意的]1,1[-∈x ,.1414111|)(|22a b a a b b a x f -≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤++⇔≤。
【优化方案】2012高中数学 模块综合检测 新人教B版必修5
(时间:120分钟;满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M ={x |x 2<4},N ={x |x 2-2x -3<0},则集合M ∩N 等于( ) A .{x |x <-2} B .{x |x >3} C .{x |-1<x <2} D .{x |2<x <3}解析:选C.M ={x |-2<x <2},N ={x |-1<x <3},故M ∩N ={x |-1<x <2}. 2.已知△ABC 中,AB =3,AC =1且B =30°,则△ABC 的面积等于( ) A.32B.34C.32或 3D.34或32 答案:D3.在不等边△ABC 中,a 为最大边,如果a 2<b 2+c 2,则A 的取值范围是( ) A .90°<A <180° B .45°<A <90° C .60°<A <90° D .0°<A <90°解析:选C.由b 2+c 2-a 2>0得cos A >0,故A <90°,又A 为不等边三角形中的最大角,故A >60°.4.若两个等差数列{a n }、{b n }前n 项和分别为A n 、B n ,满足A n B n =7n +14n +27(n ∈N +),则a 11b 11的值为( )A.74B.32C.43D.7871解析:选C.a 11b 11=2a 112b 11=a 1+a 21b 1+b 21=n a 1+a 212n b 1+b 212=A 21B 21=7×21+14×21+27=43.5.数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,2a n +1=a n +a n +2,若b n =1a n a n +1,则数列{b n }的前5项和等于( )A .1B.56 C.16D.130解析:选B.由2a n +1=a n +a n +2,得{a n }为等差数列,公差d =a 2-a 1=1, ∴a n =a 1+(n -1)×1=n ,∴b n =1a n a n +1=1n n +1=1n -1n +1,∴{b n }的前5项和为S 5=1-12+12-13+13-14+14-15+15-16=1-16=566.设x ,y ∈R ,a >1,b >1,若a x =b y =3,a +b =2 3.则1x +1y的最大值为( )A .2B.32 C .1 D.12解析:选C.x =log a 3,y =log b 3, 则1x +1y =1log a 3+1log b 3=log 3a +log 3b =log 3ab ≤log 3(a +b 2)2=1,当且仅当a =b =3时取等号,所以1x +1y的最大值为1.7.若关于x 的不等式(1+k 2)x ≤k 4+4的解集是M ,则对任意实常数k ,总有( ) A .2∈M,0∈M B .2∉M,0∈M C .2∈M,0∉M D .2∉M,0∉M解析:选A.M ={x |x ≤k 4+4k 2+1},∵k 4+4k 2+1=k 4-1+5k 2+1=k 2-1+5k 2+1=k 2+1+5k 2+1-2≥25-2>2.∴2∈M,0∈M .8.设等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,则下列结论中正确的是( ) A .S n =na n -3n (n -1) B .S n =na n +3n (n -1) C .S n =na n -n (n -1) D .S n =na n +n (n -1) 解析:选C.因为a n =a 1+(n -1)d , 所以a 1=a n -2(n -1),所以S n =n a 1+a n 2=2a n -2n -12×n=na n -n (n -1).9.若一个等差数列前三项的和为34,最后三项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( )A .13项B .12项C .11项D .10项 解析:选A.设此数列为{a n },则a 1+a 2+a 3=34,a n +a n -1+a n -2=146, ∴3(a 1+a n )=180,∴a 1+a n =60.又S n =n a 1+a n 2,∴390=60n 2,解得n =13.10.(2009年高考江西卷)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 4是a 3与a 7的等比中项,S 8=32,则S 10等于( )A .18B .24C .60D .90解析:选C.由a 24=a 3·a 7,∴(a 1+3d )2=(a 1+2d )(a 1+6d ). ∵d ≠0,∴2a 1+3d =0.①∵S 8=32,∴a 1+a 8=8,∴2a 1+7d =8.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-3,d =2,∴S 10=-3×10+10×92×2=60.11.在△ABC 中,若三边a ,b ,c 的倒数成等差数列,则边b 所对的角为( ) A .锐角 B .直角 C .钝角 D .不能确定解析:选A.设公差为d .当d =0时,1a =1b =1c ,∴a =b =c ,B =60°.当d >0时,1a <1b<1c,∴c <b <a ,B 为锐角,当d <0时,1a >1b >1c,∴a <b <c ,B 为锐角.∴B 为锐角.12.若△ABC 的三边长为a ,b ,c ,且f (x )=b 2x 2+(b 2+c 2-a 2)x +c 2,则f (x )的图象是( )A .在x 轴的上方B .在x 轴的下方C .与x 轴相切D .与x 轴交于两点解析:选A.由Δ=(b 2+c 2-a 2)2-4b 2c 2=4b 2c 2cos 2A -4b 2c 2=-4b 2c 2sin 2 A <0,故f (x )图象与x 轴无交点,又b 2>0则图象在x 轴上方.二、填空题(本大题共4小题,把答案填写在题中横线上)13.等比数列{a n }中,a 2=2,a 5=16,那么数列{a n }的前6项和S 6=________.解析:设公比为q ,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q =2a 1q 4=16,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1q =2,∴S 6=1·1-261-2=63.答案:6314.(2009年高考北京卷)若实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x +y -2≥0x ≤4y ≤5,则s =y -x 的最小值为________.解析:如图画出可行域知,当直线过(4,-2)点时s min =-6.答案:-615.已知△ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,若△ABC 的面积为S ,且2S =(a +b )2-c 2,则tan C 的值为________.解析:依题意,得ab sin C =a 2+b 2-c 2+2ab . 由余弦定理知:a 2+b 2-c 2=2ab cos C .∴ab sin C =2ab (1+cos C ),即sin C =2(1+cos C ).∵sin C 2cos C 22cos 2C2,又0°<C <180°,∴cos C 2≠0,∴sin C 2=2cos C2,即tan C2=2.∴tan C =2tanC21-tan 2C2=41-4=-43. 答案:-4316.设集合A ={x |x 2-2x -3>0},B ={x |x 2+ax +b ≤0},若A ∪B =R ,A ∩B =(3,4],则a +b =________.解析:A ={x |x <-1或x >3},又A ∪B =R ,A ∩B =(3,4],所以B ={x |-1≤x ≤4},即-1,4是关于x 的方程x 2+ax +b =0的两个根,由此得a =-3,b =-4,故a +b =-7.答案:-7三、解答题(本大题共6小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的三边长分别为a 、b 、c ,若a 3+b 3-c 3a +b -c=c 2,a =43,B =45°,求△ABC 的面积.解:因为a 3+b 3-c 3a +b -c=c 2,所以变形得(a +b )(a 2+b 2-c 2-ab )=0. 因为a +b ≠0,所以a 2+b 2-c 2-ab =0, 即a 2+b 2-c 2=ab .根据余弦定理的推论得cos C =a 2+b 2-c 22ab =ab 2ab =12.又因为0°<C <180°,所以C =60°. 因为B =45°,A +B +C =180°,所以A =180°-(60°+45°)=75°.根据正弦定理得a sin A =bsin B,所以b =a sin B sin A =43×226+24=12-4 3.根据三角形的面积公式得S △ABC =12ab sin C =12×43×(12-43)×32=36-12 3.18.已知不等式x 2-2x -3<0的解集为A ,不等式x 2+4x -5<0的解集为B . (1)求A ∪B ;(2)若不等式x 2+ax +b <0的解集是A ∪B ,求ax 2+x +b <0的解集.解:(1)解不等式x 2-2x -3<0,得A ={x |-1<x <3} 解不等式x 2+4x -5<0, 得B ={x |-5<x <1}, ∴A ∪B ={x |-5<x <3}.(2)由x 2+ax +b <0的解集是(-5,3), ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 25-5a +b =09+3a +b =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2b =-15, ∴2x 2+x -15<0,求得解集为{x |-3<x <52}.19.△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a (1+cos C )+c (1+cos A )=3b . (1)求证:a ,b ,c 成等差数列; (2)求cos B 的最小值.解:(1)证明:由正弦定理得sin A (1+cos C )+sin C (1+cos A )=3sin B⇒sin A +sin C +sin A cos C +cos A sin C =3sin B ⇒sin A +sin C +sin(A +C )=3sin B ⇒sin A +sin C =2sin B . 由正弦定理知a +c =2b , 所以a ,b ,c 成等差数列.(2)cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+c 2-a +c 222ac=3a 2+3c 2-2ac 8ac =38·a 2+c 2ac -14≥34-14=12, 所以当a =c 时,(cos B )min =12.20.如图所示,a 是海面上一条南北方向的海防警戒线.在a 上点A 处有一个水声监测点,另两个监测点B 、C 分别在A 的正东方20 km 处和54 km 处.某时刻,监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波,8 s 后监测点A,20 s 后监测点C 相继收到这一信号,在当时气象条件下,声波在水中的传播速率是1.5 km/s.(1)设A 到P 的距离为x km ,用x 表示B 、C 到P 的距离,并求x 的值; (2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离(精确到0.01 km). 解:(1)依题意,PA -PB =1.5×8=12(km), PC -PB =1.5×20=30(km),∴PB =(x -12) km ,PC =(x +18) km.在△PAB 中,AB =20 km ,由余弦定理,得cos ∠PAB =PA 2+AB 2-PB 22PA ·AB=x 2+202-x -1222x ·20=3x +325x.同理cos ∠PAC =72-x3x.由于cos ∠PAB =cos ∠PAC , 即3x +325x =72-x 3x ,解得x =1327km.(2)作PD ⊥a ,垂足为D ,在Rt△PDA 中, PD =PA cos ∠APD =PA cos ∠PAB=x ·3x +325x≈17.71(km).所以,静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为 17.71 km.21.在数列{a n }中,a 1=1,a n +1=(1+1n )a n +n +12n .(1)设b n =a n n,求数列{b n }的通项公式; (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解:(1)由已知得b 1=a 1=1且a n +1n +1=a n n +12n即b n +1=b n +12n ,从而b 2=b 1+12,b 3=b 2+122,…b n =b n -1+12n -1(n ≥2),于是b n =b 1+12+122+…+12n -1,=2-12n -1(n ≥2),又b 1=1,∴{b n }的通项公式b n =2-12n -1.(2)由(1)知a n =n ·b n =2n -n2n -1,令T n =120+221+322+…+n 2n -1,则2T n =2+220+32+…+n2n -2,作差得:T n =2+(120+121+…+12n -2)-n 2n -1=4-n +22n -1,∴S n =(2+4+6+…+2n )-T n=n (n +1)+n +22n -1-4.22.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0y >0y ≤-nx +3n所表示的平面区域为D n ,记D n 内的整点个数为a n (n∈N +).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ,且T n =S n3·2n -1,若对一切的正整数n ,总有T n ≤m ,求实数m 的取值范围.解:(1)由x >0,y >0,y =3n -nx >0,得0<x <3.所以x =1或x =2,即D n 内的整点在直线x =1和x =2上.记直线y =-nx +3n 为l ,l 与x =1,x =2的交点的纵坐标分别为y 1,y 2,则y 1=2n ,y 2=n ,所以a n =3n (n ∈N +).(2)因为S n =3(1+2+…+n )=3n n +12,所以T n =n n +12n.又T n +1T n =n +22n, 所以当n ≥3时,T n >T n +1,且T 1=1<T 2=T 3=32.所以实数m 的取值范围为[32,+∞).。
新教材高中数学第五章统计与概率3.5随机事件的独立性课件新人教B版必修第二册 课件(共13张PPT)
问题 1.如果乙要连胜四局,比赛应如何进行? 提示:若要乙连胜四局,则对阵情况是第一局:甲对乙,乙胜;第二局:乙对丙,乙胜;第 三局:乙对甲,乙胜;第四局:乙对丙,乙胜. 2.要求出乙连胜四局时的概率需要用到哪些概率知识?如何求? 提示:应用事件的独立性知识,按照每局乙胜的情况分析,所求概率为P=(1-0.4)2×0. 52=0.32=0.09.
求复杂事件的概率一般可分三步进行: (1)列出题中涉及的各个事件,并用适当的符号表示它们; (2)理清各事件之间的关系,用事件间的“并”“交”恰当地表示所求事件; (3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算. 注意:当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件 的概率,再求出符合条件的事件的概率.
∩F)+P( D∩E∩F)=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5=0.55. 解法二:“红队中至少有两名队员获胜”与“红队中最多有一名队员获胜”为对 立事件,而红队都不获胜的事件为 D∩ E ∩ F ,且P( D∩ E ∩ F )=0.4×0.5×0.5=0.1. 则红队中至少有两名队员获胜的概率P2=1-P1-P( D∩ E ∩ F )=1-0.35-0.1=0.55. 方法总结 处理事件的独立性问题主要用直接法和间接法.当遇到“至少”“至 多”问题时可以考虑间接法.
解析 设甲胜A为事件D,乙胜B为事件E,丙胜C为事件F,则 D, E , F 分别表示A胜 甲、B胜乙、C胜丙. 因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5, 所以由对立事件的概率公式知P( D)=0.4,P( E )=0.5,P( F )=0.5. (1)红队中有且只有一名队员获胜的事件有D∩ E ∩ F , D∩E∩ F , D∩ E ∩F,以上 3个事件彼此互斥且相互独立. 所以红队中有且只有一名队员获胜的概率P1=P[(D∩ E ∩ F )∪( D∩E∩ F )∪( D ∩ E ∩F)]=P(D∩ E ∩ F )+P( D∩E∩ F )+P( D∩ E ∩F)=0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+ 0.4×0.5×0.5=0.35. (2)解法一:红队中至少有两名队员获胜的事件有D∩E∩F,D∩E∩ F ,D∩ E ∩F, D ∩E∩F,由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立, 因此红队中至少有两名队员获胜的概率P2=P(D∩E∩F)+P(D∩E∩ F )+P(D∩ E
高中数学人教B版必修5分层测评试题19不等式的实际应用含解析
<6%,
x+ 200
解得 x 的范围是 (100,400).
【答案】 (100,400) 8.如图 3-4-4,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为 72 dm2(图 中阴影部分 ),上下空白各宽 2 dm,左右空白各宽 1 dm,则四周空白部分面积的 最小值是 ______dm2.
3
图 3-4-4
学业分层测评 (十九 ) 不等式的实际应用
(建议用时: 45 分钟 )
[ 学业达标 ]
一、选择题
1.某出版社,如果以每本 2.50 元的价格发行一种图书, 可发行 80 000 本.如
果一本书的定价每升高 0.1 元,发行量就减少 2 000 本,那么要使收入不低于 200
000 元,这种书的最高定价应当是 ( )
物的运输费用与仓库到车站距离成正比. 如果在距离车站 10 km 处建仓库, 则土
地费用和运输费用分别为 2 万元和 8 万元,那么要使两项费用之和最小, 仓库应
建在离车站 ( )
A .5 km 处
B.4 km 处
C.3 km 处
D.2 km 处
【解析】
设仓库建在离车站
x km 处,则土地费用
k1 y1= x (k1≠0),运输费
图 3-4-6 (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 DN 的长应在什么范围内? (2)当 DN 的长度为多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最小值 .【导 学号: 33300101】 【解】 (1)设 DN 的长为 x(x> 0)米, 则|AN|=(x+2)米. ∵||DANN||= ||DAMC||,
耗,决定按销售收入的
t%征收木材税, 这样每年的木材销售量减少
1467_高中数学试卷:必修一 滚动练习四 模块质量检测(新人教B版)_0
滚动练习四模块质量检测一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.设全集为U={x∈N |x <7},集合A ={1,3,6},集合B ={2,3,4,5},则集合A ∩(∁U B )=()A.{3}B.{1,3,6}C.{2,4,5}D.{1,6}2.已知函数f (x x ,x ≥0,2,x <0,则f (f (-2))的值是()A.4B.-4C.8D.-83.设x ∈R ,则“x 3>8”是“|x |>2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设函数f (x x ,x ≤0,2,x >0,若f (a )=4,则实数a =()A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或25.已知函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (2)<0且f (3)>0,则f (x )在(2,3)上的零点()A.至多有一个B.有1个或2个C.有且仅有一个D.一个也没有6.函数f (x )=x -1+2x 2-4的定义域为()A.[1,2)B.(2,+∞)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.[1,2)∪(2,+∞)7.若二次不等式ax 2+bx +c >0|15<x 那么不等式2cx 2-2bx -a <0的解集是()A.{x |x <-10或x >1}|-14<x C.{x |4<x <5}D.{x |-5<x <-4}8.已知函数f (x )=x (|x |+1),则不等式f (x 2)+f (x -2)>0的解集为()A.(-2,1)B.(-1,2)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.已知集合A ={x |-1<x ≤3},集合B ={x ||x |≤2},则下列关系式正确的是()A.A ∩B =∅B.A ∪B ={x |-2≤x ≤3}C.A ∪(∁R B )={x |x ≤-1或x >2}D.A ∩(∁R B )={x |2<x ≤3}10.下列图形中是函数的图象的是()11.下列四个命题中是假命题的为()A.存在x ∈Z ,1<4x <3B.存在x ∈Z ,5x +1=0C.任意x ∈R ,x 2-1=0D.任意x ∈R ,x 2+x +2>012.下列说法正确的是()A.x +1x 的最小值为2B.x 2+1的最小值为1C.3x (2-x )的最大值为2D.x 2+7x 2+2的最小值为27-2三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)13.不等式-2x 2+x +3<0的解集为________.14.若函数f (x )=(m -2)x 2+(m -1)x +2是偶函数,则f (x )的单调递增区间是________.15.能说明“若a >b ,则1a <1b ”为假命题的一组a ,b 的值依次可以为________.16.已知λ∈R ,函数f (x -4,x ≥λ,2-4x +3,x <λ.若函数f (x )恰有2个零点,则实数λ的取值范围是________.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)已知集合A ={x |x 2-6x -16≤0},B ={x |-3≤x ≤5}.(1)若C ={x |m +1≤x ≤2m -1},C ⊆(A ∩B ),求实数m 的取值范围;(2)若D ={x |x >3m +2},且(A ∪B )∩D =∅,求实数m 的取值范围.18.(12分)已知函数f(x)=1x-1+1.(1)证明:函数f(x)在(1,+∞)上是减函数;(2)记函数g(x)=f(x+1)-1,判断函数g(x)的奇偶性,并加以证明.19.(12分)已知函数f(x)=ax2-(3+2a)x+6(a∈R).(1)当a=1时,求f(x)在x∈[1,6)上的值域;(2)当a>0时,解关于x的不等式:f(x)>0.20.(12分)函数f(x)=x2+ax+3.(1)当x∈R,求使f(x)≥a恒成立时a的取值范围;(2)当x∈[-2,2],求使f(x)≥a恒成立时a的取值范围.21.(12分)高邮市清水潭旅游景点国庆期间,团队收费方案如下:不超过40人时,人均收费100元;超过40人且不超过m (40<m ≤100)人时,每增加1人,人均收费降低1元;超过m 人时,人均收费都按照m 人时的标准.设景点接待有x 名游客的某团队,收取总费用为y 元.(1)求y 关于x 的函数解析式;(2)景点工作人员发现:当接待某团队人数超过一定数量时,会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象.为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加,求m 的取值范围.22.(12分)已知函数f (x )=x +1x +1,g (x )=ax +5-2a (a >0).(1)判断函数f (x )在[0,1]上的单调性,并加以证明;(2)若对任意m ∈[0,1],总存在m 0∈[0,1],使得g (m 0)=f (m )成立,求实数a 的取值范围.滚动练习四模块质量检测1.解析:由题意U ={0,1,2,3,4,5,6},所以∁U B ={0,1,6},A ∩(∁U B )={1,6}.答案:D2.解析:f (-2)=(-2)2=4,f (f (-2))=f (4)=2×4=8.答案:C3.解析:x 3>8的解集为M =(2,+∞),|x |>2的解集为N =(-∞,-2)∪(2,+∞),M N .答案:A≤0,a=4,>0,2=4,得a=-4或a=2.答案:B5.解析:由二次函数的图象得出.答案:C6.解析:令x-1≥0且x2-4≠0得出[1,2)∪(2,+∞).答案:D+14=-ba,×14=ca,=-920a,=120a,代入2cx2-2bx-a<0,得110ax2+910ax-a<0,∵a<0,即为x2+9x-10>0,解得x<-10或x>1.答案:A8.解析:因为f(x)=x(|x|+1),所以f(-x)=-x(|-x|+1)=-x(|x|+1)=-f(x),所以f(x)为奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+x,可知f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,0]上也单调递增,即f(x)为R上的增函数,所以f(x2)+f(x-2)>0⇒f(x2)>-f(x-2)⇒f(x2)>f(2-x),所以x2>2-x,解得:x<-2或x>1.答案:D9.解析:∵A={x|-1<x≤3},B={x||x|≤2}={x|-2≤x≤2},∴A∩B={x|-1<x ≤3}∩{x|-2≤x≤2}={x|-1<x≤2},故A不正确;A∪B={x|-1<x≤3}∪{x|-2≤x≤2}={x|-2≤x≤3},故B正确;∵∁RB={x|x<-2或x>2},∴A∪(∁RB)={x|-1<x≤3}∪{x|x<-2或x>2}={x|x<-2,或x>-1},故C不正确;A∩(∁RB)={x|-1<x≤3}∩{x|x<-2,或x>2}={x|2<x≤3},故D正确.答案:BD10.解析:对于B,因为对任意的自变量x可能有两个不同的y值与其对应,这与函数的定义有唯一确定的元素y与之对应矛盾.答案:ACD11.解析:选项A 中,14<x <34且x ∈Z ,不成立;选项B 中,x =-15,与x ∈Z 矛盾;选项C 中,x ≠±1时,x 2-1≠0;选项D 正确.答案:ABC12.解析:当x <0时,x +1x <0,故选项A 错误;因为x 2+1≥1,所以选项B 正确;因为3x (2-x )=-3(x -1)2+3≤3,当x =1时取等号,故3x (2-x )的最大值为3,所以选项C 错误;因为x 2+7x 2+2=(x 2+2)+7x 2+2-2≥2(x 2+2)·7x 2+2-2=27-2,(当且仅当x 2+2=7x 2+2时取“=”),所以选项D 正确.答案:BD13.解析:化-2x 2+x +3<0为2x 2-x -3>0,解方程2x 2-x -3=0得x 1=-1,x 2=32,所以不等式2x 2-x -3>0的解集为(-∞,-1)∪(32,+∞),即原不等式的解集为(-∞,-1)∪(32,+∞).答案:(-∞,-1)∪(32,+∞)14.解析:函数f (x )=(m -2)x 2+(m -1)x +2是偶函数,则函数的对称轴为y 轴,所以m -1=0,即m =1,所以函数的解析式为f (x )=-x 2+2,所以函数f (x )的单调递增区间是(-∞,0].答案:(-∞,0]15.解析:由题意知,当a =1,b =-1时,满足a >b ,但是1a >1b ,故答案可以为1,-1.(答案不唯一,满足a >0,b <0即可)答案:1,-1(答案不唯一)16.解析:令x -4=0,解得x =4;令x 2-4x +3=0,解得x =1或x =3.因为函数f (x )恰有2个零点,结合函数的图象(图略)可知1<λ≤3或λ>4.答案:(1,3]∪(4,+∞)17.解析:(1)因为A ={x |x 2-6x -16≤0}={x |-2≤x ≤8},B ={x |-3≤x ≤5},所以A ∩B ={x |-2≤x ≤5},因为C ⊆(A ∩B ),C ={x |m +1≤x ≤2m -1},①若C =∅,则m +1>2m -1,所以m <2;②若C ≠∅+1≤2m -1,+1≥-2,m -1≤5,所以2≤m ≤3,综上,实数m 的取值范围为{m |m ≤3},(2)由(1)得A ∪B ={x |-3≤x ≤8},因为D ={x |x >3m +2},且(A ∪B )∩D =∅,所以只需3m +2≥8,解得m ≥2,所以实数m 的取值范围为{m |m ≥2}.18.解析:(1)证明:设任意x 1,x 2∈(1,+∞)且x 1≠x 2,则x 1-1>0,x 2-1>0.则Δf Δx =f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2=1x 1-1-1x 2-1x 1-x 2=-1(x 1-1)(x 2-1)<0,∴f (x )在(1,+∞)上递减.(2)解:g (x )=f (x +1)-1=1x,g (x )是奇函数,证明如下:∵g (x )=1x 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且g (-x )=-1x =-g (x ),∴g (x )是奇函数.19.解析:(1)当a =1时,f (x )=x 2-5x +6是开口向上,对称轴为x =52的二次函数,又因为x ∈[1,6),所以当x ∈[1,52)时,函数f (x )单调递减;当x ∈[52,6)时,函数f (x )单调递增;所以f (x )min =f (52)=254-5×52+6=-14,又因为f (1)=2,f (6)=12,所以f (x )max =12,因此f (x )在x ∈[1,6)上的值域为[-14,12).(2)由f (x )>0,得ax 2-(3a +2)x +6=(ax -3)(x -2)>0.因为a >0,所以①当a =32时,由f (x )>0解得x ≠2;②当0<a <32时,由f (x )>0解得x <3a 或x >2;③当a >32时,由f (x )>0解得x <2或x >3a ,综上,当a =32时,原不等式的解集为{x |x ≠2};当0<a <32时,原不等式的解集为|x <3a 或x当a >32时,原不等式的解集为|x <2或x 20.解析:(1)方法一f (x )≥a 恒成立,即x 2+ax +3-a ≥0恒成立,设g (x )=x 2+ax +3-a ,可知Δ=a 2-4(3-a )≤0,解得-6≤a ≤2,故a 的取值范围为[-6,2].方法二x 2+ax +3-a ≥0恒成立,只需g (x )=x 2+ax +3-a 的最小值g (x )min ≥0,又g (x )=x 2+ax +3-a =(x +a 2)2+3-a -a 24,∴g (x )min =3-a -a 24≥0,解得-6≤a ≤2,故a 的取值范围为[-6,2].(2)原不等式可化为x 2+ax +3-a ≥0,x ∈[-2,2],设g (x )=x 2+ax +3-a ,则只需g (x )在x ∈[-2,2]上的最小值大于等于0.①若-a2≥2,即a ≤-4,则g (x )min =g (2)=7+a ≥0,∴a ≥-7,∴-7≤a ≤-4;②若-2<-a2<2,即-4<a <4,则g (x )min =g (-a 2)=3-a -a 24≥0,∴-6≤a ≤2,∴-4<a ≤2;③若-a2≤-2,即a ≥4,则g (x )min =g (-2)=7-3a ≥0,∴a ≤73,∴a ∈∅,综上,得-7≤a ≤2.21.解析:(1)当0<x ≤40时,y =100x ;当40<x ≤m 时,y =[100-(x -40)]x =-x 2+140x ;当x >m 时,y =(140-m )x,所以y x ,0<x ≤40,x 2+140x ,40<x ≤m ,m )x ,x >m .(2)因为当0<x ≤40时,y =100x ,y 随x 的增大而增大,当x >m 时,因为40<m ≤100,所以140-m >0.所以y =(140-m )x ,y 随x 的增大而增大,当40<x ≤m 时,y =[100-(x -40)]x =-x 2+140x =-(x -70)2+4900,所以当40<x ≤70时,y 随x 增大而增大,当x >70时,y 随x 增大而减小,因为x ≤m ,所以,当40<m ≤70时,景点收取的总费用随着团队中人数的增加而增加.22.解析:(1)函数f (x )在[0,1]上单调递增.证明如下:设0≤x 1<x 2≤1,则f (x 1)-f (x 2)=x 1+1x 1+1-x 2-1x 2+1=(x 1-x 2)+x 2-x 1(x 1+1)(x 2+1)=(x 1-x 2)(x 1x 2+x 1+x 2)(x 1+1)(x 2+1),因为x 1-x 2<0,(x 1+1)(x 2+1)>0,x 1x 2+x 1+x 2>0,所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),所以函数f (x )在[0,1]上单调递增.(2)由(1)知,当m ∈[0,1]时,f (m )∈[1,32].因为a >0,g (x )=ax +5-2a 在[0,1]上单调递增,所以m 0∈[0,1]时,g (m 0)∈[5-2a ,5-a ],依题意,只需[1,32]⊆[5-2a ,5-a ],a ≤1,a ≥32,解得2≤a ≤72,即实数a 的取值范围为[2,72].。
2019-2020年高中数学人教B版必修5单元提分卷:(9)不等式的实际应用 Word版含答案
单元提分卷(9)不等式的实际应用1、—服装厂生产某种风衣,日产量(单位:件)为 x 时,售价为p 元/件,每天的总成本为R 元,且1602,50030p x R x =-=+,要使获得的日利润不少于1300元,则该厂的日产量 x 的取值范围为( ) A. ()0,45 B. (]0,45 C. (]0,20 D. []20,452、如果一辆汽车每天行驶的路程(单位: km )比原来多19km ,那么在8天内,它行驶的路程S 就超过2200km ;如果它每天行驶的路程比原来少12?km ,那么它行驶同样的路程S 就得花9天多的时间,那么这辆汽车原来每天行驶的路程的取值范围为( )A.(259,260)B.(258,260)C.(257,260)D.(256,260) 3、做一个面积为21m ,形状为直角三角形的铁架框,在下面四种长度的铁管中,最合理(够用,又浪费最少)的是( ) A. 4.6?m B. 4.8m C. 5m D. 5.2m4、设计用232m 的材料制造某种长方体车厢(无盖),按交通规定车厢宽为2m ,则车厢的最大容积是( )A. (338m - B. 316mC. 3D. 314m5、将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,每涨价1元,其销售量就减少20个,为获得最大利润,售价应定在( )A.每个95元B.每个100元C.每个105元D.每个110元6、在面积为S (S 为定值)的扇形中,当扇形中心角为θ,半径为r 时,扇形周长最小,这时θ、r 的值分别是( )A. 1,r θ==B. 2,r θ==C. 2,r θ==D. 2,r θ==7、把长为12cm 的细铁丝截成两段,各自摆成一个正三角形,那么这两个三角形的面积之和的最小值为( )A.22B. 24cmC. 2D. 28、气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n 天的维修保养费为4.910n+元(*)n N ∈,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了( ) A.600天 B.800天 C.1000天 D.1200天 9、某商场2014年中秋节前30天月饼的销售总量(单位:盒) ()f t 与时间(单位: 天)(030)t t <≤的关系大致满足2()1016f t t t =++,则该商场前t 天平均售出(如前10天平均售出的月饼(10)10f )的月饼至少为( ) A.16盒 B.18盒 C.20盒 D.27盒 10、一服装厂生产某种风衣,月生产量(单位:件)为x 时,售价为p 元/件,成本为R 元,且1602p x =-,50030R x =+,要使获得的月利润不少于1300元,则该厂的月产量x 的取值范围为( )A.(0,45)B.(0,45]C.(0,20]D.[20,45]11、某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份增加%x ,八月份销售额比七月份增加%x ,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,则x 的最小值是__________.12、光线透过一块玻璃,其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下,至少需这样的玻璃板__________块.(参考数据: 20.3010,30.4771lg lg ==)13、现有含盐7%的盐水200克,生产含盐5%以上6%以下的盐水,设需要加入含盐4%的盐水 x 克,则 x 的取值范围是__________.14、国家为了加强对烟酒生产的宏观管理,对烟酒销售征收了附加税.已知4种酒每瓶售价为70元, 不收附加税时,每年大约销售100万瓶,若每销售100元要征收附加税r 元(即税率为%r ),每年的销售量将减少10r 万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,那么r 的取值范围是__________.15、一批救灾物资随26辆汽车从某市以x 千米/小时速度匀速直达灾区,已知两地公路长400千米,为安全起见,两汽车间距不得小于220x ⎛⎫ ⎪⎝⎭千米,则物资全部到灾区,最少需要__________h.17、某小区内有一个矩形花坛ABCD ,现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ,要求点B 在AM 上,点D 在AN 上,且对角线MN 过点C ,如图所示.已知3AB =米, 2AD =米.1.要使矩形AMPN 的面积大于32平方米,则DN 的长应在什么范围内?2.当DN 的长是多少时,矩形花坛AMPN 的面积最小?并求出最小值.18、某建筑工地决定建造一批简易房(房型为长方体,房高为2.5米),前后墙用2.5米高的彩色钢板,两侧用2.5米高的复合钢板,两种钢板的价格都用长度来计算(钢板的高均为2.5米,用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格),每米售价:彩色钢板为450元,复合钢板为200元.房顶用其他材料建造,每平方米的材料费为200元.每套房的材料费控制在32000元以内.1.设房前后墙的长均为 x 米,两侧墙的长均为y 米,每套房所用材料费为P 元,试用 ,x y 表示P .2.当前面墙的长度为多少时,简易房的面积最大? 并求出最大面积. 16现有含盐的食盐水200克,生产需要含盐大于且小于的食盐水,设需要加入含盐的食盐水克,则的范围是 。
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胜利一中2012~2013学年第一学期期中模块考试
高二数学试题(理科)
说明:本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分;答题时间120分钟。
请把选择题答案涂在答题卡上;第Ⅱ卷答在答题纸上。
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题只有一个正确选项)
1.在数列1,1,2,3,5,8,x ,21,34,55…中,x 等于()
A .11
B .12
C .13
D .14
2.不等式组221030
x x x ⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩的解集是() A .{}|11x x -<<B .{}|13x x <≤C .{}|10x x -<≤D .{}| 1 3x x or x <≥
3.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为()
A .90°
B .120°
C .135°
D .150°
4.等差数列{}n a 中,14739a a a ++=,36927a a a ++=,则前9项的和9S 等于()
A .66
B .99
C .144
D .297
5.在实数范围内,下列命题正确的是()
A .若a>b ,则1b a <
B .若ab>0,a>b ,则11a b
< C .若a>b ,则lg(a-b)>0D .若a>b,c<d ,则a+c>b+d
6.若a>b>0,则下面不等式中成立的是()
A .2a b a b +>>
>.2
a b a b +>>>
C .2a b a b +>>>.2
a b a b +>>> 7.已知x>0,y>0,且191x y +=,则x+y 的最小值是() A .4B .12C .16D .18
8.已知{}n a 为等差数列,135105a a a ++=,24699a a a ++=,以n S 表示{}n a 的前n 项和,则使得n S 达到最大值的n 是()
A .21
B .20
C .19
D .18
9.设A 是△ABC 中的最小角,且1cos 1a A a -=
+,则实数a 的取值范围是() A .a ≥3B .a >-1C .-1<a ≤3D .a >0
10.若222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩
,则目标函数z=x+2y 的取值范围是()
A .[2,6]
B .[2,5]
C .[3,6]
D .[3,5]
11.已知方程22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为
14的等差数列,则m n -=() A .1B .
34C .12D .38
12.锐角△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若C=2A ,则
c a
的取值范围是() A .(1, 2)B
.(1,C
. 2)D
.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题4分,共16分)
13.已知()11f x x x =++-,若对于一切x R ∈,都有()f x a >,则实数a 的取值范围是____
14.设1()42
x f x =+,利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法,可求得f(-3)+f(-2)+…+f(0)+…+f(3)+f(4)的值为____
15.在△ABC
中若2, 30a b A ===︒,则B 等于____
16.已知数列{}n a 满足123231*********
n n a a a a n ++++=+L ,则{}n a 的通项公式为____
三、解答题:写出必要的文字说明,计算步骤(本大题共6小题,共74分)
17.(本小题满分12分)(1)在等差数列{}n a 中,152, 10d a ==-,求1a 及n S ;
(2)在等比数列{}n a 中,3339, 22
a S =
=,求1a 及q .
18.(本小题满分12分)在△ABC 中,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长,已知a 、b 、c 成等比数列,且22a c ac bc -=-,(1)求∠A 的大小;(2)求
sin b B c
的值。
19.(本小题满分12分)若不等式20ax bx c -+>的解集是{}|23x x -<<,求不等式20cx bx a ++>的解集。
20.(本小题满分12分)在数列{}n a 中,111, 22n n n a a a +==+.
(1)设12
n n n a b -=
,证明:数列{}n b 是等差数列;(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .
21.(本小题满分12分)如图所示,将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的(设可以无限大)矩形花园AMPN ,要求B 在AM 上,D 在AN 上,且对角线MN 过C 点,已知AB=3米,AD=2米。
(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米,则AN 的长应在什么范围内?
(2)当AN 的长度是多少时,矩形AMPN 的面积最小?并求出最小面积。
22.(本小题满分14分)已知α为锐角,且tan 21α=-,函数2()tan 2sin(2)4f x x x παα=++,数列{}n a 的首项111, ()2
n n a a f a +==. (1)求f(x)的函数表达式;(2)求证:1n n a a +>;
(3)求证:121111 2 (2, )111n
n n N a a a +<+++<≥∈+++L。