2019年高考数学一轮复习课时分层训练44直线与圆圆与圆的位置关系文北师大版20180409314
2019年北师版文数高考一轮复习 第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
相交 ，Δ＝0⇔_____ 相切 ，Δ<0⇔相离． 判别式 Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔_____
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2019版高三一轮
2．圆与圆的位置关系 设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r2 1(r1>0)， 圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r2 2(r2>0)． 方法 几何法：圆心距 d 与 代数法：联立两个圆的方程组 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 r1，r2 的关系 成方程组的解的情况
[ 知识拓展] 1．圆的切线 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是xx0＋yy0＝r2； (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是(x－a)(x0－a) ＋(y－b)(y0－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程 为x0x＋y0y＝r2.
(1)A (2)x＋2y－5＝0 (3)4π [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线 l 的距离 d＝
|m| <1< 5.故直线 l 与圆相交． 2 m ＋1 法二：直线 l：mx－y＋1－m＝0 过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆 C：x2＋(y－1)2 ＝5 的内部，∴直线 l 与圆 C 相交．
2 2
2
2
3 5 2 2 － ＝ 5
55 .] 5
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5．(2018· 张家口模拟)已知直线12x－5y＝3与圆x2＋y2－6x－8y＋16＝0相交于 A，B两点，则|AB|＝________. 【导学号：00090279】
4 2 [把圆的方程化成标准方程为(x－3)2＋(y三一轮
(2)若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为 __________．
2019届一轮复习北师大版 直线与圆、圆与圆的位置关系 课件
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2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2= r1 (r1>0), 圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2= r22(r2>0).
2
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1.(2017北京朝阳一模,4)已知直线l过定点(0,1),则“直线l与圆(x-2)2+y2=4相
|m| 3 6 = ,所以m=± ,故选D. 2 2 2
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4.若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为 x+2y-5=0 . 答案 x+2y-5=0 解析 设圆的方程为x2+y2=r2,将P的坐标代入圆的方程,得r2=5,故圆的方
程为x2+y2=5. 设该圆在点P处的切线上的任意一点为M(x,y),则 PM =(x-1,y-2).由 OP ⊥
| m |
2
m 1
<1< 5,故直线l与圆C相
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(2)解法一:将直线方程代入圆方程,得(k2+1)x2+4kx+3=0,直线与圆没有公 共点的充要条件是Δ=16k2-12(k2+1)<0,解得k∈(- 3, 解法二:圆心(0,0)到直线y=kx+2的距离d= 的充要条件是d>1,即
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3.(2018北京海淀高三期末,5)已知直线x-y+m=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B 两点,且△OAB为正三角形,则实数m的值为
3 6 B. 2 2 3 3 6 6 C. 或D. 或2 2 2 2
高三数学一轮复习 9-4直线与圆、圆与圆的位置关系 北师大版
()
A.－34，0
B.－∞，－34∪[0，＋∞)
C.－
33，
3 3
[答案] A
D.－23，0
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第二章 函数与基本初等函数
[解析] 如图，取 MN 中点为 H，连 CH、CN，则△ CHN 为 Rt△，又 HN＝ 3.R＝2，故 CH＝1.由 HN≥ 3
知圆心到直线的距离等于 CH|3kk2＋＋11|≤1. ∴－34≤k≤0，故斜率范围是[－34，0]，选 A.
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第二章 函数与基本初等函数
2．直线 ax－y＋ 2a＝0 (a≥0)与圆 x2＋y2＝9 的位置
关系是( )
A．相离
B．相交
C．相切
D．不确定
[答案] B [解析] 圆心 O(0,0)到直线 ax－y＋ 2a＝0 的距离
d＝ a22＋a 1≤1<3.
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第二章 函数与基本初等函数
方法位 置关系
几 何 法
代 数 法
<
>
相交 D Δ
＝
＝
r0
相切 D Δ
>
<
r0
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第二章 函数与基本初等函数
2.圆与圆的位置关系
设 圆 O1 ： (x － a1)2 ＋ (y － b1)2 ＝ r12(r1>0) ， 圆 O2 ： (x － a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).
∴|1－1＋3kk2|＝2，∴k＝－ 3，
∴切线方程为 3x＋y－2＝0.
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北师大版高中数学必修二高考一轮复习同步训练直线与圆、圆与圆的位置关系
课时作业(四十七) [第47讲 直线与圆、圆与圆的位置关系][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．直线x ＋3y －2＝0被圆(x －1)2＋y 2＝1截得的线段的长为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．22．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )A ．πB ．2πC ．4πD ．6π 3．[2011·哈尔滨九中二模] 已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24 D.⎝⎛⎭⎫－18，18 4．集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2}，其中r >0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的取值集合为( )A ．{3}B ．{7}C ．{3,7}D ．{2,7} 能力提升 5．[2011·山东实验中学二模] 圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0⎝⎛⎭⎫θ≠π2＋k π，k ∈Z 的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不能确定 6．[2011·重庆卷] 在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2 7．[2011·吉林一中冲刺] 曲线y ＝1＋4－x 2(|x |≤2)与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点时，实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤512，34B.⎝⎛⎭⎫512，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫13，34 D.⎝⎛⎭⎫0，512 8．[2010·江西卷] 直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎣⎡⎦⎤－23，0 9．[2011·郑州三模] 若函数f (x )＝1b e ax 的图像在x ＝0处的切线l 与圆C ：x 2＋y 2＝1相离，则P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定10．[2011·吉林一中冲刺] 在平面直角坐标系xOy 中，已知x 2＋y 2＝4圆上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．11．[2010·山东卷] 已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．12．已知直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，|OA →＋OB →|≥|AB →|，那么实数m 的取值范围是________．13．[2011·江苏卷] 设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪m 2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．14．(10分)求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程．15．(13分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线m ，使m 被圆C 截得的弦为AB ，且以AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，说明理由．难点突破16．(12分)已知与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切的直线l 交x 轴，y 轴于A ，B 两点，|OA |＝a ，|OB |＝b (a >2，b >2)．(1)求证：(a －2)(b －2)＝2； (2)求线段AB 中点的轨迹方程； (3)求△AOB 面积的最小值．课时作业(四十七)【基础热身】1．C [解析] 圆心到直线的距离d ＝|1＋0－2|12＋(3)2＝12， ∴弦长l ＝2r 2－d 2＝ 3.2．B [解析] 圆即x 2＋(y －6)2＝32，数形结合知所求的圆弧长为圆周长的三分之一，即13×(2π)×3＝2π.3．C [解析] 圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线方程是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，根据点线距离公式得|k ＋2k |k 2＋1<1，即k 2<18，解得－24<k <24.4．C [解析] 集合A ，B 表示两个圆，A ∩B 中有且仅有一个元素即两圆相切，有内切和外切两种情况，由题意，外切时，r ＝3；内切时，r ＝7，即r 的值是3或7.【能力提升】5．A [解析] 圆心到直线的距离d ＝11＋sin 2θ，根据θ的取值范围，0≤sin 2θ<1，故d >12＝r ⎝⎛⎭⎫注意条件θ≠π2＋k π，k ∈Z 时，sin θ≠±1.. 6．B [解析] 将圆方程配方得(x －1)2＋(y －3)2＝10. 设圆心为G ，易知G (1,3)．最长弦AC 为过E 的直径，则|AC |＝210.最短弦BD 为与GE 垂直的弦，如图1－2所示．易知|BG |＝10，|EG |＝(0－1)2＋(1－3)2＝5， |BD |＝2|BE |＝2BG 2－EG 2＝2 5.所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC ||BD |＝10 2.故选B.7．A [解析] 曲线y ＝1＋4－x 2为一个半圆，直线y ＝k (x －2)＋4为过定点的直线系，数形结合、再通过简单计算即可．曲线和直线系如图，当直线与半圆相切时，由|－2k －1＋4|1＋k 2＝2，解得k ＝512，又k AP＝34，所以k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤512，34.8．C [解析] 直线过定点(0,3)．当直线与圆的相交弦长为23时，由垂径定理定理可得圆心到直线的距离d ＝1，再由点到线的距离公式可得|2k －3＋3|1＋k 2＝1，解得k ＝±33.结合图像可知当直线斜率满足k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33时，弦长|MN |≥2 3. 9．B [解析] f ′(x )＝a b e ax ，所以在x ＝0处的切线斜率为k ＝ab ，切点为⎝⎛⎭⎫0，1b ，切线方程为y －1b ＝ab x ，即ax －by ＋1＝0，它与圆x 2＋y 2＝1相离，所以圆心到该直线的距离大于1，即1a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<1，所以点在圆内．10．(－13,13) [解析] 直线12x －5y ＋c ＝0是平行直线系，当圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到该直线的距离等于1时，得保证圆心到直线的距离小于1，即|c |13<1，故－13<c <13.11．x ＋y －3＝0 [解析] 由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.12．(－2，－2]∪[2，2) [解析] 方法1：将直线方程代入圆的方程得2x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，Δ＝4m 2－8(m 2－2)>0得m 2<4，即－2<m <2.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－22，|OA →＋OB →|≥|AB →|即|OA →＋OB →|≥|OB →－OA →|，平方得OA →·OB →≥0，即x 1x 2＋y 1y 2≥0，即x 1x 2＋(m ＋x 1)(m ＋x 2)≥0，即2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2≥0，即2×m 2－22＋m (－m )＋m 2≥0，即m 2≥2，即m ≥2或m ≤－ 2.综合知－2<m ≤－2或2≤m <2.方法2：根据向量加减法的几何意义|OA →＋OB →|≥|AB →|等价于向量OA →，OB →的夹角为锐角或者直角，由于点A ，B 是直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，故只要圆心到直线的距离大于或者等于1即可，也即m 满足1≤|m |2<2，即－2<m ≤－2或者2≤m <2.13.12≤m ≤2＋2 [解析] 若m <0，则符合题的条件是：直线x ＋y ＝2m ＋1与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，从而由|2－2m －1|2≤|m |，解之得2－22≤m ≤2＋22，矛盾；若m ＝0，则代入后可知矛盾；若m >0，则当m 2≤m 2，即m ≥12时，集合A 表示一个环形区域，且大圆半径不小于12，即直径不小于1，集合B 表示一个带形区域，且两直线间距离为22，从而当直线x ＋y ＝2m 与x ＋y ＝2m ＋1中至少有一条与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，即可符合题意，从而有|2－2m |2≤|m |或|2－2m －1|2≤|m |，解之得2－22≤m ≤2＋2， 所以综上所述，实数m 的取值范围是12≤m ≤2＋ 2.14．[解答] 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，由题知所求圆与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切，则(a －1)2＋b 2＝r ＋1.①又所求圆过点M 的切线为直线x ＋3y ＝0， 故b ＋3a －3＝ 3.② |a ＋3b |2＝r .③ 解由①②③组成的方程组得a ＝4，b ＝0，r ＝2或a ＝0，b ＝－43，r ＝6. 故所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36. 15．[解答] 设存在直线方程为y ＝x ＋b 满足条件， 代入圆的方程得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，直线与该圆相交则Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0，解得－3－32<b <－3＋3 2.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42， 以AB 为直径的圆过原点时，AO ⊥BO ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，即2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，把上面式子代入得b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0，即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝－4或b ＝1，都在－3－32<b <－3＋32内，故所求的直线是y ＝x －4或y ＝x ＋1.【难点突破】16．[解答] (1)证明：圆的标准方程是(x －1)2＋(y －1)2＝1，设直线方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，圆心到该直线的距离d ＝|a ＋b －ab |a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＋a 2b 2＋2ab －2a 2b－2ab 2＝a 2＋b 2，即a 2b 2＋2ab －2a 2b －2ab 2＝0，即ab ＋2－2a －2b ＝0，即(a －2)(b －2)＝2.(2)设AB 中点M (x ，y )，则a ＝2x ，b ＝2y ，代入(a －2)(b －2)＝2，得(x －1)(y －1)＝12(x >1，y >1)．(3)由(a －2)(b －2)＝2得ab ＋2＝2(a ＋b )≥4ab ，解得ab ≥2＋2(舍去ab ≤2－2)，当且仅当a ＝b 时，ab 取最小值6＋42，所以△AOB 面积的最小值是3＋2 2.。
2019高三数学北师大版理科一轮：课时规范练47 直线与
课时规范练47直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固组1.对任意的实数k,直线y=kx-1与圆x2+y2-2x-2=0的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.以上三个选项均有可能2.(2017河南六市联考二模,理5)已知圆C:(x-1)2+y2=r2(r>0).设条件p:0<r<3,条件q:圆C上至多有2个点到直线x-y+3=0的距离为1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=()A.21B.19C.9D.-114.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离5.(2017山东潍坊二模,理7)已知圆C1:(x+6)2+(y+5)2=4,圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1,M,N分别为圆C1和C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为() A.7 B.8 C.10 D.136.(2017福建宁德一模)已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,则圆C中以-为中点的弦长为()A.1B.2C.3D.47.直线y=-x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点,则m的取值范围是()A.(,2)B.(,3)C. D.〚导学号21500571〛8.(2017福建泉州一模)过点P(-3,1),Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2+y2=1相切,则a的值为.9.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.10.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=.综合提升组11.(2017山东潍坊模拟,理9)已知圆M过定点(0,1)且圆心M在抛物线x2=2y上运动,若x轴截圆M所得的弦为|PQ|,则弦长|PQ|等于()A.2B.3C.4D.与点位置有关的值12.已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且有||≥|,则k的取值范围是()A.(,+∞)B.[,+∞)C.[,2)D.[,2) 〚导学号21500572〛13.已知圆C:x2+y2=4,过点A(2,3)作圆C的切线,切点分别为P,Q,则直线PQ的方程为.14.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.创新应用组15.已知圆心为C的圆满足下列条件:圆心C位于x轴正半轴上,与直线3x-4y+7=0相切,且被y轴截得的弦长为2,圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程;(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.16.(2017福建福州一模)已知圆O:x2+y2=4,点A(-,0),B(,0),以线段AP为直径的圆C1内切于圆O,记点P的轨迹为C2.(1)证明|AP|+|BP|为定值,并求C2的方程;(2)过点O的一条直线交圆O于M,N两点,点D(-2,0),直线DM,DN与C2的另一个交点分别为S,T,记△DMN,△DST的面积分别为S1,S2,求的取值范围.〚导学号21500573〛参考答案课时规范练47直线与圆、圆与圆的位置关系1.C直线y=kx-1恒经过点A(0,-1),02+(-1)2-2×0-2=-1<0,则点A在圆内,故直线y=kx-1与圆x2+y2-2x-2=0相交,故选C.2.C圆心(1,0)到直线x-y+3=0的距离d=-=2.由条件q:圆C上至多有2个点到直线x-y+3=0的距离为1,则0<r<3.则p是q的充要条件.故选C.3.C圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=1,圆C2的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圆心C2(3,4),半径r2=-,从而|C1C2|==5.由两圆外切得|C1C2|=r1+r2,即1+-=5,解得m=9,故选C.4.B圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d= a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2-=2-a,由题意可得a=2,故a=2.圆N的圆心N(1,1),半径r=1.而|MN|=--,显然R-r<|MN|<R+r,所以两圆相交.5.A圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A(-6,-5),半径为2,圆C2的圆心坐标(2,1),半径为1,|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和,即-----3=7.故选A.6.D∵圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,∴直线3x-ay-11=0过圆心C(1,-2),∴3+2a-11=0,解得a=4,∴-即为(1,-1),点(1,-1)到圆心C(1,-2)的距离d=--=1,圆C:x2+y2-2x+4y=0的半径r=,∴圆C中以-为中点的弦长为2-=2-=4.故选D.7.D当直线经过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,此时m=1;当直线与圆相切时,有圆心到直线的距离d==1,解得m=(切点在第一象限),所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点,则1<m<.8.-因为P(-3,1)关于x轴的对称点的坐标为P'(-3,-1),(x-a),即x-(3+a)y-a=0,圆心(0,0)到直线的距离d==1,所以直线P'Q的方程为y=---所以a=-.9.4π圆C的方程可化为x2+(y-a)2=2+a2,直线方程为x-y+2a=0,所以圆心坐标为(0,a),半径r2=a2+2,圆心到直线的距离d=.由已知(2+=a2+2,解得a2=2,故圆C的面积为π(2+a2)=4π.10.4±由△ABC为等边三角形可得,C到AB的距离为,即(1,a)到直线ax+y-2=0的距离d=,即a2-8a+1=0,可求得a=4±.11.A设M,r=-,∴圆M的方程为(x-a)2+-=a2+-,令y=0,得x=a±1,∴|PQ|=a+1-(a-1)=2.故选A.12.C设AB中点为D,则OD⊥AB,∵||≥|,∴2||≥|,∴||≤2|.∵||2+|2=4,∴||2≥1.∵直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,∴||2<4.∴4>||2≥1∴4>≥1.∵k>0,∴≤k<2,故选C.13.2x+3y-4=0以O(0,0),A(2,3)为直径端点的圆的方程为x(x-2)+y(y-3)=0,即x2+y2-2x-3y=0,与圆C:x2+y2=4相减得2x+3y-4=0,故直线PQ的方程为2x+3y-4=0.14.解 (1)因为圆C1:x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=mx,M(x0,y0).由-得(1+m2)x2-6x+5=0,则Δ=36-20(1+m2)>0,解得-<m<,故x0=,且<x0≤3.因为m=,所以x0=,整理得-.所以M的轨迹C的方程为-+y2=.(3)存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.由(2)得M的轨迹C为一段圆弧,其两个端点为P,Q-,直线L:y=k(x-4)过定点E(4,0),①k PE=-=-,k QE=--,当-≤k≤时,直线L与曲线C只有一个交点.②当直线L与曲线C相切时,L的方程可化为kx-y-4k=0,则-,解得k=±.综上所述,当-≤k≤或k=±时,直线L与曲线C只有一个交点.15.解 (1)设圆C:(x-a)2+y2=r2(a>0),由题意知解得a=1或a=.又S=πr2<13,∴a=1,∴圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.(2)当斜率不存在时,直线l为x=0,不满足题意.当斜率存在时,设直线l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),又l与圆C相交于不同的两点,联立得-消去y得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0.∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0,解得k<1-或k>1+.x1+x2=--,y1+y2=k(x1+x2)+6=,=(x1+x2,y1+y2),=(1,-3),假设,则-3(x1+x2)=y1+y2,解得k=--,假设不成立,∴不存在这样的直线l.16.(1)证明设AP的中点为E,切点为F,连接OE,EF(图略),则|OE|+|EF|=|OF|=2,故|BP|+|AP|=2(|OE|+|EF|)=4.所以点P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=,b=1,则C2的方程是+y2=1.(2)解设直线DM的方程为x=my-2(m≠0 .∵MN为圆O的直径,∴∠MDN=90°,∴直线DN的方程为x=-y-2,由-得(1+m2)y2-4my=0,∴y M=,由-得(4+m2)y2-4my=0,∴y S=,∴,∴.∵|DM|=|y M-0|,|DS|=|y S-0|,|DN|=|y N-0|,|DT|=|y T-0|,又△DMN,△DST都是有同一顶点的直角三角形, ∴.设s=1+m2,则s>1,0<<3,∴-.。
高考数学一轮复习备课手册第44课直线与圆的位置关系
第课直线与圆的位置关系一、考纲要求．理解直线与圆的位置关系,会利用直线与圆的方程判断其位置关系,能够根据所给关系解决相关问题；理解圆与圆的位置关系,能够根据两圆的方程判断它们的位置关系;会利用直线与圆的方程解决简单的综合问题,领悟用代数方法处理几何问题的本质，二、知识梳理回顾要求1．阅读教材第页页，理解直线和圆有哪些位置关系，用直线与圆的方程怎么判断直线和圆的关系？2．理解圆心到直线的距离公式，能否用圆心到直线的距离判断直线和圆的关系？3．当知道了圆心到直线的距离为，能否写出直线与圆相交形成的弦的长度？4．两圆的关系有哪些，怎么来判定他们的关系5．阅读教材页的例后思考，切线的长度怎么求要点解析1、直线与圆有相离、相切、相交三种关系，可以用直线和圆方程联立方程组，消去，后观察二次方程的即可，，相交；，相切；，相离。
2、用点到直线距离公式可以写出圆心到直线的距离，比较与半径的关系。
，直线和圆相离，，直线与圆相交；，直线与圆相切。
3、把半径和以及弦长的一半放在一个直角三角形中，。
4、根据两圆圆心之间距离和两半径之间关系可以分成：外离、外切、相交、内切、内含五种情况。
5、切线的长度由点到圆心距离，半径构成的直角三角形中求得，以后再碰到切线的问题，转化为圆心的直线的距离的问题。
三、诊断练习、教学处理：课前由学生自主完成小题，在学习笔记栏写出基本方法，课前抽查部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误，点评时要简洁，要点击要害、诊断练习点评题.直线与圆相切,则实数等于．【分析与点评】方法一：直线与圆相切从形转：化到数，方法二：直线和圆的方程联立方程组，消去，令【变式】直线与圆相交,则实数范围．题. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为．【分析与点评】重点巩固半径，圆心距，半径构成的特征三角形的关系【变式】过原点的直线被圆所截得的弦长为的有条，弦长为的有条.题.圆与圆的位置关系是【分析与点评】外切将圆的方程标准化可得，可得，圆的方程标准化x可得，所以，所以，所以圆外切。
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系知能训练轻松闯关文北师大版
【2019最新】精选高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系知能训练轻松闯关文北师大版1．在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线x－y－4＝0相切，则圆O的方程为( )A．x2＋y2＝4B．x2＋y2＝3C．x2＋y2＝2D．x2＋y2＝1解析：选A.依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x－y－4＝0的距离，即r＝＝2，得圆O的方程为x2＋y2＝4. 2．(2016·泉州质检)若直线3x－4y＝0与圆x2＋y2－4x＋2y－7＝0相交于A，B两点，则弦AB的长为( )B．4A．2D．42C．2 解析：选D.圆x2＋y2－4x＋2y－7＝0的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝12，则圆心为(2，－1)，半径r＝2，又圆心到直线3x－4y＝0的距离d＝＝2，所以弦AB的长为2＝2＝4. 3．(2016·甘肃省诊断考试)已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a，b∈R)，则两圆的位置关系是( )B．内切A．内含D．外切C．相交解析：选C.由O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4得圆心坐标为(a，b)，半径为2；由O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1得圆心坐标为(a＋1，b＋2)，半径为1，所以两圆圆心之间的距离为|O1O2|＝＝，因为|2－1|＝1＜＜2＋1＝3，所以两圆相交，故选C. 4．(2015·高考安徽卷)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )A．－2或12B．2或－12D．2或12C．－2或－12 解析：选D.法一：由3x＋4y＝b，得y＝－x＋，代入x2＋y2－2x－2y ＋1＝0，并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1，1)，半径为1，所以＝1，解得b＝2或12. 5．(2016·唐山模拟)已知圆C：x2＋y2＝1，点M(t，2)，若C上存在两点A ，B 满足＝，则t 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[－3，3]C ．[－，]D ．[－5，5] 解析：选C.如图，连接OM 交圆于点D.因为＝，所以A 是MB 的中点，因为圆x2＋y2＝1的直径是2，所以MA ＝AB≤2.又因为MD≤MA，OD ＝1，所以OM≤3.即点M 到原点的距离小于等于3，所以t2＋4≤9，所以－≤t≤.6．(2016·重庆一模)已知P(x ，y)是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一点，PA 是圆C ：x2＋y2－2y ＝0的一条切线，A 是切点，若PA 的最小长度为2，则k 的值为( ) A ．3 B.212 C ．2D ．2 解析：选D.圆C ：x2＋y2－2y ＝0的圆心是(0，1)，半径是r ＝1， 因为PA 是圆C ：x2＋y2－2y ＝0的一条切线，A 是切点，PA 的最小长度为2，所以圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为，由点到直线的距离公式可得＝，因为k ＞0，所以k ＝2，故选D.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为________．解析：设A(a ，0)，由题意可得A ，P ，C ，Q 四点共圆，且AC 是该圆的一条直径，记该圆的圆心为D ，则圆D 的方程为x2＋y2－ax －3y ＝0.易知PQ 是圆C 和圆D 的公共弦，又圆C 的方程为x2＋y2－6y ＋7＝0，所以两圆方程相减可得PQ ：ax －3y ＋7＝0，则圆心C 到直线PQ 的距离d ＝，又a2≥0，所以d∈，所以|PQ|＝2∈.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，22 8．(2016·云南省统一检测)已知f(x)＝x3＋ax －2b ，如果f(x)的图像在切点P(1，－2)处的切线与圆(x －2)2＋(y ＋4)2＝5相切，那么3a ＋2b ＝________．解析：由题意得f(1)＝－2⇒a －2b ＝－3，又因为f′(x)＝3x2＋a ，所以f(x)的图像在点(1，－2)处的切线方程为y ＋2＝(3＋a)(x －1)，即(3＋a)x－y－a－5＝0，所以＝⇒a＝－，所以b＝，所以3a＋2b＝－7.答案：－7 9．(2016·太原模拟)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB 是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是________．解析：四边形PACB的面积可表示为S＝2××|PA|×1＝|PA|＝，故当|PC|最小时，四边形PACB的面积最小．而|PC|的最小值是点C到直线3x＋4y＋8＝0的距离，此时|PC|＝3，故Smin＝2.答案：22 10．过直线x＋y－2＝0上的点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．解析：因为点P在直线x＋y－2＝0上，所以可设点P(x0，－x0＋2)，且其中一个切点为M.因为两条切线的夹角为60°，所以∠OPM＝30°.故在Rt△OPM中，有|OP|＝2|OM|＝2.由两点间的距离公式得|OP|＝＋（－x0＋2\r(2)）2)＝2，解得x0＝.故点P的坐标是(，)．答案：(，) 11．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；(3)过切点A(4，－1)．解：(1)设切线方程为x＋y＋b＝0，则＝，所以b＝1±2，所以切线方程为x＋y＋1±2＝0.(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，则＝，所以m＝±5，所以切线方程为2x＋y±5＝0.(3)因为kAC＝＝，所以过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，所以过切点A(4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0. 1．(2016·南昌模拟)已知过定点P(2，0)的直线l 与曲线y ＝相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当S △AOB ＝1时，直线l 的倾斜角为( )A ．150°B ．135°C ．120°D ．不存在 解析：选A.由y ＝得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O 为圆心，以为半径的半圆，其图像如图所示．设过点P(2，0)的直线为y ＝k(x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝， 弦长|AB|＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k|1＋k22＝2 ，所以S△AOB＝××2＝1， 解得k2＝，由图可得k ＝－， 故直线l 的倾斜角为150°. 2．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围； (2)若·＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|. 解：(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点， 所以＜1， 解得＜k ＜. 所以k 的取值范围为. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x ＋7＝0. 所以x1＋x2＝，x1x2＝. OM →·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8. 由题设可得＋8＝12，解得k ＝1， 所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN|＝2. 3．已知曲线C 的方程为：ax2＋ay2－2a2x －4y ＝0(a ≠0，a 为常数)．(1)判断曲线C 的形状；(2)设曲线C 分别与x 轴，y 轴交于点A ，B(A ，B 不同于原点O)，试判断△AOB 的面积S 是否为定值？并证明你的判断；(3)设直线l ：y ＝－2x ＋4与曲线C 交于不同的两点M ，N ，且|OM|＝|ON|，求曲线C的方程．解：(1)将曲线C的方程化为x2＋y2－2ax－y＝0⇒(x－a)2＋＝a2＋，可知曲线C是以点为圆心，以为半径的圆．(2)△AOB的面积S为定值．证明如下：在曲线C的方程中令y＝0，得ax(x－2a)＝0，得点A(2a，0)，在曲线C方程中令x＝0，得y(ay－4)＝0，得点B，所以S＝|OA|·|OB|＝·|2a|·＝4.(定值)(3)因为圆C过坐标原点，且|OM|＝|ON|，所以OC⊥MN，所以＝，所以a＝±2，当a＝－2时，圆心坐标为(－2，－1)，圆的半径为，圆心到直线l：y＝－2x＋4的距离d＝＝＞，直线l与圆C相离，不合题意舍去，a＝2时符合题意．这时曲线C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0.。
2019版高考数学文大一轮优选全国课时达标44直线与圆、
课时达标 第44讲[解密考纲]直线与圆的位置关系、切线、弦长问题是高考的热点，常以选择题、填空题的形式出现，有时也在解答题中出现．一、选择题1．若圆x 2＋y 2＝16和圆(x －a )2＋y 2＝1相切，则a 的值为( C ) A ．±3B ．±5C ．±3或±5D ．3或5解析 两圆的圆心距d ＝|a |，∵两个圆相切，∴|a |＝3或|a |＝5，∴a ＝±3或±5. 2．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( B ) A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析 两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r ＝2，R ＝3，两圆的圆心距为(－2－2)2＋(0－1)2＝17，则R －r <17<R ＋r ，所以两圆相交．故选B ．3．(2018·河北邢台二中月考)已知直线l ：y ＝kx ＋2(k ∈R )，圆M ：(x －1)2＋y 2＝6，圆N ：x 2＋(y ＋1)2＝9，则直线l ( D )A ．必与圆M 相切，不可能与圆N 相交B ．必与圆M 相交，不可能与圆N 相切C ．必与圆M 相切，不可能与圆N 相切D ．必与圆M 相交，不可能与圆N 相离解析 直线l ：y ＝kx ＋2(k ∈R )过定点(0,2)，代入圆M ：(x －1)2＋y 2＝6，得(0－1)2＋22＝5<6，即点(0,2)在圆M 的内部，故直线l 必与圆M 相交，而点(0,2)到圆N 的圆心N (0，－1)的距离等于圆N 的半径3，故点(0,2)在圆N 上，即直线l 不可能与圆N 相离．故选D ．4．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为( A )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －2)2＋(y －1)2＝25解析 设此圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，2x 0(x 0>0)，则圆的半径r ＝⎪⎪⎪⎪2x 0＋2x 0＋15≥22x 0·2x 0＋15＝5，当且仅当2x 0＝2x 0，即x 0＝1时，等号成立，圆的面积最小，此时圆心坐标为(1,2)，半径为5，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.故选A ．5．若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程是( D ) A ．x ＝0B ．y ＝1C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0解析 依题意，直线l ：y ＝kx ＋1过定点P (0,1)．圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，故圆心为C (1,0)，半径为r ＝2.易知定点P (0,1)在圆内，由圆的性质可知当PC ⊥l 时，直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短．因为k PC ＝1－00－1＝－1，所以直线l 的斜率k ＝1，即直线l 的方程是x －y ＋1＝0.6．圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( A )A ．52－4B ．17－1C ．6－22D ．17解析 设点P 的坐标为(x,0)，圆心C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，则|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝52.而|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.二、填空题7．若直线y ＝kx 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，则k 的值是__±3解析 因为直线y ＝kx 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，所以圆心(2,0)到直线的距离d ＝|2k |k 2＋1＝r ＝1，解得k ＝±33.8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 解析 圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.设两个切点分别为A ，B ，则P ACB 为正方形，故|PC |＝2R ＝22，圆心到直线y ＝k (x ＋1)的距离d ≤|PC |＝22，即|3k |k 2＋1≤22，解得－22≤k ≤2 2.9．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相切，则实数m ＝__±2或－5或－1__.解析 圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则C 1(m ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，m )，r 2＝2.圆C 1与圆C 2相切包括两种情况：两圆外切与两圆内切．(1)当圆C 1与圆C 2相外切时，有|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即(m ＋1)2＋(m ＋2)2＝5，整理得m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2；(2)当圆C 1与圆C 2相内切时，有|C 1C 2|＝r 1－r 2，即(m ＋1)2＋(m ＋2)2＝1，整理得m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－1或m ＝－2.综上所述，当m ＝－5或m ＝－1或m ＝±2时，圆C 1与圆C 2相切．三、解答题10．已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，分别求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直；(3)过切点A (4，－1)．解析 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0(b ≠－4)，则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25，∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0.(2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52，∴切线方程为2x ＋y ±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)， 即3x ＋y －11＝0.11．已知一圆C 的圆心为(2，－1)，且该圆被直线l ：x －y －1＝0截得的弦长为22，求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程．解析 设圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)． ∵圆心(2，－1)到直线x －y －1＝0的距离d ＝2， ∴r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫2222＝4， 故圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，得弦的两端点坐标为(2,1)和(0，－1)． 所以过弦的两端点的圆的切线方程为y ＝1和x ＝0. 12．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使|PM |取得最小值时点P 的坐标．解析 (1)∵切线在两坐标轴上的截距相等，当截距为0时，设y ＝kx ，且圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，∴圆心C (－1,2)到切线的距离等于圆的半径2， 即|－k －2|1＋k 2＝2，得k ＝2±6. 当截距不为0时，设切线方程为x ＋y ＝a ，即|－1＋2－a |2＝2，得a ＝3或a ＝－1.故圆的切线方程为y ＝(2＋6)x 或y ＝(2－6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.(2)由 |PO |＝|PM |，得x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，整理得2x 1－4y 1＋3＝0，即点P在直线l ：2x －4y ＋3＝0上，当|PM |取最小值时，|PO |取最小值，∴直线PO ⊥l ，∴直线PO 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35.。
2019大一轮高考总复习文数(北师大版)讲义第9章 第04节 直线与圆、圆与圆的位置关系 Word版含答案
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系．直线与圆的位置关系()三种位置关系：相交、相切、相离．()两种研究方法：①(\\(Δ>⇔！！！相交,Δ＝⇔！！！相切,Δ<⇔！！！相离))②几何法错误!()圆的切线方程常用结论①过圆＋＝上一点(，)的圆的切线方程为＋＝．②过圆(－)＋(－)＝上一点(，)的圆的切线方程为(－)(－)＋(－)(－)＝．③过圆＋＝外一点(，)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为＋＝．．圆与圆的位置关系设圆：(－)＋(－)＝(>)，圆：(－)＋(－)＝(>).提醒：．辨明两个易误点()对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率不存在的情形．()两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．．求圆的弦长的常用方法()几何法：设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则＝－．()代数法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为(，)，(，)，则＝－＝．注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)()“＝”是“直线－＋＝与圆＋＝相交”的必要不充分条件．( )()过圆：＋＝上一点(，)的圆的切线方程是＋＝.( )()如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )()如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )()圆：＋＋＋－＝与圆：＋－－＋＝的公切线有且仅有条．( )答案：()×()√()×()×()√．将圆＋－－＋＝平分的直线是( )．＋－＝．＋＋＝．－＋＝．－＋＝解析：选因为圆心是()，所以将圆心坐标代入各选项验证知选．．(教材习题改编)直线－＋＝与圆(＋)＋＝的位置关系是( )．相切．直线过圆心．直线不过圆心，但与圆相交．相离解析：选＝＝＜＝.直线过圆心．．圆(＋)＋＝与圆(－)＋(－)＝的位置关系为( )．内切．相交．外切．相离解析：选两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为，之和为，而<<，所以两圆相交．直线与圆的位置关系[明技法]判断直线与圆的位置关系常用的方法―→―→―→注意：上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．。
2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练：51 直线与圆、圆与圆的位置关系
课时分层训练(五十一) 直线与圆、圆与圆的位置关系(对应学生用书第300页)A 组 基础达标一、选择题1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切 B ．相交C ．相离D ．不确定B [由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝<1，1a 2＋b 2故直线与圆相交．]2．(2018·东北三省四市模拟(二))直线x －3y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得弦长为( )A. B.30532C ．4D ．323A [圆心(1,3)到直线的距离为＝，从而得所求弦长为2|1－3×3＋3|12＋32102＝，故选A.]303．过点(1，－2)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－B ．y ＝－3412C ．y ＝－D ．y ＝－3214B [圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，(1－1)2＋(－2－0)2将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－.]124．(2018·深圳二调)在平面直角坐标系中，直线y ＝x 与圆O ：x 2＋y 2＝1交于2A ，B 两点，α，β的始边是x 轴的非负半轴，终边分别在射线OA 和OB 上，则tan(α＋β)的值为( )【导学号：79140281】A ．－2B ．－22C ．0D ．22A [由题可知tan α＝tan β＝，那么tan(α＋β)＝＝－2，故2tan α＋tan β1－tan αtan β2选A.]5．(2017·广东惠州一模)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心在直线ax －by ＋1＝0上，则ab 的取值范围是( )A. B.(－∞，14](－∞，18]C.D.(0，14](0，18]B [把圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆心的坐标为(－1,2)，半径r ＝2，∵圆C 的圆心在直线ax －by ＋1＝0上，∴－a －2b ＋1＝0，即a ＝1－2b ，则ab ＝b (1－2b )＝－2b 2＋b＝－2＋，(b －14)2 18∴当b ＝时，ab 有最大值，最大值为，1418则ab 的取值范围是.故选B.](－∞，18]二、填空题6．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________________．x ＋y －3＝0 [∵圆C 1的圆心C 1(3,0)，圆C 2的圆心C 2(0,3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.]7．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为2，则3a ＝________.1 [两圆的方程作差易知公共弦所在的直线方程为y ＝，如图，由已知得1a |AC |＝，|OA |＝2，∴|OC |＝＝1，∴a ＝1.]31a 8．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，3过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝__________.4 [法一：由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0,0)，半径r ＝2.∴圆心(0,0)到直线3x －y ＋6＝0的3距离d ＝＝3，|AB |＝2＝2.过C 作CE ⊥BD 于E .61＋312－323如图所示，则|CE |＝|AB |＝2.3∵直线l 的方程为x －y ＋6＝0，3∴k AB ＝，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°.33∴|CD |＝＝＝＝4.|CE |sin 60°|AB |sin 60°2332法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!得y 2－3y ＋6＝0，解得y 1＝，y 2＝2，333∴A (－3，)，B (0,2)．33过A ，B 作l 的垂线方程分别为y －＝－(x ＋3)，y －2＝－x ，令y ＝0，3333得x C ＝－2，x D ＝2，∴|CD |＝2－(－2)＝4.]三、解答题9．已知点P (＋1,2－)，M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.22【导学号：79140282】(1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长．[解] 由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2.(1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，22∴点P 在圆C 上．又k PC ＝＝－1，2－2－22＋1－1∴切线的斜率k ＝－＝1.1kPC ∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－)＝x －(＋1)，即22x －y ＋1－2＝0.2(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d ＝＝r ＝2，|k －2＋1－3k |k 2＋1解得k ＝.34∴切线方程为y －1＝(x －3)，即3x －4y －5＝0.34综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0.∵|MC |＝＝，(3－1)2＋(1－2)25∴过点M 的圆C 的切线长为＝＝1.|MC |2－r 25－410．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若·＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.OM→ ON → [解] (1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为直线l 与圆C 交于两点，所以<1，|2k －3＋1|1＋k 2解得<k <.4734＋73所以k 的取值范围为.(4－73，4＋73)(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.4(1＋k )1＋k 271＋k 2·＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1OM→ ON → ＝＋8.4k (1＋k )1＋k 2由题设可得＋8＝12，解得k ＝1，4k (1＋k )1＋k 2所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.B 组 能力提升11．(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)过动点M 作圆：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线MN ，其中N 为切点，若|MN |＝|MO |(O 为坐标原点)，则|MN |的最小值是( )A. B.324728C.D.2928B [设圆心C (2,2)，因为|MN |＝|MO |，所以|MN |2＝|MC |2－1＝|MO |2.设M (x ，y )，则(x －2)2＋(y －2)2－1＝x 2＋y 2，化简得4x ＋4y －7＝0，即为点M 的轨迹方程，则|MN |的最小值为|MO |的最小值，即点O 到直线4x ＋4y －7＝0的距离，所以|MN |min ＝＝，故选B.]|－7|16＋1672812．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若·≤20，则点P 的横坐标的取值范围是PA→ PB →________．[－5，1] [2设P (x ，y )，则＝(－12－x ，－y )，＝(－x,6－y )．PA → PB→ ∵·≤20，PA→ PB → ∴(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20，即2x －y ＋5≤0.如图，作圆O ：x 2＋y 2＝50，直线2x －y ＋5＝0与⊙O 交于E ，F 两点，∵P 在圆O 上且满足2x －y ＋5≤0，∴点P 在上．EDF 由Error!得F 点的横坐标为1，又D 点的横坐标为－5，2∴P 点的横坐标的取值范围为[－5，1]．]213．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为的两段弧？13若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由.【导学号：79140283】[解] (1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4.得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，∴Δ＝(－8k )2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*)∴k 的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．33(2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为的两段弧，13则劣弧所对的圆心角∠MCN ＝90°，MN 由圆C ：x 2＋(y －4)2＝4知圆心C (0,4)，半径r ＝2.在Rt △MCN 中，可求弦心距d ＝r ·sin 45°＝，2故圆心C (0,4)到直线kx －y ＝0的距离＝，|0－4|1＋k 22∴1＋k 2＝8，k ＝±，经验证k ＝±满足不等式(*)，77故l 的方程为y ＝±x .7因此，存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±x .7。
最新高考数学复习 直线与圆、圆与圆的位置关系 理(含解析)北师大版
课后限时集训(四十六) 直线与圆、圆与圆的位置关系(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．(2019·唐山模拟)直线4x －3y ＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得的弦长为( )A ．6B ．3C ．6 2D ．32A [假设直线4x －3y ＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得的弦为A B ．∵圆的半径r ＝10，圆心到直线的距离d ＝5－32＋42＝1，∴弦长|AB |＝2×r 2－d 2＝210－1＝2×3＝6.故选A.]2．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条B [易得C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4.圆心距d ＝|C 1C 2|＝2＋12＋1＋12＝13.∵0＜d ＜4，∴圆C 1与C 2相交，故两圆有2条公切线．]3．圆C ：x 2＋y 2－ax ＋2＝0与直线l 相切于点A (3,1)，则直线l 的方程为( ) A ．2x －y －5＝0 B ．x －2y －1＝0 C ．x －y －2＝0D ．x ＋y －4＝0D [由已知条件可得32＋12－3a ＋2＝0，解得a ＝4，此时圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0的圆心为C (2,0)，半径为2，所以k AC ＝1，则直线l 的方程为y －1＝－x ＋3，即x ＋y －4＝0.]4．(2019·湘东五校联考)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0 的距离等于2的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [圆(x －3)2＋(y －3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|3×3＋4×3－11|32＋42＝2，∴圆上到直线3x ＋4y －11＝0的距离为2的点有2个．故选B ．] 5．(2019·福州模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14B [圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC |＝1－12＋－2－02＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.]二、填空题6．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是________．x －y －3＝0 [记题中圆的圆心为O ，则O (1,0)，因为P (2，－1)是弦AB 的中点，所以直线AB 与直线OP 垂直，易知直线OP 的斜率为－1，所以直线AB 的斜率为1，故直线AB 的方程为x －y －3＝0.]7．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．4π [圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]8．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________．35－5 [把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得 (x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3；圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2. 圆心距d ＝4＋22＋2＋12＝35＞5.故圆C 1与圆C 2相离，所以|PQ |的最小值是35－5.]三、解答题9．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． [解] (1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则a －22＋－2a ＋12＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1. 所以C 点坐标为(1，－2)，半径r ＝|AC |＝1－22＋－2＋12＝ 2.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ， 由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34， 则直线l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心坐标为(2,1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．[解] (1)因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心O 1(0，－1)，半径r 1＝2. 设圆O 2的半径为r 2，由两圆外切知|O 1O 2|＝r 1＋r 2. 又|O 1O 2|＝2－02＋1＋12＝22，所以r 2＝|O 1O 2|－r 1＝22－2.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2. (2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，相减得AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0. 设线段AB 的中点为H ，因为r 1＝2，所以|O 1H |＝r 21－|AH |2＝ 2. 又|O 1H |＝|4×0＋4×－1＋r 22－8|42＋42＝|r 22－12|42， 所以|r 22－12|42＝2，解得r 22＝4或r 22＝20.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.B 组 能力提升1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34D [圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3,2)，半径r ＝1.作出点(－2，－3)关于y 轴的对称点(2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点(2，－3)．设反射光线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y －(－3)＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切可得|k－3－2－2k －3|1＋k2＝1，即|5k ＋5|＝1＋k 2，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，即(3k ＋4)(4k ＋3)＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D ．]2．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125B ．[0,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，125 D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，125A [因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1，设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋y －32＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD |≤2＋1，即1≤a 2＋2a －32≤3.由a 2＋2a －32≥1得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ；由a 2＋2a －32≤3得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.故选A.]3．(2019·唐山模拟)已知直线l ：kx －y －k ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2－2y －7＝0相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．26 [kx －y －k ＋2＝0.化为y －2＝k (x －1)，直线过定点E (1,2)，又E (1,2)在圆x 2＋y 2－2y －7＝0内，所以，当E 是AB 中点时，|AB |最小，由x 2＋y 2－2y －7＝0得x 2＋(y －1)2＝8，圆心C (0,1)，半径22，|AB |＝28－|EC |2＝28－2＝2 6.]4．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．[解] (1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。
高三北师大文科数学一轮复习课时作业直线与圆圆与圆的位置关系
课时作业(四十八) [第48讲 直线与圆、圆与圆的位置关系][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．[2011·深圳一调] 已知p ：“a ＝2”，q ：“直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．[2011·广雅、金山、佛山一中联考] 直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －4y ＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．33．过点P (－2,3)作圆x 2＋(y ＋1)2＝4的切线，则切线方程为( )A ．x ＋2＝0或3x ＋4y ＋6＝0B ．x ＋2＝0或3x ＋4y －6＝0C ．x －2＝0或3x ＋4y －6＝0D ．x －2＝0和3x ＋4y ＋6＝04．[2012·江西六校模拟] 直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，|MN |≥23，则k 的取值范围是________．能力提升5．[2011·济南一模] 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝16．[2011·杭州二中模拟] 过点M (1,2)的直线l 将圆C ：(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝07．[2011·铁岭六校三联] x 2＋y 2＝1的圆心O 到直线2ax ＋by ＝1的距离为22，若点P 的坐标(a ，b )，则|OP |的最大值为( )A. 2B.2＋1C ．1D ．28．[2011·郑州三模] 若函数f (x )＝1be ax 的图像在x ＝0处的切线l 与圆C ：x 2＋y 2＝1相离，则P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定9．[2011·信阳二模] 已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为________．10．[2011·湖北卷] 过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．11．[2011·盐城摸底] 与直线x ＝3相切，且与圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1相内切的半径最小的圆的方程是________．12．(13分)[2011·铁岭六校二联] 已知两点A (0,1)，B (2，m )，如果经过A 与B 且与x 轴相切的圆有且只有一个，求m 的值及圆的方程．难点突破13．(6分)(1)[2011·西城模拟] 若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切，则实数ab 的取值范围是________．(6分)(2)[2011·重庆卷] 在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2课时作业(四十八)【基础热身】1．A [解析] a ＝2，则直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切，反之，则有a ＝±2.因此p 是q 的充分不必要条件．故选A.2．A [解析] 由题意知直线垂直于y 轴，所以k ＝0，故选A.3．B [解析] 若切线斜率存在，设切线方程为y ＝k (x ＋2)＋3，即kx －y ＋2k ＋3＝0，已知圆的圆心为(0，－1)，半径为2，所以|2k ＋4|k 2＋1＝2，解得k ＝－34，所以切线方程为y ＝－34(x ＋2)＋3，即3x ＋4y －6＝0；当斜率不存在时，由图可知切线方程为x ＋2＝0，故选B. 4.⎣⎡⎦⎤－34，0 [解析] 因为|MN |≥23，所以圆心(3,2)到直线y ＝kx ＋3的距离不大于22－(3)2＝1，即|3k ＋1|k 2＋1≤1，解得－34≤k ≤0. 【能力提升】5．A [解析] 设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝1(a >0，b >0)，则有|4a －3b |5＝b ＝1，所以a ＝2，b ＝1，所以方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.故选A.6．D [解析] 当劣弧最短时，直线l 被圆截得的弦最短，此时有CM ⊥l ，而k CM ＝2－01－2＝－2，所以直线l 的斜率为12，方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0.故选D. 7．A [解析] 由已知得12a 2＋b2＝22，所以2a 2＋b 2＝2，所以|OP |2＝a 2＋b 2＝2－a 2≤2，所以|OP |≤ 2.故选A.8．B [解析] f ′(x )＝a b e ax ，所以在x ＝0处的切线斜率为k ＝a b，切点为⎝⎛⎭⎫0，1b ，切线方程为y －1b ＝a bx ，即ax －by ＋1＝0.它与圆x 2＋y 2＝1相离，所以圆心到该直线的距离大于1，即1a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<1，所以点在圆内．故选B. 9．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 [解析] 根据轴对称关系得圆C 2的圆心为(2，－2)，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.10．1或177[解析] 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＋2＝k ()x ＋1.又圆的方程为()x －12＋()y －12＝1，圆心为()1，1，半径为1，所以圆心到直线的距离d ＝||k －1＋k －21＋k 2＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22，解得k ＝1或177. 11.⎝⎛⎭⎫x －122＋(y ＋1)2＝254 [解析] 作图可知，所求圆的圆心为⎝⎛⎭⎫12，－1，半径为52，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋(y ＋1)2＝254. 12．[解答] 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2，则有：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋(1－b )2＝b 2，(2－a )2＋(m －b )2＝b 2， 消去b 得(1－m )a 2－4a ＋4＋m 2－m ＝0.当m ＝1时，a ＝1，所以b ＝1，圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1；当m ≠1时，由Δ＝0得m (m 2－2m ＋5)＝0，所以m ＝0，从而a ＝2，b ＝52，圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝254. 综上知，m ＝1时，圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1；m ＝0时，圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝254. 【难点突破】13．(1)－12≤ab ≤12 (2)B [解析] (1)由题可知原点到直线距离为1，有1a 2＋b 2＝1，得a 2＋b 2＝1.又由基本不等式得a 2＋b 2≥2|ab |，所以|ab |≤12，得－12≤ab ≤12. (2)将圆方程配方得(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心G (1,3)．最长弦AC 为过点E 的直径，则|AC |＝210；最短弦BD 为与GE 垂直的弦，如图所示．易知|BG |＝10，|EG |＝(0－1)2＋(1－3)2＝5，|BD |＝2|BE |＝2|BG |2－|EG |2＝2 5.所以所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC ||BD |＝10 2.故选B.。
最新高考数学一轮复习分层训练直线与圆圆与圆的位置关系北师大版
课时分层训练(四十四) 直线与圆、圆与圆的位置关系A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定B [由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线与圆相交．]2．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )【导学号：00090284】A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8B [由x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0， 得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心坐标为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝2，所以22＋(2)2＝2－a ，解得a ＝－4.]3．(2018·南昌模拟)若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切，则ab 的最大值为( ) A ． 2 B ．2 C ．4D ．2 2B [圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )． 化为(x －a )2＋y 2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1，∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切， ∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2.∴ab 的最大值为2.]4．(2017·河北衡水中学三模)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( ) A ．1013 B ．921 C ．1023D ．911C [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2，∴最短弦的长为2r 2－|PC |2＝225－2＝223.故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023]．5．(2018·福州模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14B [圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC |＝－2＋－2－2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B ．]二、填空题6．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________________．x ＋y －3＝0 [∵圆C 1的圆心C 1(3,0)，圆C 2的圆心C 2(0,3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.]7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.2 [如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋－2＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.]8．(2017·安徽十校联考)已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4，直线l ：kx －y －2k ＝0(k ∈R )，若直线l 与圆C 恒有公共点，则实数k 的最小值是__________.【导学号：00090285】最新高考数学一轮复习 分层训练－33[圆心C (－2,0)，半径r ＝2. 又圆C 与直线l 恒有公共点．所以圆心C (－2,0)到直线l 的距离d ≤r . 因此|－2k －2k |k 2＋1≤2，解得－33≤k ≤33.所以实数k 的最小值为－33.] 三、解答题9．已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为23，求a 的值． [解] (1)由于过点A 的圆的切线只有一条， 则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝± 3.2分当a ＝3时，A (1，3)，易知所求切线方程为x ＋3y －4＝0； 当a ＝－3时，A (1，－3)，易知所求切线方程为x －3y －4＝0. 5分(2)设过点A 的直线方程为x ＋y ＝b ， 则1＋a ＝b ，即a ＝b －1，8分 又圆心(0,0)到直线x ＋y ＝b 的距离d ＝|b |2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|b |22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，则b ＝± 2. 因此a ＝b －1＝±2－1.12分10．(2017·唐山模拟)已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． [解] (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点．∵M (0,2)，N (－2,0)，∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1,1). 3分又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1； 当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.小学+初中+高中综上可知，k 的值为1或13.6分(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l 的距离大于半径，10分 ∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得k <－17或k >1.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015·山东高考)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34D [由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D ．] 2．(2017·济南质检)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝__________.【导学号：00090286】32[如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2. 又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝3，∠APB ＝60°. 故PA →·PB →＝3×3×cos 60°＝32.]3．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由． [解] (1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4. 得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0. 2分∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，最新高考数学一轮复习 分层训练∴Δ＝(－8k )2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*) ∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞). 5分(2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧，则劣弧MN 所对的圆心角∠MCN ＝90°，由圆C ：x 2＋(y －4)2＝4知圆心C (0,4)，半径r ＝2. 8分在Rt △MCN 中，可求弦心距d ＝r ·sin 45°＝2， 故圆心C (0,4)到直线kx －y ＝0的距离|0－4|1＋k2＝2，∴1＋k 2＝8，k ＝±7，经验证k ＝±7满足不等式(*)， 10分故l 的方程为y ＝±7x .因此，存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±7x . 12分。
2019届高考数学复习平面解析几何9.4直线与圆圆与圆的位置关系学案文北师大版
§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系．d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．(2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).知识拓展1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y －b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( ×)(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( ×)(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程． ( ×)(4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( √)(5)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B 四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( √)(6)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √)题组二教材改编2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( ) A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.3．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．答案2 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2， 所以所求弦长为2 2. 题组三 易错自纠4．若直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．[－2，2] B ．[－22，22] C ．[－2－1，2－1] D ．[－22－1,22－1] 答案 D解析 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2，若直线与圆恒有公共点，则|2－1＋m |2≤2，解得－22－1≤m ≤22－1，故选D.5．(2018·石家庄模拟)设圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．8 2答案 C解析 因为圆C 1，C 2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a ，a )，则|a |＝(a －4)2＋(a －1)2，解得a ＝5＋22或a ＝5－22，可取C 1(5＋22，5＋22)，C 2(5－22，5－22)， 故|C 1C 2|＝(42)2＋(42)2＝8，故选C.6．过点A (3,5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为__________． 答案 5x －12y ＋45＝0或x －3＝0解析 化圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0为标准方程得(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1,2)， ∵|OA |＝(3－1)2＋(5－2)2＝13>2，∴点A (3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x －3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y －5＝k (x－3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.又圆心为(1,2)，半径r ＝2，而圆心到切线的距离d ＝|3－2k |k 2＋1＝2，即|3－2k |＝2k 2＋1，∴k ＝512，故所求切线方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.题型一 直线与圆的位置关系1．(2018届贵州黔东南州联考)在△ABC 中，若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，则圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定 答案 A解析 因为a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0， 所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝0.故圆心C (0,0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝1＝r ，故圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0相切，故选A.2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能答案 C解析 直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0， ∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内，直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交， 故选C.思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 题型二 圆与圆的位置关系典例 已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1外切，则ab 的最大值为( )A.62 B.32 C.94 D ．2 3答案 C解析 由圆C 1与圆C 2外切，可得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据基本不等式可知ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立，ab 的最大值为94.引申探究1．若将本典例中的“外切”变为“内切”，求ab 的最大值． 解 由C 1与C 2内切得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝1. 即(a ＋b )2＝1，又ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b 时等号成立，故ab 的最大值为14.2．若将本典例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程． 解 由题意把圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程，得 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0，① 圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0，② 由②－①得(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0，即(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0为所求公共弦所在直线方程． 思维升华 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．跟踪训练 (2017·重庆调研)如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是______________________． 答案 (－22，0)∪(0,22)解析 圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝4，圆心坐标为(a ，a )，半径为2. 依题意得0<a 2＋a 2<2＋2，∴0<|a |<2 2. ∴a ∈(－22，0)∪(0,22)．题型三 直线与圆的综合问题命题点1 求弦长问题典例 直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________． 答案 2 3解析 ∵圆x 2＋y 2＝4的圆心为点(0,0)，半径r ＝2， ∴圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|－2|2＝1，∴弦长|AB |＝24－1＝2 3. 命题点2 直线与圆相交求参数范围典例 已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k (1＋k )1＋k2＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2. 命题点3 直线与圆相切的问题典例 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0， 则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25，∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52，∴切线方程为2x ＋y ±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)， 即3x ＋y －11＝0.思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 跟踪训练 (1)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 答案 2 2解析 设P (3,1)，圆心C (2,2)，则|PC |＝2，半径r ＝2，由题意知最短的弦过P (3,1)且与PC 垂直，所以最短弦长为222－(2)2＝2 2.(2)过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________________． 答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|k －1＋4－2k |k 2＋(－1)2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.高考中与圆交汇问题的求解考点分析 与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点．与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质． 一、与圆有关的最值问题典例1 (1)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9(2)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33 B ．－33C ．±33D ．－ 3解析 (1)∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆的直径，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )， ∴PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )． 故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37， ∴当x ＝－1时有最大值49＝7，故选B. (2)∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin∠AOB＝12sin∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，△AOB 的面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 的方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22，得k ＝－33.⎝⎛⎭⎪⎫也可k ＝－tan∠OPH ＝－33.答案 (1)B (2)B 二、直线与圆的综合问题典例2 (1)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210(2)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)πD.54π 解析 (1)由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴， ∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上， ∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1)． ∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36. ∴|AB |＝6.(2)∵∠AOB ＝π2，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.答案 (1)C (2)A1．(2018届山西实验中学、南海桂城中学联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则其渐近线与圆(x －a )2＋y 2＝14a 2的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 C解析 因为一条渐近线方程为ay －bx ＝0，又离心率为c a＝2，所以a ＝b ，所以渐近线方程为y －x ＝0，由(x －a )2＋y 2＝14a 2知圆心为(a,0)，半径为12a ，圆心到直线的距离d ＝a 2＝2a 2>12a ，所以直线与圆相离，故选C. 2．(2017·辽宁辽南协作体模拟)圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －8＝0的最大距离与最小距离的差是( ) A ．18 B ．6 2 C ．5 2 D ．4 2 答案 C解析 圆的方程可化为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2， 圆心到直线的距离为|2＋2－8|2＝22<32，故直线与圆相交，最小距离为0，最大距离为32＋22＝5 2.综上可得，圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －8＝0的最大距离与最小距离的差是52－0＝5 2.故选C.3．(2018·福州模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14答案 B解析 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.4．(2017·广州调研)若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案 C解析 如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．由题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．5．(2017·福建漳州八校联考)已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A ．m ∥l ，且l 与圆相交 B ．m ⊥l ，且l 与圆相切 C ．m ∥l ，且l 与圆相离 D ．m ⊥l ，且l 与圆相离答案 C解析 ∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2. ∵圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0,0)，故由题意得OP ⊥m ，又k OP ＝b a ，∴k m ＝－a b ，∵直线l 的斜率为k l ＝－a b ＝k m ，圆心O 到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离．故选C.6．(2018·洛阳二模)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 的方程为x ＋y ＝2，过圆C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线交l 于点A ，则|PA |的最小值为( ) A.12 B ．1 C.2－1 D ．2－ 2 答案 D解析 方法一 由题意可知，直线PA 与坐标轴平行或重合，不妨设直线PA 与y 轴平行或重合，设P (cos α，sin α)，则A (cos α，2－cos α)， ∴|PA |＝|2－cos α－sin α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，∴|PA |的最小值为2－2，故选D.方法二 由题意可知圆心(0,0)到直线x ＋y ＝2的距离d ＝22＝2，∴圆C 上一点到直线x＋y ＝2的距离的最小值为2－1.由题意可得|PA |min ＝2(2－1)＝2－2，故选D. 7．(2018届南昌摸底)已知动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且满足|AB |＝2，点C 为直线l 上一点，且满足CB →＝52CA →，若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A ．3B ．2 3C ．2D ．－3 答案 A解析 动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且满足|AB |＝2，则△OAB 为等边三角形，于是可设动直线l 的方程为y ＝3(x ＋2)，根据题意可得B (－2,0)，A (－1，3)，∵M 是线段AB 的中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，设C (x ，y )，∵CB →＝52CA →，∴(－2－x ，－y )＝52(－1－x ，3－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2－x ＝52(－1－x )，－y ＝52(3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13，y ＝533，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，533， ∴OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，533·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32＝12＋52＝3，故选A.8．(2016·全国Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________. 答案 4解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，解得x 1＝－3，y 1＝3；x 2＝0，y 2＝23， ∴A (－3，3)，B (0,23)． 过A ，B 作l 的垂线方程分别为y －3＝－3(x ＋3)，y －23＝－3x ，令y ＝0，则x C ＝－2，x D ＝2，∴|CD |＝2－(－2)＝4.9．(2017·兰州月考)点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________． 答案 35－5解析 把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得 (x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4. 圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径是3； 圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2. 圆心距d ＝(4＋2)2＋(2＋1)2＝3 5. 所以|PQ |的最小值是35－5.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知(x 1－2)2＋y 21＝5，x 2－2y 2＋4＝0，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为__________________． 答案 15解析 由已知得点(x 1，y 1)在圆(x －2)2＋y 2＝5上，点(x 2，y 2)在直线x －2y ＋4＝0上，故(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2表示(x －2)2＋y 2＝5上的点和直线x －2y ＋4＝0上点的距离的平方，而距离的最小值为|2＋4|1＋4－5＝55，故(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为15.11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程； (2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解 把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件．当l 的斜率存在时，设斜率为k ， 得l 的方程为y －3＝k (x －1)， 即kx －y ＋3－k ＝0，则|－k －2＋3－k |1＋k 2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0. (2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4， |PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2， 整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.12．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎪⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x －1)，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ， 则k AN ＝－k BN ，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，则k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t＝0， 即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，亦即2(k 2－4)k 2＋1－2k 2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0，解得t ＝4，所以当点N 坐标为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．13．(2017·贵州贵阳第一中学月考)已知直线l ：(m ＋2)x ＋(m －1)y ＋4－4m ＝0上总存在点M ，使得过M 点作的圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0的两条切线互相垂直，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≤1或m ≥2 B ．2≤m ≤8 C ．－2≤m ≤10 D ．m ≤－2或m ≥8答案 C解析 如图，设切点分别为A ，B .连接AC ，BC ，MC ，由∠AMB ＝∠MAC ＝∠MBC ＝90°及MA ＝MB 知，四边形MACB 为正方形，故|MC |＝2＋2＝2，若直线l 上总存在点M 使得过点M 的两条切线互相垂直，只需圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝|－m －2＋2m －2＋4－4m |(m ＋2)2＋(m －1)2≤2，即m 2－8m －20≤0，∴－2≤m ≤10，故选C.14．(2017·郑州一模)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________． 答案 4解析 ⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA . 又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1所在直线对称， ∴AB 长为Rt△OAO 1斜边上的高的2倍， ∴|AB |＝2×5×255＝4.15．(2017·石家庄一模)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( ) A.12 B.32 C.34 D.34 答案 D解析 由已知可得圆心(0,0)到直线2ax ＋by －2＝0的距离d ＝24a 2＋b2，则直线被圆截得的弦长为24－44a 2＋b2＝23， 化简得4a 2＋b 2＝4.∴t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a )·1＋2b 2≤142[(22a )2＋(1＋2b 2)2] ＝142(8a 2＋2b 2＋1)＝942， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，即t 取最大值，此时a ＝34(舍负值)．故选D.16．(2017·日照一模)曲线y ＝x 2＋4x的一条切线l 与直线y ＝x ，y 轴围成的三角形记为△OAB ，则△OAB 外接圆面积的最小值为( ) A ．82π B ．8(3－2)π C ．16(2－1)π D ．16(2－2)π答案 C解析 y ′＝x 2－4x 2，设直线l 与曲线的切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的方程为y －x 20＋4x 0＝x 20－4x 20·(x －x 0)，即y ＝x 20－4x 20x ＋8x 0.不妨设直线l 与直线y ＝x 的交点为A ，与y 轴的交点为B ，可求得A (2x 0,2x 0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，8x 0.∴|AB |2＝4x 20＋⎝⎛⎭⎪⎫2x 0－8x2＝8x 20＋64x 20－32≥32(2－1)，当且仅当x 20＝22时取等号．由正弦定理可得△OAB 的外接圆的半径R ＝12·|AB |sin 45°＝22|AB |，则△OAB 外接圆的面积S＝πR 2＝12π|AB |2≥16(2－1)π.故选C.。
高三数学一轮复习课时规范练44直线与圆圆与圆的位置关系文含解析北师大版
课时规范练44 直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固组1.已知直线x+y=0与圆(x-1)2+(y-b)2=2相切,则b等于()A.-3B.1C.-3或1D.522.(2020湖南常德一模,文8)已知圆x2+y2-2x+2y+a=0截直线x+y-4=0所得弦的长度小于6,则实数a 的取值范围为()A.(2-√17,2+√17)B.(2-√17,2)C.(-15,+∞)D.(-15,2)3.(2020广东惠州模拟)圆(x-3)2+(y+2)2=4与圆(x-7)2+(y-1)2=36的位置关系是()A.相切B.内含C.外离D.相交4.过点P(1,1)的直线l将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,其面积分别为S1,S2,当|S1-S2|最大时,直线l的方程是()A.x+y-2=0B.x+y+2=0C.x-y-2=0D.x+y-1=0,则实数a 5.已知直线l:x-√3y-a=0与圆C:(x-3)2+(y+√3)2=4交于点M,N,点P在圆C上,且∠MPN=π3的值等于()A.2或10B.4或8C.6±2√2D.6±2√36.过直线l:y=x-2上任意点P作圆C:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,当切线长最小时,△PAB的面积为.7.(2020浙江绍兴阳明中学高三期中)已知P(x,y)是直线kx+y-3=0(k≠0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是1,则k的值是.8.(2020山西太原五中高三月考)已知圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的圆心C到直线x+y-m=0(m∈R)的距离.小于√22(1)求m的取值范围;(2)判断圆C与圆D:x2+y2-2mx=0的位置关系.综合提升组9.(2020陕西榆林一模,理10)已知m>0,n>0,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆x 2+y 2-2x-2y+1=0相切,则m+n 的取值范围是( ) A.〖2+2√2,+∞) B.〖2√2-2,+∞) C.〖2,2+2√2〗D.(0,2+2√2〗10.(2020陕西榆林高三调研)已知点P (t ,t-1),t ∈R ,E 是圆x 2+y 2=14上的动点,F 是圆(x-3)2+(y+1)2=94上的动点,则|PF|-|PE|的最大值为( ) A.2B.52C.3D.411.(2020山东临沂调研)已知圆C 1:(x-1)2+(y+1)2=1,圆C 2:(x-4)2+(y-5)2=9.点M ,N 分别是圆C 1,圆C 2上的动点,P 为x 轴上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是( ) A.2√5+4B.9C.7D.2√5+212.已知圆C :(x-2)2+y 2=2,直线l :y=kx-2,若直线l 上存在点P ,过点P 引圆的两条切线l 1,l 2,使得l 1⊥l 2,则实数k 的取值范围是 .13.(2020山东潍坊一中月考)已知直线l :x-y+3=0被圆C :(x-a )2+(y-2)2=4(a>0)截得的弦长为2√2,求: (1)a 的值;(2)过点(3,5)并与圆C 相切的切线方程.创新应用组14.在平面直角坐标系xOy 中,过圆C 1:(x-k )2+(y+k-4)2=1上任一点P 作圆C 2:x 2+y 2=1的一条切线,切点为Q ,则当线段PQ 长最小时,k=( ) A.2B.3C.2√2D.515.(2020江苏南京师大附中高三模拟)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在y 轴上的圆C 经过两点M (0,2),N (1,3),直线l 的方程为y=kx. (1)求圆C 的方程;(2)当k=1时,Q 为直线l 上的定点,若圆C 上存在唯一一点P 满足|PO|=√2|PQ|,求定点Q 的坐标; (3)设A ,B 为圆C 上任意两个不同的点,若以AB 为直径的圆与直线l 都没有公共点,求实数k 的取值范围.▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █ ▇ ▅ ▃ ▁课时规范练44 直线与圆、圆与圆的位置关系1.C 由圆心到切线的距离等于半径,得√12+12=√2,∴|1+b|=2,∴b=1或b=-3,故选C .2.D 由题意知,圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2-a ,则圆心为(1,-1),半径为√2-a ,则2-a>0,解得a<2,圆心到直线x+y-4=0的距离为d=√2=2√2,所以(√2-a )2-(2√2)2<32,解得a>-15,综上所述,a 的取值范围为(-15,2).故选D.3.D 依题意,两圆的圆心坐标分别为(3,-2),(7,1),半径分别为2,6,则两圆的圆心距为√(7-3)2+(1+2)2=5.因为6-2<5<6+2,所以两圆相交.故选D .4.A 因为点P 坐标满足x 2+y 2≤4,所以点P 在圆x 2+y 2=4内,因此,当OP 与过点P 的直线垂直时,|S 1-S 2|最大,此时直线OP 的斜率为k OP =1-01-0=1,所以直线l 的斜率为k=-1,因此,直线l 的方程是y-1=-(x-1),整理得x+y-2=0.故选A .5.B 由∠MPN=π3可得∠MCN=2∠MPN=2π3.在△MCN 中,CM=CN=2,∠CMN=∠CNM=π6,可得点C (3,-√3)到直线MN ,即直线l :x-√3y-a=0的距离为2sin π6=1.所以√3×√3)√1+3=1,解得a=4或8.故选B .6.12依据题意作出图像,如下图:因为直线PA 过点P 且与圆x 2+y 2=1相切于点A , 所以PA ⊥OA ,所以|PA|=√OP 2-OA 2=√OP 2-1,要使得PA 最小,则OP 要最小,由题可得OP 的最小值就是点O 到直线l :y=x-2的距离d=√12+12=√2.此时,|PA|min =√OP min 2-1=√(√2)2-1=1,所以∠OPA=π4,由切线的对称性可得∠BPA=π2,|PB|=1,所以△PAB 的面积为S △PAB =12×1×1=12. 7.±1 圆C :x 2+y 2-2y=0的圆心坐标是C (0,1),半径是1.由圆的性质知S 四边形PACB =2S △PBC ,因为四边形PACB 的最小面积是1, 所以△PBC 的最小面积是12. 又S △PBC =12|PB|·|BC|=12|PB|,所以|PB|min =1,所以|PC|min =√12+12=√2. 所以圆心C 到直线kx+y-3=0的距离为√k 2+1=√2,解得k=±1.8.解(1)由x 2+y 2-2x-2y+1=0,得(x-1)2+(y-1)2=1,故圆心C (1,1).由圆心C (1,1)到直线x+y-m=0(m ∈R )的距离d=√2<√22, 解得1<m<3,故m 的取值范围为(1,3).(2)由(1)知圆C 的圆心C (1,1),半径r 1=1.因为圆D :x 2+y 2-2mx=0的圆心D (m ,0),半径r 2=m ,所以两圆的圆心距|CD|=√(m -1)2+1.因为1<m<3,所以m-1<√(m -1)2+1<m+1,所以圆C 与圆D 相交.9.A 将圆的方程化为标准方程,得(x-1)2+(y-1)2=1,该圆的圆心坐标为(1,1),半径为1,由于直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切, 则√(m+1)+(n+1)=1,化简得m+n+1=mn ,由基本不等式,可得m+n+1=mn ≤(m+n 2)2,即(m+n )2-4(m+n )-4≥0,当且仅当m=n 时,等号成立,因为m>0,n>0,所以m+n>0,解得m+n ≥2+2√2.因此,m+n 的取值范围是〖2+2√2,+∞).故选A. 10.D 如图.依题意得点P (t ,t-1),t ∈R 在直线y=x-1上,设点E 关于直线y=x-1对称的点为E',则点E'在圆x 2+y 2=14关于直线y=x-1对称的圆O 1:(x-1)2+(y+1)2=14上,则|PE|=|PE'|.设圆(x-3)2+(y+1)2=94的圆心为O 2,则|PF|-|PE|=|PF|-|PE'|≤|E'F|,当点P ,E',F 三点共线时取等号. 又|E'F|≤|O 1E'|+|O 1O 2|+|O 2F|=12+2+32=4,当点O 1,O 2在线段E'F 上时取等号. 故|PF|-|PE|的最大值为4.11.B 圆C 1:(x-1)2+(y+1)2=1的圆心E (1,-1),半径为1,圆C 2:(x-4)2+(y-5)2=9的圆心F (4,5),半径为3.要使|PN|-|PM|最大,需|PN|最大,且|PM|最小,|PN|最大值为|PF|+3,|PM|的最小值为|PE|-1, 故|PN|-|PM|的最大值是(|PF|+3)-(|PE|-1)=|PF|-|PE|+4.F (4,5)关于x 轴的对称点F'(4,-5),|PF|-|PE|=|PF'|-|PE|≤|EF'|=√(4-1)2+(-5+1)2=5,故|PN|-|PM|的最大值为5+4=9.12.〖0,+∞) 圆心为C (2,0),半径r=√2,设P (x ,y ),因为两切线l 1⊥l 2,如下图,PA ⊥PB ,由切线性质定理,知PA ⊥AC ,PB ⊥BC ,PA=PB ,所以,四边形PACB 为正方形,所以|PC|=2,则点P 满足(x-2)2+y 2=4,即点P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆.直线l :y=kx-2过定点(0,-2),直线方程即kx-y-2=0,只要直线与P 点的轨迹(圆)有交点即可,即大圆的圆心到直线l 的距离小于等于半径,即d=√k 2+1≤2,解得k ≥0,即实数k 的取值范围是〖0,+∞).13.解(1)依题意可得圆心C (a ,2),半径r=2,则圆心到直线l :x-y+3=0的距离d=√12+(-1)=√2,由勾股定理可知d 2+(2√22)2=r 2,将r=2,d=√2代入,化简得|a+1|=2,解得a=1,或a=-3,又a>0,所以a=1.(2)由(1)知圆C :(x-1)2+(y-2)2=4,又(3,5)在圆外,①当切线的斜率存在时,设切线方程为y-5=k (x-3),即kx-y-3k+5=0. 由圆心到切线的距离d=r=2,得√k 2+1=2,解得k=512,所以切线方程为5x-12y+45=0.②当过(3,5)的切线斜率不存在,易知直线x=3与圆相切. 综上可知,切线方程为5x-12y+45=0或x=3. 14.A 如图,因为PQ 为圆C 2的切线,所以PQ ⊥C 2Q ,由勾股定理,得|PQ|=√PC 22-1,要使|PQ|最小,则需|PC 2|最小,显然当点P 为C 1C 2与圆C 1的交点时,|PC 2|最小,此时,|PC 2|=|C 1C 2|-1,所以当|C 1C 2|最小时,|PC 2|就最小,|C 1C 2|=√k 2+(-k +4)2=√2(k -2)2+8≥2√2,当k=2时,|C 1C 2|最小,得到|PQ|最小,故选A . 15.解(1)设圆C 的方程为x 2+(y-b )2=r 2(r>0),将M ,N 的坐标代入该方程,得{02+(2-b )2=r 2,12+(3-b )2=r 2,解得{b =3,r =1.所以圆C 的方程为x 2+(y-3)2=1.(2)设点Q (t ,t ),P (x ,y ),由|PO|=√2|PQ|,得√x 2+y 2=√2·√(x -t )2+(y -t )2, 即(x-2t )2+(y-2t )2=4t 2,由题意,可知此圆与圆C 相切,故√(0-2t )2+(3-2t )2=||2t|±1|,解得t=2±√2. 所以点Q 的坐标为(2+√2,2+√2)或(2-√2,2-√2).(3)记以AB 为直径的圆为圆M ,设圆M 上有一动点P 0(x 0,y 0), 设|CM|=d (0≤d<1),则圆M 的半径r M =12|AB|=√1-d 2,于是|CP 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√d 2+(1-d 2)+2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MP 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√1+2|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ,其中θ为CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MP 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角,θ∈〖0,π〗.又|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||MP 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=d √1-d 2=√d 2(1-d 2)∈[0,12],所以|CP 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∈〖0,√2〗.所以点P 0在以C (0,3)为圆心,√2为半径的圆的内部(含边界).又以AB 为直径的圆与直线l 没有公共点,所以点C 到直线l 的距离d>√2,即√1+k 2>√2,解得-√142<k<√142.所以k 的取值范围为(-√142,√142).。
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课时分层训练(四十四) 直线与圆、圆与圆的位置关系A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定B [由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线与圆相交．]2．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )【导学号：00090284】A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8B [由x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0， 得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心坐标为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝2，所以22＋(2)2＝2－a ，解得a ＝－4.]3．(2018·南昌模拟)若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切，则ab 的最大值为( ) A ． 2 B ．2 C ．4D ．2 2B [圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )． 化为(x －a )2＋y 2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1，∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切， ∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2.∴ab 的最大值为2.]4．(2017·河北衡水中学三模)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( ) A ．1013 B ．921 C ．1023D ．911C [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2，∴最短弦的长为2r 2－|PC |2＝225－2＝223.故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023]．5．(2018·福州模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14B [圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC |＝－2＋－2－2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B ．]二、填空题6．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________________．x ＋y －3＝0 [∵圆C 1的圆心C 1(3,0)，圆C 2的圆心C 2(0,3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.]7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.2 [如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋－2＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.]8．(2017·安徽十校联考)已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4，直线l ：kx －y －2k ＝0(k ∈R )，若直线l 与圆C 恒有公共点，则实数k 的最小值是__________.【导学号：00090285】－33[圆心C (－2,0)，半径r ＝2. 又圆C 与直线l 恒有公共点．所以圆心C (－2,0)到直线l 的距离d ≤r . 因此|－2k －2k |k 2＋1≤2，解得－33≤k ≤33.所以实数k 的最小值为－33.] 三、解答题9．已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为23，求a 的值． [解] (1)由于过点A 的圆的切线只有一条， 则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝± 3.2分当a ＝3时，A (1，3)，易知所求切线方程为x ＋3y －4＝0； 当a ＝－3时，A (1，－3)，易知所求切线方程为x －3y －4＝0. 5分(2)设过点A 的直线方程为x ＋y ＝b ， 则1＋a ＝b ，即a ＝b －1，8分 又圆心(0,0)到直线x ＋y ＝b 的距离d ＝|b |2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|b |22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，则b ＝± 2. 因此a ＝b －1＝±2－1.12分10．(2017·唐山模拟)已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． [解] (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点．∵M (0,2)，N (－2,0)，∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1,1). 3分又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1； 当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.综上可知，k 的值为1或13.6分(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l 的距离大于半径，10分 ∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得k <－17或k >1.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015·山东高考)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34D [由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D ．] 2．(2017·济南质检)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝__________.【导学号：00090286】32[如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2. 又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝3，∠APB ＝60°. 故PA →·PB →＝3×3×cos 60°＝32.]3．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由． [解] (1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4. 得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0. 2分∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，∴Δ＝(－8k )2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*) ∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞). 5分(2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧，则劣弧MN 所对的圆心角∠MCN ＝90°，由圆C ：x 2＋(y －4)2＝4知圆心C (0,4)，半径r ＝2. 8分在Rt △MCN 中，可求弦心距d ＝r ·sin 45°＝2， 故圆心C (0,4)到直线kx －y ＝0的距离|0－4|1＋k2＝2，∴1＋k 2＝8，k ＝±7，经验证k ＝±7满足不等式(*)， 10分故l 的方程为y ＝±7x .因此，存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±7x . 12分。