08第八章 材料力学习题解答(应力状态分析和强度理论)

=
σ x +σ y
2 +
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ xy sin 2α
80 + σ y
80 − σ y
2 2 ∴σ y = 40 MPa
(3) 主应力
cos(120o ) − 0
σ 1 = σ x = 80 MPa
τ xy = 0
α = 60o
σα = τα =
σx +σ y σx −σ y
2 2
+
σ x −σ y
2
cos 2α =
75 + 150 75 − 150 + cos120o = 131.3 MPa 2 2
sin 2α =
75 − 150 sin120o = −32.5 MPa 2
3
上海理工大学 力学教研室
(3) 应力圆：为一点圆
σ x +σ y
σ x −σ y
τ
(70,0)
σ
(f) (1) 应力分量
上海理工大学 力学教研室
2
σ x = 100 MPa
(2) 用解析法求斜截面上的应力
σ y = 50 MPa
τ xy = 0
α = 60o
σα =
cos 2α − τ xy sin 2α 2 2 100 + 50 100 − 50 = + cos120° = 62.5 MPa 2 2 σ −σ y τα = x sin 2α + τ xy cos 2α 2 100 − 50 = sin120° = 21.7 MPa 2 +
τ
(35,60.6) 60o -70 70
σx +σ y
σ x −σ y
(3) 应力圆
σ
(e) (1) 应力分量
σ x = 70 MPa
σ y = 70 MPa
τ
xy
=0
α = 30 o
(2) 用解析法求斜截面上的应力
cos 2α − τ x sin 2α 2 2 70 + 70 = = 70 MPa 2 σ −σ y τα = x sin 2α + τ x cos 2α = 0 2 σα = +
l/2
l/2
Q=
P 140 = = 70 kN 2 2
M=
Pl 140 × 4 = = 140 kNm 4 4
(2) A 点的应力状态
σx τxy
(3) 截面几何性质
W = 875cm 3 h = 360mm
（4）应力分量
I z = 15800cm 4 b = 10mm t = 15.8mm
B = 136mm
（6）主方向
σ x −σ y
α 0 = −13.6o
（7）主应力
α 0 + 90o = 76.4o
σ −σ y 2 2 ⎧σ max σ x + σ y ) + τ xy = ± ( x ⎨ 2 2 ⎩σ min
⎧84.7 MPa 79.75 79.75 2 ) + (20.56) 2 = ⎨ ± ( 2 2 ⎩ −5.0 MPa ∴σ 1 = 84.7 MPa σ 2 = 0 σ 3 = −5.0 MPa =
τ xy = 20 MPa
tg 2α 0 = −
σ x −σ y
= −0.5
∴α 0 = −13.3o
α 0 + 90o = 76.7o
σ −σ y 2 2 ⎧σ max σ x + σ y ) + τ xy = ± ( x ⎨ 2 2 ⎩σ min ⎧ 4.7 MPa 80 −80 = ± ( ) 2 + 202 = ⎨ 2 2 ⎩ −84.7 MPa ∴σ 1 = 4.7 MPa σ 2 = 0 σ 3 = −84.7 MPa
τ
(62.5,21.7) 120o 50 100
σ x +σ y
σ x −σ y
(3) 应力圆
σ
8.5. 图示锅炉直径D=1 m，壁厚t=10 mm，锅炉蒸汽压力p=3 MPa。试求：(1)壁内主应力σ1、 σ2及最大切应力τmax；(2)斜截面ab上的正应力及切应力。
60
o
σ2
p
σ1
解：(1) 求主应力
= −120 MPa
τ (1) = 0
应力状态单元：
120MPa
主应力：
σ 1 = σ 2 = 0 σ 3 = −120 MPa
(2) 截面上 2 点的应力：
σ (2) = 0
应力状态单元：
τ (2) = −
3Q 3 120 × 103 =− × = 36 MPa 2 bh 2 0.05 × 0.1
(2) 画主平面位置及主应力方向： σx>σy，α0面对应σmax。
σ3
13.3o
σ1
(3) 最大剪应力
τ max =
(4) 应力圆
σ1 − 3
2
=
4.7 + 84.7 = 44.7 MPa 2
τ
(0,20) 26.6o
-84.7 (-80,-20)
4.7
σ
(f) (1) 应力分量
σ x = −20 MPa
α = 120o σ +σ y σ x −σ y σα = x + cos 2α − τ xy sin 2α
5
(3) 主方向
tg 2α 0 = −
2τ xy
σ x −σ y
=−
2 × ( −70.6) = 2.22 63.7
α 0 = 32.9o
(4) 主应力
α 0 + 90o = 122.9o
σ −σ y 2 ⎧σ max σ x + σ y = ± ( x ) +τ 2 ⎨ xy σ 2 2 ⎩ min ⎧109.3MPa 63.7 63.7 2 ± ( ) + (−70.6) 2 = ⎨ 2 2 ⎩− 45.6 MPa ∴σ 1 = 109.3 MPa σ 2 = 0 σ 3 = −45.6 MPa =
8.2. 已知应力状态如图所示，应力单位为 MPa。试用解析法和应力圆分别求：(1)主应力大 小，主平面位置；(2)在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；(3)最大切应力。
80 30
20 20 20
(e)
(f)
解：(e) (1) 应力分量
σx =0
主平面位置和主应力大小
σ y = −80 MPa
2τ xy
8.12. 图示二向应力状态的应力单位为 MPa。试作应力圆，并求主应力。
上海理工大学 力学教研室
7
50 80 60
o
τ
80
τ
50
解：(1) 用水平面截得
50 80 60
o
τ
σy
其中
σ x = 80 MPa
(2) 求应力分量
τ xy = 0
σ α = 50 MPa
α = 60o
σ α = 50 =
1
解：(d) (1) 应力分量
σ x = 70 MPa
σ y = −70 MPa
τ xy = 0
α = 30o
(2) 用解析法求斜截面上的应力
σα =
cos 2α − τ xy sin 2α 2 2 70 − 70 70 + 70 = + cos 60° = 35 MPa 2 2 σ −σ y τα = x sin 2α + τ xy cos 2α 2 70 + 70 = sin 60° = 60.6 MPa 2 +
（5）斜截面上的应力
α = 60o σ +σ y σ x −σ y σα = x + cos 2α − τ xy sin 2α
2 2 79.75 79.75 = + × cos120o − 20.56 × sin120o 2 2 = 2.13MPa σ −σ y sin 2α + τ xy cos 2α τα = x 2 79.75 = × sin120o + 20.56 × cos120o 2 = 24.25 MPa tg 2α 0 = − 2τ xy =− 2 × 20.56 = −0.516 79.75
δ
T P 解：(1) A 点的应力状态 T
30 A
o
d
P
τxy σx
属二向应力状态，应力分量是
P 20000 = = 63.7 × 106 Pa = 63.7 MPa A π × 50 × 2 × 10−6 σy =0
σx =
τ xy = −
T 600 =− = −70.6 × 106 Pa = −70.6 MPa 2 2π r t 2π × 262 × 2 × 10−9
主平面位置和主应力大小
σ y = 30 MPa
2τ xy
τ xy = 20 MPa
tg 2α 0 = −
σ x −σ y
= 0.8
∴α 0 = 19.3o
α 0 + 90o = 109.3o
σ −σ y 2 2 ⎧σ max σ x + σ y ) + τ xy = ± ( x ⎨ 2 2 ⎩σ min
上海理工大学 力学教研室
6
σx =
M×
h 0.36 140 × 103 × 4= 4 = 79.75 MPa −8 Iz 15800 × 10
σy =0 τ xy
2 Q ⎧ b ⎡ ( h − 2t ) h2 ⎤ ⎫ 2 ⎪B ⎡ 2 ⎪ ⎤ = − ⎥⎬ ⎨ ⎣ h − ( h − 2t ) ⎦ + ⎢ Izb ⎪ 8 2⎣ 4 16 ⎦ ⎢ ⎥⎪ ⎩ ⎭ 3 70 × 10 0.136 ⎡ 2 = { 0.362 − ( 0.36 − 2 × 0.0158) ⎤ −8 ⎣ ⎦ 15800 × 10 × 0.01 8 2 0.01 ⎡ ( 0.36 − 2 × 0.0158) 0.362 ⎤ + − ⎢ ⎥} 2 ⎢ 4 16 ⎥ ⎣ ⎦ = 20.56 MPa