高数(1)考题A 2008
完整)高等数学考试题库(附答案)
完整)高等数学考试题库(附答案)高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）。
1.下列各组函数中，是相同的函数的是（）。
A）f(x)=ln(x^2)和g(x)=2lnxB）f(x)=|x|和g(x)=x^2C）f(x)=x和g(x)=x^2/xD）f(x)=2|x|和g(x)=1/x答案：A2.函数f(x)=ln(1+x)在x=0处连续，则a=（）。
A）1B）0C）-1D）2答案：A3.曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程为（）。
A）y=x-1B）y=-(x+1)C）y=(lnx-1)(x-1)D）y=x答案：C4.设函数f(x)=|x|，则函数在点x=0处（）。
A）连续且可导B）连续且可微C）连续不可导D）不连续不可微答案：A5.点x=0是函数y=x的（）。
A）驻点但非极值点B）拐点C）驻点且是拐点D）驻点且是极值点答案：A6.曲线y=4|x|/x的渐近线情况是（）。
A）只有水平渐近线B）只有垂直渐近线C）既有水平渐近线又有垂直渐近线D）既无水平渐近线又无垂直渐近线答案：B7.∫f'(1/x^2)dx的结果是（）。
A）f(1/x)+CB）-f(x)+CC）f(-1/x)+CD）-f(-x)+C答案：C8.∫ex+e^(-x)dx的结果是（）。
A）arctan(e^x)+CB）arctan(e^(-x))+CC）ex-e^(-x)+CD）ln(ex+e^(-x))+C答案：D9.下列定积分为零的是（）。
A）∫π/4^π/2 sinxdxB）∫0^π/2 xarcsinxdxC）∫-2^1 (4x+1)/(x^2+x+1)dxD）∫0^π (x^2+x)/(e^x+e^(-x))dx答案：A10.设f(x)为连续函数，则∫f'(2x)dx等于（）。
A）f(1)-f(0)B）f(2)-f(0)C）f(1)-f(2)D）f(2)-f(1)答案：B二．填空题（每题4分，共20分）。
大一第一学期高数1试题A及答案
2009—2010学年第一学期《高等数学I(一)》课程考试试卷(A 卷)参考答案及评分标准注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟3、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名：一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）.1.设，则 .()lim 1tt x f x t →+∞⎛⎫=+⎪⎝⎭()0x ≠=)3(ln f 2.设是的一个原函数，则= ．x e xsin +()f x ()f 'x 3.曲线的拐点坐标是 .16623-+=x x y 4.若，则 ．2121A dx x -∞=+⎰A =5． .21lim(2)cos2x x x →-=-二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）.将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中.1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）.()f x []12,-()()()22F x f x f x =++A ．；B ．；C ．；D ．.[]30,-[]31,-112,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦102,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．是函数的（ ）.3x =1()arctan 3f x x=-A ．连续点；B ．可去间断点；C ．跳跃间断点；D ．第二类间断点.3．当时，与等价，则（ ）.0→x 1ax e -x 2sin a = A ．1 ；B ．2 ；C ． ；D ．.2-214．函数 在处（）.()21sin,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩0=x A ．有定义但不连续； B ．连续但不可导； C ．连续且可导；D ．不连续且不可导.5.下列等式中正确的是（ ）．A ．； B .；()()ba d f x dx f x dx =⎰()()()x ad f x dx f x f a dx=-⎰C ．；D . .()()df x dx f x dx=⎰()()f x dx f x '=⎰6．函数（ ）.()21xf x x =+ A ．在内单调增加；B ．在内单调减少；(),-∞+∞(),-∞+∞C ．在内单调增加；D ．在内单调减少.()11,-()11,-7．若可导，且，则（）.()f u ()x y f e = A ．；B ．；()x dy f e dx '=()x x dy f e e dx '= C ．；D ．.()xxdy f e e dx =()xxdy f e e dx '⎡⎤=⎣⎦8．（ ）.20|1|x dx -=⎰A ．0 ；B ．2 ；C ．1 ；D ．.1-9．方程的通解是( ).sin y x '''=A .； B .；21231cos 2y x C x C x C =+++21231sin 2y x C x C x C =+++C .； D ..1cos y x C =+2sin 2y x =10.曲线与该曲线过原点的切线及轴围成的图形的面积为（ ）．xe y =y A ． ；B ．；10()xe ex dx -⎰1(ln ln )ey y y dy -⎰C ．； D ．．1()ex x e xe dx -⎰10(ln ln )y y y dy -⎰题号一二三四五六七八总分得分阅卷人得分阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………三、解下列各题（每小题6分，共12分）.1．计算.)lim x xx →+∞-2．计算．xx x x 1022lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→四、解下列各题（每小题6分，共12分).1.已知，求．076333=--++y xy x y 2=x dxdy2. 设函数由参数方程所确定，求和.)(x y y =⎩⎨⎧+==tt t y t x sin cos sin ln dx dy22dx y d五、解下列各题（每小题6分，共18分).1. 计算．⎰++dx xx x 221)(arctan 2．计算.204ln(1)limx x t dt x→-⎰3. 计算.220cos x e xdx π⎰阅卷人阅卷人阅卷人得分阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号 姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………六、（本题10分）.设曲线上任意一点处的切线斜率为,且该曲线经过点，)(x f y =),(y x 2x x y +11,2⎛⎫⎪⎝⎭（1）求函数；)(x f y =（2）求曲线，,所围成的图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积．)(x f y =0y =1x =x七、(本题10分).由半径为的圆上，割去一个扇形，把剩下的部分围成一个圆锥，试求割去扇形的中R 心角，使圆锥的容积为最大.S阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号姓名……………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………参考答案一、填空题1.3；2.sin x e x -3.()2,0-4.1π5. 0二、单项选择题题号12345678910答案DCBCCCBCAA三、解下列各题1. 解：)lim x xx →+∞3分limx =. 6分12=2．． 解：3分xx x x 1022lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→()222202lim 12x xx x x x x x -⋅-→⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭.6分()02lim2x xx x e→-=1e e ==四、解下列各题1. 解：两边分别对求导，得x ，3分22333360dy dy dyy x y x dx dx dx+++-= 当时，，代入上式，得2x =1y =-. 6分23x dy dx==- 2..解： 3分dx dy dydt dx dt=sin sin cos cos sin t t t tt t-++=sin t t = . 6分22dxy d dy dtdx dt'=sin cos cos sin t t t t t +=2sin sin cos cos t t t tt+=五、解下列各题1.．解：⎰++dx x x x 221)(arctan ()222arctan 11x xdx dx x x =+++⎰⎰ 3分()()()22211arctan arctan 21d x x d x x +=++⎰⎰. 6分()()3211ln 1arctan 23x x C =+++2．.解： 3分204ln(1)limx x t dtx→-⎰()232ln 1lim4x x x x→-= .6分220lim 2x x x →-=12=-3..解：2分220cos xe xdx π⎰()22sin xe d x π=⎰222200sin 2sin xx e x e xdx ππ⎡⎤=-⎣⎦⎰()2202cos xe e d x ππ=+⎰2222002cos 4cos xx e e x e xdx πππ⎡⎤=+-⎣⎦⎰5分22024cos x e e xdx ππ=--⎰.6分∴22cos xe xdx π⎰()125e π=-三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………六、解：(1)，即，且当时，， 2分2y y x x '=+2y y x x '-=1x =12y =与之对应的齐次线性微分方程的通解为，y Cx = 令，将其代入非齐次线性方程得，所以，()y u x x =u x '=212u x C =+所以非齐次线性微分方程的通解为，代入初始条件得，312y Cx x =+0C =故所求函数为. 6分312y x =(2) .10分23102x V dx π⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰28π=七、解：设留下的扇形的中心角为，圆锥的高为，底面半径为，则其容积为ϕh r V ，又，213V r h π=2rR πϕ=h =故 4分V =()02ϕπ<<6分3224RV π'=令 得，0V '=ϕ=当时，时，，0ϕ<<0V '>2ϕπ<<0V'<因此为极大值点，又驻点唯一，从而也是最大值点. 8分ϕ=ϕ=即当割去扇形的中心角为时，圆锥的容积最大，2π. 10分3R 八、证明：方程在区间内有唯一实根.4013101xx dt t --=+⎰)1,0( 证明：令，()401311x f x x dt t =--+⎰则，()010f =-< ，()1401121f dt t =-+⎰0>由零点定理知，至少存在一点，使. 4分()0,1ξ∈()0f ξ=由，，()41301f x x'=->+()0,1x ∈知在内单调增加，()f x )1,0(所以方程在区间内有唯一实根. 8分4013101xx dt t --=+⎰)1,0(。
高数历年考题(第一学期)
历年高等数学(A)Ⅰ期末考试卷1998级一． 试解下列各题（24分）1． 讨论极限112lim 21-+-→x x x x 2.求x dt e e xt t x cos 1)(lim 0 0--⎰-→ 3.求⎰xdx arccos4．求dx x x ⎰-2cos sin π二． 试解下列各题（35分）1． 若函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1,11,01,1)(x x x x f 及x e x g =)(，确定)]([x g f 与)]([x f g 的间断点，指出其类型2． 设)(x y y =由方程y x x arctg y +=所确定，求y ' 3． 求⎰+41x x dx 4．求⎰+42sin 1πθθd 5．设)(x y y =由方程组⎩⎨⎧+=+=tt y arctgtt x 63所确定，求)(x y '' 三． 求圆域222)(a c y x ≤-+ )0(c a <<绕x 轴旋转而成的旋转体的体积（10分）四． 设有底面为等边三角形的一个直柱体，其体积为常量V （0>V ），若要使其表面积达到最小，底面的边长应是多少？（10分）五． 设函数f (x ) 在[0,1]上可导且0< f (x )<1，在(0,1)上有1)(' ≠x f ，证明在(0,1)内有且仅有一个x ，使f (x )=x .（8分）六． 连接两点M (3, 10, -5)和N (0, 12, z )的线段平行平面0147=-++z y x ，确定N 点的未知坐标（6分）七、自点P (2, 3, -5)分别向各坐标面作垂线，求过三个垂足的平面方程（7分）1999级一． 试解下列各题（30分） 1． 求)12(lim +-+∞→n n n n2．验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在[-1,3]上的正确性3．x arctgx x x 30sin lim -→ 4．求⎰++dx x x 1322 5．设)(x y y =由方程1=++y xy x 确定，求y ' 二．试解下列各题（28分）1．设⎩⎨⎧+=+=t t y t t x 2222，求22dx y d 2．求⎰-πθθ 0 3)sin 1( d 3．求⎰1 0 dx e x4．试求空间直线⎩⎨⎧-=+=7652z y z x 的对称式方程三．求由y = ln x , y =0和 x = 2所围图形的面积及该平面图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积(12分)四． 求函数⎰+=xtdt t y 0arctan )1(的极小值（12分）五． 设j i a +=，k j b +-=2，求以向量b a,为边的平行四边形的对角线的长度(8分)六． 证明：当0≠x 时，有不等式x e x +>1（10分）一、试解下列各题(30分)1. 求x x x )3l n (2lim+∞→ ； 2. 求dx x x⎰-31 ； 3. 设x x e e y -+=，求y '' ；4. 求曲线)2()1(2-+=x x y 的凹凸区间；5. 求过球面9)4()1()3(222=++++-z y x 上一点2)- 0, ,1(p 的切平面方程。
高数考试内容
高数考试内容一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数$f(x)=\sin x + \cos x$，则$f'(x)$等于（）A. $\cos x-\sin x$B. $\cos x+\sin x$C. $-\cos x-\sin x$D. $-\cos x+\sin x$答案：A。
解析：根据求导公式$(\sin x)'=\cos x$，$(\cos x)' =-\sin x$，所以$f(x)=\sin x+\cos x$的导数$f'(x)=\cos x-\sin x$。
2. 定积分$\int_{0}^{\pi}\sin xdx$的值为（）A. 0B. 1D. - 2答案：C。
解析：$\int_{0}^{\pi}\sin xdx=-\cos x\big _{0}^{\pi}= - (\cos\pi-\cos0)=-(-1 - 1)=2$。
3. 函数$y = \ln x$在点$(1,0)$处的切线方程为（）A. $y = x - 1$B. $y=-x + 1$C. $y = 0$D. $x = 1$答案：A。
解析：$y=\ln x$的导数$y'=\frac{1}{x}$，在点$(1,0)$处的切线斜率$k = y'\big _{x = 1}=1$，根据点斜式方程可得切线方程为$y - 0 = 1\times(x - 1)$，即$y=x - 1$。
4. 若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(x,4)$，且$\vec{a}\parallel\vec{b}$，则$x$的值为（）B. - 2C. 1D. -1答案：A。
解析：两向量平行，对应坐标成比例，即$\frac{1}{x}=\frac{2}{4}$，解得$x = 2$。
5. 极限$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}$的值为（）A. 0B. 1C. 不存在D. $\infty$答案：B。
08级医用高数题-A (附最后答案)
2008医用高数A （共2页） 第1页08级医用高数题 A注意:① 个别题目、专业与其他专业有所不同,请选做对应的题!② 每题均需写出详细的解题过程, 否则不给分. 1．(8分) 求xxxx e 2)2(lim +∞+→.2．(8分)函数)0,0(),(0)0,0(),(),(22=≠+⎩⎨⎧=y x y x y x y x y x f3．(8分) 证明不等式 |||sin sin |y x y x -≤-.4．(8分) ⑴【一般班通用题】若3d )(d )()(00+-=⎰⎰xxt t f x t t f t x f ，求)(x f .⑵【护理.康复班用题】求⎰+-x xxx d 4325.5．(8分)⑴【一般班通用题】设)(x f 为连续函数，证明⎰⎰⎰=-x txt u u f t t x t f 000d )d )((d )()(.⑵【护理.康复班用题】求由抛物线2x y =、直线2=x 及x 轴所围成的平面图形绕Oy 轴旋转一周所得的体积.6．(8分) 求 x x x x d 1sec tan sec 2⎰+⋅.7．(8分) 某地区的成年人中，曾经有3%的人有过自杀企图.该地区的成年人中20%的人生活在贫困线之下. 假定，贫困人口有自杀企图的比例是非贫困人口的3倍. 有自杀企图的人中，多大比例是贫困人口？2008医用高数A （共2页） 第2页8．(8分)⑴【一般班通用题】求微分方程232++='+''x x y y x 的通解.⑵【护理.康复班用题】利用微分求近似值534.（最后结果保留3位小数）9．(8分) 求 ⎰+-21d 11x x x .10．(8分) ⑴【一般班通用题】计算二重积分⎰⎰Dy x yd d sin 2，其中D是由直线x y =，1=y 与y 轴所围成的区域.⑵【护理.康复班用题】求函数极限 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→111lim 0x x e x .11．(10分)设随机变量ξ具有密度函数:.2||,0;2||,cos )(2ππ>≤⎩⎨⎧=x x x A x f 试求：⑴ A 的值； ⑵ E ξ，D ξ .（其中求D ξ 只需列式）12．(10分) 设一条昆虫产k 个卵的概率为λλξ-==e k k P k!)(，Λ,2,1,0=k ，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率为p .若卵的孵化是相互独立的，同一条昆虫的下一代有j 条幼虫的概率是多少？。
07-08-1高数A(上)试卷A
2007--2008学年第一学期考试试卷A 卷一、填空题(每题3分，共18分) 1．设⎩⎨⎧≥<=0,0,0)(x x x x f ，10,0,1)(⎩⎨⎧≥<-=x e x x g x ，则=)]([x g f ________________。
2．设)(u f 可导，且)()(x x e e f x y -+=，则=')(x y ____________________。
3．设函数)(x y y =由方程xy e e y x =-确定，，则0=x dy= 。
4．函数)1ln(+=x y 在区间]1,0[上满足拉格朗日中值定理的ξ = 。
5．设)(x f 在),[+∞a 上连续，且⎰+=xx x dt t f 0 )cos 1()(，则_______)2(=πf 。
6．设21,r r 是常系数齐次线性微分方程0=+'+''qy y p y 的特征方程的根，则=p ____________；=q _____________。
二、选择题(每题3分，共18分) 1．设=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-0,10,121211x x xx ，则点0=x 是)(x f 的( )。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷间断点 (D) 连续点2．设⎩⎨⎧+==)1ln(arctan 2t y t x ，则=22dx yd ( )。
(A) 2 (B) 212t+ (C) )1(22t + (D) 221t-3．设⎰=x dtt x f 02sin )(，43)(x x x g +=，则当0→x 时，)(x f 是)(x g 的( )。
(A)等价无穷小 (B)同阶非等价无穷小 (C)高阶无穷小 (D)低阶无穷小 4．若反常积分⎰∞--0dx e kx 收敛，则必有( )。
(A) 0>k (B) 0≥k (C) 0<k (D) 0≤k5．关于曲线)0(ln +∞<<=x x x y 的凹凸性，正确的判断是( )。
大学高数试题(共7套)
2010-2011学年第一学期考试卷 A课 程：高等数学Ⅰ1（90学时） 考 试 形 式：闭卷考试 一．填空题(每小题3分,本大题满分15分) 1．设函数⎩⎨⎧>≤=1||01||1)(x x x f ，则 )]([x f f = .2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0202sin )(x ax x xx x f ，当常数=a ______时,)(x f 在0x =处连续.3．曲线x e y 2=上点（0，1）处的切线方程为______ __.4．曲线53523++-=x x x y 的凹区间为_______ _____. 5．若x e -是)(x f 的原函数，则dx x f x )(ln 2⎰ = . 二．选择题(每小题3分,本大题满分15分) 1. 当1x →时，无穷小量x-1是x -1的( ).A. 高阶无穷小;B. 低阶无穷小;C. 等价无穷小;D. 同阶但不等价无穷小. 2．若∞=→)(lim x f ax ，∞=→)(lim x g ax 则必有（ ）A. ∞=+→)]()([lim x g x f ax ; B. ∞=-→)]()([lim x g x f ax ;C. 0)()(1lim=+→x g x f ax ; D. ∞=→)(lim x kf ax ，（0≠k 为常数）3.函数xxx x f πsin )(3-=的可去间断点个数为（ ）.A ．1; B. 2; C. 3; D. 无穷多个. 4. 设函数)(x f y =在点0x 处可导, 且0)(0≠'x f ， 则 xdy y x ∆-∆→∆0lim 等于（）.A. 0；B. -1；C. 1；D. ∞ . 5. 设)(x f 连续，且⎰=24)(xx dt t f ，则)4(f = （ ）A. 2；B. 4；C. 8；D. 16 . 三．解答下列各题(每小题6分,本大题满分18分) 1．)3ln(tan 2x x y ⋅=，求dy .2．求由方程0)cos(=-+xy e y x 所确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数.3．设⎩⎨⎧=+=t y t x cos 12，求dx dy 和22dx yd 。
自考高数1试题及答案
自考高数1试题及答案自考高等数学（一）试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，不是周期函数的是（）。
A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)答案：C2. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5在x = 1处的导数是（）。
A. -1B. 3C. 5D. 7答案：D3. 定积分∫₀¹ x² dx的值是（）。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/2答案：A4. 二阶常系数线性微分方程y'' - 5y' + 6y = 0的特征方程是（）。
A. r² - 5r + 6 = 0B. r² + 5r + 6 = 0C. r² - 6r + 5 = 0D. r² + 6r + 5 = 0答案：A5. 利用洛必达法则计算极限lim (x->0) [sin(x)/x]的正确步骤是（）。
A. 直接代入x=0B. 计算分子的导数C. 计算分母的导数D. 计算分子和分母的导数答案：D6. 方程y² = x在点(4,2)处的切线斜率是（）。
A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C7. 函数f(x) = ln(x)的值域是（）。
A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)答案：C8. 利用定积分的几何意义，圆x² + y² = 4与直线y = x所围成的图形的面积是（）。
A. 2πB. πC. 1/2πD. 4/3π答案：B9. 微分方程dy/dx + 2y = 8e²x的解是（）。
A. y = 4e²x + Ce⁻²xB. y = 2e²x + Ce⁻xC. y = 8e²x + Ce⁻xD. y = Ce²x + 8e⁻²x答案：A10. 函数f(x) = x³在区间[-1, 2]上的最大值是（）。
高数试卷(一)
高等数学试卷（一）﹍一．填空题：1． 设 f(x)=()⎩⎨⎧=≠+0,0,sin 1x A x x ctgx ,在x=0处连续，则A=--2.()=+∞→1!sin .lim 32n n n n ---------- 3.≈32.8---------(精确到小数点后三位)4．若函数f(x)=x 2在x 0处的自变量的增量为2.0=∆x ,对应函数增量y ∆的线性主部dy=﹣1，则x 的始值x 0=---------------5．已知y=f(2x),则y x =--------------------6．函数y=x 3-3x 2-9x+4的单调增区间是--------------，单调减区间是--------------- 7.y=()0,11lim≥+∞→x x nn ,则y=---------------，x=-----------------是间断点。
8． 设f(x)=cosx,g(x)=⎩⎨⎧>+≤-0,0,x x x x ππ,则f ()[]x g =--------------------,其连续区间为-------------9.若f(x)=xx e ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+11,则()x f x ∞→lim =-------------,()x f x +→0lim =------------,()x f x -→0lim =------------10．已知y=a bx,则y()n =-----------------二．计算题1． 试给出函数f(x)=1+sinx+cosx 在[]π2,0内的单调情况及单调区间. 2． 求()()0ln 1ln lim0>-+→a xax x3． 计算数列极限⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∞→22211311211lim n n 4． 已知函数y=()()0sin cos >x x x,求dy5． 求曲线族⎪⎭⎫⎝⎛-=n x ey (其中a 为大于0的参数)各条曲线上拐点的公共纵坐标6． 求函数()x e x y -+=101的极值7． 求()()x x x f -=1ln 的n 阶马克劳林展开式。
高等数学考试题库(附答案)
《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()()20ln 10x f x x a x -≠⎪=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（ ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（ ）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xeC -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（ ）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分）1．求极限①21lim x xxx→∞+⎛⎫⎪⎝⎭②()2sin1limxxx xx e→--2．求曲线()lny x y=+所确定的隐函数的导数xy'.3．求不定积分①()()13dxx x++⎰②()22ax a>-⎰③x xe dx-⎰四．应用题（每题10分，共20分）1．作出函数323y x x=-的图像.2．求曲线22y x=和直线4y x=-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题 1．2- 2． ３． ２ ４．arctanln x c + ５．２ 三．计算题 １①2e ②162.11xy x y '=+- 3. ①11ln ||23x C x +++②ln ||x C + ③()1x e x C --++四．应用题１．略 ２．18S =《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭(B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2xy x e-=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =().(A) ()121xx e - (B) 12xx e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x . 3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰ ②()220a x a>+⎰③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc +②)ln x c + ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》试卷3（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________. 7. 20_______________________.x t d e dt dx -=⎰ 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx.四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120x e dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解. 八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x +-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x xe d x e e ==-⎰ 五.sin 1,122dy dy tt t y dxdx ππ=====且 切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)x r r r iy e C x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y ee edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（ ）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （ ）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d =6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）. A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x-7、⎰=+dx xx ln 2（ ）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C xx++-2ln 1 8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、⎰=+101dx e e xx（ ）. A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 xe y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）.A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim 0； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；5、求定积分⎰eedx x 1ln ； 6、解方程21xy xdx dy -=；四、应用题（每小题10分）1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、xe x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、xe x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e - ； 6、C x y =-+2212 ； 四、1、38； 2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ ）.A 、()()+∞--,01,2YB 、 ()),0(0,1+∞-YC 、),0()0,1(+∞-ID 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.A 、 x x cos lim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim （ ）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ ）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （ ）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（ ）. A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a x x lnC 、⎰+=C x xdx sin cosD 、⎰++=C x xdx 211tan7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ ）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、设 a ﹥0，则=-⎰dx x a a22（ ）.A 、2a B 、22a πC 、241a 0 D 、241a π10、方程（ ）是一阶线性微分方程. A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)(φx b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 xxe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；4、=⎰-113cos xdx x；5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ；6、求方程y xy y x =+'2满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案（B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、xe x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、xxe C e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x xx ； 3、dx x x 221)1(1-- ；4、C x ++ln 22 ；5、)12(2e- ； 6、x e x y 122-= ；四、1、 29； 2、图略。
高数试题A卷试题及答案
４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）
内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为 （ ）
①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧
５．设Ｆ'(x) ＝ Ｇ'(x)，则 （ ）
① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数
ｄｐ
② 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ ───
ｄｙ
ｄｐ
③ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ｐ───
３．下列说法正确的是 （ ）
①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续， 则ｆ（ X ）在X＝Xo可导
②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续
③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在
④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导
_______
R √R2－ｘ2
８．累次积分∫ ｄｘ ∫ ｆ（Ｘ2 ＋ Ｙ2 ）ｄｙ 化为极坐标下的累次积分为
____________。
0 0
n=1 n=1000
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，
１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）
（一）每小题１分，共１０分
１
高数试题 A卷
一、填空题（每小题１分，共１０分）
________ １
１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2 ＋ ────── 的定义域为
_________
３
ｘｙ
１７．ｌｉｍ ｘｙｓｉｎ ───── ＝ （ ）
x→0 ｘ2＋ｙ2
高数测试卷一及答案(第一章)
高数第一章测试一、选择题（每题5分）1、当x →0时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小（ ）A ．x 2 B. 1-cos x C. x - tan x D. ln(1+x 2)答案：C;211cos ~2x x -，22ln(1)~x x +， 222222000011tan cos 11sin 1cos lim lim lim lim 022cos 2cos x x x x x x x x x x x x x x x→→→→---===-=， ∴该选（C ）2、设当x →0时，(1-cos x )ln(1+x 2)是比x sin x n 高阶的无穷小，而x sin x n 是比（2x e ）高阶的无穷小，则正整数n 为（）A.1B.2C.3D.4答案：B ；因为当0x →时，224121(1cos )ln(1)sin ,(1)2n n x x x x x x x e x +-+-，，所以214n <+<满足题设条件的2n =。
故选B 。
3、设232)(-+=x x x f ,则当x →0时（） A. )(x f 与x 是等价无穷小量 B. )(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量C. )(x f 与比x 较高阶的无穷小量D. )(x f 与比x 较低阶的无穷小量 答案：B ；【解法1】ln 22ln32121ln 2(ln 2)2!131ln 3(ln 3)2!()232(ln 2ln 3)()x x x x x x e x x e x x f x x x ο==+++ ==+++∴=+-=++ 故0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。
【解法2】 000()2322ln 23ln 3lim lim lim ln 2ln 31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+ ∴0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。
4、下列极限存在的是（） A.x x x x 1arctan sin lim 0→ B. x x x x 1arctan sin lim 0→ C. x x x x 1arctan sin lim 0→ D. x x x x 1arctan sin lim 0→答案：A;因为00sin sin 11lim arctan (1)()lim arctan 12222x x x x x x x x ππππ-→→=--==⨯=＋，。
高数(一)试题(2)
高等数学（一）（第三章练习题）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.设f （x ）=⎩⎨⎧<≥0x ,x sin 0x ,x ，则)0(f '=（ ）A.-1B.1C.0D.不存在2.设函数f(x)在点a 可导，且1h 2)h 5a (f )h 5a (f lim 0h =--+→，则=')a (f （ ）A.51B.5C.2D.21 3.设函数y=2x 2，已知其在点x 0处自变量增量3.0x =∆时，对应函数增量y ∆的线性主部为-0.6，则x 0=（ ） A.0B.1C.-0.5D.-44.设某商品的需求函数为Q=a-bp ，其中p 表示商品价格，Q 为需求量，a 、b 为正常数，则需求量对价格的弹性=EPEQ（ ）A.bp a b --B. bp a b- C. bp a bp -- D. bp a bp -5．函数f(x)在点x=x 0处连续是f(x)在x=x 0处可导的（ ）A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分条件又非必要条件 6.设函数f(x)在x=a 处可导，则f(x)在x=a 处（ ） A.极限不一定存在 B.不一定连续 C.可微 D.不一定可微 7.设函数(x)(x),a)-(x f (x)ϕϕ=在x=a 处可导，则（ ） A.)x ()x (f ϕ=' B.)a ()a (f ϕ'=' C.)a ()a (f ϕ=' D.)a x ()x ()x (f -+ϕ=' 8.设y=lnsinx,则dy=（ ） A.-cotx dx B.cotx dx C.-tanx dx D.tanx dx9.设y=a x (a>0,a ≠1),则y (n)==0x （ ）A.0B.1C.lnaD.(lna)n10.设一产品的总成本是产量x 的函数C(x),则生产x 0个单位时的总成本变化率(即边际成本)是（ ） A.x )x (C B.0x x x )x (C = C.dx )x (dC D.0x x dx )x (dC =11.设函数y=f(x)在点x 0可导，且,a )x (f 0='则 =∆-∆-→∆x)x (f )x 2x (f lim 000x （ ）A.aB.2aC.-2aD.-2a 12.若函数f(x)在点x 0处自变量增量Δx=0.25，对应函数增量Δy 的线性主部为2，则函数在该点的导数值=')x (f 0（ ） A.4B.8C.0.5D.0.12513.设某商品的供给函数为S=a+bp ，其中p 为商品价格，S 为供给量，a,b 为正常数，则该商品的供给价格弹性=EPES（ ） A.bpa bp+B.bp a b+ C.bpa bp +- D.bpa b+- 14．设D=D （p ）是市场对某一商品的需求函数，其中p 是商品价格，D 是市场需求量，则需求价格弹性是（ ） A ．)p ('D p D - B ．)p ('D D p - C ．)D ('p pD-D ．)D ('p Dp-15．设△y=f(x 0+△x)-f(x 0)且函数f(x)在x=x 0处可导，则必有（ ） A ．0x lim →∆△y=0 B ．△y=0 C ．dy=0 D ．△y=dy16．设产品的利润函数为L （x ）,则生产x o 个单位时的边际利润为（ ） A ．00x )x (L B ．dx)x (dL C ．0x x dx )x (dL =D ．)dx)x (L (dx d 17．设f(x)=x 15+3x 3-x+1,则f (16)（1）=（ ） A ．16! B ．15! C ．14!D ．018.设f (x )为可微函数，且n 为自然数，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∞→)n x (f )x (f 1lim n =（ ）A.0B.)x (f 'C.-)x (f 'D.不存在19.设函数f(x)可导，又y=f(-x)，则y '=（ ） A.)x (f ' B.)x (f -' C.-)x (f 'D.-)x (f -'20.设某商品的需求函数为D(P)=475-10P-P 2,则当P = 5时的需求价格弹性为（ ） A.0.25 B.-0.25 C.100D.-10021已知某商品的成本函数为500302)(++=Q Q Q C ，则当产量Q =100时的边际成本（ ） A ．5 B ．3 C ．3.5D ．1.522.设f(x)=⎩⎨⎧<≥+0x ,x 0x ),x 1ln(, 则=')0(f （ ）A.0B.1C.-1D.不存在23.设供给函数S=S(p)(其中p 为商品价格), 则供给价格弹性是（ ）A.)p (S S p '-B. )p (S S p 'C. )p (S p 'D. )p (S S 1'24.设f (x )=x |x |，则f ′(0)=( ) A.1 B.-1 C.0 D.不存在25.设某商品的需求量D 对价格p 的需求函数为D =50-5p，则需求价格弹性函数为( ) A.250-p p B.p p -250 C.51pp -250D.51250-p p 26.设生产x 个单位的总成本函数为C （x ）=7x 2012x 2++，则生产6个单位产品时的边际成本是（ ）A.6B.20C.21D.2227．设函数y =150-2x 2,则其弹性函数ExEy=（ ） A ．221504x - B ．221504x x- C ．150242-x xD ．1502422-x x28.设f (x )=2x,则f ″(x )=（ ）A.2x ·ln 22B.2x ·ln4C.2x ·2D.2x ·429．设f (x )=arccos(x 2)，则f ＇(x )=（ ） A ．211x--B ．212xx --C ．411x--D ．412xx --二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.曲线y =x +ln x 在点（1，1）处的切线方程为________________.2.设函数y =ln x ,则它的弹性函数ExEy=_____________. 3.函数f(x)在点x 0处左、右导数存在且相等是函数f(x)在x 0可导的___________条件.4．设某商品的市场需求函数为D=1-7P，P 为商品价格，则需求价格弹性函数为 .5．设y=2x 2e x ，则y ''(0)= .6. 已知某商品的产量为q 件时总成本为C （q ）=100q+160q 2(百元)，则q=500件时的边际成本为___________.7.设f(x)在x=a 处可导，则=--→h)a (f )h 2a (f lim 0h ___________.8.曲线y=sinx 在点π=32x 处的切线方程为___________. 9．若f(x)在x=x 0处可导，且.__________)x ('f ,3h)h 5x (f )x (f lim0000h ==+-→则10. 设f(x)=⎩⎨⎧≥<-1|x |,01|x |,x 12,则'-f (1)=_____.11.设y=cos 2x 1+，则'y =_____.12.已知某产品的产量为g 时，总成本是C(g)=9+800g 2，则生产100件产品时的边际成本MC|g=100=_____.13.设⎩⎨⎧>≤-=0x ,x 0x ,e 1)x (f 2x ，则-'f (0)=___________。
高数一试题与答案解析
高数一试题(卷)与答案解析(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《 高等数学(一) 》复习资料一、选择题1. 若23lim 53x x x k x →-+=-，则k =（ ） A. 3- B.4- C.5- D.6-2. 若21lim 21x x k x →-=-，则k =（ ） A. 1 B.2 C.3 D.43. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( )A.22y x =+B.22y x =-+C.23y x =+D.23y x =-+4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.132y x =-+ 5. 211lim sin x x x →-=( ) A.0 B.3 C.4 D.56.设函数0()(1)(2)xf x t t dt =+-⎰，则(3)f '=（ ） A 1 B 2 C 3 D 47. 求函数43242y x x =-+的拐点有（ ）个。
A 1B 2C 4D 08. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ ）。
A. sin xB.1x e C. 211x x +- D. arctan x 9.已知'(3)=2f ，0(3)(3)lim 2h f h f h→--=( ) 。
A. 32 B. 32- C. 1 D. -1 10. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（ ）。
A. 极小值B. 极大值C. 最小值D. 最大值11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( )A.至少有两个零点B. 有且只有一个零点C. 没有零点D. 零点个数不能确定12. [()'()]f x xf x dx +=⎰( ).A.()f x C +B. '()f x C +C. ()xf x C +D. 2()f x C +13. 已知22(ln )y f x =，则y '=( C ) 2222(ln )(ln )f x f x x '. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln )f x f x x ' D. 222(ln )()f x f x x ' 14. ()d f x ⎰=( B)A.'()f x C +B.()f xC.()f x 'D.()f x C + 15. 2ln x dx x=⎰( D ) A.2ln x x C + B.ln x C x + C.2ln x C + D.()2ln x C + 16. 211lim ln x x x→-=( ) A.2 B.3 C.4 D.517. 设函数0()(1)(2)xf x t t dt =-+⎰，则(2)f '-=（ ） A 1 B 0 C 2- D 218. 曲线3y x =的拐点坐标是( )A.(0,0)B.( 1,1)C.(2,2)D.(3,3)19. 已知(ln )y f x =，则y '=( A ) A.(ln )f x x ' B.(ln )f x ' C.(ln )f x D.(ln )f x x20. ()d df x =⎰( A)A.()df xB.()f xC.()df x 'D.()f x C +21. ln xdx =⎰( A )A.ln x x x C -+B.ln x x C -+C.ln x x - D.ln x二、求积分（每题8分，共80分）1．求cos ⎰．2. 求．3. 求arctan xdx ⎰．4. 求⎰5. 求2356x dx x x +-+⎰．6. 求定积分80⎰7. 计算20cos x xdx π⎰．8. 求2128dx x x +-⎰．9. 求11. 求2212x xe dx -⎰12. 求3x ⎰13. 求21ln e xdx x ⎰14.求⎰三、解答题1.若(1lim 36x x →∞=,求a 2.讨论函数321()2333f x x x x =-+-的单调性并求其单调区间3. 求函数22()2x x f x x --=-的间断点并确定其类型 4. 设2sin ,.xy xy x e y '+=求5.求y =的导数． 6. 求由方程cos sin x a t y b t =⎧⎨=⎩确定的导数x y '. 7. 函数1,0()1,0tan ,0x e x f x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩在0x =处是否连续？8. 函数1,0()1,0tan ,0x e x f x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩在0x =处是否可导？9. 求抛物线2y x =与直线y x =所围成图形D 的面积A .10. 计算由抛物线22y x =与直线4y x =-围成的图形D 的面积A .11. 设y 是由方程sin y y y xe =+确定的函数，求y '12.求证： ln 1,1x x x <->13. 设y 是由方程1y y xe =+确定的函数，求y '14. 讨论函数32()29123f x x x x =-+-的单调性并求其单调区间15.求证： 21,x e x >-16. 求函数3(1)()x x f x x x -=-的间断点并确定其类型五、解方程1. 求方程0)(22=-+dy xy x dx y 的通解.2.求方程20yy y '''+=的通解.3. 求方程22y y y x '''-+=的一个特解.4. 求方程3595x y y y xe -'''-+=的通解.高数一复习资料参考答案一、选择题1-5： DABAA6-10：DBCDD11-15： BCCBD16-21：ABAAAA二、求积分1．求cos ⎰．解：322cos (sin )sin 3x x C C ==+=⎰2. 求dx x⎰．解：13(43ln )(ln )x d x x=+⎰⎰131(43ln )(43ln )3x d x =+⋅+⎰ 431(43ln )4x C =++． 3. 求arctan xdx ⎰．解：设arctan u x =，dv dx =，即v x =，则arctan arctan (arctan )xdx x x xd x =-⎰⎰2arctan 1x x x dx x =-+⎰21arctan ln(1)2x x x C =-++． 4.求⎰解：32222e 33e 3e 3e 23e 6e t t t t t t x t t dt t dt t tdt t t dt ===-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰223e 6e 6e 3e 6e 6e t t t t t t t t dt t t C =-+=-++⎰2)C =+．5. 求2356x dx x x +-+⎰． 解：由上述可知23565623x x x x x +-=+-+--，所以 2356()5623x dx dx x x x x +-=+-+--⎰⎰115623dx dx x x =-+--⎰⎰5ln 26ln 3x x C =--+-+．6.求定积分80⎰t =，即3x t =，则23dx t dt =，且当0x =时，0t =；当8x =时，2t =，于是28222000313ln(1)3ln312t dt t t t t ⎡⎤==-++=⎢⎥+⎣⎦⎰⎰．7. 计算20cos x xdx π⎰． 解：令2u x =，cos dv xdx =，则2du xdx =，sin v x =，于是 22200000cos sin (sin )2sin 2sin x xdx x d x x x x xdx x xdx πππππ==-=-⎰⎰⎰⎰． 再用分部积分公式，得20000cos 2cos 2(cos )cos x xdx xd x x x xdx ππππ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 002(cos )sin 2x x x πππ⎡⎤=-=-⎣⎦．8. 求2128dx x x +-⎰． 解：221113(1)(1)ln 28(1)963(1)x dx d x C x x x x -+=+=++-+-++⎰⎰ 12ln 64x C x-=++． 9. 求解：令u =32x u =-，23dx u du =，从而有22311311u u du du u u -+==++⎰⎰ 213(1)3(ln 1)12u u du u u C u =-+=-++++⎰ 11. 求2212x xe dx -⎰ 解：2222222411112x x x xe dx e dx e e e -----===-⎰⎰12. 求3x ⎰解：333223(3)(3)3xx x C =--=--+⎰13. 求21ln ex dx x⎰ 解：22111ln 111ln (ln )ln ln 333e e e x dx xd x x e x ====⎰⎰ 14.求⎰解：3322222121(3)(3)(3)233x x C x C =--=-⋅-+=--+⎰三、解答题1.若(1lim 36x x →∞=,求a解：因为223x =，所以9a =否则极限不存在。
自考高数一历年试题及答案
自考高数一历年试题及答案自考高等数学（一）历年试题及答案一、选择题1. 下列函数中，不是周期函数的是（）。
A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = x^2答案：C2. 函数f(x) = x^3在区间（-1,2）上的最大值是（）。
A. 1B. 8C. -1D. 2答案：B3. 微分方程dy/dx - y = 0的通解是（）。
A. y = Ce^xB. y = Cxe^xC. y = CxD. y = e^x答案：A4. 若函数f(x) = 2x - 3在点x=1处的导数为1，则该函数在此处的切线斜率为______。
答案：15. 定积分∫₀¹ x² dx的值为______。
答案：1/3三、解答题6. 求函数f(x) = 3x² - 2x + 5的极值。
解答：首先求导数f'(x) = 6x - 2。
令f'(x) = 0，解得x = 1/3。
在x = 1/3处，f(x)取得极小值，计算得f(1/3) = 14/3。
7. 已知某工厂生产函数为Q = 2L²/3 + 3K，其中L为劳动投入，K为资本投入。
求劳动对产量的边际贡献。
解答：首先求产量对劳动的偏导数，即边际贡献。
对Q关于L求偏导得：dQ/dL = 4L/3。
这就是劳动对产量的边际贡献。
四、证明题8. 证明函数f(x) = x³ - 6x在区间（-2, 2）上是增函数。
证明：求导数f'(x) = 3x² - 6。
要证明f(x)在区间（-2, 2）上是增函数，需要证明f'(x)在该区间内恒大于0。
观察f'(x) = 3x² - 6，可以发现在x = ±√2时，f'(x) = 0。
在区间（-2, -√2）和（√2, 2）内，f'(x) > 0，而在区间（-√2, √2）内，f'(x) < 0。
高数(一)复习题(1)
高数(一)复习题(1)高数（一）复习题一、选择题 1、设f(x)的定义域是[-1，1]，则f(2x)的定义域是（C ）（A ）[-1，1]； （B ）[-2，2]；（C ）]1,21[-； （D ）]1,1[-。
2、设函数（A （C3、函数（A （C4、若（A ）x 2（C ）x 25、函数（A （C6、若f(x)==-=+-))((,1)(,11x g f x x g xx 则（ B ） （A ）x x +12； （B ）xx -2； （C ）x; （D ）x x +1。
7、当x →0时，涵数sinx 是x 2的（ C ）（A ）高阶无穷小量； （B ）等价无穷小量；（C ）低价无穷小量； （D ）同阶穷小量。
8、下列说法正确的是（ B ）（A ）无穷大量可能是有界变量；（B ）无穷大量一定不是有界变量；（C（D 9、（A ）1； 10、如果（A ）limf(x)（B ）limf(x)（C ）limf(x)（D ）limf(x)11、设（A ）（B ）（C ）limf In f(x); （D ）lim arcsin f(x)。
12、下列函数中x →0时是无穷小量的是（ C ）（A ）e -x ; （B ）21x -； （C ）ln(1+x); （D ）In|x|。
13、设limx n 存在，而limy n 不存在，则（ A ）→x 1→x 0x x →x 0x x →x 0x x →x 0x x →x 0x x →0x x →x 0x x →x 0x x →0x x →0x x →0x x →（A ）lim(x n +y n )及lim(x n -y n )一定都不存在； （B ）lim(x n +y n )及lim(x n -y n )一定都存在； （C ）lim(x n +y n )及lim(x n -y n )中前一个存在，而后一个不存在； （D ）lim(x n +y n )及lim(x n -y n )中前一个不存在，而后一个存在。
08级医用高数题-A
08级医用高数题A注意:① 个别题目沪琏、懸縫专业与其他专业有所不同，请选做对应的题！② 每题均需写出详细的解题过程，否则不给分.21. （8 分）求 lim （2x+e x）7 参考答案：e2.「x y2.（8分）函数f（x, y）i 厂孑（x, y2（0,°）在原点是否连续?1- 0 （x,y）=（O,O）3. (8 分)证明不等式 |sinx—siny | 乞 |x —y|.参考答案：……,……不连续. 参考答案：证明：（略）.. . X X4. (8 分)(1)【一般班通用题】若 f (x)二01 f ⑴ dt - x 0f (t)dt 3，求 f(x).⑵【护理.康复班用题】求参考答案：⑴z x .2x413⑵ ——-2x2+—ln( 4+X2)+C.4 25. （8分）⑴【一般班通用题】设f（x）为连续函数，证明x x t0f （t）（x -t）dt = 0（0f （u）du）dt. 参考答案：⑴证明：（略）⑵8二.⑵【护理.康复班用题】求由抛物线y=x2、直线x = 2及x轴所围成的平面图形绕Oy轴旋转一周所得的体积.6. （8分）求参考答案：ln secx+Jse；+1 +C .7. （8分）某地区的成年人中，曾经有3%的人有过自杀企图.该地区的成年人中20%的人生活在贫困线之下.假定，贫困人口有自杀企图的比例是非贫困人口的3倍.有自杀企图的人中，多大比例是贫困人口？■4^. 3参考答案:8.（8分）⑴【一般班通用题】求微分方程xy“ • y 'x 23x 2的通解.⑵【护理.康复班用题】利用微分求近似值5 34 .（最后结果保留3位小数） 参考答案：⑴ x 3+3x 2+2x + C i In |x | +C 2 - ⑵ 2.025 .9.（8 分）求「A10.（8分）⑴【一般班通用题】计算二重积分II sin y 2dxdy ，其中DD 是由直线y 二x , y =1与y 轴所围成的区域.⑵【护理.康复班用题】求函数极限lim ——.t I x e -1 72JL「Acos x,| x | < — 11.（10分）设随机变量匕具有密度函数：f （x ）i2k0,|X |A £2试求：⑴A 的值；⑵E , D .（其中求D 只需列式）-k12.（10分）设一条昆虫产k 个卵的概率为P （ =k ）q 厂,k =0,1, 2/ ,又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率为参考答案：⑴A _：2⑵0,兀2_2x 2 cos 2xdx参考答案:.31 n(2 .3).p .若卵的孵化是相互独立的,同一条昆虫的下一代有j条幼虫的概率是多少?参考答案。
高数(1)期末考试模拟题 (1)
lim
1 1. x 0 2(1 x ) 2
1 x2
------------------------------(1分)
x) 2.(6分) lim(cos x 0
e
1 2
11
d2 y 3.(7分)设 x te , y 2t t ,求 2 |t 0 dx
t 2
2
的n阶导数 y =
x
( n)
( 1)n n ! ( x 1)n1
.(
1 (n) 3 x
)
( 1)n1 n ! ( x 3)n1
.
高阶导数：1.直接法 2.间接法
(e x )( n ) e (sin x )( n ) sin( x n ) 2 n ) (cos x)( n) cos( x 2 n! ( 1 )( n ) ( 1)n xa ( x a )n 1 1 )( n ) ( 1)n 1 ( 1 )( n ) ( xa x a
12
函数的极值及其求法
f(x)在x0的某Ů(x0, ), 对xŮ (x0, ), 恒有 f(x) < f(x0)则f(x0)为f(x)的一个极大值. f(x) > f(x0)则f(x0)为f(x)的一个极小值.
(极值存在的必要条件): f(x)在x0处可导,点x0为f(x)的极值点, 则f(x0)=0. 第一充分条件:f(x)在x0处连续 , 在x0 的某Ů (x0, )内可导 过 由正变负 为极大值 过 由负变正 为极小值 第二充分条件: f(x)在x0处具有二阶导数 为极大值 为极小值
y 3
3
x
4 3
1 2
当 x 0 时，F ( x)与 x 2 是等价无穷小,求 f (0).
考研高数1试题及答案
考研高数1试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数 \( f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1 \)，下列选项中，\( f(x) \) 的导数正确的是：A. \( 3x^2 + 4x - 5 \)B. \( x^3 + 2x^2 - 5 \)C. \( 3x^2 + 2x - 5 \)D. \( 3x^3 + 4x^2 - 5x \)答案：A2. 设 \( A \) 是 \( 3 \times 3 \) 矩阵，\( \det(A) = 2 \)，则\( \det(2A) \) 的值是：A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B3. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是：A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{1}{3} \)答案：B4. 已知 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. 1D. 2答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 求定积分 \( \int_{0}^{1} (2x - 1) dx \) 的值是 _______。
答案：\( \frac{1}{2} \)2. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是 _______。
答案：\( (0, +\infty) \)3. 函数 \( y = e^x \) 的导数是 _______。
答案：\( e^x \)4. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是 _______。
答案：1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线方程。
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…………密…………封…………线…………内…………请…………不…………要…………答…………题…………河北工程大学2008～2009学年第 1学期期末考试试卷（A ）卷要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或不选均不得分，）1.当0→x 时，下列函数与无穷小量x 相比是高阶无穷小的是 【 】A ．x sinB ． 2x x +C ．)1ln(x +D ．x cos 1-2. 使1)(1=⎰∞+dx x f 成立的)(x f 为 【 】 A. 21xB. x1 C. x e - D.211x+3. 设⎩⎨⎧<≥=0,00,)(x x x x f ，⎩⎨⎧≥<+=1,1,1)(x x x x x g ，则)()(x g x f +的连续区间是 【 】A ．),(∞+-∞B ．),0()0,(∞+-∞C ．),1()1,(∞+-∞D ．),1()1,0()0,(∞+-∞ 4. 设函数)(x f 连续，则⎰-xdt t xtf dxd 022)(等于 【 】A . )(2x f x B . )(2x xf C . )(2x xf D . )(22x xf5. 设⎰-+=2242cos1sin ππxdx xx M ，⎰-+=2243)cos(sinππdx x x N ， ⎰--=22432)cossin(ππdx x x x P ，则有：A. M P N <<B. N M P <<C. P M N <<D. N P M << 【 】二．填空题：(本大题共5小题，每小题4分，共20分。
把正确答案填写在题后的横格线上)1．设 ,2xxey -=则 ='y 。
2. 设方程0=--yey x 确定函数)(x y y =，则=dxdy 。
3. 曲线)1ln(2-=x y 在区间),1(∞+上的单调性是 。
4．1-=x 是函数112+-=x xy 的第________类间断点。
5. 设)(x f 连续，dt t f x x f ⎰+=12)(2)(，则=)(x f 。
…………密…………封…………线…………内…………请…………不…………要…………答…………题…………三．求极限：(本大题共2小题，每小题6分，共12分)1．xx xx 2)1(lim +∞→2．3002limxdte x xtx ⎰-→四．计算积分：(本大题共2小题，每小题6分，共12分)1．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=0,110,11)(x ex x x f x，求⎰-2)1(dx x f .2．设xx ln 为)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(。
五．(10分) 已知曲线d cx bx x y +++=23上有一拐点)1,1(-，且0=x 时曲线上点的切线平行于x 轴，试确定常数d c b ,,的值，并写出曲线方程。
…………密…………封…………线…………内…………请…………不…………要…………答…………题…………六．（10分）求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形面积。
七．（10分）设有一根长为l 的铁丝，将其分成两段，分别构成圆形和正方形。
若记圆形面积为1S ，正方形面积为2S ，试求怎样的分法可使21S S +最小？并求当21S S +为最小时21S S 的值为多少？八．（6分）已知)(x f 在],[b a 上连续，),(b a 内可导，且)()(b f a f =，证明在),(b a 至少存在一点ξ，使得)()()(ξξξf f a f '+=.…………密…………封…………线…………内…………请…………不…………要…………答…………题…………河北工程大学08～09学年第 1学期期末考试试卷(A )卷 评分参考标准一. 选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分；在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或不选均不得分，） 1. D 2. A 3. C 4. C 5.B二．填空题：(本大题共6小题，每小题4分，共24分。
把正确答案填写在题后的横格线上)1．)12(22+-xex2.ye+11 3.单调增加 4．一 5. 32)(2-=x x f三．1．解：原式22])11[(lim e xxx =+=∞→ ……………………….6分2．原式313lim31lim22022-=-=-=→→xx xe x xx ……………………….6分四．计算积分：(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 1．解：令t x =-1，则：dt t f dx x f ⎰⎰-=-1120)()1(……………………….3分⎰⎰+++=-111111dx xdx e x10011ln 1xdx eexx +++=⎰---……………………….5分)1ln(2ln )1ln(01e e x +=++-=-.……………………….6分2．原式C x x x xf dx x f x xf x xdf +-=-==⎰⎰ln )()()()(………………………4分 C xx xx x +-'=ln )ln (C xxx +-=ln 21………………….6分五．解：b x y c bx x y 26,232+=''++='，…………………………3分点)1,1(-是拐点，3,0261-=∴=+=''∴=b b y x . ……………………….5分0=x 处有平行于x 轴的切线，00=='∴=c y x .…………………………7分又)1,1(-在曲线上，1,11=∴+++=-∴d d c b ，………………………….9分故1,0,3==-=d c b ，曲线方程为1323+-=x x y .………………………….10分!!答案…………密…………封…………线…………内…………请…………不…………要…………答…………题…………六．求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形面积。
解： 函数x x x y 223++-=的零点为2 ,0 ,1-，.…………………4分因函数连续且在()()2,0,1,-∞-取正值，在()()+∞-,2,0,1取负值，.…………………6分所以所求图形的面积为⎰-++--=0123)2(dx x x x A ＋⎰++-223)2(dx x x x ＝1237。
.………………….10分七． 解：设圆的周长为x ，正方形的周长为x l -，所以 ,16)(,42221x l S xS -==π10,16)(42221<<-+=+=∴x x l xS S S π，…………………………3分8121,82+=''--='∴ππS x l x S ，………………………….6分令0='S ，得：ππ-=4lx .又S S lx ∴>''-=,04ππ 在ππ-=4lx 处取得极小值，也是最小值. …………8分当21S S +最小时，4)4(164)4(2221ππππππ=--⋅-=ll lS S .…………………………10分八．证明：令)()()(a xf x xf x g -=，则)(0)(b g a g ==，由题意可知：)(x g 在],[b a 上满足罗尔定理的条件，故：),(b a ∈∃ξ，使得：0)()()()(=-+'='a f f f g ξξξξ即：)()()(a f f f =+'ξξξ.。