2019届高三数学第二轮复习小题对点练7《立体几何》训练题含答案

小题对点练(七) 立体几何(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则( ) A ．A 1E ⊥DC 1 B ．A 1E ⊥BD C ．A 1E ⊥BC 1D ．A 1E ⊥ACC [建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， ∴A 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，－1，DC 1→＝(0,1,1)，BD →＝(－1，－1,0)，BC 1→＝(－1,0,1)， AC→＝(－1,1,0)， ∴A 1E →·DC 1→≠0，A 1E →·BD →≠0，A 1E →·BC 1→＝0，A 1E →·AC →≠0，∴A 1E ⊥BC 1. 故选C.]2．已知a ，b 为异面直线，下列结论不正确的是( ) A ．必存在平面α使得a ∥α，b ∥αB ．必存在平面α使得a ，b 与α所成角相等C ．必存在平面α使得a ⊂α，b ⊥αD ．必存在平面α使得a ，b 与α的距离相等C [由a ，b 为异面直线知，在A 项中，在空间中任取一点O ，过点O 分别作a ，b 的平行线，则由过点O 的a ，b 的平行线确定一个平面α，使得a ∥α，b ∥α，故A 项正确；B 项中，平移b 至b ′与a 相交，因而确定一个平面α，在α上作a ，b ′夹角的平分线，明显可以做出两条．过角平分线且与平面α垂直的平面使得a ，b ′与该平面所成角相等，角平分线有两条，所以有两个平面都可以，故B 项正确；在C 项中，当a ，b 不垂直时，不存在平面α使得a ⊂α，b ⊥α，故C 项错误；在D 项中，过异面直线a ，b 的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面α，则平面α使得a ，b 与α的距离相等，故D 项正确．故选C.]3．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，(1,1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，(1,0,1)，画该四面体三视图中的正视图时，以yOz 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )A B C DA [由图可得，选A.]4．如图3是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )图3A ．2 3B ．4 3 C.233D.433A [由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示，其中，底面为直角三角形，AD ＝2，AF ＝3，高为AB ＝2. ∴该几何体的体积为V ＝12×2×3×2＝23，故选A.]5．若一个圆锥的轴截面是正三角形，则此圆锥侧面展开图扇形的圆心角大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．180°D [设圆锥的底面半径为r ，母线长为R ，由该圆锥的轴截面是正三角形，得2r ＝R ，∴2πr ＝n π×2r 180°， 解得n ＝180°.]6．(2016·全国卷Ⅲ)如图4所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )图4A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81B [由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B.]7．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈3163V ，人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )A ．d ≈36031V B ．d ≈32V C ．d ≈3158VD ．d ≈32111VD [根据球的体积公式V ＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫d 23，得d ＝36V π，设选项中的常数为ab ，则π＝6b a ，选项A 代入得π＝31×660＝3.1，选项B 代入得π＝62＝3，选项C 代入得π＝6×815＝3.2，选项D 代入得π＝11×621＝3.142 857，D 选项更接近π的真实值，故选D.]8．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3 D ．2πC [过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，则该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C.]9.如图5，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中点，则AD 与平面ABC 所成角的大小是( )图5A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°A [取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，则DE ⊥平面ABC ，∴∠DAE 为AD 与平面ABC 所成的角， 设三棱柱的棱长为1，则AE ＝32，DE ＝12， ∴tan ∠DAE ＝DE AE ＝33， ∴∠DAE ＝30°.故选A.]10．在三棱锥S -ABC 中，SB ⊥BC ，SA ⊥AC ，SB ＝BC ，SA ＝AC ，AB ＝22SC ，且三棱锥S -ABC 的体积为83，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A ．4πB ．16πC ．36πD ．72πB [设SC 的中点为D ，连接BD ，AD (图略)，设BC ＝a ，则BD ＝AD ＝22a ，AB ＝a ，因为SB ＝BC ，所以BD ⊥SC ，同理AD ⊥SC ，所以SC ⊥平面ABD ，所以V S-ABC＝V S-ABD＋V C-ABD＝13×⎝⎛⎭⎪⎫12×22a×22a×22a×2＝83，所以a＝2 2.因为DA＝DB＝DC＝DS＝2，所以点D就是三棱锥外接球的球心，所以三棱锥外接球的半径为2，所以外接球的表面积为4π×22＝16π.故选B.] 11．如图6，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A ＝2AB，则下列结论正确的是()图6A．PB⊥ADB．平面P AB⊥平面PBCC．直线BC∥平面P AED．直线PD与平面ABC所成的角为45°D[若PB⊥AD，则AD⊥AB，但AD与AB成60°角，A项错误；平面P AB 与平面ABD垂直，所以平面P AB一定不与平面PBC垂直，B项错误；BC与AE 是相交直线，所以BC一定不与平面P AE平行，C项错误；直线PD与平面ABC 所成角为∠PDA，在Rt△P AD中，AD＝P A，所以∠PDA＝45°，D项正确．]12.如图7所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥的侧面积取值范围为()图7A．(1,2) B．(1,2]C．(0,2] D．(0,2)D [设三棱锥一个侧面为三角形APQ ，∠APQ ＝x ，则AH ＝12PQ ×tan x ＝AC －PQ 2＝22－PQ 2＝2－12PQ ，∴PQ ＝221＋tan x ，AH ＝2tan x 1＋tan x，∴S ＝4×12×PQ ×AH ＝2×PQ ×AH＝2×221＋tan x×2tan x1＋tan x ＝8tan x (1＋tan x )2，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2， ∵S ＝8tan x(1＋tan x )2＝8tan x1＋tan 2 x ＋2tan x＝81tan x ＋tan x ＋2≤82＋2＝2，(当且仅当tan x ＝1，即x ＝π4时取等号)， 而tan x ＞0，故S ＞0，∵S ＝2时，三角形APQ 是等腰直角三角形，顶角P AQ ＝90°，阴影部分不存在，折叠后A 与O 重合，构不成棱锥， ∴S 的范围为(0,2)，故选D.] 二、填空题13．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．92π[设正方体的棱长为a，则6a2＝18，∴a＝ 3.设球的半径为R，则由题意知2R＝a2＋a2＋a2＝3，∴R＝3 2.故球的体积V＝43πR3＝43π×⎝⎛⎭⎪⎫323＝92π.]14.如图8，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列命题正确的命题序号是________．图8①平面ABD⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面BDC；③平面ABC⊥平面BDC；④平面ADC⊥平面ABC.④[因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，所以CD⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC.]15．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为7 8，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．402π [如图所示，设S 在底面的射影为S ′，连接AS ′，SS ′.△SAB 的面积为12·SA ·SB ·sin ∠ASB ＝12·SA 2·1－cos 2∠ASB ＝1516·SA 2＝515，∴SA 2＝80，SA ＝4 5.∵SA 与底面所成的角为45°，∴∠SAS ′＝45°，AS ′＝SA ·cos 45°＝45×22＝210.∴圆锥的侧面积为π×210×45＝402π.]16．已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则此三棱柱的体积的最大值为________．1 [如图，设球心为O ，三棱柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，底面正三角形的边长为a ，则AO 1＝23×32a ＝33a .由已知得O 1O 2⊥底面，在Rt △OAO 1中，由勾股定理得OO 1＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝3·3－a 23，所以V三棱柱＝34a 2×2×3·3－a23＝3a 4－a 62， 令f (a )＝3a 4－a 6(0＜a ＜2)，则f ′(a )＝12a 3－6a 5＝－6a 3(a 2－2)，令f ′(a )＝0，解得a ＝ 2.因为当a ∈(0，2)时，f ′(a )＞0；当a ∈(2，2)时，f ′(a )＜0，所以函数f (a )在(0，2)上单调递增，在(2，2)上单调递减．所以f (a )在a ＝2处取得极大值．因为函数f (a )在区间(0,2)上有唯一的极值点， 所以a ＝2也是最大值点．所以(V 三棱柱)max ＝3×4－82＝1.]小题对点练立体几何【教师备选】(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥nC[由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C项正确．故选C.]2．圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是()A.2π B.1π C.2π2 D.1π2A[由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A.]3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊥α，则m∥βB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若a∩β＝m，n∥α，n∥β，则m∥nD．若α⊥β，且α∩β＝m，点A∈α，直线AB⊥m，则AB⊥βC[A项，若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β；B项，若m∥α，n⊂α，则m，n无交点，即平行或异面；C项，若α∩β＝m，n∥α，n∥β，过n作平面与α，β分别交于直线s，t，则s∥n，t∥n，所以s∥t，再根据线面平行判定定理得s∥β，因为α∩β＝m，s⊂α，所以s∥m，即m∥n；D 项，若α⊥β，且α∩β＝m ，点A ∈α，直线AB ⊥m ，当B 在平面α内时才有AB ⊥β，综上选C.]4．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4B [该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x,3,1的长方体，∴组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝ π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122×x ＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π≈3)，解得x ＝1.6.故选B.] 5．某几何体的正视图和侧视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是A ′B ′C ′，如图(2)所示，其中O ′A ′＝O ′B ′＝2，O ′C ′＝3，则该几何体的表面积为( )(1) (2)A ．36＋12 3B ．24＋8 3C ．24＋12 3D ．36＋8 3C [由图(2)可知，该几何体的俯视图是一个底面边长为4，高为23的等腰三角形，即该三角形为等边三角形，在如图所示的长方体中，长、宽、高分别为4,23，6，三视图还原为几何体是图中的三棱锥P -ABC ，且S △P AB＝S △PBC ＝12×4×6＝12, S △ABC ＝12×4×23＝43，△P AC 是腰长为52，底面边长为4的等腰三角形，S △P AC ＝8 3.综上可知，该几何体的表面积为2×12＋43＋83＝24＋12 3.故选C.]6．某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为2π3，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．2 2 D.32B [由三视图可知，该几何体为高为a ，底面半径为a 2的圆柱，挖去一个半径为a 2的球而得的几何体．剩余几何体的体积为π·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22·a －43π·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＝π12a 3＝2π3，解得a ＝2.故选B.]7．(2018·唐山高三一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．5＋4 2B ．9C ．6＋5 2 D.53A [根据题意得到该几何体是一个三棱柱切下了一个三棱锥，剩下的部分的表面积由一个等腰三角形，两个直角梯形，一个等腰直角三角形，一个长方形构成，面积和为4＋12×2×2＋12×2＋32＝5＋4 2.]8．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD 1与平面ABCD 所成角的大小为60°，DC 1与平面ABCD 所成角的大小为30°，那么异面直线AD 1与DC 1所成角的余弦值为( ) A.24 B.34 C.28 D.38B [由题得∠D 1AD ＝60°，∠C 1DC ＝30°，设AD ＝1，则CC 1＝3，DC ＝3，DC 1＝23，BC 1＝2，∴DB ＝10.在△BDC 1中，由余弦定理得cos ∠BC 1D ＝12＋4－102×23×2＝34. 因为AD 1∥BC 1，所以异面直线AD 1与DC 1所成角的余弦值为34.]9．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是32π3，那么这个三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 3D [如图，设球的半径为R ，由43πR 3＝32π3，得R ＝2.所以正三棱柱的高h ＝4.设其底面边长为a ，则13·32a ＝2，所以a ＝43，所以V ＝34×(43)2×4＝48 3.]10．设三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，∠BCA＝90°，BC＝CA＝2，若该棱柱的所有顶点都在体积为32π3的球面上，则直线B1C与直线AC1所成角的余弦值为()A．－23 B.23C．－53 D.53B[由已知，若棱柱的所有顶点都在球面上，则同高的长方体8个顶点也在球面上，且外接球的直径为长方体的体对角线，由球体体积可得直径为4，由于长方体底面为边长为2的正方形，故侧面的对角线为23，由余弦定理可知，直线B1C与直线AC1所成角的余弦值为12＋12－82×23×23＝23.]11．圆台的高为2，上底面直径AB＝2，下底面直径CD＝4，AB与CD不平行，则三棱锥A-BCD体积的最大值是()A.23 B.83 C.163 D.323B[如图，设上、下底面的圆心分别为O1，O，因为V A-BCD＝V C-AOB＋V D-AOB，所以要使三棱锥A-BCD的体积最大，则需CD⊥平面AOB，所以三棱锥A-BCD的体积最大为13·S△ABO·(CO＋OD)＝13·S△ABO·CD＝13×12×2×2×4＝83，故选B.]12.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面P AB⊥底面ABCD，若P A＝AD＝AB ＝kBC(0＜k＜1)，则()A．当k＝12时，平面BPC⊥平面PCDB．当k＝12时，平面APD⊥平面PCDC．对任意k∈(0,1)，直线P A与底面ABCD都不垂直D．存在k∈(0,1)，使直线PD与直线AC垂直A [取PB ，PC 的中点分别为M ，N ，连接MN ，AM ，DN (图略)．由平面P AB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，可知BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥AM .又M 为PB 中点，P A ＝AB ，∴AM ⊥PB ，可得AM ⊥平面PBC ，而AD ∥BC 且AD ＝12BC ，同时MN ∥BC且MN ＝12BC ，∴AD ∥MN 且AD ＝MN ，则四边形ADNM 为平行四边形，可得AM ∥DN ，则DN ⊥平面BPC .又DN ⊂平面PCD ，∴平面BPC ⊥平面PCD .其余选项都错误，故选A.]二、填空题13.(2018·天津高考)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M -EFGH 的体积为________．112 [连接AD 1，CD 1，B 1A ，B 1C ，AC ，因为E ，H 分别为AD 1，CD 1的中点，所以EH ∥AC ，EH ＝12AC ，因为F ，G 分别为B 1A ，B 1C 的中点，所以FG ∥AC ，FG ＝12AC ，所以EH ∥FG ，EH ＝FG ，所以四边形EHGF为平行四边形，又EG ＝HF ，EH ＝HG ，所以四边形EHGF 为正方形，又点M 到平面EHGF 的距离为12，所以四棱锥M -EFGH 的体积为13×⎝ ⎛⎭⎪⎫222×12＝112.] 14．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，以B 为圆心的圆与AB ，BC 分别交于点E ，F ，若tan ∠CDF ＝12，则阴影部分绕直线BC 旋转一周形成几何体的体积等于________．6π [在Rt △DCF 中，DC ＝2，所以CF ＝DC tan ∠CDF ＝2×12＝1，所以BF ＝BC －CF ＝2－1＝1.正方形ABCD 绕直线BC 旋转一周形成圆柱，圆柱的底面半径R 1＝AB ＝2，高h 1＝BC ＝2，其体积V 1＝πR 21h 1＝π×22×2＝8π；Rt △DCF 绕直线BC 旋转一周形成一个圆锥，圆锥的底面半径R 2＝DC ＝2，高h 2＝CF ＝1，其体积V 2＝13πR 22h 2＝13π×22×1＝4π3；扇形BEF 是圆的14，其绕直线BC 旋转一周形成一个半球，球的半径为r ＝BE ＝1，故其体积V 3＝12×4π3r 3＝12×4π3×13＝2π3.阴影部分绕直线BC 旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖掉上述的半球与圆锥，故其体积V ＝V 1－V 2－V 3＝8π－4π3－2π3＝6π.] 15．已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于________．64 [设直线AB 1与侧面ACC 1A 1所成角为θ，建立如图所示空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，则A (0，－1,0)，B 1(3，0,2)，AB 1＝(3，1,2)，O (0,0,0)，B (3，0,0)，所以BO ＝(－3，0,0)为侧面ACC 1A 1的法向量，所以sin θ＝|AB 1·BO →||AB 1→||BO |＝64.] 16．(2018·东莞二调)已知几何体Ω是平面α截半径为4的球O 所得较大部分，△ABC 是截面圆O ′的内接三角形，∠A ＝90°，点P 是几何体Ω上的一动点，且P 在圆O ′上的投影在圆O ′的圆周上，OO ′＝1，则三棱锥P -ABC 的体积的最大值为________．10 [由对称性知点P 到平面ABC 的距离为2，设圆O ′的半径为r ，则r ＝42－12＝15，BC ＝215，当点A 到BC 的距离为15时，S △ABC 取得最大值15，1此时，三棱锥P-ABC的体积取得最大值，V max＝3×2×15＝10.]。