2020届全国各地高考试题分类汇编：12 极坐标和参数方程含答案

（2）当 k 4 时，求 C1 与 C2 的公共点的直角坐标．
11 【答案】（1）曲线 C1 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆；（2） ( 4 , 4) .
【解析】（1）利用 sin2 t cos2 t 1消去参数 t ，求出曲线 C1 的普通方程，即可得出结论；
x cos2 t (t
π )
6
在
圆 C : 4sin 上（其中 0 ， 0 2 ）．
（1）求 1 ， 2 的值
（2）求出直线 l 与圆 C 的公共点的极坐标．
【答案】（1） 1 4，2 2 （2） (2
2, ) 4
【解析】(1)将 A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.
【详解】（1）以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
12 极坐标和参数方程
x cosk t,
1.（2020•全国
1
卷）在直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
y
sin
k
t
(t 为参
数 ) ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为
4 cos 16 sin 3 0 ．
（1）当 k 1 时， C1 是什么曲线？
x 13 0 ，解得
x1 2或
x 13 6 （舍去），
x
1 4
,
y
1 4
， C1 , C2
公共点的直角坐标为
(1 4
,
1) 4
.
【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元
是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.
x 4 cos2 ，
2.（2020•全国
2
卷）已知曲线
C1，C2
的参数方程分别为
C1：
y
4
sin
2
（θ 为参数），
x
t
1 t
,
C2：
y
t 1 t
（t 为参数）.
（1）将 C1，C2 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2 的交点为 P，求圆心
在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程.
C1
的参数方程为
y
sin
t
(t
为参数），
两式平方相加得 x2 y2 1 ，所以曲线 C1 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆；
x cos4 t
（2）当
k
4
时，曲线 C1
的参数方程为
y
sin 4
t
(t
为参数），
x cos2 t (t
所以 x 0, y 0 ，曲线 C1 的参数方程化为 y sin2 t 为参数），
由 x cos , y sin 可得，直线 AB 的极坐标方程为 3 cos sin 12 0 .
【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于
中档题.
4.（2020•江苏卷）在极坐标系中，已知点
A(1,
π )
3
在直线 l
:
cos
2 上，点 B(2 ,
x
t
1 t
x2
t2
1 t2
2
由
y
t
1 t
得：
y
2
t2
1 t2
2
，两式作差可得 C2
的普通方程为：
x2
y2
4
.
（2）由
x y
x2
y2
4
4
得：
x y
5 2 3 2
，即
P
5 2
,
3 2
；设所求圆圆心的直角坐标为
a,
0，其
中a 0，
则
a
5 2
2
0
3 2
2
a2
，解得：
3.（2020•全国
3
卷）在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
y
2
3t
t
2
（t
为参
数且 t≠1），C 与坐标轴交于 A、B 两点．
（1）求| AB | ；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程．
【答案】（1） 4 10 （2） 3 cos sin 12 0
（2）当 k 4 时， x 0, y 0 ，曲线 C1 的参数方程化为 y sin2 t 为参数），两式相
加消去参数 t ，得 C1 普通方程，由 cos x, sin y ，将曲线 C2 化为直角坐标方程，
联立 C1, C2 方程，即可求解.
x cos t
【详解】（1）当
k
1
时，曲线
1
cos
3
2, 1
4
，因为点
B
为直线
6
上，故其直角坐标方程为
y
3 x
3，
又 4 sin 对应的圆的直角坐标方程为： x2 y2 4 y 0 ，
由
y x2
3 3 y2
x
4y
0
解得
x
y
0 0
或
x y
1
3
，
0,0,
对应的点为
3,1 ，故对应的极径为 2 0 或 2 2 .
【解析】（1）由参数方程得出 A, B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出 AB 的值；
（2）由 A, B 的坐标得出直线 AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.
【详解】（1）令 x 0 ，则 t2 t 2 0 ，解得 t 2 或 t 1（舍），则 y 2 6 4 12 ，
两式相加得曲线 C1 方程为 x y 1 ，
得 y 1 x ，平方得 y x 2 x 1,0 x 1,0 y 1 ，
曲线 C2 的极坐标方程为 4 cos 16 sin 3 0 ，曲线 C2 直角坐标方程为
4x 16 y 3 0 ，
y x 2 x 1 联立 C1, C2 方程 4x 16 y 3 0 ，整理得12x 32
（2） cos 2, 4sin ,4sin cos 2,sin 2 1，
[0, 2 ),
4
5 ,
4
，当
4
时
2
2；
当
5 4
时
2
2 0 ，舍；即所求交点坐标为当 (2
2, ),
4
【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.
即 A(0,12) .
令 y 0 ，则 t2 3t 2 0 ，解得 t 2 或 t 1（舍），则 x 2 2 4 4 ，即 B(4, 0) .
AB (0 4)2 (12 0)2 4 10
；
k AB
（2）由（1）可知
12 0 0 (4)
3
，
则直线 AB 的方程为 y 3(x 4) ，即 3x y 12 0 .
a
17 10
，所求圆的半径
r
17 10
，
所求圆的直角坐标方程为：
x
Fra Baidu bibliotek 17 10
2
y2
17 10
2 ，即
x2
y2
17 5
x
，
17 cos
所求圆的极坐标方程为 5
.
【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角
坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.
x 2t t2
【答案】（1） C1
:
x
y
4
； C2
:
x2
y2
4 ；（2）
17 5
cos
.
【解析】（1）分别消去参数 和 t 即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点 P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互 化即可得到所求极坐标方程.
【详解】（1）由 cos2 sin2 1得 C1 的普通方程为： x y 4 ；