第三章 体的投影

圆球的投影
2、圆球表面取点和取线
球面上取点
已知M点的水 平投影，求出其它 两个投影。 过m作平行于V 面的正平圆12。 求正平圆的正面 投影。 o 1 m
R 球的投影及表面上的点
m’ 1’
m” o’ o”
在辅助正平圆上 求出m’和m”。
2
第三节
立体的截交线
截平面 截交线
截平面——用以截切物体的平面。 截交线——截平面与物体表面的
c”
m
Y
圆锥的三面投影图
s’
s”
2’ m’ a’
3’ b’ d”
m”
已知圆锥面上M点 的水平投影m，求出 其m’和m”。 以s为中心，以sm c” 为半径画圆，
作出辅助圆的正面 投影2’3’。
a
2 m
s
3 b
求出m’及m”的投影。
圆锥的投影及表面上的点
三、圆球
1、 球的投影
球的三个投影 均为圆，其直径与 球直径相等，但三 个投影面上的圆是 不同的转向轮廓线。
例1、正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。
6'（7'） 4' （5'） 5"
2' （3'） 1' 3 5 7 3" 1" 7"
6"
4" 2"
1
6 2 4
完成后的投影图
平面立体的截交线画法
平面立体的截交线画法
例2、作四棱柱被截切后的投影。
B
a' (b') b"• •a" A
b a
分析：四棱柱的上部被一个正垂面和 一个侧平面所截切，因四棱柱的四个 棱面均垂直于水平面，截平面与棱线 的交点均在棱面的投影上。此题还应 作出两截平面的交线AB的投影。
c”
2、圆锥表面取点和取线
如果是圆锥表面轮廓 线上的点，可以直接 作出点的其它两个投 影。
如果在圆锥面上一般 位置的点K，就只能 作辅助线，才能由一 已知投影，求出另外 两个投影。
在圆锥表面上求点，有两种方法：一种是素线法，一 种是辅助圆法。 Z
方法一：素线法
过M点及锥顶S作 一条素线SⅠ,先求 出素线SⅠ的投影, 再求出素线上的M点。 X
1、圆锥投影图 s’ s”
（1） 先绘出圆锥的对 称线、回转轴线。
（2）在水平投影面 上绘出圆锥底圆， 正面投影和侧面投 影积聚为直线。
a’
c’(d’) d
b’
d”
a’(b’)
V
a c
s
b
a’
圆锥的投影
X
(3) 作出 锥顶的正 Z 面投影和 s’ 侧面投影 s” W 并画出正 S 面转向轮 b’ d” c’d’ B (b”) c” 廓线和侧 a” A 面转向轮 C d b 廓线。 c a Y
c’
b”
a (b) d(c) e
X
a' d'
b' c'
D
YH
dc
e
Y
正六棱柱的投影图
六棱柱的投影
3、棱柱表面取点和取线

平面立体由若干平面 构成，在其表面上取 点、取线的方法与在 平面上取点、取线的 方法相同，一般用辅 助线法。对正棱柱的 各个表面都处于特殊 位置，因此在表面上 取点可利用重影性原 理作图。
3、平面与球体相交
球被平面截切，截交线均为圆。由于截平面位置不同，截 交线的投影可能是圆、直线或椭圆。 1）、截平面为平行面
截平面为正平 面，正面投影为截 交线圆的实形。
a"
ld • ••
•
的交点c'd'重影为一点，其
余两面投影根据投影关系
a
•
kc
••
•
• b
求出；截交线的最前点K 和最后点L，正面投影重影 于a'b'的中点。
2、求一般点。
3、光滑连接各点的同面投 影。
完成后的三视图
例 已知顶尖被截切后的正面和侧面投影，求作水平投影。
a' g'h'd'e'• f '• • • • b' (c')
Y
dc
正六棱柱的投影
棱柱有六侧棱面，前后棱面为正平面，它们的 正面投影反映实形，水平投影及侧面投影重影为一 条直线。
Z d'
e'
a" d" e" c"
a'
b'
c'
A
D
E b"
X
a b
B
C e Y
dc
正六棱柱的投影
棱柱的其它四个侧棱面均为铅垂面，其水平投 影均重影为直线。正面投影和侧面投影均为类似形。
a
m
1 c
图3-14 圆锥的投影及表面上的点
方法二：辅助圆法
过M点作一平行与底面 的水平辅助圆，该圆的正 面投影为过m’且平行于 a’b’的直线2’3’，它们 的水平投影为一直径等于 2’3’的圆，m在圆周上， 由此求出m及m”。 X
a
Z
s’
V S
m’
s” W b’
M
a’
c’d’ A d
d”
m”
Ba” (b”) C b c
Z
a'
d'
e'
a" d" e" c"
b'
c'
A
D
E b"
X
a b
B
C e Y
dc
正六棱柱的投影
2、 棱柱的三视图
作投影图时，先画出正六棱柱的水平投影正六边形，再根 据其它投影规律画出其它的两个投影。如图3-2所示。
Z
a’ b’
X
d’
e’
a”
d”
c”
YW
Z e' A B ab E a" d" e" b" C c"
1、平面与圆柱体相交
P
PH
截平面与圆柱轴线 平行截交线为矩形
P
P
Pv Pv
截平面与圆柱轴线
垂直截交线为圆
截平面与圆柱轴线 倾斜截交线为椭圆
例 求斜切圆柱体的投影，已知正面和水平面 的投影，完成侧面投影。
2' c'(d') • d"• 3'(4') • a'(b') • 4"• • b"• 2" •
各侧棱相互平行且相等。
1、 棱柱的组成
由两个底面和几个侧棱 面组成。侧棱面与侧棱面的 交线叫侧棱线，侧棱线相互 平行。
a' d' Z
e' a" d" e" c"
如图,为一正六棱柱，其顶 面、底面均为水平面，它们 的水平投影反映实形，正面 及侧面投影重影为一直线。
b'
c'
A
D
E
b"
X a b
B
C e
• • 1" 3"
2 • •64
• •5 1 3
完成后的投影图
2、平面与圆锥体相交
截平面与锥体的截切位置和轴线倾角不同，截交线的 形状不同。 α Pv Pv
截平面垂直于圆锥轴 线，倾角为θ=90 ， 截交线为圆形。
ο
截平面与圆锥轴线
倾斜，倾角θ>α 截交线为椭圆。
Pv
Pv
Pv
截平面与圆锥轴线 倾斜面，倾角θ=α 截交线为抛物线。
s’
V
S
m’
s”
W
d”
m”
b’
M
a’
c’d’ A a d
Ba” (b”) C b c
c”
m
Y
圆锥的三面投影图
s’
s”
已知圆锥表面的 点M的正面投影m’, 求出M点的其它投影。 m”
m’ a’ b’ 1’ c’(d’) d s b d”
过m’s’作圆锥表面 a’(b’)1” c” 上的素线，延长交底 圆为1’。 求出素线的水平投 影s1及侧面投影s”1”。 求出M点的水平投 影和侧面投影。
1' •
• 1"
• c" •3" • a"
4 b• •
•d
1• a• • 3
•2
•c
作图过程：
求特殊点 即找最高、最 低、最左、最右、最前、最 后点可确定出椭圆长短轴的 端点。 求一般点 从正面投影上 选取A、B、C、D四点分别求 出水平面和侧面投影。 光滑地连接各点。
例 已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。
a
s
2 m c
YH 正三棱锥的三面投影图
第二节 曲面立体的投影
曲面立体是由曲面或曲面和平面所围成。 绘制它们的投影时，由于它们的表面没有明显 的棱线，绘制曲面立体的投影，就是绘制组成 曲面立体的所有曲面或曲面与平面的投影，也 就是绘制曲面立体的轮廓线、转向轮廓线及轴 线的投影。

一、圆柱

圆柱投影特性分析
Байду номын сангаас
完成后的投影图
a' (b')
b"•
•a"
b a
二、曲面立体的截交线
截交线的性质：

截交线是截平面和回转体表面的共有线，截交线上任意点 都是它们的共有点。 截交线是封闭的平面曲线或平面图形。
求截交线的方法和步骤： 分析截平面与投影面的相对位置，截平面与回转体的相对 位置，初步判断截交线的形状及其投影。 求出截交线上的点，首先找特殊点再补充中间点。 补全轮廓线，光滑地连接各点，得截交线的投影。