2011年天津市高考数学试卷(理科)

2011 年天津市高考数学试卷（理科）分）40 5 分，满分一、选择题（共8 小题，每小题）=（1．（5 分）i 是虚数单位，复数1+2i．﹣﹣i C2+i B．2A．2i﹣．﹣1D22）∈，则“x≥且．（分）设，”的（≥+y4“x ≥2”是y2yR2 5x．充分而不必要条件A．必要而不充分条件B．充分必要条件C．既不充分也不必要条件D）3．（5 分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（5C．43A．B．6．D为等差数列，其公差为﹣分）已知{ a} 5 4．（S，且2 a 的等比中项，与是 a a n n739*）为{ a S ，则的值为（n n } 的前项和，∈N10n 90AC 90B．﹣110 ．﹣．110D．2）的二项展开式中，5 5．（分）在x的系数为（．．A．BC．D页）1第页（共286．（5 分）如图，在△ABC中，D 是边AC 上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（）A．B．C．．D7．（5 分）已知，则（）b＞b D．c＞a．c Bb＞a＞c C．a＞c＞A．a＞b＞”：b，定义新运算“?8．（5 分）对实数 a 与．设函数f（x）=22），x∈R．若函数y=f（﹣xx）﹣c 的图象与x 轴恰有两个公共点，（x﹣2）?（x则实数 c 的取值范围是（）B．A．C．D．二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分30 分）9．（5 分）一支田径队有男运动员48 人，女运动员36 人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21 的样本，则抽取男运动员的人数为．10．（5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积3．m为第2页（共28页）11．（5 分）已知抛物线C 的参数方程为（t为参数），若斜率为的直线1222（r＞0）相切，则）x﹣4 r=+y．=r经过抛物线 C 的焦点，且与圆（12．（5 分）如图，已知圆中两条弦AB 与CD相交于点F，E 是AB 延长线上一点，且DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1．若CE与圆相切，则CE的长为．13 ．（5分）已知集合A={ x ∈R|| x+3|+| x ﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．14．（5 分）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P 是腰．| +3 | 的最小值为DC上的动点，则三、解答题（共分）6 小题，满分802x+=tan（13 ．（分）已知函数 f （x）15），）的定义域与最小正周期；x f （1）求（（f 0，），若）设（ 2 α∈（的大小．=2cos2α，求α）页）第3页（共2816．（13 分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3 个白球、2 个黑球，乙箱子里装有1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2 个球，若摸出的白球不少于2 个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）次游戏中， 1 （Ⅰ）求在i）摸出 3 个白球的概率；（ii）获奖的概率；（的分布列及数学期望X （Ⅱ）求在 2 次游戏中获奖次数）．E（X页）第4页（共2817．（13 分）如图所示，在三棱柱ABC﹣ABC 中，H 是正方形AABB 的中心，11111AA=2，C H⊥平面AABB，且CH=．11111（1）求异面直线AC 与AB 所成角的余弦值；11（2）求二面角A﹣AC﹣B 的正弦值；111（3）设N 为棱BC 的中点，点M 在平面AAB B 内，且MN⊥平面ABC，1111111求线段BM 的长．页）5第页（共2818．（13 分）在平面直角坐标系xOy 中，点P（a，b）（a＞b＞0）为动点，F，1分别为椭圆F的左、右焦点．已知△FPF为等腰三角形．221（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线PF 与椭圆相交于A，B 两点，M 是直线PF 上的点，满足，22的轨迹方程．M 求点页）6第页（共282，x＞0．（axf （x）的图象连续不断）分）已知a ＞0，函数f（x）=lnx﹣19．（14（Ⅰ）当a= 时①求 f （x）的单调区间；②证明：存在x∈（2，+∞），使f（x）=f（）；00（Ⅱ）若存在均属于区间[ 1，3] 的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明．页）7第页（共2820．（14 分）已知数列{ a} 与{ b} 满足：，nn*，且a=2，∈Na=4．n21（Ⅰ）求a，a， a 的值；534*是等比数列；{ cN∈} ，证明：（Ⅱ）设c=a +a，n n12n1n2n+﹣*，证明：k∈N++a?+a，．（Ⅲ）设S 422kk=a页）8第页（共282011 年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8 小题，每小题 5 分，满分40 分）1．（5 分）（2011?天津）i 是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【分析】要求两个复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母上进行复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式．【解答】解：复数===2﹣i故选B．22+y≥4”的（）．（分）（天津）设，∈，则“x ≥且y≥2”是“x2 52011?xyR2A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件D．充分必要条件．既不充分也不必要条件C 2222【分析】由“x≥2 且y≥2”推出“x+y ≥4”可证明充分性；由满足“x+y ≥4”可举出反例推翻“x≥2 且y≥2”，则证明不必要性，综合可得答案．222222≥4 x x；+y+y≥8，则x≥2 且y≥2 x，即≥4，y≥4，所以解：若【解答】22≥4，则如（﹣2若x，﹣+y 2）满足条件，但不满足x≥2 且y≥2．22所以“x≥2 且y≥2”是“x+y≥4”的充分而不必要条件．故选A．3．（5 分）（2011?天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（）第9页（共28页）A．3B．4C．5D．6【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65 满足判断框的条件，执行是，输出 4 故选B4．（5 分）（2011?天津）已知{ a} 为等差数列，其公差为﹣2，且 a 是 a 与 a 的9n73*，则S 项和，n∈N的值为（等比中项，S 为{ a} 的前n ）10nnA．﹣110 B．﹣90C．90 D．110【分析】通过 a 是 a 与a 的等比中项，公差为﹣2，求出9372=a?a，所以a，a a 与的等比中项，公差为﹣ 2 a【解答】解：是933779∵{ a} 公差为﹣2，n∴a=a﹣4d=a+8，a=a+2d=a﹣4，7779732=（a+8）（a﹣4），所以a=8 a所以，所以a=20，17777所以S==11010故选D第10 页（共28 页）2的系数为（）天津）在的二项展开式中，x5．（5 分）（2011?A．B．C．D．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x 的指数为2，求出展开2x的系数，即得答案．式中，r2r6r3r解：展开式的通项为【解答】﹣﹣2x）T=（﹣1 C6r1+令3﹣r=2 得r=12所以项展开式中，x 的系数为﹣6（．5 分）（2011?天津）如图，在△ABC中，D 是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC 的值为（）．C．B．A．D【分析】根据题中条件，在△ABD 中先由余弦定理求出cosA，利用同角关系可求sinA，利用正弦定理可求sin∠BDC，然后在△BDC 中利用正弦定理求解sinC 即可【解答】解：设AB=x，由题意可得AD=x，BD=△ABD中，由余弦定理可得∴sinA=△ABD中，由正弦定理可得? sin∠ADB=∴第11 页（共28 页）△BDC中，由正弦定理可得故选：D．7．（5 分）（2011?天津）已知，则（）bc＞a＞＞c C．a＞c＞b D．．Aa＞b＞c B．b＞a＜log【分析】比较大小的方法：找 1 或者0 做中介判断大小，，＞，243.6 1 log 3.41利用分数指数幂的运算法则和对数的运算法则对c 进行化简，得到＞1＞b，再借助于中间值log进行比较大小，从而得到2结果．，【解答】解：∵log3.4＞1，log3.6＜1，42x是增函数，y=5 又∴a＞b，＞==b而log3.4＞log ＞log ，322∴a＞c故a＞c＞b．故选C．8．（5 分）（2011?天津）对实数 a 与b，定义新运算“?”：．设22轴恰有的图象与x c R．若函数y=f（x）﹣xx2（（函数f x）=x ﹣）?（﹣x），∈两个公共点，则实数 c 的取值范围是（）．A．B．C D．第12 页（共28 页）22x）的解析式，（x x﹣﹣2）? =【分析】根据定义的运算法则化简函数f（x）（并求出f（x）的取值范围，函数y=f（x）﹣ c 的图象与x 轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c 图象的交点问题，结合图象求得实数 c 的取值范围．【解答】解：∵，22）=x，?（x﹣f（x）=（x）﹣2∴函数由图可知，当c∈函数 f （x）与y=c 的图象有两个公共点，∴ c 的取值范围是，故选B．二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分30 分）9．（5 分）（2011?天津）一支田径队有男运动员48 人，女运动员36 人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21 的样本，则抽取男运动员的人数为12．得到每个个【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果．【解答】解：∵田径队有男运动员48 人，女运动员36 人，第13 页（共28 页）∴这支田径队共有48+36=84 人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21 的样本，∴每个个体被抽到的概率是，∵田径队有男运动员48 人，∴男运动员要抽取48×=12 人，故答案为：12．10．（5 分）（2011?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个3．πm几何体的体积为6+【分析】由已知中的三视图，我们易判断已知中几何体的形状，然后根据已知的三视图分析出几何体的相关几何量，代入体积公式，即可求出该几何体的体积．【解答】解：由已知可得已知的几何体是一个圆锥和长方体的组合体其中上部的圆锥的底面直径为2，高为3，下部的长方体长、宽高分别为：2，3，1则V = ?π?3=π圆锥V =1×2×3=6长方体则V=6+π故答案为：6+π11．（5 分）（2011?天津）已知抛物线C 的参数方程为（t为参数），若斜第14 页（共28 页）222的直线经过抛物线1 率为（r＞=r0）相切，则C 的焦点，且与圆（x﹣4）+y r=．【分析】由抛物线 C 的参数方程为我们易求出抛物线的标准方程，进而222（r＞4）+y0=r）相切，1 根据斜率为的直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆（x﹣我们根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于r 的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：∵抛物线 C 的参数方程为2则抛物线的标准方程为：=8xy则抛物线 C 的焦点的坐标为（2，0）又∵斜率为 1 的直线经过抛物线C 的焦点则直线的方程为y=x﹣2，即经x﹣y﹣2=0 222，则+y﹣4）=r由直线与圆（xr==故答案为：12．（5 分）（2011?天津）如图，已知圆中两条弦AB 与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1．若CE与圆相切，则CE的长为．【分析】设出AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF?FC=AF?BF求出k 的值，利用切割定理求出CE．2，即k= ，，由DF?FC=AF?BF，得2=8kBF=2k 【解答】解：设AF=4k，，BE=k∴AF=2，BF=1，BE= ，AE= ，第15 页（共28 页）2由切割定理得CE =BE?EA== ，∴CE= ．13 ．（5 分）（2011? 天津）已知集合A={ x ∈R|| x+3|+| x ﹣4| ≤9} ，B=，则集合A∩B= { x| ﹣2≤x≤5}．【分析】求出集合A，求出集合B，然后利用集合的运算法则求出．∩BA【解答】解：集合A={ x∈R|| x+3|+| x﹣4| ≤9} ，所以A={ x| ﹣4≤x≤5} ；集合，，当且仅当t=时取等号，所以B={ x| x≥﹣2} ，所以A∩B={ x| ﹣4≤x≤5} ∩{ x| x≥﹣2}={ x| ﹣2≤x≤5} ，故答案为：{ x| ﹣2≤x≤5} ．14．（5 分）（2011?天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P 是腰DC 上的动点，则| +3 | 的最小值为5．【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC 分别为x，y 轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．【解答】解：如图，以直线DA，DC 分别为x，y 轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），=（5，3a﹣4b）∴≥5．∴=故答案为5．第16 页（共28 页）三、解答题（共6 小题，满分80 分）15．（13 分）（2011?天津）已知函数 f （x）=tan （2x+），）的定义域与最小正周期；x）求 f （（1（2）设α∈（0，），若f（）=2cos2α，求α的大小．【分析】（Ⅰ）利用正切函数的定义域求出函数的定义域，利用周期公式求出最小正周期；（Ⅱ）通过，化简表达式，结合α∈（0，），求出α的大小．【解答】解：（Ⅰ）由2x+≠x≠，k∈Z．所以f+kπ，k∈Z．所以．（x）的定义域为：f（x）的最小正周期为：得tan（（Ⅱ）由）=2cos2α，整理得因为α∈（0，），所2以sin α+cosα≠0 因此（cosα﹣sin α）=即sin2 α=因为α∈（0，），所以α=16．（13 分）（2011?天津）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3个白球、2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相第17 页（共28 页）同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2 个球，若摸出的白球不少于2 个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在 1 次游戏中，（i）摸出 3 个白球的概率；（ii）获奖的概率；（Ⅱ）求在 2 次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E（X）．【分析】（I）（i）甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱子里装有1 个白球、22 个球，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出个黑球，这些球除颜色外完全相同，22，摸出3 C事件数是个白球事件数为C35112个白球和 3 22；由古典概型公式，代入数据得到结果，（ii）获奖包含摸出 2 C C C个白球的概率，再相加即可）求出摸出 2 摸出3个白球，且它们互斥，根据（i2）连在求得结果，注意运算要正确，因为第二问要用本问的结果．（II次游戏中获奖次数X 的取值是0、1、2，根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列，求出数学期望．【解答】解：（Ⅰ）（i）设“在一次游戏中摸出i 个白球”为事件A（i=，0，1，i2，3），则P（A）=，3（ii）设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A ∪A，又32P（A）=，2；且A、A 互斥，所以P（B）=P（A）+P（A）=3223（Ⅱ）由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2．2=，）=（1﹣（PX=0）1（1 =C﹣P）=，（X=1）22=，=X=2）（）P（所以X 的分布列是X012页）第页（共18 28pX 的数学期望E（X）=0×．17．（13 分）（2011?天津）如图所示，在三棱柱ABC ﹣A BC 中，H 是正方形111AABB 的中心，AA=2 ，C H⊥平面AABB，且CH= ．1111111（1）求异面直线AC 与AB 所成角的余弦值；11的正弦值；AC﹣B（2）求二面角A﹣111，求C⊥平面AB M 在平面AAB B 内，且MN （3）设N 为棱BC 的中点，点1111111的长．线段BM【分析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点．（Ⅰ）求出中的有关向量，然后求出异面直线与ACAB 所成角的余弦值；11（Ⅱ）利用求出平面AAC 的法向量，通过求出平面11的法向量，然后利用求二面角A﹣A ﹣B 的正弦值；11 1 1 1 1CA B C（Ⅲ）设N 为棱BC 的中点，设M（a，b，0），利用MN ⊥平面ABC，结合11111求出a，b，然后求线段BM 的长．方法二：（I）说明∠CAB 是异面直线AC与 A B 所成的角，通过解三角形CAB，11111111利用余弦定理，．．求出异面直线AC与AB 所成角的余弦值为11第19 页（共28 页）（II）连接AC，过点 A 作AR⊥AC 于点R，连接BR，说明∠ARB 为二面角A11111﹣AC﹣B 的平面角．连接AB，在△ARB 中，通过，11111．的正弦值为﹣B ﹣求出二面角AAC111（III）首先说明MN ⊥AB．取HB 中点D，连接ND，由于N 是棱BC 中点，推11111出ND⊥AB．证明AB⊥平面MND，连接MD 并延长交AB 于点E，延长EM111111交AB 于点F，连接NE．连接BM，在Rt△BFM 中，求出．【解答】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点．B依题意得（I）解：易得，于是，．所以异面直线AC与AB 所成角的余弦值为11（II．）解：易知设平面AAC 的法向量=（x，y，z），11即则不妨令，可得，第20 页（共28 页）同样地，设平面ABC 的法向量=（x，y，z），111则即不妨令，可得．，于是从而．．所以二面角A﹣AC﹣B 的正弦值为11（III）解：由N 为棱BC 的中点，11得．设M（a，b，0），则由MN⊥平面ABC，得111即解得故．因此，所以线段BM 的长为．方法二：（I）解：由于AC∥AC，故∠CAB 是异面直线AC 与AB 所成的角．1111111因为CH⊥平面AABB，又H 为正方形AABB 的中心，，11111可得AC=BC=3．1111第21 页（共28 页）因此．．所以异面直线AC与AB 所成角的余弦值为11（II）解：连接AC，易知AC=BC，1111又由于AA=BA，AC=AC，1111111所以△ACA≌△BCA，过点 A 作AR⊥AC 于点R，1111111连接BR，于是BR⊥AC，故∠ARB 为二面角A ﹣AC﹣B 的平面角．11111111在Rt△A中，．1 1RB连接AB，在△ARB 中，=，11．从而．所以二面角A﹣AC﹣B 的正弦值为111（III）解：因为MN⊥平面ABC，所以MN⊥111AB．取HB 中点D，连接ND，由于N 是棱BC 中11111点，所以ND∥CH 且．1B，AA CH⊥平面B又111所以ND⊥平面AABB，故ND⊥AB．1111又MN∩ND=N，所以AB⊥平面MND，连接MD 并延长交AB 于点E，1111则ME⊥AB，故ME∥AA．111由，第22 页（共28 页）得，延长EM 交AB 于点F，．连接NE．可得2在Rt△ENM 中，ND⊥ME，故ND =DE?DM．所以．．可得连接BM，在Rt．△BFM 中，18．（13 分）（2011?天津）在平面直角坐标系xOy 中，点P（a，b）（a＞b＞0）为动点，F，F 分别为椭圆的左、右焦点．已知△FPF 为等腰三角形．2121（Ⅰ）求椭圆的离心率；e（Ⅱ）设直线PF 与椭圆相交于A，B 两点，M 是直线PF 上的点，满足，22的轨迹方程．求点M。