(完整word版)培优竞赛新方法(九年级)第9讲-------二次函数的应用

第9讲 二次函数的应用

知识纵横

设二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，自变量在没有限制条件时：

当a b x a 2,0-=>时，a b ac y 442

-=最小值，无最大值；

当a b x a 2,0-=<时，a b ac y 442

-=最大值，无最小值；

二次函数的最值应用主要体现在一下方面：

（1） 解决实际问题中的最值问题； （2） 探讨几何图形中相关元素的最值。

例题求解

【例1】 如图，已知边长为4的正方形截取一个角后成为五边形ABCDE ，其中1,2==BF AF 。试在AB 上

求一点P ，使矩形有最大面积。

思路点拨 设x PM DN ==，矩形的面积有y ，建立y 与x 的函数关系式，阶梯的关键是：最值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围。

（辽宁省中考题）

【例2】 某宾馆有5个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间

每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元，设每个房间的房价每天增加x 元（x 为10的整数倍）。

（1） 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；

（2） 设宾馆一天的利润为W 元，求W 与x 的函数关系式；

（3） 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？

（武汉市中考题）

思路点拨 对于（3），（1）是基础，并注意“x 为10的整数倍”的制约。

【例3】 当21≤≤-x 时，函数224222+++-=a a ax x y 有最小值2，求a 所有可能取的值。

（太原市竞赛题）

思路点拨

22)(222++--=a a a x y ，图像的对称轴为a x =，函数在何处去的最小值？应分

2121>-<≤≤-a a a 、、三种情况讨论

【例4】红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m （件）与时间t （天）的关系如下表：

未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t （天）的函数关系式为254

1

1+=

t y （1≤t ≤20且t 为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t （天）的函数关系式为4021

2+-=t y （21≤t ≤40且t

为整数）．

下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：

（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m （件）与t （天）之间的关系式；

（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．

（扬州市中考题）分析对于（3），引入参数a后改变了已有函数关系和对称轴。因1≤t≤20且t为整数，故图象是20个分布在抛物线上的散点，这20个散点从左至右要呈上升趋势，是否一定都在抛物线左侧？

抛物线上三角形面积

【例5】阅读材料

如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角

1，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

形面积的新方法：S△ABC=ah

2

解答下列问题：

如图2，抛物线顶点坐标为点A（-4，0），B（0，-4）C（2,0）三点。

（1）求抛物线的解析式；

的面积为S，求S关于m的函数关系式，（2）若点c为第三象限内抛物线上一动点，其横坐标为m，AMB

并求出S的最大值．

（河南省中考题）

学力训练

基础夯实

1、 正方形ABCD 的边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持AM ⊥MN ．当BM=_____

时，四边形ABCN 的面积最大．

(2011日照市中考题)

2、 如图，点A ，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a （x-m ）2+n

的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的

横坐标最小值为-3，则点D 的横坐标最大值为______.

（台州市中考题）

3、 已知抛物线bx x y +=

2

2

1经过点A （4，0）．设点C （1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得|AD-CD|的值最大，则D 点的坐标为 。

（安徽省中考题）

4、 如图，点P 是菱形ABCD 的对角线AC 上一动点（不与点A 、C 重合）．过点P 且垂直于AC 的直线交菱

形ABCD 的边于M 、N 两点．若AC=2，BD=1，设AP=x ，MN=y ，则y 关于x 的函数图象的大致形状是（ ）

A B C D

（2011年安徽省中考题）

5、1)1(2+-+=x a x y 是关于x 的二次函数，当x 的取值范围13≤≤x 时，y 在x=1时取得最大值，则实数a 的取值范围是（） A ．a=5

B.a 5≥

C.a=3

D.a 3≥

（自贡市中考题）

6、已知二次函数c bx x y ++-=2中函数y 与自变量x 之间的部分对应值如图所示，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在函数的图象上，当0＜x 1＜1，2＜x 2＜3时，y 1与y 2的大小关系正确的是（ ） x … 0 1 2 3 … y

…

-1

2

3

2

…

A.21y y ≥

B.21y y >

C.21y y <

D.21y y ≤

（2010•鄂尔多斯）

7、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E ，F 分别在线段AD ，DC 上（点E 与点A 、D 不重合），且∠BEF=120°，设AE=x ，DF=y.