第9讲函数的应用

第9讲函数的应用

【2013年高考会这样考】

1．考查二次函数模型的建立及最值问题．

2．考查分段函数模型的建立及最值问题．

3．考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题．

【复习指导】

函数模型的实际应用问题，主要抓好常见函数模型的训练，解答应用问题的重点在信息整理与建模上，建模后利用函数知识分析解决问题．

基础梳理

1．常见的函数模型及性质

(1)几类函数模型

①一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．

②二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

③指数函数型模型：y＝ab x＋c(b＞0，b≠1)．

④对数函数型模型：y＝m log a x＋n(a＞0，a≠1)．

⑤幂函数型模型：y＝ax n＋b.

(2)三种函数模型的性质

一个防范

特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．

四个步骤

(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；

(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；

(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题； (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．

双基自测

1．(人教A 版教材习题改编)从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2011年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2012年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于( )． A ．3～4万元 B ．4～5万元 C ．5～6万元

D ．2～3万元

解析 设存入的本金为x ，则x ·2%·20%＝138.64，∴x ＝1 386 40040＝34 660.

答案 A

2．(2012·新乡月考)某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )． A ．100台 B ．120台 C ．150台 D ．180台

解析 设利润为f (x )(万元)，则f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x －3 000≥0，∴x ≥150. 答案 C

3．有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为( )．

A ．1 000米2

B ．2 000米2

C ．2 500米2

D ．3 000米2

解析 设三个面积相等的矩形的长、宽分别为x 米、y 米，如图，则4x ＋3y ＝200，又矩形场地的面积S ＝3xy ＝3x ·200－4x 3＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋2 500，∴当

x ＝25时，S max ＝2 500.

答案 C

4．(2011·湖北)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍． 解析 由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A 9，则lg A 9－lg 0.001＝9解得A 9＝106，同理5级地震最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍． 答案 6 10 000

5．(2012·东三校联考)为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：

明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文

已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．

解析 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4. 答案 4

考向一 一次函数、二次函数函数模型的应用

【例1】►(2011·武汉调研)在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为：Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．某公司每月生产x 台某种产品的收入为R (x )元，成本为C (x )元，且R (x )＝3 000x －20x 2，C (x )＝500x ＋4 000(x ∈N *)．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．

(1)求利润函数P (x )以及它的边际利润函数MP (x )； (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差． [审题视点] 列出函数解析式，根据函数性质求最值． 解 (1)由题意，得x ∈[1,100]，且x ∈N *. P (x )＝R (x )－C (x )

＝(3 000x －20x 2)－(500x ＋4 000) ＝－20x 2＋2 500x －4 000，

MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝[－20(x ＋1)2＋2 500(x ＋1)－4 000]－(－20x 2＋2 500x － 4 000)＝2 480－40x .

(2)P (x )＝－20⎝

⎛⎭⎪⎫x －12522

＋74 125，

当x ＝62或x ＝63时，P (x )取得最大值74 120元； 因为MP (x )＝2 480－40x 是减函数，

所以当x ＝1时，MP (x )取得最大值2 440元．

故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71 680元.

二次函数是我们比较熟悉的基本函数，建立二次函数模型可以求出函

数的最值，解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解．

【训练1】 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )．前30天价格为g (t )＝1

2t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N )．

(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值． 解 (1)根据题意，得

S ＝⎩⎪⎨⎪⎧

(－2t ＋200)⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N ，45(－2t ＋200)，31≤t ≤50，t ∈N

＝⎩⎨⎧

－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N .