第9讲函数的应用

第9讲函数的应用
【2013年高考会这样考】
1．考查二次函数模型的建立及最值问题．
2．考查分段函数模型的建立及最值问题．
3．考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题．
【复习指导】
函数模型的实际应用问题，主要抓好常见函数模型的训练，解答应用问题的重点在信息整理与建模上，建模后利用函数知识分析解决问题．
基础梳理
1．常见的函数模型及性质
(1)几类函数模型
①一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．
②二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
③指数函数型模型：y＝ab x＋c(b＞0，b≠1)．
④对数函数型模型：y＝m log a x＋n(a＞0，a≠1)．
⑤幂函数型模型：y＝ax n＋b.
(2)三种函数模型的性质
一个防范
特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
四个步骤
(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；
(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；
(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题； (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．
双基自测
1．(人教A 版教材习题改编)从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2011年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2012年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于( )． A ．3～4万元 B ．4～5万元 C ．5～6万元
D ．2～3万元
解析 设存入的本金为x ，则x ·2%·20%＝138.64，∴x ＝1 386 40040＝34 660.
答案 A
2．(2012·新乡月考)某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )． A ．100台 B ．120台 C ．150台 D ．180台
解析 设利润为f (x )(万元)，则f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x －3 000≥0，∴x ≥150. 答案 C
3．有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为( )．
A ．1 000米2
B ．2 000米2
C ．2 500米2
D ．3 000米2
解析 设三个面积相等的矩形的长、宽分别为x 米、y 米，如图，则4x ＋3y ＝200，又矩形场地的面积S ＝3xy ＝3x ·200－4x 3＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋2 500，∴当
x ＝25时，S max ＝2 500.
答案 C
4．(2011·湖北)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍． 解析 由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A 9，则lg A 9－lg 0.001＝9解得A 9＝106，同理5级地震最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍． 答案 6 10 000
5．(2012·东三校联考)为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：
明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文
已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．
解析 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4. 答案 4
考向一 一次函数、二次函数函数模型的应用
【例1】►(2011·武汉调研)在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为：Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．某公司每月生产x 台某种产品的收入为R (x )元，成本为C (x )元，且R (x )＝3 000x －20x 2，C (x )＝500x ＋4 000(x ∈N *)．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．
(1)求利润函数P (x )以及它的边际利润函数MP (x )； (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差． [审题视点] 列出函数解析式，根据函数性质求最值． 解 (1)由题意，得x ∈[1,100]，且x ∈N *. P (x )＝R (x )－C (x )
＝(3 000x －20x 2)－(500x ＋4 000) ＝－20x 2＋2 500x －4 000，
MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝[－20(x ＋1)2＋2 500(x ＋1)－4 000]－(－20x 2＋2 500x － 4 000)＝2 480－40x .
(2)P (x )＝－20⎝
⎛⎭⎪⎫x －12522
＋74 125，
当x ＝62或x ＝63时，P (x )取得最大值74 120元； 因为MP (x )＝2 480－40x 是减函数，
所以当x ＝1时，MP (x )取得最大值2 440元．
故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71 680元.
二次函数是我们比较熟悉的基本函数，建立二次函数模型可以求出函
数的最值，解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解．
【训练1】 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )．前30天价格为g (t )＝1
2t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N )．
(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值． 解 (1)根据题意，得
S ＝⎩⎪⎨⎪⎧
(－2t ＋200)⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N ，45(－2t ＋200)，31≤t ≤50，t ∈N
＝⎩⎨⎧
－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N .
(2)①当1≤t ≤30，t ∈N 时， S ＝－(t －20)2＋6 400，
∴当t ＝20时，S 的最大值为6 400； ②当31≤t ≤50，t ∈N 时， S ＝－90t ＋9 000为减函数， ∴当t ＝31时，S 的最大值为6 210. ∵6 210＜6 400，
∴当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400.
考向二 指数函数模型的应用
【例2】►某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？
[审题视点] 根据图象用待定系数法求出函数解析式，再分段求出时间长． 解 (1)设y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a ，t ＞1.
当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，
由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a
＝4得．a ＝3.则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4t ， 0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1.
(2)由y ≥0.25得⎩⎨⎧
0≤t ≤1，
4t ≥0.25，或⎩⎪⎨⎪⎧
t ＞1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12t －3≥0.25.
解得
1
16
≤t ≤5，
因此服药一次后治疗有效的时间是5－
116＝79
16
小时．
可根据图象利用待定系数法确定函数解析式，然后把实际问题转化
为解不等式问题进行求解．
【训练2】 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：
(1)写出该城市人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；
(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？
(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.3010，lg 1.012≈0.005，lg 1.009≈0.003 9) 解 (1)1年后该城市人口总数为 y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%) 2年后该城市人口总数为
y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2. 3年后该城市人口总数为
y ＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2% ＝100×(1＋1.2%)3.
x 年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x .
(2)10年后，人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)． (3)设x 年后该城市人口将达到120万人， 即100×(1＋1.2%)x ＝120，
x ＝log 1.012120
100
＝log 1.0121.20≈16(年)．
(4)由100×(1＋x %)20≤120，得(1＋x %)20≤1.2，两边取对数得20lg(1＋x %)≤lg 1.2＝0.079，所以lg(1＋x %)≤
0.079
20
＝0.003 95， 所以1＋x %≤1.009，得x ≤0.9，
即年自然增长率应该控制在0.9%.
考向三 函数y ＝x ＋a
x
模型的应用
【例3】►(2010·湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能
源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． [审题视点] 用基本不等式求最值，注意等号成立的条件． 解 (1)由已知条件C (0)＝8则k ＝40，
因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋800
3x ＋5 (0≤x ≤10)．
(2)f (x )＝6x ＋10＋800
3x ＋5－10
≥2
(6x ＋10)800
3x ＋5
－10＝70(万元)，
当且仅当6x ＋10＝800
3x ＋5
即x ＝5时等号成立．
所以当隔热层为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．
求函数解析式同时要注意确定函数的定义域，对于y ＝x ＋a
x
(a >0)类型
的函数最值问题，特别要注意定义域问题，可考虑用均值不等式求最值，否则要考虑使用函数的单调性．
【训练3】 某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？ 解 设温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800
x
m. ∴蔬菜种植面积
y ＝(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫
800x －2
＝808－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x <400)． ∵x ＋1 600
x
≥2
x ·1 600x
＝80，
∴y ≤808－2×80＝648(m)2. 当且仅当x ＝1 600
x ，即x ＝40，
此时
800
x
＝20 m ，y 最大＝648(m 2)． ∴当矩形温室的左侧边长为40 m ，后侧边长为20 m 时，蔬菜的种植面积最大，为648 m 2.
规范解答5——应用题中的函数建模问题
(【问题研究】 解决应用问题的关键是建立恰当的函数模型，因此，首先要熟悉和掌握几类常用的函数模型.求解中容易在以下两个地方出现失误：,(1)列函数关系式时，会出现由于理不清楚各个量之间的关系，而导致列出错误的关系式.这一点在求解应用题时是常出现的错误；,(2)列出解析式，在求最优解的过程中，由于方法使用不当而出现求解上的错误.,
【解决方案】 (1)阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述部分所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知是什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题.,(2)根据所给模型，列出函数关系式.根据已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题.,(3)利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，并求得结果.,(4)将所得结果代入原问题中，对具体问题进行解答.)
【示例】►(本题满分12分)(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；
(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单
位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
首先求函数v (x )为分段函数，然后利用一元二次函数配方法或基本不
等式求解．
[解答示范] (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，
再由已知，得⎩⎨
⎧
200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－13，
b ＝200
3.
故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧ 60，0≤x ≤20，13(200－x )，20＜x ≤200.(4分)
(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20＜x ≤200.(6分)
当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，
故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；(7分)
当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(200－x )22＝10 000
3，当且仅当x ＝200
－x ，即x ＝100时，等号成立．
所以，当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 000
3
.(10分)
综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 000
3≈3 333，即当车流密
度为100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．(12分)
对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后再
比较大小．另外在利用均值不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可通过函数的单调性求解最值．。