中考数学复习第三单元函数及其图象第课时一次函数同步训

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第三章函数(测试)(原卷版)-2025年中考数学一轮复习讲练测(全国通用)

第三章函数（考试时间：100分钟试卷满分：120分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（）A．(5,4)B．(3,4)C．(5,3)D．(4,3)【新考法】从图象中获取信息2．甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（）A．前10分钟，甲比乙的速度慢B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米C．甲的平均速度为0.08千米/分钟D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少3．在函数y＝√x+3中，自变量x的取值范围是（）xA．x≥3B．x≥﹣3C．x≥3且x≠0D．x≥﹣3且x≠04．如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE,OF，点P从点E出发沿E−O−F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s ，当点P 运动到点F 时，两点同时停止运动，设运动时间为ts ，连接BP,PQ ，△BPQ 的面积为Scm 2，下列图像能正确反映出S 与t 的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．5．【创新题】直线y =x +a 不经过第二象限，则关于x 的方程ax 2+2x +1=0实数解的个数是（）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y =ax +b 与y =mx +n(a <m <0)的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：⊥在一次函数y =mx +n 的图象中，y 的值随着x 值的增大而增大；⊥方程组{y −ax =b y −mx =n的解为{x =−3y =2； ⊥方程mx +n =0的解为x =2；⊥当x =0时，ax +b =−1．其中结论正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【新考法】反比例函数与几何综合的图像过点C，则k的值为（）A．4B．﹣4C．﹣3D．3(x>0)的图像上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中8．【创新题】如图，点A在反比例函数y=2x⊥OAB=90°，AO=AB，则线段OB长的最小值是（）A．1B．√2C．2√2D．49．二次函数y=ax2+bx+1的图象与一次函数y=2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．10．已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，0<a<c）经过点(1,0)，有下列结论：⊥2a +b <0；⊥当x >1时，y 随x 的增大而增大；⊥关于x 的方程ax 2+bx +(b +c)=0有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．如图，点A 的坐标为(1,3)，点B 在x 轴上，把ΔOAB 沿x 轴向右平移到ΔECD ，若四边形ABDC 的面积为9，则点C 的坐标为．12．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y （个）与销售价格x （元/个）的关系如图所示，当10≤x ≤20时，其图象是线段AB ，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润=总销售额-总成本）．13．【原创题】把二次函数y =x 2+4x +m 的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m 应满足条件：．14．若点A(1,y 1),B(−2,y 2),C(−3,y 3)都在反比例函数y =6x 的图象上，则y 1,y 2,y 3的大小关系为．15．已知一次函数y =3x -1与y =kx （k 是常数，k ≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组{3x −y =1kx −y =0的解是．【新考法】二次函数与几何综合16．在平面直角坐标系xOy 中，一个图形上的点都在一边平行于x 轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y=(x−2)2(0≤x≤3)的图象（抛物线中的是矩形OABC，则b=．三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分）17．某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求储存室的容积V的值；(2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．(m≠0,x>0)的图像交于点A(2,n)，与18．如图，一次函数y=kx+2(k≠0)的图像与反比例函数y=mxy轴交于点B，与x轴交于点C(−4,0)．(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？21．如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为4m，宽BC为3m，以DC所在的直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为4米．(1)求出抛物线的解析式．(2)在距离地面134米高处，隧道的宽度是多少？(3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．22．【创新题】已知函数y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．(1)求b，c的值．(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．23．如图，点A(a,2)在反比例函数y=4x 的图象上，AB//x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y=kx于点B，已知AC=2BC．（1）求直线OA的解析式；（2）求反比例函数y=kx的解析式；（3）点D为反比例函数y=kx上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．24．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)，且对任意实数x，都有4x−12≤ax2+bx+c≤2x2−8x+6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图（1），二次函数y=−x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,3)，直线l经过B、C两点．(1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该MN时，求点P的横坐标；二次函数的图像相交于另一点N，当PM=12(3)如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP＋4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．。

中考数学复习第三单元函数及其图象第12课时一次函数

经典考题
【例4】（2016年江西）如图，过点A(2,0)的两条直线l1，l2分别交轴y于B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB= 1 3 . (1)求点B的坐标；
(2)若∆ABC的面积为4，求l2的解析式.
解：（1）在Rt∆AOB中，
AB2=OA2+OB2，即： 13 2 22 OB2.
3.2.3 一次函数的图象与性质
要点梳理
1.一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，通常也称直线
y=kx+b，由于两点确定一条直线，故画一次函数的图象时，只要先
描出两点，再连成直线就可以了，为了方便，通常取图象与坐标轴
的两个交点
0,
b
,
b k
,
0
就行了.
要点梳理
2.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象所经过的象限及增减性．
3.2.5 用函数观点看方程（组）与不等式
要点梳理
1.一次函数与方程(组)的关系
(1)一次函数的解析式y＝kx＋b就是一个二元一次方程；
(2)一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的坐标就是方程kx＋b＝0的解；
(3)一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象交点的横、纵坐标值就是方
程组
有关正比例函数的两个区别
学法指导
1.正比例函数和一次函数的区别
正比例函数是一次函数的特殊情况，一次函数包括正比例函数．也就是说：如果一个函数是正比例函数，那么一定是一次函数，但是，一个函数是一次函数，不一定是正比例函数．
2.正比例和正比例函数的区别
成正比例的两个量之间的函数关系不一定是正比例函数，但正比例函数的两个量一定成正比例．

2020年中考数学一轮复习第3章函数及其图象(付)

第三章函数及其图象第一节平面直角坐标系姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2019·易错题)点(3，2)关于x轴的对称点为( )A．(3，－2)B．(－3，2)C．(－3，－2)D．(2，－3)2．(2018·湖南岳阳中考)函数y＝x－3中自变量x的取值范围是( )A．x＞3 B．x≠3C．x≥3 D．x≥03．(2017·山东济宁中考)如图，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束，设运动时间为x(单位：s)，弦BP的长为y，那么下列图象中可能表示y与x函数关系的是( )A．① B．③C．②或④ D．①或③4．(2019·易错题)函数y＝xx－2中自变量x的取值范围是__________．5．在平面直角坐标系中，点P(3，－x2－1)在第______象限．6．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是(－1，0)．现将△ABC 绕点A顺时针旋转90°，则旋转后点C的坐标是______________．7．(2019·改编题)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2)，把一根长为2 019个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是________________．8．在如图所示的方格图中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”，根据图形，回答下列问题．(1)图中格点△A′B′C′是由格点△ABC通过怎样的变换得到的？(2)如果以直线a，b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(－3，4)，请写出格点△DEF各顶点的坐标，并求出△DEF的面积．9．定义：直线l 1与l 2交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1，l 2的距离分别为p ，q ，则称有序实数对(p ，q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．510．在平面直角坐标系中，点P(－3，2)关于直线y ＝x 对称的点的坐标是( ) A ．(－3，－2) B ．(3，2) C ．(2，－3)D ．(3，－2)11．(2019·改编题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 0的坐标为(1，0)，将线段OM 0绕原点O 逆时针方向旋转45°，再将其延长到M 1，使得M 1M 0⊥OM 0，得到线段OM 1；又将线段OM 1绕原点O 逆时针方向旋转45°，再将其延长到M 2，使得M 2M 1⊥OM 1，得到线段OM 2；如此下去，得到线段OM 3，OM 4，OM 5，…，根据以上规律，那么 M 2 019的坐标为_________________________．12．(2019·创新题)【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)为端点的线段中点坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．【运用】(1)如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON，OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E 的坐标为(4，3)，则点M的坐标为________；(2)在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D与点A，B，C 构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．13．(2018·浙江台州中考)甲、乙两运动员在长为100 m的直道AB(A，B为直道两端点)上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5 m/s，乙跑步的速度为4 m/s，则起跑后100 s 内，两人相遇的次数为( )A．5 B．4C．3 D．2参考答案【基础训练】1．A 2.C 3.D 4.x≠2 5.四 6.(2，1) 7．(－1，1)8．解：(1)图中格点△A′B′C′是由格点△ABC 向右平移7个单位长度得到的． (2)如图，过点F 作FG∥直线a ，交DE 于点G.如果以直线a ，b 为坐标轴建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为(－3，4)，那么格点△DEF 各顶点的坐标分别为D(0，－2)，E(－4，－4)，F(3，－3)，S △DEF ＝S △DGF ＋S △GEF ＝12×5×1＋12×5×1＝5.【拔高训练】 9．C 10.C 11．( －21 009，21 009)12．解：(1)(2，32)(2)设点D 的坐标为(x ，y)，若以AB 为对角线，AC ，BC 为邻边构成平行四边形，则AB ，CD 的中点重合， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2＝－1＋32，4＋y 2＝2＋12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.若以BC 为对角线，AB ，AC 为邻边构成平行四边形，则AD ，BC 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋x 2＝1＋32，2＋y 2＝4＋12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.若以AC 为对角线，AB ，BC 为邻边构成平行四边形，则BD ，AC 的中点重合， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋x 2＝－1＋12，1＋y 2＝2＋42，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5.综上可知，点D 的坐标为(1，－1)或(5，3)或(－3，5)．【培优训练】 13．B第二节一次函数的图象与性质姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的为( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝2xC ．y ＝x2D ．y ＝x ＋122．若一次函数y ＝3x ＋b 的图象经过点(－1，2)，则b 的值为( ) A ．－7B ．－1C ．2D ．53．(2018·陕西中考)若直线l 1经过点(0，4)，l 2经过点(3，2)，且l 1与l 2关于x 轴对称，则l 1与l 2的交点坐标为( ) A ．(－2，0) B ．(2，0) C ．(－6，0)D ．(6，0)4．(2019·易错题)已知y 关于x 的函数y ＝(m －2)x ＋m 2－4，当m________时，该函数为一次函数；当m__________时，该函数为正比例函数．5. (2019·易错题)已知一次函数y ＝(1－m)x ＋m －2，当__________时，y 随x 的增大而增大．6．把直线y ＝－x －1沿y 轴向上平移2个单位，所得直线的函数表达式为________________． 7．如图，直线y 1＝x ＋b 与y 2＝kx －1相交于点P ，点P 的横坐标为－1，则关于x 的不等式x ＋b>kx －1的解集为____________.8. (2019·易错题)对于一次函数y ＝kx ＋b ，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则kb 的值是____________．9．(2018·重庆中考B 卷)如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝12x 与直线l 2交点A 的横坐标为2，将直线l 1沿y 轴向下平移4个单位长度，得到直线l 3，直线l 3与y 轴交于点B ，与直线l 2交于点C ，点C 的纵坐标为－2.直线l 2与y 轴交于点D. (1)求直线l 2的表达式； (2)求△BDC 的面积．10．如图，已知直线l1：y＝－2x＋4与直线l2：y＝kx＋b(k≠0)在第一象限交于点M，若直线l2与x轴的交点为A(－2，0)，则k的取值范围为( )A．－2＜k＜2 B．－2＜k＜0C．0＜k＜4 D．0＜k＜211．如图，点A，B的坐标分别为(0，2)，(3，4)，点P为x轴上的一点，若点B关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上，则点P的坐标为____________．12．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P(1，1)，C为y轴上一点，连结PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB 与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连结CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为__________．13．如图，直线l上有一点P1(2，1)，将点P1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P2，点P2恰好在直线l上．(1)写出点P2的坐标；(2)求直线l 所表示的一次函数的表达式；(3)若将点P 2先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到点P 3.请判断点P 3是否在直线l 上，并说明理由．参考答案【基础训练】1．C 2.D 3.B 4.≠2 ＝－2 5.m<1 6.y ＝－x ＋1 7.x>－1 8.2或－7 9．解：(1)把x ＝2代入y ＝12x 得y ＝1，∴点A 的坐标为(2，1)．∵将直线l 1沿y 轴向下平移4个单位长度，得到直线l 3， ∴直线l 3的表达式为y ＝12x －4，∴x＝0时，y ＝－4，∴B(0，－4)．将y ＝－2代入y ＝12x －4，得x ＝4，∴点C 的坐标为(4，－2)．设直线l 2的表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)， ∵直线l 2过A(2，1)，C(4，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝1，4k ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－32，b ＝4，∴直线l 2的表达式为y ＝－32x ＋4.(2)∵y＝－32x ＋4，∴x＝0时，y ＝4，∴D(0，4)．∵B(0，－4)，∴BD＝8， ∴△BDC 的面积＝12×8×4＝16.【拔高训练】10．D 11.(43，0) 12.(94，94)【培优训练】13．解：(1)P 2(3，3)．(2)设直线l 所表示的一次函数的表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)， ∵点P 1(2，1)，P 2(3，3)在直线l 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝1，3k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－3. ∴直线l 所表示的一次函数的表达式为y ＝2x －3. (3)点P 3在直线l 上．由题意知点P 3的坐标为(6，9)， ∵2×6－3＝9，∴点P 3在直线l 上．第三节一次函数的实际应用姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·江苏无锡中考)一水果店是A 酒店某种水果的唯一供货商，水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本月初专门为他们准备了2 600 kg 的这种水果．已知水果店每售出1 kg 该水果可获利润10元，未售出的部分每1 kg 将亏损6元，以x(单位：kg ，2 000≤x≤3 000)表示A 酒店本月对这种水果的需求量，y(元)表示水果店销售这批水果所获得的利润． (1)求y 关于x 的函数表达式；(2)问：当A酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22 000元？2．某周日上午8：00小宇从家出发，乘车1小时到达某活动中心参加实践活动，11：00时他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在12：00前回到家．他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米/小时的平均速度快步返回，同时，爸爸在家沿同一路线开车接他，在距家20千米处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回．设小宇离家x(小时)后，到达离家y(千米)的地方，图中折线OABCD表示y与x之间的函数关系．(1)活动中心与小宇家相距________千米，小宇在活动中心活动时间为________小时，他从活动中心返家时，步行用了________小时；(2)求线段BC所表示的y(千米)与x(小时)之间的函数关系式(不必写出x所表示的范围)；(3)根据上述情况(不考虑其他因素)，请判断小宇是否能在12：00前回到家，并说明理由．3．如图1表示同一时刻的韩国首尔时间和北京时间，两地时差为整数．(1)设北京时间为x(时)，首尔时间为y(时)，就0≤x≤12，求y关于x的函数表达式，并填写下表(同一时刻的两地时间)．北京时间7：30 ________ 2：50首尔时间________ 12：15 ________(2)如图2表示同一时刻的英国伦敦时间(夏时制)和北京时间，两地时差为整数．如果现在伦敦时间(夏时制)为7：30，那么此时韩国首尔时间是多少？4. (2017·河北中考)如图，直角坐标系xOy 中，A(0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E ，点B ，E 关于x 轴对称，连结AB.(1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的表达式； (2)设面积的和S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉琪有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积不更快捷吗？”但大家经反复演算，发现S △AOC ≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．5．已知点P(x 0，y 0)和直线y ＝kx ＋b ，则点P 到直线y ＝kx ＋b 的距离d 可用公式d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k2计算．例如：求点P(－2，1)到直线y ＝x ＋1的距离．解：因为直线y ＝x ＋1可变形为x －y ＋1＝0，其中k ＝1，b ＝1，所以点P(－2，1)到直线y ＝x ＋1的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|1×（－2）－1＋1|1＋12＝22＝2.根据以上材料，求：(1)点P(1，1)到直线y＝3x－2的距离，并说明点P与直线的位置关系；(2)点P(2，－1)到直线y＝2x－1的距离；(3)已知直线y＝－x＋1与y＝－x＋3平行，求这两条直线的距离．参考答案1．解：(1)由题意得当2 000≤x≤2 600时，y＝10x－6(2 600－x)＝16x－15 600，当2 600＜x≤3 000时，y＝2 600×10＝26 000.(2)由题意得16x－15 600≥22 000，解得x≥2 350.∴当A酒店本月对这种水果的需求量小于等于3 000 kg，不少于2 350 kg时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22 000元．2．解：(1)22 2 2 5(2)由题意知，点B 的坐标为(3，22)，点C 的坐标为(175，20)，设线段BC 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，把点B 和点C 的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝22，175k ＋b ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝37，所以线段BC 所表示的y(千米)与x(小时)之间的函数关系式是y ＝－5x ＋37.(3)爸爸开车接上小宇前行驶路程为20千米，用时25小时，速度为20÷25＝50(千米/小时)，接上小宇后开车返回的速度是50千米/小时，路程为20千米，需要2050＝25(小时)，到家时间为8＋3＋25＋25＝1145时，即11时48分，所以小宇能在12：00前回到家．3．解：(1)从图1看出，同一时刻，首尔时间比北京时间多1小时，故y 关于x 的函数表达式是y ＝x ＋1.填表如下：(2)从图2看出，设伦敦时间(夏时制)为t 时，则北京时间为(t ＋7)时，由第(1)题，知韩国首尔时间为(t ＋8)时，所以，当伦敦时间(夏时制)为7：30时，韩国首尔时间为15：30. 4．解：(1)在直线y ＝－38x －398中，令y ＝0，则有0＝－38x －398，∴x＝－13，∴C(－13，0)．令x ＝－5，则有y ＝－38×(－5)－398＝－3，∴E(－5，－3)．∵点B ，E 关于x 轴对称，∴B(－5，3)． ∵A (0，5)，∴设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋5， ∴－5k ＋5＝3，∴k＝25，∴直线AB 的表达式为y ＝25x ＋5.(2)由(1)知，E(－5，－3)，∴DE＝3，∵C(－13，0)，∴CD＝－5－(－13)＝8， ∴S △CDE ＝12CD·DE＝12.由题意知，OA ＝5，OD ＝5，BD ＝3， ∴S 四边形ABDO ＝12(BD ＋OA)·OD＝20，∴S＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ＝12＋20＝32. (3)由(2)知，S ＝32，在△AOC 中，OA ＝5，OC ＝13， ∴S △AOC ＝12OA·OC＝652＝32.5，∴S≠S △AOC .理由：由(1)知，直线AB 的表达式为y ＝25x ＋5，令y ＝0，则0＝25x ＋5，∴x＝－252≠－13.∴点C 不在直线AB 上，即点A ，B ，C 不在同一条直线上， ∴S △AOC ≠S.5．解：(1)∵点P(1，1)，∴点P 到直线y ＝3x －2的距离为d ＝|3×1－1－2|1＋32＝0， ∴点P 在直线y ＝3x －2上． (2)∵y＝2x －1，∴k＝2，b ＝－1. ∵P(2，－1)，∴d＝|2×2－（－1）－1|1＋22＝455. ∴点P(2，－1)到直线y ＝2x －1的距离为455.(3)在直线y ＝－x ＋1任意取一点P ，当x ＝0时，y ＝1，∴P(0，1)． ∵直线y ＝－x ＋3，∴k＝－1，b ＝3， ∴d＝|－0－1＋3|1＋（－1）2＝2，∴两平行线之间的距离为 2.第四节反比例函数姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·浙江宁波模拟)若y ＝(m ＋1)x m －2是反比例函数，则m 的取值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．任意实数2．以下各点中，与点(－2，6)在同一个反比例函数图象上的是( ) A ．(6，2) B ．(－2，－6) C ．(3，4)D ．(4，－3)3．(2019·易错题)已知点A(1，y 1)，B(2，y 2)，C(－3，y 3)都在反比例函数y ＝4x 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( ) A ．y 3<y 1<y 2 B ．y 1<y 2<y 3 C ．y 2<y 1<y 3D ．y 3<y 2<y 14．以正方形ABCD 两条对角线的交点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，反比例函数y ＝3x的图象经过点D ，则正方形ABCD 的面积是( )A ．10B ．11C ．12D ．135．(2018·江西中考)在平面直角坐标系中，分别过点A(m ，0)，B(m ＋2，0)作x 轴的垂线l 1和l 2，探究直线l 1，直线l 2与双曲线y ＝3x的关系，下列结论中错误的是( )A ．两直线中总有一条与双曲线相交B ．当m ＝1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等C ．当－2＜m ＜0时，两直线与双曲线的交点在y 轴两侧D ．当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2 6. (2019·易错题)已知反比例函数y ＝－8x，下列结论：①图象必经过(－2，4)；②图象在第二、四象限；③y 随x 的增大而增大；④当x>－1时，则y>8.其中错误的结论有( ) A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个7．已知反比例函数y ＝6x 在第一象限的图象如图所示，点A 在其图象上，点B 为x 轴正半轴上一点，连结AO ，AB ，且AO ＝AB ，则S △AOB ＝______．8．如图，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝ax 的图象在第一象限交于A ，B 两点，B 点的坐标为(3，2)，连结OA ，OB ，过点B 作BD⊥y 轴，垂足为点D ，交OA 于点C ，若OC ＝CA.(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△AOB 的面积．9．已知k 1<0<k 2，则函数y ＝k 1x －1和y ＝k 2x的图象大致是( )10．如图，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )在函数y ＝1x (x>0)的图象上，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…，△P n A n －1A n 都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n －1A n 都在x 轴上(n 是大于或等于2的正整数)，则点P 3的坐标是______________；点P n 的坐标是______________(用含n 的式子表示)．11．如图，已知点A(4，0)，B(0，43)，把一个直角三角尺DEF 放在△OAB 内，使其斜边FD 在线段AB 上，三角尺可沿着线段AB 上下滑动．其中∠EFD＝30°，ED ＝2，点G 为边FD 的中点．(1)求直线AB 的函数表达式；(2)如图1，当点D 与点A 重合时，求经过点G 的反比例函数y ＝kx (k≠0)的函数表达式；(3)在三角尺滑动的过程中，经过点G 的反比例函数的图象能否同时经过点F ？如果能，求出此时反比例函数的表达式；如果不能，说明理由．12．(2018·江苏泰州中考)平面直角坐标系xOy 中，横坐标为a 的点A 在反比例函数y 1＝kx (x＞0)的图象上，点A′与点A 关于点O 对称，一次函数y 2＝mx ＋n 的图象经过点A′. (1)设a ＝2，点B(4，2)在函数y 1，y 2的图象上． ①分别求函数y 1，y 2的表达式；②直接写出使y 1＞y 2＞0成立的x 的范围；(2)如图1，设函数y 1，y 2的图象相交于点B ，点B 的横坐标为3a ，△AA′B 的面积为16，求k 的值；(3)设m ＝12，如图2，过点A 作AD⊥x 轴，与函数y 2的图象相交于点D ，以AD 为一边向右侧作正方形ADEF ，试说明函数y 2的图象与线段EF 的交点P 一定在函数y 1的图象上．参考答案【基础训练】1．A 2.D 3.D 4.C 5.D 6.B 7.68．解：(1)∵反比例函数的表达式为y ＝a x ，且反比例函数经过点B(3，2)，∴2＝a3，即a ＝6.∴反比例函数的表达式为y ＝6x .如图，过点A 作AE⊥y 轴于点E ， ∵过点B 作BD⊥y 轴，OC ＝CA ，∴CD 是△AOE 的中位线，即OE ＝2OD ＝4. 又∵点A 在反比例函数y ＝6x 的图象上，∴点A 的坐标为(32，4)．∵一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，且经过A ，B 两点，根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝2，32k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝6， ∴一次函数的表达式为y ＝－43x ＋6.(2)∵CD 是△AOE 的中位线，∴CD＝12AE ＝34，∴BC＝BD －CD ＝3－34＝94.∴S △AOB ＝S △ABC ＋S △BOC ＝12BC·OE＝12×94×4＝92.【拔高训练】 9．A10．(3＋2，3－2) (n ＋n －1，n －n －1) 11．解：(1)设直线AB 的函数表达式为y ＝k′x＋b. ∵点A(4，0)，B(0，43)，∴⎩⎨⎧4k′＋b ＝0，b ＝43，解得⎩⎨⎧k′＝－3，b ＝43，∴直线AB 的函数表达式为y ＝－3x ＋4 3.(2)∵在Rt△DEF 中，∠EFD＝30°，ED ＝2，∴EF＝23，DF ＝4. ∵点D 与点A 重合，∴点D(4，0)， ∴点F(2，23)，∴点G(3，3)． ∵反比例函数y ＝kx 经过点G ，∴k＝33，∴反比例函数的表达式为y ＝33x.(3)经过点G 的反比例函数的图象能同时经过点F ，理由如下： ∵点F 在直线AB 上， ∴设点F(t ，－3t ＋43)．又∵ED＝2，∴点D(t ＋2，－3t ＋23)． ∵点G 为边FD 的中点． ∴G(t＋1，－3t ＋33)．若过点G 的反比例函数的图象也经过点F ，设此时反比例函数表达式为y ＝mx，则⎩⎪⎨⎪⎧－3t ＋33＝mt ＋1，－3t ＋43＝mt，整理得(－3t ＋33)(t ＋1)＝(－3t ＋43)t ，解得t ＝32，∴m＝1534，∴经过点G 的反比例函数的图象能同时经过点F ，这个反比例函数的表达式为y ＝1534x .【培优训练】12．解：(1)①由已知，点B(4，2)在y 1＝kx (x ＞0)的图象上，∴k＝8，∴y 1＝8x.∵a＝2，∴点A 坐标为(2，4)，A′坐标为(－2，－4)．把B(4，2)，A′(－2，－4)代入y 2＝mx ＋n ，⎩⎪⎨⎪⎧2＝4m ＋n ，－4＝－2m ＋n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2.∴y 2＝x －2.②当y 1＞y 2＞0时，y 1＝8x 图象在y 2＝x －2图象上方，且两函数图象在x 轴上方，∴由图象得2＜x ＜4.(2)如图，分别过点A ，B 作AC⊥x 轴于点C ，BD⊥x 轴于点D ，连结BO.∵O 为AA′的中点， ∴S △AOB ＝12S △AA′B ＝8，∵点A ，B 在双曲线上， ∴S △AOC ＝S △BOD ， ∴S △AOB ＝S 四边形ACDB ＝8.由已知得，点A ，B 坐标为(a ，k a )，(3a ，k3a )，∴12(k 3a ＋ka)·2a＝8，解得k ＝6. (3)由已知A(a ，k a )，则A′为(－a ，－ka )．把A′代入到y 2＝12x ＋n 中，则－k a ＝－12a ＋n ，∴n＝12a －k a，∴A′D 的表达式为y 2＝12x ＋12a －ka .当x ＝a 时，点D 纵坐标为a －ka ，∴AD＝2ka－a.∵AD＝AF ，∴点F 和点P 横坐标为a ＋2k a －a ＝2ka .∴点P 纵坐标为12·2k a ＋12a －k a ＝12a.∴点P 在y 1＝kx (x ＞0)的图象上．第五节二次函数的图象与性质姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2019·易错题)将二次函数y ＝x 2－2x ＋3化为y ＝(x －h)2＋k 的形式，结果为( ) A ．y ＝(x ＋1)2＋4 B ．y ＝(x ＋1)2＋2 C ．y ＝(x －1)2＋4D ．y ＝(x －1)2＋22．(2017·浙江丽水中考)将函数y ＝x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的方法是( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移1个单位3．(2018·湖南益阳中考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A ．ac ＜0B ．b ＜0C ．b 2－4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＜04．如图是一座拱桥，当水面宽AB 为12 m 时，桥洞顶部离水面4 m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线表达式是y ＝－19(x －6)2＋4，则选取点B 为坐标原点时的抛物线表达式是_________________________．5．(2019·改编题)矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达式为y ＝x 2，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为________________________．6．已知二次函数y ＝ax 2－bx －2(a≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，当a －b 为整数时，ab 的值为( ) A.34或1 B.14或1 C.34或12D.14或347.如图，反比例函数y ＝k x 的图象经过二次函数y ＝ax 2＋bx 图象的顶点(－12，m)(m>0)，则有( )A．a＝b＋2kB．a＝b－2kC．k<b<0D．a<k<08．(2018·山东德州中考)如图，函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )9．(2018·浙江杭州中考)设二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)．(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由；(2)若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；(3)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求证：a＞0.10．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．11．(2018·四川南充中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴交于A，B两点，顶点P(m，n)．给出下列结论：①2a＋c ＜0；②若(－32，y 1)，(－12，y 2)，(12，y 3)在抛物线上，则y 1＞y 2＞y 3；③关于x 的方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，则k ＞c －n ； ④当n ＝－1a 时，△ABP 为等腰直角三角形．其中正确结论是________(填写序号)．参考答案【基础训练】 1．D 2.D 3.B4．y ＝－19(x ＋6)2＋4 5.y ＝x 2＋8x ＋14【拔高训练】 6．A 7.D 8.B9．解：(1)由题意知Δ＝b 2－4a[－(a ＋b)]＝b 2＋4ab ＋4a 2＝(2a ＋b)2≥0， ∴该二次函数图象与x 轴的交点的个数有2个或1个． (2)当x ＝1时，y ＝a ＋b －(a ＋b)＝0 ∴该二次函数图象不经过点C. 把点A(－1，4)，B(0，－1)分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧4＝a －b －（a ＋b ），－1＝－（a ＋b ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.∴该二次函数的表达式为y ＝3x 2－2x －1. (3)证明：当x ＝2时，m ＝4a ＋2b －(a ＋b)＝3a ＋b ＞0，① ∵a＋b ＜0，∴－a －b ＞0.② ①＋②得2a ＞0，∴a＞0.10．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧32＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，∴抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)方法1：如图1，过点P 作PG∥CF 交CB 于点G ，由题意知∠BCO＝∠CFE＝45°，F(0，m)，C(0，3)，∴△CFE 和△GPE 均为等腰直角三角形， ∴EF＝22CF ＝22(3－m)，PE ＝22PG. 设x P ＝t(1<t<3)，则PE ＝22PG ＝22(－t ＋3－t －m) ＝22(－m －2t ＋3)，t 2－4t ＋3＝t ＋m ， ∴PE＋EF ＝22(－m －2t ＋3)＋22(3－m)＝22(－2t －2m ＋6)＝－2(t ＋m －3)＝－2(t 2－4t)＝－2(t －2)2＋42，∴当t ＝2时，PE ＋EF 的最大值为4 2.方法2：(几何法)如图2，由题易知直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3，OC ＝OB ＝3， ∴∠OCB＝45°. 同理可知∠OFE＝45°， ∴△CEF 为等腰直角三角形，以BC 为对称轴将△FCE 对称得到△F′CE，作PH⊥CF′于点H ，则PE ＋EF ＝PF′＝2PH. 又PH ＝y C －y P ＝3－y P ，∴当y P 最小时，PE ＋EF 取最大值， ∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，∴当y P ＝－1时，(PE ＋EF)max ＝2×(3＋1)＝4 2. (3)①由(1)知对称轴x ＝2，设D(2，n)，如图3.当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 在BC 上方D 1位置时，由勾股定理得CD 2＋BC 2＝BD 2，即(2－0)2＋(n －3)2＋(32)2＝(3－2)2＋(0－n)2，解得n ＝5；当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 在BC 下方D 2位置时，由勾股定理得BD 2＋BC 2＝CD 2，即(2－3)2＋(n －0)2＋(32)2＝(2－0)2＋(n －3)2，解得n ＝－1. ∴当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 为(2，5)或(2，－1)．②如图4，以BC 的中点T(32，32)，12BC 为半径作⊙T，与对称轴x ＝2交于D 3和D 4，由直径所对的圆周角是直角，得∠CD 3B ＝∠CD 4B ＝90°. 设D(2，m)，由DT ＝12BC ＝322得(32－2)2＋(32－m)2＝(322)2，解得m ＝32±172，∴D 3(2，32＋172)，D 4(2，32－172)．又由①得D 1为(2，5)，D 2(2，－1)，∴若△BCD 是锐角三角形，D 点在线段D 1D 3或D 2D 4上时(不与端点重合)，则点D 的纵坐标的取值范围是－1<y D <32－172或32＋172<y D <5.【培优训练】 11．②④第六节二次函数的综合应用姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·湖北孝感中考)如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax 2＝bx ＋c 的解是________________________．2．(2018·浙江湖州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．3．(2019·易错题)某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69 m的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3 m的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：(1)设AB＝x m(x>0)，试用含x的代数式表示BC的长；(2)请你判断谁的说法正确，为什么？4. (2018·湖北襄阳中考)襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数表达式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx －76m （1≤x<20，x 为正整数），n （20≤x≤30，x 为正整数），且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元(利润＝销售收入－成本)． (1)m ＝________，n ＝________；(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ (3)在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？5．(2018·山东泰安中考)一元二次方程(x ＋1)(x －3)＝2x －5根的情况是( ) A ．无实数根B ．有一个正根，一个负根C ．有两个正根，且都小于3D ．有两个正根，且有一根大于36．如图，已知直线y ＝－34x ＋3分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，P 是抛物线y ＝－12x 2＋2x ＋5上的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线y ＝－34x ＋3于点Q ，则当PQ ＝BQ 时，a 的值是__________________________．7．如图，抛物线y ＝a(x －1)2＋c 与x 轴交于点A(1－3，0)和点B ，将抛物线沿x 轴向上翻折，顶点P 落在点P′(1，3)处． (1)求原抛物线的函数表达式；(2)学校举行班徽设计比赛，九年级(5)班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x 轴的平行线交抛物线于C ，D 两点，将翻折后得到的新图象在直线CD 以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W ，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比5－12(约等于0.618)．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少(参考数据：5≈2.236，6≈2.449，结果可保留根号)．8．(2017·湖南邵阳中考)如图所示，顶点为(12，－94)的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点M(2，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)点A 是抛物线与x 轴的交点(不与点M 重合)，点B 是抛物线与y 轴的交点，点C 是直线y ＝x ＋1上一点(处于x 轴下方)，点D 是反比例函数y ＝kx (k ＞0)图象上一点，若以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是菱形，求k 的值．参考答案【基础训练】1．x 1＝－2，x 2＝1 2.－23．解：(1)AB ＝x m ，可得BC ＝69＋3－2x ＝(72－2x)m. (2)小英说法正确，理由如下：矩形面积S ＝x(72－2x)＝－2(x －18)2＋648， ∵72－2x>0， ∴x<36，∴0<x<36.∴当x ＝18时，S 取最大值，此时x≠72－2x ，∴面积最大的不是正方形．4．解：(1)第12天的售价为32元/千克，代入y ＝mx －76m ，得32＝12m －76m ，解得m ＝－12.第26天的售价为25元/千克，代入y ＝n ，则n ＝25，故答案为m ＝－12，n ＝25.(2)由题意知，第x 天的销售量为20＋4(x －1)＝4x ＋16，当1≤x＜20时，W ＝(4x ＋16)(－12x ＋38－18)＝－2x 2＋72x ＋320＝－2(x －18)2＋968，∴当x ＝18时，W 最大＝968元．当20≤x≤30时，W ＝(4x ＋16)(25－18)＝28x ＋112. ∵28＞0，∴W 随x 的增大而增大， ∴当x ＝30时，W 最大＝952元． ∵968＞952，∴当x ＝18时，W 最大＝968元．(3)当1≤x＜20时，令－2x 2＋72x ＋320＝870，解得x 1＝25，x 2＝11.∵抛物线W ＝－2x 2＋72x ＋320的开口向下， ∴11≤x≤25时，W≥870. 又∵11≤x＜20，x 为正整数， ∴有9天利润不低于870元，当20≤x≤30时，令28x ＋112≥870，解得x≥27114.∴27114≤x≤30.∵x 为正整数，∴有3天利润不低于870元．∴综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天．【拔高训练】5．D 6.－1，4，4＋25，4－2 57．解：(1)∵点P 与点P′(1，3)关于x 轴对称， ∴点P 的坐标为(1，－3)．设原抛物线的表达式为y ＝a(x －1)2－3，∵其过点A(1－3，0)， ∴0＝a(1－3－1)2－3，解得a ＝1.∴原抛物线的函数表达式为y ＝(x －1)2－3，即y ＝x 2－2x －2. (2)∵CD∥x 轴，P′(1，3)在CD 上， ∴C，D 两点纵坐标均为3.由(x －1)2－3＝3，解得x 1＝1－6，x 2＝1＋6，∴C，D 两点的坐标分别为(1－6，3)，(1＋6，3)，∴CD＝2 6. ∴“W”图案的高与宽(CD)的比为326＝64(或约等于0.612)．【培优训练】8．解：(1)依题意可设抛物线的表达式为 y ＝a(x －12)2－94(a≠0)，将点M(2，0)代入可得a(2－12)2－94＝0，解得a ＝1.故抛物线的表达式为y ＝(x －12)2－94.(2)由(1)知，抛物线的表达式为y ＝(x －12)2－94，其对称轴为x ＝12，∴点A 与点M(2，0)关于直线x ＝12对称，∴A(－1，0)．令x ＝0，则y ＝－2， ∴B (0，－2)．在Rt△OAB 中，OA ＝1，OB ＝2，则AB ＝ 5. 设直线y ＝x ＋1与y 轴交于点G ，易求G(0，1)．∴△AOG 是等腰直角三角形， ∴∠AGO＝45°.∵点C 是直线y ＝x ＋1上一点(处于x 轴下方)，而k ＞0，∴反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象位于第一、三象限．故点D 只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况： ①此菱形以AB 为边且AC 也为边，如图1所示，过点D 作DN⊥y 轴于点N ，在Rt△BDN 中，∵∠DBN ＝∠AGO＝45°， ∴DN＝BN ＝52＝102，∴D(－102，－102－2)． ∵点D 在反比例函数y ＝kx (k ＞0)图象上，∴k＝－102×(－102－2)＝52＋10. ②此菱形以AB 为对角线，如图2，作AB 的垂直平分线CD 交直线y ＝x ＋1于点C ，交反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象于点D.再分别过点D ，B 作DE⊥x 轴于点F ，BE⊥y 轴，DE 与BE 相交于点E. 在Rt△BDE 中，同①可证∠AGO＝∠DB O ＝∠BDE＝45°， ∴BE＝DE.可设点D 的坐标为(x ，x －2)． ∵BE 2＋DE 2＝BD 2， ∴BD＝2BE ＝2x. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD＝BD ＝2x.∴在Rt△ADF 中，AD 2＝AF 2＋DF 2，即(2x)＝(x ＋1)2＋(x －2)2，解得x ＝52，∴点D 的坐标是(52，12)．∵点D 在反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象上，∴k＝52×12＝54，综上所述，k 的值是52＋10或54.。

专题一次函数-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)

一次函数
知识梳理
强化训练
当堂训练
一次函数的图象与性质
查漏补缺
1.直线y=kx+b满足kb＞0,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过( C )
A.第四象限 B.第三象限 C.第一象限 D.第二象限
2.一次函数y=kx-1的图象经过点P,且y的值随x值的增大而增大,则点P的坐
标可以为( C ) A.(-5,3)
①k1x+b1=0 ②k2x+b2=1 ③k1x+b1=k2x+b2
x＝2 x＝3 x＝3
y D(0,4) y1=k1x+b1
A(3,1)
④k1x+b1≤-2 ⑤k2x+b2＜4 ⑥k1x+b1＞k2x+b2
x≤0 x＞0 x＞3
E(4,0)
O B(2,0)
x
C(0,-2) y2=k2x+b2
典例精讲一次函数与方程(不等式) 知识点三
【例3】(1)如图,一次函数y=ax+b的图象与x轴交于点(2,0),与y轴相交于
点(0,4),结合图象可知,关于x的方程ax+b=0的解是_x_=_2__.
y
解：∵一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点(2,0), ∴关于x的方程ax+b=0的解是x=2．
4 y=ax+b
O2 x
01 一次函数的图象及性质
把两组对应值(自变量与函数的对应值)代入解析式,得到关于系数k,b的二元一次方程组；
步骤解解二元一次方程组,求出系数k,b的值；
还原将求得的待定系数的值代入y=kx+b.
已知两点坐标确定函数解析式常见已知两组函数对应值确定函数解析式类型经过直线与平移规律确定函数解析式.

中考数学复习：专题3-4 一次函数考点分析及典型试题

一次函数考点分析及典型试题【专题综述】一次函数的图象和性质正比例函数的图象和性质【方法解读】1．一次函数的意义及其图象和性质⑴．一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx＋b(k、b为常数，k≠0）的形式，则称y是x 的一次函数(x是自变量,y是因变量〕特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数．⑵．一次函数的图象：一次函数y=kx+b 的图象是经过点()(0,,0)bkb -，的一条直线，正比例函数y=kx 的图象是经过原点(0，0）的一条直线，如下表所示．⑶．一次函数的性质：y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）当k ＞0时，y 的值随x 的值增大而增大；当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小．⑷．直线y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k 在的关系． ①直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）；2．一次函数表达式的求法⑴．待定系数法：先设出式子中的未知系数，再根据条件列议程或议程组求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数。

⑵．用待定系数法求出函数表壳式的一般步骤：⑴写出函数表达式的一般形式；⑵把已知条件(自变量与函数的对应值)公共秩序函数表达式中，得到关于待定系数的议程或议程组；⑶解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数的表达式。

⑶．一次函数表达式的求法：确定一次函数表达式常用待定系数法，其中确定正比例函数表达式，只需一对x 与y 的值，确定一次函数表达式，需要两对x 与y 的值。

类型1：正比例函数和一次函数的概念【例1】若函数(1)my m x =-是正比例函数，则该函数的图象经过第象限．类型2：一次函数的图像【例2】（2017上海市）如果一次函数y =kx +b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么k 、b 应满足的条件是（）类型3：正比例函数和一次函数解析式的确定基础知识归纳：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k ．确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b ．解这类问题的一般方法是待定系数法．基本方法归纳：求正比例函数解析式只需一个点的坐标，而求一次函数解析式需要两个点的坐标．注意问题归纳：数形结合思想，将线段长度，图形面积与点的坐标联系起来是关键，同时注意坐标与线段间的转化时符号的处理．【例3】（2017天津）用A 4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元．设在同一家复印店一次复印文件的页数为x （x 为非负整数）．（1）根据题意，填写下表：一次复印页数（页） 5 10 20 30 … 甲复印店收费（元） 0.52… 乙复印店收费（元）0.62.4…（2）设在甲复印店复印收费y 1元，在乙复印店复印收费y 2元，分别写出y 1，y 2关于x 的函数关系式；（3）当x ＞70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由．类型4：一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积基础知识归纳：直线y =kx +b 与x 轴的交点坐标为（bk-，0），与y 轴的交点坐标为（0，b ）；直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S△=12｜bk｜·｜b｜=22||bk．基本方法归纳：直线与两坐标轴交点是关键．注意问题归纳：对于k不明确时要分情况讨论，否则容易漏解．【例4】（2017怀化）一次函数y=﹣2x+m的图象经过点P（﹣2，3），且与x轴、y轴分别交于点A、B，则△AOB的面积是（）A．12B．14C．4D．8【例5】（2017浙江省台州市）如图，直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P（1，b）．（1）求b，m的值；（2）垂直于x轴的直线x=a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD长为2，求a的值．类型5：一次函数的应用基础知识归纳：主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．利用一次函数并与方程（组）、不等式（组）联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．基本方法归纳：利用函数知识解应用题的一般步骤：（1）设定实际问题中的变量；（2）建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；（3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；（4）利用函数的性质解决问题；（5）写出答案．．注意问题归纳：读图时首先要弄清横纵坐标表示的实际意义，还要会将图象上点的坐标转化成表示实际意义的量；自变量取值范围要准确，要满足实际意义．【例6】（2017四川省凉山州）为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：篮球排球进价（元/个）8050售价（元/个）10570（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？【强化训练】1．（2017内蒙古呼和浩特市）一次函数y=kx+b满足kb＞0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2017内蒙古赤峰市）将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（）A．y=2x﹣5B．y=2x+5C．y=2x+8D．y=2x﹣83. （2017枣庄）如图，直线243y x=+与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（）A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．（32-，0）D．（52-，0）4.（2017山东省菏泽市）如图，函数y1=﹣2x与y2=ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（）A．x＞2B．x＜2C．x＞﹣1D．x＜﹣15.（2017山东省泰安市）已知一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x 的增大而减小，则下列结论正确的是（）A．k＜2，m＞0B．k＜2，m＜0C．k＞2，m＞0D．k＜0，m＜0 6. （2017四川省南充市）小明从家到图书馆看报然后返回，他离家的距离y与离家的时间x之间的对应关系如图所示，如果小明在图书馆看报30分钟，那么他离家50分钟时离家的距离为km．7. （2017吉林省长春市）甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从幵始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y（件）．甲车间加工的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．（1）甲车间每小时加工服装件数为件；这批服装的总件数为件．（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；（3）求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．8. （2017宁夏）某商店分两次购进A．B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：购进数量（件）A B购进所需费用（元）第一次30403800第二次40303200（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．9. （2017黑龙江省龙东地区）为了推动“龙江经济带”建设，我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展．2017年春，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍，经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷，青椒1.5万元/公顷，马铃薯2万元/公顷，设种植西红柿x公顷，总利润为y万元．（1）求总利润y（万元）与种植西红柿的面积x（公顷）之间的关系式．（2）若预计总利润不低于180万元，西红柿的种植面积不低于8公顷，有多少种种植方案？（3）在（2）的前提下，该企业决定投资不超过获得最大利润的18在冬季同时建造A、B两种类型的温室大棚，开辟新的经济增长点，经测算，投资A种类型的大棚5万元/个，B种类型的大棚8万元/个，请直接写出有哪几种建造方案？10. （2017四川省广安市）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则A n的坐标是．。

中考数学复习第三章函数讲义

第三章函数第一节函数及其图象【考点1】平面直角坐标系及点的坐标1. 在平面内两条且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系。

2. 建立了平面直角坐标系的平面称为坐标平面。

3.坐标平面内每一个点P都对应着一个坐标x和一个坐标y，我们称一对有序实数P(x，y)，即点P的坐标。

4. 平面直角坐标系中点的特征【考点2】函数的有关概念及其表达式1. 变量：某一变化的过程中可以取不同数值的量叫做变量。

2. 常量：某一变化的过程中保持相同数值的量叫做常量。

3. 函数：在某一变化的过程中有两个量x和y，如果对于x的每一个值，y都有的值与它对应，那么称y是x的函数，其中x是，y是因变量。

4. 函数的表示方法有：、、。

在解决一些与函数有关的问题时，有时可以同时用两种或两种以上的方法来表示函数。

5. 画函数图象的一般步骤：列表、、。

【考点3】函数自变量的取值范围与函数值【中考试题精编】 1. 在函数中3-x =y ，自变量x 的取值范围是 ( )A. x ≠3B. x ＞3C. x ＜3D. x ≥32. 王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛，她周末到新华书店购买资料，如图是王芳离家的距离与时间的函数关系图象，若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是（）A. B. C. D.3. 函数1-x 2=y 中，自变量的取值范围是。

4. 在函数x x y +-=31中，自变量x 的取值范围是 .5. 根据图中的程序，当输入x=2时，输出结果是。

第二节一次函数【考点1】一次函数的概念如果y=kx+b (k,b 为常数，且 )，那么y 叫做x 的一次函数。

当b=0时，也就是y=kx(k ≠0)，这时称y 是x 的正比例函数。

【考点2】一次函数的图象和性质的增大而减小【考点3】一次函数与一次方程和一次不等式的关系一次函数y=kx+b (k,b 为常数，k ≠0) （1）当y=0时，一元一次方程kx+b=0(2) 当y ＞0或y ＜0时，一元一次不等式kx+b ＞0或kx+b ＜0【提示】当一次函数中的一个变量的值确定时，可用一元一次方程确定另一个变量的值；当已知一次函数中的一个变量取值的范围时，可用一元一次不等式（组）确定另一个变量的取值。

中考数学复习课件(全国通用版)：第三单元函数及其图象(123张PPT)【学霸笔记、状元学案、名师教案】

第11课时┃ 考点聚焦
考点3 图形变换引起点的坐标的变化
在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或向左)平移a个单位长度，可以得到对应点点的平移 ________( (x＋a，y) 或( x－a，y) ；将点(x，y)向上 ________) (或下)平移b个单位长度，可以得到对应点 (x，y＋b) 或（ ________ (________) x， y － b）图形的平移图形的平移只改变图形的位置(图形上所有点的坐标都要发生相应的变化)，不改变图形的大小和形状
第11课时┃ 考点聚焦
考点6
函数的表示方法
表示方法
(1)列表法
(2)图象法
(3)解析法
使用指导
表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，解决问题时，常常综合应用这三种方法来深入研究函数的性质
第11课时┃ 考点聚焦考点7 函数图象的概念及画法
一般地，对于一个函数，如果以自变量与因变量的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那概念么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象画法 (1)列表；(2)描点；(3)连线步骤
点到两坐标轴的距离点到原点的距离
第11课时┃ 考点聚焦
(1)x 轴上两点 P1(x1，0)与 P2(x2，0)的距离 P1P2 ＝|x1－x2|；坐标轴 (2)y 轴上两点 Q1(0，y1)与 Q2(0，y2)的距离 Q1Q2 上两点＝|y1－y2|；间距离 (3)x 轴上一点 P(x，0)与 y 轴上一点 Q(0，y)的距离 PQ＝ x2＋y2
对应关坐标平面内的点与有序实数对是 ________ 一一对系应的 (1)各象限内点的坐标的特征点 P(x, y)在第一象限 ⇔____________ ； x>0 y>0 x<0 y>0 ；点 P(x, y)在第二象限 ⇔____________ 平面内点 P(x, y)在第三象限 ⇔____________ x<0 y<0 ；点 P(x，点 P(x, y)在第四象限 ⇔____________ x>0 y<0 y)的 (2)坐标轴上点的坐标的特征坐标的点 P(x, y)在 x 轴上⇔__________________ y＝0，x为任意实数；特征点 P(x, y)在 y 轴上⇔__________________ x＝0，y为任意实数；点 P(x, y)既在 x 轴上，又在 y 轴上 ⇔x、y 同时为零，即点 P 的坐标为(0, 0)；坐标轴上的点不属于任何象限

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