中考数学专题复习 函数及其图像
【中考一轮复习】二次函数的图象与性质课件(1)
当堂训练---二次函数的图象的变换
1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=0.5x2经过平移得到抛物
线y=0.5x2-2x,其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面
积为( B )
A.2
B.4
C.8
D.16
2.将抛物线y=0.5x2-6x+21向左平移2个
单位后,得到抛物线的解析式为( D )
A.y=0.5(x-8)2+5 B.y=0.5(x-4)2+5
人教版中考数学第一轮总复习
第三单元 函数及其图象
•§3.6 二次函数图象与性质(2)
目录
01 二次函数的图象的变换
02 二次函数与一元二次方程
03 二次函数图象的最值问题
考点聚焦---二次函数的图象的变换
二次函数图 平 移 ①先求出原抛物线的顶点；
象的平移
规
律
②后求出变换后的抛物线的顶点； ③写出变换的抛物线的解析式。
【例1】将抛物线y=x2+2x-3,化成顶点式为_y_=_(_x_+_1_)_2_-_4__; (1)该抛物线是由y=x2_向__左__1_个__单__位__,_再__向__下__4_个___单__位__平移得到的；
(2)写出该抛物线关于x轴,y轴,原点和(1,1)对称的抛物线解析式: 关于 x 轴对称：_y_=_-_x_2_-_2_x_+_3___；_y_=_-_(_x_+_1_)_2_+_4___。 关于 y 轴对称：_y_=__x_2_-_2_x_-_3___；_y_=__(_x_-_1_)_2_-_4___。 关于 x=2 对称：_y_=_x_2_-_1_0_x_+_2_1__；_y_=_(_x_-_5_)_2_-_4____。 关于原 点对称：_y_=_-_x_2_+_2_x_+_3___；_y_=_-_(_x_-_1_)_2_+_4___。 关于(1,1)对称：_y_=_-_x_2_+_6_x_-_9___；_y_=_-_(_x_-_3_)_2_+_6___。
中考数学总复习 第三单元 函数及其图像 第11课时 一次函数的图像与性质课件
y=-x+2
.
图 11-1
2021/12/9
第十一页，共三十二页。
y= x
,图②
课前双基巩固
5. [八上 P164 探索改编] 已知一次函数 y=2x+4.
图 11-2
(1)在如图 11-2 所示的平面直角坐标系中,画出函数的图像;
(2)图像与 x 轴的交点 A 的坐标是 (-2,0) ,与 y 轴的交点 B 的坐标是 (0,4)
与 x 轴交点坐标
令 y=0,求出对应的 x 值
两直线的
与 y 轴交点坐标
令 x=0,求出对应的 y 值
交点坐标
与其他函数图
像的交点坐标
一条直线与坐标轴围
成的三角形的面积
2021/12/9
解由两个函数表达式组成的二元一次方程组,方程组的解即两函数
图像的交点坐标
1
2
直线 y=kx+b(k≠0)与 x 轴的交点为 - ,0 ,与 y 轴的交点为(0,b),三角形面积为 S△= - ×|b|(用
a2+a2=
直线 y=2x+1 向右、向上平移 3 个单位后的解析式是 y=2x-2.
2021/12/9
第二十二页，共三十二页。
2
3 2 ,解得 a=3.
高频考向探究
[方法模型] 直线 y=kx+b(k≠0)在平移过程中 k 值不变.平移的规律是:若上下平移,则直接在常数 b 后加上或减
去平移的单位长度数;若向左(或向右)平移 m 个单位长度,则直线 y=kx+b(k≠0)变为 y=k(x±m)+b,其口诀是上加
中考数学考点专题复习课件反比例函数的图象和性质
解：(1)过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 F，∵点 D 的坐标为(4，3)，∴OF
＝4，DF＝3，∴OD＝5，∴AD＝5，∴点 A 坐标为(4，8)，∴k＝xy＝4×8
＝32，∴k＝32 (2)将菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移，使得点 D 落在函数 y＝3x2(x＞0)的
图象 D′点处，过点 D′做 x 轴的垂线，垂足为 F′.∵DF＝3，∴D′F′＝3，∴ 点 D′的纵坐标为 3，∵点 D′在 y＝3x2的图象上，∴3＝3x2，解得：x＝332，即 OF′＝332，∴FF′＝332－4＝230，∴菱形 ABCD 平移的距离为230
3．(2015·苏州)若点 A(a，b)在反比例函数 y＝2x的图象上，则代数式 ab
－4 的值为( B)
A．0 B．－2 C．2 D．－6
4．(2015·牡丹江)在同一直角坐标系中，函数 y＝－xa与 y＝ax＋1(a≠0)
的图象可能是( B )
,A)
,B)
,C)
,D)
5．(2015·青岛)如图，正比例函数 y1＝k1x 的图象与反 比例函数 y2＝kx2的图象相交于 A，B 两点，其中点 A 的横坐标为 2，当
①ACMN ＝||kk12||； ②阴影部分面积是12(k1＋k2)； ③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|； ④若 OABC 是菱形，则两双曲线既关于 x 轴对称，也关于 y 轴对称．
其中正确的是①__④__．(把所有正确的结论的序号都填上)
(3)(2015·宿迁)如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(8，1)，B(0，－3)， 反比例函数 y＝kx(x＞0)的图象经过点 A，动直线 x＝t(0＜t＜8)与反比例函数 的图象交于点 M，与直线 AB 交于点 N.
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—一次函数的图象与性质
的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．
4）一次函数与正比例函数有着共同的性质：
①当k>0时，y的值随x值的增大而增大；②当k<0时，y的值随x值的增大而减小．
考点二 一次函数的图象与性质
1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴.
C．3
D．−3或3
∴9 = 2 ，∴ = ±3，又∵正比例函数 = 的图象经过第二、
∴ < 0，∴ = −3，故选：B．
【对点训练1】（2023·浙江杭州·统考一模）已知 − 与 − 1成正比例，且当 = −2时， = 3．若关
于的函数图象经过二、三、四象限，则m的取值范围为（
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；
2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组；
3）解方程或方程组求出k，b的值；
4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式.
考点二 一次函数的图象与性质
两点即可，
图象确定
b
k
1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(− ，0)两点；
2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可.
考点二 一次函数的图象与性质
三、k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=− ，即直线y=kx+b与x轴交于(− ,0)
综上所述，0 > 1 > 2
二次函数-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
A.x1=1,x2=-1
B.x1=1,x2=2
C.x1=1,x2=0
D.x1=1,x2=3
(2)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象则不等式的ax2+bx+c＜0解集是( C )
A.x＜-1 B.x＞3 C.-1＜x＜3 D.x＜-1或x＞3 y
-1 O 3 x
课堂小结
二次函数
知识梳理
强化 训练
二次函数图象与性质
查漏补缺
5.抛物线y=(x+3)(x-1)的对称轴是直线_x_=_-_1___. 6.若抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上,则c=_-_1____.
7.若抛物线y=x2-4x+k的顶点在x轴下方,则k的取值范围是_k_＜__4__.
8.若抛物线yy==xk2x-22-x6+xm+-34与x轴有交点,则m的取值范围是_k_m≤_≤_3_5且__k_≠__0__. 9.若抛物线y=x2+2x+c与坐标轴只有两个交点,则c的值为__0_或__1_.
1.下列关于抛物线的y=ax2-2ax-3a(a≠0)性质中不一定成立的是( C )
A.该图象的顶点为(1,-4a)； B.该图象与x轴的交点为(-1,0),(3,0)；
C.当x＞1时,y随x的增大而增大；D.若该图象经过(-2,5),一定经过(4,5).
2.抛物线y=(x-t)(x-t-2)(t为常数)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),
当堂训练
二次函数的基本性质
查漏补缺
1.抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为( B )
A.m＞1
B.m＞0
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数及其图象 知识点汇总及典例分析
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与 有序实数对 构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为 ；关于y 轴对称的点的坐标为 ；关于原点对称的点的坐标为5.两点之间的距离二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有 的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式 （2）实际问题具有 意义3.函数的表示方法； （1） （2） （3） 三、一次函数的概念、图象、性质1．正比例函数的一般形式是 （ ），一次函数的一般形式是 (k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（ ， ）和（ ， ）两点的一条直线.4.若两个一次函数解析式中，k 相等，表示两直线 ；若两直线垂直，则 。
5.的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越 ；四、反比例函数的概念、图象、性质1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝， ，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝， ， ，， 3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 。
【例题精讲】 例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是 ．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的 坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形，点C 的坐标为例4．一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求满足下列条件的a 、b 的取值范围。
数学中考复习-----函数与图象[1]
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数学中考复习-----函数与图象班级： 姓名： 日期：一、中考要求：1．能通过实例,了解常量、变量的意义；了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例。
2．能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求函数值。
3．能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。
二、 知识要点：1．在某一变化的过程中，数值保持不变的量叫做_______；可以取不同的数值的量叫做_____。
2．由函数解析式画函数图象，一般步骤是： 。
3. 表示两个变量之间的函数关系可以用如下3种方法：______________________________。
4. 求函数自变量取值范围的两个依据：(1)要使函数的解析式有意义。
①函数的解析式是整式时，自变量可取 ；②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使 ； ③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使 。
(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题 。
5．提取图象信息的方法。
（1）、 。
（2）、 。
（3）、 。
三、典例剖析：1．求下列函数中自变量x 的取值范围。
（1）2321y x x =-++ （2）2228x y x x +=--（3）3y x =+ （4）13x y x -=-2．（2011山东东营，16，4分）如图，用锤子以相同的力将铁钉垂入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大。
当铁钉进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的13。
已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块(木块足够厚)，且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是αcm ，如铁钉总长度是6cm ，则α的取值范围是_________________5. （2011江西，14，3分）将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案。
设菱形中较小角为x 度，平行四边形中较大角为y 度，则y 与x 的关系式是 。
3．（10济宁）如图，是张老师出门散步时离家的距离y 与时间x 之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是（ ）4．（2010湖北孝感，7，3分）一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地.若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地.设轮船从甲地出发后所用的时间为t （小时）,航行的路程为s （千米）,则s 与t 的函数图象大致是（ ）5．（2011浙江杭州，7，3）一个矩形被直线分成面积为x ，y 的两部分，则y 与x 之间的函数关系只可能是（ ）6．（2011四川宜宾,8,3分）如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P 点经过的路线为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y ．则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（ ）7．（2011江苏南通，9，3分）甲、乙两人沿相同的路线由A 地到B 地匀速前进，A ，B 两地间的路程为20千米，他们前进的路程为s （单位：千米），甲出发后的时间为t （单位：小时），甲、乙前进的路程••••A B C D yx O （第3题）与时间的函数图像如图所示.根据图像信息，下列说法正确的是（ ）A ．甲的速度是4千米/小时 B.乙的速度是10千米/小时C.乙比甲晚出发1小时D.甲比乙晚到B 地3小时四、课堂练习：见《初中数学学业考试复习指导》第53页到56页。
数学中考一轮复习专题15二次函数的图象及其性质课件
知识点1：二次函数的概念
典型例题
【例1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A. y=3x-1
B. y=ax2+bx+c
C. s=2t2-2t+1
D. y x2 1 x
【考点】二次函数的定义.
【解析】解：根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0)判定即可．
A. y=3x-1是一次函数；B. y=ax2+bx+c不一定是几次函数；
C. s=2t2-2t+1符合二次函数定义；D. y x2 1 不符合二次函数定义． x
故答案为：C．
典型例题
知识点1：二次函数的概念
【例2】（4分）（202X·甘肃庆阳）将二次函数y＝x2－4x＋5化 成y＝a(x－h)2＋k的情势为________．
【答案】 y＝(x－2)2＋1． 【分析】将二次函数y＝x2－4x＋5按照配方法化成y＝a(x－h)2＋k的情势即可． 【解答】y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1．
典型例题
知识点2：二次函数的图象和性质
【例5】（3分）（202X•包头10/26）已知二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经
过第一象限的点（1，-b），则一次函数y=bx-ac的图象不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；二次函数的性质 【分析】根据二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经过第一象限的点（1，-b）， 可以判断b＜0和ac异号．再根据一次函数的性质即可求解．
知识点梳理
知识点1：二次函数的概念
2024年中考第一轮复习 二次函数的图象与性质 课件
∴|-m+1|=|m-(m- - + 1)|,解得 m=0 或 1,
∴存在 m=0 或 1,使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结
论②正确;
∵x1+x2>2m,
1 + 2
∴
>m.
2
∵二次函数 y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)的图象的对称轴为直线 x=m,
数y=ax2+bx+c(a≠0)在-3≤x≤3内既有最大值又有最小值,∴结论④正确.
2.[2020·温州]已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是 [答案]B
抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则
(
[解析] 由对称轴
-12
x=- ==-2,知
2 2×(-3)
)
(-3,y1)和(-1,y1)关于对称轴对称.因为
②b-2a<0;③b2-4ac<0;④a-b+c<0.正确的是(
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
)
图13-2
[答案]A
[解析] ∵抛物线开口向下,且与 y 轴的正半轴相交,
∴a<0,c>0,∴ac<0,故①正确;
∵对称轴与
x 轴交点的横坐标在-1 至-2 之间,∴-2<-2 <-1,
∴4a<b<2a,∴b-2a<0,故②正确;
若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标(x1,0),(x2,0),设所求二次函数表达
式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三个点(m,n)的坐标(其中m,n为常数)或其他已知条件代
知识必备03 函数及其图像(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图
知识必备03 函数及其图像（公式、定理、结论图表）考点一、平面直角坐标系点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；（2）点P(x,y)到y轴的距离等于；（3）点P(x,y)到原点的距离等于.典例1：（2022•淄博）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是 （﹣2023，2022） ．【分析】由题意观察发现：每四个点一个循环，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），由2022＝505×4+2，推出D2022（﹣2023，2022）．【解答】解：∵将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，∴D1（1，2），∵再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……∴D2（﹣3，2），D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……，观察发现：每四个点一个循环，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），∵2022＝4×505+2，∴D2022（﹣2023，2022）；故答案为：（﹣2023，2022）．【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．考点二、函数及其图象由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.考点三、一次函数确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k；确定一个一次函数，典例2：（2022•柳州）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（ ）A．1B．2C．4D．6【分析】由于P的纵坐标为2，故点P在直线y＝2上，要求符合题意的m值，则P点为直线y＝2与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得．【解答】解：∵点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，∴点P在直线y＝2上，如图所示，当P为直线y＝2与直线y2的交点时，m取最大值，当P为直线y＝2与直线y1的交点时，m取最小值，∵y2＝﹣x+3中令y＝2，则x＝1，y1＝x+3中令y＝2，则x＝﹣1，∴m的最大值为1，m的最小值为﹣1．则m的最大值与最小值之差为：1﹣（﹣1）＝2．故选：B．【点评】本题考查一次函数的性质，要求符合题意的m值，关键要理解当P在何处时m存在最大值与最小值，由于P的纵坐标为2，故作出直线y＝2有助于判断P的位置．需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.典例3：（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，9），与直线OC交于点C（8，3）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）过点C作CD⊥x轴于点D，将△ACD沿射线CB平移得到的三角形记为△A′C′D′，点A，C，D的对应点分别为A′，C′，D′，若△A′C′D′与△BOC重叠部分的面积为S，平移的距离CC′＝m，当点A′与点B重合时停止运动．①若直线C′D′交直线OC于点E，则线段C′E的长为 m （用含有m的代数式表示）；②当0＜m＜时，S与m的关系式为 m2 ；③当S＝时，m的值为 或15﹣2 ．【分析】（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线解析式，求解即可；（2）①过点C作CF⊥C′D′，易得△CFC′∽△AOB，可用m表达CF和C′F的长度，进而可表达点C′，D′的坐标，由点C的坐标可得出直线OC的解析式，代入可得点E的坐标；②根据题意可知，当0＜m＜时，点D′未到直线OC上，利用三角形面积公式可得出本题结果；③分情况讨论，分别求出当0＜m＜时，当＜m＜5时，当5＜m＜10时，当10＜m＜15时，S与m的关系式，分别令S＝，建立方程，求出m即可．【解答】解：（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y＝kx+b，∴，解得．∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9；（2）①由（1）知直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9，令y＝0，则x＝12，∴A（12，0），∴OA＝12，OB＝9，∴AB＝15；如图1，过点C作CF⊥C′D′于点F，∴CF∥OA，∴∠OAB＝∠FCC′，∵∠C′FC＝∠BOA＝90°，∴△CFC′∽△AOB，∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15，∵CC′＝m，∴CF＝m，C′F＝m，∴C′（8﹣m，3+m），A′（12﹣m，m），D′（8﹣m，m），∵C（8，3），∴直线OC的解析式为：y＝x，∴E（8﹣m，3﹣m）.∴C′E＝3+m﹣（3﹣m）＝m．故答案为：m．②法一、当点D′落在直线OC上时，有m＝（8﹣m），解得m＝，∴当0＜m＜时，点D′未到直线OC，此时S＝C′E•CF＝•m•m＝m2；法二、∵C′D′∥BO，∴△CC′E∽△CBO，∴＝（）2，即＝，∴S＝m2．故答案为：m2．③法一、分情况讨论，当0＜m＜时，由②可知，S＝m2；令S＝m2＝，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；当≤m＜5时，如图2，设线段A′D′与直线OC交于点M，∴M（m，m），∴D′E＝m﹣（3﹣m）＝m﹣3，D′M＝m﹣（8﹣m）＝m﹣8；∴S＝m2﹣•（m﹣3）•（m﹣8）＝﹣m2+m﹣12，令﹣m2+m﹣12＝；整理得，3m2﹣30m+70＝0，解得m＝或m＝＞5（舍）；当5≤m＜10时，如图3，S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意；当10≤m≤15时，如图4，此时A′B＝15﹣m，∴BN＝（15﹣m），A′N＝（15﹣m），∴S＝•（15﹣m）•（15﹣m）＝（15﹣m）2，令（15﹣m）2＝，解得m＝15+2＞15（舍）或m＝15﹣2．法二、分情况讨论，当0＜m＜时，由②可知，S＝m2；令S＝m2＝，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；（同法一）当≤m＜5时，如图2，设线段A′D′与直线OC交于点M，∵S△A′C′D′＝×4×3＝6，∴S△A′CM＝6﹣＝，∵S△AOC＝18，∵A′D′∥OA，∴△A′CM∽△ACO，∴＝，∴CA′＝，∴m＝C′A′﹣CA′＝5﹣，当5≤m＜10时，如图3，S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意；当10≤m≤15时，如图4，∵A′D′∥x轴，∴△A′BK∽△ABO，∵S＝，S△ABO＝54，∴＝，解得BA′＝2，∴m＝BA﹣BA′＝15﹣2．故答案为：或15﹣2．【点评】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等知识，根据△A′C′D′的运动，进行正确的分类讨论是解题关键．考点四、反比例函数反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数图像上任一点作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PM PN=.∴.典例4：（2022•东营）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b＜的解集是（ ）A．﹣1＜x＜0或x＞2B．x＜﹣1或0＜x＜2C．x＜﹣1或x＞2D．﹣1＜x＜2【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式k1x+b＜的解集，此题得解．【解答】解：观察函数图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞2时，一次函数y1＝k1x+b的图象在反比例函数y2＝的图象的下方，∴不等式k1x+b＜的解集为：﹣1＜x＜0或x＞2，故选：A．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．典例5:（2022•徐州）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．①求k、b的值；②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．【分析】（1）设点A的坐标为（m，），根据轴对称的性质得到AD⊥CE，AD平分CE，如图，连接CE交AD于H，得到CH＝EH，求得E（2m，），于是得到点E在这个反比例函数的图象上；（2）①根据正方形的性质得到AD＝CE，AD垂直平分CE，求得CH＝AD，设点A的坐标为（m，），得到m＝2（负值舍去），求得A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，解方程组即可得到结论；②延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，则点P 即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y＝x﹣2，于是得到结论．【解答】解：（1）点E在这个反比例函数的图象上，理由：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，∴设点A的坐标为（m，），∵点C关于直线AD的对称点为点E，∴AD⊥CE，AD平分CE，如图．连接CE交AD于H，∴CH＝EH，∵BC＝CD，OC⊥BD，∴OB＝OD，∴OC＝AD，∵AD⊥x轴于D，∴CE∥x轴，∴E（2m，），∵2m×＝8，∴点E在这个反比例函数的图象上；（2）①∵四边形ACDE为正方形，∴AD＝CE，AD垂直平分CE，∴CH＝AD，设点A的坐标为（m，），∴CH＝m，AD＝，∴m＝×，∴m＝2（负值舍去），∴A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，∴；②延长ED交y轴于P，∵CB＝CD，OC⊥BD，∴点B与点D关于y轴对称，∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，则点P即为符合条件的点，由①知，A（2，4），C（0，2），∴D（2，0），E（4，2），设直线DE的解析式为y＝ax+n，∴，∴，∴直线DE的解析式为y＝x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2，∴P（0，﹣2）．故当|PE﹣PB|最大时，点P的坐标为（0，﹣2）．【点评】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．考点五、二次函数1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）如图：点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则AB间的距离，即线段AB的长度为.2、函数平移规律：左加右减、上加下减.3、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，.4、抛物线的对称变换①关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是.②关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是.③关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是.④关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是．⑤关于点对称关于点对称后，得到的解析式是.根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称图象的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．典例6:（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；④点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2.其中结论正确的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为（3，0）；①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＝3＞0，故abc＜0，故①正确，符合题意；②∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴②正确，符合题意；③由图象知，当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，∴③错误，不符合题意；④从图象看，当x＝﹣2时，y1＜0，当x＝2时，y2＞0，∴有y1＜0＜y2，故④正确，符合题意；故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．考点六、函数的应用分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.典例7：（2022•德州）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，1），B（1，﹣2），．求该二次函数的解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件： C（2，﹣3）（答案不唯一） ；（2）当函数值y＜6时，自变量x的取值范围： ﹣1＜x＜5 ；（3）如图1，将函数y＝x2﹣4x+1（x＜0）的图象向右平移4个单位长度，与y＝x2﹣4x+1（x≥4）的图象组成一个新的函数图象，记为L．若点P（3，m）在L上，求m的值；（4）如图2，在（3）的条件下，点A的坐标为（2，0），在L上是否存在点Q，使得S△OAQ＝9．若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；（2）求出y＝6时，对应的x值，再结合图象写出x的取值范围即可；（3）求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为y＝（x﹣6）2﹣3，根据题意可知x＝3时，P点在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上，再求m的值即可；（4）分两种情况讨论：当Q点在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上时，设Q（t，t2﹣12x+33），由S△OAQ＝2×（t2﹣12x+33）＝9，求出Q点坐标即可；当Q点在抛物线y＝x2﹣4x+1的部分上时，设Q （m，m2﹣4m+1），由S△OAQ＝2×（m2﹣4m+1）＝9，求出Q点坐标即可．【解答】解：（1）C（2，﹣3），故答案为：C（2，﹣3）（答案不唯一）；（2）∵y＝x2﹣4x+1，∴当x2﹣4x+1＝6时，解得x＝5或x＝﹣1，∴当y＜6时，﹣1＜x＜5，故答案为：﹣1＜x＜5；（3）∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为y＝（x﹣6）2﹣3，当x＝3时，点P在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上，∴m＝6；（4）存在点Q，使得S△OAQ＝9，理由如下：当Q点在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上时，设Q（t，t2﹣12x+33），∴S△OAQ＝2×（t2﹣12x+33）＝9，解得t＝6+2或t＝6﹣2，∴t＜4，∴t＝6﹣2，∴Q（6﹣2，9）；当Q点在抛物线y＝x2﹣4x+1的部分上时，设Q（m，m2﹣4m+1），∴S△OAQ＝2×（m2﹣4m+1）＝9，解得m＝2+2或m＝﹣2，∵m≥4，∴m＝2+2，∴Q（2+2，9）；综上所述：Q点坐标为（6﹣2，9）或（2+2，9）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合解题是关键．。
中考数学复习----反比例函数之定义、图像与性质知识点总结与练习题(含答案解析)
中考数学复习----反比例函数之定义、图像与性质知识点总结与练习题（含答案解析）知识点总结1. 反比例函数的定义：形如()0≠=k xky 的函数叫做反比例函数。
有时也用k xy =或1−=kx y 表示。
2. 反比例函数的图像：反比例函数的图像是双曲线。
3. 反比例函数的性质与图像：反比例函数()0≠=k xky k 的符号0＞k0＜k所在象限一、三象限二、四象限大致图像增减性在一个支上（每一个象限内），y 随x 的增大而减小。
在一个支上（每一个象限内），y 随x 的增大而增大。
对称性图像关于原点对称练习题1．（2022•黔西南州）在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图像如图所示，则一次函数y ＝kx +2的图像经过的象限是（ ） A ．一、二、三 B ．一、二、四C ．一、三、四D ．二、三、四【分析】先根据反比例函数的图像位于二，四象限，可得k ＜0，由一次函数y ＝kx +2中，k ＜0，2＞0，可知它的图像经过的象限． 【解答】解：由图可知：k ＜0，∴一次函数y ＝kx +2的图像经过的象限是一、二、四． 故选：B ．2．（2022•上海）已知反比例函数y ＝xk（k ≠0），且在各自象限内，y 随x 的增大而增大，则下列点可能在这个函数图像上的为（ ） A ．（2，3）B ．（﹣2，3）C ．（3，0）D ．（﹣3，0）【分析】根据反比例函数的性质判断即可．【解答】解：因为反比例函数y ＝（k ≠0），且在各自象限内，y 随x 的增大而增大， 所以k ＜0，A ．2×3＝6＞0，故本选项不符合题意；B ．﹣2×3＝﹣6＜0，故本选项符合题意；C ．3×0＝0，故本选项不符合题意；D ．﹣3×0＝0，故本选项不符合题意； 故选：B ．3．（2022•广东）点（1，y 1），（2，y 2），（3，y 3），（4，y 4）在反比例函数y ＝x4图像上，则y 1，y 2，y 3，y 4中最小的是（ ） A ．y 1B ．y 2C ．y 3D ．y 4【分析】根据k ＞0可知增减性：在每一象限内，y 随x 的增大而减小，根据横坐标的大小关系可作判断． 【解答】解：∵k ＝4＞0，∴在第一象限内，y 随x 的增大而减小，∵（1，y 1），（2，y 2），（3，y 3），（4，y 4）在反比例函数y ＝图像上，且1＜2＜3＜4， ∴y 4最小． 故选：D ．4．（2022•云南）反比例函数y ＝x6的图像分别位于（ ） A ．第一、第三象限 B ．第一、第四象限 C ．第二、第三象限D ．第二、第四象限【分析】根据反比例函数的性质，可以得到该函数图像位于哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：反比例函数y ＝，k ＝6＞0， ∴该反比例函数图像位于第一、三象限， 故选：A ．5．（2022•镇江）反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图像经过A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜0＜x 2时，y 1＞y 2，写出符合条件的k 的值 （答案不唯一，写出一个即可）． 【分析】先根据已知条件判断出函数图像所在的象限，再根据系数k 与函数图像的关系解答即可．【解答】解：∵反比例函数y ＝（k ≠0）的图像经过A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜0＜x 2时，y 1＞y 2，∴此反比例函数的图像在二、四象限， ∴k ＜0，∴k 可为小于0的任意实数，例如，k ＝﹣1等． 故答案为：﹣1．6．（2022•福建）已知反比例函数y ＝xk的图像分别位于第二、第四象限，则实数k 的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数）【分析】根据图像位于第二、四象限，易知k ＜0，写一个负数即可． 【解答】解：∵该反比例图像位于第二、四象限， ∴k ＜0，∴k 取值不唯一，可取﹣3， 故答案为：﹣3（答案不唯一）．7．（2022•成都）在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数y ＝xk 2−的图像位于第二、四象限，则k 的取值范围是 ．【分析】根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案． 【解答】解：∵反比例函数y ＝的图像位于第二、四象限，∴k ﹣2＜0， 解得k ＜2， 故答案为：k ＜2．8．（2022•襄阳）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像如图所示，则一次函数y ＝bx +c 和反比例函数y ＝xa在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【分析】根据二次函数图像开口向下得到a ＜0，再根据对称轴确定出b ，根据与y 轴的交点确定出c ＜0，然后确定出一次函数图像与反比例函数图像的情况，即可得解． 【解答】解：∵二次函数图像开口方向向下， ∴a ＜0，∵对称轴为直线x ＝﹣＞0，∴b ＞0，∵与y 轴的负半轴相交， ∴c ＜0，∴y ＝bx +c 的图像经过第一、三、四象限， 反比例函数y ＝图像在第二四象限， 只有D 选项图像符合． 故选：D ．9．（2022•菏泽）根据如图所示的二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像，判断反比例函数y ＝xa与一次函数y ＝bx +c 的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】先根据二次函数的图像，确定a 、b 、c 的符号，再根据a 、b 、c 的符号判断反比例函数y ＝与一次函数y ＝bx +c 的图像经过的象限即可． 【解答】解：由二次函数图像可知a ＞0，c ＜0， 由对称轴x ＝﹣＞0，可知b ＜0，所以反比例函数y ＝的图像在一、三象限，一次函数y ＝bx +c 图像经过二、三、四象限． 故选：A ．10．（2022•安顺）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图像如图所示，则一次函数y ＝ax +b 和反比例函数y ＝xc（c ≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【分析】直接利用二次函数图像经过的象限得出a ，b ，c 的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【解答】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像开口向上， ∴a ＞0，∵该抛物线对称轴位于y 轴的右侧， ∴a 、b 异号，即b ＜0． ∵抛物线交y 轴的负半轴，∴c ＜0，∴一次函数y ＝ax +b 的图像经过第一、三、四象限，反比例函数y ＝（c ≠0）在二、四象限． 故选：A ．11．（2022•西藏）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax +b 与y ＝axb（其中a ，b 是常数，ab ≠0）的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据a 、b 的取值，分别判断出两个函数图像所过的象限，要注意分类讨论． 【解答】解：若a ＞0，b ＞0，则y ＝ax +b 经过一、二、三象限，反比例函数y ＝（ab ≠0）位于一、三象限，若a ＞0，b ＜0，则y ＝ax +b 经过一、三、四象限，反比例函数数y ＝（ab ≠0）位于二、四象限， 若a ＜0，b ＞0，则y ＝ax +b 经过一、二、四象限，反比例函数y ＝（ab ≠0）位于二、四象限， 若a ＜0，b ＜0，则y ＝ax +b 经过二、三、四象限，反比例函数y ＝（ab ≠0）位于一、三象限， 故选：A ．12．（2022•张家界）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝kx +1（k ≠0）和y ＝xk（k ≠0）的图像大致是（ ）A．B．C．D．【分析】分k＞0或k＜0，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx+1经过第一、二、三象限，反比例函数y＝位于第一、三象限；当k＜0时，一次函数y＝kx+1经过第一、二、四象限，反比例函数y＝位于第二、四象限；故选：D．13．（2022•绥化）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图像如图所示，则一次函数y＝ax+b2﹣4ac与反比例函数y＝xc ba++24在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）A．B．C．D．【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图像判断a，b2﹣4ac及4a+2b+c的符号，即可得到答案．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图像开口向上，∴a＞0，∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分函数图像顶点在x 轴下方，开口向上， ∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像与x 轴有两个交点，b 2﹣4ac ＞0， ∴一次函数y ＝ax +b 2﹣4ac 的图像位于第一，二，三象限，由二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分函数图像可知，点（2，4a +2b +c ）在x 轴上方， ∴4a +2b +c ＞0， ∴y ＝的图像位于第一，三象限，据此可知，符合题意的是B ， 故选：B ．14．（2022•贺州）已知一次函数y ＝kx +b 的图像如图所示，则y ＝﹣kx +b 与y ＝xb的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】本题形数结合，根据一次函数y ＝kx +b 的图像位置，可判断k 、b 的符号；再由一次函数y ＝﹣kx +b ，反比例函数y ＝中的系数符号，判断图像的位置．经历：图像位置﹣系数符号﹣图像位置．【解答】解：根据一次函数y ＝kx +b 的图像位置，可判断k ＞0、b ＞0． 所以﹣k ＜0．再根据一次函数和反比例函数的图像和性质， 故选：A ．15．（2022•广西）已知反比例函数y ＝xb（b ≠0）的图像如图所示，则一次函数y ＝cx ﹣a （c ≠0）和二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】本题形数结合，根据反比例函数y ＝（b ≠0）的图像位置，可判断b ＞0；再由二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图像性质，排除A ，B ，再根据一次函数y ＝cx ﹣a （c ≠0）的图像和性质，排除C ．【解答】解：∵反比例函数y ＝（b ≠0）的图像位于一、三象限， ∴b ＞0；∵A 、B 的抛物线都是开口向下，∴a ＜0，根据同左异右，对称轴应该在y 轴的右侧， 故A 、B 都是错误的．∵C 、D 的抛物线都是开口向上，∴a ＞0，根据同左异右，对称轴应该在y 轴的左侧， ∵抛物线与y 轴交于负半轴， ∴c ＜0由a ＞0，c ＜0，排除C ． 故选：D ．16．（2022•滨州）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝kx +1与y ＝﹣xk（k 为常数且k ≠0）的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据一次函数和反比例函数的性质即可判断．【解答】解：当k ＞0时，则﹣k ＜0，一次函数y ＝kx +1图像经过第一、二、三象限，反比例函数图像在第二、四象限，所以A 选项正确，C 选项错误；当k ＜0时，一次函数y ＝kx +1图像经过第一、二，四象限，所以B 、D 选项错误． 故选：A ．17．（2022•德阳）一次函数y ＝ax +1与反比例函数y ＝﹣xa在同一坐标系中的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据一次函数与反比例函数图像的特点，可以从a ＞0，和a ＜0，两方面分类讨论得出答案．【解答】解：分两种情况：（1）当a ＞0，时，一次函数y ＝ax +1的图像过第一、二、三象限，反比例函数y ＝﹣图像在第二、四象限，无选项符合；（2）当a ＜0，时，一次函数y ＝ax +1的图像过第一、二、四象限，反比例函数y ＝﹣图像在第一、三象限，故B 选项正确． 故选：B ．18．（2022•阜新）已知反比例函数y ＝x k （k ≠0）的图像经过点（﹣2，4），那么该反比例函数图像也一定经过点（ ）A ．（4，2）B ．（1，8）C ．（﹣1，8）D ．（﹣1，﹣8）【分析】先把点（﹣2，4）代入反比例函数的解析式求出k 的值，再对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵反比例函数y ＝（k ≠0）的图像经过点（﹣2，4），∴k ＝﹣2×4＝﹣8，A 、∵4×2＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；B 、∵1×8＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；C 、﹣1×8＝﹣8，∴此点在反比例函数的图像上，故本选项正确；D 、（﹣1）×（﹣8）＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误． 故选：C ．19．（2022•襄阳）若点A （﹣2，y 1），B （﹣1，y 2）都在反比例函数y ＝x2的图像上，则y 1，y 2的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＞y 2D ．不能确定 【分析】根据反比例函数图像上点的坐标特征即可求解．【解答】解：∵点A （﹣2，y 1），B （﹣1，y 2）都在反比例函数y ＝的图像上，k ＝2＞0，∴在每个象限内y 随x 的增大而减小，∵﹣2＜﹣1，∴y 1＞y 2，故选：C ．20．（2022•海南）若反比例函数y ＝xk （k ≠0）的图像经过点（2，﹣3），则它的图像也一定经过的点是（ ）A ．（﹣2，﹣3）B ．（﹣3，﹣2）C ．（1，﹣6）D ．（6，1） 【分析】将（2，﹣3）代入y ＝（k ≠0）即可求出k 的值，再根据k ＝xy 解答即可．【解答】解：∵反比例函数y ＝（k ≠0）的图像经过点（2，﹣3），∴k ＝2×（﹣3）＝﹣6，A 、﹣2×（﹣3）＝6≠﹣6，故A 不正确，不符合题意；B 、（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，故B 不正确，不符合题意；C 、1×（﹣6）＝﹣6，故C 正确，符合题意，D 、6×1＝6≠﹣6，故D 不正确，不符合题意．故选：C ．21．（2022•武汉）已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在反比例函数y ＝x6的图像上，且x 1＜0＜x 2，则下列结论一定正确的是（ ）A ．y 1+y 2＜0B ．y 1+y 2＞0C ．y 1＜y 2D ．y 1＞y 2 【分析】先根据反比例函数y ＝判断此函数图像所在的象限，再根据x 1＜0＜x 2判断出A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）所在的象限即可得到答案．【解答】解：∵反比例函数y ＝中的6＞0，∴该双曲线位于第一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在反比例函数y ＝的图像上，且x 1＜0＜x 2，∴点A 位于第三象限，点B 位于第一象限，∴y 1＜y 2．故选：C ．22．（2022•天津）若点A （x 1，2），B （x 2，﹣1），C （x 3，4）都在反比例函数y ＝x8的图像上，则x 1，x 2，x 3的大小关系是（ ）A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 2＜x 3＜x 1C ．x 1＜x 3＜x 2D ．x 2＜x 1＜x 3 【分析】根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．【解答】解：点A （x 1，2），B （x 2，﹣1），C （x 3，4）都在反比例函数y ＝的图像上， ∴x 1＝＝4，x 2＝＝﹣8，x 3＝＝2． ∴x 2＜x 3＜x 1，故选：B ．23．（2022•淮安）在平面直角坐标系中，将点A （2，3）向下平移5个单位长度得到点B ，若点B 恰好在反比例函数y ＝xk 的图像上，则k 的值是 ．【分析】点A （2，3）向下平移5个单位长度得到点B （2，﹣2），代入y ＝利用待定系数法即可求得k 的值．【解答】解：将点A （2，3）向下平移5个单位长度得到点B ，则B （2，﹣2）， ∵点B 恰好在反比例函数y ＝的图像上，∴k ＝2×（﹣2）＝﹣4，故答案为：﹣4．24．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy 中，若点A （2，y 1），B （5，y 2）在反比例函数y ＝xk （k ＞0）的图像上，则y 1 y 2（填“＞”“＝”或“＜”）． 【分析】先根据函数解析式中的比例系数k 确定函数图像所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．【解答】解：∵k ＞0，∴反比例函数y ＝（k ＞0）的图像在一、三象限，∵5＞2＞0，∴点A （2，y 1），B （5，y 2）在第一象限，y 随x 的增大而减小，∴y 1＞y 2，故答案为：＞．。
经典数学函数图像(大全)
经典数学函数图像(大全)1. 一次函数图像一次函数图像是一条直线，其一般形式为 y = mx + b，其中 m是斜率，b 是 y 轴截距。
当 m > 0 时，直线向上倾斜；当 m < 0 时，直线向下倾斜。
2. 二次函数图像二次函数图像是一个抛物线，其一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
3. 三角函数图像三角函数图像包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数图像是一条波动曲线，余弦函数图像与正弦函数图像相似，但相位差为π/2。
正切函数图像是一条周期性振荡的曲线。
4. 指数函数图像指数函数图像是一条上升或下降的曲线，其一般形式为 y = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。
当 a > 1 时，曲线上升；当 0 < a < 1 时，曲线下降。
5. 对数函数图像对数函数图像是一条上升或下降的曲线，其一般形式为 y =log_a(x)，其中 a 是底数，x 是真数。
当 a > 1 时，曲线上升；当0 < a < 1 时，曲线下降。
6. 双曲函数图像双曲函数图像包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数。
双曲正弦函数和双曲余弦函数图像都是上升或下降的曲线，而双曲正切函数图像是一条周期性振荡的曲线。
7. 幂函数图像幂函数图像是一条上升或下降的曲线，其一般形式为 y = x^n，其中 n 是指数。
当 n > 0 时，曲线上升；当 n < 0 时，曲线下降。
8. 反比例函数图像反比例函数图像是一条双曲线，其一般形式为 y = k/x，其中 k是常数。
当 k > 0 时，曲线位于第一和第三象限；当 k < 0 时，曲线位于第二和第四象限。
经典数学函数图像(大全)3. 反三角函数图像反三角函数是三角函数的反函数，包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
中考数学专题 函数及图像
举 一 反 三
【解析】由 x＋1≠0 得 x≠－1.
考 点 训 练
【答案】C
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3．(2010· 眉山)某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程(工作前洗 考 点 衣机内无水)，在这三个过程中洗衣机内水量 y(升)与时间 x(分)之间的函数关系对应的图象大 知 致为( ) 识 精 讲
考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析
7．某游泳池的横截面如图所示，用一水管向池内持续注水．若单位时间内注入的水量保 持不变，则在注水过程中，下列图象能反映深水区水深 h 与注水时间 t 之间关系的是( A )
举 一 反 三
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考 点 知 8． 如图， 乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子， 但水位较低， 且瓶口又小， 识 精 乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝 讲 到了水．在这则乌鸦喝水的故事中，从乌鸦看到瓶的那刻起开始计时并设时间为 x，瓶中水 中 考 典 例 精 析
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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析
举 一 反 三
(2010· 丹东)星期天，小明与小刚骑自行车去距家 50 千米的某地旅游，匀速行驶 1.5 小时的时候，其中一辆自行车出故障，因此二人在自行车修理点修车，用了半个小时，然 后以原速继续前行，行驶 1 小时到达目的地．请在右面的平面直角坐标系 中，画出符合他们行驶的路程 s(千米)与行驶时间 t(时)之间的函数图象．
第10课时 一次函数的图象及其性质 课件 2025年中考数学一轮总复习
么过原点O且将△AOB的面积平分的直
线l2的解析式为（ D ）
D
A. y＝ x
B. y＝x
C. y＝ x
D. y＝2x
（2）如图2，已知一条直线经过点A
（0，2），点B（1，0），将这条直线
向左平移与x轴、y轴分别交于点C，D.
若DB＝DC，则直线CD的函数解析式
y＝ x－
考点三 一次函数与方程（组）、不
等式
例3 （1）（2024·广东）已知不等式
kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y
＝kx＋b的图象大致是（ B ）
B
A B C D
一、
二、三
一、
三
一、
三、四Βιβλιοθήκη 一、 二、四
二、
四
二、
三、
四
增大
减小
（1）k的符号决定直线的增减性；
的大小决定直线的倾斜程度，即 越
大，直线与x轴相交的锐角的度数越大
（直线越 ）； 越小，直线与x
轴相交的锐角的度数越小（直线越 ）.（2）b（称为截距）表示直线y＝kx＋
图象
关系
一次函数y＝kx＋b的图象可由正
比例函数y＝kx的图象平移得到.
当b＞0时，向上平移b个单位长
度；当b＜0时，向下平移 个单
位长度
（0，b）
（－ ，0）
知识点2 一次函数y＝kx＋b（k≠0）的
图象与性质
函
数
y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）
k＞0
k＜0
b＞0
b＝0
b＜
0
b＞0
b＝0
为 ；
中考数学总复习专题测试卷函数和图像
函数及其图象专题测试卷（考试时间：90分钟） 姓名__________学号__________成绩_________一、选择题(本题共15 小题，每小题3 分，满分45分) 1．要使式子a ＋2a有意义，a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0 B ．a ＞－2且a ≠0 C ．a ＞－2或a ≠0 D ．a ≥－2且a ≠0 2．已知反比例函数 y=a-2x的图象在第二、四象限，则a 的取值范围是（ ） A ．a≤2 B ．a ≥2 C ．a ＜2 D ．a ＞23．如图2，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x 与火车在隧道内的长度y 之间的关系用图象描述大致是( )A ．B ．C ．D ．4．若 ab ＞0，bc<0，则直线y=－a b x －cb 不通过（ ）A ．第一象限B 第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．若二次函数y=x 2－2x+c 图象的顶点在x 轴上，则c 等于（ ） A ．－1 B ．1 C ．21D ．26．已知抛物线2:310c y x x =+-，将抛物线C 平移得到抛物线C '若两条抛物线C 、C ' 关于直线1=x 对称，则下列平移方法中，正确的是 （ ） A ．将抛物线C 向右平移25个单位 B ．将抛物线C 向右平移3个单位C ．将抛物线C 向右平移5个单位D ．将抛物线C 向右平移6个单位7．已知一次函数y= kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y=kbx的图象大致为（ ）。
8．二次函数y=x 2－4x+3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为( ).A ．1B ．3C ．4D ．69二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝ ax 与正比例函数y ＝（b ＋c ）x 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）火车隧道oyxoy xoy xoyx2图10．如图，四边形ABCD 是边长为1 的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F→H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与 x 之间函数关系的图象是（ ）11．已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示，当x ＜0时，y 的取值范围是（ ）。
中考数学专题《二次函数》复习课件(共54张PPT)
当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对 称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
例1： 已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两
点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，
y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
二次函数复习
二次函数知识点：
• 1、二次函数的定义 • 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法 • 4、a，b，c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移 • 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 • 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0）
a= ___. -2
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴
冀教版数学中考一轮复习二次函数的图像与性质课件
二次函数 y ax2 bx c
字母或代数式
符号
图象的特征
特殊关系
当 x＝1 时，y＝a＋b＋c ； 当 x＝－1 时，y＝ a－b＋c． 若 a＋b＋c＞0，即当 x＝1 时，y＞0； 若 a＋b＋c＜0，即当 x＝1 时，y＜0.
y＝a(x－x1)(x－x2)；
2．二次函数图象的平移
方法1： 直接平移
方法1： 直接平移
方法2：可将二次函数的解析式化为顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，再 按照下列方式变换：
1．根据下列已知条件，求二次函数的解析式．
(1)已知二次函数的顶点在原点，且过另一点(2，－4)，则二次函数的解
①开口向上a 0;对称轴左同右异b 0 与y轴交点在y轴负半轴c 0;abc 0 ②与x轴有两个交点 b2 4ac 0
③x -1时y 0,代入得到a - b c 0 ④x 1时y 0,带入得到a b c 0
⑤对称轴在x 1的左侧- b 1a 0
2a b 2a,2a b 0
(7)若抛物线上有 C(－4，y1)，D(a，y2)两点，且 a<－4，则 y1 和 y2 的
大小关系是 y1<y2 ；
(8)当－3≤x≤5 时，函数值 y 的最大值为 48 ．
比大小，求函数范围 方法：画图像
抛物线图象与字母系数 a，b，c 的关系
字母或 代数式
a
符号
a＞0 a＜0
图象的特征
开口向 上． 开口向 下.
(1)抛物线的开口方向为 向上；(2)抛物线的对称轴为直线 x＝－2 ； (3)抛物线的顶点坐标为 (－2，－1)；(4)抛物线与 y 轴的交点坐标 是(0，3) ，与 x 轴的交点坐标为(－1，0)，(－3，0)
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中考数学专题复习函数及其图像
考点3.1 位置与坐标
序号考查内容考查方式学习目标
考点
位置与坐
标坐标与象限
1、坐标值的几何意义
2、特殊点的坐标特征
3、两点之间距离的求法
4、能根据图形建立适当坐标系并写出关键点的坐标
5、能根据点的坐标值确定其余各点的坐标
6、用极坐标表示点的位置
考点3.2 函数的表示
序号考查内容考查方式学习目标
考点一函数的取值范围分式或根式何时有意义
考点二
函数及其图像实际问题与函数图像1、能根据具体情况识别函数图象
2、能从函数图象中读出关键信息
考点3.3 一次函数
序号考查内容考查方式学习目标
考点一一次函数
图像和性
质
一次函数图
像和性质综
合应用
1、能熟练判断出图像中的k b取值范围
2、能根据k,b的取值范围熟练画出函数图象的草图
3、能判断出函数图的共存
4、能用待定系数法熟练求出函数解析式过程完整
考点二
一次函数
的应用结合一次函
数图像解决
实际问题
1、能正确解释交点坐标在实际问题中的意义
2、能正确分割三角形和多边形的
面积进而求出其面积
3、能正确理解和应用简单的分段函数图象及其代表的意义
考点3.4 反比例函数
序号考查内容考查方式学习目标
考点一
反比例函数解析式
的确定确定比例系数
1、能从不同的表达式中分离出比例系数
2、能根据比例系数画出函数草图
待定系数法求解析式
利用比例系数的几何意义确定反
比例函数解析式
k值的几何意义反映到函数中要结合具体
的象限来确定值k
考点二反比例函数的应用
一次函数与反比例函数的综合应
用
考点3.5 二次函数
序号考查内容考查方式学习目标
考点一二次函数图像和性质确定二次函数图像的对称轴和
顶点、与x轴的交点的坐标
1、能准确化为一般形式，并指出其系数
2、能熟练进行配方写出其顶点坐标式
3、能熟练从三种解析式几个方面值的确定
考点二二次函数的应用画二次函数图像及应用能熟练画出草图并进行分析应用
考点三二次函数与实际问题
（二次函数的应用
题）
确定解析式、求极值（解答题）能根据已知条件熟练写出解析式，并进行五个方
面的相关计算
考点3.6 用函数观点看方程（组）和不等式
序号考查内容考查方式学习目标
考点一函数与方程二次函数与一元二次方程理解二次函数与一元二次方程的联系，并能正确地
将二次函数问题转化为一元二次方程，能用一元二
次方程的根解释图象中的交点坐标
考点二
函数与不等
式一次函数与一元一次不等式1、能根据图象正确判断不等式的解集
2、理解交点坐标的意义
3、能根据交点坐标正确写出方程或方程组反比例函数与不等式
一次函数、反比例函数与不等式同上。