2022年九年级中考数学复习专题九 函数的实际应用

专题九函数的实际应用类型一图象型1.农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．设每棵树上桃子的数量为x(个)，桃子的平均质量为y(克/个)，y与x之间有一次函数关系．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w(元)与平均质量y(克/个)满足函数表达式w＝1100y＋2.在(1)的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？第1题图2. 某商家计划在某短视频直播平台上直播销售当地特产，将其中一种特产在网上进行试销售，该特产成本价为每千克2元．该商家在试销售期间调查发现，每天销售量y(kg)与销售单价x(元)之间满足如图所示的函数关系(其中2＜x≤10)．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？第2题图3. 某企业销售某商品，以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了100件．设该商品线下的销售量为x(10≤x≤90)件，线下销售的每件利润为y1元，线上销售的每件利润为y2元．如图中折线ABC、线段DE分别表示y1、y2与x之间的函数关系．(1)求y1与x之间的函数表达式；(2)若70≤x≤90，问线下的销售量为多少时，售完这100件商品所获得的总利润最大？最大利润是多少？第3题图类型二表格型1. 某商场把一批糖果分装成小袋出售，小袋糖果成本为3元/袋．试销发现：每天的销售量y(袋)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支出其它费用80元.(1)y与x之间的函数关系式为________；(2)如果每天销售获得160元的利润，销售单价为多少元？(3)设每天所获利润为W元，当销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？2. 为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，当种植樱桃的面积x不超过15亩时，每亩可获得利润y＝1900元；超过15亩时，每亩获得利润y(元)与种植面积x(亩)之间满足一次函数关系，部分数据如下表：(1)求种植樱桃的面积超过15亩时每亩获得利润y与x的函数关系式；(2)如果小王家计划承包荒山种植樱桃，受条件限制种植樱桃面积x不超过50亩，设小王家种植x亩樱桃所获得的总利润为W元，求小王家承包多少亩荒山获得的总利润最大，并求总利润W(元)的最大值．3. 人工智能(Artificial Intelligence)，简称AI，是指由人制造出来的机器所表现出来的智能，人工智能在“大智慧”时代扮演着越来越重要的角色，其技术广泛渗透到交通、医疗、教育、物流、养老、文化、体育等方面，正深刻改变着人们的传统生活方式．某AI公司为扩大生产规模，在原有5条生产线的基础上，计划增加生产线来生产新研究开发出的AI智能芯片，因技术和原料供给等原因，增加生产线会影响生产量，且总生产线不能超过15条，该公司在试验阶段，将生产AI智能芯片的生产线数量和平均每条生产线的日产量统计如下表：设新增x条生产线，平均每条生产线的日产量为y片，已知y与x满足一次函数关系．(1)求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；(2)设公司每天可以生产w个芯片，当新增多少条生产线时，该公司每天生产的芯片数量最多？最多为多少个？类型三文字型1.某超市以每千克20元的价格购进了一种面包，规定销售单价不低于成本价，且获利不高于70%.经市场调查，每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，且当销售单价为25元/千克时，每天可以卖出120千克；当销售单价为30元/千克时，每天可以卖出100千克．(1)求y与x的函数关系式；(2)当面包的销售单价定为多少元时，超市每天获得的利润最大？最大利润是多少元？2. 某运动品牌公司生产一种运动服，每件成本为150元，零售商家到该公司批发该种运动服，该公司规定：批发件数不少于200件；当批发件数在200至600之间时，若批发件数为200，批发单价为300元，若批发件数增加100件，批发单价就下降25元；当批发件数超过600时，批发单价为200元．设批发件数为x，批发单价为y元．(1)求y关于x的函数关系式；(2)由于零售商家流动资金有限，批发该种运动服的总费用不超过140000元，请问：当x为何值时，该运动品牌公司的利润最大，最大利润是多少？3. 国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，电动汽车非常畅销，某汽车经销商购进A、B两种型号的电动汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多4万元，花100万元购进A型汽车的数量与花60万元购进B型汽车的数量相同，在销售中发现：每天A型号汽车销量y A＝2(台)，B型号汽车的每天销量y B(台)与售价x(万元/台)满足关系式y B＝－x＋10.(1)求A、B两种型号的汽车的进货单价；(2)若A型汽车的售价比B型汽车的售价高2万元/台，且两款汽车的售价均不低于进货价，设B型汽车售价为x万元/台，每天销售这两种车的总利润为W万元，当B型汽车售价定为多少时，每天销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？类型四几何图形1. 如图，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长10米)的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为36米，AB的长为x米，矩形绿化带的面积为S平方米．(1)求S与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；(2)求围成矩形绿化带ABCD面积S的最大值．第1题图2. 为了美化校园，某校计划在如图所示的一块边长为40 m的正方形区域ABCD上建造花坛，其中E、F、G、H分别为正方形区域各边中点，铺灰区域为四个全等的矩形，在四边形EFGH区域种植甲种花，在铺灰区域种植草坪，剩余部分种植乙种花．设AM的长为x米，种植草坪的区域面积为y平方米．(1)求y关于x的函数关系式；(2)种植甲种花的价格为20元/m2，种植乙种花的价格为30元/m2，种植草坪的价格为10元/m2，绿化花坛的总费用为W元，求W的最小值．第2题图3. 有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD 和BCGF 中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE 和CDHG 中种植乙种花卉；在矩形EFGH 中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y 元．(1)求种植总成本y 与x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；(2)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．第3题图专题九 函数的实际应用类型一 图象型1. 解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 把A (120，300)和B (240，100)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧120k ＋b ＝300240k ＋b ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－53b ＝500， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－53x ＋500； (2)设该树上的桃子销售额为z 元，由题意，得；z ＝wx ＝(1100y ＋2)x ＝1100yx ＋2x ＝1100(－53x ＋500)x ＋2x ＝－160x 2＋7x ＝－160(x －210)2＋735， ∵－160＜0，抛物线开口向下， ∴有最大值，∴当x ＝210时，桃子的销售额最大，最大值为735元． 答：一棵树上桃子数量为210时，该树上的桃子销售额最大． 2. 解：(1)当2＜x ≤5时，y ＝10000；当5＜x ≤10时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 把(5，10000)，(10，8000)代入得：⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b ＝1000010k ＋b ＝8000，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－400b ＝12000， ∴y ＝－400x ＋12000， ∴y 与x 之间的函数关系式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10000（2＜x ≤5）－400x ＋12000（5＜x ≤10）； (2)设每天的销售利润为w 元，当2＜x ≤5时，w ＝10000(x －2)＝10000x －20000， ∵10000＞0，∴w 随x 的增大而增大， ∴当x ＝5时，w 最大＝30000(元)；当5＜x ≤10时，w ＝(－400x ＋12000)(x －2)＝－400(x －16)2＋78400， ∵－400＜0，∴在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大， 当x ＝10时，w 最大＝64000(元)． ∵30000＜64000，∴综上所述，当销售单价x 为10元时，每天的销售利润最大，最大利润是64000元． 3. 解：(1)当10≤x ＜70时，设y 1与x 之间的函数表达式是y 1＝kx ＋b (k ≠0)， 将点(10，160)，(70，130)代入y 1＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝16070k ＋b ＝130，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝165， ∴当10≤x ＜70时，y 1与x 之间的函数表达式是y 1＝－12x ＋165； 当70≤x ≤90时，设y 1与x 之间的函数表达式是y 1＝ax ＋c (k ≠0)， 将点(70，130)，(90，110)代入y 1＝ax ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧70a ＋c ＝13090a ＋c ＝110，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1c ＝200， ∴当70≤x ≤90时，y 1与x 之间的函数表达式为y 1＝－x ＋200； ∴y 1与x 之间的函数表达式为y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋165（10≤x ＜70）－x ＋200（70≤x ≤90）； (2)设总利润为w 元，当70≤x ≤90时，w ＝x (－x ＋200)＋100(100－x )＝－(x －50)2＋12500，∵－1＜0，抛物线开口向下，∴w 有最大值， 且当x ＞50时，w 随x 的增大而减少，∴当x ＝70时，w 取得最大值，此时w ＝12100；答：线下的销售量为70件时，售完这100件商品所获得的总利润最大，最大利润是12100元．类型二 表格型1. 解：(1)设y ＝kx ＋b (k ≠0)，将x ＝3.5，y ＝280；x ＝5.5，y ＝120代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3.5k ＋b ＝2805.5k ＋b ＝120，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－80b ＝560， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－80x ＋560；(2)由题意，得(x －3)(－80x ＋560)－80＝160，整理得x 2－10x ＋24＝0，解得x 1＝4，x 2＝6，∵3.5≤x ≤5.5，∴x ＝4，答：如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；(3)由题意得：w ＝(x －3)(－80x ＋560)－80＝－80x 2＋800x －1760＝－80(x －5)2＋240，∵－80＜0，∴w 有最大值，∵3.5≤x ≤5.5，∴当x ＝5时，w 有最大值为240，答：当销售单价定为5元时，每天获得的的利润最大，最大利润是240元．2. 解：(1)设y ＝kx ＋b (k ≠0)，将(20，1800)和(30、1600)代入得：⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝180030k ＋b ＝1600，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－20b ＝2200， ∴y ＝－20x ＋2200；(2)当0＜x ≤15时，W ＝1900x ，∴当x ＝15时，W 最大＝28500元；当15＜x ≤50时，W ＝(－20x ＋2200)x＝－20x 2＋2200x＝－20(x －55)2＋60500，∵－20<0，∴W 有最大值，∵x ≤50，∴当x ＝50时，W 最大＝60000元．∵28500＜60000，∴小王家承包50亩荒山获得的总利润最大，总利润W 的最大值为60000元．3. 解：(1)设y 与x 的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由题意得，每增加1条生产线，平均每条生产线的日产量降低500片，∴k ＝－500，当x ＝0时，y ＝8500，∴b ＝8500，∴y 与x 的函数解析式为y ＝－500x ＋8500(0≤x ≤10)；(2)所有生产线的日总产量为w ＝(x ＋5)(－500x ＋8500)＝－500x 2＋6000x ＋42500＝－500(x －6)2＋60500，∵－500＜0，0≤x ≤10，∴当x ＝6时，w 有最大值60500，答：当新增6条生产线时，该公司每天生产的芯片数量最多，最多为60500个．类型三 文字型1. 解：(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧120＝25k ＋b100＝30k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4b ＝220， ∵销售单价不低于成本价，且获利不高于70%，∴20≤x ≤20×(1 ＋ 70%)，即20≤x ≤34，∴y 与x 的函数关系式为y ＝ －4x ＋220(20≤x ≤34)；(2)设超市每天获得的利润为w 元，根据题意得：w ＝(x －20)(－4x ＋220)＝－4(x －752)2＋1225，∵a ＝ －4<0，对称轴为直线x ＝752，∴x ≤752时，w 随x 的增大而增大．∵20≤x ≤34，∴当x ＝34时，w 有最大值，最大值为－4×(34 －752)2＋ 1225 ＝1176(元)．答：当面包的销售单价定为34元时，超市每天获得的利润最大，最大利润是1176元． 2. 解：(1)当200≤x ≤600时，设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧200k ＋b ＝300600k ＋b ＝200，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14b ＝350， ∴y ＝－14x ＋350，当x ＞600时，y ＝200，∴y 与x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－14x ＋350（200≤x ≤600）200（x >600）； (2)设利润为w 元，当x ＞600时，批发单价最低为200元．总费用为200x ≤140000，解得x ≤700，∴w ＝(200－150)x ＝50x (600<x ≤700)，当x ＝700时，w 有最大值，最大值为50×700＝35000(元)，当200≤x ≤600时，w ＝(y －150)x ＝－14x 2＋200x＝－14(x －400)2＋40000(200≤x ≤600)，∵－14＜0，∴抛物线开口向下，w 有最大值，当x ＝400时，w 有最大值，最大值为40000元，∵40000＞35000，∴当x ＝400时，有最大利润40000元，答：当x 为400时，该运动品牌公司的利润最大，最大利润是40000元．3. 解：(1)设B 型汽车进货单价为t 元，则A 型汽车进货单价为(t ＋4)元由题意得：100t ＋4＝60t ，解得：t ＝6，经检验：t ＝6为原分式方程的根，答：A 型汽车进货单价10万元，B 型汽车进货单价6万元；(2)由题意得W ＝(x －6)(－x ＋10)＋2(x ＋2－10)，∴W ＝－x 2＋18x －76＝－(x －9)2＋5，∵a ＝－1＜0，抛物线开口向下，∴当x ＝9时，W 取得最大值，最大值为5万元．答：B 型汽车售价为9万元时，总利润最大，最大总利润为5万元．类型四 几何图形1. 解：(1)∵栅栏总长为36米，AB 的长为x 米，∴BC ＝(36－3x )米，∴S ＝x (36－3x )＝－3x 2＋36x ，∴S 与x 之间的函数关系式∴S ＝－3x 2＋36x (263<x <12)； 【解法提示】由题意可得：0<36－3x <10，解得263<x <12，(2)S ＝－3x 2＋36x＝－3(x －6)2＋108，∵－3＜0，∴S 有最大值，对称轴为直线x ＝6，∴当x >6时，y 随x 的增大而减小，又∵263<x <12，∴当x ＝263时，S 有最大值，其最大值为2603.答：围成矩形绿化带ABCD 面积S 的最大值为2603平方米．2. 解：(1)∵E 、F 、G 、H 分别为正方形区域各边中点，铺灰部分为四个全等的矩形，∴AE ＝AF ＝12AB ＝20，PE ＝PQ .∵AM ＝x ，∴PQ ＝PE ＝x ，AP ＝20－x ，∴y ＝4x (20－x )＝－4x 2＋80x (0＜x ＜20)；(2)由题意得四边形EFGH 为正方形，其面积为4022＝800 m 2，∴W ＝800×20＋10y ＋30(402－800－y )＝－20y ＋40000＝－20(－4x 2＋80x )＋40000＝80(x －10)2＋32000，∵80>0，0<x <20，∴当x ＝10时，W 取最小值，最小值为32000元，答：绿化花坛的总费用W 的最小值为32000元．3. 解：(1)EF ＝(20－2x )米，EH ＝(30－2x )米，由题意得：y ＝(30＋30－2x )·x ·20＋(20＋20－2x )·x ·60＋(30－2x )(20－2x )·40＝－400x ＋24000(0＜x ＜10)，∴种植总成本y 与x 的函数表达式为y ＝－400x ＋24000(0＜x ＜10)；(2)S 甲＝2×12(EH ＋AD )x ＝(30－2x ＋30)x ＝－2x 2＋60x ，同理S 乙＝－2x 2＋40x ，∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，∴－2x 2＋60x －(－2x 2＋40x )≤120，解得：x ≤6，∴0＜x ≤6，∵y ＝－400x ＋24000随x 的增大而减小，∴当x ＝6时，y 的值最小，最小值为21600， 答：三种花卉的最低种植总成本为21600元．。