第9讲_函数

a b d e
33
c
f
函数运算
复合函数: 定义、性质 逆函数：定义、存在条件 构造双射函数 求逆函数
34
函数复合(composite)
定义: 设 f:A→B, g:B→C, 则 f。g ={<x,z>|x∈A∧z∈C∧∃y(y∈B∧y=f(x) ∧z=g(y))}
35
定理
定理1：两个函数的复合是一个函数 证明：设g:Y→Z，f:X→Y
12
函数的计数
A={0,1,2}，B={a,b}，写出A到B上的所 有函数。
13
函数的计数（续）
A= {a,b} ，B= {1,2,3} ，写出A到B上的 所有函数。
f1 = {< a,0 >, < b,0 >} f 2 = {< a,0 >, < b,1 >} f 3 = {< a,0 >, < b,2 >} f 4 = {< a,1 >, < b,0 >} f 5 = {< a,1 >, < b,1 >} f 6 = {< a,1 >, < b,2 >} f 7 = {< a,2 >, < b,0 >} f 8 = {< a,2 >, < b,1 >} f 9 = {< a,2 >, < b,2 >}
5
真偏函数(proper partial function)
真偏函数: domF⊂A, 真偏函数记作F:A→B, A到B的全体真偏函数记为A→B A→B = { F | F:A→B }
6Hale Waihona Puke Baidu
例1(续)
例1(续): 设 A={a,b}, B={1,2}, 求A→B. 解: f0=∅, f1={<a,1>}, f2={<a,2>}, f3={<b,1>}, f4={<b,2>}, f5={<a,1>,<b,1>}, f6={<a,1>,<b,2>}, f7={<a,2>,<b,1>},f8={<a,2>,<b,2>}. A→B={f0 , f1 , f2 , f3 , f4}. #
23
性质
性质：若X、Y是有限集，且存在双射 f:X→Y，则|X|=|Y|
24
计数(counting)问题
设|A|=n, |B|=m, 问A→B中有多少单射, 满射,双射?
25
例2(1)
例2: (1) A={a,b}, B={1,2,3}, f1={<a,1>,<b,2>}, f2={<a,1>,<b,3>}, f3={<a,2>,<b,1>}, f4={<a,2>,<b,3>}, P32 f5={<a,3>,<b,1>}, f6={<a,3>,<b,2>}.
14
函数的计数规律
A到B的全体全函数记为BA BA = { f | f:A→B } 一般说来，如果|A|=n，|B|=m，m，n非 零，则 | BA |=mn
15
满射
定义3：对于X → Y的映射f，如果ran f=Y，即Y的每一个元素是X中一个或多个 元素的象，则称这个映射为满射。 (设f:X→Y是满射，则对∀y∈Y，必有 x∈X使得f(x)=y，即f(X)=Y)
16
满射
17
单射
定义4：对于X→Y的映射f，若X中没有 没有两 没有 个元素有相同的象，则称这个映射为入 射(单射)。 (设f:X→Y是单射，即是对于任意 x1,x2∈X，如果x1≠x2，则f(x1)≠f(x2) 或 若f(x1)=f(x2)则x1=x2)
18
单射
19
双射
定义5：从X到Y的一个映射，若既是满射 又是单射，则称此映射为双射(或一一映 射)
36
复合的性质
定理2: 设 f:A→B, g:B→C, f○g:A→C,则 (a) f,g均为满射, 则 f○g也是满射. (b) f,g均为单射, 则 f○g也是单射. (c) f,g均为双射, 则 f○g也是双射. #
37
复合的性质(续)
定理3: 设 f:A→B, g:B→C, 则 (1) 若f○g为满射, 则f是满射. (2) 若f○g为单射, 则g是单射. (3) 若f○g为双射, 则g是单射,f是满射. #
32
自然映射(举例)
例: A={a,b,c,d,e,f}, A/R={{a,b},{c,d,e},{f}}, [a]=[b]={a,b}, [c]=[d]=[e]={c,d,e}, [f]={f}, F:A→A/R, F(x)=[x]. F(a)={a,b}, F(b)={a,b}, F( c )={c,d,e}, F(d)={c,d,e}, F(e)={c,d,e}, F(f)={f}. #
把n个对象分成m个非空子集的分法个数.
29
象(image), 原象(preimage)
设 f:A→B, A’⊆A, B’⊆B 象: A’的象是 f(A’) = { y | ∃x( x∈A’ ∧ f(x)=y ) } ⊆ B f(A)=ranf 原象: B’的原象是 f -1(B’) = { x | ∃y( y∈B’ ∧ f(x)=y ) } ⊆ A
1.关系; 2.X中任何元都有象dom f=A; 3.唯一象
9
函数(function)
函数: F是函数 ⇔ F是单值的二元关系 F单值: ∀x∈domF, ∀y,z∈ranF, xFy ∧ xFz → y=z 单值 函数亦称映射(mapping) F(x)=y ⇔ <x,y>∈F ⇔ xFy y ∅是函数,称为空函数 x z 常用F,G,H,…,f,g,h,…表示函数. 非单值
偏函数(partial function)
偏函数: domF⊆A A到B的偏函数: domF⊆A且ranF⊆B 偏函数记作 F:A→B, 称A为F的前域, A到B的全体偏函数记为A→B A→B = { F | F:A→B }
一切函数均为偏函数，但反之不然。当f为偏函数却非函数时，称f为真偏函数 真偏函数。 真偏函数
A’ f(A’) f -1(B’) A’
30
象,原象(举例)
例: f:N→N, f(x)=2x. A’=N偶={0,2,4,6,…}={2k|k∈N}, f(A’)={0,4,8,12,…}={4k|k∈N} B’={2+4k|k∈N}={2,6,10,14,…}, f -1(B’)={1+2k|k∈N} ={1,3,5,7,…}=N奇 #
函数
内容提要 函数(映射)定义 象,原象 单射,满射,双射,计数问题 常数函数,恒等函数,特征函数,单调函数, 自然映射 复合,逆函数
1
在实际应用中常常遇到这样一种情况，F为A到B的函数，A⊆X，且对某些x∈XA，F(x)没有意义，但是却需要在X上讨论F。为此人们引入偏函数概念来拓广 函数的意义。
28
计数(counting)问题
设|A|=n, |B|=m, 问A→B中有多少单射,满射, 双射? n<m时, A→B中无满射和双射, 单射个数为 → m(m-1)…(m-n+1) n=m时, A→B中双射个数为 n! n>m时, A→B中无单射和双射, 满射个数为
n m! m
（Stirling数） Stirling数
3
全函数(total function)
全函数: domF=A 全函数记作 F:A→B A到B的全体全函数记为BA或A→B BA = A→B = { F | F:A→B }
4
关于BA的说明
BA={ F | F:A→B }={ F | F是A到B全函数 } |BA| = |B||A|. 当A=∅时, BA={∅} 当A≠∅且B=∅时, BA=A→B=∅, 但A→B={∅}.
7
三者关系
A→B = A→B ∪ A→B 偏函数A→B domF⊆A 全函数A→B domF=A
说明: F∈A→B ⇒ F∈domF→B F∈A→B ⇒ F∈domF→B
真偏函数A→B domF⊂A
8
函数(function)定义
定义1：X和Y是两个集合，f是X到Y的关 系，如果对于任意x∈X，有唯一的y∈Y 使得<x,y>∈f，称关系f为函数，记作：f： X→Y或X Y。称x为原象,y为象。
40
逆函数的存在性
与关系相类比
逆关系为交换序偶的元素次序<y、x>∈R-1 ⇔ <x、y>∈R
26
例2（2）
例2（2） : A={a,b,c}, B={1,2}, f1={<a,1>,<b,1>,<c,2>}, f2={<a,1>,<b,2>,<c,1>}, f3={<a,2>,<b,1>,<c,1>}, f4={<a,1>,<b,2>,<c,2>}, f5={<a,2>,<b,1>,<c,2>}, f6={<a,2>,<b,2>,<c,1>}. A分成|B|个非空集合的分法=3 |B|个非空集合的排序方法=2！=2
g f g
38
复合的左(右)单位元
定理4: 设 f:A→B, 则 f=f○IA =IB○f. #
IA f IB
A
A
B
B
39
复合的单调性
定理5: 设 f:R→R, g:R→R, 且f,g按≤是单 调增的, 则f○g也是单调增的. 证明: x≤y ⇒ g(x)≤g(y) ⇒f(g(x))≤f(g(y)). #
a)存在性,即∀x∈X，∃ｚ使<x,z>∈f○g. ∀x∈X， f为函数，∃序偶<x,y>∈f使得f(x)=y,而 f(x)∈f(X)⊆Y，加上g是函数，故必有z∈Z，z=g(y) 成立，从而z=g(f(x))，即<x,z>∈ g○f ，即X中每 个x对应Z中某个z b)唯一性.设f○g中包含序偶<x,z1>和<x,z2>,则必 存在y1,y2∈Y，使得<x,y1>,<x,y2>∈f，<y1,z1>、 <y2,z2>∈g,因为f是一个函数，故y1=y2,再由g是一 个函数，故z1=z2
27
例2(3)
例2: (3) A={a,b,c}, B={1,2,3}, f1={<a,1>,<b,2>,<c,3>}, f2={<a,1>,<b,3>,<c,2>}, f3={<a,2>,<b,1>,<c,3>}, f4={<a,2>,<b,3>,<c,1>}, f5={<a,3>,<b,1>,<c,2>}, f6={<a,3>,<b,2>,<c,1>}.
2
例1
例1: 设 A={a,b}, B={1,2}, 求A→B. 解: |A|=2,|B|=2,|A×B|=4,|P(A×B)|=24=16. f0=∅, f1={<a,1>}, f2={<a,2>}, f3={<b,1>}, f4={<b,2>}, f5={<a,1>,<b,1>}, f6={<a,1>,<b,2>}, f7={<a,2>,<b,1>},f8={<a,2>,<b,2>}. A→B = {f0 ,f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f 5,f6 ,f7 ,f8}. # 非函数: {<a,1>,<a,2>}, {<b,1>,<b,2>}, {<a,1>,<a,2>,<b,1>},…
20
双射
21
函数性质
设 f:A→B, 单射(injection): f是单根的 满射(surjection): ran f=B 双射(bijection): f既是单射又是满射, 亦 称为一一对应(one-to-one mapping).
非单射 非满射
22
例
判断下述函数是否为单射，满射，双射
函数f: 函数f: 函数f: 函数f: N→N，f(n)=2n 单射但非满射 N→N，f(2n)=n， f(2n+1)=n满但非单 单射但非满射 N→N，f(n)=n+1 双射 Z→Z，f(n)=n+1
31
特殊函数
常数函数: ∀x∈A, f(x)=b∈B 恒等函数: IA:A→A, IA(x)=x 特征函数: χA:E→{0,1}, χA(x)=1⇔x∈A 单调函数: f:A→B, <A,≤A>,<B,≤B>偏序 集, ∀x,y∈A, x≤Ay ⇒ f(x)≤Bf(y) 单调增, 单调减, 严格单调 自然映射: R为A上等价关系, f:A→A/R, f(x)=[x]R.
10
例1
例1: 设 A={a,b}, B={1,2} 解: X中任何元都有象dom f=A; f1={<a,1>}, f2={<a,2>, <b,1>}, f3={<b,1>,<b,2>, <a,1>}, 唯一象 f4={<a,1>,<b,1>},
11
函数相等
定义2：设函数f:A→B，g:C→D，如果 A=C，B=D，且对于所有x∈A和x∈C有 f(x)=g(x)，则称函数f和g相等，记作 f=g。 函数是序偶的集合，故两个函数相等可 用集合相等的概念予以定义。