复变函数论及其应用9解读
完整版本复变函数学习知识点梳理解读
第一章 :复数与复变函数这一章主假如解说复数和复变函数的有关观点 ,大多数内容与实变函数近似 ,不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法 ,其实就是把表示形式变来变去 ,方便和其余的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识 ,加减乘除 ,乘方开方等。
主假如用新的表示方法来解说了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替代成复数 ,因为复数的性质 ,因此平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点 ,一一映照到球面上 ,意义是扩大了复数域和复平面 ,就是多了一个无量远点 ,此刻还不知道有什么意义 ,猜想应当是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标 ,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标 ,因此看起来仿佛是映照在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性同样。
第二章 :分析函数这一章主要介绍分析函数这个观点 ,将实变函数中导数、初等函数等观点移植到复变函数系统中。
一、分析函数的观点介绍复变函数的导数 ,近似于实变二元函数的导数,求导法例与实变函数同样。
所谓的分析函数 ,就是函数到处可导换了个说法 ,并且只合用于复变函数。
而复变函数能够分析的条件就是 : μ对 x 与ν对 y 的偏微分相等且μ对 y 和ν对 x 的偏微分互为相反数 ,这就是柯西黎曼方程。
二、分析函数和调解函数的关系出现了新的观点:调解函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而分析函数的实部函数和虚部函数都是调解函数。
而知足柯西黎曼方程的两个调解函数能够构成一个分析函数 ,而这两个调解函数互为共轭调解函数。
三、初等函数和实变函数中的初等函数形式同样,可是变量成为复数 ,因此有一些不同的性质。
第三章 :复变函数的积分这一章 ,主假如将实变函数的积分问题,在复变函数这个系统里进行了系统的转化 ,让复变函数有独立的积分系统。
复变函数论总结
复变函数论总结摘要：对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换。
关键词：复数；导数；解析；积分；柯西公式、定理；幂级数展开；留数；傅立叶积分与傅立叶变换1引言《复变函数论主要内容》第一章复变函数 complex function第二章复变函数的积分 complex function integral第三章幂级数展开 power series expansion第四章留数定理 residual theorem第五章傅立叶变换 Fourier integral transformation第一章复变函数§1.1 复数及复数的运算§1.2 复变函数§1.3导数§1.4解析函数§1.1 复数及复数的运算1．复数的概念的数被称为复数，其中。
；；ｉ为虚数单位，其意义为当且仅当时，二者相等复数与平面向量一一对应ｚ平面虚轴ｙ. （ｘ，ｙ）ｒｘ实轴模幅角 (ｋ)注意：复数“零”（即实部和虚部都等与零的复数）的幅角没有明确意义2．复数的表示代数表示三角表示指数表示一个复数ｚ的共轭复数注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差3．无限远点在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复平面上的一点对应，而且称这一点为无限远点，我们把无限远点记作，它的模为无限大，幅角则没有明确意义4．复数的运算复数的加法法则：复数与的和定义是两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律，且，当同一方向时等号成立。
复数的减法法则：且有复数的乘法法则：乘法的交换律、结合律与分配律都成立复数的除法法则：注意：采用三角式或指数式比较方便。
复变函数论.ppt
• 证： 取
f z at z nt
z a0 z n at1z nt1 at1z nt1 an
易验证在单位圆周上，有
f z z
• 依儒歇定理知 pz f z z
在单位圆内的零点，与 f z at z nt 在单位圆一样多，即 n t 个。
辅导课程十八
§3 辐角原理与儒歇定理
• １ 对数残数与辐角原理
形如
1
2i
f f
zzdz
的积分称为对数残数
n • 引理6.4 （1）设 a 为 f z 的
a 级零点，则 必为函数 f z 的
f z
一级极点，且
Rzeas
f f
z
z
n
• （2）设 b 为 f z 的 m 级极点，
• 例6.14 试证：当 a e 时，方程
e z az n 0
在单位圆 z 1 内有 n 个根。
• 证： 在单位圆周 z 1 上，有 az n a e e z eRe z e z e az n e z
• 由儒歇定理
N en azn，z 1 N azn，z 1 n
• （2） 在 C 上， f z z
则 N f ,C N f ,C
例6.13 设 n 次多项式
pz a0 z n at z nt an a0 0
合条件
at a0 at1 at1 an
则 pz 在单位圆 z 1 内有 n t 个
f z f z
z
n
a
g z gz
因右端第二式解析，故 a 为 f z 的 一级极点，且（1）式成立。 f z
【复变函数论】全套课件
1
znn|来自z |[cos(1Argz)
i sin( 1
Argz)]
n
n
n | z |[cos(1 arg z 2k ) i sin(1 arg z 2k )]
n
n
n
n
可以看到，k=0,1,2,…,n-1时，可得n个不同的
值，即z有n个n次方根，其模相同，辐角相差
一个常数，均匀分布于一个圆上。这样，复
z1 x1 iy1 x1 iy1 z1
三角表示的乘法：
利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示 复数的乘法与除法 ，设
z1 | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1)
z2 | z2 | (cos Argz2 isin Argz2)
则有 z1z2 | z1 || z2 | [cos( Argz1 Argz2 )
(a1 ib1)(a2 ib2 ) (a1a2 b1b2 ) i(a1b2 a2b1)
(a1 (a2
ib1) ib2 )
a1a2 a22
b1b2 b22
i
a2b1 a1b2 ) a22 b22
复数在四则运算这个代数结构下，构成一个
复数域(对加、减、乘、除运算封闭），记为 C，复数域可以看成实数域的扩张。
例2 则，z1z2 (x1iy1)(x2 iy2 )
(x1x2 y1y2 ) i(x1y2 y1x2 ) (x1x2 y1y2 ) i(x1y2 y1x2 ) [x1x2 ( y1)( y2 )] i[x1( y2 ) ( y1)x2 ] (x1 iy1)(x2 iy2 ) z1z2
| z1 / z2 || z1 | / | z2 |
Arg(z1 / z2 ) Argz1 Argz2
复变函数论
2. 复数的乘幂
定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂，
记作z n，即z n=zzz（共n个）.
设z=re iθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证 明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ.
特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isin nθ，则有
2
22
sin
2
sin
2
i
cos
2
2 sin
2
cos
2
2
i sin
2
2
2 sin
ei
2
2
2
例4 用复数方程表示:
（1）过两点zj=xj+iyj (j=1,2)的直线；
y
(z)
L z1 z
z2
复数加、减法的 几何表示如右图：
y
z2
z1 z2
z2
0
z1 x
z1 z2 z2
关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 | (2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 || (3) | z1 z2 || z1 | | z2 | (4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
定义
-----De Moivre公式.
zn
1 zn
复变函数论第三版钟玉泉ppt 3 shu-PPT精品文档79页
第一节 复积分的概念及其简单性质
29.09.2019
1
1.有向曲线:
简单曲线（Jordan曲线）： 无重点的连续曲线
光滑曲线：处处有切线,且切线随切点的移动而 连续转动的曲线
逐段光滑曲线：有限条光滑曲线衔接而成的连 续曲线
重点
重点
29.09.2019
重点
2
在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概 念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点 和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是 这样规定的：
(1) 曲线C是开口弧段，
若规定它的端点P为起点，Q为终点，则
沿曲线 C 从 P 到Q 的方向为曲线C的正方向
把正向曲线记为C或C+.
y
BQ
而由Q到P的方向称为C的负方向, AP
负向曲线记为 C.
o
x
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3
(2) 如果 是简单闭曲线，规定人沿着曲线边 界行走时C ，区域内部总保持在人的左侧为正方 向，因此，逆时针方向为正方向，顺时针方向 为负方向．
o
1
19
（1）连接由点O到点1i的直线段的参数方程是
z (1i)t (0 t 1)
故CRezdz 01Re(1i)t(1i)dt
(1i)
1
tdt
1
i
0
2
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20
（2）先沿着正实轴从 O到1，再沿着平行于
虚轴的方向从 1到1 i
先沿着正实轴从 O到1，连接 0与1的直线段的参数方程为
5, 93
25
故
从而 1 dz C z i
1 dz 25.
复变函数的应用
复变函数的应用复变函数的应用数学与应用数学班数学是一门很抽象的学科，而复变函数更是如此，如果直接想象很难和实际联系起来。
经过两年的大学学习就目前学习的知识而言，感觉和复变函数联系比较紧密的是有两方面，一是电流方面；二是在信号方面。
我们日常中的电流都是交流三相的，而相位如果通过三角函数计算的话较为复杂和抽象，很多工程问题无法解决，引入虚数则较大简化了计算的过程，是很多工程问题迎刃而解。
可以通过RCL电路我们也用虚数去处理相角关系，但电感本身并不是虚的。
这是人为的定义，但这也在一定意义上揭示了虚数有可能存在的某些物理特征。
成功而且巧妙的解决了电流的相位问题。
我们打电话，发短信是通过电磁波传递信号，在信号方面也极大的应用了复变函数。
信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。
模值|z|表示信号的幅度，辐角arg(z）表示给定频率的正弦波的相位。
利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。
这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：其中ω对应角频率，复数z包含了幅度和相位的信息。
于是当我们要的信息得以传递。
所以，不管是我们使用家用电器，用手机问候远方的朋友，还是使用卫星电视观看电视剧，我们无时无刻不在接触着这位很抽象而无处不在的朋友——复变函数。
一、复变函数的简介复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况,它的一般形式是：bia ，其中i是虚数单位。
多复分析是数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，它和单复变函数有着很强的渊源，但其特有的困难和复杂性，导致在研究的重点和方法上，都和单复变函数论有明显的区别.因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性质的逐步的转移.它广泛地使用着微分几何学、代数几何、拓扑学、微分方程等相邻学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域。
复变函数解析的判定及其应用【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学复变函数解析的判定及其应用一、前言部分为了使负数开平方有意义，16世纪中叶意大利数学家卡尔丹引进了虚数，再一次扩大了数系，使实数域扩大到复数域。
关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉（Euler）作出的，他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上。
用符号“i”作为虚数的单位，也是他首创的。
19世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西（Cauchy）、德国数学家黎曼（Riemann）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）的巨大努力，形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学、解析数论、微分方程、概论统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同时，它在热力学、流体力学和电学等方面也有很多的应用。
20世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其他分支的联系也日益密切。
致使经典的复变函数理论，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用。
并且，还开辟了一些新的分支，如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论和拟共形映射等。
另外，在种种抽象空间的理论中，复变函数还常常为我们提供新思想的模型。
复变函数研究的中心对象是所谓解析函数。
因此，复变函数论又称为解析函数论，简称函数论。
解析函数是在某一区域内处处可微的复变函数[1]。
除了用定义判定一个复变函数是否解析之外，经过中外数学家将近两百年的不懈努力，还研究出了复变函数在区域内解析的其他各种判别条件，包括充分条件，必要条件和充要条件。
此外，研究解析函数自然也少不了要研究其性质。
通过本课题的研究，旨在全面总结复变函数解析的判定，解析函数的性质以及解析函数在积分、微分、幂级数展开以及留数运算中的诸多应用。
本文基于复变函数的一般理论，参考国内外相关文献，就解析函数的历史背景、相关应用和研究相关问题的方法进行综述。