复变函数第四章(第九讲)

设{zn } { xn iyn }是一复数列， a bi,
若 0, N N,当n N时, | zn | , 则称复数列 { zn }当n 时以为极限 也称 zn }收敛于 。记为 , {
lim z n , 或 z n , ( n )。
n 1
绝对收敛与条件收敛 定理 4.1.3 若级数
| z
n
| 收敛, 则级数 zn收敛。
定义 4.1.3 若级数 | z n | 收敛, 则称级数 z n 绝对 收敛。若级数 | z n |发散, 级数 z n 收敛，则称 级数 z n条件收敛。
否绝对收敛？ 例4.1.2 下列级数是否收敛？是
n 1

若z0 D, 级 数 f n ( z0 ) 发 散, 则 称z0为 f n ( z ) 的
n 1 n 1


一个发散点。
收敛域 :
称级数
f
n 1

n
(z) 的全体收敛点组成的集合
为其收敛域。
和函数: 设
f
n
(z ) 的定义域为D, ED为级数的

收敛域, 则在E上定义了函数：
n n
lim z n 0.
n
注: 定理4.1.1给出了复极限与实极限的关系, 由 此可以将复极限问题转化为实极限问题来研究。
2. 复数项级数的概念
复数项级数 设{ zn }为一复数列，称下列无穷形式和
z1 z2 zn
S n zk z1 z2 zn
s( z ) f n ( z ), z E;
称s(z)为级数
f
n 1

n 1
n
( zLeabharlann Baidu)的和函数。
zn 1 z z2 zn 例4.1.4 求级数
n 0

的收敛域与和函数。
解 级数的部分和函数为
1 zn S n ( z ) z k 1 z z 2 z n 1 , ( z 1) 1 z k 0 1 zn 1 s ; 当|z|<1时，( z ) limS n ( z ) lim n n 1 z 1 z 当|z|≥1时， lim S n ( z )不存在;
n 1
n
所以级数的收敛域为E={z | |z|<1}; 和函数为 1 s( z ) , z E。 1 z
§4-2 幂级数

1.幂级数及其收敛半径、收敛圆 2. 幂级数在收敛圆内的性质
1.幂级数及其收敛半径、收敛圆
幂级数
定义 4.2.1
n 0
形如
cn ( z z0 )n c0 c1 ( z z0 ) c2 ( z z0 )2 cn ( z z0 )n


3. 收敛级数的性质
线性性质
设 zn s, wn t , , C , 则
n 1 n 1
n 1 n 1

( z
n 1


n
wn ) s t zn wn。
余项的敛散性
级 数 zn增 加 、 减 少 或 改 变 有 项 不 改 变 级 数 限
( 6 5i ) n (1) 8n n 1

cos in ( 2) n 2 n 0
n

in ( 3) n 1 n

(1)
n 1

( 6 5i ) ( 6 5i ) 61 n ( ) 绝对收敛 n 8 8 8 n 1 n 1 n
cos in 1 e n e n ( 2) n ( ) n 2 2 n 0 n 0 2

发散
n n cos sin in 2 i 2 ( 3 ) n n n 1 n n 1 n 1
条件收敛 .
否绝对收敛？ 例4.1.3 下列级数是否收敛？是
1 i (8i )n (1) (1 ) (2) n n 1 n n 0 n!


(1)n i (3) ( n) n 2 n 1
n 1
的发散点, 称R为此幂级数的收敛半径。
n 1
cn ( z z0 )n 的收敛半径, 则称集合 若R是幂级数
n 1

D={z | |z－z0|< R}为幂级数的收敛圆。 收敛半径的求法 定理4.2.2 (比值法) cn1 , 则 若 lim n c n
(1) 当＝0时, R ;
n 0
收敛半径与收敛圆 定理4.2.1 (Abel定理) 若幂级数 cn z 在z=z0(z0≠0)
n n 1
处收敛, 则适合 |z|<|z0|的 一切z均为这一幂级数的
cn z n 绝对收敛点;若
n 1
z1
y
z0
O x
在z=z1处发散, 则适合
|z| >|z1|的一切z均为这
设级数
z
n 1

n
收敛, 则
( z1 zn1 ) ( zn1 1 zn2 ) ( znk 1 znk1 )
也收敛且和不变。 注: 收敛级数可以任意添加括号, 但不能任意去括号； 发散级数则不可随意添加括号。
收敛级数的必要条件
设级数 z n 收敛, 则 lim z n 0。 n


注：定理4.1.2表明由实级数的性质可以平行地得到 复级数的性质；复级数的审敛问题可以转化为实级 数的审敛问题。
1 1 例 4.1.1 研究级数 i n 的敛散性 。 2 n 1 n
1 解 由实级数敛散性判别可知, 调和级数 n 发散, n 1 1 等比级数 n 收敛, 由定理4.1.2可知题设级数发散。 n 1 2

1 1 1 i 解 (1) 发 散 ， 2 收 敛 ， (1 )发 散. n n n 1 n n 1 n 1 n
( 2)
n 0


n n 8i 8 ( 8i ) 收敛， 绝对收敛。 n! n 0 n! n 0 n!
n
(1)n 1 (1)n i (3) 收敛， n 收敛， ( n )收敛. 2 n n 2 n 1 n 1 n 1
( 1)n 又 条 件 敛， 原 级数 非 绝对 收 敛 收 . n n 1

4. 复函数项级数及其收敛域
复函数列: 设 f n(z) ( n=1,2, …)是定义在D上的复变 函数, 称{f n(z)}为定义域是D C的复函数列。 复变函数项无穷级数: 设{f n(z)}的定义域为D C; 称无穷形式和 f 1(z)+ f 2(z)+…+ f n(z)+…为定义在D
第四章 级数
§4-1 复数项级数与复函数项级数 §4-2 幂级数 §4-3 Taylor级数
§4-4 Laurent级数
§4-1 复数项级数与复函数项级数

1. 复数项数列的极限 2. 复数项级数的概念
3. 收敛级数的性质
4. 复函数项级数及其收敛域
1. 复数项数列的极限
定义 4.1.1
( 3 ) 当0 时, 收敛半径 R
1

。
例4.2.1 求下列幂级数的收敛半径, 并讨论其收敛圆 边界上的敛散性。 zn ( z 2)n (1) 2 ; (2) ; (3) n! ( z 1 i )n。 n n 1 n n 1 n 0 1 解 (1) 幂级数的系数c n 2 , 根据比值法, n cn1 n2 lim lim 1, 2 n c n ( n 1) n
n 1
的 敛 散 性特 别 地 ;
级 数 zn与 其 余 项 zk 有 相 同 的 敛 散 性 。
n 1 k n
注：由此性质可知级数审敛时, 可以简记为
z 。
n
但是收敛级数增加、减少或改变有限项后所得到 的级数的和一般会发生变化, 因此级数求和时不
能采用这种简记法。 收敛级数的次结合性

在R>0,使得C R： R成为 z
绿、黄两种颜色的分界线。
z0

R z0 z0
cn ( z z0 )n 在复平面上处处 定义4.2.2 (1) 若幂级数
n 1

收敛,则称收敛半径为R=+∞; (2)若幂级数 cn ( z z0 )n 除了中心z0收敛外, 在复平面
n 1
上其余点处处发散,则称收敛半径为R=0; (3) 若 cn ( z z0 ) 既有z≠z0的收敛点, 又有发散点, 则
n n 1
存在R > 0, 使得一切适合|z－z0|< R的z为 cn ( z z0 )n 的
的绝对收敛点, 一切适合|z－z0|> R的z为 cn ( z z0 )n 的
n 1
若 n 的和, 记为 z n s。 lim S n不存在, 则称级数
z
n 1
n
发散。
复级数与实级数的联系 定理 4.1.2 设z n= x n+i y n, n =1,2, …, 则
z
n 1

n
s a bi xn a且 yn b。
n 1 n 1
上的复变函数项无穷级数, 简称级数, 记为
f
n 1

n
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z ) 。
收敛域与和函数
定义 4.1.4 若z0 D, 级 数
f
n 1

n
( z0 )收 敛, 则 称z0
为 f n ( z ) 的 一 个 收敛点;
y
R
z
0
(2) 当＝ 时, R 0;
O
x
( 3) 当0 时, 收 敛 半 径 R
1

。
im 定理4.2.3 (根值法) 若 l n | cn | , 则 n
(1) 当＝0时, 收敛半径 ; R (2) 当＝ 时, 收敛半径 0; R
的函数项级数称为以z0为中心的幂级数。 特别地, 当z0=0时
cn z n c0 c1 z c2 z 2 cn z n 。
n n 0

c ( z z ) 是幂级数的一般形式, 但只要作变 量代换w=z－z0, 即可化为特殊形式 c w 。
注:
n 0 n n 0 n
ni 1 ni i n 2 1)zn ; 2)zn e ; 3)zn (1 ) 1 ni 3 1 n2 2n i , 解 1) z n 2 2 1 n 1 n 2 2n 1 n 0 xn 1, yn 2 2 1 n 1 n
zn 1 (n )
一幂级数的发散点。
1) 只在z=z0收敛 2) 在复平面的每 一点都收敛 3)既有z≠z0的收敛 点又有发散点
收敛的几种情形
既有z≠z0的收敛点又有发散点时,将收敛部分涂为 绿色,发散部分涂为黄色, 逐渐变大,在C内部 都是绿色, 逐渐变小, 在C 外部都是黄色，
绿、黄色不会交错。 故存
n n 2) zn cos i sin 2 2
极限不存在

n
i n 2 6 i 3) zn (1 ) ( )e 3 3
3 n n 3 n n ( ) cos i ( ) sin 2 6 2 6
lim x n lim yn 0,
k 1 n
为无穷复数项级数, 简称为级数, 简记为 z n ; 称
n 1

为级数的部分和。
收敛与发散 定义 4.1.2 设{Sn}为级数 z n 的部分和数列, 若
n 1 n
lim S n s , 则称级数 n
n 1
z
n 1
收敛, 称s为级数 z n
n
定理 4.1.1
{ zn } { xn iyn }收敛于 a bi的
充要条件是xn }收敛于 且{ yn }收敛于 。即 { a b
lim z n lim xn a且 lim yn b。
n n n
例4.1.1 下列序列是否收敛,若收敛求其极限