计量经济学课件教案第三章_概率论

第三章概率论神看到未来的事情，平凡人看到眼前的事情，聪明人看到即将发生的事情。

案例3-1：赌博据考古发现，五千年前的古埃及就开始有玩骰子游戏了，现今保存下来的最早的是4500年前一个叫乌尔的国王游戏，你可以到下述网址上一试身手。

/tombs/challenge/cha_set.html1000年前，人们开始玩20方块游戏。

大约在公元前63到公元前14年古罗马皇帝奥古斯都.凯撒在他的一封信中曾写到：我一整天都在玩骰子。

然而，人们赌博的历史很长，但概率论的历史却相当地短。

部分原因在于，古人认为随机事件的出现是上帝意志的体现，人们没有必要去寻找事件出现的规律。

直到文艺复兴时期的数学家卡尔达诺（cardan，1501-1576）出现，他是一个医生、占星家，也是一个赌徒，他写了一本书，叫《游戏机遇的学说》，又名《大术》。

他写到：“把一个骰子掷三次，得到某一给定点数的可能性至少是50%1”。

他还写到：“用两个骰子掷出10的概率是0.5”，“两个骰子共有36个结果”。

同时他还认为一个人的运气能决定一个随机事件的结果。

更闻名的科学家伽利略（Calileo,1564-1642）也对随机事件的规律性感兴趣，“为什么投三个骰子时，10和11出现的频率要比9和12大”？他采用列举的办法进行了证明。

而真正的概率论始于法国数学家费马（1601-1665）与帕斯卡（1623-1642）的通信，帕斯卡18岁时就发明了机械计算机并卖出好几台，他参加了历史上最有名的一个数学俱乐部讨论各种新思想，而费马则通晓5种语言，同时和许多当最最优秀的数学家通信。

1654年，十分热衷赌博的法国贵族梅雷向帕斯卡提出了著名的赌金分配问题。

问题是这样的：一次梅累和赌友掷散子，各押赌注32个金币。

梅累若先掷出三次“6点”，或赌友先掷出三次“4点”，就算赢了对方。

赌博进行了一段时间，梅累已掷出了两次“6点”，赌友也掷出了一次“4点”。

这时，梅累奉命要立即去晋见国王，赌博只好中断。

那么两人应该怎样分这 64 个金币的赌金呢？赌友说，梅累要再掷一次“6点”才算赢，而他自己若能掷出两次“4点”也就赢了。

这样，自己所得应该是梅累的一半，即得 64 个金币的三分之一，而梅累得三分之二。

梅累争辩说，即使下一次赌友掷出了“4点”，两人也是平分秋色，各自收回32个金币，何况那一次自己还有一半的可能得16个金币呢？所1这一论断对吗，请论证。

以他主张自已应得全部赌金的四分之三，赌友只能得四分之一。

公说公有理，婆说婆有理。

梅累的问题居然把巴斯卡给难住了。

他为此苦苦想了三年，终于在1654年悟出了一些眉目。

于是他把自己的想法写信告诉他的好友，当时号称数坛“怪杰”的费尔马（Fermat,1601-1665)，两人对此展开了热烈的讨论。

后来荷兰数学家惠更斯（Huygens,1629-1695）也加入了他们的探讨行列。

他们得出一致的意见是，梅累的分法是对的！惠更斯还把他们讨论的结果，载入 1657年出版的一本叫《论赌博中的计算》的书中。

这本书至今被公认为概率论的第一部著述。

梅累的分法为什么是对的？一、随机现象及其模拟（一）发生前不可预知随机现象的第一个特点：在发生前不可完全预知。

你知道自己将来会成为一个什么样的人吗？明年毕业的时候你将会去做一份什么样的工作？下一分钟的股指会涨还是跌？人生的迷人之处就在于，“生活就像一盒巧克力”，你永远不知道下一颗是苦还是甜。

案例3-2：不能解释的随机现象约200年前后，布朗（Brown,1773-1858）访问澳州，他收集了大量标本，包括花粉，一天，用显微镜观察（0.0056mm）水中的花粉，发现花粉在水中不停地运行，花粉为什么会不停地运动呢？开始，他认为是花粉这种“有机分子”的运动，于是他改用玻璃粉、花岗石、甚至不惜到埃及收集狮身人面像的碎片来做实验，结果他发现，任何微粒的运动方式本质上都是相同的：（1）向各个方向运行可能性相同，（2）不受过去的影响，（3）不停的运动。

他还曾认为是水的流动和蒸发导致花粉的运行，于是他改为观察在油滴中的运行，结果仍然一样。

当时的科学家认为这种运动受到一个尚未发现的确定性原理的支配，如同行星轨道那样存在一个理论解释。

突破来自于伟大的物理学家麦克斯韦（Maxwell,1831-1879），这位14岁就发表论文的天才。

他思考了偶然性原理控制的现象，突破了用牛顿定理的决定论思维来描述每个分子的思维模式。

他认为气体的性质是整体的性质，只能整体进行概率描述，提出了麦克斯韦-玻尔兹曼分布定律。

此后，波兰的斯莫霍夫斯基（Smoluchowiski, 1872-1917）定量解释了布朗运运，挑战了因果论，认为布朗运动本质上是随机的，任何非随机理论都不能解释它。

随机数可以这样来理解：设想有一个非常长的数列，想象用一个计算机程序来描述这个数列，如果能描述这个数列的每个可能的程序都至少和数列本身一样长，那么数列是随机的。

即随机数列不可压缩。

随机数不可预知，不可压缩，没有任何规律。

但是我们常常需要生成一些随机数来帮助我们决策。

简单的可以抛硬币或者抓阄，但是再复杂一点呢？于是，专门有人研究出一些程序，这些程序产生出来的数据看起来毫无规律，不知“内情”的人也无法预期，所以称之为伪随机数，与真正的随机数相比，这些数实际上是可以用程序压缩的。

其中最基础性的是在0-1之间等可能取值的伪随机数。

不可预知的随机数di uniform() //生成（0，1）之间均匀分布的伪随机数的函数为uniform() di uniform()di uniform()重复上述命令，每次都能得到一个大于0小于1的随机数。

如果要生成一位数的随机数（即0，1，2，3，4，5，6，7，8，9），可以取小数点后第一位数，通常用下面的命令di int(10*uniform()) //先将原伪随机数乘10倍，再取整两位随机数(0-99)则取小数点后两位小数，即di int(100*uniform())试一试：产生一个骰子也可以同时生成多个随机数（相当于抽取样本），然后将该随机数赋给某个变量。

要注意的是，伪随机数实质上是按照一定的规律生成的。

如果给定基于生成伪随机数的初始数值（即set seed #），则对相同的初始数值，生成的伪随机数序列完全一样。

伪随机数clearset obs 10 //得到10个随机数的实现值g x1=uniform()g x2=uniform()l//注意到x1与x2不一样set seed 1234g y1=uniform()set seed 1234g y2=uniform()g y3=uniform()l//注意到y1与y2一样，但均与y3不同set seed 5634g z1=uniform()set seed 1234g z2=uniform()l//注意到z2与y1,y2一样，但z1与z2不同（二）多次重复后呈现出统计规律性一枚硬币，无法事前预测结果；掷多次，次次不同；但是还是可以在结果里面看到某种规则模式，而且只有在重复许多次后，这个模式才会清楚浮现，这个了不起的事实，就是概率概念的基础，也是赌博的理论基础。

“短期机遇现象无法预测，但是长期下来，会呈现有规则且可预测的模式。

”这是随机现象的第二个特点：在多次重复后会呈现出统计规律性。

谁能100%地事前确定骰子在某次投掷中的点数呢？但是在大量重复的投掷中其结果又具有某种规律性。

这种在个别试验中其结果呈现出不确定性；在大量重复试验（观察）中其结果又具有统计规律性的现象，称之为随机现象。

相对应的随机试验（观察），它具有下面三个特点：（1）可以在相同的条件下重复地进行，（2）每次试验的可能结果不止一个，并且事先能明确试验的所有可能结果，（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

法国的布丰掷硬币4040次，得出硬币出现正面的频率为50.69%。

英国的皮尔逊也通过两组上万次重复试验，得出出现的概率分别为50.16%和50.05%。

案例3-3:数学家掷硬币的记录科学家掷币次数正面出现频率布丰4040 0.5069棣莫根4092 0.5005杰万斯20480 0.5068皮尔逊24000 0.5005罗曼诺夫斯基80640 0.4979费勒10000 0.4923（三）蒙特卡罗仿真蒙特卡罗发生器是我成年之后见过最像玩具的东西，蒙特卡罗仿真法是研制原子弹时在洛斯阿拉莫斯（Los Alamos)实验室发展出来的。

如何计算圆周率？在一个正方形内画个圆，然后举枪对其胡乱射击，用圈内的弹孔数除以圈外的弹孔数。

随机变量是随机试验的结果的数量化，是随机试验的结果与实数间的一一映射，比如，设随机变量X为世界上下一个出生的婴儿的性别，这个结果只有两个，男和女，当为男时，定义X=1，当为女时，定义X=0。

可以这样来想像：X是实数轴上变幻不定的一个数，一会儿是1，一会儿是0。

在观察之前知道X只可能取值0和1，但特定的某次观察之前不能确定会取哪个结果，即无法预知是男还是女。

但男孩出现的机会是0.51，女孩则为0.49。

你在计划暑假去旅游，50%的可能去西藏，50%的可能去三亚，除非有严重的精神病，实在无法想像头枕在喜马拉雅山上，脚泡在南海中。

也就是数学上所说的两种状况的线性组合。

模拟下一个出生的是男孩还是女孩利用随机数字表或者电脑软件中的随机数字，来模仿机遇现象，叫模拟（simulation）。

只要你自己试试模拟随机现象几次，就会加强对概率的了解，比读很多页的数理统计和概率论的文章还有用。

学习模拟，不仅是为了解模拟本身，也是为更了解概率而了解模拟。

一旦有了可靠的概率模型，模拟是找出复杂事件发生概率的有效工具。

一个事件在重复结果中发生的比例，迟早会接近它的概率，所以模拟可以对概率做适当的估计。

如法国数学家拉普拉斯对伦敦、彼得堡、柏林和全法国的大量人口资料进行研究，发现男婴出生率总在一个数左右波动，这个数大约是22/43。

另一位统计学家克拉美引用瑞典1935年的官方统计资料，女婴出生的频率稳定在0.482左右。

1998年上海统计全市出生人口男女比率为1.04:1。

用下面的命令可以得到生男还是生女的一个模拟结果di uniform()<0.482案例3-4：神秘信件元旦时你收到一封匿名信，说这个月股市会上涨，但你不以为意。

到了2月1日，你又接到另一封信，说股市将下跌，这一次，又给那封信说中了；3月1日再接到信，情形一样，7月，你对那位匿名先生的先见之明很感兴趣，对方邀你投资某个海外基金，于是你把全部积蓄全部拿出来投资，两个月后，那些钱有如肉包子打狗。

你伏在邻居的肩膀上号啕大器，他告诉你，他也接过两封这种神秘信，但寄到第二封就停了。

他说，第一封信的预测正确，第二封不正确。

这是怎么一回事？原来，那些骗子从1万个人名中寄出后市看小组长的信给其中一半的人，看跌的给另一半的人，一个月后，将有5000人接到的信预测正确，然后才针对这5000人如法炮制，如此直到名单上剩下500人，其中有200人会上当，骗子只花了几千元的邮资，取赚进数百万元。