推迟势

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电动力学-第五章-电磁波辐射

频率越高，辐射场强越大。
3）辐射场振幅与R成反比，即辐射场随着R的增加而衰减。这个
衰减并不是介质损耗引起的，而是球面波波阵面的扩张所致。
4）辐射场不仅与距离有关，还随sin变化。在 =00或θ = 1800方
向上，辐射场为零；在 = 900方向上，辐射场有最大值。即
天线辐射具有方向性。
21
物理与电子工程学院张福恒
物理与电子工程学院张福恒
电动力学
第五章电磁波的辐射
电偶极射场有以下特性：
1）辐射场是沿径向方向传播的电磁波，E×H的方向为电磁波
传播方向；电场和磁场在空间各点同相位，且电场与磁场相
互垂直；在R为半径的球面上各点，电场相位相等，磁场相位
也同样相等，因此辐射场是球面TEM波。
2）辐射场强度与频率平方成正比，即在其它条件不变条件下，
电动力学
第五章电磁波的辐射
§2 推迟势
电磁场的势实际上是四个相似的标量方程组。因此，只要求解其中一个方程，其它方程的解也即可得到。我们首先求标势方程的解。标势方程的解可用下面的方法求得。
见5-2附页
A(x,t) 0 J(x,t r / υ) dV
4 V
r
10
物理与电子工程学院张福恒
d dt

R c

dp t
dt

0 4 Rc
d2 pt
dt
eR
17
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电动力学
而，
第五章电磁波的辐射
E ( x, t )

ic k

B( x, t )

cB(x,t) eR
主这样，我们得到电偶极辐射场计算式：

电动力学习题

电动力学复习题一．填空1．a 、k 及0E 为常矢量，则)]sin([0r k E ⋅⋅∇= , )]sin([0r k E ⋅⨯∇= 。

2．真空中一点电荷电量)sin(0t q q ω=，它在空间激发的电磁标势ϕ为。

3. 电磁场能流密度的意义是，其表达式为。

4．波矢量αβ i k +=,其中相位常数是，衰减常数是。

5．电容率ε'=ε+i ωσ,其中实数部分ε代表电流的贡献，它不能引起电磁波功率的耗散，而虚数部分是______电流的贡献，它引起能量耗散。

6. 矩形波导中，能够传播的电磁波的截止频率22,,⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=b n a m n m c μεπω，当电磁波的频率ω满足时，该波不能在其中传播。

若b >a ，则最低截止频率为。

7．频率为91030⨯Hz 的微波，在0.7cm ⨯0.4cm 的矩形波导管中，能以波模传播。

8．爱因斯坦质能关系为。

如果两事件只能用大于光速的信号进行联系，则这两事件（填：一定不存在/一定存在/可能存在）因果关系，原因是是一切相互作用传播的极限速度。

9．电荷守恒定律的微分形式为，其物理意义为；积分形式为，其物理意义为。

10．a 为常矢量，则=⋅∇)(r a , r a )(∇⋅= 。

12. 磁偶极子的矢势)1(A 等于；标势)1(ϕ等于。

13．B =▽⨯A ,若B 确定，则A ____（填确定或不确定），A 的物理意义是。

14. 变化电磁场的场量E 和B 与势),(ϕA 的关系是E = ，B = 。

15．库仑规范的条件是，在此规范下，真空中变化电磁场的标势ϕ满足的微分方程是。

16．静电场方程的微分形式为、 _。

电四极矩有个独立分量。

17. 半径为0R 、电容率为ε的介质球置于均匀外电场中，则球内外电势1ϕ和2ϕ在介质球面上的边界条件可以表示为和。

18．金属内电磁波的能量主要是能量19．良导体条件为；它是由和两方面决定的。

电动力学课件 5.2 推迟势

r Qt c r , t 即证明了 4 0 r
10
五、证明推迟势满足洛伦兹条件
r 证明：令 t t t t , x , x c
A x, t
0 4

V
r J x , t c dV r
0 A x, t 4 0 4
1 2 1 2 r c 2 t 2 0 r 2 r r
2 2 u u u 2u r r 2 r 2 r r r r r r 2 2 u 1 u 因此可得到关于u的一维空间的波动方程 2 2 0 2 r c t
再根据δ函数的性质，当积分包含原点时有
x dV 1
V
因此有
r Q t 2 1 2 1 c Q t x 2 2 c t 4 0 r 0
2 1 1 2 Q ( t ) ( x ) 满足波动方程 2 2 c t 0
r
Q 4 0 r
任一时刻、位于坐标原点处的点电荷所辐射的标势为
r r Q t Q 0, t c c x, t 4 0 r 4 0 r
4
位于x’ 处点电荷的辐射标势为
r Q x , t c x, t 4 0 r
给定
非齐次波动方程
矢势和标势所满足的方程具有对称性，因而具有相同形式的解，故只需求出标势的方程的解即可通过类比得到矢势的方程的解。
达朗贝尔方程是线性的，反映了电磁场的叠加性，故时变电磁场中的矢势和标势均满足叠加原理。可将电荷系统分解成许多电荷元，分别求出每个电荷元的贡献再叠加，最终求得方程的解。

大学物理-波动方程的基本解推迟势与超前势

X 处δ 所激发的势，其定解问题为则式 (11.4.5) 可简写为
(11.4.3) (11.4.4) (11.4.5)
(11.4.6)
(2) 求像函数 G (X, t；X' ,t ') 。作变量代换 r = X – X' ，r = | X – X' |
(11.4.7)
原先点源位于 X' ，作变换后，点源位于球坐标 (r, θ , φ) 的原点 (如图11.4.1)。
(11.4.11) (3) 求像原函数 G (X, t；X' ,t ') 。由拉氏逆变换可得
令 p =σ+ iβ，并利用δ 函数的傅里叶展开，上式可写为
(11.4.12)
最后的等式是利用了δ 函数如下性质 f (t)δ(t – t0) = f (t0)δ(t – t0)
现在令
，由易见，再将r = | X – X' | 代入式 (11.4.12)，并采用记号 G(±) 与等
利用高斯定理及δ 函数的性质可得： (11.4.10)
将式 (11.4.9) 代入式 (11.4.10) 第一项，作梯度运算后，利用 dS = r2 sinθdθdφ 可证
将式 (11.4.9) 代入式 (11.4.10) 第二项，利用可证将上两式代入式(11.4.10)，便有
将
代入式 (11.4.9)，得
(11.4.19)
用已知条件表示 u (x,t)。现只讨论 G = G (–) 的情形。由式 (11.4.13) 可得
(11.4.20)
(11.4.21)
为后面计算的方便，引入 r' = x' – x = – r，即 x' = x + r' 显然，r 的端点在 x'，终点在 x；而 r' 的端点在 x，终点在 x' 。但两者的长度相等 r' = |r' |= |– r|= r 。

大学物理-波动方程的基本解推迟势与超前势例题

n (x)
以此代入(7)式，并利用ka=p，就有
L
n1
p
n*( ) 2 2na
2
n
(
x)e
p
现在对L(p)做拉普拉斯反演。利用
和线性e定 p理 L与1 卷(t积定),理，p可2 1得2na2
L1
1
na
sin
nat
G(t)
n* (
n1
)n
(
)
1
na
sin
nat
*
(t
)
n* (
n1
)n ( )
X
(0)
X
(l)
0
这是一个本征值问题，易于求得其归一化的本征函数为
X
(x)
n (x)
2 l 1
cos n x
这里
n
n
l
l
(n 1,2,)
(5)
(n 0)
由以上，按叠加原理，可将方程(1)的解写为
G(x, t) Ane2na 2t (x)
(6)
其中An由初条件确定。 n0
由初条件(2)，有
第十一章格林函数法
11.3 波动方程的基本解推迟势与超前势
例1 试求有源波动问题
a2uxx utt f (x,t) (0 x l,t 0)
(1)
u 0, t0
ut t0 0,
(2)
u 0,
u 0,
(3)
的格林函数。x0
xl
解：本问题对应的格林函数满足下面的定解问题：
a2Gxx Gtt f (x,t) (0 x l,t 0) (4)
G(x,t; , )
* n
(
)e

电动力学第五章

k •r
t
)
ei
(
k
•r
t
)
0
A
A ei(k •r t ) 0
ei
(
k
•r
t
)
0
由Lorentz规范条件 • A
ik
•
A
1 c2
(i )
0
1 c2
t
0
得
c2
k
•
A
由此可见，只要给定了 A，就能够拟定单色平面电磁波。
B
A
ik
A
ik
(
A横
A纵
)
ik
V
(r,t R )
c dV
4 0 R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
a) 和 A是分布在有限体积内旳变化电荷和变化电流在空间任意点激发旳标势和矢势。
b)电荷密度和电流密度中旳时刻是t R c ，而不是 t 这阐明 t R c时刻 r 处电荷或电流产生旳场并不能在同一时刻就到达r 点，而是需要一种传播时
1 c2
2A t 2
0J
达朗贝尔方程
A
和
分别
满足有源旳波动方程
例：求单色平面电磁波旳势。
单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布旳自由空间中传播旳，因而势旳方程（洛伦兹规范，达朗贝尔方程）变为齐次
波动方程：
2
1 c2
2
t 2
0
2 A
1
2A 0
c2 t 2
其平面波解为：
A
A0ei
(
(r
•
j
•
j)j•ຫໍສະໝຸດ 1 R]dV•

电动力学复习题库02(修改)

三、简答题1. 电磁场理论赖以建立的重要实验及其重要意义。

2. 静电场能量公式12e W dV ρϕ=⎰、静磁场能量公式12m W J AdV =⋅⎰的适用条件。

3.静电场能量可以表示为12e W dV ρϕ=⎰，在非恒定情况下，场的总能量也能这样完全通过电荷或电流分布表示出来吗为什么4. 写出真空中Maxewll 方程组的微分形式和积分形式，并简述各个式子的物理意义。

5. 写出线性均匀各向同性介质中麦克斯韦方程微分形式和积分形式，其简述其物理意义。

6.电象法及其理论依据。

答：镜像法的理论基础（理论依据）是唯一性定理。

其实质是在所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在的“像电荷”代替真实的导体上的感应电荷或介质中的极化电荷对场点的作用。

在代替的时候，必须保证原有的场方程、边界条件不变，而象电荷的大小以及所处的位置由Poisson 方程和边界条件决定。

7. 引入磁标势的条件和方法。

|答：在某区域内能够引入磁标势的条件是该区域内的任何回路都不被电流所链环，就是说该区域是没有自由电流分布的单连通区域。

若对于求解区域内的任何闭合回路，都有则引入φm ， 8. 真空中电磁场的能量密度和动量密度，并简述它们在真空中平面电磁波情况下分别与能流密度及动量流密度间的关系。

9. 真空中和均匀良导体中定态电磁波的一般形式及其两者的差别。

10. 比较库仑规范与洛伦兹规范。

11.$12.分别写出在洛仑兹规范和库仑规范下电磁场标势矢势所满足的波动方程，试比较它们的特点。

13. 写出推迟势，并解释其物理意义。

答：推迟势的物理意义：推迟势说明电荷产生的物理作用不能立刻传至场点, 而是在较晚的时刻才传到场点, 所推迟的时间r /c 正是电磁作用从源点x ’传至场点x 所需的时间, c 是电磁作用的传播速度。

14. 解释什么是电磁场的规范变换和规范不变性答：设ψ为任意时空函数，作变换ψ∇+='→A A A ，t∂∂-='→ψϕϕϕ /有B A A =⨯∇='⨯∇，E tAt A =∂∂--∇=∂'∂-'∇-ϕϕ,0d =⋅⎰Ll H 0=⨯∇H mH ϕ-∇=V rc r t t '-'=⎰d )/,(4),(0x J x Απμ即()ϕ'',A 与()ϕ,A 描述同一电磁场。

_推迟势_17p

5-1 矢势标势
c
7
辐射场某点的势决定于较早时刻的电荷电流分布，荷电流分布，称为推迟势称为推迟势一个电荷电流系统 t 时刻，时刻，在空间x 点的势（点的势（电磁场）电磁场）不是决定于某个时刻的电荷分布电磁作用传播速度为c，其他一切相互作用都是以有限速度传播的，度传播的，不存在瞬时超距作用推迟势的重要性在于说明了电磁作用是以有限速度 υ = c 向外传播的，向外传播的，它不是瞬时超距作用。它不是瞬时超距作用。 1 即: 电荷、电荷、电流辐射电磁波, 而电磁波以速度 c = µ0ε 0 脱离电荷、脱离电荷、电流向外传播。电流向外传播。这就是推迟势所描写的物理过程。这就是推迟势所描写的物理过程。
而是需要一个传输时间△ 而是需要一个传输时间△t
源点坐标 r 达朗贝尔方程的解：达朗贝尔方程的解 ∆t = t − t ′ = t > t′ r r ：r c j ( x ′, t − ) r r µ0 c dτ ′ t 时刻的势晚于场源辐射的时刻 t’, A( x , t ) = ∫ r r r 4π V 因此将此时的势称为推迟势推迟势因此将此时的势称为源点坐标场点坐标 x ′， x r r r ′ ρ x t − ( , ) 表示t 时刻在 x 点的标势和矢势 r 1 c dτ ′ ϕ x t = ( , ) r r ∫ ′ x πε r 4 ′ t = t − 表示时刻在处的值 0 V
5
4πε 0 r
r r r Q ( x ′, t − ) 如果点电荷不在原点处，，而在 x ′点， r 如果点电荷不在原点处 r r c ϕ ( x, t) = 令r 为 x ′点到场点 x 的距离，的距离，有
可以证明上述解的形式满足达朗贝尔方程达朗贝尔方程(略) 可以证明上述解的形式满足 5-1 矢势标势

《电动力学》知识点归纳及典型例题分析(学生版)

《电动力学》知识点归纳及典型例题分析一、知识点归纳知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∙∇=∙∇+∂∂=⨯∇∂∂-=⨯∇.0;;B D J t D H t B Eρ（此为麦克斯韦方程组）；在没有电荷和电流分布（的情形0,0==Jρ）的自由空间（或均匀介质）的电磁场方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∙∇=∙∇∂∂=⨯∇∂∂-=⨯∇.0;0;B D t D H t B E（齐次的麦克斯韦方程组）知识点2：位移电流及与传导电流的区别。

答：我们知道恒定电流是闭合的： ()恒定电流.0=⋅∇J在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。

一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有.0≠∂∂-=⋅∇t J ρ现在我们考虑电流激发磁场的规律：()@.0J B μ=⨯∇ 取两边散度，由于0≡⨯∇⋅∇B ，因此上式只有当0=⋅∇J 时才能成立。

在非恒定情形下，一般有0≠⋅∇J ，因而()@式与电荷守恒定律发生矛盾。

由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改()@式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。

把()@式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量D J ，它和电流J 合起来构成闭合的量 ()()*,0=+⋅∇D J J 并假设位移电流D J 与电流J 一样产生磁效应，即把()@修改为 ()D J J B +=⨯∇0μ。

此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。

由电荷守恒定律.0=∂∂+⋅∇tJ ρ电荷密度ρ与电场散度有关系式 .0ερ=⋅∇E 两式合起来得：.00=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅∇t E J ε与()*式比较可得D J 的一个可能表示式.0tEJ D ∂∂=ε 位移电流与传导电流有何区别：位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。

它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。

而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。

知识点3：电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。

推迟势

(4)
r
c
c
向外发射的球面波
向内收敛的球面波
f 和g的具体形式由物理条件决定。研究辐射问题时,电磁场是由原点处的电荷发出的,它必然是向外发射的波。因此在辐射问题中应取g=0,而函数 f 的形式应由原点处的电荷变化形式决定。
4
2. 提出试探解
在静电情形,电荷Q激发的电势 Q
所以我们猜想方程(1)的解为：
V
r
0 4
V
1 r
J ( x, t)t'Const
dV

0 4
V
1 r

J ( x, t)t'Const
dV
另外，

t

1
4 0
V
1 r

t
dV
1
4 0

V
1 r

t
t t
dV
1 1 dV

A( x, t )
c
0
4
V

J (x,t)dV r

0 4
V
(1 r

J

J

1)dV r
J ( x,t) 1 J r 1 J r
c t
c t

J
(
x,
t)

J
(
x,
t)t
'Const.

§5.2 推迟势
推迟势就是达朗贝尔方程的解。写出达朗贝尔方程：
2 A
1 c2
2A t 2

0J
2

1 c2

电动力学复习题

电动力学复习题一．选择题1. Maxwell能够创立统一的电磁场理论，关键是他发现了A . 电流的磁效应；B．电磁感应定律;C．电荷守恒定律；D．位移电流。

( D )2. 毕奥-萨伐尔(Biot-Savart)定律给出了A. 一个电流元Idl在磁场中所受的力;B. 二个电流元之间的相互作用力;C．运动电荷在磁场中所受的力;D．恒定电流激发的磁场。

( D )3．矩形波导中的截止波长λC为A 2×（m2／a2＋n2／b2）－(1/2)B 2×（m2／a2＋n2／b2）(1/2)C 2(1/2)×（m2／a2＋n2／b2）－(1/2)D [2×（m2／a2＋n2／b2）]－(1/2)( A )4. 波导内截止波长λC的物理意义是A．只有波长λ大于λC的波才能够通过；B．只有波长λ等于λC的波才能够通过；C．只有波长λ小于λC的波才能够通过；D．以上答案都不对。

( C )5．质子在加速器中被加速，当其动能为静止能量的3倍时，其质量为静止质量的A．两倍；B. 四倍; C. 六倍; D. 八倍。

( B )6．统一的电磁场理论主要是由下列哪位物理学家创立的。

A．安培；B.法拉弟； C.库仑；D麦克斯韦。

（ D ）7．电磁波斜入射到两种介质的界面时，其场强振幅的关系叫A．麦克斯韦公式; B. 亥姆霍兹公式; C. 达朗贝尔公式; D. 菲涅耳公式。

（ D ）8．电荷量为Q 距电位是零的平面导体表面为D 的点电荷，其象其电荷是A. Q ; B.εQ; C. －Q；D. Q／ε。

（ C ）9．下列说法正确的是A．磁单极总是存在的；B．矩形波导管和圆柱形波导管都不能传播TEM波；C．高斯定理只适用于静电场；D．毕奥-萨伐尔定律只适用于感应电场。

（ B ）10．下列说法错误的是A．光是一种电磁波；B．声波也是一种电磁波；C．电磁波不一定是偏振的；D．TE10波也是横波。

（ B ）11. 电场强度和电位的关系是__C_。

20ED0502推迟势

∇'⋅J (x′, t ')t '不变 +
得证
毛明编著
1 ∂ϕ (x, t ) ∇ ⋅ A(x, t ) + 2 =0 ∂t c
∂t '
= 0 ←
工具收藏
1 球对称问题的齐次达朗贝尔方程 1 1 2 2 ∂ (r ∂rϕ (r, t ) ) − 2 ∂t ϕ (r, t ) = 0 2 r r c u(r,t) ↓ r ≠ 0, 特解 : ϕ(x,t) = r ∂2u 1 ∂2u ↓ 2 − 2 2 =0 ∂r c ∂t r r ↓ u(r,t) = f(t − ) + g(t + ) c c r r f( x, t − ) g( x, t + ) c + c ϕ(x,t) = r r
B =∇× A
µ0 J(x',t')eikr −iωt A(x , t) = ∫ dv' r e 4π
iω ik E =− E c2 c
∇ × B = µ 0ξ 0 ∂ t E = − E = ic ∇×B k
∂ ∂ ∂ t ' =t − r / c → −iω, = ← ∂t ∂t ' ∂t R 1 ∂ k =ω / c ˆ ˆ ∇ → ik = ikn = −n ← R c ∂t
r Q( x ' , t − ) c ϕ(r,t) = 4πξ 0 r
①上式满足点电荷达朗贝尔方程，见p.191在r=0及其邻域也成立。 ②场点t时刻的势是由源点处t-r/c时刻的场源状态决定；场点推迟r/c时间才有对应的势，故称推迟势
毛明编著
3 推迟势及其意义
1 电荷连续分布的推迟势
r r dQ( x ' , t − ) = dv ρ ( x ' , t − ) c c r ρ (x ' , t − ) 1 c d ϕ ( x , t ) = dv 4 πξ 0 r

推迟势的表达式及物理意义

推迟势的表达式及物理意义
推迟势是电磁场理论中的一个概念，用于描述电场或磁场在空间中的分布情况。

其表达式可以通过求解非齐次亥姆霍兹方程得到，即:
$$
boldsymbolnabla^2 Psi - frac{1}{c^2} frac{partial^2 Psi}{partial t^2} = f(r,t)
$$
其中，$Psi$ 是波动方程的波函数，$f(r,t)$ 是非齐次项，$c$ 是光速。

方程的物理意义是描述电磁场在空间中的演化过程。

推迟势的物理意义可以通过格林函数法来解释。

在求解波动方程时，我们需要找到一个波函数 $Psi$,使得它在时间和空间上的积分等于非齐次项
$f(r,t)$ 在空间和时间的积分。

换句话说，我们要求出 $Psi$ 使得它具有推迟势的特性。

具体来说，如果我们考虑在一个二维平面上，存在一个垂直于该平面的电场或磁场脉冲，那么该脉冲会产生一个波。

我们可以用 $Psi$ 来描述这个波在时间和空间上的分布情况。

假设我们在时间 $t=0$ 时，观测到一个起点
$(x,y)$ 的波的位置，那么我们可以通过求解波动方程，求出该波在时间
$t>0$ 时的分布情况。

推迟势的表达式可以告诉我们，当一个脉冲在空间中传播时，它会产生一个推迟势，使得波的传播速度受到限制。

这是因为推迟势的存在，使得波函数在时间和空间上的积分不能为零，因此波的传播速度必须受到限制。

推迟势还可以告诉我们，电磁场的波动具有能量守恒的特性。

因为推迟势的
存在，使得波的传播速度受到限制，因此能量不能无限传播，只能逐渐传播。

这也可以解释，为什么电磁场的传播速度是有限的。

电磁场理论习题解读

思考与练习一1．证明矢量3ˆ2ˆˆz y x e e e-+=A 和z y x e e e ˆˆˆ++=B 相互垂直。

2. 已知矢量 1.55.8z y e ˆeˆ+=A 和4936z y e ˆ.e ˆ+-=B ，求两矢量的夹角。

3. 如果0=++z z y y x x B A B A B A ，证明矢量A 和B 处处垂直。

4. 导出正交曲线坐标系中相邻两点弧长的一般表达式。

5．根据算符∇的与矢量性，推导以下公式：()()()()B A B A A B A B B A ∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇)(()()A A A A A 2∇⋅-∇=⨯∇⨯21 []H E E H H E ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇6．设u 是空间坐标z ,y ,x 的函数，证明：u du df u f ∇=∇)(， ()du d u u A A ⋅∇=⋅∇， ()dud u u A A ⨯∇=⨯∇，()[]0=⨯∇⋅∇z ,y ,x A 。

7．设222)()()(z z y y x x R '-+'-+'-='-=r r 为源点x '到场点x 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点。

证明以下结果，R R R R =∇'-=∇， 311R R R R-=∇'-=∇，03=⨯∇R R ，033=⋅∇'-=⋅∇RR R R )0(≠R 〔最后一式在0=R 点不成立〕。

8. 求[])sin(0r k E ⋅⋅∇及[])sin(0r k E ⋅⨯∇，其中0E a ,为常矢量。

9. 应用高斯定理证明 ⎰⎰⨯=⨯∇v sd dV f s f ，应用斯克斯〔Stokes 〕定理证明⎰⎰=∇⨯s Ldl dS ϕϕ。

10.证明Gauss 积分公式[]⎰⎰⎰⎰⎰∇+∇⋅∇=⋅∇s Vdv d ψφψφψφ2s 。

11.导出在任意正交曲线坐标系中()321q ,q ,q F ⋅∇、()[]321q ,q ,q F ⋅∇∇、()3212q ,q ,q f ∇的表达式。

推迟势

0 A( x , t ) 4 r 式中 t t c
V

V
j ( x , t ) d r
r ( x x ) ( y y ) ( z z )
2 2

2

1
2
则有
0 A 4

V
j ( x , t ) d r
0 A( x , t ) 4

V
r j ( x , t ) c d r
它给出了分布在有限体积内的变化电荷与变化电流在空间任意点所激发的标势的矢势 A 。必须强调指出，该式中的 x 表示场点坐标， x 表示源点坐标。和分别表示t 时刻在点处的标势和 (x 矢势, t ) 的值，t ) 和 A( x , x r r , t ) (x A j ( x , t ) c c 分别表示时刻在处的的值。
0 1 1 ( j j )d 4 r r

V
其中
j ( x , t ) j ( x , t ) t 常数 j ( x , t ) ||
x 常数
0 这是因为微分只对 x进行的
x 常数
0 矢势 A( x , t ) 4
满足洛伦兹规范

V
r j ( x , t ) c d r
r r u (r , t ) f (t ) g (t ) c c
式中的 f 和 g 是两个任意函数，故有
1 r r (r , t ) f (t ) g (t ) r c c
此解的第一项表示由场源向外辐射的球面波，第二项则表示向场源会聚的球面波。式中 f 和 g 是

6 电磁场的势-达朗伯方程-推迟势

第八章电磁场势景建恩E-mail：jje2008@ Office: 教5楼118A2012年12月北京8.1章节安排8.1 电磁场的势8.2 均匀非导电媒质中电磁场势满足的微分方程达朗伯方程8.3达朗伯方程的解推迟势8.4 推迟势的偶极展开8.5 电偶极辐射和磁偶极辐射868.6均匀导电媒质中电磁场满足的微分方程8.7均匀导电媒质中的赫兹矢量8.88.8 谐变电磁场势的赫姆霍兹方程8.1 电磁场的势8.11、亥姆霍兹定理2、标矢和矢势3、规范变换1、亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散F 度和旋度唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和，即F A=−∇+∇× ϕ证明：假设在无限空间中有两个矢量函数和，它们具有G F 相同的散度和旋度。

但这两个矢量函数不等，令F G g=+唯一要证明矢量场由其散度和旋度唯确定，即矢量和矢量是同一矢量，应该为零矢量。

G FF G G ∇⋅=∇⋅+=∇⋅+∇⋅∵g ()g g G F 因为和有相同的散度和旋度g ∴∇⋅= G F ∇⋅=∇⋅ ∵()F G g G g ∇×=∇×+=∇×+∇×∵0g ∴∇×= G F ∇×=∇× ∵g ∇×=∵由矢量场论中梯度的散度恒等于零, 令g ϕ=∇20ϕϕ∴∇⋅∇=∇=0g ∇⋅= ∵由在无限空间中拉普拉斯方程解的有限性及函数的任意只能是一个常数，即ϕ 性，知只能是个常数，即，。

ϕ0g =G F =2−⋅=0=∇×∇U 常用的矢量公式A A A )(∇∇∇×∇×∇0)(=×∇•∇A8.2 均匀非导电媒质中电磁场势满足的微分方程达朗伯方程1、洛伦兹规范条件2、电磁场势的波动方程—达朗伯方程838.3 达朗伯方程的解推迟势1、点电荷达朗伯方程的解2、随时间变化的体分布场源的推迟势或1、点电荷达朗伯方程的解如图8.3-1所示，设均匀非导电煤质中，在原点处放一随时间变化的点电荷其电荷密度点处放随时间变化的点电荷Q(t)，其电荷密度ρ(r ，t)=Q(t)б(r),则此随时间变化的点电荷激发的标势U 满足达朗伯方程εδεμ)()(222r t Q t U U −=∂∂−∇是媒质的磁导率和介电常数。

电动力学郭硕鸿第三推迟势PPT学习教案

i J
J 0 t
J x eit
t
J i x eit
因此，在这种情形下，由矢势公式就可以完全确定电磁场
磁场
Β Α
（在电荷分布区域外面）
电场
Β
μ0ε0
Ε t
iω c2
Ε
Ε ic Β
第23页/共27页
k
此情况下电磁场也是时谐电磁场：
B(x,t) A(x,t) B(x)eit
(x,t)
1. 点电荷在空间激发的标势
(x,t) Q(t) (x)
设点电荷处于原点，
x 0, x 0
函数的定义
积分区域包含x=0的点
x dV 1
V
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2
1 c2
2
t 2
0
2 A
1 c2
2 A t 2
0 J
2u
1 r2
r
(r2
u ) r
r2
1 sin
x
t
r c
tr c
第14页/共27页
tr c
综上所述，推迟势的重要性在于说明了电磁作用是以速度c向外传播的，它不是瞬时超距作用。换句话说：电荷、电流辐射电磁波，而电磁波以速度
c 1
0 0
脱离电荷、电流向外传播。这就是推迟势所描写的物理过程。
第15页/共27页
.证明、满A 足条件
二
第20页/共27页
1、计算辐射场的一般公式
当电流分布
给定时，计算辐射场的基础是的推迟势：
J (x,t)
A
A(x,t) 0 J (x,t)dV
4 V r
若电流
是一定频率ω的交变电流，有

5.1电磁场的失势和标势

（2）电磁场一旦从源中辐射出来就独立于源而存在。
当给定、 J 后，可由（2.12）、（2.13）式求出势，再由（式（1.2）、1.3）
B A
求出空间点的电磁场。
A E t
5.3
电偶极辐射
现代物理导论I
电磁波是从变化的电荷、电流系统辐射出来的。宏观上，主要是利用载有高频交变电流的天线产生辐射，微观上，一个做变速运动的带电粒子即可产生辐射。本节仅讨论电荷分布以一定频率做周期运动，且电荷体系线度远远小于电荷到观测点的距离的情况。
如设?为任意时空函数有????ba????t?t????a?a???????a???a????????????a????????e由此可见?们可以作变换???a与???a描写的是同一电磁场我t?????????????????????aaa14t????????????at?????a现代物理导论i由于1213式中b和e并没有对a的散度作出规定故我们可以取??a为任意值作为辅助条件
其特点参见以下推导结果。 3、达朗贝尔方程
将（1.2）、（1.3）式代入（1.1）式中第二、三式，整理后有
2 2 1 A 1 0 J A 2 2 A 2 c t c t 2 A t 0
必须 E L 0 （无纵场）。证毕Βιβλιοθήκη .21、标势的达朗贝尔方程
2
推迟势
现代物理导论I
1 （2.1） 2 2 0 c t 设在原点有一电荷 Qt ，其密度 x, t Qt x ，
2
这时（2.1）式为
2 1 1 2 2 2 Qt x （2.2） 0 c t 由于球对称性，只依赖于 r 、 t ，（2.2）式用球坐

推迟势

u (r , t ) 令 (r , t ) r
2u 1 2u 2 2 0 2 r c t
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这个类似于一维波动方程的解可以表示为：
(r 0)
r r u (r , t ) f (t ) g (t ) c c
f (t r ) g (t r ) c c (r , t ) r r
r 2.有时间因子 (t c ),表明时刻t,观测点x的势依赖于较早时刻 r (t ) 的电荷、电流分布,说明势并不是由同一时刻的电荷、 c
电流激发的。而是由较早时刻的电荷、电流激发的。 r t 即空间势的变化比场源变化推迟了 ,所以称为推迟势。 c r 3.电荷、电流产生的物理作用在经历了时间 t 后才 c 到达观察点,说明 C 即为电磁作用在真空中的传播速度。 *电磁作用的传播速度有限,超距的电磁作用不存在.
f (t r ) c 代表向外传播的球面波 r g (t r ) 代表向内收敛的球面波 c r
讨论辐射问题取
r g (t ) 0 c
Q(t r ) c 类比则有点电荷电势： (r , t ) 40 r
r ) Q ( x , t c 若点电荷不在原点而在空间 x 点： ( x , t ) 40 r
几点说明: 1。推迟势是在洛仑兹条件下势方程的解，其他规范下势
的解可能不同，但由势得到的电磁场都是相同的。 2。上述推迟势只是非齐次势方程的特解，方程的通解还
应加上齐次方程的解－它们代表外来的场.
3。由于 , A 由洛仑兹条件相联系，所以求得 A 后，
可直接由洛仑兹条件求

1 1 1 ( x, t ) t 0 dV 2 2 V t r t t c 4 0c 4