单级倒立摆的PID控制

控制系统的分析与设计报告

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单级倒立摆的PID 控制

一、 单级倒立摆的建模

倒立摆系统的控制问题一直是控制界研究的一个典型问题。控制的目标是通过给小车的底座施加一个力u (控制量)，是小车停留在一个预定的位置，并且能让杆不倒下，即不超过一个预先定义好的垂直偏离角度范围。图1为一级倒立摆系统示意图，小车质量为M ，摆的质量为m ，小车的位置为x ，摆的角度为θ。

图1 一阶倒立摆系统示意图

设摆杆偏离垂直线的角度为θ，同时规定摆杆重心的坐标为

(,)G G G x y ，则有：sin G x x l θ=+, cos G y l θ=。根据牛顿定律，建立水平

和垂直运动状态方程。摆杆围绕其重心的转动运动可以用力矩方程来描述：

sin cos I Vl H θθθ=-

式中，l 为摆杆围绕其重心的转动惯量。摆杆重心的水平运动由下式

描述：

2

2t

d (sin )d m x l H θ+= 摆杆重心的垂直运动由下式描述：

2

2t

d cos d m l V mg θ=- 小车的水平运动由下式描述：

2

2t

d d M u H =-

假设θ很小，sin θθ≈，cos 1θ=，则以上各式变为：

I Vl Hl θθ=- (1)

()m x l H θ+= (2)

O V mg =- (3) mx u H =- (4)

由式(2)和式(4)得：

(M m)x ml u θ++= (5) 由式(1)和式(3)得：

2(I ml )mlx mgl θθ++= (6)

由式(5)和式(6)得单级倒立摆方程：

22

m(m+M)gl m

(M+m)I+Mm (M+m)I+Mm u l l θθ=

- (7)

222

22

m (M+m)I+Mm (M+m)I+Mml gl I ml x u l θ+=-+ (8)

式中，2112

I mL =

，1

2l L =。

控制指标有4个，即单级倒立摆的摆角θ，摆速θ，小车位置x 和小车

速度x ，将倒立摆的运动方程转化为状态方程的形式。令

(1)x θ=,(2)x θ=，(3)x x =，(4)x x =，则式(7)和式(8)可表示为状态方

程式(9)：

x Ax Bu =+ (9)

式中，

12

01000000001000t A t ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

， 3400t B t ⎡⎤⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

, 12m(m+M)g (M+m)+Mm l

t l =

，

2222m (M+m)I+Mm gl t l =-

，2m 3(M+m)l t l Mml =-+,2

42

(M+m)I+Mml I ml t +=。 二、 单级倒立摆控制

对每个控制目标都采取PD 控制方式，控制器为：

p i d i e i

()K e i ()K d k u i

k k =+ (10)

式中，()i e k 和为控制指标()ei k d 的误差和误差变化率：

4

1()()i i u k u k ==∑ (11)

为了进行对比，采用最优控制中的LQR 方法。该方法针对状态方程

x Ax Bu =+，通过确定最佳控制量()()u t Kx t =-的矩阵

K ，使得控制性能

指标()0

T T t J x Qx u Ru d ∞

=+⎰达到极小，其中，Q 为正定(或半正定)厄米特

或实对称矩阵，R 为正定厄米特或实对称矩阵，Q 和R 分别表示了误差和能量损耗的相对重要性，Q 中对角矩阵的各个元素分别代表各项指标误差的相对重要性。LQR 控制器的增益为：

(,,,)K LQR A B Q R = (12) ()u k Kx =- (13)

三、仿真结果及分析

仿真中倒立摆的参数为：9.8/g m s =(重力加速度)， 1.0M kg =(小车质量)，0.5L m =(杆的半长)，0.0005c μ=(小车相对于导轨的摩擦系数)，

0.000002p μ=杆相对于小车的摩擦系数)。F 为作用在小车上的力，即控制

器的输出，在[]10,10-上连续取值。

采样周期20T ms =，初始条件取(0)10θ=-︒，(0)0θ=，(0)0.20x =，

(0)0x =，期望状态为：(0)0θ=，(0)0θ=，(0)0x =，(0)0x =，其中，摆

动角度值应转变为弧度值。

取1S =，使用PID 控制。用于电机控制方向与摆杆的摆动角度方向相反，故控制器参数选负数。使用PID 时倒立摆的响应结果及控制器输出如图2和图3所示，可见，使用PID 控制可实现单级倒立摆的控制，但PID 控制器的参数较难选取。

图7-58 采用PID 倒立摆相应结果(S=2)

图7-59 控制器的输出

取2

S=,采用LQR控制，取

100000

01000

0010

0001

Q

⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥

=

⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

,0.10

R=,则由式(7.51)

可得LQR控制器增益(64.0799,14.2285, 3.1623, 6.6632)

K=----。

采用LQR时倒立摆响应结果及控制器输出如图7-60和图7-61所示。