高中数学高考专题(1)基本初等函数及应用

π π 1 (2)函数 y＝f(x＋ 2 )为定义在 R 上的偶函数，且当 x≥ 2 时，有 f(x)＝(2)x＋sinx，则下列选项正确的 是( ) A．f(3)<f(1)<f(2) C．f(2)<f(3)<f(1) B．f(2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(2)<f(1) )
(3)已知奇函数 f(x)在(－∞， 0)上是单调减函数， 且 f(2)＝0， 则不等式(x－1)f(x－1)>0 的解集为( A．{x|－3<x<－1} B．{x|－1<x<1 或 1<x<3} C．{x|－3<x<0 或 1<x<3} D．{x|－3<x<1 或 x>2} [审题程序] 第(3)问的审题程序： 第一步：画草图：结合已知条件，画出 f(x)的草图； 第二步：转化：将所求不等式进行转化； 第三步：结合图象列不等式组求解； 第四步：下结论．
log2（－x），x<0， ＝ log0.5x，x>0 log2（－x），x<0， ＝ 的图象如图所示． －log2x，x>0
f(x)为奇函数， 由 f(m)<f(－m)＝－f(m)， 即 2f(m)<0 可得－1<m<0 或 m>1， 即实数 m 的取值范围为(－ 1，0)∪(1，＋∞)． [答案] (1)B (2)D (3)(－1，0)∪(1，＋∞)
[答案] (1)C (2)A
(3)B
[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下： 审清题意 → ↓ 从要研究函数的单调性，奇偶性、 研究性质 → 周期性、特殊点等出发与所求的结 果寻求联系，必要时可自己作图. ↓ 根据性质及已知条件，排除选项或 确定结果 → 进行函数值与自变量之间的转化， 从而求解. 无论是知式选图还是解不等式比 较大小，都要明确要研究的函数.
cosx [规范解答] (1)由 y＝ ln|x| 是偶函数，排除 A，B；又当 0<x<1 时，cosx>0，ln|x|<0，∴y<0，排除 D.故选 C.
π π (2)由函数 y＝f(x＋ 2 )为偶函数知其图象的对称轴为 x＝0， 所以函数 y＝f(x)的图象的对称轴为 x＝ 2 . π π 1 因为函数 f(x)＝(2)x＋sinx 在区间[ 2 ，π]上单调递减，所以函数 f(x)在区间[0， 2 )上单调递增，又在 x
2 x ＋1，0≤x<5， (1)设函数 f(x)＝ 则 f（x－5），x≥5，
f(2016)＝(
)
A．1 B．2 C．5 D．10
g（x）＋x＋4，x<g（x）， (2)设函数 g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝ 则 f(x)的值域是( g（x）－x，x≥g（x），
3．(2016· 辽宁葫芦岛一中期中)已知函数 f(x)的大致图象如图所示，则函数 y＝f(x)的解析式为( ln|x| A．f(x)＝x－ x2 ln|x| B．f(x)＝x＋ x2
)
ln|x| C．f(x)＝x2－ x ln|x| D．f(x)＝x＋ x [解析] 因为函数图象不关于原点对称，所以该函 1 1 根据函数图象可知函数值大于 0，而选项 B 中，f(e)＝e 1 数不是奇函数， 排除 D； 取 x＝e ， －1 1 ＋ 1 ＝e －e2<0，排除 B；由函数 e2
)
9 A．[－4，0]∪(1，＋∞) 9 C．[－4，＋∞)
B．[0，＋∞) 9 D．[－4，0]∪(2，＋∞)
log2（－x），x<0， (3)设函数 f(x)＝ 若 f(m)<f(－m)，则实数 m 的取值范围为________． log0.5x，x>0，
[审题程序] 第(2)问的审题程序： 第一步：解出不等式 x<g(x)，x≥g(x)中 x 的取值范围； 第二步：写出 f(x)的解析式； 第三步：分段求 f(x)的值域； 第四步：求各段值域的并集，得出结果． [规范解答] (1)因为当 x≥5 时，f(x)＝f(x－5)，所以 f(2016)＝f(1)，又 f(1)＝2，所以 f(2016)＝2. (2)由已知得 f(x)＝
1 2 7 （x＋2） ＋4，x<－1或x>2， 1 2 9 （ x － 2） －4，－1≤x≤2， 当 x<－1 或 x>2 时，f(x)∈(2，＋∞)； 9 9 当－1≤x≤2 时，f(x)∈[－4，0]，所以 f(x)的值域是[－4，0]∪(2，＋∞)． (3)解法一：显然 m≠0，当 m>0 时，f(m)<f(－m)，即 log0.5m<log2m，所以 log2m>0，所以 m>1；当 1 1 m<0 时，f(m)<f(－m)，即 log2(－m)<log0.5(－m)＝log2(－m)，所以 0<－m<－m，解得－1<m<0，所以实数 m 的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞)． 解法二：作出函数 f(x)
高中数学专题 (1) 基本初等函数及应用
基本初等函数的图象和性质是解决数学问题的基础，具有工具性作用，主要体现在函数的定义 域、值域、图象、性质及零点等方面的应用，应强化基本初等函数各方面的熟练运用，提高运 算及应用技巧. 题型一 以分段函数为主线的热点问题 题型概览：近几年，高考中对分段函数的考查越来越多，分段函数已成为高考命题之“宠儿”，主 要涉及与分段函数有关的求值、函数图象、解析式、方程或不等式的求解等问题．
函数 g(x)在区间(－1，1)上有且仅有一个零点，则实数 m 的取值范围是( 1 A．m≥4或 m＝－1 1 C．m≥5或 m＝－1 1问的审题程序： 第一步：求出 f(x)的解析式； 第二步：转化：将 g(x)的零点转化为两函数 y＝f(x)与 y＝4mx＋m 的交点； 第三步：作图：作出 y＝f(x)与 y＝4mx＋m 的图象； 第四步：数形结合求解：结合图象列式求解． [规范解答] (1)①当 x≤0 时，由 f(x)＝0，即 x2＋ 2014)＝0， 解得 x＝1(舍去)或 x＝－2014； ②当 x>0 时， 别作出两个函数的图象，由图可知，两函数图象有两个 个零点．综上所述，函数 f(x)有 3 个零点．故选 C. 2013x － 2014 ＝ 0 ， 得 (x － 1)(x ＋ 设 g(x)＝x－2，h(x)＝lnx，如图分 交点，所以函数 f(x)在 x>0 时有两
)
A．1 15 C．－16－ 5
17 B.16－ 5 D．－2
[解析] 令 t＝f(a)，则 f(t)＝1，当 t>0 时，由 f(t)＝log2t＝1 得 t＝2；当 t≤0 时，由 f(t)＝t2＋4t＋1 ＝1 得 t＝0 或 t＝－4，所以 f(a)＝2 或 f(a)＝0 或 f(a)＝－4；若 f(a)＝2，当 a>0 时，f(a)＝log2a＝2，此时 a＝4；当 a≤0 时，f(a)＝a2＋4a＋1＝2，此时 a＝－2－ 5(a＝－2＋ 5舍去)；若 f(a)＝0，当 a>0 时，f(a) ＝log2a＝0，此时 a＝1； 当 a≤0 时，f(a)＝a2＋4a＋1＝0，此时 a＝－2－ 3或 a＝－2＋ 3；若 f(a)＝－4，当 a>0 时，f(a) 1 ＝log2a＝－4，此时 a＝16；当 a≤0 时，f(a)＝a2＋4a＋1＝－4，此时方程无解；所以 a 所有可能值为 4， 1 15 －2－ 5，1，－2－ 3，－2＋ 3，16，其和为－16－ 5，故选 C. [答案] C 2 ． (2016· 河北邢台调研 ) 设 f(x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 [ － 1 ， 1] 上， f(x) ＝ ax＋1，－1≤x<0， 1 3 其中 a，b∈R.若 f(2)＝f(2)，则 a＋3b 的值为________． bx＋2 x＋1 ，0≤x≤1， [解析] 因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数， 3 1 1 1 所以 f(2)＝f(－2)，故 f(2)＝f(－2)， 1 2b＋2 1 从而 1 ＝－2a＋1， 2＋1 即 3a＋2b＝－2. 又因为 f(－1)＝f(1)， b＋2 所以－a＋1＝ 2 ，即 b＝－2a. ② 将②代入①得，a＝2，b＝－4. 所以 a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10. [答案] －10 ①
x，0≤x<1， (2)由题意得 f(x)＝ 1 作出函数 y＝f(x)的图象，如图所示．函数 g(x)零点的个数， －1，－1<x<0. x＋1
题型二
函数图象与性质的综合问题
题型概览：函数图象是函数的一种直观表现，函数图象的识别是对函数性质的综合考查，而函数的 单调性、周期性和奇偶性等又常借助函数的图象来研究．因此，函数性质与图象的融合问题是每年高考 的热点问题． cosx (1)(2016· 甘肃河西五市部分普通高中联考)函数 y＝ ln|x| 的图象大致是( )
[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下： 明确f（x） 根据自变量的值或取值范围，确定相 → 及分段 应的解析式. ↓ 转化为一般的函数在指定区间上的 对号入座， → 问题，若结合图象，要特别注意关键 合理转化 点(端点、最值点等)的准确点． ↓ 得出结果 → 有时注意检验自变量取值范围的限制.
log2x，x>0， 1．函数 f(x)＝ 2 若实数 a 满足 f[f(a)]＝1，则实数 a 的所有取值的和为( x ＋4x＋1，x≤0，
2 x ＋2013x－2014，x≤0， (1)f(x)＝ 则函数 f(x)的零点个数为( 2－x＋lnx，x>0，
)
)
A．1 B．2 C．3 D．4
x，0≤x<1， (2)(2016· 安徽安庆二模)设函数 f(x)＝ g(x)＝f(x)－4mx－m，其中 m≠0.若 1 －1，－1<x<0， f（x＋1）