培优(10月18日)(二次根式)
二次根式(分层练习)(培优练)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题2.20二次根式（分层练习）（培优练）一、单选题1．与3(183)-最接近的整数是（）A ．3B ．4C ．5D ．62．化简二次根式22a a a +-的结果是（）A ．2a --B ．－2a --C ．2a -D ．－2a -3．下列计算不正确的是（）A ．35525-=B 236=C 7742=D 363693+==41156+）A ．1130B ．330C ．33030D ．115．下列各式中，不正确的是（）A 233(3)(3)->-B 33648<C 2221a a +>+D 2(5)5-=6．下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（233a ；（3642；（422(8)±；（5165-65+）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．若a 、b 、c 为有理数，且等式23526a ++2a ＋999b ＋1001c 的值是（）A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定8．若a 和b 都是正整数且a b <a b 是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（）①只存在一组a 和b 18a b =②只存在两组a 和b 75a b ；③不存在a 和b 260a b =④若只存在三组a 和b a b c =ca的值为49或64A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如223=-=，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令n A =n 为非负数），则()()22m n m n A A A A m n+-==-=-；1nm A A ===+．则下列选项正确的有（）个①若a 是7A 的小数部分，则3a2；②若54544b cA A A A -=-+（其中bc 、为有理数），则15bc=-；2=6=④122334202220231111123243202320222023A A A A A A A A ++++=-++++ A ．4B．3C ．2D ．110．已知0a ，将0a 的整数部分加上0a 的小数部分的倒数得到1a ，再将1a 的整数部分加上1a 的小数部分的倒数得到2a ，以此类推可得到3a ，4a ，……，n a11，所以111a =+=+）①3932a =；②2022a③2019a a -=47450+=；⑤123401230a a a a ++++=+ ．A ．2个B ．3个C ．4个D．5个二、填空题11．a ，b为有理数，且a +=a b +=．12．若(()22m +的积是有理数，则无理数m的值为．13．已知y =，则()()20222023x y x y +-的值为．14．已知n 是正整数．．．．．，则满足条件的所有n 的值为．15．若2021a a -+，则22021a -的值为．16．化简：23a b =17．把(a -(1)a -移入根号内得．18．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，图中线段上一动点E ，若满足AE CE =，6AB =，30BAC ∠=︒，则以AE 为边长的正方形面积是．三、解答题19．计算：；(2)))2221++-．20．计算(1)⎛÷ ⎝(2)((2⨯-21．已知x =y =，求22x y y x +的值．22．已知x＋y=－8，xy=8，求a=2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：23．在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知a==∵2∴2a-=．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：（1；（2（3）若24．阅读下列材料，然后回答问题．①一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：===1)2=1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a +b =2，ab =-3，求22a b +．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令x =a +b ，y =ab ，则2222 224610()a b a b ab x y +=+-=-=+=．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．(1)...+(2)m 是正整数，ab 222182322019a ab b ++=．求m ．(3)1=参考答案1．B【分析】把原式去括号后根据算术平方根的性质求解．解：原式3，∵49<54<64，∴78<<，∵27.556.25=，∴77.5<，7，3-最接近7-3即4，故选：B ．【点拨】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则和算术平方根的性质是解题关键．2．B【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a 、b 的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可解：202a a ∴+<∴<-a a ∴∙-故选B【点拨】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．3．D解：根据二次根式的加减法，合并同类二次根式，可知=，故正确；=，故正确；=.故选D.4．C30，故选C ．点睛：此题主要考查了二次根式的化简，解题关键是利用分数的通分求和，然后把其分母有理化即可求解，比较简单，但是易出错，是常考题.5．B，故A 正确；=4，故B 不正确；根据被开方数越大，结果越大，可知C 5=，可知D 正确.故选B.6．B解：根据立方根的意义，可知27的立方根是3，故（1）a =正确，故（2）正确；=8，可知其平方根为±38=，故（4）不正确；=，故（5）正确.故选B.7．B解：== a ++，所以a =0，b =1，c =1，即可得2a ＋999b ＋1001c =999+1001=2000，故选B.点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式根据完全平方公式化简并比较系数是解题的关键．8．C是同类二次根式，进而得出答案．解：①a 和b 都是正整数且a b <可以合并的二次根式，+=+==当2a =时8b =，故该选项①正确；==，当3a =，则48,b =当12a =，则27b =．故选项②正确；==当65a =时，65,b =a b <，所以不存在，故该选项③正确；④=1∴=当49c a =时，17=，6，36b a ∴=，有无数a 和b 满足等式，故该选项④错误．故选：C ．【点拨】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键．9．B【分析】先估算出23<，则2a -，然后对3a进行分母有理化即可判断①；根据54544b cA A A A -=-+)()24b c b c -++=，正在由b c 、为有理数，得到方程组82b c b c -=⎧⎨+=⎩，解方程组即可得到答案；只需要根据2=，推出()1022n n A A +-=-，即可判断③1n n =-+，然后对原式裂项即可判断④．解：由题意得7A =，∵479<<，∴23<<，∴2a ，∴)32323274a ==-，故①错误；∵54544b cA A A A -=-+，4=+，4-，∴))22454b c-=+-，)()24b c b c -++=，∵b c 、为有理数，∴82b c b c -=⎧⎨+=⎩，∴53b c =⎧⎨=-⎩，∴15bc =-，故②正确；2=，∴2=∴()1022n n A A +-=-，∴1022n n A A ++=-，6=，故③正确；=(()()22111n n n n n +=+-+(()11n n n +=+1n n =-+，∴1223342022202311112324320232022A A A A A A A A ++++++++=+12023=-，故④正确；故选B ．【点拨】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合计算，平方差公式的应用，无理数的估算等等，灵活运用所学知识是解题的关键．10．B【分析】根据定义找到n a 的规律，再逐个判断即可．解：由题意得，111a ==2，小数部分为12；22213a =++=，它的整数部分为41；3194422a =++=，它的整数部分为5，小数部分为12；45516a =++=，它的整数部分为71；51157722a ++==，它的整数部分为868819a =+=，它的整数部分为101；∴n为奇数时，32n n a =，它的整数部分为1312322n n -++⨯=，小数部分为12；n为偶数时，32n a n =，它的整数部分为2324322n n -++⨯=1；∴①3932a =，正确；②2022a1，错误；③201930a a -=-，正确；+ 1113669493503=+++⨯⨯⨯⨯⨯ 41119504590⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，错误；⑤12340a a a a ++++ ()()13392440a a a a a a =++++++)361273660222⎛⎫=+++++ ⎪⎪⎝⎭()()600630=+1230=，正确；综上所述，正确的是①③⑤,共3个；故选：B ．【点拨】本题考查的是数字类规律探究、估算无理数的大小，二次根式的混合运算，通过计算找到规律是解题的关键．11．21+，且a ，b 为有理数，求出1,1a b ==，进而得到2a b +=．解：1=+∴1a =+ a ，b 为有理数∴1,1a b ==∴2a b +=故答案为：2．【点拨】本题主要考查了完全平方公式与二次根式的化简，关键在于完全平方公式的变形．12．【分析】对(()22m+进行化简，由题意令2m a+=，（a 是有理数）即可求解．解：(()22m +42m =++(()22m +的积是有理数，m 是无理数，2m ∴+是有理数，令2m a +=，（a 是有理数）解得：(()(2264m a a a ==-=+-+当260a +=即3a =-，时m =故答案为：【点拨】本题考查了二次根式混合运算，有理数的性质；解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则即有理数的性质．13．22【分析】先利用二次根式有意义求得x 与y 的值，然后把x 与y 的值代入变形后的代数式求值即可．解：∵y =+，∴2020x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得2x =，∴y ==∴()()20222023x y x y +-()()()20222022x y x y x y =+--()()()2022x y x y x y =+--⎡⎤⎣⎦((2022222⎡⎤=⎣⎦2=故答案为：2【点拨】本题考查了代数式的化简求值，二次根式有意义的条件的应用是解题的关键．14．9或7或1【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数n 的取值范围，然后令182n -等于所有可能的平方数即可求解．解：由题意得1820n -≥，解得9n ≤，∵n 是正整数，∴1n ≥∴19n ≤≤，∴2218n ≤≤，∴018216n ≤-≤，是整数，∴1820n -=或1821n -=或1824n -=或1829n -=或18216n -=，解得9n =或172n =或7n =或92n =或1n =，∵n 是正整数，∴9n =或7n =或1n =，故答案为：9或7或1【点拨】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键．15．2022【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，得a -2022≥0，进而化简绝对值，求解即可．解：由题意得a -2022≥0，∴a ≥2022，∴|2021-a |=a -2021．∵2021a a -+，∴2021a a -=，2021=，220222021a -=，即22021a -=2022．故答案为2022．【点拨】本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到a 的取值范围，化简绝对值是解题的关键．16．-【分析】因为被开方数为非负数且被开方数不为0，因此得到被开方数大于0，求出ab <0后，进行二次根式的化简即可．解：要使该二次根式有意义，则有109ab->22033ab a b a b ∴∴===-＜故答案为：-【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简，牢记分母有理化的方法与规则是解题的关键，本题中被开方数分子分母同乘以ab 后，分母开出来容易出现符号错误，建议可以先套上绝对值符号再进行化简．17．【分析】先根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，求出a 的取值范围，根据()()11a a -=--，然后根据二次根式的乘法公式将(1)a -移入根号化简即可．解：根据二次根式有意义的条件可得：101a -≥-且1a ≠解得：1a <则10a -<，10a ->((11a a -=--===故答案为：【点拨】此题考查的是二次根式的变形，掌握二次根式有意义的条件：被开方数≥0和二次根式的乘法公式是解决此题的关键．18．9或72-12【分析】根据题意，点在线段AC 的垂直平分线上，设AC 的中点为M ，根据点E 在,,AC AD AB 上，根据勾股定理解三角形，即可求解．解：在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，∴1,2BAD DAC BAC BD CD ∠=∠=∠=，∵AE CE=∴E 在线段AC 的垂直平分线上，设AC 的中点为M当点E 在AC 上时，则,E M 重合，∵AE CE =，6AB AC ==，∴以AE 为边长的正方形面积是9，当E 在AD 上时，如图所示，∵AE CE =，6AB AC ==，30BAC ∠=︒，∴230DEC DAC BAC ∠=∠=∠=︒，∴2CE CD =，设AE EC a ==，则12DC a =，DE =，∴1AD AE ED a ⎫=+=+⎪⎪⎝⎭，在Rt ADC 中，222AC AD DC =+，即222162a a ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得：272a -= ，∴AE 为边长的正方形面积是72-当E 点在AB 上时，如图所示，则30EAM ECM ∠=∠=︒，∴2EM EC =，∴MC ==，∴EM =EC =，∴AE EC ==∴(2212AE ==，AE 为边长的正方形面积是12，故答案为：9或72-12．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，二次根式的混合运算，分类讨论是解题的关键．19．；(2)7-【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式，即可解答；（2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．（1=((=+=（2）解：))2221++-22221=-+-+5451=-+-7=-【点拨】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．20．(1)143；(2)8-+【分析】（1）先计算括号里，再计算除法；（2）先运用平方差公式和完全平方公式、分母有理化进行计算，再相加减即可解：（1）原式⎛=÷ ⎝143==143=（2）原式()4243272=---+2129=-+8=-+【点拨】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，分母有理化，掌握二次根式混合运算的计算方法是解题的关键．21．970【分析】首先把x 和y 进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．解：∵5x ===-，5y ===+∴原式245240245240=-+++970=．【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是对x 和y 进行分母有理化及掌握二次根式的运算法则．22．-【分析】根据已知条件可知，x ，y 是负数，再由二次根式的性质化简，把原式用x+y 和xy 表示即可求解．解：∵x ＋y =－8，xy =8，∴x ＜0，y ＜0，∴2==-=-=-【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除法法则和加减法法则，先要根据式子，找出题目中的隐含条件，判断所含字母或式子的符号，再结合二次根式的定义和运算法则，把式子用x+y 和xy 表示，再整体代入求值．23．（1（21-；（3）5【分析】（1）利用分母有理化计算；（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）先将a 的值化简为1a =，进而可得到1a -=221a a -=，然后利用整体代入的方法计算．解：（1==2==（2）原式1⋯1=-⋯1；（3）1==+ a ，1a ∴-=2(1)2a ∴-=，即2212a a -+=．221a a ∴-=．()22481421a a a a ∴-+=-+411=⨯+5=．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．24．(1)12；(2)m =2；9=【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可；（2）先求出2(21),1a b m ab +=+=再由222182322019a ab b ++=进行变形再求值即可；（320=，然后可得2481=+0≥≥，求出结果解：（1）原式=12=12-=，（2）∵a b∴222(21),1a b m ab +==+=，∵222182322019a ab b ++=，∴222()18232019a b ++=，∴2298a b +=，∴24(21)100m +=，∴251m =±-，∵m 是正整数，∴m =2．（31=得出21=，20=，∵2481=+，0≥≥，9=．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．。
《二次根式》培优试题及答案
《二次根式》提高测试4. . ab 、1 . a 3b'次根式•…（3 xF b简二次根式后再判断.［答案】".= _.［答案】—2a Ji .［点评】注意除法法则和积的算术平方根性12a 3质的运用.8 . a — .. a 2 -1 的有理化因式是(a 2 —1) . a + Ja —1 .【答案】a +9 .当 1<x < 4 时，|x — 4|+ ; X 2 —2X 1 【提示】x 2— 2x + 1=( ) 2，x — 1 .当 x — 4是负数，x — 1是正数.【答案】3 . .【提示】(a — fa 2—1 )( a 2 -1 ._________ AAA【答案】< .【点评】先比较.28，■. 48的大小，再比较， 的大小，最后比较—V28 J48J281与 ------- 的大小.4813.化简：(7 —2 ) 2000 • — 7 — 5、2 ) 2001= ___________ .［提示】(—7 — 5 恋 2)2°01= ( — 7— 5j2)2°°°( _____________ ) ［ — 7 — 5应.］(7 —5 2 ) •(— 7— 5、2 )=? ［1.］［答案】—7— 5 2 .［点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式.14•若.x 1 + , y 一3 = 0,则(x — 1)2 + (y + 3)2 = ________________ •［答案】40. ［点评】、兴 1 > o, . y — 3 > 0.当.x 1 + y — 3 = 0 时，x +1 = 0, y — 3 = 0.1 < x v 4时，x — 4, x — 1是正数还是负数?（一）判断题: （每小题1分，共5 分） 1. .(-2) ab = — 2Jab . 2. )【提示】 (-2)2 =| — 2|= 2.【答案】X .= 73 + 2 =.3-2 3 - 4.(x-1)2 = ("-1)2.-( )【提示】(x-1)2 = x — 1|，.3 — 2的倒数是.、3 + 2 .（ ）【提示】 (y ［3 + 2).【答案】X.3. 式相等，必须x > 1•但等式左边x 可取任何数.【答案】X. (• x -1)2 =x — 1 (x > 1).两5 . 8x ，、.. 3， （二）填空题：（每小题 9 x 2都不是最简二次根式.（） 9 x 2是最简二次根式.【答案】x.6.当x 不等于零. 2分，共20分）时，式子——1 有意义.【提示】•、x 何时有意义？ x > 0.分式何时有意义？分母 Vx -3【答案】x > 0且X K 9 .J2 (x —1 )= X + 1的解是 ______________ .【提示】把方程整理成 ax = b 的形式后，a 、b 分别 ,2 -1， :. 2 1.［答案】x = 3+ 22 .ab -c 2d 2a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简 -----------------J0E&c 2d 2_【答案】I ab + cd .［点评】T ab = ( , ab)2 (ab >0)，二 ab — c 2d 2= (、. ab cd ) ( , ab - cd ).——尸.［提示】2空7 = J 28，4^3 = v 48 .4”310•方程 是多少？ 11.已知112.比较大小：— -------2J7.【提示】c2d 2 = |cd|=— cd .）【提示】 —v a 3b 、— — f a化成最3 x '\ b7•化简一)=a 215. _________________________________________________________________ x , y 分别为8— •. 11的整数部分和小数部分，则 2xy — y 2= _______________________________________ -【提示】； 3v V 4,二 ___________ V 8—卯 V ____________ . ［4, 5］.由于8—介于4与5之间，则其整数部分 x =?小数部分y =? ［x = 4, y = 4—、. 11 ］【答案】5.【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算•在明确了二次根式的取值范围 后，其整数部分和小数部分就不难确定了.（三）选择题：（每小题3分，共15分）3216. 已知 x 3x =— x . x 3，则 ..................... （）（A ） x <0 （B ） x < — 3 （ C ） x >— 3 （ D ）— 3< x < 0【答案】D . 【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件， （A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平 方根的意义.仃.若 x v y v 0,贝寸.x 2_2xy y 2+x 2 2xy - y 2= ................. ( )(A ) 2x ( B ) 2y ( C )— 2x( D )— 2y【提示】T x v y v 0,「. x — y v 0, x + y v 0.'一 x2-2xy y 2 = . (x -y)2 = |x — y|=y —x .x 2 2xy y 2 = . （x y ）2 = |x + y|= — x —y .［答案】C .【点评】本题考查二次根式的性质 ..a 2 =|a|.1 1 ••• x +>0, x — v 0 .［答案】D .xx 【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质. （A ）不正确是因为用性质时没有注意当0v x v 1时,1 x — v 0.x:3a19•化简(a v 0)得 ................................................ ()a(A ). - a( B ) —、.a( C )— ：, - a( D )■■. a［提示】 -a 3 =-a a 2 =V — a • a 2 = |a| U — a = — a 、； 一 a .［答案】C .20. ........................................................................................................................................... 当 a v 0, b v 0 时，一a + 2 ab — b 可变形为 ............................................................ ()—2［答案】C .［点评】本题考查逆向运用公式 （Ja ） = a （a > 0）和完全平方公式.注意（A ）、（B ）不 正确是因为a v 0, b v 0时，..a 、b 都没有意义.（四） 在实数范围内因式分解：（每小题3分，共6分）21.9x 2— 5y 2;［提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2= （ . 5y ）2 .［答案】（3x + ■■ 5 y ） （3x —-.5y ）._x )2422(A )(B )-(C )— 2x(D ) 2xx x【提示】（x1 2——)2+ 4 = (x +丄)2,1 2(x +)2 — 4= (x 丄）2.又Tx xx x0v x v 1,(A )(：.a ■ ： br (B ) — (：：：a - i br 【提示】T a v 0, b v 0,— a > 0, — b >0.并且—a = (•一 ~ a) (C ) (.-a . -b)2 (D ) C - a -.-b)2—b = C 、- b)2, .. ab = ：a)(~b).-4等于 ..................18 .若 O v x v 1则22. 4x4—4x2+ 1 .［提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解. ［答案】（,2 x+ 1）2（2 x—1）2. （五）计算题：（每小题6分，共24分）23. （5 - 3 ■ 2 ）（ ■■- 5 —73 - ' 2 ）；［提示】将•.一5 - .3看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式.【解】原式=(..,5 _ .、3)2— ( .、2)2= 5— 2、、15 + 3— 2 = 6— 2、. 15 .5 4 224. ________ — __________ —;【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式. 4 - . 11. 11 -「73、75(4⑴—4( 117)—2(3「7)= 4「11「11 「7 — 3 + 7 = 1.【解】原式=16—1111-125. (a 2n ab —— mn m m9-7n m 2 2 n + ― a b 、j — m b nV m【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式.【解】原式=2 n ab —— n ma— —mn +.— m mm n mab26.( a +=丄 1 =J b - ab ) ab1+ ----2^2a bm ■ mnna 2 -ab 1b 2ab b . ab - aa b —、ab )(a z b ).【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分.【解】原式=a+Jab +b-了乔 亠 a 扁(掐-裕)-bJb(Ua + Vb) - (a + b)(a- b) va +屈2亠a,ab(、. a 、b)(. a -、b)- a ab - b ab - b 2 - a 2 b 2 .ab(、. a " b)(. a - i. b)J ab(.. a - b)C. a -： b)-.ab(a b)【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐. (六)求值：(每小题7分，共14分) ■-■■3 - < 2 七 y= 3-2，求 3x -xy 3 2 【提示】先将已知条件化简， 3 2【解】丁 x= ---------------占-、，;2「2 (，- ..2)2= 5-2*6 . 27.已知x4, 3 2 23 的值.x y 2x y x y再将分式化简最后将已知条件代入求值.y = .3 .2x + y = 10，x — y = 4 6， xy =5 2— (^.. 6 ) 2= 1.3 2x _xy x(x y)(x- y)4、6 x 4y+2x 3y 2+x 2y 3 x 2y(x + y)2xy(x + y) 1X 10【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x + y ”、“x —y ”、程更简捷.二〈6 .5 “xy ”.从而使求值的过28.当 x = 1 —— x■■- 2 时，求 -------------------- +2 4 2 I 2 4 2 x a 一 x 、x a2x -； x 2 a 2 ------------------------------------------------------2 2 2 x 一 x • x a1------- 的值.2 . 2x a【提示】注意:x 2+ a 2 — xx 2 + a 2= C- x 2a 2 )2，J x 2 +a 2 = J x 2 +a 2(J x 2 +a 2 — x )，x 2-x *；x 2+a 2 = —x ( J x 2 + a 2 — x ).原式=21=屁•【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求岀y 的值.2 2【解】原式= ____________________________ __ _2x …x . a_ + ______ 1_ A /X 2+a 2 (Jx 2+a 2 _x) x(Jx 2 +a 2 _x) w'x 2+a 2 x 2_ x 2 a 2 (2x _ . x 2 a 2) x( . x 2 a 2 - x) x . x 2 a 2 C x 2 a 2"x)2 - a 2 ■ ( ,x 2 a 2 )2 x . x 2 a 2-x =(x 2-.-a 2)2 —x x^.-a 2 = x 2C x ' a -'X )xjx 2 +a 2 (Jx 2 十 a 2 -x)x 2 —2x x x J x 2 +a 2 (Jx 2 +a 2 _x) x = 1- 2时，原式=一1=- 1- . 2 •【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分1 -V2 1 .当 x式”之差, 那么化简会更简便•即原式= •、x 2vx 2 +a 七、解答题：(每小题8分，共16分) — 1 29 •计算(2 5 + 1) ( ---------- +1+V2 x x 2 a 2( i x 2 a 2 _x) 1 1 2 a -x x. x 2 a 2 J 2 + J 3【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算. — ，2 — 1 【解】原式=(2 ,5 + 1)( 2x —：：x 2 -a 2 +x(・ x 亠a —x)1 .x2 a 2V99、 2 -1 3-2 4 -3 100 -99 )[(-1)+( V3 - J2) +(- J3) +…+( J100 )]=(2 “七 + 1 =(2 ,5 + 1) ( .100 -1) =9 (2 •：”； 5 + 1).【点评】本题第二个括号内有 99个不同分母，不可能通分•这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消•这种方法也叫做裂项相消法. 30.若 x ，y 为实数，且 y = .. 1- 4x + 4x -1 + — •求2【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件?14^0］你能求出x ，y 的值吗? 4X — 1 -0.13]1 2.【解】要使y 有意义，必须［ 1 一 4x -4x -1 一 0又；x2 y - x _2 ■ yy x y x原式=X . y - J y Y x 耳xJ4x 一丄4 x = 1 .当 x41时, 1 y =2yy1 x =—4/ x -y 1 y =，-22 .x 当■ yx=— 4y = x<y 1时，2。
初二数学《二次根式》竞赛培优精选题(含解析)
二次根式竞赛培优题（含解析）一．选择题（共5小题）1．计算：=（）A．3994001B．3994002C．3994003D．39940002．计算：=（）A．B．C．D．3．的结果是（）A．B．C．D．4．的值是（）A．B．C．1D．5．在这1000个二次根式中，与是同类二次根式的个数共有（）A．3B．4C．5D．6二．填空题（共24小题）6.已知实数x1，x2，x3，…，x1999满足．则x1+2x2+3x3+…+1999x1999的值为．7．化简=．8．化简．9．观察图形，用S i表示第i个三角形的面积，有；；，…，若S1+S2+S3+…+S n＞10，则n的最小值为．10．方程的解是x=11．设M=+++┉+，N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994，则=．12．计算：=（其中a＞0）13．的值为．14．已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k=．15．若n为整数，且是自然数，则n=．16．如果，并且表示为时的值，即，表示当时的值，即，那么的值为．17．若u、v满足v=，则u2﹣uv+v2=．18．已知a为实数，且与都是整数，则a的值是．19．使得++=1的一组正整数（a，b，c）为：．20．计算﹣20062的结果是．21．设=．22．若，，则x6+y6的值是．23．当时，的值为．24．已知，，则k=．25．当1≤x≤2时，经化简等于．26．计算=．27．已知x=，那么+1的值是．28．化简：，得到．29．=．三．解答题（共1小题）30．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．二次根式竞赛培优题（含解析）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．计算：=（）A．3994001B．3994002C．3994003D．3994000【分析】设1998=a，把被开方数变形后，利用多项式的乘法法则计算后，加上a2再减去a2，前三项结合提取a2，剩下的三项利用完全平方公式化简，接着三项合并后提取2a，整体再利用完全平方公式化简，从而得到被开方数为一个数的完全平方，利用化简公式=|a|及a大于0即可得到最后结果．【解答】解：设1998=a，则1997×1998×1999×2000+1=（a﹣1）a（a+1）（a+2）+1=a4+2a3+a2﹣a2﹣a2﹣2a+1=a2（a+1）2﹣2a（a+1）+1=[a（a+1）﹣1]2，所以==1998×1999﹣1=3994001．故选：A．【点评】此题考查了二次根式的化简求值，考查了换元的思想，本题的技巧性比较强，要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点，同时注意利用凑项的方法构造满足公式的特征，以及注意二次根式的化简公式=|a|的运用．2．计算：=（）A．B．C．D．【分析】根据每个加数的特点，推出一般规律为，将所得式子化简，分别取n=1，2，3，…，40，寻找抵消规律，得出结论．【解答】解：∵=（）=（）=（）=（﹣）∴分别取n=1，2，3， (40)原式=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，观察式子的特点，得出一般规律，将一般规律化简代值，再观察抵消规律是解题的关键．3．的结果是（）A．B．C．D．【分析】把每个加数分母有理化，然后通分计算即可．【解答】解：=（）=．故选：D．【点评】主要考查二次根式的分母有理化．主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．4．的值是（）A．B．C．1D．【分析】认真观察式子的特点，总结规律，可发现，，，据此作答．【解答】解：由题意可知第k项是∴原式=（++=1﹣=1﹣=．故选：B．【点评】此题考查二次根式的化简求值，关键是审清题意，找准规律答题．5．在这1000个二次根式中，与是同类二次根式的个数共有（）A．3B．4C．5D．6【分析】找到1000＜5×x2＜2000中符合x的整数值即可得出答案．【解答】解：由题意得：与=20，是同类二次根的被开方数一定为5，由此及题意可：1000＜5×x2＜2000，x可取15、16、17、18、19，共5个．故选：C．【点评】本题考查同类二次根式的知识，有一定难度，关键是根据同类二次根式的形式得出的同类二次根式应该满足．二．填空题（共24小题）6．已知实数x1，x2，x3，…，x1999满足．则x1+2x2+3x3+…+1999x1999的值为3998000．【分析】由等式可知=x1，=x2，…解得x1=x2=x3=…=x1999=2，由此代入求得数值即可．【解答】解：∵，∴=x1，=x2，…∴x1=x2=x3=…=x1999=2，∴x1+2x2+3x3+…+1999x1999=2×（1+2+3+ (1999)=2×（1999+1）×1999÷2=3998000．故答案为：3998000．【点评】此题考查二次根式的化简求值，解答此题的关键是找出对应关系，求出x1、x2、x3、…、x1999的值．7．化简=2011．【分析】先根据平方差公式和二次根式的性质得到=，然后根据同样的方法由内到外依次化简即可得到答案．【解答】解：∵=，∴原式=======2011．故答案为2011．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：=|a|．也考查了平方差公式．8．化简后2．【分析】由于===﹣1，其他根式也可以进行同样的化简，然后合并同类二次根式即可求解．【解答】解：=﹣1+﹣++++++=3﹣1=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式化简二次根式从而达到化简题目的目的．9．观察图形，用S i表示第i个三角形的面积，有；；，…，若S1+S2+S3+…+S n＞10，则n的最小值为10．【分析】利用不等式≤，结合S1+S2+S3+…+S n ＞10，解不等式即可．【解答】解：∵S i表示第i个三角形的面积，由不等式≤n，得≤n=n，而S1+S2+S3+…+S n=，S1+S2+S3+…+S n＞10，∴n＞10，即n2（n+1）＞800，n为正整数，n的最小值为9．但n=9时，代入S1+S2+S3+…+S n＜10，不符合题意，故n=10．【点评】本题考查了二次根式的运用．利用均值不等式和不等式的传递性解题．10．方程的解是x=2011【分析】将各分式中的分母有理化，再通分，注意观察抵消规律．【解答】解：原方程化为：+++…+=，通分得=，解得x=2011．故答案为：2011．【点评】本题考查了二次根式的化简在解方程中的运用．关键是将各分式的分母有理化，寻找抵消规律．11．设M=+++┉+，N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994，则=﹣．【分析】首先将M式中各个分式进行分母有理化，再求出N式的值，代入代数式求值即可解答．【解答】解：将M分母有理化可得M=（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣1．N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994=（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+┉+（1993﹣1994）=﹣1×997=﹣997，∴==﹣．故答案为﹣．【点评】本题主要考查分母有理化的方法，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．12．计算：=4（其中a＞0）【分析】仔细观察会发现有以下规律：第1项加上第8项等于1，第2项加上第7项等于1，依此类推最后求得的结果4．【解答】解：第一项与最后一项相加得：+，=+，=，=1，同理可得：第二项与倒数第二项的和也是1；第三项与倒数第三项的和也是1；所以原式=1+1+1+1=4．故应填：4．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，同时也考查了学生的逻辑思维能力，是一道不错的规律型问题．13．的值为1998999.5．【分析】本题涉及数字大且数字之间有联系，可用换元法解题，设k=2000，将所求算式转化为关于k的算式，将被开方数配成完全平方式，开平方，再将k的值代入即可．【解答】解：设k=2000，原式=====，当k=2000时，原式=1998999.5．故本题答案为：1998999.5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，当算式数字较大，并且数字之间有联系时，用换元法解题，可使运算简便．14．已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k=8．【分析】读懂规律，按所得规律把左边所有的加数写成的形式，把互为相反数的项结合，可使运算简便．【解答】解：∵，∴+，即1﹣，∴，解得k=8．故答案为：8．【点评】解答此题的关键是读懂题意，总结规律答题．15．若n为整数，且是自然数，则n=﹣14或﹣7或﹣2或5．【分析】设=p，再把等式两边同时乘以4，利用平方差公式把等式左边化为两个因式积的形式，列出关于p、n的方程组，求出n 的值即可．【解答】解：∵设=p（P为非负整数），则n2+9n+30=p2，∴4n2+36n+120=4p2，∴（2n+9）2+39=4p2，∴（2p+2n+9）（2p﹣2n﹣9）=39，∴或或或，解得或或或，∴n=﹣14或﹣7或﹣2或5．故答案为：﹣14或﹣7或﹣2或5．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意把原式化为两个因式积的形式是解答此题的关键．16．如果，并且表示为时的值，即，表示当时的值，即，那么的值为2012.5．【分析】根据新定理得f（）=，f（）=，则f（）+f（）=1；f（）=，f（）=，则f（）+f（）=1，由此得到f（）+f（）=1（n≥2的整数），所以原式=+．【解答】解：f（）=，∵f（）==，f（）=，则f（）+f（）=1，f（）==，f（）==，则f（）+f（）=1，∴f（）+f（）=1，∴=+=2012.5．故答案为2012.5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了阅读理解能力．17．若u、v满足v=，则u2﹣uv+v2=．【分析】根号里面的式子大于等于0，从而可得≥0，﹣≥0，从而能得出u和v的值，继而可得出答案．【解答】解：由题意得：≥0，﹣≥0，从而=0，2u﹣v=0，u=v，又v=，∴u=，∴u2﹣uv+v2=．故答案为．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，注意掌握根号里面的式子大于等于0这个知识点比较关键．18．已知a为实数，且与都是整数，则a的值是或．【分析】由是正整数可得，a是含﹣2的代数式；再由是整数，可得化简后为﹣2的代数式分母有理化后，是1或﹣1，据此确定a的值．【解答】解：∵是正整数，∴a是含﹣2的代数式；∵是整数，∴化简后为﹣2的代数式分母有理化后，是1或﹣1，∴a=或．故答案为：或．【点评】此题主要考查二次根式的混合运算，要熟练掌握合并同类二次根式和分母有理化．19．使得++=1的一组正整数（a，b，c）为：答案不唯一；如（288，8，8），（48，24，8）．【分析】由于三个复合二次根式的和为1，则它们的被开方数为完全平方数，设任意一个复合二次根式的被开方数为（）2（x，y为正整数，x＞y），然后通过正整数的含义，得到x，y为两个相邻正整数，即每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根．若第一个化简后是﹣1，则第二个复合二次根式化简后必为﹣，第三个复合二次根式化简后必为，最后求的a，b，c的值．【解答】解：因为几个复合二次根式的和为1，则每个复合二次根式的被开方数一定为完全平方数．设==x+y﹣2，（x，y为正整数，x＞y），所以有=x+y，﹣=﹣2．∴a+1=（x+y）2，a=4xy，∴（x﹣y）2=1，即x﹣y=1．则每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根．若第一个化简后为﹣1，而要消掉，则第二个复合二次根式化简后必为﹣，要消掉，则第三个复合二次根式化简后必为．最后正好为﹣=1．所以=（﹣1）2=3﹣=3﹣，则a=8，同理得b=24，c=48．故得到一组正整数（a，b，c）为：8，24，48．故答案为8，24，48．【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的化简：．20．计算﹣20062的结果是2005．【分析】先把“2005×2006×2007×2008+1=（20052+3×2005+1）2”化为完全平方的形式，再开平方，然后再来求值．【解答】解：∵2005×2006×2007×2008+1=2005×（2005+3）×（2005+1）（2005+2）+1=（20052+3×2005）×（20052+3×2005+2）+1=（20052+3×2005）2+2（20052+3×2005）+1=（20052+3×2005+1）2∴=20052+3×2005+1；∴﹣20062=20052+3×2005+1﹣20062=（2005+2006）（2005﹣2006）+3×2005+1=2005；故答案为：2005．【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值．解答此题的难点是化“2005×2006×2007×2008+1”为完全平方的形式，并开平方，然后再利用平方差公式求出20052﹣20062=（2005+2006）（2005﹣2006）的值．21．设=．【分析】把已知条件的左边相乘得，这样出现了所求代数式，设=z，代入变形所得的等式，逐步变形，消去x、y，即可求得z．【解答】解：据条件式令=z，则（1）式化为：z+xy+=9，即有9﹣z=xy+，平方得，81﹣18z+z2=x2y2+（x2+1）（y2+4）+2xy（2），又由z2==x2（y2+4）+y2（x2+1）+2xy，代入（2）得，81﹣18z=4，所以．即=，故答案为：．【点评】此题考查二次根式的化简求值，难度较大，多次利用已知条件求解．22．若，，则x6+y6的值是40．【分析】根据题意可求出x2+y2，x2﹣y2，利用平方差公式可求得x4﹣y4，（x2﹣y2）（x4﹣y4）=x6+y6﹣x2y4﹣y2x4，由此可得答案．【解答】解：由题意得：x2+y2=2++2﹣=4，x2﹣y2=2+﹣（2﹣）=2，x4﹣y4=（x2+y2）（x2﹣y2）=8，又（x2﹣y2）（x4﹣y4）=x6+y6+x2y4+y2x4，∴可得：x6+y6=32﹣x2y2（x2+y2）=32+2×4=40．故答案为：40．【点评】本题考查二次根式的乘除法运算，有一定难度，关键是熟练运用平方差及完全平方公式．23．当时，的值为．【分析】利用完全平方公式对代数式化简再把代入化简的结果计算即可．【解答】解：原式=﹣，∵，∴=2005，∴x＜，∴原式=﹣+x，=x，当时，原式=．故答案为．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值和二次根式的性质=a（a≥0）的应用．24．已知，，则k=﹣1．【分析】先从等式右边进行分母有理化，即原式=﹣2，然后依次循环即可求k的值．【解答】解：由原式可知=+2﹣4=﹣2，∴4+=+2，依此类推得：=+2，∴k=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了分母有理化的知识，解题时可从等式右边进行分母有理化，那样会简便些．25．当1≤x≤2时，经化简等于2．【分析】先配成完全平方式，再根据二次根式的性质化简计算即可．【解答】解：∵1≤x≤2，∴=+=+1+1﹣=2．故答案为：2．【点评】考查了二次根式的性质，解题的关键是将根号内的式子配成完全平方式．26．计算=2010．【分析】因为=，=，=，…，可发现=1+=1+1﹣，=1+=1+﹣…，依此类推再把1+1﹣，1+﹣…相加可得问题答案．【解答】解：原式=++++…+，=1+1﹣+1+﹣+1+﹣+1+﹣…+1+﹣，=2010+（1﹣+﹣+﹣…+﹣），=2010+（1﹣），=2010．【点评】本题考查了二次根式的化简，在化简中注意有关数列的规律．27．已知x=，那么+1的值是2．【分析】先根据分母有理化得到x=﹣1，所以x+1=，然后将代数式化为含有（x+1）2的形式，把x+1的值代入求出代数式的值．【解答】解：∵x==﹣1，∴x+1=．原式=（3x3+10x2+5x+4）=[（3x3+6x2+3x）+3x2+（x2+2x+1）+3]=[3x（x+1）2+3x2+（x+1）2+3]=[3x•2+3x2+2+3]=[（3x2+6x+3）+2]=[3（x+1）2+2]=（3×2+2）=2．故答案是：2．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，先根据分母有理化把x的值化简，得到x+1=，再把代数式化成含有x+1的形式，然后代入代数式可以求出代数式的值．28．化简：，得到1．【分析】将被开方数的分子、分母提公因式，约分，再开平方，约分即可．【解答】解：原式=（）1004=（）1004（）1004=1．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，关键是将被开方数的分子、分母提公因式，约分．29．=﹣3．【分析】因为=，代入并通分计算即可．【解答】解：原式===﹣1﹣1﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题考查二次根式的混合运算，关键是求=．三．解答题（共1小题）30．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）设n=1999，从而可将根号里面的数化为完全平方的形式，继而可得出答案．（2）分别将各二次根式配方可得出答案．（3）将分子及分母分别化简，然后运用提公因式的知识将分子及分母简化，继而得出答案．（4）设=a，=b，=c，从而可将原式化简，继而可得出答案．【解答】解：（1）设n=1999，则原式===n2+3n+1，故原式=20002+1999；（2）原式=+++++++=﹣1+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣，=﹣1，=3﹣1，=2；（3）原式=，=，=+，=﹣；（4）设=a，=b，=c，则原式=++，=，=0．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，难度较大，注意换元法及完全平方知识的运用．。
二次根式培优专题(一)
二次根式(g ēnsh ì)培优专题 （一）一、基础知识回顾(hu íg ù)1.二次根式(g ēnsh ì)：式子(sh ì zi)（≥0）叫做(ji àozu ò)二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质： （1）（a ≥0）； （2）5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．二、精典考题类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）a （a ＞（a ＜1、下列(xiàliè)各式中，不是二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．2、二次根式(gēnshì)有意义(yìyì)时的的取值范围(fànwéi)是。
3、已知：，则= 。
类型二：考查二次根式(g ēnshì)的性质（非负性、化简）4、代数式的最大值是。
5、实数在数轴上的位置如图1所示，化简。
（图6、把的根号外的因式移到根号内得；的平方根是。
7、化简：；。
类型三：考查同类二次根式与最简二次根式（化简）8、把，，，按由大到小的顺序排列为：类型四：考查二次根式的运算（加减乘除混合运算、分母有理化）9、若，，则a与b的关系是（）A．互为相反数；B．互为倒数；C．互为负倒数；D．以上均不对。
(完整版)培优专题：二次根式
二次根式培优一、 知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件一般地，我们把形如 ,a(a 0)的式子叫做二次根式，其中a 0-a 0。
根据二次根式的定义，我们知道：被开方数 a 的取值范围是a 0，由此我们判断下列式子有 意义的条件：____ ____ ____ 1/ x 1(1 八 x 1 \1 x ; (2)、 -- 2；2V x(3) <1—T J—2； (4) —-; (5) V3—r(x竺x 1Vx 2(1) 、根据二次根式的这个性质进行化简： ① 数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简2a⑤ 若为a,b,c 三角形的三边，贝U ■(a b c)2 "a b c ^ ------------⑥ 计算：J (4研&妬5)2 _____________________ (2) 、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围教科书中给出：一般地，根据算术平方根的意义可知：'a a(a 0)，在此我们可将其拓展为:2、也2的化简 a(a 0) a(a 0)②化简求值:1其中a= 5③已知,3,化简2m4m 2 m 1 .m 2 6m 912am J 2m m2 1,求m的取值范围①若②若J(2 x)2J(6 2x)2 4 x，则x的取值范围是 ______________________________③若 a J2b 14 J7 b ,求J a2 2ab b2的值；④已知:y= ,2x 5 .5 2x 3,求2xy的值。
.二次根式,a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即a 0②二次根式,a是非负数，即...a 0 例1.要伸x 1有意义，则x应满足( ).J2x 11 11 1A. 1< x< 3 B . x< 3 且X M丄C .丄v x v 3 D . - vx< 32 2 2 2例2 (1)化简打—1 J—x = ____________ .(2)若.E .C=(x+ y)2,贝U x —y 的值为()(A) —1 . (B)1 . (C)2 . (D)3 .例3(1)若a、b为实数，且满足丨a — 2 | +一b2=0,则b —a的值为()A. 2B. 0C. —2D.以上都不是⑵已知x, y是实数，且(x y 1)2与2x y 4互为相反数，求实数y x的倒数三，如何把根号外的式子移入根号内我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。
二次根式培优试卷
第一章二次根式好题精选一．选择题1．下列各式中计算正确的是（）A．＝×＝（﹣2）×（﹣4）＝8 B．＝4a（a＞0）C．＝3+4＝7 D．＝2．化简（x≠y，且x、y都大于0），甲的解法；＝＝﹣；乙的解法：＝＝﹣，下列判断正确的是（）A．甲的解法正确，乙的解法不正确B．甲的解法不正确，乙的解法正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确3．设a，b≠0，式子有意义，则该式等于（）A．B．C．D．4．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（）A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a5．若＝3﹣a，则a与3的大小关系是（）A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥36．已知，则的值为（）A．1 B．C．D．7．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x8．估计代数式+的运算结果应在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间9．若＝﹣，则（）A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．ab≤0 D．ab≤0且b≠010．设S 1＝1，S2＝1+3，S3＝1+3+5，…，S n＝1+3+5+…+（2n﹣1），S＝++••+，其中n为正整数，用含n的代数式表示S为（）A．n B．C．n2D．二．填空题（共10小题） 11．已知：x ＝，计算x 2﹣x +1的值是 ．12．化简：()()23352325-+-+的结果为____________________13．在正方形ABCD 中，E 是边BC 上一点，如果这个正方形的面积为m ，△ABE 的面积等于正方形面积的四分之一，那么BE 的长用含m 的代数式表示为 ． 14．化简：2＜x ＜4时，﹣＝ ．15．已知a ，b 均为正整数，如果0＜﹣b ＜1，我们称b 是的“主要值”，那么的主要值是 ．三．解答题（共15小题） 16．计算（1）﹣+（2）（）（）﹣（﹣）217．．18．先化简，再求值 （1）（﹣），其中a ＝17﹣12，b ＝3+2（2）（a +）（a ﹣）﹣（﹣a ）2，其中a ＝2﹣1．（3）+，其中x＝19．观察下列各式：＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）＝（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）20．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．例如：化简解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2∴＝＝1+；请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．21．阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；＝．解答下列问题：（1）3﹣与互为有理化因式，将分母有理化得；（2）计算：；（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．22．已知a＝，b＝，求a2+3ab+b2﹣a+b的值23．（利用解决本题）已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：++．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．下列计算正确的是（）A．＝±4 B．2×32＝62＝36C．（﹣5）÷（﹣2）×（﹣）＝﹣5 D．﹣2×+2×（3+）+4＝10【分析】根据实数与二次根式的混合运算顺序和运算法则逐一计算可得．【解答】解：A．＝4，此选项错误；B．2×32＝2×9＝18，此选项错误；C．（﹣5）÷（﹣2）×（﹣）＝×（﹣）＝﹣，此选项错误；D．﹣2×+2×（3+）+4＝﹣2+6+2+4＝10，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．2．化简（x≠y，且x、y都大于0），甲的解法；＝＝﹣；乙的解法：＝＝﹣，下列判断正确的是（）A．甲的解法正确，乙的解法不正确B．甲的解法不正确，乙的解法正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确【分析】分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式，或者运用因式分解和约分．【解答】解：甲的解法：＝＝﹣，利用平方差公式进行分母有理化，正确；乙的解法：＝＝﹣，利用因式分解进行分母有理化，正确；故选：C．【点评】本题主要考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，分母有理化是指把分母中的根号化去．3．下列计算正确的是（）A．＝±15 B．＝﹣3 C．＝D．＝【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：A、＝15，故此选项错误；B、＝3，故此选项错误；C、＝，故此选项错误；D、＝，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．4．设a，b≠0，式子有意义，则该式等于（）A．B．C．D．【分析】先根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式﹣a3≥0，再根据公式＝|a|及有理数的乘法法则得出a、b的取值范围，然后化简即可．【解答】解：由题意，得﹣a3≥0，又∵＝b2≥0，b为任意数，∴﹣a3≥0，∴a≤0，∴＝＝•＝．故选：D．【点评】本题主要考查了二次根式的性质及二次根式的化简．用到的知识点有：①二次根式的被开方数是非负数；②两个公式：＝（a≥0，b≥0），＝|a|．5．下列各式中计算正确的是（）A．＝×＝（﹣2）×（﹣4）＝8B．＝4a（a＞0）C．＝3+4＝7D．＝【分析】根据二次根式的意义、性质逐一判断即可得．【解答】解：A．、没有意义，此选项错误；B．＝2a（a＞0），此选项错误；C．＝＝5，此选项错误；D．＝，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是二次根式的定义和性质．6．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（）A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a【分析】首先根据三角形的三边关系得到根号内或绝对值内的式子的符号，再根据二次根式或绝对值的性质化简．【解答】解：∵a、b、c为三角形的三边，∴a+c＞b，a+b＞c，即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；∴﹣2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c．故选：B．【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时，＝a；a＜0时，＝﹣a；a＝0时，＝0．绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数；正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0．7．如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（）A．n B．n C．n D．n+【分析】认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可．【解答】解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1…f（）+f（）＝1，所以，原式＝+（n﹣1）＝n﹣．故选：A．【点评】解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律．8．若＝3﹣a，则a与3的大小关系是（）A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥3【分析】等式左边为算术平方根，其结果3﹣a应该为非负数．【解答】解：∵＝3﹣a∴3﹣a≥0∴a≤3故选：B．【点评】注意：算术平方根是非负数，这是解答此题的关键．9．已知，则的值为（）A．1 B．C．D．【分析】根据，可以求得a、b的值，从而可以求得所求式子的值，本题得以解决．【解答】解：∵，∴a﹣3＝0，2﹣b＝0，解得，a＝3，b＝2，∴＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查二次根式的化简求值、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值．10．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x【分析】先进行因式分解，x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，再根据二次根式的性质来解题即可．【解答】解：＝＝|x﹣1|∵x＜1，∴原式＝﹣（x﹣1）＝1﹣x，故选：D．【点评】根据完全平方公式、绝对值的运算解答此题．11．的整数部分是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由于＝﹣1，＝﹣，…，＝﹣+，于是可得原式＝﹣1+﹣+…﹣+，计算即可．【解答】解：∵＝﹣1，＝﹣…＝﹣+，∴原式＝﹣1+﹣+…﹣+＝﹣1+10＝9．【点评】本题考查了二次根式的加减法．解题的关键是对每一个分式分母有理化．12．估计代数式+的运算结果应在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间【分析】先化成最简二次根式，再合并，最后求出的范围即可．【解答】解：+＝+＝2＝，∵2＜＜3，∴代数式+的运算结果在2到3之间，故选：B．【点评】本题考查了二次根式的加减法，估算无理数大小的应用，主要考查学生的计算能力．13．已知方程+3＝，则此方程的正整数解的组数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先把化为最简二次根式，由+3＝可知，化为最简根式应与为同类根式，即可得到此方程的正整数解的组数有三组．【解答】解：∵＝10，x，y为正整数，∴，化为最简根式应与为同类根式，只能有以下三种情况：+3＝+9＝4+6＝7+3＝10．∴，，，共有三组解．故选：C．【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．14．若＝﹣，则（）A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．ab≤0 D．ab≤0且b≠0【分析】先判断结果的情况，再判断ab积的情况．【解答】解：∵＝≥0又∵＝﹣，∴﹣≥0∴ab≤0且b≠0故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质，解决本题需着眼于整体．本题易忽略b≠0而出错．15．设S 1＝1，S2＝1+3，S3＝1+3+5，…，S n＝1+3+5+…+（2n﹣1），S＝++••+，其中n为正整数，用含n的代数式表示S为（）A．n B．C．n2D．【分析】求出S1，S2，S3，…的值，代入后根据二次根式的性质求出每一部分的值，再求出最后结果即可．【解答】解：∵S1＝1，S2＝1+3＝4，S3＝1+3+5＝9，…，S n＝1+3+5+…+（2n﹣1），∴S＝++••+，＝+++…+＝1+2+3+…+n＝，故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：1+2+3+…n＝．二．填空题（共10小题）16．计算（）＝．【分析】先计算括号内的加法，再计算除法即可得．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝×＝，故答案为：【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．17．如果（a，b为有理数），则a＝6，b＝4．【分析】先计算出（2+）2，再根据可得答案．【解答】解：∵（2+）2＝4+4+2＝6+4，∴a＝6、b＝4．故答案为：6、4．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．18．计算：（3+1）（3﹣1）＝17．【分析】根据平方差公式计算即可．【解答】解：原式＝（3）2﹣12＝18﹣1＝17故答案为：17．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握平方差公式、二次根式的性质是解题的关键．19．已知：x＝，计算x2﹣x+1的值是+4．【分析】先将x的值分母有理化得出x＝+1，再代入原式，根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：∵x＝＝＝＝+1，∴x2﹣x+1＝（+1）2﹣（+1）+1＝4+2﹣﹣1+1＝+4．故答案为：+4．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及分母有理化．20．当x＝1﹣时，x2﹣2x+2028＝2030．【分析】将x的值代入x2﹣2x+2028＝（x﹣1）2+2027，根据二次根式的运算法则计算可得．【解答】解：当x＝1﹣时，x2﹣2x+2028＝（x﹣1）2+2027＝（1﹣﹣1）2+2027＝（﹣）2+2027，＝3+2027＝2030，故答案为：2030．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则及完全平方公式．21．若x＝﹣1，则＝2．【分析】将x的值代入原式＝，计算可得．【解答】解：当x＝﹣1时，原式＝＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质．22．已知：m+n＝10，mn＝9，则＝±．【分析】先求所求的代数式的完全平方形式，然后直接开平方即可求得的值．【解答】解：∵m+n＝10，mn＝9，∴（）2＝＝＝＝，∴＝±．故答案是：．【点评】考查了二次根式的化简求值，需要掌握完全平方公式，属于基础计算题．23．在正方形ABCD中，E是边BC上一点，如果这个正方形的面积为m，△ABE的面积等于正方形面积的四分之一，那么BE的长用含m的代数式表示为．【分析】首先根据正方形的面积，表示出△ABE的面积，然后利用三角形的面积的公式表示出线段BE的长即可．【解答】解：∵正方形的面积为m，△ABE的面积等于正方形面积的四分之一，∴正方形的边长AB＝，△ABE的面积为，∵S△ABE＝AB•BE＝BE＝，∴BE＝，故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是表示出正方形的边长及直角三角形的面积．24．化简：2＜x＜4时，﹣＝2x﹣6．【分析】首先根据x的范围确定x﹣2与x﹣4的符号，然后利用算术平方根的定义，以及绝对值的性质即可化简．【解答】解：∵2＜x＜4，∴x﹣2＞0，x﹣4＜0，∴原式＝﹣＝|x﹣2|﹣|x﹣4|＝x﹣2﹣（4﹣x）＝x﹣2﹣4+x＝2x﹣6．故答案为：2x﹣6．【点评】本题考查了二次根式的化简，正确理解算术平方根的性质是关键．25．已知a，b均为正整数，如果0＜﹣b＜1，我们称b是的“主要值”，那么的主要值是4．【分析】根据a，b均为正整数，如果0＜﹣b＜1，我们称b是的“主要值”，可以求得的主要值．【解答】解：∵0＜﹣4＜1，∴的主要值是4，故答案为：4．【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，可以估算出处于哪两个整数之间．三．解答题（共15小题）26．计算（1）﹣+（2）（）（）﹣（﹣）2【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减可得．【解答】解：（1）原式＝﹣2+10＝；（2）原式＝2﹣6﹣（2﹣2+）＝﹣4﹣＝﹣4．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．27．当t＝2时，求二次根式的值．【分析】将t的值代入＝＝|3﹣t|计算可得．【解答】解：当t＝2时，＝＝|3﹣t|＝|3﹣2|＝3﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的基本性质．28．已知a，b，c为△ABC三边，化简+|b﹣a﹣c|．【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定a﹣b﹣c以及绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．【解答】解∵a，b，c为△ABC三边，∴原式＝|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝b+c﹣a+a+c﹣b＝2c．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理．29．．【分析】根据二次根式的定义得出x﹣8≥0，8﹣x≥0，求出x，代入求出y，把所求代数式化简后代入求出即可．【解答】解：要使y＝++9有意义，必须x﹣8≥0，且8﹣x≥0，解得：x＝8，把x＝8代入得：y＝0+0+9＝9，∴＝，＝+，＝+，＝．【点评】本题考查了对二次根式有意义的条件，二次根式的化简，分母有理化等知识点的应用，解此题的关键是求出x、y的值，通过做此题培养了学生灵活运用性质进行求值的能力，题目比较典型．30．计算：（1）﹣+（2）（﹣）（+）+（﹣1）2【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减可得．【解答】解：（1）原式＝4﹣3+＝；（2）原式＝5﹣2+4﹣2＝7﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．31．化简求值：已知：x＝，y＝，求（x+3）（y+3）的值．【分析】将x和y的值分母有理化，再代入到原式xy+3x+3y+9＝xy+3（x+y）+9计算可得．【解答】解：当x＝＝＝，y＝＝＝时，原式＝xy+3x+3y+9＝xy+3（x+y）+9＝×+3×（+）+9＝+3×+9＝+3+9＝+3．【点评】此题考查了二次根式的化简求值与分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式及二次根式的混合运算顺序与运算法则是解答问题的关键．32．先化简，再求值：（﹣），其中a＝17﹣12，b＝3+2【分析】将原式利用二次根式的性质和运算法则化简为，由a＝17﹣12＝（3﹣2）2、b＝3+2＝（+1）2，代入计算可得．【解答】解：原式＝（﹣）•＝[﹣]•＝•＝，∵a＝17﹣12＝32﹣2××（2）2＝（3﹣2）2，b＝3+2＝（）2+2+1＝（+1）2，∴原式＝＝＝＝．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．33．先化简，再求值：（a+）（a﹣）﹣（﹣a）2，其中a＝2﹣1．【分析】先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可化简二次根式，最后将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝a2﹣5﹣3﹣a2+2a＝2a﹣8．∵a＝2﹣1，∴原式＝2×（2﹣1）﹣8＝4﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和二次根式的性质．34．先化简，再求值：已知x＝，求+的值．【分析】先将x的值分母有理化，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，从而得出答案．【解答】解：∵x＝＝3﹣2，∴x﹣2＝1﹣2＜0，则原式＝x﹣1+＝x﹣1﹣1＝x﹣2＝1﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化与分式的混合运算顺序与运算法则、二次根式的性质．35．观察下列各式：＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）＝1（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：＝1+；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；（2）根据规律，写出等式；（3）根据（2）的规律，即可解答．【解答】解：（1）＝1＝1；故答案为：1；（2）＝1+＝1+；故答案为：＝1+；（3）．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．36．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．例如：化简解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2∴＝＝1+；请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：（1）∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2××＝（+）2，∴＝＝+；（2）∵7﹣4＝4+3﹣4＝22+（）2﹣2×2×＝（2﹣）2，∴＝＝2﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．37．阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；＝．解答下列问题：（1）3﹣与3+互为有理化因式，将分母有理化得；（2）计算：；（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．【分析】（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简；（2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子；（3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值．【解答】解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，＝，故答案为：3，；（2）＝﹣2＝2﹣；（3）∵，∴a（﹣1）+b＝﹣1+2，∴﹣a+（a+）＝﹣1+2，∴﹣a＝﹣1，a+＝2，解得，a＝1，b＝2．【点评】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．38．已知a＝，b＝，求a2+3ab+b2﹣a+b的值【分析】先由a、b的值计算出a+b、a﹣b、ab的值，再代入到原式＝a2+3ab+b2﹣a+b＝（a+b）2﹣（a﹣b）+ab．【解答】解：∵a＝，b＝，∴a+b＝2，a﹣b＝﹣2，ab＝1，∴原式＝a2+3ab+b2﹣a+b＝a2+2ab+b2﹣a+b+ab，＝（a+b）2﹣（a﹣b）+ab＝（2）2﹣（﹣2）+1＝13+2．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，在解答此题类目时要根据各题的特点灵活解答．39．（利用解决本题）已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：++．【分析】根据两边之和大于第三边可将各二次根式求出，从而可得出化简后的答案．【解答】解：由三边关系得：a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，∴原式＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c＝4c．【点评】本题考查二次根式的化简及三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边是关键．40．现有一组有规律的数：1，﹣1，，﹣，，﹣，1，﹣1，，﹣，，﹣…其中1，﹣1，，﹣，，﹣这六个数按此规律重复出现．（1）第50个数是什么数？（2）把从第1个数开始的前2017个数相加，结果是多少？（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方相加起来，如果和为520，那么一共是多少个数的平方相加？【分析】（1）首先根据这列数的排列规律，可得每6个数一个循环：1，﹣1，，﹣，，﹣，然后用50除以6，根据余数的情况判断出第50个数是什么数即可；（2）首先用2017除以6，求出一共有多少个循环，以及剩下的数是多少；然后用循环的个数乘以1+（﹣1）++（﹣）++（﹣）＝0，再加上剩下的数，求出把从第1个数开始的前2015个数相加，结果是多少即可；（3）首先求出1，﹣1，，﹣，，﹣六个数的平方和是多少；然后用520除以六个数的平方和，根据商和余数的情况，判断出一共有多少个数的平方相加即可．【解答】解：（1）这列数每6个数一个循环：1，﹣1，，﹣，，﹣，∴50÷6＝8…2，∴第50个数是﹣1．（2）∵2017÷6＝336…1，且1+（﹣1）++（﹣）++（﹣）＝0，∴从第1个数开始的前2017个数的和是：336×0+1＝1．（3）∵12+（﹣1）2+（）2+（﹣）2+（）2+（﹣）2＝12，520÷12＝43…4，而且12+（﹣1）2+（）2＝4，∴43×6+3＝261，即共有261个数的平方相加．【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：这列数每6个数一个循环：1，﹣1，，﹣，，﹣，而且每个循环的6个数的和是0．。
中考培优专题之二次根式
备战中考之二次根式习题一、单选题（共15题；）1.对于任意的正数m 、n 定义运算※为：m ※n={√m −√n (m ≥n )√m +√n (m <n )),计算（3※2）×（8※12）的结果为（ ）A. 2﹣4√6B. 2C. 2√5D. 20 2.要使二次根式√3−2x 有意义，则x 的取值范围是（ ）A. x ⩾32 B. x ⩽32 C. x ⩾23 D. x ⩽23 3.下列各实数中最大的一个是（ ） A. 5× √0.039 B.3.141πC.√14+√7D. √0.3 + √0.24.已知x 为实数，化简√−x 3−x√−1x的结果为（ ）A. (x −1)√−xB. (−1−x )√−xC. (1−x )√−xD. (1+x )√−x 5.若√x −1+√x +y =0 ，则x 2005+y 2005 的值为： （ ）A. 0B. 1C. -1D. 26.等式√xx−3=√x√x−3成立的条件是（ ） A. x≠3 B. x≥0 C. x≥0且x≠3 D. x>3 7.下列二次根式中，最简二次根式是( ).A. B.C.D.8.已知是正整数，则实数n 的最大值为（ ）A. 12B. 11C. 8D. 39.如果最简根式 √3a −8 与√17−2a 是同类二次根式,那么使√4a −2x 有意义的x 的取值范围是（ ） A. x≤10 B. x≥10 C. x ＜10 D. x ＞10 10.已知 y =√4−x +√x −4+3 ，则 yx 的值为（ ）A. 43 B. −43 C. 34 D. −34 11.若x +y ＝3+2 √2 ，x ﹣y ＝3﹣2 √2 ，则 √x 2−y 2 的值为（ ） A. 4 √2 B. 1 C. 6 D. 3﹣2 √2 12.函数 y =1x+1−√2−3x 中，自变量 x 的取值范围是（ ）A. x ≤23 B. x ≥23 C. x <23 且 x ≠−1 D. x ≤23 且 x ≠−113.利用计算器计算时，依次按键下： ，则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ）A. 2.5B. 2.6C. 2.8D. 2.914.把代数式(a－1) √11−a的a－1移到根号内，那么这个代数式等于（）A. －√1−aB. √a−1C. √1−aD. －√a−115.一个三角形的三边长分别为1，k，4，化简|2k－5|－√k2−12k+36的结果是( )A. 3k－11B. k＋1C. 1D. 11－3k二、填空题（共15题；）16.若|1001−a|+√a−1002=a，则a−10012=________．17.观察下列运算过程：1+√2=√2+1=√2(√2+1)(√2−1)=√2(√2)2−12=√2−1√2+√3=√3+√2=√3√2(√3+√2)(√3−√2)=√3√2(√3)2−(√2)2=√3−√2……请运用上面的运算方法计算：1+√3+√3+√5√5+√7⋯+√2015+√2017√2017+√2019=________．18.如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+√a2−4a+4=________19.√12与最简二次根式5 √a+1是同类二次根式，则a=________．20.读取表格中的信息，解决问题．满足n n n√3+√2≥2014×(√3−√2+1)的n可以取得的最小整数是________．21.已知|6﹣3m|+（n﹣5）2=3m﹣6﹣√(m−3)n2，则m﹣n=________22.若m=√2012−1，则m5﹣2m4﹣2011m3的值是________．23.若√20n是整数，则正整数n的最小值为________．24.已知√a（a﹣√3）＜0，若b=2﹣a，则b的取值范围是________．25.如果（x﹣√x2−2008）（y﹣√y2−2008）=2008，求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=________．26.已知a、b为有理数，m、n分别表示5−√7的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b=________.27.若实数x，y，m满足等式√3x+5y−3−m+(2x+3y−m)2=√x+y−2−√2−x−y，则m+4的算术平方根为________．28.若x、y都为实数，且y=2008√x−5+2007√5−x+1，则x2+y=________。
最新人教版八年级下册数学培优训练第十六章二次根式第一节第一课时 二次根式的定义
5．【教材P3练习T2变式】【2021·襄阳】若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( A ) A．x≥－3 B．x≥3 C．x≤－3 D．x＞－3
x＋3
新知基本功
6．【2021·绥化】若式子 xx＋0 1在实数范围内有意义，则x的 取值范围是( C )
A．x＞－1 B．x≥－1且x≠0
∴y＝2
024.∴xy＝22
024 023.
素质一练通 (1)若x，y为实数，且y> x－3＋ 3－x＋2，化简：|1y－－1y|；
解：由x3－ －3x≥ ≥00， ，得 x＝3， ∴y>2.∴|1y－－1y|＝yy－－11＝1.
素质一练通 (2)已知x，y是等腰三角形的两条边长，且x，y满足y＝4＋
人教版 八年级下
第十六章 二次根式
16.1 二次根式 第1课时 二次根式的定义
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1 (1) 2C
(2)a≥0
3 见习题 算术平方根；非负
4 数；a≥0
5A
6C 7 见习题 8 算术；≥；≥ 9A 10 B
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11 见习题 12 见习题 13 见习题 14 见习题
10．【中考·宿迁】若实数m，n满足等式|m－2|＋ n－4 ＝ 0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则 △ABC的周长是( B )
A．12 B．10 C．8 D．6 【点拨】根据|m－2|＋ n－4 ＝0得m＝2，n＝4，再根 据三角形三边关系得：三角形三边长分别为4，4，2， 故周长为10.
新知基本功
2．下列各式中不·是·二次根式的是( C )
A. x2＋1
B. 0
C. －2
2023年上学期人教版八年级下册《二次根式》培优资料
2023年上学期人教版八年级下册二次根式培优资料一、单选题1．当a 为实数时，下列各式10a +、a 、2a 、21a -、21a +、()21a -是二次根式的有多少个（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．已知52a =-，25b =-，则a 与b 的大小关系是（ ） A ．a b <B ．a b >C ．a b =D ．无法确定3．下列各式的计算正确的是（ ） A ．44229339---===--- B ．2142293= C ．3234= D ．323113311311311÷=÷= 4．已知a ，b ，c 分别是ABC 的三边，则22()()a b c a b c ---+-的值为（ ） A ．2bB ．2- bC ．a ＋2cD ．22c a -5．已知0ab >，化简二次根式2ba a -的正确结果为（ ） A ．bB ．b -C ．b -D ．b --6．已知226a b ab +=，且0a b >>，则a ba b+-的值为（ ） A ．2 B ．±2C ．2D ．2±7．已知15(1)x x x +=>，则1x x+的值为（ ） A ．5B ．3C ．5D ．78．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则2||()a c b c a ++--的化简结果是（ ）A ．2b c -B ．2b a -C ．2a b --D ．2c b -9．如图，在矩形ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm 2和12 cm 2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A ．2(843)cm - B ．2(423)cm -C ．2(1683)cm -D ．2(8312)cm -10．已知120212020x =-，则65432220202202122021x x x x x x --+-+-的值为（ ）A ．0B ．1C ．2020D ．2021二、填空题 1123x-x 的取值范围是___________． 1223_____________．（不与原数相等） 13．如图实数a ，b ，c ()2323b a c c b c --+=_______．14．已知x 322-y 322+4x yy x +-= _____．15．已知a ，b ，c 2()a b c --－|b －a ＋c |的结果是_____． 162(1)2x x --化简的结果为23x -，则x 的取值范围是___________．17．满足等式2022202220222022x y xy x y xy 的正整数对(),x y 的个数有_____个． 三、解答题18．阅读下列材料，并回答问题： 91116<3114<<，113113． (1)40(2)5a ，小数部分为b ，求()()a b a b +-的值．19．计算： 353； (2)559525 (3)2322+(4)62|21||36+-； (5)1(26)18332748(23)(23)3+； (7)()20120229253π-⎛⎫+- ⎪⎝⎭．11241124823 148312242(10)4246543223⨯；20．计算： (1)332(49)a ba b ab b a a； (y x y xy xy x y x y +-21．阅读材料：像()()65651+-=，a a a ⨯=（0a ≥），这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．解答下列问题：(1)7的有理化因式是___________；72+的有理化因式是___________； (2)观察下面的变形规律，请你猜想：12121=-+，13232=-+，14343=-+，……，11n n=++___________．(3)利用上面的方法，请化简：111121324310099++++=++++___________．22．小明家装修，电视背景墙长BC 为27m ，宽AB 为8m ，中间要镶一个长为23m ，宽为2m 的大理石图案（图中阴影部分）．(1)长方形ABCD 的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布造价为6元2/m ，大理石的造价为200元2/m ，则整个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）23．（1）先化简；再求值：2(23)(2)(2)2x y x y x y y ⎡⎤--+-÷⎣⎦，其中，16x =，15y =． （2）先化简，再求值：21(1)x x x x -⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭，其中21x =-+．24．材料：2(0a b a ±>，0b >，0)a b ±>化简呢？如能找到两个数m ，(0,0)n m n >>，使得22(()m n a +=，即m n a +=m n b m n b ⋅=，那么222()()()a b m n m n m n ±=+±=2a b m n ±=，双重二次根式得以化简．322± 因为312=+且212=⨯，22322(1)(2)212322|12∴±+±±，2a b ±且能找到m ，(0,0)n m n >>使得m n a +=，且m n b ⋅=，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：(1)526±12235±； (2)962± (3)35-23±25．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如(232212+，善于思考的小明进行了以下探索：若设(22222222a m m n mn ++=++（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有222a m n =+，2b mn =．这样小明就找到了一种把类似2a b + (1)若(277a m +=+，当a 、b 、m 、n 均为整数时，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：=a ______，b =______；(2)若(233a m +=+，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值； (3)化简下列格式： 526+7210-4102541025-+++。
二次根式培优辅导班试题
式子a (a ≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础． (1)c b a c b c a )(±=± (c ≥0)； (2)ab b a =⋅ (0,0≥≥b a )； (3)baba =(0,0>≥b a )； (4)22)(a a =(≥a 0)．同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等． 【例1】 已知254245222+-----=xx x x y ，则22y x += ． (重庆市竞赛题) 思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．注： 二次根式有如下重要性质： (1)0≥a ，说明了a 与a 、na2一样都是非负数；(2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化； (3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性．著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．提示：22222205420,262045x x x y x y x x⎧-≥⎪⎪-→-==→+=⎨-⎪≥⎪-⎩【例2】 化简22)1(111+++n n，所得的结果为（ ）(武汉市选拔赛试题)A ．1111+++n nB ．1111++-n nC ．1111+-+n nD ．1111+--n n思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．提示：原式111n n n +-+ （C ） 例34947474917557153351331++++++++=12== 原式11113(()2217747=+-++=-=3．计算2001)13(2)13(2)13(199920002001++-+-+= ．(天津市选拔赛试题)原式199********)1)1)13]20011)11)3]20012001=-+-+=--+=4．若 ab ≠0，则等式ab b b a -=--351成立的条件是 ．(淄博市中考题)==33b b =-，因此0b <，∵ 0ab ->，∴0a > 5．如果式子2)1(2-+-x x 化简的结果为32-x ，则x 的取值范围是( B ) A ．x ≤1 B ．x ≥2 C ．1≤x ≤2 D ．x >0 (徐州市中考题) 6．如果式子aa ---11)1( 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ C ） A ．a -1 B ．1-a C ．1--a D ．a --1 7．已知)0,0(02>>=+-y x y xy x ，则yxy x y xy x 4353-++-的值为( D )A ．31 B ．21 C ．32D ．438．已知321+=a ，那么aa a a a a -+--+-2221211的值等于（ ） A ．)321(+- B ．1- C ．32- D ．3 9．已知2323+-=x ，2323-+=y ，那么22y x x y += ,22)()(y x xy y x xy +-++值为 ．10. 若有理数x 、y 、z 满足)(2121z y x z y x ++=-+-+，则3()x yz -= 11．设b a +=-21027，其中a 为正整数，b 在0，1之间，则ba ba -+= ． 12．若x x +=-11，则2)1(-x 等于13．正数m 、n 满足34424=+--+n n m mn m ，则2002282++-+n m n m =14．已知139+与139-的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a+4b+8的值；15.当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝___________16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0【答案】D ．17若0＜x ＜1，则4)1(2+-xx －4)1(2-+xx 等于………………………（ ）（A ）x2（B ）－x2（C ）－2x （D ）2x 【提示】(x －x 1)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x 1)2．又∵ 0＜x ＜1，∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．18. 当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（c）（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a --- 19．（a 2mn－mab mn ＋m n nm ）÷a 2b 2mn ；【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝（a 2mn －mab mn ＋mnn m ）·221b a nm＝21b n m m n ⋅－mab 1n m m n ⋅＋22b ma n nm n m ⋅ ＝21b －ab 1＋221b a ＝2221b a ab a +-．20．（a ＋ba abb +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）． 【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝b a ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．21.当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x 22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x22a x +＝－x（22a x +－x ）．【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．22. 若0<a<1，则a a a a +⨯+÷-+11)11(2122可化简为( )23. 已知a b ==24.化简_____________． （拓展）计算2222222220041200311413113121121111++++++++++++25．设a 为5353--+的小数部分，b 为336336--+的小数部分，则ab 12-的值为（ ）26．设的整数部分为x ，小数部分为y ，试求2212x xy y ++的值．27a ，小数部分为b ，试求1a b b++的值 28．设m 、x 、y 均为正整数，且y x m -=-28，则m y x ++ =_________．29. 2=-的值为 30. 3．已知：7878+-=x ，7878-+=y ，求：yx xyy x +++2的值．31．已知321+=a ，求a a a a a a a -+---+-22212121的值． 32．已知：a ，b 为实数，且22222+-+-=a a ab ．求()222a b a b ---+-的值．33已知21=+xx ，那么191322++-++x x x x x x 的值等于 ．解∶两边平方得，xx 1++2=4，xx 1+=2，两边同乘以x 得，x 2+1=2x,∴x 2+3x+1=5x, x 2+9x+1=11x.∴原式=11151-= 55 －1111 。
2023年浙教版八下数学第一章二次根式培优练习(难)教师版
浙教版八下第一章二次根式培优练习（教师版）1．小芳在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：a＝＝＝2﹣，∴a＝2﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：（1）计算：．（2）若a＝．①求4a2﹣8a﹣1的值；②求3a3﹣12a2+9a﹣12的值．【分析】（1）利用分母有理化先化简每一个二次根式，然后再进行计算即可解答；（2）首先化简a的值，①利用配方法把所求的式子变形为4（a﹣1）2﹣5，然后进行计算即可解答；②把所求的式子变形为3a（a2+3）﹣12（a2+1），然后把a的值代入进行计算可解答．【解答】解：（1）＝﹣1+﹣+﹣+...+﹣＝﹣1+；（2）①∵，∴4a2﹣8a﹣1＝4a2﹣8a+4﹣4﹣1＝4（a2﹣2a+1）﹣5＝4（a﹣1）2﹣5＝4×（+1﹣1）2﹣5＝4×2﹣5＝3，∴4a2﹣8a﹣1的值为3；②3a3﹣12a2+9a﹣12＝（3a3+9a）﹣（12a2+12）＝3a（a2+3）﹣12（a2+1）＝3×（+1）（6+2）﹣12×（4+2）＝﹣18，∴3a3﹣12a2+9a﹣12的值为﹣18．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，规律型：数字变化类，完全平方式，平方差公式，分母有理化，熟练掌握分母有理化，以及完全平方式是解题的关键．2．小明在解方程﹣＝2时采用了下面的方法：由（﹣）（+）＝（）2﹣（）2＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，又有﹣＝2，可得+＝8，将这两式相加可得，将＝5两边平方可解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解．请你学习小明的方法，解下面的方程：（1）方程的解是x＝±；（2）解方程+＝4x．【分析】（1）首先把根式有理化，然后分别求出根式和它的有理化因式的值是多少；再根据求出的根式和它的有理化因式的值，求出方程的解是多少即可；（2）首先把根式+有理化，然后分别求出根式+和它的有理化因式的值是多少；再根据求出的根式+和它的有理化因式的值，求出方程+＝4x 的解是多少即可．【解答】解：（1）（）（﹣）＝﹣＝（x2+42）﹣（x2+10）＝32∵，∴﹣＝32÷16＝2，∴∵＝92＝81，∴x＝±，经检验x＝±都是原方程的解，∴方程的解是：x＝±；故答案为：x＝±．（2）（+）（﹣）＝＝（4x2+6x﹣5）﹣（4x2﹣2x﹣5）＝8x∵+＝4x，∴﹣＝8x÷4x＝2，∴，∵，∴4x2+6x﹣5＝4x2+4x+1，∴2x＝6，解得x＝3，经检验x＝3是原方程的解，∴方程+＝4x的解是：x＝3．【点评】此题主要考查了二次根式在解方程中的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是在解决实际问题的过程中能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法．3．我们已经学习了整式的乘法，其中完全平方公式为（a±b）2＝a2±2ab+b2．利用这个公式可把3+2配成完全平方的形式：3+2＝（）2+2+12＝（+1）2．（1）根据上述方法，请把下列各式都配成完全平方的形式：①8﹣2；②1﹣；③8+4；④x+y﹣2（x≥0，y≥0）；（2）已知x＝8+4，求﹣的值；（3）计算：+++++++．【分析】（1）利用完全平方公式进行求解即可；（2）利用完全平方公式进行求解即可；（3）利用完全平方公式进行求解即可．【解答】解：（1）①8﹣2＝（）2﹣2+（）2＝（）2；②1﹣＝（）2﹣2×+（）2＝（）2；③8+4＝（）2+4+（）2＝（）2；④x+y﹣2（x≥0，y≥0）＝（）2﹣2+（）2＝（）2；（2）∵x＝8+4，∴x＝8+4＝（）2，x﹣1＝7+4＝（2+）2，∴﹣＝＝＝；（3）+++++++＝++++++ +＝++＝﹣1+3＝2．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，完全平方公式，解答的关键是对完全平方公式的形式的理解与运用．4．阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得＝m+n．化简：．∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2．∴＝＝+．请你仿照上例将下列各式化简：（1）；（2）．【分析】（1）利用完全平方公式把4+2化为（1+）2，然后利用二次根式的性质化简即可．（2）利用完全平方公式把7﹣2化为（﹣）2然后利用二次根式的性质化简即可．【解答】解：（1）∵4+2＝1+3+2＝12++2＝（1+）2，∴＝＝1+；（2）＝＝＝﹣．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式．5．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a ＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn．（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：21+4＝（1+2）2；（3）化简【分析】（1）将（m+n）2用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可得答案；（2）设a+b＝，则＝m2+2mn+5n2，比较完全平方式右边的值与a+b，可将a和b用m和n表示出来，再给m和n取特殊值，即可得答案；（3）利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化化简，再合并同类二次根式和同类项即可．【解答】解：（1）∵，＝m2+2mn+3n2∴a＝m2+3n2，b＝2mn故答案为：m2+3n2，2mn．（2）设a+b＝则＝m2+2mn+5n2∴a＝m2+5n2，b＝2mn若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4故答案为：21，4，1，2．（3）＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝++﹣＝+【点评】本题考查了利用分母有理化和利用完全平方公式对二次根式化简，以及对这种方法的拓展应用，本题具有一定的计算难度．6．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：7+4＝（2+1）2；（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2＝m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；（2）先取m＝2，n＝1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；（3）利用a＝m2+3n2，2mn＝6和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a 的值．【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，∴a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）m＝2，n＝1，则a＝7，b＝4，∴7+4＝（2+）2，（3）a＝m2+3n2，2mn＝6，∵a、m、n均为正整数，∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12，当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28，∴a的值为12或28．故答案为m2+3n2，2mn；7，4，2，1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．7．先阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面一层根号．例如：＝＝＝＝1+解决问题：①在括号内填上适当的数：＝＝＝＝3+②根据上述思路，试将予以化简．【分析】①通过完全平方公式，将被开方数化成平方的形式，再根据二次根式的性质，化去里面一层根号．②方法同①，通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面一层根号．【解答】解：①＝＝＝＝3+；故答案为：3+；②＝＝＝＝5﹣．【点评】本题主要考查了二次根式的性质以及完全平方公式的运用，解决问题的关键是灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．8．已知：2x＝，求的值．【分析】根据2x＝，可以求得x的值，然后代入，即可求得所求式子的值．【解答】解：∵2x＝＝＝＝，∴x＝，∴1﹣x2＝1﹣[（）]2＝，∴＝＝＝＝+＝．【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．9．已知＝﹣，求的值．【分析】先将所求式子分母有理化，然后化简，再根据＝﹣，可以用a的代数式表示x，再将关于x的式子代入化简后的式子，整理化简即可．【解答】解：＝＝＝＝＝，∵＝﹣，∴x＝﹣2+a，∴x+2＝+a，x2+4x+2＝a2+，x2+4x＝a2+﹣2，则原式＝＝＝＝＝＝．【点评】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式分母有理化的计算方法．10．已知，求的值．【分析】根据算术平方根具有非负性可得a＝+2，b＝﹣2，然后再代入求值即可．【解答】解：由题意得：＝0，＝0，解得：a＝+2，b＝﹣2，＝＝5．【点评】此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握算术平方根具有非负性．。
二次根式培优训练
二次根式培优训练第I卷（选择题）一、单选题1）A．6 B C．D．【答案】D.=======故选D【点睛】本题考查多重二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式是解题关键.2．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（）．A B C D【答案】C【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n （n-1），∴第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n （n-1）+n-3＝n 2-3， ∴第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3故选：C ．【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．第II 卷（非选择题）二、填空题3．若a ，b ，c是实数，且10a b c ++=，则2b c +=________． 【答案】21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a ，b ，c 的值，从而得到答案． 【详解】∵10a b c ++=∴100a b c ---=∴2221490⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴2221)2)3)0++=∴123==∴111429a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩∴2511a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴2251121b c +=⨯+=．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 4．12211112a =++，22211123a =++，32211134a =++，，22111(1)n a n n =+++，其中n 为正2020a +__________．【答案】202020202021【分析】根据题目条件，先求出1a ，2a ，3a ，n a 的值，代入原式后求出各式的算术平方根，再利用裂项公式()11111n n n n =-++进行化简与计算，即可求解．【详解】解：21221131122a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，22221171236a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，2322111313412a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，⋯⋯()()()2221111111n n n a n n n n ⎡⎤++=++=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，··，3713202020211 (261220202021)⨯+=++++⨯， 1111111?··112233*********=++++++++⨯⨯⨯⨯， 111111120201?··2233420202021⎛⎫=+-+-+-++- ⎪⎝⎭，1202012021=+-， 202020202021=．故答案为202020202021．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是找出1a ，2a ，3a ，na 的值的规律，再用裂项法求出结果．5．已知y18的值为_____．【答案】【分析】首先由二次根式有意义的条件求得x ＝8，则y ＝18，然后代入化简后的代数式求值． 【详解】解：由题意得，x ﹣8≥0，8﹣x≥0，解得，x ＝8，则y ＝18， ∵x＞0，y ＞0，∴把x ＝8， y ＝18【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简求值，解题关键是根据二次根式有意义的条件确定x 、y 的值，能够熟练的运用二次根式的性质化简．6．已知y x +3，当x 分别取1，2，3，……，2021时，所对应的y 值的总和是_____． 【答案】2023．【分析】依据二次根式的性质化简，即可得到y ＝|x ﹣2|﹣x +3，再根据绝对值的性质化简，即可得到对应的y 值的总和．【详解】解：∵33|2|3y x x x x +=+=--+， ∴当x ＜2时，y ＝2﹣x ﹣x +3＝5﹣2x ， 即当x ＝1时，y ＝5﹣2＝3； 当x ≥2时，y ＝x ﹣2﹣x +3＝1，即当x 分别取2，3，…，2021时，y 的值均为1，综上所述，当x 分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y 值的总和是3+2020×1＝2023，故答案为：2023． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握绝对值的性质以及二次根式的性质．7．阅读下面内容，并将问题解决过程补充完整．1==== ……==由此，我们可以解决下面这个问题：1S =+++⋅⋅⋅+，求出S 的整数部分． 解：2111S =+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++211<++⋅⋅⋅++1110019=++-=2111S =+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++ ∴S 的整数部分是________． 【答案】见解析；18【分析】把各分母中第二个被开方数都加上1，增大分母，减小分数的值，构造大于的不等式，变形确定s 的整数界点值，根据夹逼法确定整数值 【详解】 ∵2111S =+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++>⋅⋅⋅+1=；1)18=>；∴18＜S ＜19， ∴S 整数部分为18， 故答案为：>+⋅⋅⋅+；1=；1)18=>；18；【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，不等式的性质，估算的思想，熟练确定S 位于哪两个整数之间是解题的关键．8．我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若()0a a ≥不是某个有理数的平方，则方程2x a =在有理数范围内无解；若b 不是某个有理数的立方，则方程3x b =在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号__________．①93x =在实数范围内有解；②202050x -=在实数范围内的解不止一个；③245x x +=在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的()0a a ≥≥【答案】①②【分析】根据立方根、平方根的定义可判断①②；利用开平方法解方程后可判断③的解的情况；利用特殊值法可判断④．【详解】①93x =，则()333x =，即3x =∴93x =，在实数范围内有解，故选项①正确； ②202050x -=，则()210105x =，∴202050x -=在实数范围内的解有两个，故选项②正确； ③245x x +=，整理得：4250x x +-=，配方得：2212124x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，开方得：212x +=或212x +=(舍去)，∴212x ==， ∴原方程在在实数范围内有解，且一正一负，故选项③错误； ④当0a =0； 当8a =2>=； 当18a =12<=；故选项④错误；综上，①②正确， 故答案为：①②．【点睛】本题考查了完全平方公式，开平方解方程，是信息给予题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 三、解答题91=【答案】2 【分析】.【详解】22212(12+)(10)2x x x +∴⨯∴-+==【点睛】本题考查二次根式的化简求值，注意利用平方差公式和整体带入求得答案.10．有两个十分喜欢探究的同学小明和小芳，他们善于将所做的题目进行归类，下面是他们的探究过程。
二次根式化简练习题含答案(培优)
基本巩固：2.最简二次根式与同类二次根式：一个二次根式知足被开方数不含有分母,且不含有能开得尽方的因数或因式,叫做最简二次根式（simplest quadratic radical）．几个二次根式化为最简二次根式后,假如它们被开方数雷同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式．3.移因式到根号内.外的办法：①把根号外的数移到根号内：当根号外的数是负数时,把负号留在根号外面,然后把这个数的平方移到根号外：当根号内的数是正数时,直接开方移到根号外,即演习：1、有如许一类标题：将b a 2±化简,假如你能找到两个数m.n,使a n m =+22且b mn =,则将将变成m 2+n 2±2mn,即变成(m ±n)2开方,从而使得b a 2±化简．请依据提醒化简下列根式：(1)625-(2)324+2.数a.b 在数轴上的地位如图所示,化简()()()22211b a b a ---++=_____．3、盘算：4、已知m 是2的小数部分,则122+-m m 的值是()．5、对随意率性不相等的两个数a.b,界说一种运算※如下：a ※b=b a ba -+,则12※4=_____．答案与解析：1、解析：依据提醒做出解答即可答案：（1）23- （2）13+2、解析：依据数a.b 在数轴上的地位肯定a+1,b-1,a-b 的符号,再依据二次根式的性质进行开方运算,再归并同类项． 答案：由数轴可知,a ＜-1,b ＞1,∴a+1＜0,b-1＞0,a-b ＜0,∴原式=-（a+1）+b-1-（b-a ）=-a-1+b-1-b+a=-2．3.解析：本题涉及零指数幂.负整数指数幂.幂的运算. 二次根式化简四个考点．在盘算时,须要针对每个考点分离进行盘算,然后依据实数的运算轨则求得盘算成果．。
(家教培优专用)人教版数学八年级下册--二次根式知识讲解(提高)
二次根式（提高）【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质1、； 2.；3.. 要点诠释：1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2()(0a a a =≥）.2.2a 与2()a 要注意区别与联系：1）a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为任意值.2）a ≥0时，2()a =2a =a ；a <0时，2()a 无意义，2a =a -.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．当x 是__________时，+在实数范围内有意义？ 【答案】 x ≥-且x ≠-1 【解析】依题意，得由①得：x ≥-由②得：x ≠-1当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三：【变式】（2015•随州）若代数式11x x +-有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x≠1 B. x ≥0 C. x≠0 D. x ≥0且x≠1【答案】D提示：∵代数式+有意义，∴， 解得x ≥0且x ≠1．类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)； (2). 【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【高清课堂：二次根式及其乘除法（上）例1(1)(2)】【变式】x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）y=x -－11+x ,___________________；（2）y=222+-x x ，______________________； 【答案】(1)01001x x x x -+≠∴≠-Q ≥，≤且（2）2222(1)10,x x x x -+=-+>∴Q 为任意实数.3. （2015•黄冈模拟）已知a ＜03a b -的结果是【答案】ab --【解析】解：∵a ＜0，∴3a b ab -=--故答案为：ab --【总结升华】主要考查了二次根式的化简，正确利用二次根式的性质求出是解题关键．【高清课堂：二次根式及其乘除法（上）例4】4.已知c b a ,,为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= ．【答案】a b c ++【解析】Q c b a ,,为三角形的三边,0,0,0a b c b c a b c a ∴+->--<+-> 即原式=a b c a c b b c a +-++-++-=a b c ++【总结升华】重点考查二次根式的性质：的同时，复习了三角形三边的性质.。
二次根式拓展专题培优(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】二次根式的专题提高一、二次根式的双重非负性例题：1、使式子xx 2-有意义的x 的取值范围是2、无论x 取任何实数，m x x +-62都有意义，则m 的取值范围是3、已知22284x x y -+-=，求x+y 的值4、已知实数a,b,c 满足0432=-++b a ，012442=--+c b c ，求a+b+c 的值。
练习： 1、使式子11--x x 有意义的x 的取值范围是2、若4342-=-+-b a a ，则b a 22-=3、若a a a =-+-20152014，则22014-a =二、简单的二次根式的化简例题：1、如果式子322)1(2-=-+-x x x ，则x 的取值范围是 2、把ab b a --1)(根号外的因式移到根号内的结果为练习： 1、化简（1）aa1- （2）22x x x--2、已知a,b,c 为∆ABC 的三边，化简2222)()()()(a b c c a b c b a c b a -----+--+++的结果为是3、若x1，则2)1-1=x+x=(-三、二次根式的运算与规律探究例题：1、观察下列各式：121312+1431⨯+，⨯=⨯⨯+5463333+⨯+，猜测⨯⨯⨯=12++，1542312⨯3⨯⨯2=+12+⨯2015120142016⨯⨯⨯+2017练习：1、设n,k为正整数，，，，已知,则2、小明做数学题时,发现,,,,按上述规律,第n个等式是3、设S=++…+，求不超过S的最大整数四、分母有理化例题：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中常见的描述，其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如：，与的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式可以这样解：，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．1分母有理化解决问题：①的有理化因式是，12得②计算：③计算：．④已知,,则⑤已知:,,,试比较a、b、c的大小.21++++3220032004232、已知则3、已知实数x,y满足,则的值为五、二次根式的计算综合题（2）（3）（4）638638-++（5）24066312305941--+++六、二次根式的求值例题：1、先化简,再求值,其中,.2 3、若,,求xy.4、设a=，求a 5+2a 4-17a 3-a 2+18a-17的值．5、正数m,n 满足,求的值.x x2、若,,则3、当时,多项式的值为4、正实数a,b满足,且满足,求的值5、如果,求的值.。
二次根式培优
1、.设a为的小数部分，b为的小数部分.则的值为().A．+-1B．-+1C．--1 D．++12、已知，且a>b>0，则的值为()A．B．±C．2D．±23、设，，，则a，b，c之间的大小关系是（）A．B．C．D．4、化简的结果为（）A．B．30C．D．305、已知a为实数，则代数式的最小值为（）A．0B．3C．3D．96、把根号外的因式移到根号内，得（）A．B．C．D．7、已知：是整数，则满足条件的最小正整数为() A．2B．3C．4D．58、把根号外的因式移入根号内的结果是A．B．C．D．9、已知是正整数，则满足条件的最大负整数m为（）A．-10B．-40C．-90D．-16010、下列计算不正确的是（）A．B．C．D．11、下列运算正确的是（）A．+=B．3﹣2=1C．2+=2D．a﹣b=（a﹣b）12、化简的结果为（）A．B．30C．D．3013、下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（2）；（3）的平方根是2；（4）；（5），其中正确的有A．1个B．2个C．3个D．4个14、已知x1＝＋，x2＝－，则x₁²＋x₂²等于() A．8B．9C．10D．1115、下列各式中，不正确的是（）A．B．C．D．16、若有意义，那么直角坐标系系中点A在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限17、如果（x﹣）（y﹣）=2008，求3x2﹣2y2+3x ﹣3y﹣2007=________．18、若m=，则=_____．19、已知a，b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有____对．20、能力拓展：；；；________．…：________．请观察，，的规律，按照规律完成填空．比较大小和∵________∴________∴________同理，我们可以比较出以下代数式的大小：________；________；________21、化简___________．22、化简a后的结果是_______．23、若a、b、c均为实数,且a、b、c均不为0化简___________24、计算=________________ .25、对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72[]="8"[]="2"[]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．26、已知：x=，则可用含x的有理系数三次多项式来表示为：=_____．27、已知a、b分别为6－的整数部分和小数部分，那么2a－b＝_________28、已知，则________．29、如果表示a、b的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|+的结果是_____．30、已知整数，满足，则__________．31、已知实数、、满足等式，则__________．32、计算：=_____________。
【中考冲刺】初三数学培优专题 01 二次根式的化简与求值(含答案)(难)
二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.=x , y , n 都是正整数）例题与求解【例1】 当x =时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、20032-（绍兴市竞赛试题）【例2】 化简（1(ba b ab b -÷-- （黄冈市中考试题）（2（五城市联赛试题）（3（北京市竞赛试题）（4（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例3】比6大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y==想一想：设x=求432326218237515x x x xx x x--++-++的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例4】 设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例5】 （1的最小值.（2的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1）为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例6】 设2)m a =≤≤，求1098747m m m m m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.化简：7()3“希望杯”邀请赛试题）2.若x y x y+=-=，则xy＝_____(北京市竞赛试题)3.+（“希望杯”邀请赛试题）4. 若满足0＜x＜y=x，y）是_______（上海市竞赛试题）5.2x－3，则x的取值范围是（）A. x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞06）A．1B C. D. 5（全国初中数学联赛试题）7．a，b，c为有理数，且等式a+=成立，则2a＋999b＋1001c的值是（）A．1999 B. 2000 C. 2001D. 不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β其中正确命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：（1（2（3（4（天津市竞赛试题）（5（“希望杯”邀请赛试题）10、设52x=，求代数式(1)(2)(3)(4)x x x x++++的值.（“希望杯”邀请赛试题）117x=，求x的值.12、设x x ==（n 为自然数），当n 为何值，代数式221912319x xy y ++的 值为1985？B 级1. 已知3312________________x y x xy y ==++=则. (四川省竞赛试题)2. 已知实数x ，y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）3. 已知42______1x x x ==++2x 那么. （重庆市竞赛试题）4. a =那么23331a a a ++＝＿＿＿＿＿. （全国初中数学联赛试题）5. a ，b 为有理数，且满足等式14a +=++则a ＋b ＝（ ）A . 2B . 4C . 6D . 8(全国初中数学联赛试题)6． 已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b(全国初中数学联赛试题)7.=） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 8. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（ ）A . 1B . 2C . 3D . 4（陕西省竞赛试题）9． 把(1)a - ）A .B C. D . （武汉市调考题）10、化简：（1 （“希望杯”邀请赛试题）（210099++（新加坡中学生竞赛试题）（3（山东省竞赛试题）（4 （太原市竞赛试题）11、设01,x << 1≤<.（“五羊杯”竞赛试题）12的最大值.13、已知a , b , c为有理数，证明：222a b c a b c ++++为整数.二次根式的化简与求值例1 A 提示：由条件得4x 2－4x －2 001＝0． 例2 (1)原式＝()aba b a b++()1ba b b a b⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+-⎣⎦·a b b -＝2ab (2)原式＝()()()()257357257357+-++++＝26－5．(3)原式＝()()()()633326332+-+++＝316332+++＝62-；（4）原式＝()()()5332233323325231-+-+-++＝332-．例3 x ＋y ＝26，xy ＝1，于是x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝22，x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)＝426，x 6＋y 6＝(x 3＋y 3)2－2x 3y 3＝10582．∵0＜65-＜1，从而0＜()665-＜1，故10 581＜()665+＜10582． 例4 x ＋21x +＝211y y ++＝21y +－y …①；同理，y ＋21y +＝211x x ++＝21x +－x …②．由①＋②得2x ＝－2y ，x ＋y ＝0． 例5 (1)构造如图所示图形，PA ＝24x +，PB ＝()2129x -+．作A 关于l 的对称点A '，连A 'B 交l 于P ，则A 'B ＝22125+＝13为所求代数式的最小值． (2)设y ＝()2245x -+＋()2223x -+，设A (x ，0)，B (4，5)，C (2，3)．作C 关于x 轴对称点C 1，连结BC 1交x 轴于A 点．A 即为所求，过B 作BD ⊥CC 1于D 点，∴AC ＋AB ＝C 1B ＝2228+＝217． 例 6 m ＝()2212111a a -+-•+＋()2212111a a ---•+＝()211a -+＋()211a --．∵1≤a ≤2，∴0≤1a -≤1，∴－1≤1a -－1≤0，∴m ＝2．设S ＝m 10＋m 9＋m 8＋…＋m －47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S ＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①，得S ＝211－2－94＋47＝1 999．A 级 1．1 2．52- 3．0 提示：令1997＝a ，1999＝b ，2001＝c ． 4． (17，833)，(68，612)，( 153，420) 5．B 6．C 7．B 8．A 9．(1)()2x y + (2)原式＝32625++-＝()()22325+-＝325++．(3)116- (4)532--(5)32+ 10．48提示：由已知得x 2 ＋5x ＝2，原式＝(x 2＋ 5x ＋4)(x 2＋5x ＋6)． 11．由题设知x ＞0，(27913x x ++＋27513x x -+)(27913x x ++－27513x x -+)＝14x ．∴27913x x ++－27513x x -+＝2，∴227913x x ++＝7x ＋2，∴21x 2－8x－48＝0．其正根为x ＝127． 12．n ＝2 提示：xy ＝1，x ＋y ＝4n ＋2． B 级 1． 64 2．1 提示：仿例4，由条件得x ＝y ，∴(x －22008x -)2＝2 008，∴x 2－2008－x 22008x -＝0，∴22008x -(22008x -－x )＝0，解得x 2＝2 008．∴原式＝x 2－2 007＝1． 3．9554．1 提示：∵(32－1)a ＝2－1，即1a＝32－1． 5．B 提示：由条件得a ＋b 3＝3＋3，∴a ＝3，b ＝1，∴a ＋b ＝4． 6．B 提示：a －b ＝6－1－2＞322+－1－2＝0．同理c －a ＞0 7．B 8．B 9．D 提示：注意隐含条件a －1＜0． 10．(1)1 998 999. 5 提示：设k ＝2 000，原式＝212k k --． (2)910 提示：考虑一般情形()111n n n n +++＝1n －11n + (3)原式＝()()8215253532+-++-＝()()253253532+-++-＝53+．(4)2－53- 11．构造如图所示边长为1的正方形ANMD ，BCMN ．设MP ＝x ，则CP ＝21x +，AP ＝()211x +-，AC ＝5，AM ＝2，∴AC ≤PC ＋PA ＜AM ＋MC ，，则5≤21x +＋()211x +-＜1＋2 12．设y ＝2841x x -+－2413x x -+＝()2245x -+－()2223x -+，设A (4，5)，B (2，3)，C (x ，0)，易求AB 的解析式为y ＝x ＋1，易证当C 在直线AB 上时，y 有最大值，即当y ＝0，x ＝－1，∴C (－1，0)，∴y ＝22． 13．33a bb c ++＝()()()()3333a bb cb c b c +-+-＝()222333ab bc bac b c -+--为有理数，则b 2 －ac ＝0．又a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋ac )＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋b 2)＝()2c b a ++－2b （a ＋b ＋c ）＝（a ＋b＋c ）（a －b ＋c ），∴原式＝a －b ＋c 为整数．。