第7章 点的复合运动1
论点的复合运动中动点、动系的选择原则和方法
论点的复合运动中动点、动系的选择原则和方法1引言理论力学是机械、土木类专业的专业基础课。
包括静力学、运动学和动力学三大部分。
运动学是从几何角度研究物体运动轨迹、运动方程、速度和加速度，而不考虑引起物体运动的物理原因。
其中点的合成运动是运动学的重点内容。
此部分内容题目多样，解题方法灵活，并且具有趣味性，完成一道题目时很有成就感。
当然也是让学生感到没有思路、无从下手的部分，普遍反映难度较大，也是测验、考核过程中丢分比较多的部分，问题的关键是无法正确的选取动点和动系。
本文从典型例题出发，介绍了点的合成运动中动点和动系的选取原则，可以帮助学生理清思路，提高点的合成运动的解题能力。
2点的合成运动概述在日常生活中，会经常遇到这样的情况。
当我们站在不同的参考物上，观察同一个物体的运动，发现物体所呈现的运动形式是不一样的。
举个最常见的例子，如图1。
人站在一辆沿直线匀速行驶的公共汽车上，以地面为参考物，观察人的运动，人在作匀速直线运动。
而以公共汽车为参考物，则人静止的。
可见，人的运动形式依选取的参考物不同而不同。
再引申一个例子，如图2。
沿直线轨道滚动的车轮，研究其轮缘上任意一点M的运动。
对于地面来说，点M的轨迹是旋轮线，而对于车厢来说，点M的轨迹则是一个圆。
车轮上的点M是沿旋轮线运动，是一种比较复杂复杂的运动形式，但是以车厢作为参考体，则点M相对于车厢的运动是简单的定轴转动，车厢相对于地面的运动是简单的平移。
轮缘上一点M的运动就可以看成为两个简单运动的合成，即点M相对于车厢作圆周运动，同时车厢相对地面作平移。
于是得到了合成运动的定义，即相对于某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动。
3一点二系三运动研究点的合成运动，确定一个动点，选择定参考系和动参考系两个坐标系，分析动点的绝对运动、相对运动和牵连运动是首要任务。
3.1两个参考坐标系研究点的合成运动，总要涉及两个参考坐标系。
（1）定参考系建立在固定参考物上的坐标系，简称定系。
理论力学第七篇_复合运动
例： 刨床急回机构。曲柄长OA r , 两轴间
距杆的oo角1 速 度l 。w求1 。当曲柄在水平位置时摇
wo
w1
o1
步 骤:
运
速
动
度
分
分
析
析
va ve vr
wo
y 解：动点：滑块A；
va B
动系：固连在摇杆O1B上；
vr
ve A
绝对运动：圆周运动；
相对运动：直线运动；
牵连运动：转动。
va ve vr
t0 t
t0 t
t0 t
aa
lim
t 0
va ' va t
ar
lim vr
t 0
' vr1 t
ae
lim
t 0
ve1 ve t
lim vr ' vr lim vr ' vr1 vr1 vr
t0 t
t 0
t
ar
lim vr1 vr t0 t
ar w vr
lim ve ' ve lim ve ' ve1 ve1 ve
牵连运动：平动
aa ae ar
arn
vr2 R
vr
ve
sin
v
sin
arn
1 R
v2
sin2
aa ae ar arn
vr
va
ve
aa sin ae cos arn
aa
1
sin
a
cos
v2
R sin2
actg
v2
R sin3
例2 已知曲柄转动的匀角速度为w, OAr,
OO1 =l, 求当OA处于水平时摇杆O1B的 加速度
理论力学练习册及答案(南华版)
动系固连摇杆CB上，定系固连机架。
由速度合成定理 作速度平行四边形。
B点速度为：
由加速度合成定理 作加速度图。
取 方向投影，得：
B点加速度为：
7-4.半径为R的半圆形凸轮以匀速V0沿水平线向右平动，带动顶杆AB沿铅直方向运动，当OA与铅直线夹角为300时，求此时杆AB的速度和加速度。
解：动点取杆OA上A点，动系固连杆O1C上，定系固连机架。
由速度合成定理 作速度平行四边形。
由加速度合成定理 作加速度图。
取 方向投影，得：
再取动点杆O1C上C点，动系固连套筒B上，定系固连机架。
由速度合成定理 作速度平行四边形。
由加速度合成定理:
作加速度图。
取 方向投影，得：
取 方向投影，得：
第八章 刚体平面运动
分别取节点A、B为研究对象，受力如图
对于节点A： ，
(压)
对于节点B： , (压)
2-11.计算桁架中1、2、3杆的受力。
解：取I-I剖面右边部分为研究对象，受力如图。
,
(拉)
,
(压)
研究节点B: ，
(压)
第三章 空间力系
3-1.图示正立方体，各边长为a，四个力F1、F2、F3、F4大小皆等于F，如图所示，作用的相应的边上。求此力系简化的最终结果，并在图中画出。
8-7.四杆机构中，曲柄OA以匀角速度ω0=25 rad/s绕O轴转动，OA=50 cm，AB=100 cm，O1B= cm。求∠OAB=900时，B点的加速度，摇臂O1B的角速度和角加速度。
8-8.图示机构中，设当OA与水平线成450角的瞬时，曲柄OA有反时针方向的匀角速度ω＝25 rad/s，连杆AB水平，扇形板BD铅垂。求扇形板绕定轴D转动的角加速度ε。
点的合成运动
2013年7月5日
理论力学CAI
42
1.牵连运动为转动时点的加速度合成定理
设一圆盘以匀角速度 绕 定轴Ｏ顺时针转动，盘上圆槽 内有一点M以大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那么M点
相对于定系的绝对加速度应是
多少呢？
2013年7月5日
理论力学CAI
43
选点M为动点，动系固结于圆盘上，
则M点的牵连运动为匀速转动， 为常数
y'
y u
x'
M
O
M O
y'
x'
x
O'
2013年7月5日
理论力学CAI
4
车刀以匀速横向走刀，卡盘匀角速度转动，求刀尖相对工件的轨迹。
2013年7月5日
理论力学CAI
5
§8-1 相对运动、牵连运动、绝对运动
归纳为：一点，两系，三种运动
一点
动点：做合成运动的点。
两系
定参考系（定系）：固结于地面（地球）。如机座。 动参考系（动系）：固结于某运动着的刚体上。
ar = 2l sin
理论力学CAI
37
课后作业1（浙大）
作业题 7-7 7-8 7-9
2013年7月5日
理论力学CAI
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课后作业1
思考题 8-1 8-2 作业题 8-7 8-8
8-3
8-10
2013年7月5日
理论力学CAI
39
例题
例 曲柄滑杆机构
= 45o 时，, a ; 已知: OA＝l ,
例题
已知：AB匀角速度转动。 求：M在导槽EF及BC中运动的速度与加速度。
E
B
C M
复试理论力学重点面试问题知识点总结(主要)
复试理力重点知识点总结静力学第一章静力学基础1、掌握平衡、刚体、力的概念以及等效力系和平衡力系，静力学公理。
2、掌握柔性体约束、光滑接触面约束、光滑铰链约束、固定端约束和球铰链的性质。
3、熟练掌握如何计算力的投影和平面力对点的矩，掌握空间力对点的矩和力对轴之矩的计算方法，以及力对轴的矩与对该轴上任一点的矩之间的关系。
4、对简单的物体系统，熟练掌握取分离体并画出受力图。
第二章力系的简化1、掌握力偶和力偶矩矢的概念以及力偶的性质。
2、掌握汇交力系、平行力系、力偶系的简化方法和简化结果。
3、熟练掌握如何计算主矢和主矩；掌握力的平移定理和空间一般力系和平面力系的简化方法和简化结果。
4、掌握合力投影定理和合力矩定理。
5、掌握计算平行力系中心的方法以及利用分割法和负面积法计算物体重心。
第三章力系的平衡条件1、了解运用空间力系（包括空间汇交力系、空间平行力系和空间力偶系）的平衡条件求解单个物体和简单物体系的平衡问题。
2、熟练掌握平面力系（包括平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系）的平衡条件及其平面力系平衡方程的各种形式；熟练掌握利用平面力系平衡条件求解单个物体和物体系的平衡问题。
3、了解静定和静不定问题的概念。
4、掌握平面静定桁架计算内力的节点法和截面法，掌握判断零力杆的方法。
第四章摩擦1、掌握运用平衡条件求解平面物体系的考虑滑动摩擦的平衡问题。
2、了解极限摩擦定律、滑动摩擦系数、摩擦角、自锁现象、摩阻的概念。
运动学第五章点的运动1、掌握描述点的运动的矢量法、直角坐标法和弧坐标法，能求点的运动方程。
2、熟练掌握如何计算点的速度、加速度及其有关问题。
第六章刚体的基本运动1、掌握刚体平动和定轴转动的特征；掌握刚体定轴转动的转动方程、角速度和角加速度；掌握定轴转动刚体角速度矢量和角加速度矢量的概念以及刚体内各点的速度和加速度的矢积表达式。
2、熟练掌握如何计算定轴转动刚体的角速度和角加速度、刚体内各点的速度和加速度。
第五讲 点的复合运动
vr (t )
ve (t )
P Pe
动点P的绝 对轨迹
Pe’
t 时刻牵连点
Pe的绝对轨迹
v&e
=
lim
∆t→0
ve
(t
&#e (t + ∆t ) − vet (t + ∆t ) + vet (t + ∆t ) - ve (t )
∆t→0
∆t
= ω×vr + ae
e1 x
rOA
j y0
动系的角速度、角加速度
ω, ε
e&i = ω × ei , i = 1, 2,3
绝对速度v动a =点rP&O相P 对定系aaO=x0r&y&O0Pz0 的速度
相对速度：动点P相对动系Axyz的速度
~
vr
=
d rAP dt
相对动系的 时间导数
ar
=
d~2rAP dt 2
预备知识：动矢量相对定系、动系的时间导数
B
O
aA aen
C
aen
=
ω
2 BD
⋅ 2l
aeτ = ε BD ⋅ 2l
哥氏加 速度
aC
= 2ωBD × vr
ac = 2ωBDvr
ωBD
将复合公式向ac方向投影得:
D
aA cos 600 = aτe cos 300 − aen cos 600 + aC
εBD = − 3ω0 /12
解毕！
复合运动分析要点： 1．分析运动传递的因果关系； 2．选择动点和 动系要使动点的相对运动存在，且相对运动轨迹简单或直观，这 样才能起到运动分解和达到简化运动分析的目的。
《理论力学》第七章-点的复合运动
v0
Ra
n r
aa
a
φ
x'
O
n
arn
vr2 R
v2
Rsin2
3、速度分析
va vevr
vr
ve
sin
v
sin
4、加速度分析
aaaear arn
n
aasinaecosarn
aa
acot
v2
Rsin3
48
§7–4 牵连运动为转动的加速度合成定理
牵连运动为平动时加速度合成定理：aaaear
牵连运动为定轴平动时 aaaear是否成立？
37
§7–2 速度合成定理
va vr
应用速度合成定理
va vevr
3、速度分析。 绝对速度va： va＝OA·ω＝rω ， 方向垂直于OA向上
牵连速度ve： ve为所要求的未知量，
方向垂直于O1B 相对速度vr： 大小未知， 方向沿摇杆O1B
38
§7–2 速度合成定理
va vr
其中 O1A l2 r2
1
第七章 点的复合运动
§7–1 复合运动的概念 §7–2 速度合成定理 §7–3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 §7–4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理
2
第七章 点的复合运动
复合运动问题：研究物体相对于不同参考系 的运动之间的关系。
复合运动不是一种新的运动形式，只是
一种研究运动学问题的思路和方法。
40
§7–3 牵连运动为平动的加速度合成定理
一、绝对运动和相对运动之间的关系
z M
绝对运动方程：r r(t)
z
r (t)
r (t ) k O j
理论力学1-7章答案
习题7-1图Oυ(a)υυ(b)习题7-3图第7章 点的复合运动7-1 图示车A 沿半径R 的圆弧轨道运动，其速度为v A 。
车B 沿直线轨道行驶，其速度为v B 。
试问坐在车A 中的观察者所看到车B 的相对速度v B /A ，与坐在车B 中的观察者看到车A 的相对速度v A /B ，是否有B A A B //v v -=？（试用矢量三角形加以分析。
）答：B A A B //v v -≠1．以A 为动系，B 为动点，此时绝对运动：直线；相对运动：平面曲线；牵连运动：定轴转动。
为了定量举例，设R OB 3=，v v v B A ==，则v v 3e =∴ ⎩⎨⎧︒==6021/θv v A B2．以B 为动系，A 为动点。
牵连运动为：平移；绝对运动：圆周运动；相对运动：平面曲线。
此时⎪⎩⎪⎨⎧︒==4522/θv v B A ∴ B A A B //v v -≠7-3 图示记录装置中的鼓轮以等角速度0ω转动，鼓轮的半径为r 。
自动记录笔连接在沿铅垂方向并按)sin(1t a y ω=规律运动的构件上。
试求记录笔在纸带上所画曲线的方程。
解：t r x 0ω= （1） )sin(1t a y ω=（2）由（1）0ωr xt =代入（2），得)sin(01r xa y ωω=7-5 图示铰接四边形机构中，O 1A = O 2B = 100mm ，O 1O 2 = AB ，杆O 1A 以等角速度ω= 2rad/s 绕轴O 1转动。
AB 杆上有一套筒C ，此套筒与杆CD 相铰接，机构的各部件都在同一铅垂面内。
试求当ϕ= ︒60，CD 杆的速度和加速度。
解：1．动点：C （CD 上），动系：AB ，绝对：直线，相对：直线，牵连：平移。
2．r e a v v v +=（图a ） v e = v A01.02121.0cos e a =⨯⨯==ϕv v m/s （↑）3． r e a a a a +=（图b ）4.021.022e =⨯==ωr a m/s 2 346.030cos e a =︒=a a m/s 2（↑）习题7-5图习题7-7图习题7-9图υ(a) (b)(a)7-7 图示瓦特离心调速器以角速度ω绕铅垂轴转动。
点的复合运动1
42
点的速度合成定理
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速 度与相对速度的矢量和。
v a ve v r
*矢量方程式，在平面问题中相当两个标量方程式; *建立了任一瞬时三个运动之间的速度关系，不能求
导，只能求得特殊位置(某瞬时)的速度.一定是以绝对
速度为对角线组成平行四边形. *牵连运动形式不限.
动等。
在复合运动的研究中，参考系(动系)的选择是问题的关
键。恰当的选择参考系，能把复杂的运动分解为若干种简
单运动，或由若干种简单运动组成各种不同的复杂运动。
15
5 动点和动系的选择
基本原则：
1.动点对动系要有相对运动。
2.动点的相对运动轨迹要明确、容易确定。 具体选择方法： 1.选择持续接触点为动点。
7
3 三种速度、加速度
*绝对速度、加速度：va , aa
动点相对定系的速度、加速度;
*相对速度、加速度：vr , ar
动点相对动系的速度、加速度; 动点的牵连点：某瞬时动系上与动点重合的点。
*牵连速度、加速度：ve , ae
牵连点 相对定系的速度、加速度。
8
4.牵连点的概念
（1）、定 义 动参考系给动点直接影响的是该动系上与动点相重合的一点，
39
三种运动轨迹
设动点M在动系中沿某一曲线 AB如下
三种运动轨迹
40
刚体在定系中运动，动系固结在刚体上。
M1点——t 瞬时动系上与动点重合的点。 z' x' z M，M1 y x O
41
绝对运动轨迹
M' 相对运动轨迹
y'
r a r r M'1
r e
理论力学8、点的复合运动
3、动点、动系不能取在同一物体上。动点相对于动 系的相对轨迹要明显、简单（如直线、圆）。
对于机构传动问题，动点多选在主动件与从动件的 连接点和接触点。静系一般固定在不动的物体上。
§10-2 点的速度合成定理
B
MM / MM1 M1M /
υr
υa
υr
M
/
B/
MM / MM1 M 1M / lim lim lim M t 0 t t 0 t t 0 t
第十章
一、两个参考系
点的复合运动
§10-1 基本概念 定参考系：把固定在地面上的坐标系称为定参考系。
简称定系或静系。用oxyz坐标系表示。
动参考系：把固定在其它相对于地球运动的参考系上
的坐标系称为动参考系。以o’x’y’z’表
示。 二、三种运动 绝对运动：动点相对于定参考系的运动。（点） 相对运动：动点相对于动参考系的运动。 牵连运动：动系相对于定系的运动。（刚体）
牵连速度ve：方向垂直于O1B 。 相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆O1B 。
va ve v r
va ve vr
ve va sin
va r ，
sin r l2 r2 ,
所以
ve
r 2 l 2 r2
因为
设摇杆在此瞬时的角速度为 ω1， 则
ve O1 A 1
τ r
一般用投影式求解。
x
例:凸轮半径为R，沿水平面向右运动，当φ=600时凸轮的速度为u, B 加速度为a，求此时杆AB的加速度。 解： 动点: A (AB上) 动系: 凸轮
3 0 va ctg60 ve v0 v r v e 0 2 v 0 3 sin 60 3
点的复合运动-动点、动系的确定
牵连运动：飞机的空间飞行
相对运动：P绕螺旋桨轴的圆周运动
绝对运动：空间螺旋曲线运动
+
动点相对于动系的相对运动
分
合
解
成
动点的绝对运动
点的复合运动，研究点运动分解与合成的规律。
3
问题：动点、动系如何选择？？
➢ 动点、动系一定在两个不同的刚体上（存在相 对运动）
➢ 动点、动系选择时应该使点的相对运动简单、 明确（便于运动分析）
试求:图示瞬时（ ∠OAB=60 ）套筒的转角速度。
A
动点、动系如何选择？
谢 谢！
选持续接触点（关联点）为动点，动系固结 在另一个物体上 。
两个运动物体，无持续接触点
动点：接触点 相对运动？
B
D
A Oe
M
动点：凸轮的轴心A点
动系：固连在顶杆BCD上
相对运动：铅垂直线运动
ω
C
对于两个运动物体无持续接触点(或无关联点) 的情况。
选便于运动分析的点为动点，动系固结在另 一个物体上。
动点、动系选择唯一吗？
动点：L杆上E点
A
动系：固连在上面的构件上
相对运动：以C点为圆心的半圆周运动
是否可以选C点为动点，动系固连在L型杆上 ？
B
C
D
相对运动：以E点为圆心的圆周运动
R
E
v
M
N
a
思考题：
已知平面机构中，曲柄OA以匀角速度 绕O 轴转动，曲 柄长OA=r，摆杆AB 可在套筒C 中滑动，摆杆长AB=4r，套 筒C 绕定轴C 转动。
点的复合运动-动点、动系的确定
研究对象：一个动点
• 绝对运动
动点相对静参考系
第七章点的合成运动习题解答
习 题7-1 如图7-26所示，光点M 沿y 轴作谐振动，其运动方程为：x = 0，)cos(θω+=t A y ，式中，A 、ω、θ均为常数。
如将点M 投影到感光记录纸上，此纸以等速v e 向左运动，试求点在记录纸上的轨迹。
图7-26t v x e =')cos()cos(eθωθω+'=+=='x v A t A y y7-2 用车刀切削工件的端面，车刀刀尖M 的运动方程为 t b x ωsin =，其中b 、ω为常数，工件以等角速度ω逆时针方向转动，如图7-27所示。
试求车刀在工件端面上切出的痕迹。
图7-27t b t y t x x ωωωsin sin cos ='-'=0cos sin ='+'=t y t x y ωω解得)2sin(2cos sin sin tan cos sin t b t t b t t t t b x ωωωωωωω==+=' ]1)2[cos(2sin tan 2-=-='-='t b t b t x y ωωω 4)2()(222b b y x =+'+'7-3 河的两岸相互平行，如图7-28所示。
设各处河水流速均匀且不随时间改变。
一船由点A 朝与岸垂直的方向等速驶出，经过10 min 到达对岸，这时船到达点B 的下游120 m 处的点C 。
为使船A 能垂直到达对岸的点B ，船应逆流并保持与直线AB 成某一角度的方向航行。
在此情况下，船经12.5 min 到达对岸。
试求河宽L 、船相对于水的相对速度v r 和水的流速v 的大小。
图7-28m/s 2.0600120==v 600r L v = 船A 能垂直到达对岸的点B750a L v = 2a 22r v v v += 2222.0)750()600(+=L L m 200)7501()6001(2.022=-=L m/s 31r =v 7-4 半径R = 60mm 的半圆管BC 绕定轴OO 1按规律)5(t t -=ϕ转动，点在管内运动，相对于管子的运动方程为2π10t BM =(弧长的单位为mm)，如图7-29所示。
理论力学答案(第七章后)
第七章 点的合成运动一、是非题7.1.1动点的相对运动为直线运动，牵连运动为直线平动时，动点的绝对运动必为直线运动。
（ × ） 7.1.2无论牵连运动为何种运动，点的速度合成定理r e av v v +=都成立。
（ ∨ ） 7.1.3某瞬时动点的绝对速度为零，则动点的相对速度和牵连速度也一定为零。
（ × ） 7.1.4当牵连运动为平动时，牵连加速度等于牵连速度关于时间的一阶导数。
（ ∨ ） 7.1.5动坐标系上任一点的速度和加速度就是动点的牵连速度和牵连加速度。
（ × ） 7.1.6不论牵连运动为何种运动，关系式a a +a a r e =都成立。
（× ） 7.1.7只要动点的相对运动轨迹是曲线，就一定存在相对切向加速度。
（ × ） 7.1.8在点的合成运动中，判断下述说法是否正确：（1）若r v 为常量，则必有r a =0。
（ × ） （2）若e ω为常量，则必有e a =0.（ × ）（3）若e r ωv //则必有0=C a 。
（ ∨ ） 7.1.9在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。
( × ) 7.1.10当牵连运动为定轴转动时一定有科氏加速度。
（ × ）二、 填空题7.2.1 牵连点是某瞬时 动系 上与 动点 重合的那一点。
7.2.2e a v v =大小为，在一般情况下，若已知v e 、v r ，应按a 的大小。
三、选择题：7.3.1 动点的牵连速度是指某瞬时牵连点的速度，它相对的坐标系是（ A ）。
A 、 定参考系B 、 动参考系C 、 任意参考系 7.3.2 在图示机构中，已知t b a s ωsin +=， 且t ωϕ=（其中a 、b 、ω均为常数），杆长为L ，若取小球A 为动点，动系固结于物块B ，定系固结于地面，则小球的牵连速度v e 的大小为（ B ）。
理论力学复习第七章
z z
x´ x´
B y
z´ B z´ M M’
O´ O´
x 4）牵连点：任意瞬时，在动坐标系 x 上与动点空间位置相重合的点，即设 想将该点固结在动坐标系上，而随着 动坐标系一起运动时该点叫牵连点。 5）三种轨迹: 不同时刻牵连点位置不同。 牵连点轨迹：牵连点 绝对轨迹：动点在绝对运动中的轨迹. 点随动系（刚体）运 相对轨迹：动点在相对运动中的轨迹. 动时的轨迹.
B
Y’
vr
v o
a
va
A
大小
va ve vr
v
ve
X‘
方向
a
分析得：va sina = v cosa
va = v ctga
15
理论力学· 运动学
解2： 动点：凸轮上圆心O， 绝对运动：直线 相对运动：曲线（圆弧） 动系：固连于AB杆 牵连运动：直线平动 y‘ B
va ve vr
r rO x i y j z k
ve dr dt
x ,y ,z 常量
z
o x
y
rO x i y z k j
o
条件导数
dr vr ＝x i y j z k 相对导数 dt dr va ro x i y z k x i y j z k j dt vr v
4
理论力学· 运动学
3. 绝对、相对和牵连运动之间的数学关系
动点：M
O 动系： ' x ' y '
x x t y y t
y y
绝对运动运动方程 相对运动运动方程
理论力学(第7版)第七章 点的合成运动
ar ~ d 2r dt 2
xi j k y z
ae
d 2 rM dt 2
xi yj zk rO
?
√ √ √ √ 将加速度矢量式投影到法线上，得
a a sin a e cos
大小 方向
aa a e a r a r ? a0 R? √
?
n
n
ar
n
aa (ae cos ar n ) / sin
整理得
a AB
2 3 8 v0 aa (a0 ) 3 3 R
称为动参考系，简称动系。例如在行驶的 汽车。以o’x’y’z’坐标系表示。
[注]： 1、参考系须指明固结于哪个参考体上，选择参 考体是选择参考系的关键。 2、动系与参考体有区别：参考体是有限的，而 参考坐标系是无限大的，故动系无限大。
3
7-1 相对运动 牵连运动 绝对运动
二、三种运动
１．绝对运动：动点对定系的运动 ２．相对运动：动点对动系的运动
2 (aa aen )sin 30 3O r (l r ) aet cos 30 3l
BD
2 aet 3O r (l r ) BD 3l 2
28
7-4 牵连运动是定轴时点的加速度合成定理 科氏加速度
1、牵连运动为转动情况：
定理推导:
rM rM
r xi yj z k
3、 v a v e v r 大小 r ? ?
ve r 2 1 2 O1 A l r 2
方向 OA O1B //O1B ve va sin r sin
《理论力学》第七章点的合成运动习题解
2v v e =1v v =ABr v v =045045v r =N第七章 点的合成运动习题解析[习题7-1] 汽车A 以h km v /401=沿直线道路行驶，汽车B 以h km v /2402=沿另一叉道行驶。
求在B 车上观察到的Ａ车的速度。
解： 动点：A 车。
动系：固连于B 车的坐标系。
静系：固连地面的坐标系。
绝对运动：动点A 相对于地面的运动。
相对运动：动点A 相对于B 车的运动。
牵连运动：在动系中，动点与动系的重合点， 即牵连点相对于静系（地面）的运动。
当Ａ、 Ｂ两车相遇时，即它们之间的距离趋近于０时， Ａ、Ｂ相重合，Ｂ车相对于地面的速度就是 牵连速度。
2v v e =。
由速度合成定理得：→→→+=r e v v v 。
用作图法求得：h km v v AB r /40== （↑）故，Ｂ车上的人观察到Ａ车的速度为h km v v AB r /40==，方向如图所示。
[习题7-2] 由西向东流的河，宽1000m ，流速为0.5m/s ，小船自南岸某点出发渡至北岸，设小船相对于水流的划速为1m/s 。
问：（1）若划速保持与河岸垂直，船在北岸的何处靠岸？渡河时间需多久？（2）若欲使船在北岸上正对出发点处靠岸，划船时应取什么方向？渡河时间需多久？ 解：（１）动点：船。
动系：固连在流水上。
静系：固连在岸上。
绝对运动：岸上的人看到的船的运动。
相对运动：船上的有看到的船的运动。
牵连运动：与船相重合的水体的运动。
绝对速度：未知待求，如图所示的v 。
相对速度：s m v r /1=，方向如图所示。
牵连速度：s m v e /5.0=，方向如图所示。
vr 1=N1v sm v e /1=由速度合成定理得：→→→+=r e v v v)/(118.115.02222s m v v v r e =+=+=0435.635.01arctan arctan===e r v v θ )(50021000tan 1000m AC ===θ，即，船将在北岸下流５００m 处靠岸。
第9讲点的复合运动
动点: M, 动系:O'x'y'z' 定系: Oxyz 相对轨迹: AB
理论力学教程电子教案
点的合成运动
13
如图所示， Oxyz为定系， O?x?y?z?为动系。
绝对位移: CC1 CC1 ? CC?? C?C1
dCC1 ? dCC?? dC?C1 dt dt dt
? va
?
? ve
?
? vr
(14 - 1)
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相 对速度的矢量和，这就是 点的速度合成定理 。
理论力学教程电子教案
点的合成运动
14
? ??
va ? ve ? vr
(7 -1)
说明：? v?a— Nhomakorabeav?r ve
— —
动点的绝对速度； 动点的相对速度； 动点的牵连速度，是动系上一点
(牵连
点)的速度。
上面的推导过程中，动参考系并未限制作何运动， 因此点的速度合成定理 对任意的牵连运动都适用。
? v0 ?cot 60? ? 0.577v0
? vAB
?
? va
此瞬时杆AB的速度方向 向上。
理论力学教程电子教案
例 题 7-3
点的合成运动
19
刨床的急回机构如图所示，
曲柄 OA的一端 A与滑块用铰
链连接，当曲柄 OA以匀角速
度w绕固定轴 O转动时，滑块
在摇杆 O1B上滑动，并带动摇 杆O1B绕固定轴 O1摆动，设曲 柄长 OA=r，距离 OO1= l，求 当曲柄在水平位置时摇杆的角
O1A上； (b) 以小环M为动点，动系固结于 OA杆上；
理论力学教程电子教案
点的合成运动
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（3）、加速度合成定理 将z轴与动坐标系 的转动轴重合
z
o
r
va ve vr
y
dva dve dvr dt dt dt
x
ve r
vr vxi vy j vz k
ve r
y
, R 18cm
M
R A B
18
t
, s BM t 2cm
φ
x
O1
O2
解：确定动点的位置： φ=300，动点在圆板的最 高点。
18
t
, s BM t 2cm 速度分析：
φ
y
v va e vr
R
va ve vr
vr s 2 t
例、 刨床的摆动导杆机构。 已知：n=30 rpm ， OA=30 cm ,OM=20 cm . 求：图示位置AB杆的角速度。 va
nv e
O
θ A
B vr M
解： 动点：[M] ，
动系与AB杆固接 画速度矢量图
va ve vr
2 n va OM 60
va sin ve
va ve vr
ve va cos t e cost
v杆 e cos t
系杆将 如，挺 何动杆 选点改 择与为 ？动直
例 、船A、B分别沿着夹角为α的两条直线行驶。 已知：A船的速度为v1，B船始终位于A船的左舷 正对方向。求：B船的速度v2和相对与A船的速度。 解：
c12 c22 c32
c13 x c23 y c33 z
§7-2速度合成定理
• 绝对速度：
dr dx dy dz va i j k dt dt dt dt
• 相对速度：
dx dy dz dr vr i j k dt dt dt dt
di 因为： vx vx i vxi dt di dj dk 所以：vx v y vz vr dt dt dt dvr ar vr dt
aa ae ar 2 vr
y
va ve vr
dva dve dvr dt dt dt
dva dve dvr dt dt dt dve dvo ao ae dt dt
dvr d (vxi v y j vz k ) dvr ar dt dt dt
理 论 力 学
主讲：李磊
内蒙古工业大学 力学教研室
第七章
点的复合运动
§7-1绝对运动、相对运动与牵连运动
§7-2速度合成定理 §7-3加速度合成定理 §7-4结论与讨论
2013-6-3
• 机构中复合运动的点：
点的运动描取决于所选定的参考系。
y y’
x’
§7-1绝对运动、相对运动与牵连运动
• 在不同的坐标系下观察运动 1、绝对运动（absolute motion)： 定参考系 —— oxyz 动点相对于固定参考系的运动称为绝对运动。 2、相对运动（relative motion)： 动参考系——o’x’y’z’ 动点相对于动参考系的运动称为相对运动。 3、动参考系的运动称为牵连运动 （convected motion)。
, s BM t 2cm
y
ar Ra e
φ r 1
aa
n ar
M
B
2 cm / s 2 ae o1 A
2
18
v 2 2 a 2 cm / s R
n r
x
2 r
A
ar 2 (cm / s) s
n r
2
aax (ae cos ar ) 6.67cm / s 2
va ve vr
速度合成定理
速度合成定理的应用
• 公式分析： 三个速度矢量包含六个因素。 已知其中四个因素，可以求出另外两个未知因数。 • 解题步骤： ⑴ 选择动点、动参考系 ⑵ 确定动点的绝对运动、相对运动及动系的 牵连速度 ⑶ 画动点的速度矢量图 ⑷ 根据速度矢量图确定未知速度的大小或方 向
o
va ve vr ve oA 2e
va vetg
ve vr cos
2 e 3 4 e 3
加速度分析
aa ae ar ac
ae 2e
2
B
vr 16 a e 2 R 3 3
n r
2
ac
绝对运动方程与相对运动方程之间的关系
m z
r (t )
o x
r (t )
ro (t )
y
r (t ) ro (t ) r (t )
x xo c11 y y c o 21 z zo c31
A
B
v1
ve
v2
vr
va
动点 [B船] 动系与A船固接（平动） 画速度矢量图
va ve vr
v1 ve va cos cos
vr vetg v1tg
§7-3加速度合成定理
1、牵连运动为平动时的加速度合成定理
z
m o x
m”
m1
m’
A
ae
o
aa ar
ac 2 vr sin
n acr
8 e 2 3
n r
aa cos ae cos a ac
2 2 aa e 9
例、四连杆机构。求t=3s时M点的绝对速 度、绝对加速度。
已知：o1 A o2 B 18cm
aay (ae sin a ) 20cm / s
§7-4 结论与讨论
• 何种运动机构的运动学问题适合用复合运动 的方法分析 • 动点、动系的正确选择 • 绝对运动、相对运动、牵连运动形式的判断
7-1，7-2，7-3，7-5, 7-6, 7-7, 7-9, 7-10，7-11，7-17，7-19
vr vxi vy j vz k
dve d ( r ) r va dt dt
ae vr
y dv dvr dvx dvz i j k dt dt dt dt di dj dk vx v y vz dt dt dt
2 vr ac
科氏加速度
aa ae ar ac
例：凸轮以匀角速度ω绕偏心轴转动。求图示位 置从动杆的速度、加速度。
oc e
B
, R 3e
, oc Ac
ve A
va
c
vr
解：动点 [从动杆的A点] 动系与凸轮固接 速度分析：
ve sin vr cos( ) 0
sin vr cos( )
例：凸轮机构。已知：凸轮的转动方程φ=ωt，偏 心距e，半径R 。求：图示位置挺杆的速度。
解： • 动点 [C点 ]
• 动系与挺杆固接 • 画动点的速度矢量图
vr c
va
ve
m’ z m”
m
m1
o
y
x
mm mm1 m1m
z m o
m’
vr
m”
ve
va
m1
y
x
mm mm1 m1m lim t lim t lim t t 0 t 0 t 0
M
B
φ
A
x
O1
O2
vr t 3 6 cm / s ve o1 A ve t 3 cm / s
va 20.58cm / s
7.590
va cos (vr ve sin )
va sin ve cos
加速度分析
18 t
aa ae ar
ve AM AB
AB 0.967(rad / s)
例、求叶片在转子滑槽内的滑动速度。 已知：转子的角速度ω，叶片与OB的夹角为β， 定子法线与OB的夹角为α，OB=ρ。 解：
ve
动点 [B] ;动系与转子固接
va 画速度矢量图
Bv
r
va ve vr
aa ae ar
2、牵连运动为定轴转动时的加速度合成定理
（1）定轴转动刚体的角速度矢量、角加速度矢量
k
d k dt
（2）刚体上任意一点的速度、加速度
r
v r a r v