大学物理波动方程

4
波线: 沿波的传播方向作的 有方向的线。 波前: 在某一时刻，波传播 到的最前面的波面。
波面 波线
波面
波线
球面波 z
波面
x
y
波线
平面波
柱面波
5
注意 在各向同性均匀介质中，波线⊥波面。
三、波长
周期
频率和波速
波长（） : 同一波线上相邻两个相位差为 2 的质点之间
的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离 。波长反映了波的空间周期性。
T 4s
2m
u 0.5 m s 1
2 rad s 1 T 2 y0 0.5 cos( t ) t=0原点0: 2 2 2
20
例 一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为
y 0.04 cos (50t 0.10 x) m
1
横波 波的传播方向 质点的振动方向 特点：具有波峰和波谷 纵波 波的传播方向 质点振动方向 特点：具有疏密相间的区域
下面以横波为例观察波的形成过程
2
t 0
1 2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
静止
T t 4
1 2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
振动状态 传至4
T t 2
1 2
t1 时刻x1 处的振动状态经Δt 时间传播到x1+Δx 处，则
可得到
x1 x1 x (t1 ) (t1 t ) u u x u t
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u x y ( x, t ) A cos[2π (t ) 0 ] t x y ( x, t ) A cos[2π ( ) 0 ] T
周期（T） : 波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了
波的时间周期性。
频率（） : 单位时间内，波前进距离中完整波的数目。频率
与周期的关系为
1 T
波速（u） : 振动状态在介质中的传播速度。波速与波长、周
期和频率的关系为
u

T

6
说明 (1) 波的周期和频率与介质的性质无关；一般情况下，与 波源振动的周期和频率相同 。
讨论 由波函数可知波的传播过程中任意两质点 x1 和 x2 振动的相 位差为
x2 x1 [ (t ) 0 ] [ (t ) 0 ] ( x1 x2 ) u u u
x2>x1, Δ<0，说明 x2 处质点振动的相位总落后于x1 处质点的 振动；

平面简谐波
本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、 各向同性、均匀无限大介质中传播的平面简谐波。 9
简谐振动
简谐振动 若
y A cos(t )
平面简谐波的波函数
y
u
x
P
yo A cos(t 0 )
O

x
x 从时间看, P 点 t 时刻的位移是O 点 t 时刻的位移; u x 从相位看，P 点处质点振动相位较O 点处质点相位落后 u x y P ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ]
x y A cos (t ) u
y x 2 A cos (t ) 2 t u
2
2 y 2 x A 2 cos (t ) 2 x u u
从上两式可得波动方程： 可以证明三维的波动方程为：
2 y 1 2 y 2 2 2 x u t
其中ξ为质点的位移
求 (1) 波的振幅、波长、周期及波速； (2) 质点振动的最大速度。
解 (1) a. 比较法(与标准形式比较）
t x y ( x, t ) A cos[2π ( ) 0 ] 标准形式 T 50 0.10 y 0.04 cos 2π ( t x) 波函数为 2 2 2 T 0.04 s 比较可得 A 0.04 m 50 2 20 m u 500 m/s 0.10 21 T
14
波动方程的物理意义
x=x1（常数）
y
x1 y A cos[ (t ) )] u
表示x1处质点的振动方程
o
t
t=t1（常数）
y
o x
x y A cos[ (t1 ) )] u
表示在t1 时刻的波形 t 与 x 都发生变化
表示介质中任何质点在任意时刻的位移
15
t=t1时 t=t1+Δt时
17
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 x y z u t
例 波速 u =400m/s, t = 0 s时刻的波形如图所示。写出波动方程。 解 设波动方程为 y(m) 4 o
5 3
x y A cos[ (t ) ] u x 4 cos[ (t ) ] 400
u
x P 为任意点 y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
10
y(x, t) A cos[2π (t x) 0]
其它形式
y(x, t) A cos[2π ( t x) 0] T

y(x, t) A cos[2π (ut x) 0]

x1
B
A
x
(3) 若 u 沿 x 轴负向，以上两种情况又如何？ 解 •(1)在 x 轴上任取一点P ，A点 振动方程为：
y A A cos(4πt ) 2

u
x1
B

u
A

13
x
P
波函数为： y ( x, t ) A cos[4π(t x ) )]
2
x1 1 (2) B 点振动方程为：yB (t ) A cos[4π (t )] u 8 4x1 A cos[4πt ( )] u 2
t = 0 s时刻yP=0，vP＜0，所以
u
p x(m)
2
o
5 3
cos( )0 240 3 240 3 2 sin( ) 0 240 3
波动方程为
200

2
x y 4 cos[200 (t ) ] 400 3
波速
(2)
π (50t2 0.10 x2 ) π (50t1 0.10 x1 ) x2 x1 u 500 m/s t2 t1 y v 0.04 50π sin π (50t 0.10 x) t v max 0.04 50 6.28 m/s u
x 4x1 波动方程: y B (t ) A cos[4 π(t ) ( )] u u 2 x x1
(3) 以 A 为原点： 以 B 为原点：
u 2 x y ( x, t ) A cos[4π(t ) )] u 2
A cos[4π(t
)
)]
x x1 y ( x, t ) A cos[4π(t ) )] u 2
ul
B
B—
流体的容变弹性模量 流体的密度

—
稀薄大气中的纵波波速为
RT p ul M

— 气体摩尔热容比
M— R—
气体摩尔质量 气体摩尔常数
8
三、简谐波的波动方程
简谐波: 介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中各质 点作同频率的谐振动。 平面简谐波 波面为平面的简谐波 说明 简谐波是一种最简单、最基本 的波，研究简谐波的波动规律 是研究更复杂波的基础。
y ( x, t ) A cos[ 2π
若波沿轴负向传播时，同样可得到波动方程:
其 它 形 式


(ut x) 0 ]
12
1 例 如图， 已知A 点的振动方程为： y A A cos[4π (t )] 8
在下列情况下试求波动方程：
(1) 以 A 为原点；
(2) 以 B 为原点；
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
振动状态 传至7
3T t 4
1 2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
振动状态 传至10
3
t T
1 2
3
4
5
6 7
8
振动状态 9 10 11 12 13 传至13
结论 (1) 波动中各质点并不随波前进； (2) 各个质点的相位依次落后,波动是相位的传播； (3) 波动曲线与振动曲线不同。 波面和波线 波面: 在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的 点联结成的面。
O点处的质点的位移及速度
u
p
x(m)
2
yo 4 cos(t )
4 cos 2 sin 0
v o 4 sin ( t )
t = 0 s时刻yo=2m，vo＞0，所以


3


3
18
同理，对于P点有
y(m) 4
1 y p 4 cos[ (t ) ] 240 3 1 v p 4 sin[ (t ) ]0 240 3
x y A cos[ (t1 ) )] u x y A cos[ (t1 t ) )] u
y
y
o
ut
y
y
y
t
已知t1时刻的波形图（紫色），要确定t=t1+Δt时刻的波形图， 只须将其沿波的传播方向平移uΔt的距离即可（红色）
16
波动方程的一般形式
b.分析法（由各量物理意义，分析相位关系） 振幅
A ymax 0.04 m
π (50t 0.10 x1 ) π (50t 0.10 x2 ) 2π x2 x1 20 m
π (50t2 0.10x) π (50t1 0.10x) 2π
波长
周期
T t2 t1 0.04 s
§8.4
波动方程
一、 机械波的产生
机械波: 机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地 传播出去，就形成机械波。 条件
｛
波源：作机械振动的物体 弹性介质：承担传播振动的物质
二、横波和纵波
横波：介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波； 如柔绳上传播的波。 纵波：介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波； 如空气中传播的声波。
(2) 波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度； 其大 小主要决定于介质的性质，与波源及波的频率无关。 固体既可以传播纵波也可以传播横波
纵波的波速为：
ul
Y

—
Y—
固体棒的杨氏模量
固体棒的密度
7
固体媒质中传播的横波速率由下式给出：
ut
G
G—
固体的切变弹性模量
固体密度

—
液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出
22

3
19
例 沿x轴负向传播的平面简谐波在t=2s时的波形曲线如图，设波 速u=0.5m/s求原点0的振动表达式。 y u t=2s 0.5 x y 0.5 cos (t ) x 1 0 -1 2 u 2 2 t=0 解 由图知
x ut 0.5 2 1 m 0.5