人教版_2013年九年级数学上册_暑期讲义
新人教版九年级上册数学[随机事件和概率--知识点整理及重点题型梳理]
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新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习随机事件和概率--知识讲解【学习目标】1、通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断；2、初步理解概率定义，通过具体情境了解概率意义.【要点梳理】要点一、必然事件、不可能事件和随机事件【 391875 名称：随机事件与概率初步：随机事件】1.定义：（1）必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．（3）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.要点诠释：1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.要点二、概率的意义概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为.要点诠释：(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.【典型例题】类型一、随机事件1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；②没有空气，动物也能生存下去；③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾；④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)；⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则为白球.【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是随机事件.【总结升华】准确掌握定义，依据定义判别.【 391875 名称：随机事件与概率初步：经典例题1】举一反三【变式1】下列事件是必然事件的是( )．A．明天要下雨;B．打开电视机，正在直播足球比赛;C．抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1;D．买一张彩票，一定会中一等奖.【答案】C.【变式2】下列说法中，正确的是( )．A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生;B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件;C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生;D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生.【答案】C.2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球. 【答案与解析】(1)可能发生，因为袋中有红球；(2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球；(3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球.【总结升华】了解并掌握三种事件的区别和联系.举一反三【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏.【答案】不公平，小于3的点数有1、2，大于3的点数有4、5、6，因此，它们的可能性是不同的，所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜.类型二、概率3.（2015春•山亭区期末）一只口袋里放着4个红球、8个黑球和若干个白球，这三种球除颜色外没有任何区别，并搅匀．（1）取出红球的概率为，白球有多少个？（2）取出黑球的概率是多少？（3）再在原来的袋中放进多少个红球，能使取出红球的概率达到？【答案与解析】解：（1）设袋中有白球x个．由题意得：4+8+x=4×5，解得：x=8，答：白球有8个；（2）取出黑球的概率为：，答：取出黑球的概率是，（3）设再在原来的袋中放入y个红球．由题意得：3（4+y）=20+y，或2（4+y）=8+8，解得：y=4，答：再在原来的袋中放进4个红球，能使取出红球的概率达到．【总结升华】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．举一反三【变式】（2014•宁波模拟）中央电视台“非常6+1”栏目中有个互动环节，在电视直播现场有三个“金蛋”三个“银蛋”其中只有一个“金蛋”内有礼物，银蛋也是如此．有一个打进电话的观众，选择并打开后得到礼物的可能性是（）A．B．C．D．【答案】D.【 391875 名称：随机事件与概率初步：例6及思考题】投篮次数n8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7进球频率nm(1)计算表中各场次比赛进球的频率；(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少? 【答案与解析】 （1）投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6897127进球频率nm0.75 0.8 0.75 0.78 0.75 0.7 (2)P(进球)≈0.75.【总结升华】频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近. 举一反三【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数(ｎ) 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数(ｍ)9 19 44 91 178 451 击中靶心频率()(1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是：0.90，0.95，0.88，0.91，0.89，0.90. (2)这个射手击中靶心的概率约为0.9.。
新人教版九年级数学上册讲义
九年级上册数学讲义姓名：电话：第二十一章 一元二次方程1、 一元二次方程 方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。
其中ax bx c 2，，分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。
如：24102x x -+=满足一般形式ax bx c a 200++=≠（），2412x x ，，-分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。
注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。
●夯实基础例1 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。
（1）272y y =-（2）()()512152y y y +-=-（3）()m x n mx x 2210++-=（是未知数）例2 已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围．例3 若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________．●能力提升例4若方程（m-1）x 2+ x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠1 B ．m≥0 C ．m≥0且m≠1 D ．m 为任何实数●培优训练例5 m 为何值时，关于x 的方程2((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程．第一讲 一元二次方程的定义例6关于x 的方程（m+3）x m2-7+（m-3）x+2=0是一元二次方程，则m 的值为例7（2000•兰州）关于x 的方程（m 2-m-2）x 2+mx+1=0是一元二次方程的条件是（ ）A ．m≠-1B ．m≠2C ．m≠-1或m≠2D ．m≠-1且m≠2●课后练习1、m 为何值时，关于x 的方程2((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程．2、已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围．3、已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程，求a 的取值范围．4、若2310a b a b x x +--+=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．5、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为________（1）直接开平方法形如x m m 20=≥（）的方程都可以用开平方的方法写成x m =±，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义--一元二次方程 第05课 一元二次方程应用题--传播问题
第05课 一元二次方程应用题--传播问题知识点：数字问题：个位为a ，十位为b ，百位为c ，则此数为：a b c ++10100传播问题：b x n =+)1(（x 表示一次被传染个数，n 表示经过n 轮传染，b 表示受传染总数） 握手、比赛和赠送问题：握手问题： 比赛问题：（单循环比赛） ；（双循环比赛）赠送问题： 动态几何问题：例1.两个连续奇数的积是323，求这两个数．例2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？例3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？例4.某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m 2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%，从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m 2求：（1）该工程队第二天第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，求这个百分数.例5.如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，点P 从点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动. (1)如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△PCQ 的面积为8cm 2？(2)点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.课堂练习：1.若的值为则的解为方程10522++=-+a a ，x x a （ ） A.12 B.6 C.9 D.162.某校修建一个面积为200m 2的矩形花圃，它的长比宽多10m ，设花圃宽为xm ，则可列方程为( ) A.x(x-10)=200 B.2x+2(x-10)=200 C.x(x+10)=200 D.2x+2(x+10)=200 3.若一元二次方程022=++m x x 有实数解，则m 的取值范围是（ ）A.1-≤mB.1≤mC.4≤mD.21≤m 4.已知b<0，关于x 的一元二次方程(x-1)2=b 的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.有两个实数根5.已知关于x 的方程0122=-+-m mx x 的两个实数根的平方和为7，那么m 的值是（ ） A.5 B.-1 C.5或-1 D.-5或16.如果三角形的两边长分别是方程01582=+-x x 的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ）A.5.5B.5C.4.5D.47.已知03522=--x x n m 是方程和的两根，则=+nm 11 8.若关于x 的方程22(2)0ax a x a +++=有实数解，那么实数a 的取值范围是___________ 9.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长25m)，另三边用木栏围成,木栏长40m ． (1)鸡场的面积能达到180m 2吗? (2)能达到200m 吗? (2)鸡场的面积能达到210m 2吗?10.雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元.(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； (2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？11.有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008，求调换位置后得到的两位数。
人教版九年级数学上册专题讲义设计 专题1 21
人教版九年级数学上册专题讲义专题121.1一元二次方程的概念一一元元二二次次方方程程的的概概念念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一一元元二二次次方方程程的的一一般般形形式式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一一元元二二次次方方程程的的相相关关概概念念：一个一元二次方程经过整理化成a x2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．知知识识点点1、一元二次方程的辨别例题1.下列方程是一元二次方程的是（）=0B．2x-3y+1=0C．（x-3）（x-2）=x2D．（3x-1）A．3x2+（3x+1）=3【答案】D【解析】选项A、3x2+=0是分式方程，错误；选项B、2x-3y+1=0为二元一次方程，错误；选项C、（x-3）（x-2）=x2是一元一次方程，错误；选项D、（3x-1）（3x+1）=3是一元二次方程，正确．对应练习 1.下列方程中，一元二次方程共有（）个①x2-2x-1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x-5=0；④-x2=0；⑤（x-1）2+y2=2；⑥（x-1）（x-3）=x2．A．1B．2C．3 D．4例题2.ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程的条件是（）A．a，b，c为任意实数B．a，b不同时为0C．a不为0D．b，c不同时为0【答案】C【解析】∵ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，∴a≠0．对应练习2.关于x的方程（a-2）x2-3x+7=0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠0B．a≠-2C．a≠2D．a≠±2例题3.将一元二次方程（3x-2）（x+1）=x（2x-1）化成一般形式后，它的一次项系数是（）A．-2B．2C．-3 D．-1【答案】B【解析】去括号得3x2+3x-2x-2=2x2-x，移项得3x2+3x-2x-2-2x2+x=0，合并得x2+2x-2=0，所以一元二次方程的一次项系数为2．对应练习3.若关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x+m2-4=0的常数项为0，则m的值等于（）A．-2B．2C．-2或2 D．0对应练习4.关于x的方程（m+n）x2+-（m-n）x=0（m+n≠0）的二次项系数与一次项系数的和为，差为2，则常数项为（）B．C．A．D．2、利用一元二次方程的一般形式确定各项系数例题4.已知（m-1）x|m|+1-3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=______．【答案】-1【解析】∵方程（m-1）x|m|+1-3x+1=0是关于x的一元二次方程，∴|m|=1，m-1≠0，解得m=-1．对应练习5.已知−x+=0是关于x的一元二次方程，则k为________．例题6.关于x的一元二次方程x2+3x-bx=ax+2中不含一次项，则a+b=_____．【答案】3【解析】x2+3x-bx=ax+2，x2+3x-bx-ax-2=0，x2+（3-b-a）x-2=0，∵不含一次项，∴3-b-a=0，∴a+b=3.例题7.已知关于x 的方程（k +1）+（k -3）x -1=0（1）当k 取何值时，它是一元一次方程？（2）当k 取何值时，它是一元二次方程？【答案】解：（1）由关于x 的（k +1）得或，+（k -3）x -1=0一元一次方程，解得k =-1或k =0，当k =-1或k =0时，关于x 的（k +1）xk 2+1+（k -3）x -1=0一元一次方程；（2）由关于x 的（k +1）得，解得k =1，+（k -3）x -1=0一元二次方程．+（k -3）x -1=0一元二次方程，当k =1时，关于x 的（k +1）【解析】（1）根据二次项的系数为零且一次项的系数不为零是一元一次方程解答；（2）根据一元二次方程：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数解答．对应练习6.已知关于x 的方程：3x +（1）其中为一元二次方程的有哪些；（2）对比各方程的特征请说明：判断一个方程为一元二次方程应从哪几方面考虑．例题8.把方程x 2-x =2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常＝2x 、2x 2+y =3、2x -x 2=3、+x 2＝3、x =27x 2．数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．（1）下列式子中，有哪几个是方程x 2-x =2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）①x 2-x -2=0；②-x 2+x +2=0；③x 2-2x =4；x 2-2x -4=0．④-x 2+2x +4=0；⑤（2）方程x 2-x =2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？【答案】解：（1）一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c =0（a ，b ，c 是常数且a ≠0），因此①，②，④，⑤是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式．（2）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．若设方程x2-x=2的二次项系数为a（a≠0），则一次项系数为-2a，常数项为-4a，因此二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）．综述,这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）．【解析】（1）把方程通过移项或根据等式的性质两边同乘以-1，-2，2即可变形得到正确选项；（2）通过观察可找到的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有的关系是二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）．对应练习7.关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程，甲、乙两同学有不同意见：甲同学认为：原方程中二次项系数与m有关，可能为零，所以不能确定这个方程就是一元二次方程；乙认为：原方程序中二次项系数m2-8m+19肯定不会等于零，所以可以确定这个方程一定是一元二次方程．你认为甲、乙两同学的意见，谁正确？证明你的结论．对应练习参考答案1、【答案】B【解析】①x2-2x-1=0，符合一元二次方程的定义；②ax2+bx+c=0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义；③+3x-5=0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；④-x2=0，符合一元二次方程的定义；⑤（x-1）2+y2=2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义；⑥（x-1）（x-3）=x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义．一元二次方程共有2个．2、【答案】C【解析】由关于x的方程（a-2）x2-3x+7=0是一元二次方程，得a-2≠0，解得a≠2．3、【答案】A2，【解析】由题意得m2-4=0，解得m=±∵m-2≠0，∴m≠2，∴m=-2．4、【答案】A【解析】方程的二次项系数与一次项系数和常数项分别为（m+n）和-（m-n）还有．根据题意得，解得，所以常数项为5、【答案】-2【解析】由==．−x+=0是关于x的一元二次方程，得k2-2=2，且1-k≥0，解得k=-2．6、【答案】解：（1）是一元二次方程的是：2x-x2=3和x=27x2；（2）一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解析】根据一元二次方程的定义解答．7、【答案】答：乙正确，证明：m2-8m+19=m2-8m+16+3=（m-4）2+3≠0，故可以确定这个方程一定是一元二次方程，故乙正确．【解析】利用配方法求出m2-8m+19=m2-8m+16+3=（m-4）2+3即可得出这个方程一定是一元二次方程．。
【人教版】九年级数学上册全册教案(精选)
【人教版】九年级数学上册全册教案（精选）第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．活动1复习旧知1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式．(1)2x－1(2)mx＋n＝0(3)1x＋1＝0(4)x2＝13．下列哪个实数是方程2x－1＝3的解？并给出方程的解的概念．A．0B．1C．2D．3活动2探究新知根据题意列方程．1．教材第2页问题1.提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程．2．教材第2页问题2.提出问题：(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？(3)如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．提出问题：本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？活动3归纳概念提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？(3)归纳一元二次方程的概念．1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？(3)2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．活动4例题与练习例1在下列方程中，属于一元二次方程的是________．(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)1x2＋1x＝2；(4)2x2－2x(x＋7)＝0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是 2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．例2教材第3页例题．例3以－2为根的一元二次方程是()A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．练习：1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.3．教材第4页练习第2题．4．若－4是关于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一个根，则k的值为________．答案：1.a≠1；2.略；3.略；4.k＝4.活动5课堂小结与作业布置课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？作业布置教材第4页习题21.1第1～7题.21.2解一元二次方程21．2.1配方法(3课时)第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想．难点通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题．问题1：填空(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2.解：根据完全平方公式可得：(1)164；(2)42；(3)(p2)2p2.问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x＝±3，如果x换元为2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t＋1变为上面的x，那么2t＋1＝±3即2t＋1＝3，2t＋1＝－3方程的两根为t1＝1，t2＝－2例1解方程：(1)x2＋4x＋4＝1(2)x2＋6x＋9＝2分析：(1)x2＋4x＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x＋2)2＝1.(2)由已知，得：(x＋3)2＝2直接开平方，得：x＋3＝±2即x＋3＝2，x＋3＝－ 2所以，方程的两根x1＝－3＋2，x2＝－3－ 2解：略．例2市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10(1＋x)2＝14.4(1＋x)2＝1.44直接开平方，得1＋x＝±1.2即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2所以，方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2＝－2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±p 转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.第2课时配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．重点讲清直接降次有困难，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤．难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x2－1＝5(2)4(x－1)2－9＝0(3)4x2＋16x＋16＝9(4)4x2＋16x＝－7老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p(p≥0)．如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少？(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征．(2)不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2＋6x－16＝0移项→x2＋6x＝16两边加(6/2)2使左边配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9左边写成平方形式→(x＋3)2＝25降次→x＋3＝±5即x＋3＝5或x＋3＝－5 解一次方程→x1＝2，x2＝－8可以验证：x1＝2，x2＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m，长为8 m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1 用配方法解下列关于x 的方程：(1)x 2－8x ＋1＝0 (2)x 2－2x －12＝0分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上．解：略．三、巩固练习教材第9页 练习1，2.(1)(2)．四、课堂小结本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．五、作业布置教材第17页 复习巩固2，3.(1)(2)．第3课时 配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重点讲清配方法的解题步骤．难点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)x 2－4x ＋7＝0 (2)2x 2－8x ＋1＝0老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略．(2)与(1)有何关联？二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±q；如果q ＜0，方程无实根．例1解下列方程：(1)2x2＋1＝3x(2)3x2－6x＋4＝0(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．解：略．三、巩固练习教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6)．四、课堂小结本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性．在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．五、作业布置教材第17页复习巩固3.(3)(4)．补充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值．(2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总是正数.21.2.2公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．重点求根公式的推导和公式法的应用．难点一元二次方程求根公式的推导．一、复习引入1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1)x 2＝4 (2)(x －2)2＝7提问1 这种解法的(理论)依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程．)2．面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式．)(学生活动)用配方法解方程 2x 2＋3＝7x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)．(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； (5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．二、探索新知用配方法解方程：(1)ax 2－7x ＋3＝0 (2)ax 2＋bx ＋3＝0如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？) 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2＋bx ＝－c二次项系数化为1，得x 2＋b a x ＝－c a配方，得：x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a)2 即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2∵4a 2>0，当b 2－4ac ≥0时，b 2－4ac 4a 2≥0 ∴(x ＋b 2a )2＝(b 2－4ac 2a)2 直接开平方，得：x ＋b 2a ＝±b 2－4ac 2a即x ＝－b±b 2－4ac 2a∴x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a由上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac 2a就得到方程的根． (2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1 用公式法解下列方程：(1)2x 2－x －1＝0 (2)x 2＋1.5＝－3x(3)x 2－2x ＋12＝0 (4)4x 2－3x ＋2＝0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．补：(5)(x －2)(3x －5)＝0三、巩固练习教材第12页 练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)．四、课堂小结本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程；(2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0；2)找出系数a ，b ，c ，注意各项的系数包括符号；3)计算b 2－4ac ，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果．(4)初步了解一元二次方程根的情况．五、作业布置教材第17页 习题4，5.21.2.3 因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重点用因式分解法解一元二次方程．难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)2x 2＋x ＝0(用配方法) (2)3x 2＋6x ＝0(用公式法)老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x 前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2.(2)直接用公式求解．二、探索新知(学生活动)请同学们口答下面各题．(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？(2)等式左边的各项有没有共同因式？(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解． 因此，上面两个方程都可以写成：(1)x(2x ＋1)＝0 (2)3x(x ＋2)＝0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x ＝0或2x ＋1＝0，所以x 1＝0，x 2＝－12.(2)3x ＝0或x ＋2＝0，所以x 1＝0，x 2＝－2.(以上解法是如何实现降次的？) 因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1 解方程：(1)10x －4.9x 2＝0 (2)x(x －2)＋x －2＝0 (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34 (4)(x－1)2＝(3－2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积．)练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( )A ．(x －3)(x －5)＝10×2，∴x －3＝10，x －5＝2，∴x 1＝13，x 2＝7B ．(2－5x)＋(5x －2)2＝0，∴(5x －2)(5x －3)＝0，∴x 1＝25，x 2＝35C ．(x ＋2)2＋4x ＝0，∴x 1＝2，x 2＝－2D ．x 2＝x ，两边同除以x ，得x ＝1三、巩固练习教材第14页 练习1，2.四、课堂小结本节课要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.五、作业布置教材第17页习题6，8，10，11.21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律．4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．重点根与系数的关系及其推导难点正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．一、复习引入1．已知方程x2－ax－3a＝0的一个根是6，则求a及另一个根的值．2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？3．由求根公式可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.观察两式右边，分母相同，分子是－b＋b2－4ac与－b－b2－4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程，并填写表格：观察上面的表格，你能得到什么结论？(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 之间有什么关系？(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1，x 2与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 的关系是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．即：对于方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)∵a ≠0，∴x 2＋b a x ＋c a ＝0∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a(可以利用求根公式给出证明)例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：(1)x2－3x－1＝0(2)2x2＋3x－5＝0(3)13x2－2x＝0 (4)2x2＋6x＝ 3(5)x2－1＝0 (6)x2－2x＋1＝0例2不解方程，检验下列方程的解是否正确？(1)x2－22x＋1＝0 (x1＝2＋1，x2＝2－1)(2)2x2－3x－8＝0 (x1＝7＋734，x2＝5－734)例3已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？)例4已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．变式一：已知方程x2－2kx－9＝0的两根互为相反数，求k；变式二：已知方程2x2－5x＋k＝0的两根互为倒数，求k.三、课堂小结1．根与系数的关系．2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零．四、作业布置1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．(1)x2－5x－3＝0(2)9x＋2＝x2(3)6x2－3x＋2＝0(4)3x2＋x＋1＝02．已知方程x2－3x＋m＝0的一个根为1，求另一根及m的值．3．已知方程x2＋bx＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b的值.21.3实际问题与一元二次方程(2课时)第1课时解决代数问题1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2．通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．3．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题．难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系．一、引入新课1．列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？2．科学家在细胞研究过程中发现：(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(2)一个细胞一次可分裂成x个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞？二、教学活动活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题．有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有________人患流感．第二轮传染后共有________人患流感．(2)本题中有哪些数量关系？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x ＋1)人患了流感，第二轮有x(1＋x)人被传染上了流感．于是可列方程：1＋x＋x(1＋x)＝121解方程得x1＝10，x2＝－12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2；n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.三、课堂小结与作业布置课堂小结1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．2．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n 次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．4．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．第2课时解决几何问题1．通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．2．通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．3．通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．难点在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．活动1创设情境1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．2．如图所示：(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm 的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm 的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．活动2自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动3变式练习如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．答案：路的宽度为5米．活动4课堂小结与作业布置课堂小结1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．作业布置教材第22页习题21.3第8，10题．第二十二章二次函数22．1二次函数的图象和性质22．1.1二次函数1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式．3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．重点二次函数的概念和解析式．难点本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力．一、创设情境，导入新课问题1现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题2很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)．二、合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系：(1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)；(2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y。
人教版九年级数学上册 一元二次方程的解法 讲义
一元二次方程的解法一元二次方程解法：⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩直接开方法配方法因式分解法公式法知识点一、直接开方法例1、用直接开方法解下列方程(1)x2=16 (2)2x2=16 （3）3x2+1=28 (4)(x-1)2=16 (5)2(x-1)2+2=100直接开方法步骤总结：①常数移去右边②二次项系数化为1③用“整体法”直接开方④解出来答案通常都有两个，别漏了哟～思考：是不是所有一元二次方程都有解呢？方程x2+1=0或(x+3)2+1=0该怎么解呢？1、用直接开方法解下列方程(1)(1+x)2=81 （2）2(1-x)2=162 (3)100(1+x)2=144 （4）3(x+9)2-81=02、当a________时，方程(x-1)2-a=0有实根,这时实根是________________；当a____________时，方程无实根直接开方法不是万能的，例如x2+2x=3就不能单独依赖它解出来，那么还有什么其他解法呢？知识点二、配方法后来人们发现，“直接开方法”并不能解决所有的一元二次方程。
例如x2+2x=3就不能直接开方于是到了大约公元前480年，我们中国人就开始使用另一种方法“配方法”来解一元二次方程，连《九章算术》中都有记载。
配成“完全平方公式”的方法叫做配方法，而且它是一元二次方程单元测验的重点，同学们一定要打起十二分精神听讲！例1、解方程：x2+2x=3 例2、解方程：x2-6x+2=0 例3、解方程：2x2+8x=24例4、解方程：3x2-6x-5=0 例5、2x2+3x-6=0配方法步骤总结：①常数移去右边②二次项系数化为1③配成完全平方公式（核心步骤：加上一次项系数一半的平方）④用“整体法”直接开方⑤求解思考：上述配方的题目都是“方程”，如果不是方程，有可能配方吗？例6、求证：无论k取何值，式子248k k++恒大于0例7、已知代数式2++，求证：不论m为任何实数，该代数式一定大于0 2m8m501、用配方法解下列方程：（1）025122＝＋＋x x （2）1042＝＋x x （3）1162＝－x x（4）0422＝－－x x （5）01762＝＋－x x （6）0152=+-x x（7）52342＝－x x （8）x x 2452－＝ （9）x x 91852＝－2、配方法解方程x 2－2x －5＝0时，原方程应变形为( )_______,21==x x A ．(x ＋1)2＝6 B ．(x －1)2＝6 C ．(x ＋2)2＝9 D ．(x －2)2＝93、用配方法解方程x 2＋4x ＝3，配方正确的是（ ）A ．(x ＋2)2＝3B ．(x ＋2)2＝4C ．(x ＋2)2＝7D ．(x ＋1)2＝44、用配方法解方程0642=--x x ，则___6___42+=+-x x ，所以5、如果()4122++-x m x 是一个完全平方式，则=m 。
2015年暑期九年级数学人教版上册暑期讲义：第十课+正多边形与圆(无问题详解)
第十课正多边形与圆多边形内角和公式：0-）（n2⋅180圆内接正多边形：圆外切正多边形：边心距：过圆心作边的垂线段几种特殊的正多边形：例1.正三角形的边心距、半径和高的比是（）A. 1∶2∶3B.C.D.课堂同步：一.判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )二.填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.②正八边形的中心角的度数为____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm,面积是____cm.④面积等于36cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.三.选择题:1.下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.2.若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定3.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）A．180° B．150° C．135° D．120°4.如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．A．60° B．45° C．30° D．22．5°5.圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）． A．36° B．60° C．72° D．108°6.同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:3B.1:2C.1:2D.2:17.正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A.63 B.43 C.33 D.238.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3四、计算9．已知正方形面积为8cm2，求此正方形边心距．10.已知正三角形面积为为2343cm ，求正三角形的半径。
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义--一元二次方程 第06课 一元二次方程综合练习
18.求证：关于 x 的方程 (a 2 8a 20) x 2 2ax 1 0 ，无论 a 取何值，该方程都是一元二次方程。
19.有两个连续整数，它们的平方和为 25，求这两个数。
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20.某新华书店计划第一季度共发行图书 122 万册，其中一月份发行图书 32 万册，二、三月份平均每月 增长率相同，求二、三月份各应发行图书多少万册？
1 a
D.x1=a ，x2=b
2
2
3.一元二次方程 x2-ax+1=0 的两实数根相等，则 a 的值为（ A.a=0
2 2
B.a=2 或 a=-2
C.a=2 ) C. x 3 1
4
2
D.a=2 或 a=0
4.方程 2x -3x+1=0 化为(x+a) =b 的形式,正确的是(
4.若一元二次方程 (k 1) x 2 3ห้องสมุดไป่ตู้x k 2 1 0 的一个根为 0，则 k 的值为（ A. k 1 B. k 1 C. k 1
D. k 1 ）
5.假设每一位参加宴会的人见面时都与另外的人握手一次,共握了 28 次手那么与会人士共有（ A.14 人 B.56 人 C.8 人 D.28 人
6.某美术小组搞活动，每人送给组内其他人 1 件小礼品，一共送出 182 件，则这个小组共有（ A.14 人 B.15 人 C.26 人 ，求根公式是 D.28 人
）
7.方程 ax 2 bx c 0(a 0) 的判别式是
8.如果 x1、x 2 是方程 2 x 2 3 x 4 0 的两个根，那么:
第 06 课 一元二次方程综合练习
1.方程 x（x-1）=2 的两根为（ A.x1=0，x2=1 ） B.x1=0，x2=-1 ） C.x1=1，x2=2 D.x1=-1，x2=2
初三数学暑期讲义 第03讲.二次函数实际应用 教师版
卖花进行中漫画释义满分晋级3函数13级 二次函数的基本解析式与图象变换函数14级 二次函数 实际应用 函数15级 二次函数 图象综合应用暑期班 第二讲暑期班 第三讲秋季班第三讲二次函数实际应用中考内容中考要求A B C二次函数了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的有关问题二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。
这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。
年份2010年2011年2012年题号24 7，8，23 8，23分值8分11分11分考点确定抛物线的解析式，二次函数与等腰直角三角形综合抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围中考考点分析中考内容与要求知识互联网实际应用问题主要考查涨降价、面积等问题，讲解时要明确等量关系．【例1】 如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，则求DE 长的最小值．（2012扬州）EDB C A EDBC A【解析】 如图，连接DE ．设x AC =则x BC -=2，∵△ACD 和△BCE 分别是等腰直角三角形，∴∠DCA ＝45°，∠ECB ＝45°，DC ＝x 22，CE ＝()x -222， ∴∠DCE ＝90°， 故()()1122221212222222+-=+-=-+=+=x x x x x CE DC DE ， 当1=x 时，2DE 取得最小值，DE 也取得最小值，最小值为1． 故答案为：1．夯实基础模块一 实际应用问题知识导航【例2】 某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第03课 函数的图象与性质02
第03课 函数2)(h x a y -=的图象与性质知识点：函数2)(h x a y -=图象性质（1）形状：二次函数2)(h x a y -=的图象是 ，（2）开口方向：当a 0时，开口向_____；当a 0时，开口向_____； （3）顶点坐标： ⇔反映在坐标系中： （4）对称轴：（5）最值：当a 0时，有最 值；当a 0时，有最 值。
（6）增减性：当a 0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；当a 0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；（7）图象左右平移：2ax y =向 平移 个单位后解析式为）（0)(2>-=k k x a y 2ax y =向 平移 个单位后解析式为）（0)(2>+=k k x a y 例1.在同一坐标系中画出二次函数22x y =，2)1(2-=x y ，2)1(2+=x y 的图象，它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这三个函数的图象之间有什么关系?总结：1.函数2)1(2-=x y 与22x y =的图象开口方向 、对称轴和顶点坐标 ；函数2)1(2-=x y 的图象可以看作是函数22x y =的图象向 平移 个单位得到的，它的对称轴是 ，顶点坐标是 。
函数2)1(2+=x y 与22x y =的图象开口方向 、对称轴和顶点坐标 ；函数2)1(2+=x y 的图象可以看作是函数22x y =的图象向 平移 个单位得到的，它的对称轴是 ，顶点坐标是 。
2.函数2)1(2-=x y 的图象当x______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x______时，函数值y 随x 的增大而增大；当x=______时，函数取得最______值y=______。
函数2)1(2+=x y 的图象当x______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x______时，函数值y 随x 的左右平移与 有关平移规律：若抛物线顶点落在x 轴上⇔042=-ac b增大而增大；当x=______时，函数取得最______值y=______。
人教版九年级数学上册讲义(全册)
人教版九年级数学上册讲义(全册)第二十一章二次根式教材内容1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的；它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）（a≥0）．（3a≥0；b≥0）；a≥0；b>0）a≥0；b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．2．过程与方法（1）先提出问题；让学生探讨、分析问题；师生共同归纳；得出概念．•再对概念的内涵进行分析；得出几个重要结论；并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律；用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定；•并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维；•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果；抓住它们的共同特点；•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念；来对相同的二次根式进行合并；达到对二次根式进行计算和化简的目的．3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神；经过探索二次根式的重要结论；二次根式的乘除规定；发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点1a≥0a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0）（a≥0）•及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用．3．最简二次根式的概念．4．二次根式的加减运算．教学难点1a≥02＝a（a≥0（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力；突出重点；突破难点．2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力；•培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需11课时；具体分配如下：21．1 二次根式3课时21．2 二次根式的乘法3课时21．3 二次根式的加减3课时教学活动、习题课、小结2课时21．1 二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标a≥0）的意义解答具体题目．提出问题；根据问题给出概念；应用概念解决实际问题．教学重难点关键1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x；那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图；在直角三角形ABC中；AC=3；BC=1；∠C=90°；那么AB边的长是__________．BA问题3：甲射击6次；各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8；那么甲这次射击的方差是S2；那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等；即x=y；所以x2=3．因为点在第一象限；所以所以所求点的坐标）．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得S= .二、探索新知、；都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子；我们就a≥0）•的式子叫做二次根式；”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0老师点评:（略）例1．下列式子；哪些是二次根式；1xx>0）、、1x y+x ≥0；y •≥0）．分析”；第二；被开方数是正数或0．（x>0）、x ≥0；y ≥0）1x、1x y +．例2．当x 在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知；被开方数一定要大于或等于0；所以3x-1≥0；才能有意义． 解：由3x-1≥0；得：x ≥13当x ≥13在实数范围内有意义． 三、巩固练习教材P 练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x +11x +在实数范围内有意义？分析11x +0和11x +中的x+1≠0． 解：依题意；得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义．例4(1)已知；求xy的值．(答案:2)(2)；求a 2004+b 2004的值．(答案:25)五、归纳小结（学生活动；老师点评） 本节课要掌握：1（a ≥0）的式子叫做二次根式； 2．要使二次根式在实数范围内有意义；必须满足被开方数是非负数．六、布置作业1．教材P 8复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中；是二次根式的是（）A．BCD．x2．下列式子中；不是二次根式的是（）ABCD．1x3．已知一个正方形的面积是5；那么它的边长是（）A．5 BC．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒；其高为0.2m；按设计需要；•底面应做成正方形；试问底面边长应是多少？2．当x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b=b+4；求a、b的值．第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B二、1（a≥0）23．没有三、1．设底面边长为x；则0.2x2=1；解答：2．依题意得：230xx+≥⎧⎨≠⎩；32xx⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0x2在实数范围内没有意义．3.1 34．B5．a=5；b=-421.1 二次根式(2)第二课时教学内容1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）．教学目标a ≥0）2=a （a ≥0）；并利用它们进行计算和化简．（a ≥0）是一个非负数；用具体数据结合算术平2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1a ≥0）是一个非负数；2=a （a ≥0）及其运用．2a ≥0）是一个非负数；•）2=a （a ≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0a<0 老师点评（略）．二、探究新知议一议：（学生分组讨论；提问解答）（a ≥0）是一个什么数呢？2=_______；2=_______；2=______；）2=_______；2=______；2=_______；）2=_______．4的算术平方根；是一个平方等于4的非负数；因此有）2=4．同理可得：）2=2；2=9；；2=72；）2=0；所以 例1 计算1．2 2．（2 3．2 4．）2分析）2=a （a ≥0）的结论解题．解：2 =32；（2 =32·2=32·5=45；2=56；2=22724=． 三、巩固练习计算下列各式的值：2 2 （4）2）2 （）222-四、应用拓展例2 计算1．2（x ≥0） 2．2 3．24． 2 分析：（1）因为x ≥0；所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的42=a （a ≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为x ≥0；所以x+1>02=x+1（2）∵a 2≥02=a 2 （3）∵a 2+2a+1=（a+1）又∵（a+1）2≥0；∴a 2+2a+1≥0 2+2a+1 （4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3） 又∵（2x-3）2≥0∴4x 2-12x+9≥02=4x 2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：1a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）;反之:a=2（a ≥0）．六、布置作业1．教材P 8 复习巩固2．（1）、（2） P 9 7．2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》第二课时作业设计 一、选择题1 ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．数a 没有算术平方根；则a 的取值范围是（ ）． A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a<0 D ．a=0二、填空题1．（）2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（1）2 （2）-2 （3）（12）2 （4）（- 2(5) 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）16（4）x （x ≥0）3=0；求x y 的值． 4．在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-5第二课时作业设计答案:一、1．B 2．C二、1．3 2．非负数三、1．（1）2=9 （2）-）2=-3 （3）（12）2=14×6=32（4）（-2=9×23=6 (5)-62．（1）5=2 （2）3.4=2（3）16=2 （4）x=）2（x ≥0）3．103304x y x x y -+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩ x y =34=814.（1）x 2-2=（）（x ）（2）x 4-9=（x 2+3）（x 2-3）=（x 2+3）（（x ）(3)略21.1 二次根式(3)第三课时教学内容a （a ≥0）教学目标（a ≥0）并利用它进行计算和化简．（a ≥0）；并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键1a （a ≥0）． 2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0a 才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1（a ≥0）的式子叫做二次根式；2a ≥0）是一个非负数；3．2＝a （a ≥0）．那么；我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：；=________． （老师点评）：根据算术平方根的意义；我们可以得到：110=23=037． 例1（1 （2 （3 （4分析：因为（1）9=-3；（2）（-4）2=42；（3）25=5；（4）（-3）2=32（a ≥0）•去化简．解：（1 （2（3 （4 三、巩固练习教材P 7练习2．四、应用拓展例2 填空：当a ≥0；当a<0；•并根据这一性质回答下列问题．（1；则a 可以是什么数？（2；则a 可以是什么数？（3；则a 可以是什么数？分析（a ≥0）；∴要填第一个空格可以根据这个结论；第二空格就不行；应变形；使“（ ）2”中的数是正数；因为；当a ≤0-a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析；逆向思想；（3）根据（1）、（2│a │；而│a │要大于a ；只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1；所以a ≥0；（2；所以a ≤0；（3）因为当a ≥0；；即使a>a 所以a 不存在；当a<0；；即使-a>a ；a<0综上；a<0例3当x>2 分析：(略)五、归纳小结（a ≥0）及其运用；同时理解当a<0a 的应用拓展．六、布置作业1．教材P8习题21．1 3、4、6、8．2．选作课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第三课时作业设计一、选择题1）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0）．AC．二、填空题1．=________．2m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时；求的值；甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中；_______的解答是错误的；错误的原因是__________．2．若│1995-a│；求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0；判断1995-a•的值是正数还是负数；去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时；试化简│x-2│答案:一、1．C 2．A二、1．-0．02 2．5三、1．甲甲没有先判定1-a是正数还是负数2．由已知得a-•2000•≥0；•a•≥2000所以a-1=1995；a-2000=19952；所以a-19952=2000．3. 10-x21．2 二次根式的乘除第一课时教学内容a≥0；b≥0）（a≥0；b≥0）及其运用．教学目标a≥0；b≥0）（a≥0；b≥0）；并利用它们进行计算和化简a≥0；b≥0）并运用它进行计算；•利用逆向思维；得（a≥0；b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键a≥0；b≥0）（a≥0；b≥0）及它们的运用．（a≥0；b≥0）．关键：a<0；b<0）a b；教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1；（2=_______．（3．参考上面的结果；用“>、<或＝”填空．2．利用计算器计算填空（1；（2（3（4；（5．老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式；•并且把这两个二次根式中的数相乘；作为等号另一边二次根式中的被开方数．反过来:例1．计算（1（2（3（4分析：a≥0；b≥0）计算即可．解：（1（2（3（4例2 化简（1（2（3（4（5（a≥0；b≥0）直接化简即可．解：（1×4=12（2×9=36（3×10=90（4（5三、巩固练习（1）计算（学生练习；老师点评）①②×(2) 化简:;教材P11练习全部四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确；不正确的请予以改正：（1（2=4解：（1）不正确．×3=6（2）不正确．=五、归纳小结本节课应掌握：（1=（a≥0；b≥0）（a≥0；b≥0）及其运用．六、布置作业1．课本P151；4；5；6．（1）（2）．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计一、选择题1；•那么此直角三角形斜边长是（）．A．cm B．C．9cm D．27cm2．化简）．A B． D．311x-=）A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 4．下列各等式成立的是（）．A．．C．× D．×二、填空题1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度；它的值为10m/s2）；若物体下落的高度为720m；则下落的时间是_________．三、综合提高题1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水；•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中；当铁桶装满水时；容器中的水面下降了20cm；铁桶的底面边长是多少厘米？2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：==（2）验证：=同理可得：==；……通过上述探究你能猜测出：（a>0）；并验证你的结论．答案:一、1．B 2．C 3.A 4.D二、1．2．12s三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x；则x2×10=30×30×20；x2=30×30×2；2．验证：==21．2 二次根式的乘除第二课时教学内容a≥0；b>0）（a≥0；b>0）及利用它们进行计算和化简．a≥0；b>0（a≥0；b>0）及利用它们进行运算．教学重难点关键a≥0；b>0）（a≥0；b>0）及利用它们进行计算和化简．1教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空（1；=________；（2；（3=________．（43．利用计算器计算填空:（1=_________；（2=_________；（3=______；（4=________．；。
新人教版九年级数学上册暑期讲义：第三课 配方法、公式法
新人教版九年级数学上册暑期讲义：第三课 配方法、公式法配方法：()002≠=++a c bx ax 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ 公式法：⑴条件：)04,02≥-≠ac b a 且⑵公式： aac b b x 2422,1-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且 例1.试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。
例2.已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
例3.已知0136422=+-++y x y x ,x,y 为实数，求yx 的值。
例4.在实数范围内．．．．．．分解因式：31242++x x例5.在实数范围内分解因式：（1）3222--x x ； （2）1842-+-x x . ⑶22542y xy x --例6.如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。
课堂同步：1.等腰三角形的两边的长是方程091202=+-x x 的两个根，则此三角形的周长为（ ） A ．27 B ．33 C ．27和33 D ．以上都不对2.小明用配方法解下列方程时，只有一个配方有错误，请你确定小明错的是（ ） A ．22990x x --=化成2(1)100x -= B ．2890x x ++=化成2(4)25x += C ．22740t t --=化成2781416t ⎛⎫-=⎪⎝⎭ D ．23420y y --=化成221039y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 3.一元二次方程032=+x x 的解是 ；用配方法解方程2x ²+4x+1 =0，配方后得到的方程是 ；用配方法解方程23610x x -+=，则方程可变形为 ． 4.菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的面积 为5.在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：22a b a b ⊕=-，则方程（4⊕3）⊕24x =的解是6.已知041122=---+x x x x ，则=+x x 17.用配方法解方程：⑴ 016102=++x x ⑵0432=--x x ⑶05632=-+x x⑷0942=--x x (5)（x-2）（x-5）=-2 (6)x x 3122=+(7)04632=+-x x8.用公式法解方程：(1)0122=-+x x ⑵04122=--x x ⑶112842+=++x x x⑷()x x x 824-=- ⑸022=+x x ⑹010522=++x x9.试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。
暑期-讲义-数学-学生版
3 基本初等函数
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3.1 一次函数与二次函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 三次函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
好未来智慧教育事业群（Smart Education Group，简称 SEG）专心从事智慧教育，开展对公教学教 研、信息化，制定一体化解决方案等合作.SEG 秉承教学教研是核心、信息化是支撑、制度机制是保障 的核心理念，为公立校提供覆盖小学、初中、高中的整体解决方案.
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编委： 崔用亮 中科院硕士，高考数学 146 分 好未来大 S 级老师 好未来目标清华北大班主讲老师 所带学生中超过 100 位考入清华北大 撰写教师笔记超过 2000000 字，形成 3 本教学著作 在《中学数理化》等杂志发表论文数篇
王宏斌 好未来 S 级教师，高考数学 142 分 好未来目标清华北大班主讲老师 所带学生中超过 100 位考入清华北大 SEG· 高考产品专家组成员 SEG· 高考政策研究专家组成员
1.1 函数概念
1.1.2 函数定义
概念基础 . 函数
设 A 、B 是
的
一个数 x ，在集合 B 中都有
人教版九年级上册数学专题复习(九个专题)
九年级上册数学专题复习(九个专题)专题一 解一元二次方程1、直接开方解法方程（1）2(6)30x -+= （2） 21(3)22x -=2、用配方法解方程（1）2210x x +-= （2） 2430x x -+=3、用公式法解方程（1）03722=+-x x （2） 210x x --=4、用因式分解法解方程（1）3(2)24x x x -=- （2）22(24)(5)x x -=+5、用十字相乘法解方程（1）2900x x --= （2）22100x x +-=专题二 化简求值1、先化简，再求值：x2＋y2－2xy x －y÷(x y －yx )，其中x ＝2＋1，y ＝2-1.2、先化简：先化简：12164--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x x x ，再任选一个你喜欢的数x 代入求值.专题三 根与系数的关系1、已知关于x 的一元二次方程24280x x k --+=有两个实数根1x ，2x . （1）求k 的取值范围；（2）若33121224x x x x +=，求k 的值.2、已知关于x 的一元二次方程26250x x a -++=有两个不相等的实数根1x ，2x . （1）求a 的取值范围；（2）若221212x x x x +-≤30，且a 为整数，求a 的值.3、已知关于x 的方程0)1()12(2=-+--m m x m x ，（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且满足11)(21221-⋅=-x x x x ，求实数m 的值.专题四 统计与概率1、现有A 、B 、C 三个不透明的盒子，A 盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B 盒中装有红球、黄球各1个，C 盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同．现分别从A 、B 、C 三个盒子中任意摸出一个球．（1）从A 盒中摸出红球的概率为_________；（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．2、现有A 、B 两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A 袋装有2个白球，1个红球；B 袋装有2个红球，1个白球．（1）将A 袋摇匀，然后从A 袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率； （2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A ，B 两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．3、2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A.“解密世园会”、B.“爱我家，爱园艺”、C.“园艺小清新之旅”和D.“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．专题五圆知识点一：证切线，求半径1、如图所示，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为 .2、如图所示，AB 是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是 .3、如图所示，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交半圆O于点E.（1）求证：AC平分∠DAB;（2）若AE=2DE，试判断以O，A，E，C为顶点的四边形的形状，并说明理由.4、如图所示，△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠CDE=12∠BAC.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=3BD，CE=2，求⊙O的半径．5、如图所示，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过圆心O作OG∥BD,交过点A所作⊙O的切线于点G，连结GD并延长与AB的延长线交于点E．（1）求证：GD是⊙O的切线；（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．知识点二求不规则图形的阴影面积1、如图所示，AC是半圆O的一条弦，以弦AC为折线将弧AC折叠后过圆心O，⊙O的半径为2，则圆中阴影部分的面积为．EDBOAC2、如图所示,在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝23,BC ＝2,以AB 的中点O 为圆心,OA 的长为半径作半圆交AC 于点D,则图中阴影部分的面积为___________.3、如图所示,∠AOB ＝90°,∠B ＝30°,以点O 为圆心,OA 为半径作弧交AB 于点A,点C,交OB 于点D,若OA ＝3,则阴影部分的面积为________.4、如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC 平分∠BAE 交⊙O 于点C ，AE ⊥EC 于点E ．（1）试判断CE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若D 为AC 的中点，⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．专题六 二次函数实际应用1、一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg ，销售单价不低于120元/kg ．且不高于180元/kg ，经销一段时间后得到如下数据：销售单价x （元/kg ） 120 130 ... 180 每天销量y （kg ） 100 95 (70)设y 与x 的关系是我们所学过的某一种函数关系．（1）直接写出y 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围； （2）当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？2、传统的端午节即将来临，我县某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x 天生产的粽子数量为y 只，y 与x 满足如下关系：⎩⎨⎧≤≤+≤≤=）（）（20680206034x x x x y ，请解答以下问题：(1)李明第几天生产的粽子数量为280只？(2)如图所示，设第x 天生产的每只粽子的成本是p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画，求p 与x 之间的函数关系式；(3)若李明第x 天创造的利润为w 元，求w 与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？(利润＝出厂价－成本)3、如图所示，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？（3）若墙的最大可用长度为8米，求围成的最大面积．专题七反比例函数的相关计算1、如图4，一次函数y=-x+3的图像与反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限的图像交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为6，求点P的坐标．2、已知反比例函数y=5mx（m为常数，且m≠5）．（1）若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围；（2）若其图象与一次函数y=-x+1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值．3、如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数kyx（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D,OB=4,AD=3,则k值为（）A.4B.3C.2D.1专题八 三角形全等与旋转的综合应用1、如图1所示，已知△ABC ≌△EBD ，∠ACB =∠EDB =90°，点D 在AB 上，连接CD 并延长交AE 于点F ．（1）猜想：线段AF 与EF 的数量关系为______；（2）探究：若将图1所示的△EBD 绕点B 顺时针方向旋转，当∠CBE 小于180°时，得到图2所示，连接CD 并延长交AE 于点F ，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中所示，过点E 作EG ⊥CB ，垂足为点G ．当∠ABC 的大小发生变化，其它条件不变时，若∠EBG =∠BAE ，BC =6，直接写出AB 的长．F EDC BAFDEBC A（图1） （图2）专题九 二次函数的综合应用1、已知抛物线22y ax ax c =-+过点A (-1，0)和C (0，3)，与x 轴交于另一点B ，顶点为D ． （1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标；（2）如图1所示，E 为线段BC 上方的抛物线上一点，EF ⊥BC ，垂足为F ，EM ⊥x 轴，垂足为M ，交BC 于点G ．当BG=CF 时，求△EFG 的面积；（3）如图2所示，AC 与BD 的延长线交于点H ，在x 轴上方的抛物线上是否存在点P ，使∠OPB =∠AHB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．xyCH D BA O yx M D CG FBA O E（图1） （图2）2.（满分3+4+5=12分）如图所示，抛物线y=ax 2+bx-3与轴交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧），A(-1，0)，B(3，0)，直线L 与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为. （1）求抛物线的函数解析式； （2）是线段AC 上的一个动点，过点作y 轴的平行线交抛物线于点，求线段PE 长度的最大值；（3）点是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点，使，，，这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由.。
人教版九年级数学上精品讲义
（3）解高次方程：通常采用因式分解或换元进行变形．
本节重点讲解：一个定义，四种解法，一个思想（转化）
三、全能突破
基础演练
1．下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（ ）
A． 3 x 12 2 x 1
B．
1 x2
1 x
2
0
C． ax2 bx c 0
2．方程 x2 0 的根的个数是（ ）
D． x2 2x x2 1
b2 4ac 的值．
（ 3 ） 直 接 开 平 方 法 ： 用 于 缺 少 一 次 项 以 及 形 如 ax2 b 或 (x a)2 b b 0 或
(ax b)2 (cx d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的根．
（4）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一
2．一元二次方程的解法 （1）直接开平方法
①)2 bb 0
可得 x a b
③ (ax b)2 c c 0
可得 ax b c
④ (ax b)2 (cx d )2 a c
可得 a b (cx d )
（2）配方法：解形如 ax2 bx c 0(a, b, c是常数，a 0) 的一元二次方程．
3．一元二次方程解法的灵活运用 直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适 当的解法． （1）因式分解法：适用于右边为零（或可化为 0），而左边易分解为两个一次因式积的方程， 缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种罪常用的方法． （2）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算
运用配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①二次项系数化 1；②常数项右移；③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）；
人教版九年级数学课件《正多边形和圆》
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8.如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)求图①中∠MON=_1_2_0__°__;图②中∠MON=90 ° ;
图③中∠MON=72 °;
(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
MON
360 n
A
E
A
D
M .O
M
B
NCB
图①
积等于4，求⊙O的面积．
解：∵正方形的面积等于4， ∴正方形的边长AB=2.
则半径为 AB sin 45 2. ∴⊙O的面积为 ( 2)2 2 .
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7.如图，正六边形ABCDEF的边长为2 3 ，点P为六边形内任一点．则点
P到各边距离之和是多少？ 解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K， 连接BD，作CG⊥BD于G.
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.
360 正多边形的每个中心角都等于 n
针对练习
练一练
完成下面的表格：
正多边 形边数
3 4 6
n
内角
60 ° 90 ° 120 °
(n 2) 180 n
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正多边形的外角=中心角
中心角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
外角
120 ° 90 ° 60 °
在Rt△OMB中,OB＝4, MB＝
∴BC=2MB=4,周长为 4×6=24m 利用勾股定理,可得边心距
r 42 22 2 3. 亭子地基的面积
S 1 l r 1 24 2 3 41.6(m2 ). 22
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二次根式例1.当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？例2.已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值．例3.已知()11039322++=+-+-y x x x y x ，求的值。
例4.若│2012-a │+2013-a =a ，求a-20122的值．课堂练习题：1.求下列各式有意义的所有x 的取值范围。
（）；（）；（）；（）；（）；（）13221312411521645332-++-++-----x x x x x xx x x x2.如图，数轴上A,B 两点表示的数分别为1和，点B 关于点A 的对称点为点C ，则点C 所表示的数是（ ）A ．B ．C ．D ．3.已知t<1，化简1212---+t t t 得( ) A ．22-t B ．2t C ．2 D ．0 4.若12x ，则224421x x x x -++++化简的结果是（ ）A. 21x -B. 21x -+C. 3D. -35.若a<0，b>0，则3a b -化简得（ ）A ．-a ...abB a abC a abD a ab --- 6.已知：115252a b ==-+，，则227a b ++的值为（ ） A.5B.6 C ．3 D ．4 7.估算50232+的值（ ） A.在4和5之间B.在5和6之间C.在6和7之间D.在7和8之间 8.有一个长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计)，要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是( ) A.cm 41 B.cm 34 C.cm 25 D.cm 359.已知x ，y 是实数，且3x ＋4＋y 2－6y ＋9＝0，则xy ＝10.如果0＜a ＜a ，那么a 的取值范围是________ 11.10的整数部分是x ，小数部分是y ，则y （x+10）的值是______12.设4-2的整数部分为a ，小整数部分为b ，则ba 1-的值为_______ 13.如图所示，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为___14.化简：2242242222-++++++a a a a a a 15.化简5710141521++++16.已知：7878+-=x ，7878-+=y ，求：yx xy y x +++2的值。
17.已知：,x y 为实数，且113y x x -+-+，化简：23816y y y ---+.18.已知,a b 为实数，且()1110a b b +---=，求20052006ab -的值。
19.已知a 、b 为实数，且5a -+2102a -=b+4，求a 、b 的值．20.已知2310x x -+=，求2212x x+-的值。
21.已知x =-123，x 的整数部分为a ，小数部分为b ，求a b a b --+2的值。
22.已知：2420-=x ，求221xx +的值．23.若直角三角形的面积是218cm ，一条直角边长3cm ，求另一条直角边长及斜边上的高线长．24.先阅读下列的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将2a b ±化简，若你能找到两个数m 和n ，使22m n a +=且mn b =，则2a b ±可变为222m n mn +±，即变成2()m n ±开方，从而使得2a b ±化简。
例如：526±=3226++=222(3)(2)223(32)++⋅=+，∴2526(32)32±=+=+ 请仿照上例解下列问题：（1）526-； （2）423+一元二次方程知识框架：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧一元二次方程的应用韦达定理）因式分解（十字相乘法公式法配方法直接开平方一元二次方程的解法定义：一元二次方程 第二课 一元二次方程的解法定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。
一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax方程的解：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
直接开平方法：()m x m m x ±=⇒≥=,02对于()m a x =+2，()()22n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法 因式分解法：()()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或 ※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”， ※方程形式：如()()22n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ，0222=++a ax x 例1.当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2.已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为例3.已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为例4.解方程：();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132=--x例5.已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则yx y x -+的值为课堂同步：1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A.()()12132+=+x xB.02112=-+x xC.02=++c bx axD.1222+=+x x x2.()()3532-=-x x x 的根为（ ）A.25=x B.3=x C.3,2521==x x D.52=x3.把方程（x-5）(x+5）+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( )A.5x 2-4x-4=0B.x 2-5=0C.5x 2-2x+1=0D.5x 2-4x+6=04.方程()()1231=+-x x 化为02=++c bx ax 形式后，a 、b 、c 的值为（ ）A.1,–2,–15B.1,–2,–15C.1,2,–15D.–1,2,–155.当代数式x 2+3x+5的值为7时，代数式3x 2+9x －2的值是（ ）．A.4B.0C.－2D.－46.关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（）A.0,0==n mB.0,0≠=n mC.0,0=≠n mD.0,0≠≠n m7.下列说法中：①方程02=++q px x 的二根为1x ，2x ，则))((212x x x x q px x --=++② )4)(2(862--=-+-x x x x .③)3)(2(6522--=+-a a b ab a④ ))()((22y x y x y x y x -++=-⑤方程07)13(2=-+x 可变形为0)713)(713(=-+++x x正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个8.以71+与71-为根的一元二次方程是（ ）A.0622=--x xB.0622=+-x xC.0622=-+y yD.0622=++y y9.方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是10.关于x 的一元二次方程4)7(3)3(2-+=-y y y 的一般形式是 ；二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．11.方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为12.已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
13.关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为14.若()()044342=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 15.用直接开方法解方程：⑴ 01362=-x ⑵8142=x ⑶()1652=+x ⑷4122=+-x x16.用因式分解法解方程：⑴ 02=+x x ⑵012142=-x ⑶()()012123=---x x x ⑷()()025422=---x x(5) ()()22312x x -=- (6)()24123+=+x x x (7)432412522+-=--x x x x17.已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。
（1）求k 的值； （2）方程的另一个解。
课后练习：1.若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=12.方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）A.1-B.1C.c b -D.a -3.若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ，则x+y 的值为（ ）A.-1或-2B.-1或2C.1或-2D.1或24.若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为1,则a+b+c= ;若有一个根为-1,则b 与a 、c 之间的关系为 ;若有一个根为零,则c= .5.已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 26.已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 6227.若方程()112=∙+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是8.若=∙=-+y x 则y x 324,03529.若()()2221619+=-x x ，则x 的值为 。
10.()()=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a 11.已知063222=--y xy x ,则yx y x -+的值为 12.方程2122=+xx 的解是 13.已知06622=--y xy x ，且0>x ，0>y ，求yx y x --362的值。
能力提高：1.已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为2.若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为3.若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y 的值为4.方程()012012201020112=-⨯-x x 的较大根为r ，方程01201220112=+-x x 的较小根为s ，则s-r 的值为5.方程062=-+x x 的解为（ ）A.2321=-=，x xB.2321-==，x xC.3321-==，x xD.2221-==，x x6.解方程:()04321322=++++x x第三课 配方法、公式法配方法：()002≠=++a c bx ax 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ 公式法：⑴条件：()04,02≥-≠ac b a 且 ⑵公式： a ac b b x 2422,1-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且 例1.试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。