清一魔顿之平面向量的基本定理及坐标表示ppt

消去λ后得 消去 后得
x1y2-x2y1=0
也就是说， 也就是说，a//b(b≠0)的等价表示是 的等价表示是
x1y2-x2y1=0
练习：下列向量组中， 练习：下列向量组中，能作为表示它 们所在平面内所有向量的基底， 们所在平面内所有向量的基底，正确 的有（ 的有（ ） （1）e1=( -1 , 2 ),e2=( 5 , 7 ) ） （2）e1=( 3 , 5 ),e2=( 6 , 10 ) ） （3）e1=( 2 , -3 ),e2=( 1/2 , -3/4 ) ）
→ → →
→ → 其中i，j为向量 i，j 其中 ， 为向量 ，
， ） i= （1，0） ， ） j= （0，1） ， ） 0= （0，0）
y yj j O i xi x a
图 1
→ → 其中xi为 ， 为 其中 为x i，yj为y j
如图，在直角坐标平面内，以原 如图，在直角坐标平面内， 为起点作OA=a，则点 的位 点O为起点作 为起点作 ，则点A的位 y y A（x,y） 置由a唯一确定。 置由 唯一确定。 唯一确定 设OA=xi+yj，则向量 ，则向量OA的坐标 的坐标 就是点A的坐标 （x,y)就是点 的坐标；反过来， 就是点 的坐标；反过来， 的坐标（ 也就是向量OA 点A的坐标（x,y)也就是向量 的坐标 也就是向量 x 的坐标。因此， 的坐标。因此，在平面直角坐标 系内， 系内，每一个平面向量都可以用 一对实数唯一表示。 一对实数唯一表示。
已知平行四边形ABCD的三个定点 、 的三个定点A、 例4 已知平行四边形 的三个定点 B、C的坐标分别为（-2,1)、(-1，3)、 、 的坐标分别为 的坐标分别为（ 、 ， 、 （3，4），求顶点D的坐标 ， ），求顶点 的坐标 ），求顶点
问题： 问题：共线向量如何用坐标来表
示呢？ 示呢？
其中b是非零向量 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 是非零向量 那么可 其中 是非零向量,那么可 以知道， 的充要条件是存在一实数λ， 以知道，a//b的充要条件是存在一实数 ，使 的充要条件是存在一实数 a= λb 这个结论如果用坐标表示， 这个结论如果用坐标表示，可写为 （x1，y1）= λ(x2，y2) x1= λx2 即 y1= λy2
结论： 结论： 一个向量的坐标等于表示此向量 的有向线段的终点的坐标减去始点的 坐标。 坐标。
y A(x1,y1)
如图，已知 如图，已知A(x1,y1),B(x2,y2), 则 AB= OB - OA
B(x2,y2)
O
x
= (x2,y2) - (x1,y1) = (x2-x1,y2-y1)
你能在图中标出坐标为 (x 2 - x1 ,y 2 - y1 ) 点吗？ 们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（ 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示， 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？ 每一个向量，如何表示？
a=xi+yj
y yj
→ → a
j
O → xi i
图 1
我们把（x,y)叫做向量a 我们把（x,y)叫做向量a 的 叫做向量 直角）坐标，记作a=(x a=(x， （直角）坐标，记作a=(x，y), 其中x叫做a 轴上的坐标， 其中x叫做a在x轴上的坐标，y 叫做a 轴上的坐标,(x 叫做a在y轴上的坐标,(x ,y) x 叫做向量的坐标表示。 叫做向量的坐标表示 向量的坐标表示。
例5、已知 a=（4，2）， b=（6，y）， 、 （ ， ）， （ ， ）， 的值。 且 a//b ，求 y 的值。
例6、已知 、已知A(-1，-1)，B(1，3) , C(2，5） ， ， ， ， ） 判断A、 、 三点的位置关系 三点的位置关系。 判断 、B、C三点的位置关系。
a+b
，a − b
→ →
， → λ a
的坐标吗？ 的坐标吗？
已知， 已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 ， a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j 即 a+b=(x1+x2,y1+y2) 同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)
这就是说， 这就是说，两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差。 于这两个向量相应坐标的和与差。
y A(x1,y1) B(x2,y2) O x
P
已知a=(x,y)和实数λ，那么 λ a= λ(x, y) 即 λa=(λx, λy) • 这就是说，实数与向量的积的坐 标等用这个实数乘以原来向量的 相应坐标。
已知a＝ 例2 已知 ＝(2,1)，b＝(-3,4) ， ＝ 求a+b，a－b，3a+4b ， － ， 已知平行四边形ABCD的三个定点 、 的三个定点A、 例3 已知平行四边形 的三个定点 B、C的坐标分别为（-2,3)、(-1,3)、(3,4)， 的坐标分别为（ 、 的坐标分别为 、 、 ， 求顶点D的坐标 求顶点 的坐标
a j O i x
如图， 例1 如图，用基底 i，j分别表示向量 a、b、c、 ， 分别表示向量 、 、 、 d ,并求出它们的坐标。 并求出它们的坐标。 并求出它们的坐标
y b A i d A2 a A1 x j O c
已知
→
a=(x1 ,y1 ) ， b=(x 2 ,y2 )
→ →
→
你能得出
平面向量基本定理
在不共线的两个向量中， 在不共线的两个向量中，垂直是一种重要是 情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量， 情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量， 叫做把向量正交分解 正交分解。 叫做把向量正交分解。
在平面上， 在平面上，如果选取互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研究问题带来方便。 基底时，会为我们研究问题带来方便。