2014-2015学年广东省深圳市南山区高二(上)期末数学试卷(理科)

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2014-2015年广东省深圳市南山区高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

2014-2015学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）在△ABC中，已知a=6，A=60°，C=45°，则c=（）A．2B．C．D．22．（5分）双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．（5分）等比数列{a n}中，任意的n∈N*，a n+1+a n=3n+1，则公比q等于（）A．2B．3C．D．﹣4．（5分）设a＞0，b＞0，且a+b=2，则+的最小值为（）A．1B．2C．4D．4.55．（5分）设，则不等式f（x）＜x2的解集是（）A．（2，+∞）∪（﹣∞，0]B．RC．[0，2）D．（﹣∞，0）6．（5分）已知x，y满足，则z=2x﹣y的最大值是（）A．B．C．D．27．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，x3＜0B．“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件C．∀x∈R，2x＞0D．“x＜2”是“|x|＜2”的充分非必要条件8．（5分）某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是（）小时．A．B．C．D．1二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2+2x=3，则￢p是．10．（5分）焦点坐标为（0，10），离心率是的双曲线的标准方程为．11．（5分）函数y=的最大值为．12．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a14=1，则S17=．13．（5分）已知三角形的三边长分别为5，7，8，则该三角形最大角与最小角之和为．14．（5分）记max{a，b}=，f（x）=max{|x﹣m|，|x+1|}，若存在实数x，使得f（x）≤1成立，则实数m的取值范围是．三、解答题（本题共6小题，共80分）15．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2﹣ac=b2．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积．16．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，设数列{b n}前n项和为G n，求证：G n．17．（14分）设椭圆C：过点（0，4），离心率为（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程．18．（14分）已知数列{a n}中，a1=a（a＞0），a n a n+1=4n（n∈N*）（1）当a=1时，求a2，a3并猜想a2n的值；（2）若数列{a n}是等比数列，求a的值及a n；（3）在（2）的条件下，设b n=na n．求数列{b n}的前n项和S n．19．（14分）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB=4，BC=1，BE=3，CF=4，若如图所示建立空间直角坐标系：①求和点G的坐标；②求异面直线EF与AD所成的角；③求点C到截面AEFG的距离．20．（14分）P是圆x2+y2=4上任意一点，P在x轴上的射影为M点，N是PM的中点，点N的轨迹为曲线C，曲线C1的方程为：x2=8（y﹣m）（m＞0）（1）求轨迹C的方程；（2）若曲线C与曲线C1只有一个公共点，求曲线C1的方程；（3）在（2）的条件下，求曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程．2014-2015学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）在△ABC中，已知a=6，A=60°，C=45°，则c=（）A．2B．C．D．2【解答】解：∵在△ABC中，a=6，A=60°，C=45°，∴由正弦定理=得：c===2，故选：D．2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：双曲线的渐近线方程是，即．故选：C．3．（5分）等比数列{a n}中，任意的n∈N*，a n+1+a n=3n+1，则公比q等于（）A．2B．3C．D．﹣+a n=3n+1，【解答】解：∵等比数列{a n}中，任意的n∈N*，a n+1∴a2+a1=32，a3+a2=qa2+qa1=33，两个式子相除可得，公比q=3，故选：B．4．（5分）设a＞0，b＞0，且a+b=2，则+的最小值为（）A．1B．2C．4D．4.5【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=2，∴+=（+）（a+b）=（2++）≥（2+2）=2当且仅当=即a=b=1时取等号，故选：B．5．（5分）设，则不等式f（x）＜x2的解集是（）A．（2，+∞）∪（﹣∞，0]B．RC．[0，2）D．（﹣∞，0）【解答】解：当x＞0时，f（x）=x+2，代入不等式得：x+2＜x2，即（x﹣2）（x+1）＞0，解得x＞2，x＜﹣1，所以原不等式的解集为（2，+∞）；当x≤0时，f（x）=x﹣2，代入不等式得：x﹣2＜x2，解得x∈R，所以原不等式的解集为（﹣∞，0]，综上原不等式的解集为（2，+∞）∪（﹣∞，0]．故选：A．6．（5分）已知x，y满足，则z=2x﹣y的最大值是（）A．B．C．D．2【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD及其内部，其中A（，），B（3，），C（3，4），D（0，3）设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值=F（3，）=2×3﹣=∴z最大值故选：B．7．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，x3＜0B．“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件C．∀x∈R，2x＞0D．“x＜2”是“|x|＜2”的充分非必要条件【解答】解：对于A，显然x为负数时，恒成立，故A为真命题；对于B，a＞0时，|a|＞0，反之，a可以是负数，所以“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件，故B为真命题；对于C，利用指数函数的性质，可知∀x∈R，2x＞0，故C为真命题；对于D，x＜2时，|x|＜2不一定成立，反之，|x|＜2时，x＜2成立，“x＜2”是“|x|＜2”的必要非充分条件，故D为假命题故选：D．8．（5分）某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是（）小时．A．B．C．D．1【解答】解：设两船在B点碰头，由题设作出图形，设舰艇到达渔船的最短时间是x小时，则AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°，由余弦定理，知（21x）2=100+（9x）2﹣2×10×9x×cos120°，整理，得36x2﹣9x﹣10=0，解得x=，或x=﹣（舍）．故选：B．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2+2x=3，则￢p是∀x∈R，x2+2x≠3．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，x2+2x=3是特称命题，∴根据特称命题的否定是全称命题，得¬p：∀x∈R，x2+2x≠3．故答案为：∀x∈R，x2+2x≠3．10．（5分）焦点坐标为（0，10），离心率是的双曲线的标准方程为．【解答】解：焦点坐标为（0，10），离心率是的双曲线，可得c=10，a=8，b=6，焦点坐标为（0，10），离心率是的双曲线的标准方程为：．故答案为：．11．（5分）函数y=的最大值为．【解答】解：函数y=≤=，当且仅当2x2=1﹣2x2，即x2=时，取等号，故函数y=的最大值为，故答案为：．12．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a14=1，则S17=．【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a17=a4+a14=1，∴由求和公式可得S17==故答案为：13．（5分）已知三角形的三边长分别为5，7，8，则该三角形最大角与最小角之和为120°．【解答】解：∵三角形的三边长分别为5，7，8，且7所对的角为α，∴cosα==，∴α=60°，则该三角形最大角与最小角之和为120°．故答案为：120°14．（5分）记max{a，b}=，f（x）=max{|x﹣m|，|x+1|}，若存在实数x，使得f（x）≤1成立，则实数m的取值范围是[﹣3，1] ．【解答】解：存在实数x，使得f（x）≤1成立的否定是任意实数x，恒有f（x）＞1成立；当x＞0或x＜﹣2时，|x+1|＞1，故f（x）＞1成立；当﹣2≤x≤0时，|x+1|≤1，故|x+m|＞1在[﹣2，0]上恒成立，故m＜﹣3或m＞1；故存在实数x，使得f（x）≤1成立时，实数m的取值范围是[﹣3，1]．故答案为：[﹣3，1]．三、解答题（本题共6小题，共80分）15．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2﹣ac=b2．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵△ABC中，a2+c2﹣ac=b2，即a2+c2﹣b2=ac，∴cosB==，则B=；（2）把sinA=2sinC，利用正弦定理化简得：a=2c，∵b=3，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=4c2+c2﹣2c2，解得：c=，a=2，=acsinB=．则S△ABC16．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，设数列{b n}前n项和为G n，求证：G n．【解答】（1）解：∵数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．∴a1=S1==1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=3n﹣2，当n=1时上式也成立，∴a n=3n﹣2．（2）证明：b n===，∴设数列{b n}前n项和为G n=+…+=＜，∴G n．17．（14分）设椭圆C：过点（0，4），离心率为（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：过点（0，4），离心率为，∴，解得a=5，b=4，c=3，∴椭圆C的方程是．（Ⅱ）设过点（3，0）的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），设AB的中点为M（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆16x2+25y2=400，得①﹣②，得16（x 1+x2）（x1﹣x2）+25（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴32x（x1﹣x2）+50y（y1﹣y2）=0，∴直线AB的斜率k==﹣，∵直线AB过点（3，0），M（x，y），∴直线AB的斜率k=，∴﹣=，整理，得16x2+25y2﹣48x=0．当k不存在时，16x2+25y2﹣48x=0也成立．故过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程是16x2+25y2﹣48x=0．18．（14分）已知数列{a n}中，a1=a（a＞0），a n a n+1=4n（n∈N*）（1）当a=1时，求a2，a3并猜想a2n的值；（2）若数列{a n}是等比数列，求a的值及a n；（3）在（2）的条件下，设b n=na n．求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵a1=a（a＞0），a n a n+1=4n（n∈N*），∴当a=1时，a1•a2=1×a2=4，解得a2=4，由a2a3=42，解得a3=4．∵==4，∴a n=4a n，可得a2n=4n．+2（2）∵数列{a n}是等比数列，设公比为q，则a•aq=4，aq•aq2=42，a＞0，解得q=2，a=．∴a n=．（3）在（2）的条件下，b n=na n=，∴数列{b n}的前n项和S n=[1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1]，2S n=…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n]，∴﹣S n=（1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n）==，∴S n=．19．（14分）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB=4，BC=1，BE=3，CF=4，若如图所示建立空间直角坐标系：①求和点G的坐标；②求异面直线EF与AD所成的角；③求点C到截面AEFG的距离．【解答】解：（1）由题意知A（1，0，0），B（1，4，0），E（1，4，4），F（0，4，4），∴=（﹣1，0，1），又∵=，设G（0，0，z），∴（﹣1，0，z）=（﹣1，0，1），解得z=1，∴G（0，0，1）．（2）∵=（﹣1，0，0），，∴cos＜＞==，∴异面直线EF与AD所成的角为45°．（3）设平面AEFG的法向量，∵=（﹣1，0，1），=（0，4，3），∴，取z=4，得=（4，﹣3，4），∵C（0，4，0），，∴点C到截面AEFG的距离d===．20．（14分）P是圆x2+y2=4上任意一点，P在x轴上的射影为M点，N是PM的中点，点N的轨迹为曲线C，曲线C1的方程为：x2=8（y﹣m）（m＞0）（1）求轨迹C的方程；（2）若曲线C与曲线C1只有一个公共点，求曲线C1的方程；（3）在（2）的条件下，求曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程．【解答】解：（1）设N（x，y），则由中点坐标公式得P（x，2y），因为P是圆x2+y2=4上任意一点，所以x2+4y2=4，整理得，．（2）将（0，1）代入x2=8（y﹣m），可得m=1，所以曲线C1的方程为x2=8（y﹣1）；（3）在（2）的条件下，设与曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程为y=kx+m；分别与C的方程：以及曲线C1的方程x2=8（y﹣1）联立，得到：2k 2+m ﹣1=0和4k 2﹣m 2+1=0；解得m=1或﹣3；当m=1时，k=0，当m=﹣3时，k=±；所以：与曲线C 和曲线C 1都只有一个交点的直线l 方程为：y=1或y=±x ﹣3．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．yxo（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2014—2015学年深圳市高级中学高二数学上学期期中考试试题(理)

深圳市高级中学2014-2015学年第一学期期中测试高二数学（理科）命题人：聂玉芬审题人：孙东波本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ卷为9-20题，共110分，满分150分．考试用时l20分钟．第Ⅰ卷 (选择题共40分)一、选择题：（本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1、若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的( )A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件 2、抛物线216y x =的焦点为（）A 、（0，2）B 、（4，0）C 、)D 、()3、若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )A 、a ，a ＋b ，a －bB 、b ，a ＋b ，a －bC 、c ，a ＋b ，a －bD 、a ＋b ，a －b ，a ＋2b4、若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在的直线方程为 ( )A 、2x ＋y －3＝0B 、x －2y ＋1＝0C 、x ＋2y －3＝0D 、2x －y －1＝05、命题p ：不等式(1)0x x -<的解集为{x |0＜x ＜1}，命题q ：“A ＝B ”是“sin A ＝sin B ”成立的必要非充分条件，则 ( )A 、p 真q 假B 、p 且q 为真C 、p 或q 为假D 、p 假q 真6、若向量a ＝(1，λ，1)，b ＝(2，－1,1)且a 与b 的夹角的余弦值为16，则λ等于 ( ) A 、2 B 、－2 C 、－2或265 D 、2或2657、若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（）A 、()0,0B 、⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C 、()2,1 D 、()2,28、已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2，点P (a ，b )(ab ≠0)是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为l 1，直线l 2的方程为ax ＋by ＋r 2＝0，那么( )A 、l 1∥l 2，且l 2与圆O 相离B 、l 1⊥l 2，且l 2与圆O 相切C 、l 1∥l 2，且l 2与圆O 相交D 、l 1⊥l 2，且l 2与圆O 相离第Ⅱ卷 (非选择题共110分)二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9、已知下列四个命题： ①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则方程x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题.其中真命题的是_________(填写对应序号即可).10、命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是_________________________.11、若直线y ＝x －m 与曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是____________．12、如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，AB ∥EF ，∠EAB ＝90°，AB ＝4，AD ＝AE ＝EF ＝1，平面ABFE ⊥平面ABCD .则点D 到平面BCF 的距离为_____________13、已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得213PF PF =，则双曲线的离心率e 的取值范围为 ______ ．14、已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为____________。

广东省深圳市南山区高二数学上学期期末考试试题理新

广东省深圳市南山区2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题理新人教A 版本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1、答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损.之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在右上角的信息栏填写自己的考号，并用2B 铅笔填涂相应的信息点．2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求填涂的，答案无效．3、非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案、不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损、考试结束后，将答题卡交回．5、考试不可以使用计算器．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1、若p ：x>1；q ：x ≥1，则p 是q 的A 、充分但不必要条件B 、必要但不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 2、设a ，b ，c ，d ∈R ，且a>b ，c>d ，则下列结论中正确的是 A 、ac>bd B 、a －c>b －d C 、a+c>b+d D 、a b d c> 3、设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n ，则42S a = A 、2 B 、4 C 、8.5 D 、7.54、与椭圆22x y 14+=共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是 A 、22x y 14-= B 、22x y 12-= C 、22x y 133-= D 、22y x 12-= 5、设x>1，则1y x x 1=+-的最小值是A 、1B 、2C 、3D 、4 6、在△ABC 中，a=2bcosC ，则这个三角形一定是A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、等腰直角三角形D 、等腰或直角三角形7、若双曲线2222x y 1a b-=(a>0，b>0)的渐近线与圆(x －2)2+y 2=1相切，则双曲线的离心率为A 、43B、3 C 、2 D8、在R 上定义运算⊗：x y x(1y)⊗=-，若不等式(x a)(x a)1-⊗+<，对任意实数都成立，则a 的取值范围为A 、－1<a<1B 、0<a<2C 、13a 22-<< D 、31a 22-<< 第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．．．．．．．．．． 9、已知命题p ：∀x ∈R ，都有sinx ≤1，则命题┐p 是_______________. 10、不等式x 2－4x+3<0的解集为_______. 11、已知抛物线C ：x 2=4y 上一点P 到定点A(0，1)的距离是2，则点P 到x 轴的距离为________.12、已知a (211)=-r ，，，b (m 11)=-r，，，若a //b r r ，则m=_____. 13、已知数列{a n }是等差数列，a 1=1，公差d ≠0，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 8=______.14、已知nn 1a ()3=，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形状，记A(m ，n)表示第m行的第n 个数，则A(10，12)=______.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤、15、(本小题满分12分)设命题p ：关于x 的方程x 2+2ax －2a=0无实根；命题q ：关于x 的方程x 2+ax+4>0的解集为R. 如果命题“p ∧q ”为假命题，“┐q ”为假命题，求实数a 的取值范围.16、(本小题满分12分)在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C=2csinA . (1)求角C 的度数； (2)若c =△ABC，求a+b 的值.17、(本小题满分14分)已知实数x ，y 满足不等式：x y 201x 2y 2-+≥⎧⎪≤≤⎨⎪≥⎩.(1)求yx的取值范围；(2)不等式xy ≤ax 2+2y 2恒成立，求实数a 的取值范围.a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 6 a 9…………………………………………………………18、(本小题满分14分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90o ，PA ⊥平面ABCD ，PA=3，AD=2，AB =BC=6，请建立适当的空间直角坐标系解决： (1)求证：BD ⊥平面PAC ； (2)求二面角P-BD-A 的大小.19、(本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点B(0，4)，离心率e=0.6. (1)求椭圆C 的方程；(2)若O(0，0)，P(2，2)，试探究在椭圆C 内部是否存在整点Q(平面内横、纵坐标都是整数的点为整点)，使得△OPQ 的面积S △OPQ =4?若存在，请指出共有几个这样的点(不必具体求出这些点的坐标)；否则，说明理由.20、(本小题满分14分)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且有a 1=1，S n +1= a n+1 (n ∈N*). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若n nnb =4a ，求数列{b n }的前n 项和T n ； (3)是否存在最小正整数m ，使得不等式nk=1k k k +2<m S(T +k +1)⋅∑对任意正整数n 恒成立，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.高二数学(理)参考答案及评分标准2014、01、8一、选择题：(8×5′=40′)题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D B C A B C二、填空题：(6×5′=30′)9、∃x 0，sin x 0>1；10、(1，3)；11、1；12、－2；13、15； 14、931()3. 三、解答题：(80′)15、(本小题满分12分)解： ∵方程程x 2+2ax －2a=0无实根，∴△=4a 2+8a<0，解得－2<a<0， ∴p ：－2<a<0. ……3分又∵不等式x 2+ax+4>0的解集为R ，∴△=a 2－16<0，解得－4<a<4， ∴q ：－4<a<4. ……6分 ∵命题“p ∧q ”为假命题，“┐q ”为假命题，∴p 为假命题，q 为真命题， ……8分 ∴a 04a 4≥⎧⎨-<<⎩或a 24a 4≤-⎧⎨-<<⎩， ……10分∴－4<a≤－2或0≤a<4. ……12分 16、(本小题满分12分)=2sinCsinA ， ……3分∵A ，C 为锐角，∴sinC =，C =3π. ……6分(2) 1S =absinC =2ab=6， ……9分由余弦定理的：c 2=a 2+b 2－2abcosC=(a+b)2－3ab ，∴(a+b)2=25，a+b=5. ……12分 17、(本小题满分14分)解：(1)在直角坐标系中作出(x ，y)的可行域： ……4分由y y 0x x 0-=-，可知yx是(1)的可行域内(x ，y)与(0，0)连线的斜率，……6分结合图形得：y[13]x∈，. ……8分 (2)由题意得：222xy 2y y y a 2()x x x-≥=-⋅2y 112()x 48=-⋅-+，……11分此时，2max y 11[2()]1x 48-⋅-+=-，在y1x=时取得； ……13分 ∴a≥－1 ……14分18、(本小题满分14分)(1)证明：由题可知，AB 、AD 、AP 两两垂直，则分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，00)，，60)，，D(0，2，0)，P (0，0，3)， ……4分 ∴AP (003)=，，，AC 60)=，BD (20)=-u u u r，， ∴BD AP 0⋅=u u u r u u u r ，BD AC 0⋅=u u u r u u u r，∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又PA ∩AC=A ，∴BD ⊥平面PAC. ……7分显然平面ABD 的一个法向量为m (001)=u u r ，，，设平面PBD 的法向量为n (x y z)=r，，，则n BD 0⋅=r u u u r ，n BP 0⋅=r u u u r，(2)由(1)知，BP (03)=-u u u r ，， ∴2y 03z 0⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，……11分∴y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩令x = 则n 32)=r ， ……13分∴m n 1cos m n 2|m ||n |⋅<>==u u r ru u r r uu r u u r ，. ……14分 19、(本小题满分14分)解：(1)设椭圆C 的方程为2222x y +=1a b(a>b>0)， ……1分依题意得，b=4，c 3=a 5，又a 2=b 2+c 2， ……3分∴a=5，b=4，c=3， ……4分所以椭圆C 的方程为22x y +=12516. ……5分 (2)依题意得，|OP |=OP 的方程为 y=x ， ……6分因为ΔOPQ S =4，点Q 到直线OP 的距离为 ……7分所以点Q 在与直线OP 平行且距离为l 上， ……8分设l ：y=x+m ，则= 解得m=±4， ……10分当m=4时，由22y =x +4x y +<12516⎧⎪⎨⎪⎩，消元得41x 2+200x<0，即200x 041-<<，x ∈Z ，∴x=―4，―3，―2，―1，相应的y 也是整数，此时满足条件的点Q 有4个， ……13分当m=－4时，由对称性，同理也得满足条件的点Q 有4个.综上，存在满足条件的点Q ，这样的点有8个. ……14分 20、(本小题满分14分)解：(1)当n=1时，a 2= S 1+1= a 1+1=2； ……1分当n≥2时，S n +1= a n+1，S n-1+1= a n ，兩式相减得，a n+1=2a n ， ……2分又a 2=2a 2，所以{a n }是首项为1,公比为2的等比数列，所以a n =2n-1. ……4分(2)由(1)知a n =2n-1，所以n n 1n+1n n n n b ==4a 422-=⋅，所以n 234n+1123n T =...2222++++，n 345n+1n+21123n 1nT = (222222)-+++++，两式相减得，n 234n+1n+211111n T =...222222++++-2n n+2n+211(1)n 1n +222=122212--=-- 所以n n+2n +2T 12=-(或写成n n n 1T 1(1)22=-+⋅或n n n+11nT 122=--均可给至8分). ……8分(3) k k k k k+1k+1k +2k +21k +21S (T +k +1)(21)(1+k +1)(21)(1)22==⋅-⋅--⋅- k+1k k+1k k+12112()(21)(21)2121==--⋅---， ……11分所以n nk k+1k+1k=1k=1k k k +2111=2()2(1)2S (T +k +1)212121-=-<⋅---∑∑，若不等式nk=1k k k +2<m S (T +k +1)⋅∑对任意正整数n 恒成立，则m≥2，所以存在最小正整数m=2，使不等式nk=1k k k +2<m S (T +k +1)⋅∑对任意正整数n 恒成立. ……14分。

2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2} 2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．54．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．15．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.456．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．78．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．39．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．210．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A．【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1【考点】HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故选：D．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），即x=y+．联立，得4y2﹣12y﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y 1+y 2=3，y 1y 2=﹣．∴S△OAB =S △OAF +S△OFB =×|y 1﹣y 2|==×=．故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为（） A ．B ．C ．D ．【考点】LM ：异面直线及其所成的角．【专题】5F ：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，，则MN0B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ，∵BC=CA=CC 1，设BC=CA=CC 1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO===．故选：C ．【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r=•x10﹣r•a r，+1令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos （x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．【解答】证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．时，++…+＜．∴对n∈N+【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴== =0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e x+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x+2﹣2b）．①∵e x+e﹣x＞2，e x+e﹣x+2＞4，∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

广东省东莞市2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

东莞市2014-2015学年度第一学期期末教学质量检测高二理科数学（B 卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、命题“若2015x >，则0x >”的否命题是（）A ．若2015x >，则0x ≤B ．若0x ≤，则2015x ≤C ．若2015x ≤，则0x ≤D ．若0x >，则2015x > 2、若R a ∈，则“2a =”是“()()240a a -+=”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件3、在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，4a =，45A =，60B =，则b =（）A． B． C． D ．1634、抛物线216y x =的准线方程为（）A ．4y =B ．4y =-C ．4x =-D ．4x = 5、已知等比数列{}n a ，11a =，319a =，则5a =（） A ．181±B ．181- C ．181 D ．12±6、已知双曲线的渐近线方程是12y x =±，焦点在x 轴上，焦距为20，则它的方程为（）A ．2212080y x -=B ．2212080x y -= C ．2218020y x -= D ．2218020x y -= 7、已知等差数列{}n a ，11a =，33a =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（）A ．1011B ．911C ．910D ．11108、设0a >，0b >3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为（）A ．8B ．4C ．1 D ．149、如右图，空间四边形C OAB 中，a OA =，b OB =，C c O =，点M 在OA 上，且23OM =OA ，点N 为C B 中点，则MN 等于（） A ．121232a b c -+ B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c +-10、当双曲线C 不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C 的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C 的“伴生椭圆”离心率为（）A ．12B ．3C ．3D ．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）11、已知向量()2,1,1a =-，(),1,1b t =-，R t ∈，若//a b ，则t = ．12、不等式组0002x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域的面积是．13、已知等差数列{}n a ，11a =，公差0d ≠，若1a ，2a ，6a 成等比数列，则11a = ．14、已知命题:p R x ∃∈，220x x a ++≤，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是．（用区间表示）三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15、（本小题满分12分）在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，3cos 5B =且35ac =．()1求C ∆AB 的面积；()2若7a =，求角C ．16、（本小题满分12分）设命题:p 实数x 满足()()40x a x a --<，其中0a >，命题:q 实数x 满足2430x x -+≤．()1若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；()2若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17、（本小题满分14分）某农场计划种植甲、乙两个品种的蔬菜，总面积不超过300亩，总成本不超过9万元．甲、乙两种蔬菜的成本分别是每亩600元和每亩200元．假设种植这两个品种的蔬菜，能为该农场带来的收益分别为每亩0.3万元和每亩0.2万元．问该农场如何分配甲、乙两种蔬菜的种植面积，可使农场的总收益最大，最大收益是多少万元？ 18、（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111CD C D AB -A B 中，底面CD AB 是等腰梯形，D 60∠AB =，2CD 2AB ==，M 是线段AB 的中点．()1求证：1C //M 平面11DD A A ； ()2若1CD ⊥平面CD AB且1CD =求平面11C D M 和平面CD AB 所成的角（锐角）的余弦值．19、（本小题满分14分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且有11a =，11n n S a ++=（n *∈N ）．()1求数列{}n a 的通项公式；()2若数列{}n b 满足4n nnb a =，其前n 项和为n T ，求证：114n ≤T <．20、（本小题满分14分）已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，且椭圆的左、右焦点分别为()1F 1,0-、()2F 1,0，过椭圆的右焦点2F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A 、B 及C 、D ． ()1求椭圆的方程；()2求11CD+AB 的值； ()3求9CD 16AB +的最小值．东莞市2014-2015学年度第一学期期末教学质量检测高二理科数学（B 卷）参考答案及评分标准一、选择题二、填空题11. 2- 12. 4 13．31 １４．[1,3]- 三、解答题15.解：（1）∵3cos ,(0,)5B B π=∈且，∴4sin 5B ==，又35ac =，…………………………………3分∴114sin 3514225ABC S ac B ∆==⨯⨯=.……………………………………6分（2）由35ac =，a =7，得c =5，…………………………………………………………………7分 ∴22232cos 4925275325b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴b =，…………………………………………………………………9分∴222cos2a b c C ab +-===……………………………10分又(0,)C π∈…………………………………………………………………11分 ∴4C π=.……………………………………………………………………12分16. 解：(1)由(4)()0x a x a -⋅-<得4a x a <<.……………………1分当1a =时，14x <<，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是14x <<……3分由2430x x -+≤得13x ≤≤.所以q 为真时实数x 的取值范围是13x ≤≤.…………………………5分若p q ∧为真，则13x <≤，所以实数x 的取值范围是(]1,3．……6分 (2) 设{}|4A x a x a =<<，{}|13B x x =≤≤………………………8分q 是p 的充分不必要条件，则B A ≠⊂…………………………………10分所以0131434a a a <<⎧⇒<<⎨>⎩，所以实数a 的取值范围是3,14⎛⎫⎪⎝⎭．………12分17.解：设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x ，y 亩，农场的总收益为z 万元，则……1分300,0.060.029,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩………① …………5分目标函数为0.30.2z x y =+， ……………6分不等式组①等价于300,3450,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩可行域如图所示，……………………………9分当目标函数对应的直线经过点M 时，目标函数z 取最小值. ……………………………………………………10分解方程组300,3450,x y x y +=⎧⎨+=⎩得M 的坐标 75x =，225y =，……………………………………12分所以max 0.3750.222567.5z =⨯+⨯=.………………………………13分答：分别种植甲乙两种蔬菜75亩和225亩，可使农场的总收益最大，最大收益为67.5万元. ………………………………………………………………………………14分 18. 解：（1）连接1AD1111D C B A ABCD - 为四棱柱，11//D C CD ∴ 11D C CD =又M 为AB 的中点，1=∴AM AM CD //∴,AM CD =11//D C AM ∴,11D C AM =xyOM50040030020010040030020010011D AMC ∴为平行四边形 11//MC AD ∴………………4分又111ADD A M C 平面⊄ 111ADD A AD 平面⊂111//ADD A AD 平面∴………………6分（2）方法一：11//B A AB 1111//D C B A共面与面1111D ABC M C D ∴作AB CN ⊥,连接N D 1则NC D 1∠即为所求二面角………………8分在ABCD 中，60,2,1=∠==DAB AB DC 23=∴CN 在CN D Rt 1∆中，31=CD ,23=CN 2151=∴N D 5515321523cos 11====∠∴N D NC CN D ………………14分方法二：作AB CP ⊥于P 点以C 为原点，CD 为x 轴，CP 为y 轴，1CD 为z 轴建立空间坐标系，)0,23,21(),3,0,0(),3,0,1(11M D C -∴)3,23,21(),0,0,1(111-==∴D D C设平面M D C 11的法向量为),,(111z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧=-+=∴03232101111z y x x )1,2,0(1=∴n 显然平面ABCD 的法向量为)0,0,1(2=n5551,cos 21=<∴n n 显然二面角为锐角，所以平面M D C 11和平面ABCD 所成角的余弦值为55………………14分 19. 解：(1)当1n =时，211112a S a =+=+=； ……1分当2n ≥时，11()n n S a n N *++=∈11()n n S a n N *-+=∈，两式相减得，12(2)n n a a n +=≥， ……2分又212a a =，……３分所以{}n a 是首项为,公比为2的等比数列，……4分所以12n n a -=. ……6分 (2)由(1)知12n n a -=，所以n n 1n+1n n n nb ==4a 422-=⋅，……７分所以n 234n+1123n T = (2222)++++, n 345n+1n+21123n 1nT = (222222)-+++++，…８分两式相减得，n 234n+1n+211111n T =...222222++++-2n n+2n+211(1)n 1n +222=122212--=-- 所以n n+2n +2T 12=-(或写成n n n 1T 1(1)22=-+⋅或n n n+11nT 122=--…１０分132********(1)(1)022222n n n n n n n n n n n n T T +++++++++++-=---=-=>…１１分1n n T T +∴>n T ∴是递增的，又134T =314n T ∴≤< …１４分20．解：（1）法一：由椭圆的定义可知1232||||42a MF MF =+=+=2a ∴= ……1分由1c =得b =……2分故椭圆的方程是22143x y +=； ……3分法二：由已知得，222291411a b a b ⎧⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎩，……1分得2243a b ⎧=⎨=⎩，……2分故椭圆的方程是22143x y +=； ……3分（2）椭圆的右焦点为2(1,0)F ，分两种情况讨论如下：1°当直线AB 的斜率不存在时，AB:1x =，则 CD:0y =．此时||3AB =，||4CD =,117||||12AB CD +=； ……5分 2°当直线AB 的斜率存在时，设AB : (1)(0)y k x k =-≠，则 CD ：1(1)y x k=--．又设点1122(,),(,)A x y B x y ．联立方程组22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 消去y 并化简得2222(43)84120k x k x k +-+-=，所以xyF 1F 2DC BAO2122843k x x k +=+， 212241243k x x k -⋅=+ ……7分12||||AB x x ==-==2212(1)43k k +=+ ……8分由题知，直线CD 的斜率为1k -，同理可得2212(1)||43k CD k+=+ ……9分所以2211777||||12(1)12k AB CD k ++==+为定值. ……10分 (3)解：由（II ）知117||||12AB CD +=，所以 912911||||(||||)()16716||||AB CD AB CD AB CD +=++ ……11分 9||1225||16()716||||CD AB AB CD =++122521(7164≥+=， ……12分当且仅当9||||16||||CD AB AB CD =，即3||||4AB CD =，即||3,||4AB CD ==时取等号 …13分所以9||||16AB CD +的最小值为214. ……14分。

高二数学第二学期期末试卷理(含解析)-人教版高二全册数学试题

2014-2015学年某某省某某市满城中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°2．“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．若命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值X围为（） A． a＞3或a＜﹣1 B． a≥3或a≤﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤34．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=15．若x，y∈R且满足x+3y=2，则3x+27y+1的最小值是（）A． B． C． 6 D． 76．不等式||＞a的解集为M，又2∉M，则a的取值X围为（）A．（，+∞） B． [，+∞） C．（0，） D．（0，]7．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值X围是（） A． 0＜a≤1 B． a≥1 C． 0＜a＜1 D． a＞18．极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线2ρcos（θ+）=﹣1的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定9．下列说法中正确的是（）A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题为假命题B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1＞0”C．设x，y为实数，则“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件D．若“p∧q”为假命题，则p和q都是假命题10．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=（）A． {x|0＜x＜2} B． {x|1＜x≤2} C． {x|0≤x≤1或x≥2} D． {x|0≤x≤1或x＞2} 11．若n＞0，则n+的最小值为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 812．已知a，b，c为三角形的三边且S=a2+b2+c2，P=ab+bc+ca，则（）A． S≥2P B． P＜S＜2P C． S＞P D． P≤S＜2P二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把最简答案填在题后横线上）13．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为．14．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为．15．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为．16．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要条件，则实数m的取值X围为．三.解答题（本大题共6小题，70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4coθ，ρ=﹣sinθ．（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的极坐标方程．18．选修4﹣5：不等式选讲设函数，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（I）求证f（x）≥1；（II）若f（x）=成立，求x的取值X围．19．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．20．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．21．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，某某数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，某某数m的取值X 围．22．在直角坐标xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM=PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．2014-2015学年某某省某某市满城中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°考点：直线的参数方程．专题：直线与圆．分析：设直线的倾斜角为α，则α∈[0°，180°）．由直线的参数方程为（t为参数），消去参数t可得．可得直线的斜率，即可得出．解答：解：设直线的倾斜角为α，α∈[0°，180°）．由直线的参数方程为（t为参数），消去参数t可得．∴直线的斜率，则直线的倾斜角α=150°．故选D．点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．2．“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：因为“x2﹣x＞0”可以求出x的X围，再根据充分必要条件的定义进行求解；解答：解：∵x2﹣2x＜0⇔0＜x＜2，若0＜x＜2可得0＜x＜4，反之不成立．∴“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的充分非必要条件，故选B．点评：此题主要考查一元二次不等式的解法，以及充分必要条件的定义，是一道基础题；3．若命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值X围为（） A． a＞3或a＜﹣1 B． a≥3或a≤﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3考点：特称命题．分析：根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数x，使x2+ax+1≥0，根据命题否定是假命题，得到判别式大于0，解不等式即可．解答：解：∵命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是“任意实数x，使x2+ax+1≥0”命题否定是真命题，∴△=（a﹣1）2﹣4≤0，整理得出a2﹣2a﹣3≤0∴﹣1≤a≤3故选D．点评：本题考查命题的否定，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个真命题，得到判别式的情况．4．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1考点：简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．解答：解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2．故选B．点评：正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》5．若x，y∈R且满足x+3y=2，则3x+27y+1的最小值是（）A． B． C． 6 D． 7考点：基本不等式．专题：计算题．分析：将x用y表示出来，代入3x+27y+1，化简整理后，再用基本不等式，即可求最小值．解答：解：由x+3y﹣2=0得x=2﹣3y代入3x+27y+1=32﹣3y+27y+1=+27y+1∵，27y＞0∴+27y+1≥7当=27y时，即y=，x=1时等号成立故3x+27y+1的最小值为7故选D．点评：本题的考点是基本不等式，解题的关键是将代数式等价变形，构造符合基本不等式的使用条件．6．不等式||＞a的解集为M，又2∉M，则a的取值X围为（）A．（，+∞） B． [，+∞） C．（0，） D．（0，]考点：绝对值不等式的解法．专题：综合题．分析：本题为含有参数的分式不等式，若直接求解，比较复杂，可直接由条件2∉M出发求解．2∉M即2不满足不等式，从而得到关于a的不等关系即可求得a的取值X围．解答：解：依题意2∉M，即2不满足不等式，得：||≤a，解得a≥，则a的取值X围为[，+∞）．故选B．点评：本题考查绝对值不等式的解法和等价转化思想，属于基础题．7．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值X围是（） A． 0＜a≤1 B． a≥1 C． 0＜a＜1 D． a＞1考点：绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：利用绝对值的意义求得|x﹣3|+|x﹣4|的最小值为1，再结合条件求得实数a的取值X围．解答：解：|x﹣3|+|x﹣4|表示数轴上的x对应点到3、4对应点的距离之和，它的最小值为1，故a＞1，故选：D．点评：本题主要考查绝对值的意义，属于基础题．8．极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线2ρcos（θ+）=﹣1的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再与半径比较大小即可得出．解答：解：圆ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，化为x2+y2=2x，配方为（x﹣1）2+y2=1，∴圆心C （1，0），半径r=1．直线2ρcos（θ+）=﹣1展开为=﹣1，化为x﹣y+1=0．∴圆心C到直线的距离d==1=r．∴直线与圆相切．故选：B．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程的方法、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．下列说法中正确的是（）A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题为假命题B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1＞0”C．设x，y为实数，则“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件D．若“p∧q”为假命题，则p和q都是假命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：由指数函数的单调性和命题的否命题，即可判断A；由含有一个量词的命题的否定，即可判断B；运用对数函数的单调性和充分必要条件的定义，即可判断C；由复合命题的真假，结合真值表，即可判断D．解答：解：A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题是“若x≤y，则2x≤2y”是真命题，故A错；B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1≥0”，故B错；C．设x，y为实数，x＞1可推出lgx＞lg1=0，反之，lgx＞0也可推出x＞1，“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件，故C正确；D．若“p∧q”为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故D错．故选C．点评：本题主要考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系、命题的否定、充分必要条件和复合命题的真假，注意否命题与命题的否定的区别，是一道基础题．10．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=（）A． {x|0＜x＜2} B． {x|1＜x≤2} C． {x|0≤x≤1或x≥2} D． {x|0≤x≤1或x＞2}考点： Venn图表达集合的关系及运算．专题：计算题；新定义．分析：利用函数的定义域、值域的思想确定出集合A，B是解决本题的关键．弄清新定义的集合与我们所学知识的联系：所求的集合是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．解答：解：依据定义，A#B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A={x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y=3x（x＞0）的值域，解得B={y|y＞1}；依据定义，借助数轴得：A#B={x|0≤x≤1或x＞2}，故选D．点评：本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的准确定．11．若n＞0，则n+的最小值为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 8考点：平均值不等式．专题：计算题；转化思想．分析：利用题设中的等式，把n+的表达式转化成++后，利用平均值不等式求得最小值．解答：解：∵n+=++∴n+=++（当且仅当n=4时等号成立）故选C点评：本题主要考查了平均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．12．已知a，b，c为三角形的三边且S=a2+b2+c2，P=ab+bc+ca，则（）A． S≥2P B． P＜S＜2P C． S＞P D． P≤S＜2P考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a，可得ac+bc＞c2，ab+bc＞b2，ac+ab＞a2，可得SP ＞S．又2S﹣2P=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0，可得S≥P，即可得出．解答：解：∵a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a，∴ac+bc＞c2，ab+bc＞b2，ac+ab＞a2，∴2（ac+bc+ab）＞c2+b2+a2，∴SP＞S．又2S﹣2P=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0，∴S≥P＞0．∴P≤S＜2P．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的性质、三角形三边大小关系，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把最简答案填在题后横线上）13．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为{x|﹣1＜x＜1} ．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：首先分析题目求不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集，可以考虑平方去绝对的方法，先移向，平方，然后转化为求解一元二次不等式即可得到答案．解答：解：|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0移向得：丨2x﹣1丨＜丨x﹣2丨两边同时平方得（2x﹣1）2＜（x﹣2）2即：4x2﹣4x+1＜x2﹣4x+4，整理得：x2＜1，即﹣1＜x＜1故答案为：{x|﹣1＜x＜1}．点评：此题主要考查绝对值不等式的解法的问题，其中涉及到平方去绝对值的方法，对于绝对值不等式属于比较基础的知识点，需要同学们掌握．14．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为 3 ．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．解答：解：由直线l：，得y=x﹣a，再由椭圆C：，得，①2+②2得，．所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．故答案为3．点评：本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题．15．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1} ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：阅读型．分析：根据B⊆A，利用分类讨论思想求解即可．解答：解：当a=0时，B=∅，B⊆A；当a≠0时，B={﹣}⊆A，﹣=1或﹣=﹣1⇒a=1或﹣1，综上实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1}．故答案是{﹣1，0，1}．点评：本题考查集合的包含关系及应用．16．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要条件，则实数m的取值X围为[2，4] ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先求出命题p，q的等价条件，然后利用p是￢q的必要非充分条件，建立条件关系即可求出m的取值X围．解答：解：∵log2|1﹣|＞1；∴：|x﹣3|≤2，即﹣2≤x﹣3≤2，∴1≤x≤5，设A=[1，5]，由：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，得m﹣1≤x≤m+1，设B=[m﹣1，m+1]，∵￢p是￢q的充分而不必要条件，∴q是p的充分而不必要条件，则B是A的真子集，即，∴，即2≤m≤4，故答案为：[2，4]．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．三.解答题（本大题共6小题，70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4coθ，ρ=﹣sinθ．（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的极坐标方程．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，代入两个圆的极坐标方程，化简后可得⊙O1和⊙O2的直角坐标方程；（2）把两个圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在的直线方程，再化为极坐标方程．解答：解：（1）∵圆O1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，∴化为直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，∵圆O2的极坐标方程ρ=﹣sinθ，即ρ2=﹣ρsinθ，∴化为直角坐标方程为 x2+（y+）2=．（2）由（1）可得，圆O1：（x﹣2）2+y2=4，①圆O2：x2+（y+）2=，②①﹣②得，4x+y=0，∴公共弦所在的直线方程为4x+y=0，化为极坐标方程为：4ρcosθ+ρsinθ=0．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求直线的极坐标方程，属于基础题．18．选修4﹣5：不等式选讲设函数，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（I）求证f（x）≥1；（II）若f（x）=成立，求x的取值X围．考点：带绝对值的函数．专题：计算题；证明题；函数的性质及应用．分析：（I）利用绝对值不等式即可证得f（x）≥1；（II）利用基本不等式可求得≥2，要使f（x）=成立，需且只需|x﹣1|+|x﹣2|≥2即可．解答：解：（Ⅰ）证明：由绝对值不等式得：f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）﹣（x﹣2）|=1 …（5分）（Ⅱ）∵==+≥2，∴要使f（x）=成立，需且只需|x﹣1|+|x﹣2|≥2，即，或，或，解得x≤，或x≥．故x的取值X围是（﹣∞，]∪[，+∞）．…（10分）点评：本题考查带绝对值的函数，考查基本不等式的应用与绝对值不等式的解法，求得≥2是关键，属于中档题．19．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|EA|+|EB|的值．解答：解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x2+y2=2x+2y即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2﹣t﹣1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题考查的知识点是参数方程与普通方程，直线与圆的位置关系，极坐标，熟练掌握极坐标方程与普通方程之间互化的公式，及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键．20．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．考点：圆的参数方程；函数的图象与图象变化；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：计算题．分析：（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．解答：解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）所以|AB|==1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d==[sin（）+2]当sin（）=﹣1时，d取得最小值．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C2的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．21．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，某某数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，某某数m的取值X 围．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，从而求得a的值．（2）由题意可得|n﹣1|+|2n﹣1|+2≤m，构造函数y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2，求得y的最小值，从而求得m的X围．解答：解：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，∴，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，∴a=1．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n），∴|n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1），∴|n﹣1|+|2n﹣1|+2≤m，∵y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2，当n≤时，y=﹣3n+4≥，当≤n≤1时，y=n+2≥，当n≥1时，y=3n≥3，故函数y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2的最小值为，∴m≥，即m的X围是[，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于中档题．22．在直角坐标xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM=PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．考点：简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．专题：坐标系和参数方程．分析：设出点M的极坐标（ρ，θ），表示出OP、PB，列出的极坐标方程，再化为普通方程，求出点M的轨迹长度即可．解答：解：设M（ρ，θ），θ∈（0，），则OP=2cosθ，PB=2sinθ；∴ρ=OP+PM=OP+PB=2cosθ+2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ；化为普通方程是x2+y2=2x+2y，∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2（x＞0，y＞0）；∴点M的轨迹长度是l=×2π×=π．点评：本题考查了极坐标的应用问题，解题时应根据题意，列出极坐标方程，再化为普通方程，从而求出解答来，是基础题．。

试题精选_广东省深圳市高级中学2014—2015学年度高二上学期期中考试数学(文)_精校完美版

整理得： ………………….6分
（2）圆心（1，0）到直线 ……….8分
故 ………………12分
17.（本小题满分14分）
解:（1） ..............................2分
令，得，
∴ 的增区间为和 ...............................4分
令，得，
一、选择题（每题5分，10题共50分）
题号
1
2
3
456ຫໍສະໝຸດ 78910
答案
二、填空题（每题5分，4题共20分）
11.12.
13.14.
三、解答题：(本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)
15.（本小题满分12分）
16.（本小题满分12分）
17.（本小题满分14分）
18.（本小题满分14分）
三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分12分）已知函数的最小正周期为 .
（1）求和的值；
（2）求函数的最大值及相应的集合.
16.（本小题满分12分）设直线和圆相交于点A、B.
（1）求弦AB的垂直平分线方程；
（2）求弦AB的长.
17.（本小题满分14分）设函数 .
（1）求函数的单调区间；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．（本小题满分14分）设分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上的点到两点的距离之和等于4.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上的动点，，求的最大值.
19.（本小题满分14分）如图所示，抛物线E关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上.

2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题_Word版含答案

2016级高二期末考试试卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．i 为虚数单位，则2013i = （）A ．i -B ．1-C ．iD ．1 2．若()e x f x x =，则(1)f '＝( )A ．0B ．eC ．2eD ．2e3．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点坐标是()5,0,则双曲线的渐近线方程是（）A ．34y x =±B ．43y x =±C．y x = D．y x = 4．下列叙述：①若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反；②若两个向量均为同一个平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行； ③若一条直线的方向向量与某一个平面的法向量垂直，则该直线与这个平面平行. 其中正确的个数是（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．学校体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，西侧有2个大门，某学生到该体育场训练，但必须是从南或北门进入，从西门或北门出去，则他进出门的方案有( )A ．7个B ．12个C ．24个D ．35个 6．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{}n a 的前n 项和为n S .由21n a n =-，求出2221231,2,3,S S S ===，…，推断：2n S n =B ．由()cos f x x x =满足()()f x f x -=-对∀x ∈R 都成立，推断：()cos f x x x =为奇函数C ．由圆222x y r +=的面积2S r π=，推断：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积S ab π=D ．由()()()222123112,212,312,+>+>+>…，推断：对一切n ∈N *，()212n n +>7．已知函数32()393f x x x x =--+，若函数()()g x f x m =-在[]2,5x ∈-上有3个零点，则m 的取值范围为( ) A ．(－24,8)B ．(－24,1]C ．[1,8]D ．[1,8)8．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足90AFB ∠=.过弦AB的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为ABC ．1D二、 75分，共35分．9．204sin xdx π=⎰10．已知01a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1,则复数z 对应的点Z 到原点距离的取值范围是 11．曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线方程是 . 12．棱长均为3的三棱锥S ABC -，若空间一点P 满足(1)SP xSA ySB zSC x y z =++++=，则SP 的最小值为 .13．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是 .14．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12A A 、，点P 在椭圆C 上，记直线2PA 的斜率为2k ，直线1PA 的斜率为1k ，则 1k ·2k = . 15．函数2()ln(1)f x x a x =++有两个不同的极值点12,x x ，且12x x <，则实数a 的范围是三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）设p :实数x 满足22430x ax a -+<, :q 实数x 满足31x -<. (1)若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若其中0a >且p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 17．（本小题满分12分）如图,在三棱柱111ABC A B C －中,侧棱垂直底面,90ACB ∠=︒，12AC BC CC ===. （1）求证:11AB BC ⊥；（2）求二面角111C AB A －－的大小.18．（本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26x <<，m 为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）. 19．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S (即123n n S a a a a =++++)，且方程20n n x a x a --=有一根为n S －1，n ＝1,2,3…….（1）求12,a a ；（2）猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法给出严格的证明．20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M (0，13-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分13分）已知),1ln()(+=x x f bx ax x g +=221)( （1）若0=a ，1=b 时，求证：0)()(≤-x g x f 对于),1(+∞-∈x 恒成立；（2）若2=b ，且)()1()(x g x f x h --=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（3）利用（1）的结论证明：若y x <<0，则2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+．CCBBDADA 9．4 10．()1,2 11．1y x =- 12．6 13．24 14．－34 15．10,2⎛⎫⎪⎝⎭16．解:（1）. 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<当1a =时，13x <<,即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.……………2分由31x -<, 得131x -<-<, 得24x <<即q 为真时实数x 的取值范围是24x <<,……4分若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<.……6分(2) 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --< p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p ⌝⇒q ⌝,且q ⌝⇒/p ⌝, ……………8分设A ={|}x p ⌝,B ={|}x q ⌝,则AB ,又A ={|}x p ⌝={|3}x x a x a ≤≥或, B ={|}x q ⌝={x|x≥4或x≤2}，……………10分则02a <≤,且34a ≥所以实数a 的取值范围是423a ≤≤12分 17．解：：方法一：（1）∵11,AC BC AC CC BCCC C ⊥⊥=且∴11AC C CBB ⊥平面，又111BC C CBB ⊂平面∴1111,,AC BC B C BC AC B C C ⊥⊥=且 ∴1111BC AB C AB AB C ⊥⊂平面，又平面 ∴11AB BC ⊥（2）取11A B 的中点为H ，在平面11A ABB 内过H 作1HQ AB ⊥于点Q ，连接1C Q 则111C H A ABB ⊥平面，∴11C H AB ⊥，而1C H HQ H =∴1111AB C HQ AB C Q ⊥∴⊥平面，∴1C QH ∠是二面角111C AB A －－的平面角，又1162C H A AB HQ ==，在内，解得∴111tan 3,60C HC QH C QH HQ∠==∠=︒∴二面角111C AB A －－为60°.18．解：（1）因为4x =时，21y =，代入关系式()2462m y x x =+--，得16212m +=，解得10m =.……………………4分（2）由（1）可知，套题每日的销售量()210462y x x =+--，……………5分所以每日销售套题所获得的利润()()()()()223210()24610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦……………………8分从而()()()()2'121122404310626f x x x x x x =-+=--<<.令()'0f x =，得103x =,且在102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上,0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；在10,63⎛⎫⎪⎝⎭上，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减， ……………………10分所以103x =是函数)(x f 在()2,6内的极大值点，也是最大值点，所以当103.33x =≈时，函数)(x f 取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. …………………12分19．解：(1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.……………3分当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16.……5分 (2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1,2,3…. ……………7分下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ)n ＝1时已知结论成立．……………8分(ⅱ)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k，……………10分即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立．……………12分综上，由(ⅰ)(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立．……………13分1CA BC1A1B20．解：（1）设椭圆的焦距为2c，则由题设可知2221a c ca a cb ⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解此方程组得a =1b =. 所以椭圆C 的方程是2212x y +=. ……………………5分（2）解法一：假设存在点T （u, v ）. 若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-，将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160k x kx +--=．设点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则 12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--及112211,,33y kx y kx =-=-所以1212()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--2221212121(1)()()339v k x x u k kv x x u v =+-+++++++222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-=+ …………………9分当且仅当0TA TB =恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以2222618180,0,33250.u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩解得0, 1.u v ==此时以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）. …………………11分当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点T （0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1），满足条件. …………………13分解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是22 1.x y +=若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是22116().39x y ++=……………7分由22221,116().39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得01x y =⎧⎨=⎩.由此可知所求点T 如果存在，只能是（0，1）. ………………8分事实上点T （0，1）就是所求的点. 证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点T （0，1）；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-，代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160.k x kx +--= 设点A 、B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩…………………10分因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-，21212121212416()1(1)()39TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++222216161632160.189k k k k ---++==+所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件. …………………13分 21．解：（1）设x x x g x f x -+=-=)1ln()()()(ϕ，则.1111)('+-=-+=x x x x ϕ………………….2分当时，)(x 有最大值0 ∴0)(≤x 恒成立。

2014-2015学年上学期期中考试高二数学试卷

2014-2015学年上学期期中考试高二数学试卷一．选择题（共12小题，每题5分，共60分.答案必须填涂在答题卡上）1．为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为( )．A．40 B．30C．20 D．122．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是()．A．4，－2 B．4,1C．1,4 D．－2,43. 线性回归方程ˆy bx a=+表示的直线必经过的一个定点是().A．(,y)x B．(,0)xC．(0,y)D．(0,0)4．如图所示的程序框图输出的结果为()．A．1 B．2C．4 D．85．设,x y满足约束条件12x yy xy+≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y=+的最大值为（）A．5 B. 3C. 7D. -86．对一个样本容量为100的数据分组，各组的频数如下：估计小于29的数据大约占总体的 ( )． A ．42% B ．58% C ．40% D ．16% 7．下列各数中，最小的数是（） A ．75 B ．(6)210 C ．(2)111111 D ．(9)85 8． 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有 ( )． A ．a>b>c B ．b>c>a C ．c>a>b D ．c>b>a 9．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ( )． A.13 B.12 C.23 D.34 10．用秦九韶算法计算当x ＝0.4时，多项式f(x)＝3x6＋4x5＋6x3＋7x2＋1的值时，需要做乘法运算的次数是( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 11．一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为 ( )． A.613 B.713 C.413 D.1013 12．命题:“∀x ∈R,220x x -+≥”的否定是( ) A.∃x ∈R,220x x -+≥ B.∀x ∈R,220x x -+≥ C.∃x ∈R,220x x -+< D.∀x ∈R,220x x -+< 座位号：_________ 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．有324,243,270三个数，则它们的最大公约数是________． 14.则年降水量在[200,300](mm)范围内的概率是 15.某中学高三年级从甲、乙两个班级中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x ＋y 的值为答题座位16.已知命题:p:(3)(1)0x x-+>,命题q:22210(0)x x m m-+->>,若命题p是命题q的充分不必要条件,则实数m的范围是____________.三.解答题：（本题共6个小题，共70分，每题均要求写出解答过程）17. (10分)分别用辗转相除法和更相减损术求282与470的最大公约数．18．(12分)写出下列命题的否定,并判断其真假:(1)p:不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实数根;(2)p:有些三角形的三条边相等;(3)p:菱形的对角线互相垂直;(4)p:存在一个实数x,使得3x <0.19．（12分）某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其会考的政治成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生政治成绩的平均分；20．(12分)某次运动会甲、乙两名射击运动员的成绩如下：甲：9.48.77.58.410.110.510.77.27．810.8乙：9.18.77.19.89.78.510.19.210.1 9．1(1)用茎叶图表示甲、乙两人的成绩；(2)根据茎叶图分析甲、乙两人的成绩；(3)分别计算两个样本的平均数x和标准差s，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定．21．设变量,x y满足约束条件25020x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，求目标函数231z x y=++的最大值。

广东省深圳市南山区2014-2015学年高二上学期期末物理试卷【解析版】

2014-2015学年广东省深圳市南山区高二（上）期末物理试卷一、单项选择题（本题包括6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个选项符合题意，错选、不选该题不得分）知，若B=2．（3分）（2014秋•深圳期末）如图所示，带箭头的线表示某一电场的电场线．一带电粒子仅受电场力作用下经A点飞向B点，径迹如图中虚线所示，下列说法正确的是（）3．（3分）（2014秋•深圳期末）如图，电子经电压为U1的电场加速后以速度v0垂直进入电压为U2的偏转电场，离开电场时的偏转量为h，两平行板间的距离为d，板长为L，要使h 变小，可采用的方法是（）4．（3分）（2014秋•深圳期末）一个电动势为E内阻为r的电源，接有阻值是R的外电路，用U R表示路端电压，U r表示内电压，用I表示通过电源的电流强度，下列关系式中错误的5．（3分）（2014秋•深圳期末）电荷在磁场中运动时受到洛仑兹力的方向如图所示，其中正确的是（）．D[来6．（3分）（2014秋•深圳期末）有a 、b 、c 、d 四个小磁针，涂黑的一端是小磁针的N 极，分别放置在通电螺线管的附近和内部．当小磁针静止时，小磁针指向如图所示，其中是正确的（）[来源:学科网]二、双项选择题（本题共7个小题，每小题4分，共28分．每小题有两个选项符合题意．若选两个且都正确得4分；若只选一个且正确得2分；错选、不选该小题不得分）7．（4分）（2014秋•深圳期末）一平行板电容器的两个极板分别与恒压电源的正、负极相连8．（4分）（2014秋•深圳期末）两个等量异种电荷的连线的垂直平分线上有a 、b 、c 三点，如图所示，下列说法正确的是（）9．（4分）（2014秋•深圳期末）如图所示的电路中，电源电动势为E 、内电阻为r ．在滑动变阻器的滑动触片P 从图示位置向上滑动的过程中，下列说法正确的是（）10．（4分）（2014秋•深圳期末）如图所示电场和磁场同时存在的区域，一个不计重力的正电荷以某一初速度进入该区域后将会沿着虚线方向直线通过该区域，下列分析正确的是（）11．（4分）（2014秋•深圳期末）某电量为q的粒子（不计重力）以垂直于匀强磁场的速度v，从a点进入长为d、宽为L的匀强磁场区域，偏转后从b点离开磁场，水平位移为s，如图所示，若磁场的磁感应强度为B，那么（）t=12．（4分）（2014秋•深圳期末）某空间存在着如图所示的水平方向的匀强磁场，A、B两个物块叠放在一起，并置于光滑的绝缘水平地面上．物块A带正电，物块B为不带电的绝缘块．水平恒力F作用在物块B上，使A、B一起由静止开始向左运动．在A、B一起向左运动的过程中，A、B始终保持相对静止．以下关于A、B受力情况的说法中正确的是（）13．（4分）（2014秋•深圳期末）A、B是某电场中一条电场线上的两点，一正电荷仅在电场力作用下，沿电场线从A点运动到B点，速度图象如图所示．下列关于A、B两点电场强度E的大小和电势φ的高低的判断，正确的是（）三、实验填空及论述计算题（本题包括5小题，共54分．实验填空题只写出最后结果；论述计算题应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案的不能得分．有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位）14．（6分）（2014秋•深圳期末）某同学在做多用电表测电阻的实验中：测量某电阻时，用“×10Ω”档时发现指针偏转角度过大，他应该换用档（填“×1Ω”或“×100Ω”）．换档位结束后，应该进行（填“欧姆调零”、“机械调零”或“不用调零”），再次进行电阻测量．测量完毕后应将档位调到．15．（10分）（2014秋•深圳期末）欲用伏安法测定一段阻值约为5Ω左右的金属导线的电阻，要求测量结果尽量准确，现备有以下器材：A．电池组（3V，内阻约为1Ω）B．电流表（0～3A，内阻约为0.012 5Ω）C．电流表（0～0.6A，内阻约为0.125Ω）D．电压表（0～3V，内阻约为3kΩ）E．电压表（0～15V，内阻约为15kΩ）[来源:学科网]F．滑动变阻器（0～20Ω，额定电流1A）H．开关、导线（1）上述器材中，电流表应选用的是；电压表应选用的是．（填写器材的字母代号）（2）实验电路应采用电流表接法．（填“内”或“外”）（3）设实验中，电流表、电压表的某组示数如图所示，图示中I=A，U=V．16．（12分）（2014秋•深圳期末）如图所示，把一带电量为﹣5×10﹣8C的小球A用绝缘细绳悬起，若将带电量为+4×10﹣6C的带电小球B靠近A，当两个带电小球在同一高度相距30cm时，绳与竖直方向成45°角，取g=10m/s2，k=9.0×109N•m2/C2，且A、B两小球均可视为点电荷，求：（1）AB两球间的库仑力的大小；（2）B球在A球所在位置产生的电场强度大小；（3）A球的质量．17．（12分）（2014秋•深圳期末）如图所示，两平行金属导轨间的距离L=0.40m，金属导轨所在的平面与水平面夹角θ=37°，在导轨所在平面内，分布着磁感应强度B=0.50T、方向垂直于导轨所在平面的匀强磁场．金属导轨的一端接有电动势E=4.5V、内阻r=0.50Ω的直流电源．现把一个质量m=0.04kg的导体棒ab放在金属导轨上，导体棒静止．导体棒与金属导轨垂直、且接触良好，导体棒与金属导轨接触的两点间的电阻R0=2.5Ω，金属导轨的其它电阻不计，g取10m/s2．已知sin37°=0.60，cos37°=0.80，试求：（1）通过导体棒的电流；（2）导体棒受到的安培力大小、方向；（3）导体棒受到的摩擦力的大小．18．（14分）（2014秋•深圳期末）如图所示，在xOy平面的第一象限有一匀强电场，电场的方向平行于y轴向下；在x轴和第四象限的射线OC之间有一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向外．有一质量为m，带有电荷量+q的质点由电场左侧平行于x 轴射入电场．质点到达x轴上A点时，速度方向与x轴的夹角为φ，A点与原点O的距离为d．接着，质点进入磁场，并垂直于OC飞离磁场，不计重力影响．若OC与x轴的夹角为φ，求：（1）粒子在磁场中运动的半径的大小；（2）粒子在磁场中运动速度的大小；（3）匀强电场的场强大小．2014-2015学年广东省深圳市南山区高二（上）期末物理试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本题包括6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个选项符合题意，错选、不选该题不得分）知，若B=E=B=E=知，属于比值定义，与B=公式成立条件，注意奥斯特提出2．（3分）（2014秋•深圳期末）如图所示，带箭头的线表示某一电场的电场线．一带电粒子仅受电场力作用下经A点飞向B点，径迹如图中虚线所示，下列说法正确的是（）3．（3分）（2014秋•深圳期末）如图，电子经电压为U1的电场加速后以速度v0垂直进入电压为U2的偏转电场，离开电场时的偏转量为h，两平行板间的距离为d，板长为L，要使h 变小，可采用的方法是（）mv=4．（3分）（2014秋•深圳期末）一个电动势为E内阻为r的电源，接有阻值是R的外电路，用U R表示路端电压，U r表示内电压，用I表示通过电源的电流强度，下列关系式中错误的5．（3分）（2014秋•深圳期末）电荷在磁场中运动时受到洛仑兹力的方向如图所示，其中正B6．（3分）（2014秋•深圳期末）有a 、b 、c 、d 四个小磁针，涂黑的一端是小磁针的N 极，分别放置在通电螺线管的附近和内部．当小磁针静止时，小磁针指向如图所示，其中是正确的（）二、双项选择题（本题共7个小题，每小题4分，共28分．每小题有两个选项符合题意．若选两个且都正确得4分；若只选一个且正确得2分；错选、不选该小题不得分）7．（4分）（2014秋•深圳期末）一平行板电容器的两个极板分别与恒压电源的正、负极相连C= C=8．（4分）（2014秋•深圳期末）两个等量异种电荷的连线的垂直平分线上有a、b、c三点，如图所示，下列说法正确的是（）9．（4分）（2014秋•深圳期末）如图所示的电路中，电源电动势为E、内电阻为r．在滑动变阻器的滑动触片P从图示位置向上滑动的过程中，下列说法正确的是（）10．（4分）（2014秋•深圳期末）如图所示电场和磁场同时存在的区域，一个不计重力的正电荷以某一初速度进入该区域后将会沿着虚线方向直线通过该区域，下列分析正确的是（）撤掉电场而保留磁场，电荷将向上偏并沿圆弧运动撤掉磁场而保留电场，电荷将向下偏并沿抛物线运动查粒子何时做匀速圆周运11．（4分）（2014秋•深圳期末）某电量为q的粒子（不计重力）以垂直于匀强磁场的速度v，从a点进入长为d、宽为L的匀强磁场区域，偏转后从b点离开磁场，水平位移为s，如图所示，若磁场的磁感应强度为B，那么（）t=做的功是电粒子在匀强磁场中的运动；牛顿第二定律．，则运动的时间大于．故12．（4分）（2014秋•深圳期末）某空间存在着如图所示的水平方向的匀强磁场，A、B两个物块叠放在一起，并置于光滑的绝缘水平地面上．物块A带正电，物块B为不带电的绝缘块．水平恒力F作用在物块B上，使A、B一起由静止开始向左运动．在A、B一起向左运动的过程中，A、B始终保持相对静止．以下关于A、B受力情况的说法中正确的是（）对地面的压力变大13．（4分）（2014秋•深圳期末）A、B是某电场中一条电场线上的两点，一正电荷仅在电场力作用下，沿电场线从A点运动到B点，速度图象如图所示．下列关于A、B两点电场强度E的大小和电势φ的高低的判断，正确的是（）三、实验填空及论述计算题（本题包括5小题，共54分．实验填空题只写出最后结果；论述计算题应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案的不能得分．有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位）14．（6分）（2014秋•深圳期末）某同学在做多用电表测电阻的实验中：测量某电阻时，用“×10Ω”档时发现指针偏转角度过大，他应该换用×1Ω档（填“×1Ω”或“×100Ω”）．换档位结束后，应该进行欧姆调零（填“欧姆调零”、“机械调零”或“不用调零”），再次进行电阻测量．测量完毕后应将档位调到OFF挡或交流电压最高挡．档时发现指针偏转角度过大，所选挡位太大，应该换用挡或交流电压最高挡．15．（10分）（2014秋•深圳期末）欲用伏安法测定一段阻值约为5Ω左右的金属导线的电阻，要求测量结果尽量准确，现备有以下器材：A．电池组（3V，内阻约为1Ω）B．电流表（0～3A，内阻约为0.012 5Ω）C．电流表（0～0.6A，内阻约为0.125Ω）D．电压表（0～3V，内阻约为3kΩ）E．电压表（0～15V，内阻约为15kΩ）F．滑动变阻器（0～20Ω，额定电流1A）H．开关、导线（1）上述器材中，电流表应选用的是C；电压表应选用的是D．（填写器材的字母代号）（2）实验电路应采用电流表外接法．（填“内”或“外”）（3）设实验中，电流表、电压表的某组示数如图所示，图示中I=0.48A，U=2.2V．16．（12分）（2014秋•深圳期末）如图所示，把一带电量为﹣5×10﹣8C的小球A用绝缘细绳悬起，若将带电量为+4×10﹣6C的带电小球B靠近A，当两个带电小球在同一高度相距30cm 时，绳与竖直方向成45°角，取g=10m/s2，k=9.0×109N•m2/C2，且A、B两小球均可视为点电荷，求：（1）AB两球间的库仑力的大小；（2）B球在A球所在位置产生的电场强度大小；（3）A球的质量．E=0.02N17．（12分）（2014秋•深圳期末）如图所示，两平行金属导轨间的距离L=0.40m，金属导轨所在的平面与水平面夹角θ=37°，在导轨所在平面内，分布着磁感应强度B=0.50T、方向垂直于导轨所在平面的匀强磁场．金属导轨的一端接有电动势E=4.5V、内阻r=0.50Ω的直流电源．现把一个质量m=0.04kg的导体棒ab放在金属导轨上，导体棒静止．导体棒与金属导轨垂直、且接触良好，导体棒与金属导轨接触的两点间的电阻R0=2.5Ω，金属导轨的其它电阻不计，g取10m/s2．已知sin37°=0.60，cos37°=0.80，试求：（1）通过导体棒的电流；（2）导体棒受到的安培力大小、方向；（3）导体棒受到的摩擦力的大小．=1.5A18．（14分）（2014秋•深圳期末）如图所示，在xOy平面的第一象限有一匀强电场，电场的方向平行于y轴向下；在x轴和第四象限的射线OC之间有一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向外．有一质量为m，带有电荷量+q的质点由电场左侧平行于x 轴射入电场．质点到达x轴上A点时，速度方向与x轴的夹角为φ，A点与原点O的距离为d．接着，质点进入磁场，并垂直于OC飞离磁场，不计重力影响．若OC与x轴的夹角为φ，求：（1）粒子在磁场中运动的半径的大小；（2）粒子在磁场中运动速度的大小；（3）匀强电场的场强大小．，v=）质点在电场中的运动为类平抛运动．设质点射入电场的速度为a=E=；）粒子在磁场中运动速度的大小）匀强电场的场强大小为。

2014—2015学年度第一学期期末学业质量评估九年级数学试题(含答案)

九年级数学试题注意事项：1. 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷2页，为选择题，共36分.第Ⅱ卷2页，为非选择题，共84分.全卷满分120分，考试时间120分钟．2．答卷前，务必将答题卡上面的项目填涂清楚.所有答案都必须涂、写在答题卡相应的位置，答在本试卷上一律无效．第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，多选、不选、错选均记零分.）1. 下列说法中正确的是（）A. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；B. 圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴；C. 弦的垂直平分线过圆心；D. 相等的圆心角所对的弧也相等．2. 如图，A、B、P是⊙O上的三点，∠APB=40°，则弧AB的度数为（）A.50°B.80°C.280°D.80°或280°3. 如图，在直径为AB的半圆O上有一动点P从O点出发，以相同的速度沿O－A－B－O的路线运动，线段OP的长度d与运动时间t之间的函数关系用图象描述大致是（）4. 下列命题中的假命题是（）A. 正方形的半径等于正方形的边心距的2倍；B. 三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心；C. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角不小于60°”时，第一步应该“假设每一个内角都小于60°”；D. 过三点能且只能作一个圆．5. 如图，⊙O的半径是4，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=6，∠APO=30°，则弦AB的长为（）A ．27B ．7C ．5D ．526. 如图所示，在△ABC 中D 为AC 边上一点，若∠DBC =∠A ，BC =3，AC =6，则CD 的长为（） A ．1 B ．2 C ．23 D ．25 7. 下列方程中：①x 2－2x －1=0, ②2x 2－7x +2=0, ③x 2－x +1=0 两根互为倒数有（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8. 一次函数y 1=3x +3与y 2=－2x +8在同一直角坐标系内的交点坐标为（1，6）．则当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（）A. x ≥1B. x =1C. x ＜1D. x ＞1 9. 在△ABC 中，若()21cosA 1tanB 02-+-=，则∠C 的度数是（） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°10. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋高楼顶部B 的仰角为30°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球A 与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼BC 的高度为（） A ．1603m B ．803 m C ．()12031- m D ．()12031+m11. 已知反比例函数y =xk的图像经过点P （－1,2），则这个函数图像位于（） A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限 12. 已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＜0；②b ＞a +c ；③2a －b =0；④b 2－4ac ＜0．其中正确的结论个数是（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个第Ⅱ卷二、填空题（本题共6小题，要求将每小题的最后结果填写在横线上. 每小题3分，满分18分） 13. 已知一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1=2,x 2=-3，则二次三项式ax 2+bx +c 可分解因式为 .14. ⊙O 的半径为10cm ，AB ,CD 是⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，AB =16cm ,CD =12cm .则AB 与CD 之间的距离是 cm .15. 如图所示，△ABC 中，E 、F 、D 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，且满足12AE AF EB FC ==，则△EFD 与△ABC 的面积比为．16. 如图，M 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一定点，过M 点作直线MN 截△ABC交AC 于点N ，使截得的△CMN 与△ABC 相似. 已知AB =6，AC =8，CM =4，则CN = .17. 一个足球从地面上被踢出，它距地面高度y （米）可以用二次函数x x y 6.199.42+-=刻画，其中x （秒）表示足球被踢出后经过的时间. 则足球被踢出后到离开地面达到最高点所用的时间是秒. 18. 在△ABC 中，AB =AC =5，tanB =34．若⊙O 的半径为10，且⊙O 经过点B 、C ，那么线段OA 的长等于 .三、解答题（本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 共66分） 19. （本题满分10分）市某楼盘准备以每平方米6 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 860元的均价开盘销售.（1）求平均每次下调的百分率.（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？如图，晚上小明站在路灯P的底下观察自己的影子时发现，当他站在F点的位置时，在地面上的影子为BF，小明向前走2米到D点时，在地面上的影子为AD，若AB=4米，∠PBF=60°，∠PAB=30°，通过计算，求出小明的身高．（结果保留根号）．21. （本题满分11分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，∠BAD=120°，AB=AD.（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；（2）已知AC=6，求阴影部分的面积.如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE =∠B .（1）求证：△ADF ∽△DEC ；（2）若AB =8，AD =63，AF =43，求sinB 的值．23. （本题满分12分）已知关于x 的一元二次方程()2kx 4k 1x 3k 30-+++=. （1）试说明：无论k 取何值，方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB 、AC 的长是方程的两个实数根，第三边BC 的长为5. 当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值.AB是⊙O的直径，AD与⊙O相交，点C是⊙O上一点，经过点C的直线交AD于点E.⑴如图1 ，若AC平分∠BAD，CE⊥AD于点E，求证：CE是⊙O的切线；⑵如图2，若CE是⊙O的切线，CE⊥AD于点E，AC是∠BAD的平分线吗？说明理由；⑶如图3，若CE是⊙O的切线，AC平分∠BAD，AB=8，AC=6，求AE的长度.试题答案及评分标准一、选择题（每小题选对得3分，满分36分. 多选、不选、错选均记零分.）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBBDACBDCADB二、填空题（每小题3分，满分18分）13. a (x -2)(x +3) 14. 214或 15. 2:9 16. 1655或17.2 18. 3或5 三、解答题（本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.共66分） 19. （本题满分10分）解：解：（1）设平均每次下调的百分率为x ，则6000（1-x ）2=4860，解得：x 1=0.1=10%, x 2=1.9(舍).故平均每周下调的百分率为10%.……………………6分（2）方案1优惠：4860×100×（1-0.98）=9720（元）；方案2可优惠：80×100=8000（元）. 故方案1优惠.…………………………10分20. （本题满分10分）解：设小明的身高为x 米，则CD =EF =x 米．在Rt △ACD 中，∠ADC =90°，tan ∠CAD =ADCD，即tan 30°=x /AD ，AD =3x --2分在Rt △BEF 中，∠BFE =90°，tan ∠EBF =EF /BF ，即tan 60°=x /BF ，BF =x 33---4分由题意得DF =2，∴BD =DF -BF =2-x 33，∵AB =AD +BD =4，∴3x +2-x 33=4 --8分即x =3．答：小明的身高为3米．------------------------------------------------------------------------10分 21. （本题满分11分）⑴证明：∵∠BAD =120°，AB =AD ∴∠ABD =∠ADB =30° ∴弧AB 和弧AD 的度数都等于60°又 ∵BC 是直径 ∴弧CD 的度数也是60° ------------------ --------------2分 ∴AB =CD 且∠CAD =∠ACB =30° ∴BC ∥AD∴四边形ABCD 是等腰梯形. --------------------------------------------------5分⑵∵BC 是直径 ∴∠BAC =90°∵∠ACB =30°，AC =6∴0cos 30AC BC ===R =∵弧AB 和弧AD 的度数都等于60° ∴∠BOD =120° ---------------------------6分连接OA 交BD 于点E ,则OA ⊥BD 在Rt △BOE中：0sin30OE OB =⋅=0cos 330BE OB =⋅=，BD =2BE =6----------------------------------------------------8分∴(21201-63602BOD BODS S S⨯⨯=-=⨯阴影扇形ππ ----------------------------------------------------11分 22. （本题满分11分）⑴证明：∵∠AFE =∠B ，∠AFE 与∠AFD 互补，∠B 与∠C 互补∴∠AFD =∠C --------------------------------------------------2分 ∵AD ∥BC ∴∠ADF =∠DEC -------------------------------------------4分 ∴△ADF ∽△DEC ----------------------------------------------------5分 ⑵解：∵△ADF ∽△DEC ∴AD AFDE CD== 解得：DE =12 ----------------------------------------------------7分 ∵AE ⊥BC , AD ∥BC ∴AE ⊥AD∴6AE ==----9分在Rt △ABE 中，63sin 84AE B AB === -------------------------------------------------11分 23. （本题满分12分）解：⑴△=()()243341k k k -++ =2216181212k k k k ++--=2441k k -+ =()221k -≥0 --------------------------------------------------4分∴无论k 取何值，方程总有两个实数根. -------------------------------------------------5分 ⑵若AB =AC 则方程()2kx 4k 1x 3k 30-+++=有两个相等的实数根此时△=0，即：()221k -=0 解得：12k =当12k =时，AB =AC =3，此时AB 、AC 、BC 满足三边关系. -------------------------8分若BC =5为△ABC 的一腰，则方程()2kx 4k 1x 3k 30-+++=有一根是5，将5x =代入方程()2kx 4k 1x 3k 30-+++=解得：14k = 当14k =时，解得方程两根为5和3，此时AB 、AC 、BC 满足三边关系. ----------11分综上：当△ABC 是等腰三角形时，k 的值为1124或. -----------------------------12分24. （本题满分12分） ⑴证明：连接OC∵OA =OC ∴∠OAC =∠OCA ∵AC 平分∠BAD ∴∠OCA =∠CAD ∴OC ∥AD∵CE ⊥AD ∴CE ⊥OC -----------------------------------------------3分又OC 是半径 ∴CE 是⊙O 的切线。

2014-2015-1工科高数(2-1)期末考试A卷参考答案

2014—2015学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第一章函数与极限16 %；第二章一元函数的导数与微分16 %；第三章微分中值定理与导数的应用14 %；第四章不定积分15 %；第五章定积分及其应用26 % . 第六章常微分方程13 % .一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确在题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 .1．极限xx 1sinlim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分）证设x x f 1sin )(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sin lim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ，由海涅定理，xx 1sin lim 0→不存在. ---------------------------------------------------------------（2分）2．若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导. （ ⨯ ）--------------------------------------------------------（2分）例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------（2分）3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . （⨯ ）----------------------------------------------------------（2分）例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但 0)0(=''f .. ---------------------------------------------------------（2分）二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解 ,0)11(lim =-∞→nn n,1)!s i n (≤n ------------------------------------------------------（3分）.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------（3分）2.求极限44)1(limxdte t x x t x ⎰-+∞→+.解 44)1(l i mx dtet x xt x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------（2分）xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→---------------------------------------------------------------------（2分）.141lim 434=++=+∞→x x x x --------------------------------------------------------------------（2分）3．求极限)21(lim 222222nn nn n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→ ∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim ------------------------------------------------------------------（2分） ⎰+=1021x dx ---------------------------------------------------------------------（2分） 4arctan 10π==x. ----------------------------------------------------------------（2分）1．求函数()xx eex f 11211++=的间断点并判断其类型.解 0=x 是)(x f 的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）又 )(lim 0x f x +→21211lim 11=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e ， 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点. ---------------------------------------------------------------（3分）2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222x e e x x --=----------------- （3分）当0=x 时，0)0()(lim )0(0--='→x f x f f x xx e x x 1lim 20-=→201lim2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t =⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' , --------------------------------------------------------------------（3分）22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin dt t dx =()sin d dt t t dt dx =⋅sin cos ()t t t x t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）1．求不定积分⎰+dx e xx ln 2.解 ⎰+dx e xxln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------------------------------（3分）)(2122⎰=x d e x -------------------------------------------------------------------------（2分） .212C e x += ----------------------------------------------------------------------（1分）2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1 -------------------------------------------------------（2分） ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------（2分） ⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412 C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------（2分）3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------（2分）dx x 210120-+=⎰（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------（1分）解2dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-----------------------------（2分）+=0dx x 2111-+⎰-（上半单位圆的面积）-------------------------------（3分）2π=.-------------------------------------------------------------------------------------（1分）五．（本题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）解曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ----------------------（1分）.12-=e------------------------------------------（3分）（2） ⎰⎰---=-=1210221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分）⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ----------------------（2分）xx ⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=. --------------------------------------------------（1分）.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------（2分）2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有 kv mg dtdvm-=，其中g 为重力加速度，-------------------------------------------（2分）分离变量，得m dtkv mg dv =- ，两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- （其中1kC eC -=，0>-kv mg ）---------------------------------（2分）由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=，故 .)(0tm ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）y,],0[R x ∈∀所做功的微元：取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分）（3)(32dx x x R g -=πρ23()RW g R x x dxρπ=-⎰故七．（本题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------（3分）而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------（2分）八．（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距且L 经过点)0,21(. （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫⎝⎛+21，)0(>x ------------（2分）令u x y =，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dxudu )0(>xC x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L 的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------（2分）（2）曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ，切线与x 轴及y 轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------（2分）所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ，即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点，故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------（2分）。

2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题

2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若A={x|错误！未找到引用源。

}，则（）A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.3∈A2.函数的定义域是（） A. B. C. D.3.不等式错误！未找到引用源。

的解集是（）A.错误！未找到引用源。

B 错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.{x|x≥4}4．对于直线a ,b ,l ,以及平面α，下列说法中正确的是（）A.如果a ∥b , a ∥α，则b ∥αB. 如果a ⊥l , b ⊥l ，则a ∥bC. 如果a ∥α, b ⊥a ，则b ⊥αD. 如果a ⊥α,b ⊥α，则a ∥b5.已知平面向量)1,3(=a ，)3,(-=x b ，且b a ⊥，则x 的值为（）A.－3B.-1C.1D.36.若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示,体积是（）A.32cmB.34cmC.36cmD.312cm 7.已知()3cos 5πα-=-，则cos 2a =( ) A ．1625 B ．1625- C ．725 D ．725- 8.已知数列{}n a ，满足,3,321=-=-a a a n n 错误！未找到引用源。

则9a = ( )A ．18 B.24 C.错误！未找到引用源。

18 D.错误！未找到引用源。

219.将函数)32sin(π+=x y 的图象先向右平移6π个单位长度，然后将所得图像上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（）A ．x y cos -= B.x y 4sin = C. x y sin = D. )6sin(π-=x y正视图侧视图俯视图(第6题)10.已知x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则y x 24+的最小值为（）A.5B.-5C.12D.-1211.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为（）A. B.8πC. D.4π12.函数x x x f sin )(-=的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2015-2016学年广东省深圳市南山区高二(上)期末数学试卷(理科)

2015-2016学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）“x2＞1”是“x＞1”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要2．（5分）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定3．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=14．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．5．（5分）若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（）A．B．C．D．6．（5分）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）已知命题p：|x﹣1|≥2，命题q：x∈Z；如果“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（）A．{x|x≥3}或{x|x≤﹣1，x∉Z}B．{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{0，1，2}8．（5分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2D．39．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．010．（5分）斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则|AB|=（）A．8 B．6 C．12 D．711．（5分）数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N+），则数列的前10项和为（）A．B．C．D．12．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，]C．[，1）D．[，1）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知点A（1，2，﹣1），点B与点A关于平面xoy对称，则线段AB的长为．14．（5分）若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是．15．（5分）已知，数列{a n}满足a1=f（1），且a n+1=f（a n）（n∈N+），则a2015=．16．（5分）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足|x﹣3|＜1．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acosC+ccosA=2bcosA．（1）求A；（2）若a=，b=2，求△ABC的面积．19．（12分）如图为一简单组合体，其底面ABCD为边长2正方形，PD⊥平面ABCD，EC ∥PD，且．（1）若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB．（2）求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小．20．（12分）在平面直角坐标系xoy中，设点F（1，0），直线l：x=﹣1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l．（1）求动点Q的轨迹的方程．（2）记Q的轨迹的方程为E，曲线E与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A，B，且弦AB 中点的纵坐标为2，求k的值．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．22．（12分）已知椭圆C：+y2=1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：（x﹣3）2+（y﹣1）2=3相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若不过A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且•=0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．2015-2016学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）（2015秋•深圳期末）“x2＞1”是“x＞1”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【分析】由x2＞1，解得：x＞1或x＜﹣1．进而判断出结论．【解答】解：由x2＞1，解得：x＞1或x＜﹣1．∴“x2＞1”是“x＞1”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）（2012•上海）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【分析】利用正弦定理将sin2A+sin2B＜sin2C，转化为a2+b2＜c2，再结合余弦定理作出判断即可．【解答】解：∵在△ABC中，sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理===2R得，a2+b2＜c2，又由余弦定理得：cosC=＜0，0＜C＜π，∴＜C＜π．故△ABC为钝角三角形．故选A．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．3．（5分）（2015•安徽）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案．【解答】解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由A可得渐近线方程为y=±2x，由B可得渐近线方程为y=±x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．4．（5分）（2015•新课标II）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．5．（5分）（2015•河北区模拟）若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（）A．B．C．D．【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．【解答】解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选A【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a，b，c，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．6．（5分）（2015•福建）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】将（1，1）代入直线得：+=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可．【解答】解：∵直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），∴+=1（a＞0，b＞0），所以a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，当且仅当=即a=b=2时取等号，∴a+b最小值是4，故选：C．【点评】本题考察了基本不等式的性质，求出+=1，得到a+b=（+）（a+b）是解题的关键．7．（5分）（2015秋•深圳期末）已知命题p：|x﹣1|≥2，命题q：x∈Z；如果“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（）A．{x|x≥3}或{x|x≤﹣1，x∉Z}B．{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{0，1，2}【分析】由题设条件先求出命题P：x≥4或x≤0．由“p且q”与“¬q”同时为假命题知0＜x＜4，x∈Z．由此能得到满足条件的x的集合．【解答】解：由命题p：|x﹣1|≥2，得到命题P：x﹣1≥2或x﹣1≤﹣2，即命题P：x≥3或x≤﹣1；∵¬q为假命题，∴命题q：x∈Z为真翕题．再由“p且q”为假命题，知命题P：x≥4或x≤0是假命题．故﹣1＜x＜3，x∈Z．∴满足条件的x的值为：0，1，2．故选D．【点评】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．8．（5分）（2016•辽宁校级模拟）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2D．3【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．【解答】解：===1，即有2cosC=1，可得C=60°，若S△ABC=2，则absinC=2，即为ab=8，又a+b=6，由c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣ab=（a+b）2﹣3ab=62﹣3×8=12，解得c=2．故选C．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．9．（5分）（2015•兴安盟二模）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出k的值，通过平移即可求z的最小值为．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+y，得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为6．即x+y=6．经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小．由得，即A（3，3），∵直线y=k过A，∴k=3．由，解得，即B（﹣6，3）．此时z的最小值为z=﹣6+3=﹣3，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用以，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10．（5分）（2015秋•深圳期末）斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则|AB|=（）A．8 B．6 C．12 D．7【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2=的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+，求得答案．【解答】解：抛物线焦点为（1，0），且斜率为1，则直线方程为y=x﹣1，代入抛物线方程y2=4x得x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1+x2=6根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+=x1+x2+p=6+2=8，故选：A．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB|值，从而解决问题．11．（5分）（2015秋•深圳期末）数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N+），则数列的前10项和为（）A．B．C．D．【分析】利用“累加求和”可得a n，再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N+），∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=，∴=2．∴数列的前10项和=+…+=2×=．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2015•福建）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，]C．[，1）D．[，1）【分析】如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取M（0，b），由点M到直线l的距离不小于，可得，解得b≥1．再利用离心率计算公式e==即可得出．【解答】解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，∴，解得b≥1．∴e==≤=．∴椭圆E的离心率的取值范围是．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2015秋•深圳期末）已知点A（1，2，﹣1），点B与点A关于平面xoy对称，则线段AB的长为2．【分析】求出对称点的坐标，然后求解距离．【解答】解：点A（1，2，﹣1），点B与点A关于平面xoy对称，可得B（1，2，1）．|AB|=2．故答案为：2．【点评】本题考查空间点的坐标的对称问题，距离公式的应用，考查计算能力．14．（5分）（2010•山东）若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是a≥．【分析】根据x+≥2代入中求得的最大值为进而a的范围可得．【解答】解：∵x＞0，∴x+≥2（当且仅当x=1时取等号），∴=≤=，即的最大值为，故答案为：a≥【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．属基础题．15．（5分）（2015秋•深圳期末）已知，数列{a n}满足a1=f（1），且a n+1=f （a n）（n∈N+），则a2015=．【分析】求得a1，再取倒数，可得=+1，结合等差数列的定义和通项公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由，可得a1=f（1）=，由a n+1=f（a n），可得a n+1=，取倒数，可得=+1，即有{}为首项为2，公差为1的等差数列，即有=2+2015﹣1=2016，可得a2015=．故答案为：．【点评】本题考查数列的通项的求法，注意运用取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）（2015秋•深圳期末）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是．【分析】设椭圆的方程和点P的坐标，把点P的坐标代入椭圆的方程，求出点P的纵坐标的绝对值，Rt△PF1F2 中，利用边角关系，建立a、c 之间的关系，从而求出椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的方程为（a＞b＞0），设点P（c，h），则=1，h2=b2﹣=，∴|h|=，由题意得∠F1PF2=90°，∠PF1F2=45°，Rt△PF1F2 中，tan45°=1=====，∴a2﹣c2=2ac，，∴=﹣1．故答案为：【点评】本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系的应用．考查计算能力．属于中档题目．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）（2015秋•深圳期末）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足|x﹣3|＜1．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）分别求出p，q为真时的x的范围，去交集即可；（2）根据q是p的充分不必要条件结合集合的包含关系，求出a的范围即可．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）当a=1时，1＜x＜3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又|x﹣3|＜1得2＜x＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）由p∧q为真．∴x满足即2＜x＜3．则实数x的取值范围是2＜x＜3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）q是p的充分不必要条件，记A={x|a＜x＜3a，a＞0}，B={x|2＜x＜4}，则B是A的真子集，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴a≤2且4≤3a．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）则实数a的取值范围是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】本题考察了复合命题的判断，考察充分必要条件以及集合的包含关系，是一道基础题．18．（12分）（2015秋•深圳期末）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acosC+ccosA=2bcosA．（1）求A；（2）若a=，b=2，求△ABC的面积．【分析】（1）利用正弦定理、和差公式即可得出；（2）利用余弦定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵acosC+ccosA=2bcosA，由正弦定理可得：sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，化为：sin（A+C）=sinB=2sinBcosA，sinB≠0，可得cosA=，A∈（0，π），∴A=．（2）由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA，∴7=22+c2﹣4ccos，化为c2﹣2c﹣3=0，解得c=3．故△ABC的面积为bcsinA=×3×=．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2015秋•深圳期末）如图为一简单组合体，其底面ABCD为边长2正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且．（1）若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB．（2）求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小．【分析】（1）证法1：连结AC与BD交于点F，连结NF，证明DB⊥AC，AC⊥PD，推出AC⊥面PBD，然后证明NE⊥面PDB．证法2：如图以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，推出EN⊥PB，EN⊥DB，然后证明NE⊥面PDB．（2）连结DN，证明DN⊥PB，求出平面PBE的法向量，求出平面ABCD的法向量，设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ，利用数量积求解平面PBE与平面ABCD所成的二面角．【解答】（本题12分）解：（1）证法1：连结AC与BD交于点F，连结NF，∵F为BD的中点，∴NF∥PD且又EC∥PD且，则NF∥EC且NF=EC∴四边形NFCE为平行四边形∴NE∥FC﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD∴AC⊥PD，又PD∩BD=D，∴AC⊥面PBD﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴NE⊥面PDB﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）证法2：如图以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：则则﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵，∴EN⊥PB，EN⊥DB﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∵PB，DB⊂面PDB，且PB∩DB=B∴NE⊥面PDB﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）连结DN，由（1）知NE⊥面PDB∴DN⊥NE，∵，∴DN⊥PB∴为平面PBE的法向量，且﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵为平面ABCD的法向量，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ，则﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴θ=45°，即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力以及逻辑推理能力．20．（12分）（2015秋•深圳期末）在平面直角坐标系xoy中，设点F（1，0），直线l：x=﹣1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l．（1）求动点Q的轨迹的方程．（2）记Q的轨迹的方程为E，曲线E与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A，B，且弦AB 中点的纵坐标为2，求k的值．【分析】（1）求出直线l的方程．利用点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，|PQ|是点Q到直线l的距离．然后求出动点Q的轨迹方程．（2）（法一）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立消去x，利用韦达定理以及中点坐标个数，求出k即可．（法二）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法求解即可．【解答】解：（1）依题意知，直线l的方程为：x=﹣1．点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∴|PQ|是点Q到直线l的距离．∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴|PQ|=|QF|﹣﹣﹣﹣﹣（3分）故动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：y2=4x（x＞0）﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）（法一）设A（x1，y1），B（x2，y2），依题意知，k≠0，由有，即ky2﹣4y﹣8=0，﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又，∴k=1﹣﹣﹣﹣﹣（10分）又当k=1时，△=16+32k＞0，所以k=1满足题意，﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴k的值是1﹣﹣﹣﹣﹣（12分）（法二）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，﹣﹣﹣﹣﹣（6分）两式相减有，∴，﹣﹣﹣﹣﹣（9分）又，﹣﹣﹣﹣﹣（11分）则k=1﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）（2014•湖南）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．【分析】（Ⅰ）利用公式法即可求得；（Ⅱ）利用数列分组求和即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=1，当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=﹣=n，∴数列{a n}的通项公式是a n=n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n=2n+（﹣1）n n，记数列{b n}的前2n项和为T2n，则T2n=（21+22+…+22n）+（﹣1+2﹣3+4﹣…+2n）=+n=22n+1+n﹣2．∴数列{b n}的前2n项和为22n+1+n﹣2．【点评】本题主要考查数列通项公式的求法﹣公式法及数列求和的方法﹣分组求和法，考查学生的运算能力，属中档题．22．（12分）（2014•包头模拟）已知椭圆C：+y2=1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：（x﹣3）2+（y﹣1）2=3相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若不过A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且•=0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．【分析】（I）圆M的圆心为（3，1），半径．直线AF的方程为x+cy﹣c=0，由直线AF与圆M相切，得c2=2，a2=c2+1=3，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：由，知AP⊥AQ，设直线AP的方程为y=kx+1，直线AQ的方程为．联立，整理得（1+3k2）x2+6kx=0，求得点P，点Q，由此能证明直线l过定点．（Ⅱ）法二：由，知AP⊥AQ，设直线l的方程为y=kx+t（t≠1），联立，整理得（1+3k2）x2+6ktx+3（t2﹣1）=0．由，利用韦达定理证明直线l过定点．【解答】（I）解：圆M的圆心为（3，1），半径．…（2分）由题意知A（0，1），F（c，0），直线AF的方程为，即x+cy﹣c=0，…（4分）由直线AF与圆M相切，得，解得c2=2，a2=c2+1=3，故椭圆C的方程为．…（6分）（Ⅱ）证法一：由知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为y=kx+1，直线AQ的方程为．联立，整理得（1+3k2）x2+6kx=0，…（7分）解得x=0或，故点P的坐标为，同理，点Q的坐标为，…（9分）∴直线l的斜率为，…（10分）∴直线l的方程为，即．…（11分）所以直线l过定点．…（12分）（Ⅱ）证法二：由，知AP⊥AQ，从而直线PQ与x轴不垂直，故可设直线l的方程为y=kx+t（t≠1），联立，整理得（1+3k2）x2+6ktx+3（t2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，（*）由△=（6kt）2﹣4（1+3k2）×3（t2﹣1）＞0，得3k2＞t2﹣1．…（9分）由，得，将（*）代入，得，…（11分）所以直线l过定点．…（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．参与本试卷答题和审题的老师有：沂蒙松；wfy814；双曲线；733008；刘老师；刘长柏；maths；qiss；zhwsd；雪狼王；liu老师；zlzhan（排名不分先后）菁优网2016年12月29日。

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2014-2015学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）在△ABC中，已知a=6，A=60°，C=45°，则c=（）A．2 B．C．D．22．（5分）双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．（5分）等比数列{a n}中，任意的n∈N*，a n+1+a n=3n+1，则公比q等于（）A．2 B．3 C．D．﹣4．（5分）设a＞0，b＞0，且a+b=2，则+的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．4.55．（5分）设，则不等式f（x）＜x2的解集是（）A．（2，+∞）∪（﹣∞，0]B．R C．[0，2）D．（﹣∞，0）6．（5分）已知x，y满足，则z=2x﹣y的最大值是（）A．B．C．D．27．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，x3＜0B．“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件C．∀x∈R，2x＞0D．“x＜2”是“|x|＜2”的充分非必要条件8．（5分）某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是（）小时．A．B．C．D．1二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2+2x=3，则￢p是．10．（5分）焦点坐标为（0，10），离心率是的双曲线的标准方程为．11．（5分）函数y=的最大值为．12．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a14=1，则S17=．13．（5分）边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为．14．（5分）记max{a，b}=，f（x）=max{|x﹣m|，|x+1|}，若存在实数x，使得f（x）≤1成立，则实数m的取值范围是．三、解答题（本题共6小题，共80分）15．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2﹣ac=b2．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积．16．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，设数列{b n}前n项和为G n，求证：G n．17．（14分）设椭圆C：过点（0，4），离心率为（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程．18．（14分）已知数列{a n}中，a1=a（a＞0），a n a n+1=4n（n∈N*）（1）当a=1时，求a2，a3并猜想a2n的值；（2）若数列{a n}是等比数列，求a的值及a n；（3）在（2）的条件下，设b n=na n．求数列{b n}的前n项和S n．19．（14分）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB=4，BC=1，BE=3，CF=4，若如图所示建立空间直角坐标系：①求和点G的坐标；②求异面直线EF与AD所成的角；③求点C到截面AEFG的距离．20．（14分）P是圆x2+y2=4上任意一点，P在x轴上的射影为M点，N是PM的中点，点N的轨迹为曲线C，曲线C1的方程为：x2=8（y﹣m）（m＞0）（1）求轨迹C的方程；（2）若曲线C与曲线C1只有一个公共点，求曲线C1的方程；（3）在（2）的条件下，求曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程．2014-2015学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）（2014秋•深圳期末）在△ABC中，已知a=6，A=60°，C=45°，则c=（）A．2 B．C．D．2【分析】利用正弦定理列出关系式，把sinA，sinC以及a的值代入计算即可求出c的值．【解答】解：∵在△ABC中，a=6，A=60°，C=45°，∴由正弦定理=得：c===2，故选：D．【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．2．（5分）（2005•黑龙江）双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【分析】根据双曲线的渐近线方程的求法，直接求解即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程是，即．故选C．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，双曲线的基本性质的应用，考查计算能力．3．（5分）（2014秋•深圳期末）等比数列{a n}中，任意的n∈N*，a n+1+a n=3n+1，则公比q等于（）A．2 B．3 C．D．﹣【分析】把n=1、2分别代入已知的式子，并利用等比数列的通项公式化简求出公比q的值．【解答】解：∵等比数列{a n}中，任意的n∈N*，a n+1+a n=3n+1，∴a2+a1=32，a3+a2=qa2+qa1=33，两个式子相除可得，公比q=3，故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，以及递推公式的化简，属于基础题．4．（5分）（2014秋•深圳期末）设a＞0，b＞0，且a+b=2，则+的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．4.5【分析】由题意可得+=（+）（a+b）=（2++），由基本不等式求最值可得．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=2，∴+=（+）（a+b）=（2++）≥（2+2）=2当且仅当=即a=b=1时取等号，故选：B【点评】本题考查基本不等式，属基础题．5．（5分）（2014秋•深圳期末）设，则不等式f（x）＜x2的解集是（）A．（2，+∞）∪（﹣∞，0]B．R C．[0，2）D．（﹣∞，0）【分析】根据所给的分段函数，当x小于等于0和x大于0两种情况，根据分段函数分别得到f（x）的解析式，把得到的f（x）的解析式分别代入不等式得到两个一元二次不等式，分别求出解集，求出两解集的并集即可得到原不等式的解集．【解答】解：当x＞0时，f（x）=x+2，代入不等式得：x+2＜x2，即（x﹣2）（x+1）＞0，解得x＞2，x＜﹣1，所以原不等式的解集为（2，+∞）；当x≤0时，f（x）=x﹣2，代入不等式得：x﹣2＜x2，解得x∈R，所以原不等式的解集为（﹣∞，0]，综上原不等式的解集为（2，+∞）∪（﹣∞，0]．故选A【点评】本题考查了不等式的解法及分段函数，考查分类讨论的思想，本题解题的关键是对于求出的范围一定要和分段函数的范围分别并起来，本是一个基础题．6．（5分）（2012•肇庆一模）已知x，y满足，则z=2x﹣y的最大值是（）A．B．C．D．2【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的四边形ABCD及其内部，再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=时，目标函数z取得最大值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD及其内部，其中A（，），B（3，），C（3，4），D（0，3）设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（3，）=2×3﹣=故选：B【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x﹣y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．7．（5分）（2013•重庆模拟）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，x3＜0B．“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件C．∀x∈R，2x＞0D．“x＜2”是“|x|＜2”的充分非必要条件【分析】对各命题逐个进行判断．A，显然x为负数时，恒成立；B，a＞0时，|a|＞0，反之，a可以是负数；C，利用指数函数的性质，可知∀x∈R，2x＞0；D，x＜2时，|x|＜2不一定成立，反之，|x|＜2时，x＜2成立，故可得结论．【解答】解：对于A，显然x为负数时，恒成立，故A为真命题；对于B，a＞0时，|a|＞0，反之，a可以是负数，所以“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件，故B为真命题；对于C，利用指数函数的性质，可知∀x∈R，2x＞0，故C为真命题；对于D，x＜2时，|x|＜2不一定成立，反之，|x|＜2时，x＜2成立，“x＜2”是“|x|＜2”的必要非充分条件，故D为假命题故选D．【点评】本题考查命题的真假判断，考查四种条件的判断，解题时需对各命题逐个进行判断．8．（5分）（2014秋•深圳期末）某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是（）小时．A．B．C．D．1【分析】设两船在B点碰头，设舰艇到达渔船的最短时间是x小时，由题设知AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°，由余弦定理，知（21x）2=100+（9x）2﹣2×10×9x×cos120°，由此能求出舰艇到达渔船的最短时间．【解答】解：设两船在B点碰头，由题设作出图形，设舰艇到达渔船的最短时间是x小时，则AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°，由余弦定理，知（21x）2=100+（9x）2﹣2×10×9x×cos120°，整理，得36x2﹣9x﹣10=0，解得x=，或x=﹣（舍）．故选：B．【点评】本题考查解三角形在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）（2014•岳麓区校级模拟）已知命题p：∃x∈R，x2+2x=3，则￢p是∀x∈R，x2+2x ≠3．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，x2+2x=3是特称命题，∴根据特称命题的否定是全称命题，得¬p：∀x∈R，x2+2x≠3．故答案为：∀x∈R，x2+2x≠3．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握含有量词命题的否定的形式，比较基础．10．（5分）（2014秋•深圳期末）焦点坐标为（0，10），离心率是的双曲线的标准方程为．【分析】求出双曲线的几何量a，b，c即可求出双曲线方程．【解答】解：焦点坐标为（0，10），离心率是的双曲线，可得c=10，a=8，b=6，焦点坐标为（0，10），离心率是的双曲线的标准方程为：．故答案为：．【点评】本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．11．（5分）（2014秋•深圳期末）函数y=的最大值为．【分析】由条件利用基本不等式，求得函数y=的最大值．【解答】解：函数y=≤=，当且仅当2x2=1﹣2x2，即x2=时，取等号，故函数y=的最大值为，故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．12．（5分）（2014秋•深圳期末）在等差数列{a n}中，已知a4+a14=1，则S17=．【分析】由等差数列的性质可得a1+a17=a4+a14，代入求和公式计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a17=a4+a14=1，∴由求和公式可得S17==故答案为：【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．13．（5分）（2016•衡阳校级模拟）边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为120°．【分析】直接利用余弦定理求出7所对的角的余弦值，求出角的大小，利用三角形的内角和，求解最大角与最小角之和．【解答】解：根据三角形中大角对大边，小角对小边的原则，所以由余弦定理可知cosθ==，所以7所对的角为60°．所以三角形的最大角与最小角之和为：120°．故答案为：120°．【点评】本题考查余弦定理的应用，三角形的边角对应关系的应用，考查计算能力．14．（5分）（2014秋•深圳期末）记max{a，b}=，f（x）=max{|x﹣m|，|x+1|}，若存在实数x，使得f（x）≤1成立，则实数m的取值范围是[﹣3，1] ．【分析】存在实数x，使得f（x）≤1成立的否定是任意实数x，恒有f（x）＞1成立；从而可得m＜﹣3或m＞1；从而求实数m的取值范围．【解答】解：存在实数x，使得f（x）≤1成立的否定是任意实数x，恒有f（x）＞1成立；当x＞0或x＜﹣2时，|x+1|＞1，故f（x）＞1成立；当﹣2≤x≤0时，|x+1|≤1，故|x+m|＞1在[﹣2，0]上恒成立，故m＜﹣3或m＞1；故存在实数x，使得f（x）≤1成立时，实数m的取值范围是[﹣3，1]．故答案为：[﹣3，1]．【点评】本题考查了命题的否定与分段函数的应用，同时考查了函数的最值，属于中档题．三、解答题（本题共6小题，共80分）15．（12分）（2014秋•深圳期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2﹣ac=b2．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积．【分析】（1）利用余弦定理表示出cosB，把已知等式变形后代入计算求出cosB值，即可求出B的度数；（2）利用正弦定理化简sinC=2sinA，得到c=2a，利用余弦定理列出关系式，求出a与c的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（1）∵△ABC中，a2+c2﹣ac=b2，即a2+c2﹣b2=ac，∴cosB==，则B=；（2）把sinA=2sinC，利用正弦定理化简得：a=2c，∵b=3，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=4c2+c2﹣2c2，解得：c=，a=2，则S△ABC=acsinB=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（12分）（2014秋•深圳期末）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，设数列{b n}前n项和为G n，求证：G n．【分析】（1）数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．利用a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出；（2）b n==，利用“裂项求和”、“放缩法”即可得出．【解答】（1）解：∵数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．∴a1=S1==1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=3n﹣2，当n=1时上式也成立，∴a n=3n﹣2．（2）证明：b n===，∴设数列{b n}前n项和为G n=+…+=＜，∴G n．【点评】本题考查了数列递推式的应用、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（14分）（2014秋•深圳期末）设椭圆C：过点（0，4），离心率为（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆C：过点（0，4），离心率为，知，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设过点（3，0）的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），设AB的中点为M（x，y），利用点差法能够求出过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：过点（0，4），离心率为，∴，解得a=5，b=4，c=3，∴椭圆C的方程是．（Ⅱ）设过点（3，0）的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），设AB的中点为M（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆16x2+25y2=400，得①﹣②，得16（x1+x2）（x1﹣x2）+25（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴32x（x1﹣x2）+50y（y1﹣y2）=0，∴直线AB的斜率k==﹣，∵直线AB过点（3，0），M（x，y），∴直线AB的斜率k=，∴﹣=，整理，得16x2+25y2﹣48x=0．当k不存在时，16x2+25y2﹣48x=0也成立．故过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程是16x2+25y2﹣48x=0．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．18．（14分）（2014秋•深圳期末）已知数列{a n}中，a1=a（a＞0），a n a n+1=4n（n∈N*）（1）当a=1时，求a2，a3并猜想a2n的值；（2）若数列{a n}是等比数列，求a的值及a n；（3）在（2）的条件下，设b n=na n．求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）由a1=a（a＞0），a n a n+1=4n（n∈N*），可得当a=1时，a1•a2=1×a2=4，a2a3=42，解得a2，a3．由=4，可得a n+2=4a n，即可得出a2n．（2）由于数列{a n}是等比数列，设公比为q，则a•aq=4，aq•aq2=42，a＞0，解得q，a．即可得出a n．（3）在（2）的条件下，b n=na n=，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得到．【解答】解：（1）∵a1=a（a＞0），a n a n+1=4n（n∈N*），∴当a=1时，a1•a2=1×a2=4，解得a2=4，由a2a3=42，解得a3=4．∵==4，∴a n+2=4a n，可得a2n=4n．（2）∵数列{a n}是等比数列，设公比为q，则a•aq=4，aq•aq2=42，a＞0，解得q=2，a=．∴a n=．（3）在（2）的条件下，b n=na n=，∴数列{b n}的前n项和S n=[1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1]，2S n=…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n]，∴﹣S n=（1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n）==，∴S n=．【点评】本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）（2014秋•深圳期末）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG 所截而得，其中AB=4，BC=1，BE=3，CF=4，若如图所示建立空间直角坐标系：①求和点G的坐标；②求异面直线EF与AD所成的角；③求点C到截面AEFG的距离．【分析】（1）由题意知A（1，0，0），B（1，4，0），E（1，4，4），F（0，4，4），由此能求出，又=，能求出G（0，0，1）．（2）由=（﹣1，0，0），，能求出异面直线EF与AD所成的角．（3）求出平面AEFG的法向量，利用向量法能求出点C到截面AEFG的距离．【解答】解：（1）由题意知A（1，0，0），B（1，4，0），E（1，4，4），F（0，4，4），∴=（﹣1，0，1），又∵=，设G（0，0，z），∴（﹣1，0，z）=（﹣1，0，1），解得z=1，∴G（0，0，1）．（2）∵=（﹣1，0，0），，∴cos＜＞==，∴异面直线EF与AD所成的角为45°．（3）设平面AEFG的法向量，∵=（﹣1，0，1），=（0，4，3），∴，取z=4，得=（4，﹣3，4），∵C（0，4，0），，∴点C到截面AEFG的距离d===．【点评】本题考查和点G的坐标的求法，考查异面直线EF与AD所成的角的求法，考查点C到截面AEFG的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（14分）（2014秋•深圳期末）P是圆x2+y2=4上任意一点，P在x轴上的射影为M点，N是PM的中点，点N的轨迹为曲线C，曲线C1的方程为：x2=8（y﹣m）（m＞0）（1）求轨迹C的方程；（2）若曲线C与曲线C1只有一个公共点，求曲线C1的方程；（3）在（2）的条件下，求曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程．【分析】（1）设出N的坐标，利用中点坐标公式求出P点的坐标，代入圆的方程后整理即可得到答案；（2）将（0，1）代入x2=8（y﹣m），可得m=1，即可求曲线C1的方程；（3）在（2）的条件下，可得曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程．【解答】解：（1）设N（x，y），则由中点坐标公式得P（x，2y），因为P是圆x2+y2=4上任意一点，所以x2+4y2=4，整理得，．（2）将（0，1）代入x2=8（y﹣m），可得m=1，所以曲线C1的方程为x2=8（y﹣1）；（3）在（2）的条件下，设与曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程为y=kx+m；分别与C的方程：以及曲线C1的方程x2=8（y﹣1）联立，得到：2k2+m﹣1=0和4k2﹣m2+1=0；解得m=1或﹣3；当m=1时，k=0，当m=﹣3时，k=±；所以：与曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程为：y=1或y=±x﹣3．【点评】本题考查了轨迹方程问题，考查了代入法求轨迹方程，是中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；qiss；gongjy；lincy；涨停；ywg2058；刘长柏；maths；caoqz；炫晨；沂蒙松；zlzhan（排名不分先后）菁优网2016年12月17日。