延迟复杂动态网络的稳定性

矩阵。 证明. 定义误差系统 ei = xi (t) − x , i=1, 2, …, N， 则有 ET (t) = [e1(t),e2 (t),L,eN (t)]∈ Rn×N 由于 f (xi (t)) 是连续可微的，将被控网络(5)在平衡状态
x 附近线性化，得到；
E& (t) = E(t)J T (t) + aCE(t −τ (t))Γ
0 引言
目前，复杂网络的整体动力学行为和整个网络的拓扑结
构的相互作用的研究引起广泛的关注。研究复杂网络的最终
目的是要了解网络的结构如何影响网络的动力学行为，以及
反过来网络的结构如何受动力学影响，复杂网络的牵制控制
及其稳定性分析就是其中一项重要的研究内容。在控制一个
复杂网络达到某一稳定状态时，牵制控制是一种十分经济实
∑ bij = bji = 0 。在本文的模型中，耦合系数满足
b N
j =1 ij
=
0
，
如果节点的度 ki 定义为与第 i 个节点连接的边的数目，则
N
N
∑ ∑ bij =
bji = ki
(2)
j =1, j ≠i
j =1, j ≠i
我们的目标是使网络达到一个稳定状态，也就是当
t→∞时
x1(t), x2 (t),L, xN (t) → x
N
∑ x&i (t) = f (xi (t)) + a bijΓxj (t −τ (t)) j =1
i=1, … , N,
(1)
这里 xi (t) = (xi1(t), xi2 (t),L, xin (t))T ∈ Rn 是第 i 个节点的状
态向量，常数 τ (t) > 0 代表延迟函数。 f (⋅) 是一个描述节点
动力学特性的连续可微的向量函数，常数 a > 0 是网络的耦
合强度。常数对称矩阵 Γ =（γ ij）∈ Rn×n 是各个节点状态变量 之间的内部耦合矩阵，这里假设每个节点的内部耦合矩阵
是完全相同的。耦合矩阵 B = (bij ) ∈ RN×N 代表网络的拓扑结
构，若节点 i 和 j( j ≠ i )之间有连接，则 bij = bji = 1 ；否则
矩阵，即 B (t) 是一个可微函数，满足下列条件：
作者简介：李涛(1980-)，男，助理讲师。于晓楠(1980-)，女，助理研究员。
2011.8
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技术应用
0 ≤ τ (t) ≤ τ
τ&(t) ≤ ε (ε > 0)
(7)
引理 1. 如果一个实对称不可约矩阵 B = (bij ) ∈ RN×N 满
⎛ Q(x)
⎜ ⎝
S
T
(
x)
S ( x) R(x)
⎞ ⎟ ⎠
>
0
与下面的条件之一等价：
(a) Q(x) > 0, R(x) − ST (x)Q−1(x)S(x) > 0
(b) R(x) > 0 , Q(x) − S(x)R−1(x)ST (x) > 0
2 带有时变延迟的复杂动态网络的牵制同步
判据
定理 1. 如果下列 N 个微分方程 η&k (t) = J (t)ηk (t) + aλkΓηk (t −τ (t)) , i=1, 2, …, N, (8) 关于其零解渐进稳定，则被控网络(5)能够达到局部渐进 稳定。 这里 J (t) ∈ RN×N 是 f (xi (t)) 在 s(t)附近估计的 Jacobian
足下列两个条件：
bij ≥ 0(i ≠ j)
∑ bii = −
b N
j =1, j ≠i ij
则有：
(a) 0 是矩阵 B 的最大特征值且对应的特征向量为 [1,1,L,1]T ；
(b) B 的其它特征值都是负实数；
(c) 存在一个非奇异矩阵 Φ = [Φ1,Φ2 ,L, ΦN ]∈ RN×N
使得 BT Φk = λkΦk , k=1,2,…,N 这里 0 = λ1 > λ2 ≥ λ3 ≥ L ≥ λN 是矩阵 B 的特征值。
引理 2. 如果矩阵 B 符合引理 1 中的定义，非零对角矩
阵 D 定义如下： D = diag(d1, d2,L, dN )
这里 di ≥ 0(i = 1, 2,L, N ) ，
则 C = B − D 是负定矩阵。
引理 3. 假设 Q(x) = QT (x) 、 R(x) = RT (x)
线性矩阵不等式
该系统的局部负反馈控制器的方程为：
ui = −adiΓ(xi (t −τ (t)) − x )
(6)
当 i=1,…,l 时 di > 0 ；当 i=l+1,…,N 时 di = 0 。
本 文 考 虑 的 是 无 向 网 络 ，同 时 我 们 假 设 网 络 ( 1) 是 连
同的。从而我们得到耦合矩阵 B 是一个不可约的实对阵
用的控制策略。特别是通过对网络中的少数节点施加线性误
差反馈控制将网络稳定到一个均匀的平衡点状态，即是网络
中的每个节点的状态都稳定到单个节点的平衡点上。一个很
有趣的结论就是仅仅控制网络中的任何一个节点，就可以将
整个复杂动态网络控制到这样一个均匀的平衡点状态。
1 预备知识
考虑一个由 N 个相同的线性分散耦合节点构成的延迟复 杂动态网络，其中每个节点都是一个 n 维的动力学系统。第 i 节点的状态方程为：
技术应用
延迟复杂动态网络的稳定性研究
李涛 1 于晓楠 2 1 沈阳理工大学 辽宁 110168 2 大连海事大学 辽宁 116023 摘要：本文研究了延迟复杂动态网络的稳定性问题，提出了一种处理复杂网络延迟的新方法，得到了能够确保网络达到 稳定状态的充分条件。通过对网络中的部分节点施加线性反馈控制达到控制整个网络的目的，在平衡点附近将网络的节点进行 了线性化，同时将网络相互关联的 N 个动力学系统解耦为 N 个独立的动力学系统，使得网络复杂的动力学特性变得容易处理。 关键词：延迟复杂动态网络；线性反馈；稳定性
(3)
这里 x 是孤立节点的平衡点，满足条件
f (x) = 0
(4)
为了实现目标(4)我们选择控制网络中的部分节点来达
到控制整个网络的目的。不失一般性，我们选择前 l 个节点
作为被控节点，l 是 δ N 的整数部分。
因此，该被控网络的第 i 个节点的状态方程为：
N
∑ x&(t) = f (xi (t)) + a bijΓxj (t −τ (t)) + ui , i= 1,2,…, N, (5) j =1