多状态网络可靠度的d_最小割_路_集转换算法

第 28 卷第 11 期 2011 年 11 月
计 算 机 应 用 研 究 Application Research of Computers
Vol. 28 No. 11 Nov. 2011
* 多状态网络可靠度的 d最小割 （ 路 ） 集转换算法
李
北京 100085 ） 摘 要： 为寻求计算多状态网络系统可靠度更为简明的方法， 提出了一种 d最小割、 路集转换算法。 该算法在
Abstract： This paper proposed a transition algorithm of dmincuts and dminpaths in order to effectively compute multistate minpaths （ dmincuts ） through expanding network reliability． Based on Boolean algebra theory，the algorithm generated all dproductofsum expression，with knowing all dmincuts （ dminpaths） in advance，then calculated network reliability by appmincut or lying inclusionexclusion principle to dminpaths or dmincuts，whose amount was fewer． Furthermore，denoting a ddminpath through a set pair composed of unsaturated or nonzero edges and corresponding value，respectively，based on membership relationship between assembles and changing the assemble operation sequence from inversemerging to merging inverse ， proposed several lemmas to simplify algorithm． The proposed algorithm was efficient and effective，followed by the analysis of associated computational complexities． The provided example shows correctness and applicability of the algorithm． Key words： multistate network； stochasticflow network； dmincuts； dminpaths； reliability
Algorithm for computing multistate network reliability based on transition of dmincuts and dminpaths
LI Zhen1 ，SUN Xinli1 ，JI Guoxun1 ，LIU Haojie2 ，LIU Zhiyong3
作者简介： 李振（ 1983-） ， 男， 山东枣庄人， 博士， 主要研究方向为多状态网络系统可靠性评估及优化（ true_zhenli@ 163． com ） ； 孙新利 （ 1963-） ， 男， 导弹专家， 教授， 博导， 主要研究方向为可靠性评估 、 数值仿真； 姬国勋（ 1976-） ， 男， 讲师， 博士， 主要研究方向为数值仿真 ； 刘好杰 （ 1983-） ， 男， 助教， 硕士， 主要研究方向为信息工程 ； 刘志勇（ 1982-） ， 男， 助理研究员， 硕士， 主要研究方向为数值仿真．
i =1 j =1
（ 5）
（ X ） = 1 － ∑ （ φ （ x j ≥ p i， j） ） =
i =1 j =1
σP
| E|
1 － （ φ （ x j ≥ p i， j ） ） = 1 － （ ∑ （ φ （ x j ≥ p i， j） ） ） =
i =1 j =1 | E| i =1 j =1 σP
第 11 期
李
振， 等： 多状态网络可靠度的 d最小割（ 路） 集转换算法
（ X ） = ∑ （ φ （ x j ≤ c i， j） ） =
i =1 j =1 σC | E|
· 4271·
1
符号、 定义
σC | E|
| · | 表示集合“ ·” 中元素的个数。 G（ V， E ） 表 示 节 点 集 合 为 V = ｛ v1 （ s ） ， v2 ， …， vi ， …， v | V| （ t） ｝ （ s、 t 分别表示源点和汇点） ， e2 ， …， 边集合为 E = ｛ e1 ， ei ， …， e | E | ｝ 的网络。 M = （ m1 ， m2 ， …， mi ， …， m | E | ） 表示每条边的最大容量构成 的状态向量。 X = （ x1 ， x2 ， …， xi ， …， x | E | ） 表示网络的一个状态， 其中 x i 0 ≤x i ≤m i 。 表示边 e i 的当前容量， d 表示从源点 s 到汇点 t 的需求流量。 f（ X） 表示状态为 X 时网络允许通过的最大流量 。 （ X） 表示网络结构函数， （ X ） =
进程， 网络系统可靠性研究的应用价值日益凸显 。有关网络系 统可靠性的研究常假设网络中的元素具有成功和失效两种模 态。而现实生活中的很多情况下 ， 多种模态的多状态网络 （ 也 称随机流量网络） 能更好地体现实际系统的工作状态 ， 其可靠 并取得了很多成果， 其中， 研究 性评估己成为国内外研究热点 ， 最多的是基于 d最小路集
i =1 j =1 σC | E|
（ φ （ x j ≤ c i， j ） ） = （ ∑ （ φ （ x j ≤ c i， j） ） ） =
i =1 j =1 σC | E|
σC
| E|
i =1 j =1
（ ∑ （ φ （ x j ＞ c i， j ） ） ） = （ ∑ （ φ（ x j ≥ c' i， j） ） ）
d网络中边的数量为 m， 最小路 （ 割 ） 的数量为 σ， 直接应用容 ）， 应用改进的容斥原理， 时 － σ － 2 ） ） 。 可见， 复杂度与 d最小路
收稿日期： 2011-04-10 ； 修回日期： 2011-05-09
基金项目： 第二炮兵工程学院创新性探索研究项目（ XY2010ห้องสมุดไป่ตู้JB23 ）
1 1 1 2 3 振 ，孙新利 ，姬国勋 ，刘好杰 ，刘志勇
（ 1． 第二炮兵工程学院， 西安 710025 ； 2． 第二炮兵士官学院， 山东 青州 262500 ； 3． 第二炮兵装备研究院二所，
已知 d最小割（ 路） 集的基础上， 基于逻辑代数理论， 通过展开和之积表达式获得 d最小路 （ 割 ） 集， 再基于两者 中数量较少的一个运用容斥原理， 得到网络可靠度。同时， 分别利用容量未取最大和不为 0 的边及对应取值组 成的集合对表示 d最小割（ 路） ， 基于集合之间的隶属关系及将集合运算中正常的先取逆再合并的运算顺序变 提出相关引理， 简化算法。通过复杂度分析， 证明算法有效。算例证明了算法的有效性 为先合并再取逆的思想， 和适用性。 关键词： 多状态网络； 随机流量网络； d最小割集； d最小路集； 可靠度 中图分类号： TP202． 1 ； TP301． 6 文献标志码： A 文章编号： 1001-3695 （ 2011 ） 11-4270-04 doi：10． 3969 / j． issn． 1001-3695． 2011． 11． 073
0
引言
随着社会和科学技术的不断发展 ， 人类社会加快了网络化
（ 割） 的数量息息相关， d而对一个具体的多状态网络而言 ， 最 小路（ 割） 的数量不仅与网络拓扑结构有关 ， 还与需求流量 d 有关， 且无法提前判断、 比较 d最小路 （ 割 ） 的数量。 因此， 同 时获得 d最小路（ 割） 集， 才能根据其数量的多少加以选择 ， 降 d最小 低应用容斥原理获得网络可靠度的计算复杂性 。 此外， 路（ 割） 集在多状态网络的故障诊断 、 系统优化中各具作用， 为 了全面评估网络可靠性 ， 有时两者都需要。 分别求取 d最小路（ 割） 集的过程较复杂且需以网络最小 路（ 割） 集为基础。d最小路（ 割 ） 本质上是通过向量表示状态 空间中的一些子空间 （ d最小路 （ 割 ） 分别为各自子空间的下 边界和上边界） ， 基于多维状态空间的互补思想 ， 在已得到 d最小路集或 d最小（ 割） 集的基础上， 本文基于逻辑代数理论 ， 研究了 d最小路（ 割） 集的转换算法。 阐述、 证明了算法原理， 给出算法步骤， 分析了算法的时间复杂度 ， 最后通过实例证明 了算法的正确性及适用性 。
（ 1 ． The Second Artillery Engineering University，Xi ’ an 710025 ，China； 2 ． The Second Artillery Sergeant College，Qingzhou Shandong 262500 ，China； 3 ． The Second Research Institute，The Second Artillery Equipment Academy，Beijing 100085 ，China）
［1 ～ 5 ］ ［6 ～ 14 ］ （ 也称多 或 d最小 （ 割 ） 集
最小 状态最小路（ 割） 集 ） 的各种算法。 这些算法首先求取 d路（ 割） 集， 再基于容斥原理求得网络可靠度 斥原理的时间复杂度为 O（ mσ2 间复杂度为 O（ m （ 2
σ +1 σ －1 ［15 ］
。 假设多状态