高一数学2.3.3等比数列的前n项和2学案苏教版必修5

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2.3.3等比数列的前n项和教案1 高中数学必修五苏教版(word版)

听课随笔第13课时等比数列的前n 项和(2)【学习导航】知识网络学习要求1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式；2. 了解杂数列求和基本思想，解决简单的杂数列求和问题。

【自学评价】1．常见的数列的前n 项的和：（１）=++++n 321=2)1(+n n 即∑=ni i 1=2)1(+n n（2）6)12)(1(12++=∑=n n n i ni（3）2132)1([+=∑=n n i ni 2．有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列．若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并这种方法叫做分组求和法． 3．错位相减法：适用于{n a n b }的前n 项和，其中{}n a 是等差数列， {}n b 是等比数列； 4．裂项法：求{}n a 的前n 项和时，若能将n a 拆分为n a =n b －1+n b ，则111+=-=∑n nk kb b a5．倒序相加法6.在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，1S a q S=+奇偶【精典范例】【例1】求数列211+，412+，813+，．．．的前n 项和. 分析：这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，因此可以分组求和法．【解】=n S （211+）+（412+）+．．．+（n n 21+）＝（１＋２＋３＋．．．＋ｎ）＋（n 21814121+++ ）=.2112)1(n n n -++ 【例2】设数列{}n a 为231,2,3,4x x x , ,1n nx - ()0≠x 求此数列前n 项的和.分析：这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的积，因此可以用错项相减法．【解】2311234n n S x x x nx -=+++++ ①()231231n n nxS x x x n x nx -=++++-+ ②由①-②得()1n x S -211n n x x x nx -=++++- ，当1≠x 时，()nnn nx xx S x ---=-111xnx nx x n n n -+--=+111()xnx x n n n -++-=+1111()()21111x nx x n S n n n -++-=+ 当1=x 时，()214321n n n S n +=++++=追踪训练一1．求和∑=+101)23(k k【答案】20762．求和132)12(7531--+++++=n n x n x x x S听课随笔【答案】21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 3．若数列{}n a 的通项公式为n n na 2=，则前n 项和为( B ) A.n n S 211-= B.nn n nS 22121--=- C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n S 211 D.n n n n S 22121+-=-4．数列1，211+，3211++，…，n+++ 211的前n 项和为( B )A.122+n nB. 12+n nC.12++n nD. 1+n n 5．求和1－2+3－4+5－6+…+(－1)n +1n . 【解】设n =2k ,则(1－2)+(3－4)+…+［(2k －1)－(2k )］=－k =－2n 设n =2k －1,则(1－2)+(3－4)+…+［(2k －3)－(2k －2)］+2k －1=－(k －1)+2k －1=k =21+n∴1－2+3－4+5－6+…+(－1)n n +1=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-为奇数为偶数n n n n21 2 【选修延伸】【例3】已知数列｛a n ｝中， a n ＋1＝a n ＋2n ， a 1＝3，求a n .【解】由a n ＋1＝a n ＋2n得a n ＝a n －1＋2n －1即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-=-=---------22221233222111a a a a a a a a n n n n n n n n n∴a n －a 1＝21)21(21---n ＝2n －2因此a n ＝2n －2＋a 1＝2n ＋1点评:利用数列的求和,可求出一些递推关系听课随笔4．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

2018版高中数学苏教版必修5学案：2.3.3等比数列的前n项和(二)

2.3.3 等比数列的前n项和（二）［学习目标］1•熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题2应用方程的思想方法解决与等比数列前n项和有关的问题.自主学戸知识梳理知识点一等比数列的前n项和的变式“ n n 彳n 1•等比数列｛a n｝的前n项和为S n,当公比q z 1时，5= a； _ q = a1 q:二丄^ 冬1 —q q- 1 1 - q q - 1a1-尸；当q = 1 时，S n= na、n2•当公比q z 1时，等比数列的前n项和公式是S n= a\ - q，它可以变形为S n=-严口“1 - q 1 - q+ 壬，设A = 耳，上式可写成S n=-Aq n+ A•由此可见，非常数列的等比数列的前n项1 —q 1 —q和S n是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数•当公比q = 1时，因为a1z 0,所以S n= na1是n的正比例函数（常数项为0的一次函数）. 思考在数列｛a n｝中，a n+1= ca n（c为非零常数）且前n项和S n= 3n 1+ k，则实数k = ___________________ .1答案-1解析由题意知｛a n｝是等比数列，二3n的系数与常数项互为相反数,而3n的系数为1，知识点二等比数列前n项和的性质1•连续m项的和（如S m、S2m- S m、S3m- S2m）仍构成等比数列.（注意：q Z—1或m为奇数） 2.S m= S m +口“盹为数列｛ a n｝的公比）•+ nS偶3•若｛a n｝是项数为偶数、公比为q的等比数列，贝U —= q.S奇思考在等比数列｛a n｝中，若a1+ a2= 20，83+ 84= 40,则&= _______________ .答案140解析S2= 20，S4 —S2= 40，二S6 —S4= 80，&= S4+ 80= S2 + 40+ 80 = 140.〒题型探究重电突破题型一等比数列前n项和性质的应用例1 ⑴等比数列｛a n｝中，S2= 7, S6 = 91,则S4= __________ .⑵等比数列｛a n｝共有2n项，其和为一240,且⑻+玄彳+…十a?n-1)-@ +玄彳+…十a?n) = 80, 则公比q = __________ .答案(1)28 (2)2解析(1) •••数列｛a n｝是等比数列，•S2, S—S2, S s—S也是等比数列，即7, S4—7,91 —S4也是等比数列，•(S4—7)2= 7(91 —S4),解得S4= 28 或S4 = —21.2 2又-S4= a1 + a2 + a3+ a4= a1 + a2 + ag + a2q2 2=(a1 + a2)(1 + q ) = S2 (1 + q ) > 0,•S4= 28.(2)由题S 奇+ S 偶=—240, S 奇一S 偶=80,•S奇=—80, S偶=—160,S偶•- q = '= 2.S奇反思与感悟解决有关等比数列前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，常常可以避繁就简•不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论•解题中把握好等比数列前n项和性质的使用条件，并结合题设条件寻找使用性质的切入点，方可使“英雄”有用武之地.跟踪训练1 (1)设等比数列｛a n｝的前n项和为S n,若咅=3,则咅= _________________ .S3 S6答案7 解析方法一因为数列｛a n｝是等比数列，所以S s= S s + q3S3,S9= S s+ q6S3= S3+ q3S3+ qM,曰S B=(1 + q S3= 3 疋S3= S3 = 3，即 1 + q3= 3,所以q3= 2.3S g 1 + q 3+ q 6 1 + 2 + 4 7 1 + 2 3.S 6方法二由—=3，得S 6= 3S 3.S 3因为数列｛a n ｝是等比数列，且由题意知 q M — 1,所以S 3, S 6- S 3, S 9- S 6也成等比数列，所以(S 3— SO? = S 3(S g — S 6)，解得 S g = 7&,所以 S = 3.(2) —个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的列的通项公式•解设数列｛a n ｝的首项为a i ，公比为q ,全部奇数项、偶数项之和分别记为 S 奇、S 偶意知S 奇+ S 偶=4S 偶，即S 奇=3S 偶.S 禺1•••数列｛a n ｝的项数为偶数，q ==T. S t 3又 a 1 a 1q a 1q 2= 64,二 a ： q 3 = 64,即 a 1 = 12. 故所求通项公式为 a n = 12 • 3 n -1. 题型二等比数列前n 项和的实际应用例2小华准备购买一台售价为5000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清•商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…,购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少•解方法一设小华每期付款x 元，第k 个月末付款后的欠款本利为 A k 元，则：2 2A 2= 5000 X (1 + 0.008)2- x = 5000X 1.0082- x ,2 4 2A 4= A 2(1 + 0.008) -x = 5000X 1.008 - 1.008 x -x ,A 12 = 5000X 1.00812- (1.00810 + 1.0088 + …+ 1.0082+ 1)x = 0,4倍，前3项之a i ,125000 X 1.008 _______________1 + 1.0082+ 1.0084+ …+ 1.00810 125000 X 1.008 2 6 1 — 1.0082 1 — 1.008 故小华每期付款金额约为880.8元.方法二设小华每期付款x 元，到第k 个月时已付款及利息为 A k 元，则:A 2= X ；2 2A 4= A 2(1 + 0.008) + x = x(1 + 1.008 )；A 6= A 4(1 + 0.008)2+ x = x(1 + 1.0082+ 1.0084)；A 12 = x(1 + 1.0082+ 1.0084 + 1.0086 + 1.0088 + 1.00810). •••年底付清欠款，二 A 12 = 5000 X 1.00812,即 5000 X 1.00812 = x(1 + 1.0082+ 1.0084+ …+ 1.00810),125000 X 1.008----------------------------- 〜1 + 1.0082 + 1.0084+ …+ 1.00810 故小华每期付款金额约为 880.8元.反思与感悟分期付款问题是典型的求等比数列前n 项和的应用题，此类题目的特点是：每期付款数相同，且每期间距相同 .解决这类问题有两种处理方法：一是按欠款数计算，由最后欠款为0列出方程求解；二是按付款数计算，由最后付清全部欠款列方程求解跟踪训练2从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入 800万元，以后每年投入将比上年减少 £本年度当地旅游收5 入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上1年增长4.设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为 b n 万元，写出a n , b n 的表达式. 解第1年投入800万元，第2年投入800 X 1 — 5万元，…，第n 年投入800 X 1 — £ n —1解得x = 880.8.・・880.8.万元,-1万元.题型三新情境问题例3定义：若数列｛A n ｝满足A n +1= A n ，则称数列｛ A n ｝为"平方数列”.已知数列｛a n ｝中，a 1 =2，点(a n , a n +1)在函数f(x)= 2x 2+ 2x 的图象上，其中n 为正整数. (1)证明：数列｛2a n + 1｝是"平方数列”，且数列｛lg(2 a n + 1)｝为等比数列； ⑵设(1)中“平方数列”的前 n 项之积为T n,则T n = (2a 1+ 1)(2a 2+ 1) (2a n + 1)，求数列｛a n ｝的通项及T n 关于n 的表达式；⑶对于⑵中的T n ,记b n = lOg 2a n 1 T n ，求数列｛5｝的前n 项和S n ,并求使5 > 4024的n 的最小值.2(1)证明由条件得a n +1= 2a n + 2a n ,2 22a n +1 + 1 = 4a n + 4a n + 1 = (2a n + 1). •••数列｛2a n + 1｝是“平方数列”. •••|g(2a n +1+ 1) = lg(2a n + 1)2= 2lg(2a n + 1), 且 lg(2 a 1 + 1) = lg 5 丰 0, • lg 2a n +1+ 1 (2)lg 2a n + 1• ｛lg(2 a n + 1)｝是首项为lg 5，公比为2的等比数列n 1(2)解•/ lg(2a 1+ 1) = lg5 , • lg(2a n + 1) = 2 -lg5.2n -11 2n -1--2a n + 1 = 5, - - a n = 2(5— 1).-lgT n = lg(2a 1 + 1)+ lg(2a 2+ 1)+ …+ lg(2a n + 1)所以总投入 a n =800 +-D -1 = 4000 X 1-5丿一(万元).同理，第1 年收入400万元，第2年收入400 X元，…，第n 年收入400 X 1 +所以总收入b n = 400 + 400 X •••+ 400X=1600X综上,ig5 1 —2n1-2=(2n — i)ig5,2 n一 1•-T n = 52••• S n = 2n — 1+1 + i 1 2 +••• +1◎ c 1—已 =2n 一 r1—1由 S n >4024，得 2n — 2 + 2 * °>4024,即 n + 1 n > 2013.反思与感悟数列创新题的特点及解题关键特点：叙述复杂，关系条件较多，难度较大解题关键：读清条件要求，理清关系，逐个分析跟踪训练3把一个边长为1正方形等分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉 (如图(1))；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图(2));如此继续下去，则：(1)图(3)共挖掉了 ________ 个正方形;igT n2n — 1 lg5J — 1.-⑶••• bn = log2a n 1Tn = ig 2a n + 1 2n - 'lg5当 n W 2012 时,v 2013;当n 》2013时, n + > 2013.n 的最小值为2013.'g'l(2)第n 个图形共挖掉了 __________个正方形，这些正方形的面积和是 ___________n 答案(1)73⑵宁1— 9 n解析(1)8 X 9+ 1— 73.原正方形的边长为 1，则这些被挖掉的正方形的面积和为11X 1 2+ 8x14 + 82X 16+.叭 1X 12n_ 1x3 +8X 3 +8 X 3 + +8 X3-1自查自纠(2)设第n 个图形共挖掉a n 个正方形，则 2 a 1 — 1, a 2 — a 1 — 8, a 3 — a 2 —…，a n —na n — 1 — 81 一（n 》n8 — 1~7~(n > 2).当n — 1时，a 1 — 1也满足上式，所以8-9由题意得 2+ 22 + 23+…+ 2n > 100, ••• 2n — 1> 50, ••• 2n > 51, •- n > 6.•••需要的最少天数 n = 6.3•等比数列｛a n ｝的前m 项和为4，前2m 项和为12,则它的前3m 项和是_____________ 答案 28解析易知 S m = 4, S 2m — S n = 8,•- S 3m — S 2m = 16,•-S 3m = 12+ 16 = 28.4•已知数列｛a n ｝是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1, a ?, a 4成等差数列.求证：2足，&, % —S 6成等比数列.证明设等比数列｛a n ｝的公比为q ，由题意得2a 7= a 1 + a 4, 即 2a 1 • = a 1 + a 1 q , •- 2q — q — 1 = 0. 令 q 3= t ，贝U 2t 2 — t — 1 = 0, 1•-1 = — 2 或 t = 1, 即 q 3= — 1 或 q 3= 1.当 q 3= 1 时，2S 3 = 6a 1, &= 6a 1, S 12— S s = 6a 1, • S 6= 2S 3 (S 12— S 6),•-2S 3, S 6, S 12 — S 成等比数列3a 1a 1 1— q 6 4 S 6= =1 — q 1 — qa^ 36 6 6X - a7(1 — q ) a 1 q (1 — q ) 44S 12 — S 6 ===当q 3= — 1时, 2S 3= 2Xa 1 1- q 3 1 — q2a/2 1 — q3a 1 1 — q1 —q 1 —q 1 —q••• 2S3, S6, S12- S成等比数列综上可知，2S3, S B, S12-S6成等比数列.「课堂小结------------------------------------ 1等比数列中用到的数学思想(1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q = 1和q工1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>o,q>1或a1<0,0<q<1时为递增数列；当a1<0 , q>1或a1>0,0<q<1时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当q= 1时为常数列.⑵函数的思想：等比数列的通项a n= a1q n-1 =宇q n(q>0且q丰1)常和指数函数相联系；等比a 1 a 1数列前n项和S n=——(q n- 1)(q工1).设A= ——，则S n= A(q n- 1)也与指数函数相联系.q- 1 q - 1⑶整体思想：应用等比数列前n项和时，常把q n, 旦当成整体求解•1-q1.等比数列｛a n｝中，a1a2a3—1, a4 —4，贝V a2+ a4+ a6+…+ a2n —_______ ■解析由a1a2a3— 1 得a；—1,a?—1,又T a4 —4,• a4 ,—4.a2•••数列a2, a4, a6,…，a2n是首项为1，公比为4的等比数列.1 一4 4 —1•- a2 + a4 + a6+…+ a2n——.1 —4 32.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n — ________ (n€ N* *).答案6解析设每天植树棵数为｛a n｝，则｛a n｝是等比数列，•-a n—2n(n€ N*, n 为天数).。

2018版高中数学苏教版必修五学案：2.3.3等比数列的前n项和(一)

2. 3.3 等比数列的前n项和(一)【学习目标】1•掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路2会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.西问题导学----------------------------- 知识点一等比数列的前n项和公式的推导思考对于S64= 1 + 2+ 4 + 8+-+ 262+ 263，用2乘以等式的两边，可得2S64= 2+ 4 + 8 +…+ 262+ 263+ 264,对这两个式子作怎样的运算能解出S64?梳理设等比数列｛a n｝的首项是a i,公比是q,前n项和S n可用下面的“错位相减法”求得.2 n 1S n= a i+ a i q + a i q +…+ a i q -. ①2 n i n则qS n= a i q + a i q +…+ a i q —+ a i q . ②由①一②得，(I —q)Sn= a i —a i q .n, 一ai(i —q )当q z i 时，S n= .i —q当q= i时，由于a i= a2=…=a n,所以S n= na i.结合通项公式可得：等比数列前n项和公式S n = "a^i —q n) a i —a*qna i q = i .知识点二等比数列的前n项和公式的应用思考要求等比数列前8项的和：(I) 若已知其前三项，用哪个公式比较合适？⑵若已知a i, a9, q的值•用哪个公式比较合适?梳理一般地，使用等比数列求和公式时需注意:(1) 一定不要忽略q = 1的情况;n—一ai(1 —q \一(2) 知道首项a i、公比q和项数n,可以用；知道首尾两项1 —q(3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a i, n, q, a n, 求其余两个.题型探究类型一等比数列前n项和公式的应用命题角度1前n项和公式的直接应用例1求下列等比数列前8项的和：1 1 1(1) 2，4, 8,…；1 c(2) a1= 27, a9= 243, q<0.反思与感悟求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、=1是否成立.跟踪训练1若等比数列｛a n｝满足a2+ a4= 20, a s+ 40,则公比S n= ________ .命题角度2 通项公式、前n项和公式的综合应用例2 在等比数列｛a n｝中，S2= 30, S s= 155，求S n.a1 —a n q1, a n和q,可以用 -----1 —q公比，应特别注意q q= _________ ;前n项禾口反思与感悟⑴应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比两种情况都有可能，则要分类讨论.⑵当q= 1时，等比数列是常数列，所以S n= na i;当1时,‘ nai(1 —q )个公式.当已知a i,q与n时，用S n= 比较方便；当已知i —q比较方便.跟踪训练2 在等比数列｛a n｝中，a i = 2, &= 6,求a?和q.q= I或q z I进行判断，若等比数列的前n项和S n有两a i —a n q a i, q与a n时，用S =i —q类型二等比数列前n项和的实际应用例3某商场今年销售计算机 5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台？(结果保留到个位)I0%,反思与感悟解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%”.理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题.跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%•这个热气球上升的高度能超过125 m吗？曰当堂训练 -----------------------------1 .等比数列1, X, x2, X3,…的前n项和S n = ____________ •2 .设等比数列｛a n｝的公比q= 2,前n项和为S n,则鲁= ______________ •3. 等比数列｛a n｝的各项都是正数，若a1= 81,16,则它的前5项的和是___________ .4. 某厂去年产值为a,计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为_________ .厂"规律与有法■------------------------------- 11. 在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a i, a n, n, q, S n,其中首项a i 和公比q为基本量，且“知三求二”.2. 前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q z 1和q = 1时是不同的公式形式，不可忽略q= 1的情况.3. 一般地，如果数列｛a n｝是等差数列，｛b n｝是等比数列且公比为q,求数列｛a n b n｝的前n项和时，可采用错位相减的方法求和.问题导学知识点一知识点二n思考⑴用看甘.题型探究1i例 1 解(1)因为 a i = 2, q = 2,1 1 8⑵由a 1 = 27, a 9 =亦，可得亦=27 q •又由q<0,跟踪训练12 2n + 1— 2[a1 1 + q = 30,例2解由题意知[a1(1 + q + q 2 = 155,1可得q =— 3.答案精析思考比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64 ,即 S 64 = 641 — 2264 — 1. (2)用 S n = a i — a n q1-q 所以 S B =1 1 81[1 —(1)]255 256'27[1 ——加1 640 81所以 1a1= 5, 解得q = 5I a〔= 180, 或5q= —6.5f1 —5 ) 5从而s n = = 4(5n—1)1 —5 45)180[1- - 6 1或S )=5 n 1 080[1- 6)1 *,n € N .跟踪训练2 解由题意，得若q = 1,则S 3= 3a i = 6,符合题意. 此时，q = 1, a 3= a 1 = 2.若1，则由等比数列的前 n 项和公式，33得 S 3==亠_ = 6, 1 - q 1 - q解得q =— 2.22此时，a 3= a 1q = 2 x (— 2) = 8.综上所述，q = 1, a 3= 2 或 q =— 2, a 3= 8.例3解根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同.所以从今年起，每年的销售量组成一个等比数列｛a n ｝，其中 a 1= 5 000, q = 1 +10% = 1.1, S )= 30 000. n5 000(1 — 1.1 \于是得到 =30 000.1 — 1.1 整理，得 1.1n = 1.6.两边取对数，得nig 1.1 = lg 1.6. 用计算器算得n =器-牆~ 5(年).所以大约5年可以使总销售量达到 30 000台. 跟踪训练3解用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度, 4由题意，得 a n + 1 = 5a n ,4因此，数列｛a n ｝是首项a 1= 25,公比q = 5的等比数列. 热气球在前n 分钟内上升的总高度为11A nai (1 — q \i — q 当堂训练n , x =1,1.S 1 —x n-—,x 丰 1, u — x 4. 11a(1.15— 1)3.211125 m.S n = a i + a 2+ …+ a n =故这个热气球上升的高度不可能超过。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.3.3 等比数列的前n项和》1

“镇江好课堂”展示课导学案-----等比数列前n 项和授课人：鲁倩（省句中）课型：新授课授课时间：2015年4月3日授课地点：江苏省大港中学一、学习目标知识与技能目标：掌握用“错位相减”的方法推导等比数列前n 项和公式，掌握等比数列前n 项和的公式，并利用公式知三求一，与通项公式结合知三求二；过程与方法目标：通过等比数列的前n 项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法，通过公式的应用体会方程思想；情感、态度与价值观目标：通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。

教学重点：等比数列前n 项和公式的推导及应用教学难点：等比数列前n 项和公式的推导及应用二、教学过程[创设情境][提出问题]棋盘与麦粒的故事：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．同学们，你认为国王能够满足他的要求吗？2．2讲授新课问题1：请同学来分析一下棋盘上各个格子里的麦粒数依次为多少？如果把它看做一个数列的话，你能告诉我这是一个什么数列？如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列：23631,2,2,2,,2它的首项是1，公比是2，这个故事就给我们指出这样一个问题：国王给西萨的奖励应该就是求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总即：236312222+++++，这就是我们今天要学习的等比数列的前n 项和公式。

问题2：同学们，你能需要构造一个包含64S 新的等式，并且构造的等式与第一个等式大部分项都相同的数列？ 23636412222S =+++++①乘公比2 23636464222222S =+++++②①-②得：64196421 1.8410S =-=⨯大约7000亿吨，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺．这种求和方法称为错位相减法问题3：那我们如何推导等比数列123,,,,n a a a a （其中公比为q ）的等比数列前n 和公式？引导学生由特殊到一般，用错位相减法求和1231n n n S a a a a a -=+++++①即22111111n n n S a a q a q a q a q --=+++++①乘公比q22111111n n n n qS a q a q a q a q a q --=+++++② ①-②得：n n q a a S q 11)1(-=-，当1q =时，1n S na =，当1q ≠时，()111n n a q S q-=- 当1q ≠时，()111111111n n n n a a q q a a q a a q S q q q----===--- 等比数列的前n 项和公式：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，()111n n a q S q -=-①或11n n a a q S q-=-② 问题4：同学们，你认为运用等比数列的前n 项和公式需要注意什么？问题5：等比数列的前n 项和公式共涉及几个量？1,,,,n n a q a n S ，如何选择公式？当已知1,,a q n 时用公式①；当已知1,,n a q a 时用公式②数学运用例1：已知{}n a 是等比数列（1）已知114,2a q =-=，求1010,S a（2）已知11,243,3n a a q ===，求,n S n“知三求二问题”例2：求等比数列111,,,248的前8项和变式练习：等比数列111,,,248的前多少项和为6364？例3：在等比数列{}n a 中，263,2763==S S 求n a课堂小结：通过本节课学习，从知识层面上，同学们有什么收获？从数学思想方法上，你又有什么收获？。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.3.3 等比数列的前n项和》134

等比数列的前n项和（第1课时）教学设计玉祁高中高宏一、教材分析《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系二、学情分析学生在学习本节内容之前已经学习了等差、等比数列的概念和通项公式，等差数列的前n项和的公式，具备了一定的数学思想方法，能够就接下来的内容展开思考，而且在情感上也具备了学习新知的渴求。

但是学生对等比数列前n项和的推导方法——错位相减法比较陌生，学习思维上存在障碍。

在本节的教学中，引导学生多动脑筋，多交流，通过研讨让学生获得知识，并掌握思考问题的方法，逐渐培养他们观察，类比，分析，归纳的能力。

根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。

三、三维目标知识与技能：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题．过程与方法：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．情感与态度：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．四、教学重点和难点教学重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．教学难点：等比数列的前n项和公式的推导．五、教学方法：以学生为主题，以教师为主导，启发、研讨式教学。

高中数学 2.3.3等比数列的前n项和导学案苏教版必修5

1．在等比数列中，，则公比．
2．等比数列的公比为整数，且，则前项和为．数列的首项为，公比为，则它的前项和为____________．
5．等比数列中，，则．
6．等比数列中，
（1）已知，求和；
（2），求和；
（3）已知，求和；（4）已知，求和．
求证：成等差数列．
【学后反思】
课题:2.3.3等比数列的前n项和
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1．某厂去年的产值记为，若计划在今后五年内每年的产值比上年增长，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为．
2．求下列等比数列的各项和：
（1），，，…，（2）．
3．求和：．
【课外作业】
3．练习：在等比数列中，
（1） _____；
（2） _____；
（3） _____；
（4） _____；
（5） _____；
（6） ____；
（7） _____．
【课堂研讨】
例1、在等比数列中，，求．
例2、求数列的前项和．
例3、求等比数列，，，…的第项到第项的和．
例4、设是等比数列的前项和，，，成等差数列，
7．在等比数列中，已知，求
8．设等比数列的首项为，公比为，前项和为，其中最大的一项为，又它的前项和为，求和值．
【学后反思】
课题:2.3.3等比数列的n项和概念
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
等比数列前项和公式的推导过程，理解前项和公式的含义，并会用公式进行有关计算
【课前预习】
1．推导公式：
（1）研究的计算；

高中数学2.3.3等比数列的前n项和(2)教案苏教版必修5

2.3.3等比数列前n 项和(2) 第 18课时一、学习目标（1）能运用等比数列的有关知识解决一些与数列相关的实际应用问题；（2）理解分期付款中的有关规定，掌握分期付款中的有关计算．能运用等差、等比数列的有关知识解决一些与数列相关的实际应用问题。

二、学法指导1.对于等比数列可以用类比等差数列前n 项和的性质，得到等比数列前n 项和的性质，2．要注意等比数列与等差数列之间存在的差异性。

3．对于前n 项和S n 的公式形式，等差数列与二次函数有关，而等比数列与指数函数有关。

三、课前预习1．若某数列前n 项和公式为1(0,1,*)n n s a a a n N =-≠≠±∈ 则{}n a 是数列。

2．若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则（1）n m s +=（2）在等比数列中，若项数为2(*),s n n N s ∈=偶奇则三、课堂探究例1．水土流失是我国西部开发中最突出的生态问题．全国9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占70%．国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？例2．某人从2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元用于购房，贷款的月利率为3.375%，并按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月开始归还．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？例3：已知数列{}n a 为等差数列（公差d ≠0）, {}n a 中的部分项组成的数列1k a ，2k a ……n k a ……恰为等比数列，其中n k k k k k k ++===21321,17,5,1求的值。

例4．（选讲）在等比数列{}n a 中，已知248,60,n n s s ==3n 求s四、巩固训练（一）当堂练习(书后练习)（二）课后作业1、在等比数列{a n }中，a 3=23，S 3=29求{a n }的通项和前n 项和。

苏教版高中数学(必修5)2.3《等比数列》(等比数列的前n项和)word教案

2.3.3 等比数列的前n项和教学过程导入新课师国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？生知道一些，踊跃发言.师“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.师假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？生各持己见.动笔，列式，计算.生能列出式子：麦粒的总数为1+2+22+…+263=?师这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.课件展示：1+2+22+…+2 63=?师我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和.现在我们来思考一下这个式子的计算方法：记S=1+2+22+23+…+2 63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.课件展示：S=1+2+22+23+…+2 63,①2S=2+22+23+…+263+264,②②-①得2S-S=2 64-1.264-1这个数很大，超过了1.84×10 19，假定千粒麦子的质量为40 g，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.师国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.推进新课［合作探究］师在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q2+…+q n=？师这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.生观察、独立思考、合作交流、自主探究.师若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？生q+q2+…+q n+q n+1.生每一项就成了它后面相邻的一项.师对上面的问题的解决有什么帮助吗？师生共同探索：如果记S n =1+q+q 2+…+q n ,那么qS n =q+q 2+…+q n +q n +1.要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =1-q n .师提问学生如何处理，适时提醒学生注意q 的取值.生如果q≠1，则有qq S n--=11. 师当然，我们还要考虑一下如果q ＝1问题是什么样的结果.生如果q ＝1，那么S n =n .师上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？课件展示：a 1+a 2+a 3+…+a n =？［教师精讲］师在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.师在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.如果记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ,那么qS n =a 1q+a 2q+a 3q+…+a n q,要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a n q.师再次提醒学生注意q 的取值.如果q≠1，则有qq a a S n n --=11. 师上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1,那么qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1+a 1q n ,要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a 1q n .如果q≠1，则有qq a S n n --=1)1(1. 师上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”. 形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a 1,q,a n ,S n ,n 中a 1,q,a n ,S n 四个；后者出现的是a 1,q,S n ,n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n 项的和提供了选择的余地. 值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式.师现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q ＝1问题是什么样的结果呢？生独立思考、合作交流.生如果q ＝1，S n =na 1.师完全正确.如果q ＝1，那么S n =na n .正确吗？怎么解释？生正确.q ＝1时，等比数列的各项相等，它的前n 项的和等于它的任一项的n 倍. 师对了，这就是认清了问题的本质.师等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：［合作探究］思路一：根据等比数列的定义，我们有：q a a a a a a a a n n =====-1342312..., 再由合比定理，则得q a a a a a a a a n n =++++++++-1321432......, 即q a S a S nn n =--1, 从而就有(1-q)S n =a 1-a n q.(以下从略)思路二：由S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 得S n =a 1+a 1q+a 2q+…+a n -1q=a 1+q(a 1+a 2+…+a n -1)=a 1+q(S n -a n ),从而得(1-q)S n =a 1-a n q.(以下从略)师探究中我们们应该发现，S n -S n -1 =a n 是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n 的取值应该满足什么条件？生 n ＞1.师对的，请同学们今后多多关注这个关系式：S n -S n -1=a n ，n ＞1.师综合上面的探究过程，我们得出：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(,1,11q q q a q na S n n 或者1,1,1,11≠⎪⎩⎪⎨⎧--=q q q a a q na n［例题剖析］【例题1】求下列等比数列的前8项的和： (1)21,41,81,…； (2)a 1=27,a 9=2431,q ＜0. ［合作探究］师生共同分析：由(1)所给条件，可得211=a ，21=q ,求n ＝8时的和，直接用公式即可. 由(2)所给条件，需要从24319=a 中获取求和的条件，才能进一步求n ＝8时的和.而 a 9=a 1q 8，所以由条件可得q 8=19a a =272431⨯，再由q ＜0，可得31-=q ，将所得的值代入公式就可以了.生写出解答：(1)因为211=a ,21=q ，所以当n ＝8时，25625521)21(1[2188=--=S . (2)由a 1=27,24319=a ，可得272431198⨯==a a q ，又由q ＜0，可得31-=q ,于是当n ＝8时，811640)31(1)2724311(2718=--⨯-=S . 【例题2】某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？师根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知S n =30 000求n 的问题.生理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算.解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1=5 000,q=1+10%=1.1,S n =30 000. 于是得到300001.11)1.11(5000=--n , 整理得1.1n =1.6,两边取对数，得n lg1.1=lg1.6, 用计算器算得1.1lg 6.1lg =n ≈041.02.0≈5(年). 答：大约5年可以使总销售量达到30 000台.练习：教材第66页，练习第1、2、3题.课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列前n 项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”.2.等比数列前n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.在使用等比数列求和公式时，注意q 的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.布置作业课本第69页习题2.5 A 组第1、2、3题.板书设计。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.3.3 等比数列的前n项和》

2.3等比数列前和编制人：相林【教学目标】1掌握“错位相减〞的方法推导等比数列前项和公式；2掌握等比数列的前项和的公式，并能运用公式解决简单的实际问题；【重点与难点】重点：等比数列的前项和公式的推导及其简单应用．难点：等比数列的前项和公式的推导．突破难点手段：“抓两点，破难点〞,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜测、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导【教学过程】【问题导学】话说猪八戒自西天取经回到了高老庄，从高员外手里接下了高老庄集团，摇身变成了CEO．可好景不长，便因资金周转不灵而陷入了窘境，急需大量资金投入，于是就找孙悟空帮助悟空一口容许：“行！我第1天投资100万元，第2天投资2021元，以后每天比前一天多投资100万元，连续一个月〔30天〕，但是提出了如下条件：在这30天中，你从第一天起还给我1元钱，第二天还我2元钱，第三天还我4元钱……以后一天所还钱数都是前一天的2倍．30天后互不相欠八戒听了，心里打起了小算盘：“第一天：支出1元钱，收入100万；第二天：支出2元钱，收入2021，第三天：支出4元钱，收入300万元；……哇，发财了……〞心里越想越美……再看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“这孙猴子老是欺负我，会不会又在耍我？〞〔配上动画表情〕假设你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒分析一下，按照悟空的投资方式，30天后，八戒能吸纳多少投资？还给悟空多少钱？【合作探究】等比数列前n项和公式的推导：一般地，设等比数列的前n项和是，试用例1：求等比数列中，〔1〕；，，求；〔2〕；，，，求．例2：在等比数列中，，，求；例3：求数列的前项和．【课堂检测】【归纳总结】等比数列的前项和公式的推导及其简单应用．。

苏教版高中数学必修五《等比数列的前n项和(第2课时)》教案

等比数列的前n项和（第2课时）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前项求和公式解决相关问题；
2.提高学生分析、解决问题能能力，理解这种数列的模型应用。
二、过程与方法
通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想。
三、情感、态度与价值观
在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
【教学重点与难点】：
重点：用等比数列的通项公式和前项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
难点：将实际问题转化为数学问题（数学建模）。
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1．等比数列的定义： = （，）。
2．等比数列的通项公式：。
3．性质：① 成等比数列 G =ab（），
②在等比数列中，若，则。
4．等比数列的前项和公式：当时， ①，或 ②；
当时，。
当已知 , , 时用公式①；当已知 , , 时，用公式②。
5．，。
6．是等比数列的前项和，
①当且为偶数时，不是等比数列；
②当或为奇数时，仍成等比数列。
，
则（万亩）。
答：从年起到年底，西部地区退耕还林的面积共有万亩。
思考：到哪一年底，西部地区基本解决退耕还林问题？
例4某人从年初向银行申请个人住房公积金贷款万元用于购房，贷款的月利率为，并按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月开始归还。如果年还清，那么每月应还贷多少元？
说明：对于分期付款，银行有如下的规定：（1）分期付款按复利计息，每期所付款额相同，且在期末付款；（2）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利和等于商品售价的本利和。

高中数学 2.3.3 等比数列的前n项和(2)教案苏教版必修5

2.3.3 等比数列的前n 项和（2）教学目标：1．掌握等比数列前n 项和公式．2．综合运用等比数列的定义、通项公式、性质、前n 项和公式解决相关的问题．教学重点：进一步熟悉掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式的理解、推导及应用．教学难点：灵活应用相关知识解决有关问题．教学方法：采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法．教学过程一、复习引入：1．等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n 2．数学思想方法：错位相减，分类讨论．二、学生活动求和：2311n a a a a-++++⋯+．三、建构教学1．等比数列通项a n 与前n 项和S n 的关系？{a n }是等比数列B Aq S n n +=⇔其中0,1,0=+≠≠B A q A .2．S n 为等比数列的前n 项和, 0≠n S ，则232,,(k k k k k S S S S S k --∈N ﹡)是等比数列．注意：①公比q 的各种取值情况的讨论，②不要忽视等比数列的各项都不为0的前提条件．3．在等比数列中，若项数为2n (n ∈N ﹡)， S 偶与S 奇分别为偶数项和与奇数项和，则=奇偶S S ．四、数学运用1．例题讲解．例1 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若21,,++n n n S S S 成等差数列，求q 的值．例2 等差数列{a n }中a 1=1， d =2，依次抽取这个数列的第1，3，32，…，3n -1项组成数列{b n }，求数列{b n }的通项和前n 项和S n ．例3 某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)？分析：由题意可知，每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的产量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n 项和．2．练习．①若等比数列{a n }中，,13+=n n m S 则实数m ＝；②等比数列中，S 10= 10，S 20= 30，则S 30= ；③等比数列中S n = 48，S 2n = 60，则S 3n = ；④等比数列{a n }共2n 项,其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q = ．五、要点归纳与方法小结1．{a n }是等比数列B Aq S n n +=⇔其中0,1,0=+≠≠B A q A ．2．S n （0n S ≠）为等比数列的前n 项和，则232232,,(,,0n n n n n n n n n n S S S S S S S S S S ----都不为）一定是等比数列． 3．在等比数列中,若项数为2n （n ∈N ﹡），S 偶与S 奇分别为偶数项和与奇数项和,则q S S =奇偶．六、课外作业课本P62习题6，7，9，10，11，13题．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.3.3 等比数列的前n项和》24

等比数列的前n 项和
教学目标：1掌握用“错位相减法”推导等比数列前n 项和公式
2掌握等比数列前n 项和的公式，并能灵活运用公式解决相关问题。

3在探索与运用的过程中，体会数学思想方法之美。

教学重点：等比数列前n 项和公式的运用。

教学难点：用“错位相减法”推导公式。

教学过程：
一、自主学习（睿易平台推送）
1、微课“等比数列前n 项和公式的推导”
2、《等比数列前n 项和公式》导学单
二、自学检测
在等比数列{a n }中，若S n ＝189，q ＝2，a n ＝96，求a 1和n 。

三、建构数学
例1 在等比数列{a n }中， S 3＝72， S 6＝63
2，求a n 。

练：1．在等比数列{a n }中，a 1＝ - 3
2， a 7 ＝-96，求q 和S n 。

例2 求数列
， n +12n 的前n 项和。

练：2???(2+13) (4+19) (2n +13n )
思考题：
求和： 2n ×13n
四、总结收获。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.3.3 等比数列的前n项和》82

课题：等比数列的前n 项和公式【教学目标】1、知识与技能：掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题；2、过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式；3、情感、态度与价值观：从公式的探究推导过程，培养严谨的学习态度，感受合作学习的快乐．重点：使学生掌握等比数列的前n 项和公式，用等比数列的前n 项和公式解决实际问题．难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式．学法：由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，从而利用公式解决实际问题．活动一、导入建构印度国王奖励国际象棋的发明者麦粒的问题，可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和即求236312222?++++⋅⋅⋅+=．类似于等差数列，我们有必要探讨等比数列的前n 项和公式。

1问题情境：投资问题“=⋅⋅⋅+++36222212数学探究：在等比数列{}n a 中，已知首项1a 和公比q ，用1a 和q 表示n S3反思提炼：（1）推导方法（2）=n S说出等比数列的前n 项和两个公式的不同特征，如何在解题中灵活运用两个公式？活动二、理解运用例1（必修5 P56例1）在等比数列{}n a 中（1）已知a 1＝-4，21=q ，求k S ；（2）已知a 1＝1，,3,243==q a k 求k s拓展练习：1 求等比数列1，3，9，…2187的各项和为2 等比数列{}的前项和为,已知123,2,3S S S 成等差数列，则等比数列{}的公比为3公比为的等比数列，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则＝例2（必修5 P56例2）在等比数列{}n a 中，已知263S ,27S 63==，求n a拓展练习：1 在等比数列{}n a 中，已知263S ,27S 63==，求9S =2 设等比数列的前ｎ项和为12161,,4n S S S S S =48且则＝反思提炼：例题2中，69363S -S ,-S S ,S 成等比数列吗？你能给出更一般的结论：活动三、课堂反馈1求=≠+++)0...32x x x x x n （2 1等比数列{a n }中，29,2333==S a ，则公比=q3．求数列，，，813412211+++…，n n 21+的前n 项和活动四、课堂小结活动五、课外练习（一）中午作业（完成在作业本上）P61—62 2，3，4，5，8，9，10（二）晚上作业《课课练》第10课时例复习巩固1~7 应用延伸8等比数列的前n项和课堂实录情境引入：师：在前面的学习中，我们提到了印度国王奖励国际象棋的发明者麦粒的问题，第一个格子放1粒，第二个格子放2粒，第三个格子放4粒，以此类推，第64个格子应放263个麦粒，那么关于麦粒个数的问题也就是求这个以1为首相，2为公比的等比数列的前64项的和，那么如何求一个，首项和公比已知的等比数列的前n项和问题呢？这将是我们本节课要研究的内容。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.3.3 等比数列的前n项和》87

课题：等比数列的前n 项和（2）一、教材分析：本节课选自苏教2021课标版必修5第二章第五节内容，是等比数列前n 项和公式的第二节课，一方面，它是“等比数列的前n 项和”内容的延续和强化，另一方面就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和实际问题中抽象出来的一个数学模型，在现实生活中有着广泛的应用，如储蓄、分期付款等等。

运用这一公式解题过程中所蕴涵的类比、分类讨论、整体法等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

二、学情分析：学生在本节课之前已经学习了等差、等比数列的概念、通项公式和前n 项和的公式，具备了一些综合解题的方法和能力，有一定的自主探究能力，能够在独立或合作下解决一些问题。

但从学生的思维特点来看，很容易急于利用刚学的公式来解决问题，而忽略掉一些细枝末节的地方，如1q =这一特殊情况，1n n n a S S -=-中n 的取值范围，学生容易忽略出错。

三、目标分析：知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关等比数列中基本量知三求二的问题，提高分析问题解决问题的能力；过程与方法：通过学生的自主探究和交流合作，使得学生的思维得到有效开发，能够充分利用基本概念分析问题解决问题，锻炼数学思维能力；情感态度和价值观：通过学生展示学习成果，让学生树立数学学习的自信心，同时利用生活中住房贷款的实际案例，激发学生学习数学的热情。

四、教学重、难点教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式教学难点：灵活使用公式解决问题五、教学过程本节课采用自主导学的课堂模式，利用学生讲解和教师引导的主要方式，让学生体会独立思考和解题的快乐。

在自主探索，交流合作环节，教师巡查，观察学情，及时从中获取反馈信息给与提示，提高学生的自学能力，养成动手动脑的习惯，培养他们合作、探究、交流的意识。

在学生展示环节，对学生独到的解法提出表扬和鼓励，对其中的小错误及时辨析、指正。

在自主练习，应用拓展环节，采用学生展示和教师讲解相结合的方式，学生自主完成例题1的过程既可给学生提供自学的机会，又可节约课堂时间。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.3.3 等比数列的前n项和》17

数列求和习题课一、内容与解析一〕内容：数列求和〔二〕解析：本节课要学的内容数列的求和，指的是由给出数列的前几项或者递推公式或者和的递推公式求其前n项的和学生已经学习了等差、等比数列及特定数列的通项公式的求法,本节课的内容就是在此根底上的开展由于它在本章中属于综合性比拟强的知识，能够表达学生的观察、归纳等能力,所以在本学科有重要的地位,是本学科的重要内容教学的重点是掌握特定类型数列的求和,解决重点的关键是归纳出每种特定类型数列的特点，对方法进行归纳。

二、教学目标及解析教学目标:掌握某些特定类型数列前n项和的求法。

解析:就是要掌握公式法、并项求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等方法。

三、问题诊断分析在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是什么时候用什么方法。

产生这一问题的原因是对条件分析不清要解决这一问题,就是要带着学生进行归纳。

四、教学过程求数列的前n项和Sn根本方法：1直接由等差、等比数列的求和公式求和，等比数列求和时注意分q=1、q≠1的讨论；2拆项分解求和法：把数列的每一项分成几项，使转化为几个等差、等比数列，再求和；3裂项相消法：把数列的通项拆成几项之差,使在求和时能出现隔项相消正负相消,剩下〔首尾〕假设干项求和如:4错位相减法：假设一个数列具备有如下特征:它的各项恰好是由某个等差数列与某个等比数列之对应项相乘所构成的,其求和那么用错位相减法此法即为等比数列求和公式的推导方法。

如果是等差数列,是等比数列,那么求数列的前n项和,可用错位相减法复习引入:1、等比数列{a n}的公比q＝错误!，a8＝1，那么S8＝________2、设{a n}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，那么{a n}的前n项和S n＝________3、等差数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1，其前n项的和为S n，那么数列错误!的前10项的和为________．设计意图：让学生回忆旧知，由此导入新课。

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2012高一数学 2.3.3等比数列的前n 项和（2）学案
学习目标：
1．掌握等比数列前n 项和公式
2．综合运用等比数列的定义、通项公式、性质、前n 项和公式解决相关的问题．
学习重点：
进一步熟悉掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式的理解、推导及应用．
学习难点：
灵活应用相关知识解决有关问题．
学习过程
一、复习引入：
1．等比数列求和公式：⎪⎩
⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n 2．数学思想方法：错位相减，分类讨论．
二、学生活动
求和：2311n a a a a -++++⋯+．
三、建构教学
1．等比数列通项a n 与前n 项和S n 的关系？
{a n }是等比数列B Aq S n n +=⇔其中0,1,0=+≠≠B A q A .
2．S n 为等比数列的前n 项和, 0≠n S ，则232,,(k k k k k S S S S S k --∈N ﹡
)是等比数列．注意：①公比q 的各种取值情况的讨论，
②不要忽视等比数列的各项都不为0的前提条件．
3．在等比数列中，若项数为2n (n ∈N ﹡
)，S 偶与S 奇分别为偶数项和与奇数项和，则
=奇偶
S S ．
四、数学运用
例1 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若21,,++n n n S S S 成等差数列，求q 的值．
例2 等差数列{a n }中a 1=1，d =2，依次抽取这个数列的第1，3，32，…，3n -1项组成数列{b n }，求数列{b n }的通项和前n 项和S n ．
例3 某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)？
分析：由题意可知，每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的产量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n 项和．
2．练习．
①若等比数列{a n }中，,13+=n n m S 则实数m ＝；
②等比数列中，S 10= 10，S 20= 30，则S 30= ；
③等比数列中S n = 48，S 2n = 60，则S 3n = ；高&考%资(源#网 wxc
④等比数列{a n }共2n 项,其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q = ．
五、要点归纳与方法小结
1．{a n }是等比数列B Aq S n n +=⇔其中0,1,0=+≠≠B A q A ．
2．S n （0n S ≠）为等比数列的前n 项和，则
232232,,(,,0n n n n n n n n n n S S S S S S S S S S ----都不为）
一定是等比数列． 3．在等比数列中,若项数为2n （n ∈N ﹡），S 偶与S 奇分别为偶数项和与奇数项和,则
q S S =奇偶．
六、课外作业
课本P 555习题3～8题．。