全国百强校北京四中 人教B版必修五 第一章 解三角形 教学建议稿

解三角形（北京四中）一．新课标内容 【课时安排】（8课时）建议：正弦定理（2课时）、余弦定理（2课时）、综合应用（3课时）、探究活动（1课时） 【内容标准】（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

【教学提示】解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定理在探索三角形边角关系中的作用，引导学生认识它们是解决测量问题的一种方法，不必在恒等变形上进行过于繁琐的训练二．教学建议1．注重过程教学中不要急于导出两个定理，从而陷入做题之中，还是要注重知识形成的过程，要知其然，也要知其所以然，在过程中得到对方法的掌握。

我们在初中学过解直角三角形的有关知识：在直角三角形中，除直角外共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，就是解直角三角形．我们还是以直角三角形入手看看其中的规律可否扩展到任意三角形（特殊到一般，猜想与证明）？如图：ABC Rt ∆中，角A 、B 、C 的对应边为a 、b 、c ， 则有：c a A =sin ，c b B =sin ，ccC ==1sin ， （222sin sin sin A B C +=，这个规律显然不能推广到斜三角形）即：A a c sin =，B b c sin =，C C c sin =，由此得到：C cB b A a sin sin sin ==。

斜三角形中上式是否成立呢？下面我们有不同的方法来验证一下。

ＡＢＣa bc┐为原点，以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，经过B、C作、//CD AB，则(cos,sin)A cB c B，(0,0)B，(,0)C a，(cos(),sin())D b C b C--。

则(cos,sin)BA c B c B=，(cos,sin)BD b C b C=-ABDC是平行四边形，∴BA BD BC+=，∴cos cossin sin0c B b C ac B b C+=⎧⎨-=⎩⇒sin sinc B b C=，即：sin sinb cB C=。

同理可得：sin sina bA B=，∴CcBbAasinsinsin==。

向量法：三角形ABC（锐角三角形举例）中，过C作与向量CB垂直的单位向量i，i与CA的夹角为C-90，i与BA的夹角为B-90。

根据向量加法的三角形法则有：CB BA CA+=，两边同取与向量i的数量积，有()i CB BA i CA⋅+=⋅，即：i CB i BA i CA⋅+⋅=⋅，则有：||||cos90||||cos(90)||||cos(90)i CB i BA B i CA C+-=-，即：CbBc sinsin=，即：CcBbsinsin=，同理可得BbAasinsin=，几何法：三角形ABC（锐角三角形举例）中，经过A作BCAD⊥于D，则sin sinAD b C c B==，即sin sinb cB C=，同理可得sin sina bA B=。

┐ＡＢＣab cixＡＢＣab cＤ┐三角形ABC （锐角三角形举例）中，经过A 作BC AD ⊥于D ，三角形的面积为S ，则：C ab AD BC S sin 2121=⋅⋅=，同理得到A bc S sin 21=，B ac S sin 21=， 得到：C cB b A a sin sin sin ==； 在这种方法中，我们可以得到另一个三角形的面积公式：我们仍然可以借助直角三角形得到正弦定理的比值，即正弦定理完整的表示为：利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： （１） 已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角； （２） 已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。

利用正弦定理一定要知道一组对边、角（比值），由此另外的情况可引出余弦定理已知：ABC ∆中，a BC =，b AC =，及角C ，求：角C 的对应边c 。

坐标法：为原点，以BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，cos ,sin )c B c B ，(0,0)B ，(,0)C a ，∵(cos ,sin )AC a c B c B =--， ∴22222||(cos )(sin )2cos AC a c B c B a c ac B =-+=+-。

即：2222cos b a c ac B =+-ＡＢＣabc┐x向量法（新教材中）：三角形ABC 中，∵=+， ∴)()(+⋅+=⋅ 222CB CB AC AC +⋅+=22||)c o s (||||2||CB C CB AC AC +-⋅+=π22c o s 2a C b ab +-= 即：C ab b ac cos 2222-+=（＊）（注意：推倒（＊）中，与的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此与的夹角应为C -π，而不是C 。

钝角三角形情况与锐角三角形相同。

对于直角三角形中2π=C 时，0cos =C ，则222b a c +=，恰好满足勾股定理。

）几何法：如图：做ABC ∆中BC 边上的高AD ，根据勾股定理有：222BD AD AB += ∵ADC Rt ∆中，222CD AC AD -=，C AC CD cos ⋅=， ∴22222222)(cos CD CB C AC AC BD CD AC AB -+-=+-= 2222)cos (cos C b a C b b -+-=C ab a b cos 222-+=即: C ab b a c cos 2222-+=。

由上述两种方法得到上式对任意三角形都成立，从而得到以下定理：余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

即：解决了已知三角形的两条边及夹角，求第三条边的问题，第二个问题：“已知三角形的三条边，求其三个角”，不难看出，由上式变形可得：ＡＢＣabc ＡＢＣabc┐222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2c a b B ca +-=，222cos 2a b c C ab+-=因此利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：（１） 已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； （２） 已知三角形的三条边，求其三个角。

2．培养能力习惯上，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形．我们也可以开放性的引导学生，需要已知几个元素才能够得到其他元素？一个元素（角、边）？两个元素（两个角、两条边、一角一边）？三个元素（三个角、三条边、两角一边、两边一角）？与初中两个三角形全等的条件是否一致？SSS ，SAS ，ASA 等等。

由此引出正弦定理、余弦定理内容及适用的范围。

例1．ABC ∆中，3a =，2b =，45B =，求：角,A C 及边c 。

解：利用正弦定理：sin sin a b A B =⇒sin sin a A B b ==，此时出现了问题，即：sin 1A =>，这样角是不存在的，则此题无解。

分析原因：如图，45B =，3a BC ==，过C 作CA BA ⊥与A ，此时2AC b ==>，即C 点到BA 的最小距离都大于2， 则满足3a =，2b =，45B =的三角形不存在。

显然：当3a =，b =45B =时，这样的三角形只有一个； 当3a =3b <<，45B =时，这样的三角形有两个； 当3a =，3b ≥，45B =时，这样的三角形又只有一个。

B例2．锐角ABC ∆中，若2B A =，则ba的取值范围是___________。

解：根据正弦定理：sin sin 22cos sin sin b B AA a A A ===，∵ABC ∆为锐角三角形，∴02022032A B A C A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩⇒64A ππ<<，∴cos 22A <<，∴ba∈。

3．强化思考要求学生多问问自己几个“为什么”，这种自问是提高能力的一种办法。

例3（2013年北京卷（理））在ABC ∆中，3a =，b =，2B A =． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求边c 的值． 解：（Ⅰ）∵3a =，b =2B A =， ∴在ABC ∆中，由正弦定理得3sin A =，∴2sin cos sin A A A =cos A =；（Ⅱ）由（Ⅰ）知cos A =，所以sin A == 又因为2B A =，所以21cos 2cos 13B A =-=，所以sin B ==.在ABC ∆中，sin sin()sin cos cos sin 9C A B A B A B =+=+=， 由正弦定理sin sin a c A C =，sin 5sin Cc a A==．4．关注联系遇到已经学过的知识，要及时的反复，加深学生的印象。

例4．已知：圆内接四边形ABCD 的边长分别为2=AB ，6=BC ，4==AD CD ，求：四边形ABCD 的面积。

38例5．已知：ABC ∆中，BAB A 22sin sin tan tan =，试判断ABC ∆的形状。

（等腰或直角三角形）例6．已知：ABC ∆中，角A 、B 、C ，对应边a 、b 、c ，求证：B c C b a cos cos +=。

（正弦、余弦、几何）三．应用与探究解三角形本身就可以看做三角函数的应用，因此，还是应该从实际应用出发，课本本身也是有台风的变化、船只的追击等等问题入手，从引出正弦定理、余弦定理的推导，最后应该回到实际问题上。

秦九韶的“三斜求积术”你听说过“三斜求积术”吗？这是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =．“三斜求积术”中的“三斜”指三角形的三条边，而且三条边从小到大分别称为“小斜”“中斜”“大斜”．秦九韶是用语言叙述的相关公式，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．事实上，利用余弦定理等内容，也可推导出“三斜求积术”，过程如下．22221sin 4S c a B =222221[cos ]4c a c a B =-，利用余弦定理222cos 2c a b ca B +-=， 则2222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，从而可知S = ABCD即：ABC ∆的面积S =（其中2a b cp ++=）．可要求学生完成测量不可达两点之间的距离，作为研究性学习的报告。