江苏省镇江市2020届高三上学期第一次调研考试(期末)数学 含答案
高三考试数学试题分类汇编三角函数 Word版含答案
江苏省市高三上学期考试数学试题分类汇编三角函数一、填空题、（南京市、盐城市届高三第一次模拟）将函数的图象向右平移（）个单位后，所得函数为偶函数，则▲ .、（南通市届高三第一次调研测）函数的最小正周期为▲．、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）届高三上学期期中）若，且，则的值为▲．、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）届高三上学期期末）若函数的最小正周期为，则的值为、（苏州市届高三上学期期中调研）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则的最小值等于▲．、（苏州市届高三上期末调研测试）若，则、（泰州市届高三第一次调研）函数的最小正周期为＿＿＿、（无锡市届高三上学期期末）设，则在上的单调递增区间为.、（盐城市届高三上学期期中）在中，已知，则此三角形的最大内角的大小为▲．、（扬州市届高三上学期期中）。
、（扬州市届高三上学期期末）已知，则▲．、（镇江市届高三上学期期末）将函数的图象向左平移个单位后，所得函数图象关于轴对称，则．二、解答题、（南京市、盐城市届高三第一次模拟）在中，,,分别为内角,,的对边，且．（）求角；（）若，求的值.、（南通市届高三第一次调研测）如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边作锐角，其终边与单位圆交于点．以为始边作锐角，其终边与单位圆交于点，．（）求的值；（）若点的横坐标为，求点的坐标．、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）届高三上学期期中）在中，已知角，，所对的边分别为，，，且，．（）求角的大小；（）若，求的长．、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）届高三上学期期末）在中，角的对边分别为．已知．（）求角的值；（）若，求的值．。
2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题含答案及评分标准
理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。
江苏省镇江市第一中学2022届高三上学期期初考试数学试卷(解析版)
镇江一中高三数学期初测试卷一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意． 1．已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈N }，集合B ＝{x |x 2＋x －6＝0}，则A ∩B ＝( )A ．{2}B ．{－3，2}C ．{－3，1}D ．{－3，0，1，2} 【答案】A【考点】集合的运算【解析】由题意可知，A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{－3，2}，所以A ∩B ＝{2}，故答案选A ．2．已知α∈R ，则“sin α＝33”是“cos2α＝13”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【考点】三角恒等变换、条件的判断【解析】由题意可知，cos2α＝2－2sin 2α＝13，解得sin α＝±33，所以“sin α＝33”是“cos2α＝13”的充分不必要条件，故答案选A ．3．已知直线y ＝x ＋b 是曲线y ＝f (x )＝ln x 的切线，则b 的值等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 【答案】A【考点】函数的切线方程、导数的几何意义【解析】由题意可设切点为(m ，n )，且f′(x )＝1x ，则直线的斜率k ＝1m ＝1，解得m ＝1，所以切点为(1，0)，所以b ＝－1，故答案选A ．4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”你的计算结果是A ．80里B ．86里C ．90里D ．96里 【答案】D【考点】新情景下的文化题：数列的求和【解析】由题意可知，此人每天走的步数构成了以12为公比的等比数列，则378＝a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1261－12，解得a 1＝192，所以此人第二天走了192×12＝96里，故答案选D ．5．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弧的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB 等于6米，其弧田弧所在圆为圆O ，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米，则cos ∠AOB ＝A ．125B ．325C ．15D ．725【答案】D【考点】新情景问题下的文化题：三角函数公式计算【解析】如图所示，设矢为x ，代入弧田面积公式得72＝12(6x ＋x 2)，解得x ＝1或x ＝－7(舍去)，设圆的半径为R ，那么根据弦心距、半径和半个弦长得到关系式为R 2＝(R －1)2＋32，解得R ＝5，所以cos ∠AOB ＝52＋52－622×5×5＝725 (或cos ∠AOD ＝OD R ＝5－15＝45，cos ∠AOB ＝2cos 2∠AOD －1＝3225－1＝725，故答案选D ．6．如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1的中点，过BE 的平面α与直线A 1F 平行，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )A ． 5B ．2 5C ．4D ．5 【答案】B【考点】立体几何的截面面积求解【解析】在棱长为2的正方体1，ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1的中点，因为过BE 的平面α与直线A 1F 平行，且CE ∥A 1F ，所以平面α为平面BEC ，取DD 1的中点F ，连结CF ，EF ，则CF ∥BE ，所以平面α截该正方体所得截面为矩形BCFE ，因为BC ＝2，CF ＝22＋12＝5，BC ⊥CF ，所以平面α截该正方体所得截面的面积为S 矩形BCFE ＝2×5＝25．故答案选B ．7．设随机变量X ~B (n ，p )，若二项式(x ＋p )n ＝a 0＋12x ＋32x 2＋…＋a n x n ，则( )A ．E (X )＝3，D (X )＝2B ．E (X )＝4，D (X )＝2C ．E (X )＝3，D (X )＝1 D ．E (X )＝2，D (X )＝1 【答案】D【考点】二项分布、二项式定理展开式综合应用 【解析】由题意可知，(x ＋p )n ＝p n ＋C 1n pn －1x ＋C 2n p n －2x 2＋C 3n p n －3x 3＋…＋C n n x n ，又(x ＋p )n＝a 0＋12x ＋32x 2＋…＋a n x n，所以⎩⎨⎧np n －1＝12 n (n －1)2pn －2＝32①，若选项A 成立，则⎩⎨⎧np ＝3np (1－p )＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝9p ＝13，代入①验证不成立，故选项A 错误；若选项B 成立，则⎩⎨⎧np ＝4np (1－p )＝2解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝8p ＝12，代入①验证不成立，故选项B 错误；若选项C 成立，则⎩⎨⎧np ＝3np (1－p )＝1，解得⎩⎨⎧n ＝92p ＝23，代入①验证不成立，故选项C 错误；若选项D 成立，则⎩⎨⎧np ＝2np (1－p )＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝4p ＝12，代入①验证成立，故选项D 正确；综上，答案选D ．8．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、……，上面一粒珠(简称上珠)代表5，下面一粒珠(简称下珠)是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠(上珠只能往下拨且每位至多拨1粒上珠，下珠只能往上拨)，则算盘表示的整数能够被3整除的概率是( )A ．38B ．58C ．29D ．12【答案】D【考点】新情景问题下的概率计算问题【解析】由题意，从个位、十位、百位和干位这四组中随机拨动2粒珠，得到的整数有24个，分别为：11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550，1001，1005，5001，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，其中算盘表示的整数能够被3整除包含的整数有12个，分别为：15，51，105，501，150，510，1005，5001，1050，5010，1500，5100则算盘表示的整数能够被3整除的概率为P ＝1224＝12，故答案选D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分图像如图所示，其图像最高 点和最低点的横坐标分别为π12和7π12，图像在y 轴上的截距为3．给出下列命题正确的是 A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )的最大值为2 C ．f (π4)＝1 D ．f (x －π6)为偶函数【答案】BC【考点】三角函数的图象与性质综合应用【解析】由题图，得函数f (x )的最小正周期T ＝2×(7π12－π12)＝π，所以选项A 错误；因为ω＝2πT ＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又f (π12)＝A sin(2×π12＋φ)＝A sin(π6＋φ)＝A ，所以sin(π6＋φ)＝1，由0＜φ＜π，得φ＝π3，即f (x )＝A sin(2x ＋π3)，f (0)＝A sin π3＝3，所以A ＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋π3)，所以函数f (x )的最大值为2，所以选项B 正确；又f (π4)＝2sin(2×π4×π3)＝2cos π3＝1，所以选项C 正确；又f (x －π6)＝2sin[2(x －π6＋π3]＝2sin2x 为奇函数，所以选项D 错误；综上，答案选BC ．10．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ，截面BDE 与直线PC 平行，与P A 交于点E ，则下列判断正确的是( )A ．E 为P A 的中点B ．PB 与CD 所成的角为π3C ．平面BDE ⊥平面P ACD ．点P 与点A 到平面BDE 的距离相等【答案】ACD【考点】立体几何的位置关系判断、线线角的求解、线到面的距离问题等【解析】由题意，对于选项A ，连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，如图所示，∵PC ∥平面BDE ，PC ⊂平面APC ，且平面APC ∩平面BDE ＝EM ，∴PC ∥EM ，又∵四边形ABCD 是正方形，∴M 为AC 的中点．∴E 为P A 的中点，故选项A 正确；对于选项B ，∵AB ∥CD ，∴∠PBA 为PB 与CD 所成的平面角，∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AB ，在Rt △P AB 中，P A ＝AB ，∴∠PBA ＝π4，故选项B 错误；对于选项C ，∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BD ，又AC ⊥BD ，AC ∩P A ＝A ，AC ，P A ⊂平面P AC ，∴BD ⊥平面P AC ，又BD ⊂平面BDE ，故选项C 正确；对于选项D ，因为P A ∩C 平面BDE ＝E ，且E 为线段P A 的中点，所以点P 与点A 到平面BDE 的距离相等，所以选项D 正确；综上，答案选ACD ．11．已知由样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，3，…，8)组成的一个样本，得到回归直线方程为ŷ＝2x －0.4，且―x ＝2，去除两个歧义点(－2，7)和(2，－7)后，得到新的回归直线的斜率为3．则下列说法正确的是( )A ．相关变量x ，y 具有正相关关系B ．去除歧义点后的回归直线方程为ŷ＝3x －3.2C ．去除歧义点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变小D ．去除歧义点后，样本(4，8.9)的残差为0.1(附：残差︿e i ＝y i －︿y i ) 【答案】ABD【考点】线性回归分析的应用【解析】由回归方程的斜率知变量x ，y 具有正相关关系，故选项A 正确；由―x ＝2代入ŷ＝2x －0.4，得―y ＝3.6，所以去除两个歧义点(－2，7)和(2，－7)后，得到新的x ＝2×86＝83，―y ＝3.6×86＝4.8，因为得到新的回归直线的斜率为3，所以由―y －3―x ＝4.8－3×83＝－3.2，所以去除歧义点后的回归直线方程为ŷ＝3x －3.2，故选项B 正确；由于斜率为3＞1，故相关变量x ，y 具有正相关关系且去除歧义点后，由样本估计总体的y 值增加的速度变大，故选项C 错误；由︿y i ＝3x i －3.2＝3×4－3.2＝8.8得︿e i ＝y i －︿y i ＝8.9－8.8＝0.1，故选项D 正确； 综上，答案选ABD ． 12．已知函数f (x )＝3|sin x |＋4|cos x |，则( )A ．－π是函数f (x )的一个周期B ．直线x ＝k π2(k ∈Z )为函数f (x )的对称轴方程C ．函数f (x )的最大值5D ．f (x )＝4在[0，π]有三个解 【答案】ABC【考点】函数的性质综合应用【解析】由题意，因为x ∈R ，f (－π＋x )＝3|sin(－π＋x )|＋4|cos(－π＋x )|＝3|sin x |＋4|cos x |＝f (x )，所以－π是f (x )的一个周期，故选项A 正确；因为f (－x )＝3|sin(－x )|＋4|cos(－x )|＝3|sin x |＋4|cos x |＝f (x )，所以f (x )是偶函数，因为f (x )的周期为－π，所以π也是f (x )的一个周期，因为f (k π－x )＝3|sin x |＋4|cos x |＝f (x )，k ∈Z ，所以直线x ＝k π2(k ∈Z )为函数f (x )的对称轴方程，故选项B 正确；因为π是f (x )的一个周期，不妨取[0，π]，因为当0≤x ≤π2时，f (x )＝3|sin x |＋4|cos x |＝3sin x ＋4cos x ＝5sin(x ＋φ)≤5，其中⎩⎨⎧sin φ＝45cos φ＝35(φ为锐角)，当π2＜x ≤π时，f (x )＝3|sin x |＋4|cos x |＝3sin x －4cos x ＝5sin(x －φ)≤5，其中⎩⎨⎧sin φ＝45cos φ＝35(φ为锐角)，所以f (x )的最大值5，故选项C正确：因为f (0)＝3|sin0|＋4|cos0|＝4，f (π2)＝3|sin π2|＋4|cos π2|＝3，f (π)＝3|sinπ|＋4|cosπ|＝4，由图知，f (x )＝4在[0，π]上有四个解，故选项D 错误；综上，答案选ABC ． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为 ． 【答案】(0，6]【考点】函数的定义域求解、对数不等式的求解【解析】由题意可知，1－2log 6x ≥0，即log 6x ≤12＝log 66，则有对数函数的单调性可得，0＜x ≤6，所以函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为(0，6]．14．函数f (x )＝x ＋2cos x 在(0，2π)上的单调递减区间为 ．【答案】(π6，5π6)【考点】函数的单调性、单调区间应用【解析】由题意，f′(x )＝1－2sin x ，令f′(x )＜0，可解得sin x ＞12，又因为x ∈(0，2π)，所以解得x ∈(π6，5π6)，所以函数f (x )的单调递减区间为(π6，5π6)．15．在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝2，M 是BC 的中点，AM ＝23，则AC ＝ ， cos ∠MAC ＝ ．【答案】213；23913【考点】双空题：解三角形中正余弦定理的应用【解析】由题意，因为∠B ＝60°，所以cos ∠B ＝12，因为AB ＝2，AM ＝23，在△ABM 中，由余弦定理可得：AB 2＋BM 2－AM 22AB ·BM ＝12，解得BM ＝4，因为M 是BC 的中点，所以BC ＝2BM＝8，在△ABC 中，由余弦定理可得：AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝12，解得AC ＝213，所以cos ∠MAC＝AM 2＋AC 2－CM 22AM ·AC ＝(23)2＋(213)2－422×23×213＝239．16．下列四个命题：①若a ＞b ＞0，a ＞m ＞0，则b －m a －m ＜b a ＜b ＋m a ＋m ；②函数f (x )＝x ＋4x ＋1的最小值是3；③己知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为26－3． 其中所有正确命题的序号是 ． 【答案】①③【考点】不等关系的判断、基本不等式的应用【解析】由题意，对于①，a ＞b ＞0，a ＞m ＞0，∴a －b ＞0，a ＋m ＞0，a －m ＞0，∴(a －b )m ＞0，∴(a －b )m ＝a (b ＋m )－b (a ＋m )＞0，(a －b )m ＝b (a －m )－a (b －m )＞0，∴a (b ＋m )＞b (a ＋m )同除a (a ＋m )得，∴b ＋m a ＋m ＞b a．所以b (a －m )＞a (b －m )同除a (a －m )得，b a ＞b －ma －m ，综上得b －m a －m ＜b a ＜b ＋m a ＋m ，故①正确；对于②，f (x )＝x ＋4x ＋1，则f (－2)＝－2＋4－2＋1＝－6，故②错误；对于③，正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝x ＋4－2x x ＋1＝x ＋6x ＋1－2＝x ＋1＋6x ＋1－3≥2(x ＋1)×6x ＋1－3＝26－3，当且仅当x ＋1＝6x ＋1即x ＝6－1取等号，故③正确；故答案为①③．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1，2＋i ，－1＋2i ． (1)求向量→AB ，→AC ，→BC 对应的复数；(2)若ABCD 为平行四边形，求D 点对应的复数． 【答案】(1)1＋i ，－2＋2i ，－3＋i ；(2)－2＋i 【考点】复数的几何意义 【解析】(1)设O 为坐标原点，由复数的几何意义知：→OA ＝(1，0)，→OB ＝(2，1)，→OC ＝(－1，2)， 所以→AB ＝→OB －→OA ＝(1，1)，→AC ＝→OC －→OA ＝(－2，2)， →BC ＝→OC －→OB ＝(－3，1)，所以→AB ，→AC ，→BC 对应的复数分别为1＋i ，－2＋2i ，－3＋i ； (2)因为ABCD 为平行四边形，所以→AD ＝→BC ＝(－3，1)，→OD ＝→OA －→AD ＝(1，0)＋(－3，1)＝(－2，1)， 所以D 对应的复数为－2＋i ． 18．(12分)已知函数f (x )＝4sin(π－x )cos(x －π3)－3．(1)求f (x )的对称中心坐标；(2)若f (x )－3m ＋2≤0有解，求m 的最小值． 【答案】(1)(k π2＋π6，0)，k ∈Z ；(2)0【考点】三角函数的图象与性质、函数的有解问题 【解析】f (x )＝4sin(π－x )cos(x －π3)－3＝4sin x (12cos x ＋32sin x )－3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)，(1)由2x －π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，故f (x )的对称中心坐标为(k π2＋π6，0)，k ∈Z ；(2)若f (x )－3m ＋2＝2sin(2x －π3)－3m ＋2≤0有解，即3m －2≥f (x )有解．故须3m －2≥f (x )min ， ∵f (x )max ＝－2，∴3m －2≥－2， 故m ≥0，∴m 的最小值为0． 19．(12分)学校趣味运动会上增加了一-项射击比赛，比赛规则如下：向A 、B 两个靶子进行射击，先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B 靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次则得5分．甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A 靶射击，命中的概率是23；向B 靶射击，命中的概率为34．假设甲同学每次射击结果相互独立．(1)求甲同学恰好命中一次的概率；(2)求甲同学获得的总分X 的分布列及数学期望． 【答案】(1)16；(2)20348．【考点】古典概型及其概率的计算、离散型随机变量的分布列与期望 【解析】(1)记“甲同学恰好命中一次”为事件C ．“甲射击命中A 靶”为事件D ，“甲第一次射击B 靶命中”为事件E ，“甲第二次射击B 靶命中”为事件F ， 由题意可知P (D )＝23，P (E )＝P (F )＝34，由于C ＝D ―E ―F ＋―DE ―F ＋―D ―EF ，所以P (C )＝P (D ―E ―F ＋―DE ―F ＋―D ―EF )＝23×14×14＋13×14×34＋13×34×14＝16(2)随机变量X 的可能取值为：0，1，2，3，5，6． P (X ＝0)＝13×14×14＝148，P (X ＝1)＝23×14×14＝124，P (X ＝2)＝13×C 12×14×34＝18，P (X ＝3)＝23×C 12×34×14＝14，P (X ＝5)＝13×34×34＝316，P (X ＝6)＝23×34×34＝38所以X 的分布列为所以E (X )＝0×148＋1×124＋2×18＋3×14＋5×316＋6×38＝20348．20．(12分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥QA ，∠PDA ＝π2，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且AD ＝PD ＝2QA ＝2． (1)求证：QB ∥平面PDC ； (2)求二面角C －PB －Q 的大小．【答案】(1)见解析；(2)5π6．【考点】立体几何的位置关系证明、二面角的求解 【解析】∵平面ADPQ ⊥平面ABCD ，平面ADPQ ∩平面ABCD ＝AD ， PD 平面ADPQ ，PD ⊥AD ，∴直线PD ⊥平面ABCD ，由题意，以点D 为原点，分别→DA ，→DC ，→DP 的方向为轴，y 轴，z 轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：D (0，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)， A (2，0，0)，Q (2，0，1)，P (0，0，2)．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ，B DCAPQ又∵∠PDA ＝π2，∴PD ⊥AD ， 而PD ∩DC ＝D ，PD ，DC ⊂平面PDC ，∴AD ⊥平面PDC ，因此→AD ＝(－2，0，0)是平面PDC 的一个法向量，又因为→QB ＝(0，2，－1)，所以→QB ·→AD ＝0，即→QB ⊥→AD ，又∵直线QB ⊄平面PDC ，∴QB ∥平面PDC ．(2)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面PBC 的法向量，∵→PB ＝(2，2，－2)，→PC ＝(0，2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·→PB ＝0n 1·→PC ＝0，即⎩⎨⎧2x 1＋2y 1－2z 1＝02y 1－2z 1＝0， 不妨设z 1＝1，可得n 1＝(0，1，1)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面PBQ 的法向量，又∵→PB ＝(2，2，－2)，→PQ ＝(2，0，－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·→PQ ＝0n 2·→PB ＝0，即⎩⎨⎧2x 2－z 2＝02x 2＋2y 2－2z 2＝0， 不妨设z 2＝2，可得n 2＝(1，1，2)，所以cos< n 1，n 2>＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝0×1＋1×1＋1×202＋12＋12 ×12＋12＋22＝32， 又二面角C －PB －Q 为钝二面角，∴二面角C －PB －Q 的大小为5π6． 21．(12分)已知(x 2＋2x)m 的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12． (1)求m 的值；(2)求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；(3)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．【答案】(3)7；(3)128；(3)114． 【考点】二项式定理展开式的应用、概率的求解【解析】(1)展开式的通项T r ＋1＝C r m ⋅2r ⋅x 2m －5r2，所以展开式中第4项的系数为C 3m ⋅23，倒数第4项的系数C m －3m 2m －3，所以C 3m ·23C m －3m ·2m －3＝12，即12m －6＝12，所以m ＝7；(2)令x ＝1可得展开式中所有项的系数和37＝2187，展开式中二项式系数和为27＝128；(3)展开式共有8项，由(1)可得，当2m －5r 2为整数，即r ＝0，2，4，6时，为有理项，共4项，所以可得有理项不相邻的概率为A 44A 45A 88＝114． 22．(12分)已知函数f (x )＝x ＋a 2x，g (x )＝－x －ln(－x )其中a ≠0． (1)若x ＝1是函数f (x )的极值点，求实数a 的值及g (x )的单调区间；(2)若对任意的x 1∈[1，2]，∃x 2∈[－3，－2]使得f (x 1)≥g (x 2)恒成立，且－2＜a ＜0，求实数a 的取值范围．【答案】(1) a ＝1或a ＝－1，递减区间为(－∞，－1)，递增区间为(－1，0)；(2)(－2，－1－12ln2]． 【考点】函数与导数：利用函数的极值点求参数、函数的单调区间求解、恒成立问题【解析】(1)因为f (x )＝x ＋a 2x，其定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝1－a 2x 2；又x ＝1是函数h (x )的极值点， 所以f ′(1)＝0，即1－a 2＝0，所以a ＝1或a ＝－1；经检验，a ＝1或a ＝－1时，x ＝1是函数f (x )的极值点，∴a ＝1或a ＝－1；因为g (x )＝－x －ln(－x )，其定义域为(－∞，0)，所以g ′(x )＝－1－1x，令g ′(x )＝0，解得x ＝－1， 则当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )＜0，即函数g (x )单调递减；当x ∈(－1，0)时，g ′(x )＞0，即函数g (x )单调递增；所以函数g (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，递增区间为(－1，0)；(2)假设存在实数a ，对任意的x 1∈[1，2]，∃x 2∈[－3，－2]都有f (x 1)≥g (x 2)成立， 等价于对任意的x 1∈[1，2]，∃x 2∈[－3，－2]，都有[f (x )]min ≥[g (x )]min ，当x ∈[－3，－2]时，g ′(x )＝－1－1x＞0，所以函数g (x )在[－3，－2]上是减函数． ∴[g (x )]min ＝g (2)＝2＋ln2，因为f ′(x )＝1－a 2x 2＝(x －a )(x ＋a )x 2，且x ∈[1，2]，－2＜a ＜0，①当－1＜a ＜0，且x ∈[1，2]时，f ′(x )＝(x －a )(x ＋a )x 2＞0， 所以f (x )＝x ＋a 2a 2在[1，2]上是增函数， ∴[f (x )]min ＝f (1)＝1＋a ，由1＋a 2≥2＋ln2，得a ≤－1＋ln2，又∵－1＜a ＜0，所以a ≤－1＋ln2不合题意．②当－2＜a ≤－1，则若1≤x ≤－a ，则f ′(x )＝(x －a )(x ＋a )x 2＜0， 若－a ≤x ≤2，则f ′(x )＝(x －a )(x ＋a )x 2＞0， 所以函数f (x )＝x ＋a 2x在[1，－a )上是减函数，在(－a ，2]上是增函数， ∴[f (x )]min ＝f (－a )＝－2a －2a ≥2＋ln2，得a ≤－1－12ln2， 所以2＜a ≤－1－12ln2． 综上，存在实数a 的取值范围为(－2，－1－12ln2]．。
人教版数学高三期末测试精选(含答案)8
【答案】C
x 0,
9．设点
P(
x,
y)
在不等式组
2x
y
0,
表示的平面区域上，则 z
x y 3 0
(x 1)2 y2 的
最小值为（ ）
A．1
B． 5 5
C． 2
D． 2 5 5
【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校 2019 届高三第五次模拟数学（文)试题
【答案】D
10．已知各项均为正数的等比数列an 单调递增，且 a1 a3 36，a1 a2 a3 26 ，
人教版数学高三期末测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c .若 ABC 的面积为
b2 c2 a2 ，则角 A =（
A． ab ac
B． c b a 0
C． cb2 ab2
D． ac a c 0
【来源】2019 年上海市格致中学高三上学期第一次检测数学试题
【答案】C
6．已知 a，b ∈ R，则 a > |b|是 a|a| > b|b|的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
则 Ð B =___________． 【来源】重庆市綦江实验中学校 2017-2018 学年高一下学期半期考试数学（理)试题.
【答案】150
23．已知等差数列an 的公差为 2，若 a1，a3 ，a4 成等比数列，则 a2 ________．
【来源】安徽省阜阳三中 2018-2019 学年高二上学期第一次调研考试数学（文)试题
期末测试卷(二)-2020-2021学年高一数学必修第一册单元提优卷(人教A版(2019))(含答案)
2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。
江苏省镇江市镇江一中2020届高三上学期期初考试数学试题 Word版含解析
江苏省镇江市镇江一中2020届高三期初考试数学试卷2019．9一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}2x x <，B ＝{﹣2，0，1，2}，则A I B ＝ ． 答案：{0，1}考点：集合的运算 解析：∵2x <， ∴22x -<< ∴A ＝{}22x x -<< ∵B ＝{﹣2，0，1，2} ∴A I B ＝{0，1}2．已知i 是虚数单位，则复数212i(2i)2i++-对应的点在第 象限． 答案：二 考点：复数 解析：∵212i (12i)(2i)(2i)44i 2i (2i)(2i)++++=-+=-+--+， ∴该复数对应点在第二象限3．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm 2）分别为：9.4，9.2，10.0，10.6，10.8，则这组样本数据的方差为 ． 答案：0.4考点：方差与标准差解析：这组样本数据的平均数为：x ＝15×(9.4＋9.2＋10＋10.6＋10.8)＝10 ∴这组样本数据的方差为：S 2＝15×[(9.4﹣10)2＋(9.2﹣10)2＋(10﹣10)2＋(10.6﹣10)2＋(10.8﹣10)2]＝0.44．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 ．答案：10考点：伪代码（算法语句）解析：模拟程序的运行过程，得：s=1，i=1，满足条件i ≤5，执行循环s=1+1=2，i=3满足条件i ≤5，执行循环s=2+3=5，i=5满足条件i ≤5，执行循环s=5+5=10，i=7此时不满足条件i ≤5，退出循环，输出s=10．故答案为：10．5．在区间[﹣1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x ﹣5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为 ． 答案：34考点：几何概型解析：∵直线y ＝kx 与圆(x ﹣5)2＋y 2＝9相交 2531k k <+解得3344k -<< 则事件“直线y ＝kx 与圆(x ﹣5)2＋y 2＝9相交”发生的概率P ＝322＝34．6．已知函数ln 20()0x x f x x a x ->⎧=⎨+≤⎩，，，若(())f f e ＝2a ，则实数a ＝ ．答案：﹣1考点：分段函数，函数求值解析：2(())(1)1a f f e f a ==-=-+，求得a ＝﹣1．7．若实数x ，y ∈R ，则命题p ：69x y xy +>⎧⎨>⎩是命题q ：33x y >⎧⎨>⎩的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）答案：必要不充分条件 考点：简易逻辑，充要条件解析：本题p 推不出q ，但q ⇒p ，所以p 是q 的必要不充分条件．8．已知函数1(12)31()21x a x a x f x x --+<⎧=⎨≥⎩，，的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ．答案：[0，12) 考点：函数的值域解析：要使原函数值域为R ，则1201231a a a ->⎧⎨-+≥⎩，解得0≤a ＜12．9．若a ＝21.4，b ＝80.2，c ＝2log 41()2-，则a ，b ，c 的大小关系是 （用“＞”连接）．答案：c ＞a ＞b考点：指数函数解析：a ＝21.4，b ＝80.2＝20.6，c ＝2log 41()2-＝24，因为4＞1.4＞0.6，所以c ＞a ＞b ．10．已知函数()f x 是定义在[2﹣a ，3]上的偶函数，在[0，3]上单调递减，且2()5a f m --＞2(22)f m m -+-，则实数m 的取值范围是 ．答案：1122m ≤<考点：单调性与奇偶性相结合解析：由函数()f x 是定义在[2﹣a ，3]上的偶函数，得2﹣a ＋3＝0，所以a ＝5． 所以2()5a f m --＞2(22)f m m -+-，即2(1)f m --＞2(22)f m m -+- 由偶函数()f x 在[﹣3，0]上单调递增，而21m --＜0，222m m -+-＜0∴22223103220122m m m m m m ⎧-≤--≤⎪-≤-+-≤⎨⎪-->-+-⎩，解得1122m ≤<．11．已知P 是曲线211ln 42y x x =-上的动点，Q 是直线324y x =-上的动点，则PQ 的最小值为 ． 答案：62ln 25- 考点：导数与切线 解析：当曲线211ln 42y x x =-在点P 处的切线的斜率为34，且PQ ⊥直线324y x =-时，PQ 最小，由21324x y x -'==，解得x ＝2（负值已舍），此时切点P(2，1﹣ln 22)，求得点P 到直线324y x =-的距离为62ln 25-，所以PQ 的最小值为62ln 25-． 12．若正实数m ，n ，满足226m n m n+++=，则mn 的取值范围为 ．答案：[1，4]考点：基本不等式解析：设mn ＝t ，则222(2)62t t t m t m t++++=≥，解得1≤t ≤4，其中当m ＝n t 时取“＝”．13．若关于x 的方程222(1)1+40x x x ax ---=恰有4个不同的正根，则实数a 的取值范围是 ．答案：(0，132) 考点：函数与方程解析：思路一：原方程可转化为223211452301x x x a x x x-⎧-≥⎪⎪=⎨-⎪-<<⎪⎩, , 恰有4个不同的正根，根据数形结合画图后即可求得0＜a ＜132． 思路二：原方程可转化为2112()40x x a x x---+=恰有4个不同的正根，从而转化为方程2240t t a -+=在(0，1)有两个不等的根，则有132040140a a a ->⎧⎪>⎨⎪+>⎩，解得0＜a ＜132． 14．设()f x '和()g x '分别是()f x 和()g x 的导函数，若()f x '·()g x '＜0在区间I 上恒成立，则称()f x 和()g x 在区间I 上单调性相反．若函数31()2(0)3f x x ax a =->与()g x =2x 2bx +在区间(a ，b )上单调性相反，则b ﹣a 的最大值为 ．答案：12考点：利用导数研究函数的性质，不等式 解析：∵31()2(0)3f x x ax a =->，()g x =2x 2bx +， ∴2()2f x x a '=-，()22g x x b '=+；由题意得()f x '·()g x '＜0在(a ，b )上恒成立，∵a ＞0，∴b ＞a ＞0，∴22x b +＞0恒成立，∴22x a -≤0恒成立，即2a -x2a 0＜a ＜x ＜b ，∴b 2a 0＜a 2a 0＜a ≤2；则b ﹣a2a a ＝221(22a -+，当a ＝12取最大值12． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）己知集合A ＝{}2320x x x -+≤，集合B 为函数22y x x a =-+的值域，集合C ＝{x }240x ax --≤．命题p ：A I B ≠∅，命题q ：A ⊆C ．（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p 且q 为真命题，求实数a 的取值范围． 15．16．（本小题满分14分）已知函数2()(0)1xf x x x =>+． （1）求证：函数()f x 在(0，+∞)上为增函数； （2）设2()log ()g x f x =，求函数()g x 的值域；（3）若奇函数()h x 满足x ＞0时()()h x f x =，当x ∈[2，3]时，(log )a h x -的最小值为43-，求实数a 的值． 16．（3）实数a 3327． 17．（本小题满分14分）已知函数1()212xx f x =+-． （1）解关于x 的不等式()(2)f x f x ≥；（2）若对任意x ∈R ，不等式[()1](2)12k f x f x +<+恒成立，求实数k 的取值范围． 17．解：（1）∵()(2)f x f x ≥∴2211212122xxx x+-≥+- 化简得：211(2)(2)2022x xx x +-+-≤即11(22)(21)022x xx x +-++≤∵1212xx ++＞0∴1222xx +-＜0即2(21)0x -≤，又2(21)0x -≥，∴2(21)0x -=，∴x ＝0 ∴不等式()(2)f x f x ≥的解集为{1}． （2）要使不等式[()1](2)12k f x f x +<+恒成立，则222112112(2)922112222x xx x x x x xk +-+++<=++恒成立， 令122xx t =+，t ≥2，则min 9()6k t t<+=（当且仅当t ＝3时取“＝”）∴实数k 的取值范围是k ＜6．18．（本小题满分16分）设函数()(1)()f x x x x a =--(a ∈R)，()f x 的取得极值时两个对应点为A(α，()f α)，B(β，()f β)，线段AB 的中点为M ．（1）如果函数()f x 为奇函数，求实数a 的值，并求此时()f α·()f β的值； （2）如果M 点在第四象限，求实数a 的取值范围． 18．（1）所以3()f x x x =-，则2()31f x x '=-，令()0f x '=求得3α=，33β=- ∴()f α·3333334()[()][()]333327f β=--+=-． （2）19．（本小题满分16分）下图1是一座斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图2所示的数学模型．索塔AB ，CD 与桥面AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60 m ，桥面AC 上一点P 到索塔AB ，CD 距离之比为21：4，且点P 对两塔顶的视角为135°．（1）求两索塔之间桥面AC 的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a ），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b ）．问：两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．19．20．（本小题满分16分）已知函数()xf x e =，()g x ax b =+，a ，b ∈R ．（1）若(1)0g -=，且函数()g x 的图象是函数()f x 图象的一条切线，求实数a 的值； （2）若不等式2()f x x m >+对任意x ∈(0，+∞)恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若对任意实数a ，函数()()()F x f x g x =-在(0，+∞)上总有零点，求实数b 的取值范围． 20．。
高考数学《立体几何》练习题及答案
立体几何1．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．2B ．1C ．D ．【答案】B2．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】D 【解析】3．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在棱1BB 上，动点F 在线段11A C 上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O AEF -的体积 A ．与,x y 都有关 B ．与,x y 都无关 C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关【答案】B4．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]5．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学] 一个圆锥SC的高和底面直径相等，且这个圆锥SC和圆柱OM的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC和圆柱OM的侧面积的比值为A．322B．23C．35D．45【答案】C6．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题]【答案】D【解析】7．[广东省三校（广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学）2020届高三上学期第一次联考数学（理）试题] 在如图直二面角ABDC中，△ABD、△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将△ABE 沿BE 翻折到△A1BE，在△ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是A．BC与平面A1BE内某直线平行B．CD∥平面A1BEC．BC与平面A1BE内某直线垂直D．BC⊥A1B【答案】D8．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】D【解析】9．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题] 圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则该圆锥的体积为________. 【答案】33πR 10．[辽宁省本溪高级中学2020届高三一模考试数学（理）试卷]【答案】4π11．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P ∥平面1A BM ，则1C P 的最小值是________．【答案】305【解析】 【分析】由面面平行找到点P 在底面ABCD 内的轨迹为线段DN ，再找出点P 的位置，使1C P 取得最小值，即1C P 垂直DN 于点O ，最后利用勾股定理求出最小值. 【详解】取BC 中点N ，连接11,,B D B N DN ，作CO DN ⊥，连接1C O ，因为平面1B DN ∥平面1A BM ，所以动点P 在底面ABCD 内的轨迹为线段DN ，当点P 与点O 重合时，1C P 取得最小值，因为11152225DN CO DC NC CO ⋅=⋅⇒==，所以221min 11130()155C P C O CO CC ==+=+=. 故1C P 的最小值是305. 【点睛】本题考查面面平行及最值问题，求解的关键在于确定点P 的位置，再通过解三角形的知识求最值.12．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为________．21【答案】【解析】【分析】根据三视图还原几何体，设球心为O，根据外接球的性质可知，O与PAB△和正方形ABCD中心的连线分别与两个平面垂直，从而可得到四边形OGEQ 为矩形，求得OQ和PQ后，利用勾股定理可求得外接球半径.【详解】由三视图还原几何体如下图所示：设PAB△的中心为Q，正方形ABCD的中心为G，外接球球心为O，则OQ⊥平面PAB，OG⊥平面ABCD，E为AB中点，∴四边形OGEQ为矩形，112OQ GE BC ∴===，2233PQ PE ==， ∴外接球的半径：22213R GE PQ =+=. 故答案为21. 【点睛】本题考查多面体外接球半径的求解，关键是能够根据球的性质确定球心的位置，从而根据长度关系利用勾股定理求得结果. 13．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】【解析】14．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]【答案】1 315．[江苏省南通市2020届高三第一学期期末考试第一次南通名师模拟试卷数学试题]如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是平行四边形，平面ABP⊥平面BCP，90APB=，M为CP的中点．求证：∠=︒，BP BC（1）AP//平面BDM；（2）BM ACP⊥平面．【解析】（1）设AC 与BD 交于点O ，连接OM ， 因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点， 因为M 为CP 的中点，所以AP ∥OM ， 又AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ， 所以AP ∥平面BDM ．（2）平面ABP ⊥平面BCP ，交线为BP ， 因为90APB ∠=︒，故AP BP ⊥，因为AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP ， 因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥BM ． 因为BP BC =，M 为CP 的中点，所以BM CP ⊥． 因为AP CP P =I ，AP CP ⊂，平面ACP ， 所以BM ⊥平面ACP .16．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）] 如图，在四棱锥ABCDV -中，二面角D BC V --为︒60，E 为BC 的中点. （1）证明：VE BC =；（2）已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为︒60，求.VA VFABCDPMABCDPMO【解析】17．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q．（1）已知平面PAB∩平面PCD=l，求证：AB∥l．（2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值． 【解析】 【分析】（1）证明AB ∥平面PCD ，然后利用直线与平面平行的性质定理证明AB ∥l ； （2）以点A 为原点，直线AE 、AD 、AP 分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面PCD 的法向量和直线AQ 的方向向量，然后利用空间向量的数量积求解直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值即可．【详解】（1）证明：∵AB ∥CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ． ∴AB ∥平面PCD ，∵AB ⊂平面PAB ，平面PAB ∩平面PCD =l ， ∴AB ∥l ；（2）∵底面是菱形，E 为BC 的中点，且AB =2， ∴13BE AE AE BC ==⊥,,， ∴AE ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，则以点A 为原点，直线AE 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()020,002,30,300D P C E,,,,,,,,，∴()0,1,1F ，()()()()3000,11310022AE AF DC DP ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r,,,,,,,,,,，设平面PCD 的法向量为(),,x y z =n ，有0PD ⋅=u u u r n ，0CD ⋅=u u u rn ，得()133=，，n ，设()1AQ AC AP λλ=+-u u u r u u u r u u u r，则()()321AQ λλλ=-u u u r ,,，再设(3,,)AQ mAE n m n n AF =+=u u u r u u u r u u u r，则()3321m n nλλλ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩，解之得23m n λ===，∴2223333AQ ⎛⎫=⎪⎝⎭u u u r ,,， 设直线AQ 与平面PCD 所成角为α，则3105sin cos ,AQ AQ AQα⋅>=<==u u u r u u u r u u u r n n n ，∴直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值为3105． 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的向量求法，合理构建空间直角坐标系是解决本题的关键，属中档题.18．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 已知三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，D 是BC 的中点，160B BA ∠=︒，1B D AB ⊥.（1）求证：ABC △为直角三角形；（2）求二面角1C AD B --的余弦值． 【解析】（1）取AB 中点O ，连接OD ，1B O ，易知1ABB △为等边三角形，从而得到1B O AB ⊥，结合1B D AB ⊥，可根据线面垂直判定定理得到AB ⊥平面1B OD ，由线面垂直的性质知AB OD ⊥，由平行关系可知AB AC ⊥，从而证得结论；（2）以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据空间向量法可求得平面1ADC 和平面ADB 的法向量的夹角的余弦值，根据所求二面角为钝二面角可得到最终结果. 【详解】（1）取AB 中点O ，连接OD ，1B O ，在1ABB △中，1AB B B =，160B BA ∠=︒，1ABB ∴△是等边三角形， 又O 为AB 中点，1B O AB ∴⊥，又1B D AB ⊥，111B O B D B =I ，11,B O B D ⊂平面1B OD ，AB ∴⊥平面1B OD ，OD ⊂Q 平面1B OD ，AB OD ∴⊥， 又OD AC ∥，AB AC ∴⊥， ∴ABC △为直角三角形.（2）以O 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：令12AB AC AA ===，则()1,2,0C -，()1,0,0A -，()0,1,0D ，()1,0,0B ，()10,0,3B ，()11,0,3BB ∴=-u u u v ，()0,2,0AC =u u u v ，()1,1,0AD =u u u v，()1111,2,3AC AC CC AC BB =+=+=-u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v，设平面1ADC 的法向量为(),,x y z =m ，10230AD x y AC x y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=++=⎪⎩u u u v u u u u v m m ，令1x =，则1y =-，3z =，()1,1,3∴=-m ， 又平面ADB 的一个法向量为()0,0,1=n ，315cos ,5113∴<>==++m n ， Q 二面角1C AD B --为钝二面角，∴二面角1C AD B --的余弦值为15-.【点睛】本题考查立体几何中垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，涉及到线面垂直判定定理和性质定理的应用；证明立体几何中线线垂直关系的常用方法是通过证明线面垂直得到线线垂直的关系.19．[江西省宜春市上高二中2020届高三上学期第三次月考数学（理）试题]20．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]21．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题]【解析】22．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD,2AB=,1BC=，2PC PD==，E为PB中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求二面角E AC D--的余弦值；（3）在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求PMPD的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）设BD交AC于点F，连接EF. 因为底面ABCD是矩形，所以F为BD中点 . 又因为E为PB中点，所以EF∥PD.因为PD ⊄平面,ACE EF ⊂平面ACE ，所以PD ∥平面ACE.（2）取CD 的中点O ，连接PO ，FO .因为底面ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥.因为PC PD =，O CD 为中点，所以,PO CD OF ⊥∥BC ，所以OF CD ⊥. 又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面,PCD 平面PCD ∩平面ABCD =CD . 所以PO ⊥平面ABCD ，如图，建立空间直角坐标系O xyz -， 则111(1,1,0)(0,1,0)(1,1,0),(0,0,1),(,,)222A C B P E -，,， 设平面ACE 的法向量为(,,)x y z =m ，131(1,2,0),(,,)222AC AE =-=-u u u r u u u r ， 所以20,2,0,131.00222x y x y AC z y x y z AE -+=⎧⎧=⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨=--++=⋅=⎩⎩⎪⎩u u u v u u u v m m 令1y =，则2,1x z ==-，所以2,11=-（，）m .平面ACD 的法向量为(0,0,1)OP =u u u r ，则6cos ,OP OP OP⋅<>==-⋅u u u r u u u r u u u r m m |m |. 如图可知二面角E AC D --为钝角，所以二面角E AC D --的余弦值为66-. （3）在棱PD 上存在点M ，使AM BD ⊥.设([0,1]),(,,)PM M x y z PD=∈λλ，则,01,0PM PD D =-u u u u r u u u r λ（，）.因为(,,1)(0,1,1)x y z -=--λ，所以(0,,1)M --λλ. (1,1,1),(1,2,0)AM BD =---=--u u u u r u u u r λλ.因为AM BD ⊥，所以0AM BD ⋅=u u u u r u u u r .所以12(1)0λ--=，解得1=[0,1]2∈λ. 所以在棱PD 上存在点M ，使AM BD ⊥，且12PM PD =。
2020届江苏省徐州市高三上学期第一次质量抽测数学试题(解析版)
2i
【答案】
【解析】
【分析】
zabia,bR
设
，可知0，利用复数的乘法法则可得出关于实数a、的方程组，解出即可.
bb
2
zabia,bR
abiab2abi4
，
【详解】设
，由题意可知z2
2
2
4
a
2
b
2
a
0
2ab0
b0
2
z
i
则
，解得
b2，因此，
.
2i
故答案为：
求出实数a的值.
【详解】由于函数
yfx
xfx
f
是定义在R上的奇函数，则
，
1xf1x
又该函数的图象关于直线x
1对称，则
f
，
f2xf11xfxfx
f
4xfx2fx
所以，
，则
，
yfx
4
是周期为的周期函数，
所以，函数
a
2020ln2fln2fln2ee
28
a3.
，解得
所以f
ln2
ln2
a
a
3
故答案为：.
【点睛】本题考查利用函数的对称性计算函数值，解题的关键就是结合函数的奇偶性与对称轴推导出函数
ABAD
uuuruuur
ACAE
利用基底
表示向量
，结合等式
可得出cosADE
的表达式，
2
然后利用基本不等式可求出cosADE的最小值.
uuuruuuruuur
BDDEEC
【详解】由于D、是
上的两个三等分点，则
2020届江苏省镇江市统一高考数学第一轮复习学案(解析答案版)：学案4.立体几何(1)表面积与体积
立体几何复习（1）空间几何体的表面积与体积教学目标：1.掌握锥、台、柱、球体的表面积公式及表面积的求法；2.掌握锥、台、柱、球体的体积公式及体积的求法.教学重点：掌握锥体、台体、柱体、球体的表面积与体积的计算方法，能计算简单组合体的表面积与体积，以便从量的角度认识空间几何体.教学难点：锥体、台体、柱体、球体的表面积与体积公式的应用.【知识清单】 1.空间几何体的表面积球的表面积2=4S R π球，其中R 为球的半径.2.空间几何体的体积球的体积34=3V R π球，R 为球的半径. 【例题精讲】类型1：空间几何体的表面积与侧面积例1：1.若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 .【解析】根据圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，所以母线长l，在根据圆锥的侧面积公式S rl π=.2.将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm 3，则该圆柱的侧面积为 cm 2. 【答案】18【解析】设正方体棱长为a ，则正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为2327a a a πππ⨯==，3a =，圆柱侧面积22218S a a a πππ=⨯==.3.若圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，圆锥、球的表面积分别记为， ，则12S S 的值是 .【解析】设球的直径为2R ，由题意可知，2211)S R R R πππ=+=，224S R π=，所以12S S =1S 2S )h 圆台备选题1：正三棱锥中，，D、E分别是棱SA、SB上的点，为边的中点，，则三角形CDE的面积为 .【解析】根据题意在正三棱锥中，为边的中点，故可得AB SCQ⊥平面，则AB SQ⊥，又由，故//DE AB，假设DE SQ F=，又在SCQ∆中，SC CQ SQ===CF=，故112CDES∆=⨯=.备选题2：圆锥的母线长为L，过顶点的最大截面的面积为12L2，则圆锥底面半径与母线长的比rL的取值范围是 .【答案】【解析】由题意得轴截面的顶角θ不小于π2，因为sinθ2＝rL≥sinπ4＝22，所以22≤rL<1.【思想方法归纳】圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.(1)找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系.(2)注意组合体的表面积问题中重合部分的处理.类型2：空间几何体的体积例2：1.已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为215cmπ，则此圆锥的体积为3cm.S ABC-2BC=SB=Q AB SQ CDE⊥平面S ABC-Q ABSQ CDE⊥平面【答案】12π【解析】已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为215cm π，所以圆锥的底面周长26cm π，底面半径是3cm ，圆锥的高是4cm ，此圆锥的体积为194123ππ⨯⨯=3cm .2.如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3 cm ，AA 1＝1 cm ，则三棱锥D 1－A 1BD 的体积为 cm3.（例2-2）【答案】32【解析】∵在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3cm ，AA 1＝1 cm ，∴三棱锥11D A BD -的体积：1111113113313362D A BD B A D D A D D V V S AB cm --∆==⋅⋅=⨯⨯⨯=.3.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在11,AA CC 上，且134AE AA =，113CF CC =，点,A C 到BD 的距离之比为3:2，则三棱锥E BCD -和F ABD -的体积比E BCDF ABDV V --= .（例2-3）【答案】32【解析】点,A C 到BD 的距离之比为3:2，所以23BCD ABD S S ∆=∆，又直四棱柱1111ABCD A B C D -中，134AE AA =，113CF CC =，所以94AE CF =， 于是1293313423BCD E BCDF ABDABD S AEV V S CF ∆--∆⋅==⨯=⋅.备选题1：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M ，N 分别为棱A 1B 1，A 1C 1的中点，则平面BMNC 将三棱柱分成的两部分的体积比为 . 【答案】7:5【解析】设直三棱柱ABC －A 1B 1C 1高为h ，底面积为4S ，则11111B C BMNC C B MNC M B BC V V V ---=+11111111534322233A B BC B ABC h S V Sh V hS h S Sh --=⨯⨯+=+=+⨯⋅=， 所以两部分的体积比为55(4):7:533Sh Sh Sh -=.备选题2：已知一个组合体是由圆锥与圆柱组合而成，下半部分是底面半径为1，高为4的圆柱，上半部分是底面半径为2，高为2的圆锥，则该几何体的体积为 3m . 【答案】203π【解析】由于该几何体是组合体，其中下半部分是底面半径为1，高为4的圆柱，上半部分是底面半径为2，高为2的圆锥，其体积为22120142233πππ⨯⨯+⨯⨯⨯=（3m ）.备选题3：《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，若A 1A ＝AB ＝2，当阳马B －A 1ACC 1体积最大时，则堑堵ABC －A 1B 1C 1的体积为 .备选题3【答案】2【解析】由阳马的定义知，VB －A 1ACC 1＝13×A 1A ×AC ×BC ＝23AC ×BC ≤13(AC 2＋BC 2)＝13AB 2＝43，当且仅当AC ＝BC ＝2时等号成立，所以当阳马B －A 1ACC 1体积最大时，则堑堵ABC －A 1B 1C 1的体积为12×2×2×2＝2.【思想方法归纳】(1)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、等体积转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握.(3)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征.类型3：球内接几何体相关问题例3：1.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为23，则四面体AB 1CD 1的外接球的体积为 . 【答案】36π【解析】四面体AB 1CD 1的外接球即为正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的外接球，故正方体的外接球的直径为(23)2＋(23)2＋(23)2＝6，故V ＝43πR 3＝43π×(6÷2)3＝36π.2.如图，在四棱锥P －ABCD 中，△PAB 为正三角形，四边形ABCD 为正方形且边长为2，平面PAB⊥平面ABCD ，四棱锥P －ABCD 的五个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是 .(例3-2)【答案】283π 【解析】由题意球的半径满足R 2－1＋R 2－2＝3⇒R 2＝73，所以球的表面积是4πR 2＝28π3.3.已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为23，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于 . 【解析】20π【解析】由题意知三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，∠ACB ＝90°，设D ，D 1分别是AB ，A 1B 1的中点，O 是DD 1中点，可证O 就是三棱柱外接球球心，S △ABC ＝12×2×1×sin 60°＝32，V ＝S △ABC ·h ＝32×DD 1＝23，即DD 1＝4，OA ＝AD 2＋DO 2＝12＋22＝5， 所以S ＝4π×OA 2＝4π×(5)2＝20π.备选题1：已知正三棱柱111A B C ABC -的所有棱长都为3，则该棱柱外接球的表面积为 . 【答案】21π【解析】如图，外接球的球心为上下底面中心连线1M M 的中点，连结1A O ，11A M ，所以三角形11A M O 为直角三角形， 132M O =，113A M =()()221213322AO =+ 所以该棱柱外接球的表面积为(2214π21π⨯=.备选题2：已知P -ABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，则三棱锥的体积为 . 934【解析】设球的半径为R ，△ABC 的外接圆圆心为O ′，则由球的表面积为16π， 可知4πR 2＝16π，所以R ＝2.设△ABC 的边长为2a ， 因为∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，OB ＝OP ＝2，所以BO ′＝32R ＝3，OO ′＝OB 2－BO ′2＝1， PO ′＝OO ′＋OP ＝3.在△ABC 中，O ′B ＝23×32×2a ＝3， 所以a ＝32，所以三棱锥PABC 的体积为V ＝13×12×32×sin60°×3934【思想方法归纳】解决球与其他几何体的内切、外接问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径.类型4：综合应用例4：如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的中点.（1）在侧棱上找一点，使∥平面，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下求三棱锥的体积.【解析】（1）F为VC的中点，取CD的中点为H，连结BH，HF，ABCD为正方形，E为AB 的中点，//,DH DHBE BE=∴，//H DB E∴，又//VDFH，∴平面//BHF平面VDE，//BF∴平面VDE.（2）F为VC的中点，14BDE ABCDS S∆=，18E BDF F BDE V ABCDV V V---∴==，V ABCD-为正四棱锥，V∴在平面ABCD的射影为AC的中点O.5VA=AO=∴VO=2123V ABCDV-∴=⋅E BDFV-∴=【点睛】（1）为的中点，取的中点为，由三角形中位线性质得线线平行，再由线线平行证得面面平行，即得线面平行（2）因为为正四棱锥，所以可求V到底面距离，即得F到底面距离，再根据等体积法得，最后代入锥体体积公式即可.备选题1：如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.V ABCD-ABCDE ABVC F BF VDEE BDF-F VC CD HV ABCD-E BDF F BDEV V--=（1）若弧BC 的中点为D ，求证：AC ∥平面POD ； （2）如果△PAB 的面积是9，求此圆锥的表面积.【解析】（1）证明：方法一 设BC ∩OD ＝E ，∵D 是弧BC 的中点，∴E 是BC 的中点. 又∵O 是AB 的中点，∴AC ∥OE .又∵AC ⊄平面POD ，OE ⊂平面POD ，∴AC ∥平面POD .方法二 ∵AB 是底面圆的直径，∴AC ⊥BC .∵弧BC 的中点为D ，∴OD ⊥BC . 又AC ，OD 共面，∴AC ∥OD .又AC ⊄平面POD ，OD ⊂平面POD ，∴AC ∥平面POD . （2）解：设圆锥底面半径为r ，高为h ，母线长为l ， ∵圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形，∴h ＝r ，l ＝2r .由S △PAB ＝12×2r ×h ＝r 2＝9，得r ＝3，∴S 表＝πrl ＋πr 2＝πr ×2r ＋πr 2＝9(1＋2)π.备选题2：如图，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，等腰梯形ABEF 中，AB ∥EF ，AB ＝2，AD ＝AF ＝1，∠BAF ＝60°，O ，P 分别为AB ，CB 的中点，M 为底面△OBF 的重心.（1）求证：平面ADF ⊥平面CBF ； （2）求证：PM ∥平面AFC ； （3）求多面体CD －AFEB 的体积V .【解析】（1）证明：∵矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，且CB ⊥AB ，∴CB ⊥平面ABEF ， 又AF ⊂平面ABEF ，所以CB ⊥AF ，又AB ＝2，AF ＝1，∠BAF ＝60°，由余弦定理知BF ＝3，∴AF 2＋BF 2＝AB 2，得AF ⊥BF ， 又BF ∩CB ＝B ，∴AF ⊥平面CFB ，又∵AF ⊂平面ADF ，∴平面ADF ⊥平面CBF .（2）证明：连接OM 并延长交BF 于H ，则H 为BF 的中点，又P 为CB 的中点，∴PH ∥CF ，又∵CF ⊂平面AFC ，PH ⊄平面AFC ，∴PH ∥平面AFC ， 连接PO ，则PO ∥AC ，又∵AC ⊂平面AFC ，PO ⊄平面AFC ，∴PO ∥平面AFC ， 又∵PO ∩PH ＝P ，∴平面POH ∥平面AFC ， 又∵PM ⊂平面POH ，∴PM ∥平面AFC .（3）解：多面体CD －AFEB 的体积可分成三棱锥C －BEF 与四棱锥F －ABCD 的体积之和. 在等腰梯形ABEF 中，计算得EF ＝1，两底间的距离EE 1＝32. 所以V C －BEF ＝13S △BEF ×CB ＝13×12×1×32×1＝312，V F －ABCD ＝13S 矩形ABCD ×EE 1＝13×2×1×32＝33，所以V ＝V C －BEF ＋V F －ABCD ＝5312.【课堂归纳总结】1.空间几何体表面积和体积的求法几何体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积转换法、分割法、补形法等方法进行求解.2.多面体与球接、切问题的求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内接、外切的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2＝a2＋b2＋c2求解.【课后练习】1.已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为23π的扇形，则这个圆锥的高为 .【答案】【解析】由题知圆锥的底面圆周长为2323ππ⋅=，所以半径为1r=，由题意圆锥的侧面展开图是半径为3即为圆锥的母线3l=，所以圆锥的高为h.2.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 .【答案】3π【解析】由题意得：1:(2)22rl h rππ⋅=2l h⇒=⇒母线与轴的夹角为3π.3.如图，在长方体中，，，则三棱锥的体积为.【答案】3 【解析】4.在ABC ∆中，2AB =， 1.5BC =，120ABC ∠=，若使ABC ∆绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是 . 【答案】32π【解析】过A 作AD 垂直BC 于点D ，则，AD =1BD =， 2.5CD =，因此所形成的几何体的体积是213(2.51)32ππ⨯⋅⋅-=.5.已知圆柱M 的底面半径为2，高为6，圆锥N 的底面直径和母线长相等，若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 . 【答案】6【解析】设圆锥N 的底面半径为r ，则它的母线长为2r ，高为3r ，由圆柱M 与圆锥N 的体积相同，得4π×6＝13πr2×3r ，解得r ＝23，因此圆锥N 的高h ＝3r ＝6.6.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 .【解析】由体积相等得：22221145+28=4833r r r ππππ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⇒=.7.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知13AB AA ==，点P 在棱1CC 上，则三棱锥1P ABA -的体积为 .（第7题）【解析】三棱锥的底面积1193322ABA S ∆=⨯⨯=，点P 到底面的距离为ABC ∆的高h =，故三棱锥的体积13V Sh ==.8.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正四边形的中心为.为圆上的点分别是以为底边的等腰三角形.沿线剪开后，别以为折痕折起，使得重合，得到四棱锥记该四棱锥的体积，表面积分别是，当，则 .（第8题）【解析】，则四棱锥的高，所以体积，所以9.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .O 4cm ABCD O ,,,E F G H O ,,,EAB FBC GCD HDA ∆∆∆∆,,,AB BC CD DA ,,,AB BC CD DA ,,,EAB FBC GCD HDA ∆∆∆∆,,,E F G H ,V S 2AB =VS=2AB =h =13V Sh ==44316S =+⨯=V S =【答案】【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为【点睛】：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.10.设直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是40π，AB ＝AC ＝AA 1，∠BAC ＝120°，则此直三棱柱的高是 . 【答案】2 2【解析】设AB ＝AC ＝AA 1＝x ，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，则由余弦定理可得BC ＝3x . 由正弦定理，可得△ABC 外接圆的半径为r ＝x ， ∵球的表面积是40π，∴球的半径为R ＝10.设△ABC 外接圆的圆心为O ′，球心为O ，在Rt △OBO ′中，有221()102x x +=，解得x ＝22，即AA 1＝22，即此直三棱柱的高是2 2.11.如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的菱形，∠BCD ＝60°，点E 是BC 边 的中点，AC ，DE 交于点O ，PO ＝23，且PO ⊥平面ABCD . （1）求证：PD ⊥BC ；（2）在线段AP 上找一点F ，使得BF ∥平面PDE ， 并求此时四面体PDEF 的体积.【解析】（1）由题可得△BCD 为正三角形，E 为BC 中点，故DE ⊥BC . 又PO ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则PO ⊥BC ，而DE ∩PO ＝O ，,DE PO ⊂平面PDE ，所以BC ⊥平面PDE .又PD ⊂平面PDE ，故PD ⊥BC . （2）取AP 中点为F ，再取PD 中点为G ，连结FG . 则FG 为△PAD 中位线，故FG ＝∥ 12AD ， 又BE ＝∥ 12AD ，所以FG ＝∥BE ，于是四边形BFGE 为平行四边形， 因此BF ∥EG .又BF ⊄平面PDE ，EG ⊂平面PDE ，所以BF ∥平面PDE . 由（1）知，BC ⊥平面PDE .则有BC ⊥PE ，BC ⊥DE ，而BC ∥FG ，故FG ⊥PE ，FG ⊥DE ，且DE ∩PE ＝E ，所以FG ⊥平面PDE . 于是四面体PDEF 的体积为V=13S △PDE ·FG ＝13×12×23×3×1＝1.另解（等体积转化）：因为BF //面PDE ，则B ，F 两点到平面PDE 的距离相等， 所以四面体PDEF 的体积等于四面体PDEB ， 因为PO ⊥平面ABCD ，所以V P-BDE =13·PO ·S △BDE =1.12.如图，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B .（1）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （2）求棱锥E －DFC 的体积；（3）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BPBC的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）AB ∥平面DEF ，理由如下：在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 的中点，得EF ∥AB . 又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF .∴AB ∥平面DEF .（2）∵AD ⊥CD ，BD ⊥CD ，将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B ，∴AD ⊥BD ，∴AD ⊥平面BCD .取CD 的中点M ，这时EM ∥AD ，∴EM ⊥平面BCD ，EM ＝1.V E －DFC ＝13×1()2BDC S ×EM ＝13×12×12×2×23×1＝33. （3）在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE .证明如下：在线段BC 上取点P ，使BP ＝BC3，过P 作PQ ⊥CD 于Q .∵AD ⊥平面BCD ，PQ ⊂平面BCD ，∴AD ⊥PQ .又∵AD ∩CD ＝D ，∴PQ ⊥平面ACD ， ∴DQ ＝DC 3＝233，∴tan ∠DAQ ＝DQ AD ＝2332＝33，∴∠DAQ ＝30°，在等边△ADE 中，∠DAQ ＝30°，∴AQ ⊥DE ，∵PQ ⊥平面ACD ，DE ⊂平面ACD ，∴PQ ⊥DE ，AQ ∩PQ ＝Q ，∴DE ⊥平面APQ ，∴AP ⊥DE .此时BP ＝BC 3，∴BP BC ＝13.13.如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，E 1G 1的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC 1上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG 1上，求l 没入水中部分的长度.【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥.记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处.因为40AC AM ==，所以30MC ==，从而 3sin 4MAC =∠，记AM 与水面的焦点为1P ，过1P 作P 1Q 1⊥AC ， Q 1为垂足，则 P 1Q 1⊥平面 ABCD ，故P 1Q 1=12，从而 AP 1=1116sin P MACQ =∠. ( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm) （2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO 1⊥平面 EFGH ， 所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG . 同理，平面 E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1.记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处. 过G 作GK ⊥E 1G ，K 为垂足， 则GK =OO 1=32. 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1= 6214242-=，从而140GG ===.设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠. 因为2απ<<π，所以3cos 5α=-. 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=. 于是，sin sin()sin()NEG αβαβ=π--=+∠42473sin cos cos sin ()53525255αβαβ=+=⨯+-⨯=.记EN 与水面的交点为P 2，过 P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则 P 2Q 2⊥平面 EFGH ，故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠.答：（1）玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.（2）玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm)【点睛】空间几何体的考察，主要集中体积、表面积的计算和空间距离的距离，其实这些计算最后都得归结为平面中基本图形中的长度的计算，因此解三角形就是必要的工具.14.如图，圆柱体木材的横截面半径为1 dm ，从该木材中截取一段圆柱体，再加工制作成直四棱柱1111A B C D ABCD -，该四棱柱的上、下底面均为等腰梯形，分别内接于圆柱的上、下底面，下底面圆的圆心O 在梯形ABCD 内部，AB ∥CD ，DAB ∠=60°，1AA AD =，设DAO θ∠=. （1）求梯形ABCD 的面积；（2）当sin θ取何值时，四棱柱1111A B C D ABCD -的体积最大？并求出最大值. （注：木材的长度足够长）【解析】（1）由条件可得，2cos AD θ=， 所以梯形的高sin 603h AD θ==. 又2cos(60)AB θ=-，2cos(120)CD θ=-， 所以梯形ABCD 的面积为12cos(60)2cos(120)3cos 2S θθθ⎡⎤=-+-⨯⎣⎦ cos(60)cos(60)3cos θθθ⎡⎤=--+⨯⎣⎦(2sin 60sin )θθ=3sin 22θ=（2dm ）.（2）设四棱柱1111A B C D ABCD -的体积为V ，因为12cos AA AD θ==， 所以123sin 22cos 6sin (1sin )2A V S A θθθθ=⋅⨯==-.设sin t θ=，因为060θ︒<<，所以0t ⎛∈ ⎝，所以23()6(1)6()V t t t t t =-=-+，0t ⎛∈ ⎝.由2()6(31)18(V t t t t '=-+=-+-，令()0V t '=，得t ，()V t 与()V t '的变化情况列表如下：由上表知，()V t在t =时取得极大值，即为最大值，且最大值V =答：当sin θ=时，四棱柱1111A B C D ABCD -3dm .【备选提高题】1.各棱长都为2的正四棱锥与正四棱柱的体积之比为m ，则m 的值为 . 【答案】12【解析】法一：正四棱柱的体积为8，底面积为4，故体积为3，所6，即6m =. 方法二：设正四棱锥与正四棱柱的高分别为12,h h .因为正四棱锥与正四棱柱的底面积相同，所以体积之比为121332h h ==.2.将一个半径为2的圆分成圆心角之比为1:2的两个扇形，且将这两个扇形分别围成圆锥的侧面，则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为 . 【答案】1【解析】因为圆分成圆心角之比为1：2的两个扇形，所以两个扇形圆心角分别为123lπ=和243l π=.1223r ππ=和2423r ππ=，解得123r =，243r =.13h ==， 2h ==.所以21112222114313r h v v r h πππ⋅===3.已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切.若该球的体积为4π3，则该三棱柱的体积是 . 【答案】6 3【解析】由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为2 3.V ＝34(2 3)2×2＝6 3.4.在三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ， 三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12V V = . 【答案】14【解析】因为213C PAB PAB V V S h -∆==，121111323224E ABD DAB PAB h h V V S S V -∆∆==⋅=⨯⨯=，所以1214V V =.5.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 上一点，且2PE ED =.设三棱锥P ACE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12:V V = .【答案】23【解析】因为2PE ED =，所以三棱锥E ACD -的体积是三棱锥P ACD -体积的13，所以三棱锥P ACE -的体积是P ACD -体积的23.因为三棱锥P ABC -与三棱锥P ACD -体积相等，所以12:V V =23.6.在三棱锥D －ABC 中，AB ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为________. 【答案】7π3【解析】在三棱锥D －ABC 中，当且仅当AB ⊥平面BCD 时，三棱锥体积达到最大， 此时，设外接球的半径为R ，外接球的球心为O ，点F 为△BCD 的中心， 则有R 2＝OB 2＝OF 2＋BF 2＝221()2+＝712，所以表面积S ＝4πR 2＝7π3.7.已知三棱锥P －ABC 内接于球O ，PA ＝PB ＝PC ＝2，当三棱锥P －ABC 的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为 . 【答案】12π【解析】由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当PA ，PB ，PC 两两垂直时，侧面积之和最大.此时PA ，PB ，PC 可看成正方体一个顶点的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即4R 2＝3·22＝12，故球的表面积为4πR 2＝12π.8.已知正四面体P ABC -的棱长均为a ，O 为正四面体P ABC -的外接球的球心，过点O 作平行于底面ABC 的平面截正四面体P ABC -，得到三棱锥111P A B C -和三棱台111ABC A B C -，那么三棱锥111P A B C -的外接球的表面积为 . 【答案】22732a π 【解析】设底面ABC ∆的外接圆半径为r ，则2sin3a r π=，所以r .， 设正四面体的外接球半径为R，则222))R R =+-，∴R =.3:4=，所以三棱锥111P A B C -的外接球的表面积为2223274)()432a ππ⨯⨯=.。
2020届江苏省高三高考全真模拟(一)数学试题(含答案解析)
6．为了践行“健康中国”理念更好地开展群众健身活动，某社区对居民的健身情况进行调查，统计数据显示，每天健身时间（单位：min）在 ， ， ， ， 内的共有600人，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这600名居民中每天健身时间在 内的人数为_____________．
2020届江苏省高三高考全真模拟（一）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 _____________．
2．已知复数 （i为数单位）为纯虚数，则实数a的值为_____________．
（3）设 ，数列 为数列 的“偏差数列”， 、 且 ，若 ，（ ）对任意的 恒成立，求 的最小值．
21．已知矩阵 ，对应的变换把点 变成点 ．
（1）求a，b的特征值；
（2）求矩阵M的特征值．
22．已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线 的极坐标方程为 、直线 的极坐标方程为 ．
（1）求函数 的极值；
（2）若函数 有2个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的 ， 恒成立，求实数a的最大值．
20．若数列 ， 满足 ，则称数列 是数列 的“偏差数列”．
（1）若常数列 是数列 的“偏差数列”，试判断数列 是否一定为等差数列，并说明理由；
（2）若无穷数列 是各项均为正整数的等比数列，且 ，数列 为数列 的“偏差数列”，数列 为递减数列，求数列 的通项公式；
7．如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形， 平面 ，E为PD的中点，已知 ， ， ，则三棱锥 的体积为_____________．
高考数学母题解密专题01 集合及其运算附解析(江苏专版)
专题01 集合及其运算【母题来源一】【2020年高考江苏】已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则AB =__▲___.【答案】{}0,2【解析】根据集合的交集即可计算.∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =∴{}0,2A B =，故答案为：{}0,2.【名师点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．【母题来源二】【2019年高考江苏】已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则 A B = ▲ .【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.由题意知，{1,6}A B =.【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.【母题来源三】【2018年高考江苏】已知集合{}0,1,2,8A =，{}1,1,6,8B =-，那么A B = ▲ ．【答案】{1，8}【解析】由题设和交集的定义可知：{}1,8A B =.【名师点睛】本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．【命题意图】（1）了解集合的含义.（2）理解两个集合的交集的含义，会求两个简单集合的交集.（3）能够正确处理含有字母的讨论问题，掌握集合的交集运算和性质.【命题规律】 这类试题在考查题型上主要以填空题的形式出现，主要考查集合的基本运算，其中集合以描述法呈现．试题难度不大，多为低档题，从近几年江苏的高考试题来看，主要的命题角度有：（1）离散型或连续型数集间的交集运算；（2）已知集合的交集运算结果求参数．【答题模板】解答此类题目，一般考虑如下三步：第一步：看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数集、点集还是图形集等；第二步：对集合化简，有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决；第三步：应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).【方法总结】（一）集合的基本运算及其表示：（1）交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，即{|}A B x x A x B =∈∈且.（2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，即|}{A B x x A x B =∈∈或.（3）补集：由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，即{|}U A x x U x A =∈∉且.（二）与集合元素有关问题的解题方略：（1）确定集合的代表元素；（2）看代表元素满足的条件；（3）根据条件列式求参数的值或确定集合元素的个数.但要注意检验集合中的元素是否满足互异性.（三）集合间的基本关系问题的解题方略：（1）判断集合间基本关系的方法有三种：①列举观察；②集合中元素特征法，首先确定集合中的元素是什么，弄清楚集合中元素的特征，再判断集合间的关系；③数形结合法，利用数轴或韦恩图求解.（2）求集合的子集：若集合A 中含有n 个元素，则其子集个数为2n 个，真子集个数为21n -个，非空真子集个数为22n -个.（3）根据两集合关系求参数：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.（四）求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图或交、并、补的定义求解；（2）点集的运算常利用数形结合的思想或联立方程组进行求解；（3）连续型数集的运算，常借助数轴求解；（4）已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；（5）根据集合运算结果求参数，先把符号语言转化成文字语言，然后适时应用数形结合求解.1．（2020届江苏省苏州市吴江区高三下学期五月统考数学试题）已知集合{}1,2,3,4A =，集合{}4,5B =，则AB =______.【答案】{}4【解析】因为集合{}1,2,3,4A =，集合{}4,5B =，所以{}4A B ⋂=.故答案为：{}4.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2．（江苏省无锡市、常州市2019-2020学年高三下学期5月联考数学试题）已知集合{}012M =,,，集合{}0,2,4N =，则M N ⋃=__________．【答案】{}0,1,2,4 【解析】集合{}012M =,,，集合{}0,2,4N =， ∴{}0,1,2,4M N ⋃=.故答案为：{}0,1,2,4.【点睛】本题考查并集及其运算，属于基础题.3．（江苏省盐城中学2020届高三下学期第一次模拟数学试题）已知集合{}13A x =-<<，{}|2=≤B x x ，则A B =_________ .【答案】(-1,2]【解析】由题意{|12}A B x x =-<≤故答案为：(1,2]-．【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集概念是解题关键．4．（2020届江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)高三下学期第二次调研考试数学试题）已知集合{}1,4A =，{}5,7B a =-.若{}4A B ⋂=，则实数a 的值是______.【答案】9 【解析】集合{}1,4A =，{}5,7B a =-，{}4A B ⋂=，∴54a -=，则a 的值是9.故答案为：9【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.5．（江苏省南京市金陵中学、南通市海安高级中学、南京市外国语学校2020届高三下学期第四次模拟数学试题）已知集合{}{}02,1,0,1,2M x x N =≤<=-，则MN =__________．【答案】{}0,1 【解析】因为{}{}02,1,0,1,2M x x N =≤<=-，所以{}0,1M N ⋂=. 6．（2020届江苏省高三高考全真模拟(六)数学试题）已知集合{1,0,2}A =-，{}0,1,2,3B =，则A B =______.【答案】{1,0,1,2,3}-【解析】由题意1,0,1{,2,}3A B =-．故答案为：{1,0,1,2,3}-．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题．7．（江苏省泰州市姜堰区、南通市如东县2020届高三下学期适应性考试数学试题）已知集合{1,3,}A a =，{4,5}B =.若{4}A B ⋂=，则实数a 的值为______.【答案】4【解析】{}4A B ⋂=4A ∴∈且4B ∈4a ∴=【点睛】本题考查了交集的定义，意在考查学生对交集定义的理解，属于基础题.8．（江苏省扬州中学2020届高三下学期6月模拟考试数学试题）集合{}0,3x A =，{}2,0,1B =-，若A B B ⋃=，则x =_________________．【答案】0【解析】∵A B B ⋃=，∴A B ⊆，又{}0,3x A =，{}2,0,1B =-，∴31x =，∴0x =，故答案为：0．【点睛】本题主要考查集合的并集运算的应用，属于基础题．9．（江苏省泰州中学2019-2020学年高三下学期4月质量检测数学试题）已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =______【答案】{|12}x x <<【解析】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，所以{|12}A B x x =<<.故答案为：{|12}x x <<【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属基础题.10．（江苏省扬州市2020届高三下学期6月最后一卷数学试题）已知集合2{1,0,}A a =-，{1,1}B =-，则A B B =，则实数a 的值是_______．【答案】±1【解析】因为AB B =，所以B A ⊆，又2{1,0,}A a =-，{1,1}B =-，所以21a =，解得1a =±.故答案为：±1【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题.11．（2020届江苏省苏州市三校高三下学期5月联考数学试题）设集合{2,0,1,2}=-A ，{}|10B x x =-<，则A B =___________.【答案】{}2,0-【解析】由已知，{}|1B x x =<，所以AB ={}2,0-. 故答案为：{}2,0-【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.12．（江苏省盐城市2020届高三下学期第四次模拟数学试题）若集合{}A x x m =≤，{}1B x x =≥-，且{}A B m =，则实数m 的值为_______.【答案】1- 【解析】∵{}A x x m =≤，{}1B x x =≥-，且{}AB m =，∴1m =-，故答案为：1-．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．13．（江苏省苏州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，则A B =__________.【答案】{1,2} 【解析】集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，{1,2}A B ∴=，故答案为：{1,2}．【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题．14．（江苏省淮安市清浦中学2019-2020学年高三下学期5月阶段性检测数学试题）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．15．（江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期第一次调研考试数学试题）设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________．【答案】{}2【解析】{}{}0,1,2,0,1U A =={}2U C A ∴=故答案为：{}2【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题.16．（2020届江苏省苏州市常熟市高三阶段性抽测三数学试题）已知集合{}2A x x =≤，(){}40B x x x =-≤，则()A B =R ________.【答案】(]2,4 【解析】集合(){}{}4004B x x x x x =-≤=≤≤ 因为集合{}2A x x =≤ 所以{}2R A x x => 所以(){}(]242,4R A B x x ⋂=<≤=.故答案为：(]2,4.【点睛】本题考查解一元二次不等式，集合的补集、交集运算，属于简单题.17．（2020届江苏省南通市高三下学期5月模拟考试数学试题）已知集合{}1,2,3,4A =，{}2|log (1)2B x x =-<，则A B =____．【答案】{}2,3,4【解析】由题意可得：{}{}|014|15B x x x x =<-<=<< ，则{}2,3,4A B⋂=.如何学好数学做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。
2020届高三数学第一次月考试题 文(含解析)新 人教
2019学年第一学期九月测试卷高三数学（文科）一、选择题(每小题5分，共60分)1. 设集合M＝{1,2,3,4,5,6}，N＝{1,4,5,7}，则M∩N等于( )A. {1,2,4,5,7}B. {1,4,5}C. {1,5}D. {1,4}【答案】B【解析】则2. ( )A. B. C. D. -【答案】A【解析】试题分析：选C.考点：诱导公式.【易错点晴】本题主要考查诱导公式，属于容易题型.本题虽属容易题型，但如果不细心的话容易因判断错象限、或因忘了改变函数名而犯错.解决此类题型的口诀是：奇变偶不变，符号看象限,应用改口诀的注意细节有：1、“奇”、“偶”指的是的奇数倍或偶数倍，2、符号看象限，既要看旧角，又要看旧函数名.要熟练掌握这两个细节才不会“走火入魔”.3. 下列函数中,是偶函数且在上为增函数的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由选项可看出四个函数中D为奇函数，所以排除D，在ABC三个选项中，A函数为增函数，B函数为减函数，C函数既有增区间又有减区间.故选A.4. 若已知函数f(x)＝ , 则的值是( )A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】由函数f(x)＝可知：，+1=故选：D5. 函数y＝的定义域是( )A. [1,2]B. [1,2)C.D.【答案】D【解析】即得解得故选D6. 下列说法中，正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“存在，使得”的否定是：“任意，都有”C. 若命题“非”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题D. ""是" "的充分不必要条件【答案】C【解析】对于A，命题“若，则”的否命题为“若a≤b，则”；∴A 不正确；对于B，命题“存在x∈R，使得”的否定是：“任意x∈R，都有”；∴B不正确；对于C，若命题“非p”是真命题则P是假命题，命题“p或q”是真命题，那么命题q一定是真命题，∴C正确；对于D，∴推不出. ∴D不正确故选：C．7. 设a=,,则a,b,c的大小关系是( )A. b>c>aB. a>c>bC. b>a>cD. a>b>c【答案】D【解析】,所以故选D8. 函数f(x)＝2x－6+lnx的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】,所以函数在上递增，又,所以函数的零点只有1个故选A点睛：本题是零点存在性定理的考查，先确定函数的单调性，在判断特殊点处的函数值有正负变化即得解.9. 函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由图知A=2,又,此函数的解析式是故选B.10. 若＝，则cos(π-2α)＝( )A. -B.C. -D.【答案】C【解析】==,故选C11. 函数y＝ (0＜a＜1)的图象的大致形状是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】又所以函数在上递减，在上递增，故选D点睛：函数中有绝对值的要去掉绝对值，写成分段函数，根据单调性即可以选出选项.12. 已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A. (－∞，0)B.C. (0,1)D. (0，＋∞)【答案】B【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．二、填空题(每小题5分，共20分)13. 已知=2, 则=______【答案】3【解析】,故答案为314. 函数f（x）=的单调递增区间为________.【答案】【解析】根据复合函数的单调性，内外层函数同则增异则减的原则，f（x）=的递增区间为的递减区间，但要注意定义域，所以f（x）=的递增区间为................故答案为点睛：研究复合函数的单调性：先把复合函数分成内外两层，根据内外层函数单调性相同，复合函数增，内外层函数单调性相异，复合函数减，即同则增异则减，做题时还要注意定义域.15. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则＝________.【答案】-2【解析】由f(x＋4)＝f(x)得f(x)的周期为4，所以又f(x)在R上是奇函数，所以故答案为-2.点睛：函数奇偶性，周期性结合求函数值的问题，先利用周期性，把变为再利用奇偶性根据已知很容易出结果.16. 若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，]【解析】2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，则a≤h(x)min＝4，故实数a的取值范围是(－∞，4]．故答案为：(－∞，4]点睛：恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)17. (10分) 化简求值：(1) ； (2) .【答案】(1) 4 ; (2)【解析】试题分析：(1)主要是对数运算性质的考查（2）主要是三角恒等变换的二倍角公式，两角和与差的余弦公式的考查.试题解析：(1)原式= (2)原式=18. (12分)（1）已知sinα＝- ，且α为第四象限角，求tanα的值；(2)已知cos且都是锐角，求的值【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）由α为第四象限角，根据同角基本关系的平方关系得的值，商式关系得出.(2) cos，是锐角得出sin，又都是锐角，，得出，根据得出结果.试题解析：(1)为第四象限角,(2) 因为是锐角，所以sin=又都是锐角，，=,则cos=cos19. (12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)若f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．求实数a的取值范围.【答案】(1)35 (2) a≤－6，或a≥4【解析】试题分析：(1) 当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，根据二次函数的单调性得出函数的最值（2）二次函数的对称轴为x＝－a，根据图像得出[－4,6]在轴的左侧或在轴的右侧，即－a≤－4，或－a≥6得解.试题解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增．∴f(x)的最小值是f(2)＝－1.又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4，或－a≥6，即a≤－6，或a≥4.20. (12分)已知.f(x)＝sin x cos x-cos2x＋(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．【答案】(1)(k∈Z) (2)【解析】试题分析：（1）先对函数f(x)＝sin x cos x-cos2x＋＝sin2x- (cos2x＋1)＋化简得f(x)＝sin，令sin＝0，得＝kπ(k∈Z)解得对称中心（2）0≤x≤所以-≤2x-≤，根据正弦函数图像得出值域.试题解析：(1)f(x)＝sin x cos x-cos2x＋＝sin2x- (cos2x＋1)＋＝sin2x-cos2x＝sin，所以f(x)的最小正周期为π.令sin＝0，得＝kπ(k∈Z)，所以x＝ (k∈Z)．故f(x)图象对称中心的坐标为 (k∈Z)．(2)因为0≤x≤，所以-≤2x-≤，所以≤sin≤1，即f(x)的值域为.点睛：本题重点考查三角函数式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期，正弦型函数的对称中心，及函数在某一定义域下的值域，是高考的常见题型，在求值域时要运用整体的思想.21. (12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线方程为l：y＝3x＋1，且当x＝时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．【答案】(1) a＝2，b＝－4, c＝5 (2) 最大值为13，最小值为【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，联立得出a，b，c的值(2) 由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝，研究单调性得出最值.试题解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②由①②，解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4. 所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.点睛：已知切线方程求参数问题，利用切线斜率，切点在切线上也在曲线上这两点即可求出字母值.函数的极值问题要注意对应的导值为0，且在此点的左右函数有单调性变化.22. (12分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1-x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．【答案】(1)见解析(2) (0，1)【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数符号是否变化进行讨论：若，则，在单调递增；若，导函数先正后负，函数先增后减；（2）由（1）知函数有最大值条件为，且最大值为，转化为解不等式，先化简，再利用导数研究函数单调性及零点，确定不等式解集试题解析：解：（Ⅰ）的定义域为若，则，所以在单调递增若，则当时，；当时，。
高三数学上学期第一次月考试题 文扫描 试题
HY中学2021届高三数学上学期第一次月考试题文〔扫描版〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日一中第一期联考文科数学答案命题、审题组老师 杨昆华 彭力 杨仕华 王佳文 张波 毛孝宗 丁茵 易孝荣 江明 李春宣一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCBCDADDCAAB1. 解析：由题意，因为集合{}1>=x x A ，所以=B A {}31<<x x ，选B ． 2. 解析：因为2i 12i i i)i)(1(1i)i(1i 1i 2+=-=-+-=+，选C ． 3. 解析：18=0.4540，选B ． 4. 解析：由得54)cos(-=--αβα，即54cos )cos(-==-ββ，又πβ（∈，）23π，所以0sin <β，且53cos 1sin 2-=--=ββ，选C ．5. 解析：在长、宽、高分别为2，1，1的长方体中截得该三棱锥A DBC -，那么最长棱为2222116AB =++=，选D ．6. 解析：对于B ，函数的周期是π，不是π4；对于C ，函数在3π=x 时不取最值；对于D ，当∈x 65(π-，)6π时，34(32ππ-∈+x ，）32π，函数不是单调递增，选A ． 7. 解析：因为()()11f x f x -=+，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，选D ．8. 解析：由垂径定理可知直线CM 的斜率为2-，所以直线CM 的方程是)2(21--=+x y ，即032=-+y x ，选D ．9. 解析：设外接球的半径为R ，因为PA ⊥平面ABC ，所以BC PA ⊥，又BC AB ⊥，所以BC PB ⊥，设PC 的中点为O ，易知：OA OB OC OP ===，故O 为四面体P ABC -的外接球的球心，又2PA AB BC ===，所以22AC =，23PC =，半径3R =，四面体P ABC -的外接球的外表积为()24312ππ=，选C ．10. 解析：由()y f x =,()01f =-排除B ，()f x 是偶函数排除C,()20f =和()40f =排除D ，选A ．11. 解析：由题设得3=ab，2)(12=+=a b e ，所以b e a +2362322323322=≥+=+=aa a a ，选A ． 12. 解析：由余弦定理及22b ac a -=得，22222cos b a c ac B a ac =+-=+，所以有2cos c a B a =+，因此sin 2sin cos sin C A B A =+，故有()sin 2sin cos sin A B A B A +=+，即()sin sin A B A =-，因为三角形ABC 为锐角三角形，所以A B A =-，即2B A =，所以022A π<<，所以04A π<<，又3B A A +=，所以32A ππ<<，所以63A ππ<<，综上,64A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()sin sin 22cos 2,3sin sin B At A A A===∈，选B ．二、填空题13. 解析：由22a b a b -=+解得0a b ⋅=，所以向量a 与b 夹角为90︒． 14. 解析：N=126+146+96+136=288⨯⨯⨯⨯．15. 解析：由图知，直线4z y x =-过()1,0时，4y x -有最小值1-. 16. 解析：由得()()22log 1933f x x x -=+++，所以()()6f x f x +-=，因为2lg 3⎛⎫ ⎪⎝⎭与3lg 2⎛⎫⎪⎝⎭互为相反数，所以23lg lg 632f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3lg 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 三、解答题〔一〕必考题17. 解：〔1〕证明：设1122n n nn a a d ---=那么122n n n a a d --= 所以1122n n n a a d ++-=,11122222n n n n n n a a da a d++--==-所以}{12n na a +-是首项为4,公比为2的等比数列. ………6分〔2〕因为{}2n n a 是等差数列，所以1221122=-=a a d ,所以11(1)22n n a a n d =+-⨯ , 所以1()22nn a n =-所以123113531222...()2()222222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+-① 2311333222...()2()22222n n n S n n +=⨯+⨯++-+-②由①-②得23111=2+2+2...2()222n n n S n +-⨯++-- 13=(n-)232n n S ++． ………12分18. 解：〔1〕 选派B 同学参加比拟适宜．理由如下：1(7580808385909295)858A x =+++++++=，1(7879818284889395)858B x =+++++++=，22222221[(7885)(7985)(8185)(8285)(8485)(8885)8B S =-+-+-+-+-+-+22(9385)(9585)]35.5-+-=，22222221[(7585)(8085)(8085)(8385)(8585)(9085)8A S =-+-+-+-+-+-+22(9285)(9585)]41-+-=，从A B x x =，22B A S S <可以看出：A ，B 两位同学的平均程度一样而B 的成绩较稳定，所以选派B 参加比拟适宜． ………7分〔2〕任选派两人有(,)A B ，(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)B C ，(,)B D ，(,)B E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E 一共10种情况；所以A ，B ，C 三人中至多有一人参加英语口语竞赛有7种情况； 所以710P =． ………12分19. 解：〔1〕在直角梯形ABCD 中，2BC AD AB ⋅=，即AB ADBC AB=， 因为90DAB PBC ∠=∠=, 所以tan AB ACB BC ∠=，tan ADABD AB∠=， 所以ABD ACB ∠=∠，又因为90ACB BAC ∠+∠=， 所以90ABD BAC ∠+∠=，即AC BD ⊥图2的四棱锥1P ABCD -中，1P A AB ⊥，由题知1P A AD ⊥，那么1P A ⊥平面ABCD ， 所以1BD P A ⊥，又1P AAC A =所以BD ⊥平面1P AC . ………6分(2)在图1中，因为AB =,1AD =，2BC AD AB ⋅=，所以3BC =因为PAD ∆∽PBC ∆，所以13PA AD PA PB BC ==⇒=，即1P A = 由〔1〕知1P A ⊥平面ABCD ，那么1C P BD V -1P CBD V -=1P CBD V -=111111133332324CBD S P A BC AB P A ∆⋅⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯=. ………12分20. 解：〔1〕由椭圆定义知，224AF BF AB a ，又222AF BF AB ，得43ABa ，l 的方程为y x c ，其中22c a b .设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将y x c 代入22221x y a b 得，2222222()2()0a b x a cx a c b . 那么212222-a c x x a b ，2221222)a cb x x a b （.因为直线AB 的倾斜角为4π，所以212122()4ABx x x x ，由43AB a 得，222443a ab a b ，即222a b .所以C的离心率2222c a b e a a. ………6分 (2) 设AB 的中点为0,0()N x y ，由〔1〕知，2120222--23x x a c c x a b ，003cy x c .由PA PB 得，PN 的斜率为-1，即001-1y x ，解得，3c ，32a ，3b .所以椭圆C 的方程为221189x y . ………12分21. 解：〔1〕()f x 的定义域为(,)-∞+∞,因为()e x f x a '=+，由(0)0f '=，得1a =-, 所以()e 2x f x x =--，由()e 10x f x '=->得0x >，由()e 10x f x '=-<得0x <，所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞. ………6分 (2) 因为0x >,所以()e 1e 1xxm x -<+可化为e 1e 1x x x m +<-，令e 1()e 1x x x F x +=-，那么()2e (e 2)()e 1x x x x F x --'=-， 由〔1〕得()e 2x f x x =--在(0,)+∞上单调递增，而(1)e 30f =-<,2(2)e 40f =->,所以()f x 在(1,2)上存在唯一的0x ， 使0()0f x =，所以()F x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增， 所以0()F x 是()F x 00e 20x x --=得00e 2x x =+， 所以00000000e 1(2)1()11e 1x x x x x F x x x +++===++-， 又因为012x <<，所以02()3F x <<，所以[]max 2m =. ………12分 〔二〕选考题：第22、23题中任选一题做答。
2019届江苏省镇江市高三第一次模拟考试数学参考答案
(2) 当a＝1时，f(x)＝lnx－bx，
则f′(x)＝ －b＝ ，(5分)
由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，
所以 >f(n)max＝f(1)＝ ，
则0<λ< ，
综上λ< .(8分)
(3) 在数列{cn}中，从b1至bk(含bk项)的所有项和是：
(1＋2＋3＋…＋k)＋(21＋22＋…＋2k－1)×2＝ ＋2k＋1－4.(10分)
当k＝9时，其和是45＋210－4＝1 065<2 019，
当k＝10时，其和是55＋211－4＝2099>2019，(12分)
当且仅当BD＝CD时等号成立，
此时∠DBC＝∠DCB＝30°，BD＝CD＝ ＝ .
区域最大面积S＝S△ABC＋S△BCD＝ ×2×2×sin60°＋ BD·CD·sin120°＝ (平方千米)．(7分)
(或者：因为直角三角形△ABD，△ACD全等，区域最大面积S＝S△ABD＋S△ACD＝2S△ABD＝2× AB·BD＝ (平方千米)．(7分))
因为楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，
所以∠BDC＝120°，(2分)
在△BDC中，因为BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC，(3分)
所以22＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos120o＝BD2＋CD2＋BD·CD≥2BD·CD＋BD·CD＝3BD·CD，
则BD·CD≤ ，(4分)
则3sinAcosB＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA，(5分)
又A∈(0，π)，则sinA>0，(6分)
则cosB＝ .(7分)
(2) 因为B∈(0，π)，则sinB>0，sinB＝ ＝ ＝ .(9分)
江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学第一次教学情况调研试卷
江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学第一次教学情况调研试卷一、填空题 (共14题；共14分)1．（1分）已知i 为虚数单位，复数 z =11+i，则 |z| ＝ ． 2．（1分）已知集合A ＝ {x|0≤x ≤1} ，B ＝ {x|a −1≤x ≤3} ，若A ∩B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为 ．3．（1分）已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是 ．4．（1分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线 x 2a2−y 24=1 (a ＞0)的一条渐近线方程为 y =23x ，则a ＝ ． 5．（1分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 12 ，乙获胜的概率是 13，则乙不输的概率是 ．6．（1分）下图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为 ．7．（1分）“直线l 1： ax +y +1=0 与直线l 2： 4x +ay +3=0 平行”是“a ＝2”的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．8．（1分）已知等差数列 {a n } 的前n 项和为 S n ， a 1=9 ， S99−S 55=−4 ，则 a n＝ ．9．（1分）已知点M 是曲线y ＝2lnx ＋x 2﹣3x 上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为 ．10．（1分）已知 3cos2α=4sin(π4−α) ， α∈ ( π4 ， π )，则 sin2α ＝ ．11．（1分）如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点， AB =1 ， BC =2 ，分别以 A 、 D 为圆心， 1 为半径作圆弧 EB 、 EC （ 在线段 AD 上）.由两圆弧 EB 、 EC 及边BC 所围成的平面图形绕直线AD 旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .12．（1分）在△ABC 中，( AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥ BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ( λ ＞1)，若角A 的最大值为 π6 ，则实数 λ 的值是 ．13．（1分）若函数 f(x)=a x (a ＞0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2](1＜m ＜n )，则a 的取值范围是 ．14．（1分）如图，在△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE ＝2EC ，CD 与BE 交于点O ，若OB ＝ √2OC ，则△ABC 面积的最大值为 ．二、解答题 (共11题；共100分)15．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足bcosA ﹣ √3 asinB ＝0．（1）（5分）求A ；（2）（5分）已知a ＝2 √3 ，B ＝ π3 ，求△ABC 的面积．16．（10分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥DC ，△PCD 为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）（5分）证明：AP∥平面EBD；（2）（5分）证明：BE⊥PC．17．（10分）某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1 （百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．（1）（5分）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；（2）（5分）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为1 2．且经过点(1，32)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．（1）（5分）求椭圆C的标准方程；（2）（5分）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．19．（10分）已知函数f(x)=23x3−mx2+m2x(m∈R)的导函数为f′(x)．（1）（5分）若函数g(x)=f(x)−f′(x)存在极值，求m的取值范围；（2）（5分）设函数ℎ(x)=f′(e x)+f′(lnx)（其中e为自然对数的底数），对任意m∈R，若关于x的不等式ℎ(x)≥m2+k2在(0，+∞)上恒成立，求正整数k的取值集合．20．（10分）已知数列{a n}，{b n}，数列{c n}满足c n={a n，n为奇数b n，n为偶数，n∈N∗．（1）（5分）若a n=n，b n=2n，求数列{c n}的前2n项和T2n；（2）（5分）若数列{a n}为等差数列，且对任意n∈N∗，c n+1>c n恒成立．①当数列{b n}为等差数列时，求证：数列{a n}，{b n}的公差相等；②数列{b n}能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{b n}；若不能，请说明理由．21．（5分）已知矩阵A=[1321],B=[−2311]，且二阶矩阵M满足AM=B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为{x=2+cosθy=√3+2√3cos2θ2（θ为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为r=4sinθ.（1）（5分）求曲线C的普通方程；（2）（5分）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标.23．（5分）已知正数x，y，z满足x+y+z=t（t为常数），且x24+y29+z2的最小值为87，求实数t的值.24．（10分）某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.（1）（5分）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;（2）（5分）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.25．（10分）已知抛物线C:x2=4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k≠0)的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.（1）（5分）求点G的轨迹方程；（2）（5分）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.答案解析部分1．【答案】√22【解析】【解答】z=11+i =12−12i⇒|z|=√22．故答案为：√22.【分析】先把复数进行化简，然后利用求模公式可得结果.2．【答案】2【解析】【解答】由题意A∩B中有且只有一个元素，所以a−1=1，即a=2. 故答案为：2.【分析】利用A∩B中有且只有一个元素，可得a−1=1，可求实数a的值. 3．【答案】0.08【解析】【解答】首先求得x̅=15(1.6+1.8+2+2.2+2.4)=2，S2=15[(1.6−2)2+(1.8−2)2+(2−2)2+(2.2−2)2+(2.4−2)2]=0.08．故答案为：0.08.【分析】先求解这组数据的平均数，然后利用方差的公式可得结果.4．【答案】3【解析】【解答】因为双曲线x 2a2−y24=1(a＞0)的渐近线为y=±2ax，且一条渐近线方程为y=23x，所以a=3.故答案为：3.【分析】双曲线的焦点在x轴上，渐近线为y=±2a x，结合渐近线方程为y=23x可求a .5．【答案】56【解析】【解答】乙不输的概率为12+13=56，故答案为：56.【分析】利用互斥事件概率加法公式列式，即可求出乙不输的概率。
高考数学《平面解析几何》练习题及答案
平面解析几何1．[湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测数学（理)试题] 已知双曲线222:116x y E m-=的离心率为54，则双曲线E 的焦距为A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】D 【解析】 【分析】通过离心率和a 的值可以求出c ，进而可以求出焦距. 【详解】由已知可得54c a =，又4a =，5c ∴=，∴焦距210c =，故选D.【点睛】本题考查双曲线特征量的计算，是一道基础题.2．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]若椭圆2221x y a +=经过点1,3P ⎛ ⎝⎭，则椭圆的离心率e =A ．2 B 1C D [来 【答案】D3．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点，则线段BC 的长为A ．83B ．3C ．163D ．6【答案】C4．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题]若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被曲线22420x y x +-+=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为A BC D 【答案】B5．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为A 1B ．12C ．2D 【答案】A 【解析】 【分析】根据12PF PF ⊥及椭圆的定义可得12PF a c =-，利用勾股定理可构造出关于,a c 的齐次方程，得到关于e 的方程，解方程求得结果.【详解】由题意得：12PF PF ⊥，且2PF c =， 又122PF PF a +=，12PF a c ∴=-，由勾股定理得()222224220a c c c e e -+=⇒+-=，解得1e =. 故选A.6．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为A ．23y x =±B ．22y x =±C ．3y x =D ．2y x =【答案】A 【解析】 【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得3x =， 所以2212||46413F F =+=13c ⇒= 因为2521a x a =-=⇒=，所以3b =所以双曲线的渐近线方程为23by x x a=±=±.【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.7．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）]P 为椭圆19110022=+y x 上的一个动点，N M ,分别为圆1)3(:22=+-y x C 与圆)50()3(:222<<=++r r y x D 上的动点，若||||PN PM +的最小值为17，则=r A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】8．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学] 如果123,,,P P P 是抛物线2:4C y x =上的点，它们的横坐标123,,,x x x ，F 是抛物线C 的焦点，若12201820x x x +++=，则12||||PF P F + 2018||P F ++=A ．2028B ．2038C ．4046D ．4056【答案】B9．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】C 【解析】10．[湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测数学（理)试题]已知P 是椭圆22:14x y E m+=上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，()2120k k k ≠，若12k k +的最小值为1，则实数m 的值为 A ．1 B ．2 C ．1或16D ．2或8【答案】A 【解析】 【分析】先假设出点M ，N ，P 的坐标，然后表示出两斜率的关系，再由12k k +最小值为1运用基本不等式的知识求最小值，进而可以求出m . 【详解】设''0000(,),(,),(,)M x y N x y P x y --，''00'0012',y y y k x x x k y x -+==-+''''0000''''0020102y y y y y y y y x x x x x x k x x k +=+-++-⨯-+-+≥ '220'220y y x x -=-2'20'220(1)(1)442x x x m x m --=-- 4m=，1m ∴=. 故选A. 【点睛】本题大胆设点，表示出斜率，运用基本不等式求参数的值，是一道中等难度的题目.11．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]已知双曲线22221(0,x y a a b-=>0)b >的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若12F MF ∠45=︒，则双曲线的离心率为 A ．3 B ．2 C ．2D ．5【答案】A 【解析】 【分析】设切点为N ，连接ON ，过2F 作2F N MN ⊥，垂足为A ，由ON a =，得到12F A b =，在2Rt MF A △中，可得222MF a =，得到122MF b a =+，再由双曲线的定义，解得2b a =，利用双曲线的离心率的定义，即可求解. 【详解】设切点为N ，连接ON ，过2F 作2F N MN ⊥，垂足为A ，由ON a =，且ON 为12F F A △的中位线，可得22212,F A a F N c a b ==-=， 即有12F A b =，在2Rt MF A △中，可得222MF a =，即有122MF b a =+，由双曲线的定义可得1222222MF MF b a a a -=+-=，可得2b a =， 所以223c a b a =+=，所以3==ce a. 故选A.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．12．[安徽省2020届高三期末预热联考理科数学]【答案】C13．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]双曲线2212516y x -=的渐近线方程为_____________.【答案】54y x =±14．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则离心率等于 . 515．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题] 已知圆02222=--+by ax y x )0,0(>>b a 关于直线022=-+y x 对称，则ba 21+的最小值为________．【答案】2916．[江苏省南通市2020届高三第一学期期末考试第一次南通名师模拟试卷数学试题]已知AB 是圆C :222x y r +=的直径,O 为坐标原点,直线l :2r x c=与x轴垂直,过圆C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点, 则2OM ONr ⋅的值为 ▲ .【答案】1【解析】设直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,则2παβ+=,∴tan tan 1αβ=，记直线l :2r x c=与x 轴的交点为H ,如图，()()OM ON OH HM OH HN ⋅=+⋅+，则2(,0)r H c ,0,0OH HN OH HM ⋅=⋅=,∴22||||OM ON OH HM HN OH HM HN ⋅=+⋅=-⋅22422|||||||tan ||||tan |()()r r r HM HN AH BH r r r c c c αβ⋅==+-=-∴242222()()r r OM ON r r c c⋅=--=.即2OM ON r ⋅的值为1. 17．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F ，，,A B 是其左、右顶点，点P 是椭圆C 上任一点，且12PF F △的周长为6，若12PF F △面积的最大值为3（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点2F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,M N 两个不同点，证明：直线AM 于BN 的交点在一条定直线上.【解析】（1）由题意得222226,123,2,a c bc a b c +=⎧⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2,c b a =⎧⎪∴=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）由（1）得()2,0A -，()2,0B ，()21,0F ，设直线MN 的方程为1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由221143x mx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2243690m y my ++-=，122643m y y m ∴+=-+，122943y y m =-+，()121232my y y y ∴=+， 直线AM 的方程为()1122y y x x =++，直线BN 的方程为()2222y y x x =--， ()()12122222y yx x x x ∴+=-+-， ()()2112212121232322y x my y y x x y x my y y +++∴===---， 4x ∴=，∴直线AM 与BN 的交点在直线4x =上.18．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 已知B 是抛物线2118y x =+上任意一点，()0,1A -，且点P 为线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若F 为点A 关于原点O 的对称点，过F 的直线交曲线C 于M 、N 两点，直线OM 交直线1y =-于点H ，求证：NF NH =． 【解析】 【分析】（1）设(),P x y ，()00,B x y ，根据中点坐标公式可得00221x xy y =⎧⎨=+⎩，代入曲线方程即可整理得到所求的轨迹方程；（2）设:1MN y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，将直线MN 与曲线C 联立，可得124x x =-；由抛物线定义可知，若要证得NF NH =，只需证明HN 垂直准线1y =-，即HN y ∥轴；由直线OM 的方程可求得11,1x H y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可将H 点横坐标化简为121x x y -=，从而证得HN y ∥轴，则可得结论.【详解】（1）设(),P x y ，()00,B x y ，P 为AB 中点，00221x xy y =⎧∴⎨=+⎩， B 为曲线2118y x =+上任意一点，200118y x ∴=+，代入得24x y =，∴点P 的轨迹C 的方程为24x y =.（2）依题意得()0,1F ，直线MN 的斜率存在，其方程可设为：1y kx =+， 设()11,M x y ，()22,N x y ，联立214y kx x x=+⎧⎨=⎩得：2440x kx --=，则216160k ∆=+>，124x x ∴=-，直线OM 的方程为11y y x x =，H 是直线与直线1y =-的交点， 11,1x H y ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，根据抛物线的定义NF 等于点N 到准线1y =-的距离，H 在准线1y =-上，∴要证明NF NH =，只需证明HN 垂直准线1y =-， 即证HN y ∥轴，H 的横坐标：111222111144x x x x x x y x x --=-===， ∴HN y ∥轴成立，NF NH ∴=成立. 【点睛】本题考查圆锥曲线中轨迹方程的求解、直线与圆锥曲线综合应用中的等量关系的证明问题；证明的关键是能够利用抛物线的定义将所证结论转化为证明HN y ∥轴，通过直线与抛物线联立得到韦达定理的形式，利用韦达定理的结论证得HN y ∥轴.19．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）]在直角坐标系xOy 中，点)0,2(-M ，N 是曲线2412+=y x 上的任意一点，动点C 满足MC NC +=0. （1）求点C 的轨迹方程；（2）经过点)0,1(P 的动直线l 与点C 的轨迹方程交于B A ,两点，在x 轴上是否存在定点D （异于点P ），使得BDP ADP ∠=∠？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由.20．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]已知椭圆22212x y C a ：+=过点P （2，1）． （1）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（2）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），点A 关于l 的对称点为A '，直线A 'P 与C 交于另一点B ．设O 为原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由． 【解析】 【分析】（1）将点P 代入椭圆方程，求出a ，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（2）设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--，设点A 的坐标为()11x y ，，()22B x y ，，分别求出12x x -，12y y -，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系即可得结果.【详解】（1）由椭圆22212x y C a +=： 过点P （2，1），可得28a =．所以222826c a =-=-=，所以椭圆C 的方程为28x +22y =1，则离心率e 622=3（2）直线AB 与直线OP 平行．证明如下： 设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由2218221x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得()()22241812161640k x k k x k k ++-+--=， ∴21216164241k k x k -+=+，∴21288214k k x k --=+， 同理22288241k k x k +-=+，所以1221641kx x k -=-+， 由1121y kx k =-+，2121y kx k =-++， 有()121228441ky y k x x k k -=+-=-+， ∵A 在第四象限，∴0k ≠，且A 不在直线OP 上， ∴121212AB y y k x x -==-， 又12OP k =，故AB OP k k =， 所以直线AB 与直线OP 平行．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题．21．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题]双曲线2215x y -=焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. （1）求椭圆C 的方程；（2）设动点N M ,在椭圆C上，且3MN =，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.【解析】（1）双曲线2215x y -=的焦点坐标为().因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a ==1b =. 故椭圆C 的方程为2216x y +=.（2）因为23MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+.代入椭圆方程2216x y +=，得()()2221612610k x kmx m +++-=.因为()()()2221224161km k m ∆=-+-()2224160k m =+->，所以2216m k <+. 设()11,M x y ，()22,N x y ，根据根与系数的关系得1221216kmx x k -+=+，()21226116m x x k -=+.则12MN x =-==因为MN == 整理得()42221839791k k m k -++=+. 令211k t +=≥，则21k t =-.所以221875509t t m t -+-=15075189t t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯≤=.等号成立的条件是53t =， 此时223k =，253m =，满足2216m k <+，符合题意.故m. 22．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] ）已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，长轴长为 （1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）过点()0,1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点M 满足MA MB MO ++=0，求证：由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称．【解析】（1）由已知，得1a c ==，所以3c e a ===， 又222a b c =+，所以b =所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=，离心率3e =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),m m M x y ，①直线l 与x 轴垂直时，点,A B的坐标分别为(0,，(．因为()0,m m MA x y =-，()0m m MB x y =-，()0,0m m MO x y =--， 所以()3,3m m MA MB MC x y ++=--=0． 所以0,0m m x y ==，即点M 与原点重合;②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1y kx =+，由221321x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩ 得()2232630k x kx ++-=， ()22236123272240k k k ∆=++=+>．所以122632kx x k -+=+，则1224032y y k +=>+， 因为()11,m m MA x x y y =--，()22,m m MB x x y y =--，(),m m MO x y =--， 所以()121203,03m m MA MB MO x x x y y y ++=++-++-=0． 所以123m x x x +=，123m y y y +=．2232m k x k -=+，243032m y k =>+，消去k ，得()2223200m m m m x y y y +-=>．综上，点M 构成的曲线L 的方程为222320x y y +-=. 对于曲线L 的任意一点(),M x y ，它关于直线13y =的对称点为2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭．把2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭的坐标代入曲线L 的方程的左端：2222222244232243223203333x y y x y y y x y y ⎛⎫⎛⎫+---=+-+-+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以点M '也在曲线L 上．所以由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称.。
江苏省2020届高考数学模拟试卷
高考数学模拟试题注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生必须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2．本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
满分150分, 考试时间120分钟。
参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 柱体的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =13Sh 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式 台体的体积公式S = 4πR 2 1()11223V h S S S S =+球的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积,V =43πR 3h 表示台体的高 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．已知全集=R U ,集合{}0|>=x x A ，{}10|<<=x x B ，则()=B A C U ( ▲ ) A ．{}1|<x x B ． {}10|<<x x C ．{}0|≤x x D ．R 2．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则(12)z i ⋅+的共轭复数为( ▲ ) A ．2i + B ．43i + C ．43i - D ．43i -- 3．已知直线,,a b m ,其中,a b 在平面α内．则“,m a m b ⊥⊥”是“m α⊥”的( ▲ )A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ▲ ) A ． 3π B ．83π C ． 103π D ． 113π 5．记()()()77017211x a a x a x -=+++++，则0126a a a a +++的值为( ▲ )A ． 1B ． 2C ． 129D ． 21886．已知不等式组210,2,10,x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域为D ，若函数|1|y x m =-+的图象上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是( ▲ )A ． [2,1]-B ． 1[2,]2-C ． 1[0,]2D ． 3[1,]2-7．甲、乙、丙、丁四个人到A ，B ，C 三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A 景点的方案有( ▲ ) A ． 18种 B ． 12种 C ． 36种 D ． 24种8．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ,椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ▲ )1]1,1)A B C D9．已知函数()()1ln 1,1{21,1x x x f x x -->=+≤，则方程()()()3204f f x f x ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦的实根个数为( ▲ )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 610．已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱1AA , 1BB , 1CC 分别交于三点M , N , Q ,若MNQ ∆为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( ▲ )A ． 2B ． 4C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题, 多空题每小题6分，单空题每小题4分, 共36分．11．双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为___▲__，设双曲线过点(4,1),且与C 具有相同渐近线,则C 的方程为 ▲ ． 12． 设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=．{}n a 的通项n a = ▲ ，数列的21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项和是 ▲ ． 13．随机变量X 的分布列如下：MA BCQDX －10 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝ ▲ ，方差的最大值是 ▲ ．14． 函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,π0)A ωϕ>>-<<的部分图像如图所示，则ϕ= ▲ ，为了得到()cos g x A x ω=的图像，需将函数()y f x =的图象最少向左平移 ▲ 个单位． 15．若实数,x y 满足114422xy xy ，则22xy S的取值范围是 ▲ ．16．已知24y x =抛物线，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，则2AF BF-的最小值为 ▲ ． 17．如图，在四边形ABCD 中， 1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则()·PQ AB DC -的值为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题, 共74分。
江苏省镇江市2025届高三期初质量监测数学试题(含答案)
江苏省镇江市2025届高三期初质量监测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为( )A. 6B. 7C. 8D. 92.已知集合A ={x|x 2−3x−4≤0}，B ={x|2−x >0,x ∈N}，则A ∩B =( )A. {3,4}B. {0,1}C. {−1,0,1}D. {2,3,4}3.已知x >0，y >0，xy =4，则x +2y 的最小值为( )A. 4B. 42C. 6D. 824.由数字2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为( )A. 23B. 56C. 34D. 125.若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为( )A. 33B.212C. 924D.66.随机变量X 服从N(μ,σ2)，若P(X ≥1)=P(X ≤3)，则下列选项一定正确的是( )A. P(|X|≥3)=1B. σ=1C. μ=2D. P(X ≥3)+P(X ≤1)=17.已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点N 为侧面四边形CDD 1C 1的中心，则四面体NCB 1C 1的外接球的体积为( )A. 2πB. 4πC. 22πD.8 2π38.已知定义域为R 的函数f(x)，满足f(1−x)f(1−y)+f(x +y)=f(x)f(y)，且f(0)≠0，f(−1)=0，则以下选项错误的是( )A. f(1)=0B. f(x)图象关于(2,0)对称C. f(x)图象关于(1,0)对称D. f(x)为偶函数二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )A. (e 3x )′=3e xB. (x 22x +1)′=x C. (2sin x−3)′=2cos x D. (ln x2−x )′=2x(2−x)10.已知P(A)=35，P(B)=45，则下列说法正确的是( )A. P(AB)=1225B. P(A|B)>25C. P(A +B)=2325D. 23≤P(B|A)≤1)≥11.函数y=f(x)的定义域为I，区间D⊆I，对于任意x1，x2∈D(x1≠x2)，恒满足f(x1+x22f(x1)+f(x2)，2则称函数f(x)在区间D上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是( )A. f(x)=ln xB. f(x)=e xC. f(x)=x2D. f(x)=x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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江苏省镇江市2019—2020学年高三上学期第一次调研考试
数学试卷
2020．01
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．
．） 1．已知集合A ＝{
}
2
20x x x -≤，B ＝{﹣1，1，2}，则A
B ＝ ．
2．设复数2
1i
z =+
（其中i 为虚数单位），则z ＝ ． 3．右图是一个算法的伪代码，则输出的结果是 ．
4．顶点在原点且以双曲线
22
1124
x y -=的右焦点为焦点的抛物 线方程是 ． 第3题
5．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：20x my m -+-=，l 2：(2)10mx m y +--=，若直线l 1∥l 2，则m ＝ ．
6．从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是 ．
7．若实数x ，y 满足条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，则32z x y =+的最大值为 ．
8．将函数()cos 2f x x =的图象向左平移
6
π
个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则()4
g π＝ ．
9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1棱长为1，点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱B 1C 1上的任意一点，则三棱锥B —ECF 的体积为 ． 10．等比数列{}n a 的前三项和342S =，若1a ，23a +，3a 成等差数列，则公比q ＝ ． 11．记集合A ＝[a ，b ]，当θ∈[6π-
，4
π]
时，函数2
()cos 2cos f θθθθ=+的值域为B ，若“A x ∈”是“B x ∈”的必要条件，则b ﹣a 的最小值是 ．
12．已知函数3
31()0
()220x x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪--≥⎩
，，，若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式(1)f x -≤()
f x m +恒成立，则实数m 的取值范围是 ．
13．过直线l ：2y x =-上任意一点P 作圆C ：2
2
1x y +=的一条切线，切点为A ，若存在定点B(0x ，
0y )，使得PA ＝PB 恒成立，则0x ﹣0y ＝ ．
14．在平面直角坐标系xOy 中，已知三个点A(2，1)，B(1，﹣2)，C(3，﹣1)，点P(x ，y )满足
(OP OA)(OP OB)1⋅⨯⋅=-，则
2
OP OC OP
⋅的最大值为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．
内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）
在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 是AP 的中点，AB ⊥BD, PB ⊥PD ，平面PBD ⊥底面ABCD ．
（1）求证：PC ∥平面BDE ； （2）求证：PD ⊥平面PAB ．
16．（本题满分14分）
如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，AB ＝14，BD ＝6，BA BD 66⋅=．
（1）若C ＞B ，且cos(C ﹣B)＝
13
14
，求角C ； （2）若△ACD 的面积为S ，且1
CA CD 2
S =
⋅，求AC
的长度．
在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
22
22
1
x y
a b
+=(a＞b＞0)的长轴长为4，左准线l的方程为x
＝﹣4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l1过椭圆E的左焦点F1，且与椭圆E交于A，B两点．①若AB＝24
7
，求直线l1的
方程；②过A作左准线l的垂线，垂足为A1，点G(
5
2
-，0)，求证：A1，B，G三点共线．
18．（本题满分16分）
某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形PQRS的长PS为130米，宽RS 为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O，圆O与PS，SR，QR分别相切于点A，D，C，T为PQ 的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成．出发点N在线段PT上（不含端点，游客从点
Q处乘升降电梯至点N），轨道第一段NM与圆O相切于点M，再沿着圆弧轨道MA到达最高点A，然后在点A处沿垂直轨道急速下降至点O处，接着沿直线轨道OG滑行至地面点G处（设计要求M，O，G三点共线），最后通过制动装置减速沿水平轨道GR滑行到达终点R．记∠MOT为α，轨道总长度为l米．
（1）试将l表示为α的函数()
lα，并写出α的取值范围；
（2）求l最小时cosα的值．
已知函数2
()ln ()f x x a x x =+-(a ∈R)． （1）当a ＝0，证明：()1f x x <-；
（2）如果函数()f x 有两个极值点1x ，2x (1x ＜2x )，且12()()f x f x k +<恒成立，求实数k 的取值范围；
（3）当a ＜0时，求函数()f x 的零点个数． 20．（本题满分16分）
已知N n *
∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n S a a +=-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满
足1
(1)2
n n n T b n n b +=+
+，且12a b =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设n n n
a c
b =
，问：数列{}n c 中是否存在不同两项i c ，j c （1≤i ＜j ，i ，j N *
∈），使i c ＋j c 仍是数列{}n c 中的项?若存在，请求出i ，j ；若不存在，请说明理由．
参考答案
11．3 12． 13． 14．
15．
16．
17．
18．
19．
20．。