2020届二轮(文科数学) 客观题专练(七) 解三角形专题卷(全国通用)

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2020新课标高考数学(文)二轮总复习专题限时训练：1-1-2 解三角形 Word版含解析

专题限时训练 (小题提速练)(建议用时：45分钟)一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( ) A ．－12 B.12 C.－1D.1解析：由a cos A ＝b sin B 可得sin A cos A ＝sin 2B ，所以sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1. 答案：D2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 为( ) A.74 B.34 C.73D.13解析：由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ，得b ＝2a .∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，∴sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.故选A 答案：A3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B.直角三角形 C ．钝角三角形D.不确定解析：由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，因为sin A ≠0，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．答案：B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则角C ＝( ) A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π4解析：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋bc ，联立得b ＝3＋12c ，代入b 2＝a 2＋bc ，得2a 2＝c 2，由正弦定理，得sin 2C ＝2sin 2A ＝12，∴sin C ＝22.∵b ＝3＋12c ，∴b >c ，∴B >C ，∴C ＝π4.故选B. 答案：B5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B.34 C.36D.38解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34. 答案：B6．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且cos 2B ＋3cos (A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( ) A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1D.2∶1解析：由题意可得cos 2B －3cosB ＋2＝0,2cos 2 B －3cos B ＋1＝0，B ∈(0，π)，解得cos B ＝12，故B ＝π3，由正弦定理可得c sinC ＝b sin B ＝332＝2，故选D.答案：D7．如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，垂足为E .若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24C.64D.63解析：依题意得，BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A ，由此解得cos A ＝64. 答案：C8．(2019·昆明模拟)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B. 2 C. 3D.2解析：方法一：因为tan ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，cos ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABC BC ＝2×323＝1. 方法二：因为tan ∠BAC ＝－3，所以cos ∠BAC ＝－110<0，则∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于 2. 答案：A9．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( ) A.32 B.3－1 C.2D.2－ 3解析：由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA→|cos B ＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac ⇒a 2＋c 2－b 2＝1，所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2＝2－ 3.故选D.答案：D10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( ) A ．6 B.5 C.4D.3解析：由正弦定理得a sin A －b sin B ＝4c sin C ⇒a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2. 又由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14，所以bc ＝6. 答案：A11．如图，海岸线上有相距5 n mile 的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距3 2 n mile 的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5 n mile 的C 处，则两艘轮船之间的距离为( )A ．5 n mile B.2 3 n mile C.13 n mileD.3 2 n mile解析：连接AC (图略)，∠ABC ＝60°，BC ＝AB ＝5 n mile ，AC ＝5 n mile ，在△ACD 中，AD ＝3 2 n mile ，AC ＝5 n mile ，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13 n mile. 答案：C12．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b ，若a ＝1，3c －2b ＝1，则角B 为( ) A.π4 B.π6 C.π3D.π12解析：因为a cos C ＋32c ＝b ，所以sin A cos C ＋32·sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以32sin C ＝cos A sin C ，因为sin C ≠0，所以cos A ＝32，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，知1＝b 2＋c 2－3bc .联立⎩⎨⎧1＝b 2＋c 2－3bc ，3c －2b ＝1，解得c ＝3，b ＝1，由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝1×121＝12，∵b ＜c ，∴B ＜C ，∴B ＝π6.答案：B 二、填空题13．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为 .解析：设另一条边长为x .则x 2＝22＋32－2×2×3×13， ∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴再由正弦定理可得2R ＝x sin θ＝3sin θ＝3223＝924，∴外接圆的半径R ＝928. 答案：92814．(2018·全国新课标卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝________.解析：因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.答案：4 215．已知在△ABC 中，AB ＝1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，S △ABC ＝316sin C ，则cos C ＝ .解析：设在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，因为sin A ＋sin B ＝2sin C ，则由正弦定理得a ＋b ＝2c . 又因为S △ABC ＝12ab sin C ＝316sin C ，sin C ≠0，所以ab ＝38，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －12ab ＝13.答案：1316．(2019·惠州第一次调研)已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4,6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．解析：由4sin A ＝c sin C ，得4sin A ＝csin 2A ，所以c ＝8cos A ，因为16＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以16－b 2＝64cos 2A －16b cos 2A ，又b ≠4，所以cos 2A ＝16－b 264－16b ＝(4－b )(4＋b )16(4－b )＝4＋b 16，所以c 2＝64cos 2A ＝64×4＋b 16＝16＋4b .因为b ∈(4,6)，所以32<c 2<40，所以42<c <210. 答案：(42，210)专题限时训练 (大题规范练)(建议用时：60分钟)1．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C.(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解析：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1， BC ＋AC ＝2AB ，两式相减得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C 得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝(AC ＋BC )2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°.2．在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a . (1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解析：(1)∠A ＝60°，c ＝37a ，由正弦定理可得sin C ＝37sin A ＝37×32＝3314. (2)a ＝7，则c ＝3，∴C ＜A ，由(1)可得cos C ＝1314.∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝32×1314＋12×3314＝437.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×7×3×437＝6 3.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2＋c 2－a 2＝bc . (1)求角A 的大小；(2)设函数f (x )＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x2，当f (B )取最大值时，判断△ABC 的形状．解析：解：(1)在△ABC 中，b 2＋c 2－a 2＝bc ，根据余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，而A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)因为f (x )＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x2，所以f (x )＝12sin x ＋32cos x ＋32，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋32，则f (B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＋32.因为B ∈(0，π)，所以当B ＋π3＝π2，即B ＝π6时，f (B )取最大值，此时易知△ABC 是直角三角形．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos 2A ＋32＝2cos A . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．解析：(1)根据二倍角公式cos 2A ＝2cos 2A －1，得2cos 2A ＋12＝2cos A ，即4cos 2 A －4cos A ＋1＝0，所以(2cos A －1)2＝0，所以cos A ＝12. 因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝23sin B ，c ＝23sin C ，所以l ＝1＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )．因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，所以l ＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.因为0<B <2π3，所以l ∈(2,3]．。

解三角形(文科)解答题30题--高考数学复习提分复习资料教师版

专题2解三角形（文科）解答题30题1．（广西邕衡金卷2023届高三第二次适应性考试数学（文）试题）记ABC 的面积为S ，其内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1c =，)2214a b S +-=．(1)求C ；(2)求ABC 面积的最大值．2．（内蒙古自治区赤峰市2022届高三模拟考试数学（文科）4月20日试题）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)求tan B 的值；(2)设3a =，1c =，求b 和△ABC 的面积．3．（山西省运城市2022届高三5月考前适应性测试数学（文）试题（A 卷））在ABC中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin cos sin )a C A A c A =-.(1)求A ；(2)a =，ABC 的外接圆圆心为点P ，求PBC 的周长.4．（贵州省贵阳市白云区2023届高三上学期阶段性质量监测数学（文）试题）在ABC中，内角、、A B C 的对边分别为a 、b 、c ，在条件：①sin cos a C A ；()sin 0B C A ++=；③222sin sin sin sin sin B C B C A +-=，从上述三个条件中任选一个作为题目的补充条件，你的选择是______，并解答下面问题：(1)求角A 的大小；(2)若b c a +=ABC 的面积.5．（江西省宜春市丰城中学2022届高三高考模拟数学（文）试题）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，sin sin 2B Cb a B +⋅=，(1)求角A ；(2)若2AB AC ⋅=，求a 的最小值.6．（山西省太原市2022届高三下学期三模文科数学试题）已知锐角ABC中，()()sin sinA B A B+=-=.(1)求tan tanAB；(2)若7AB=，求ABC的面积S.7．（陕西省西安市莲湖区2022届高三下学期高考模拟考试文科数学试题）在①()cos 2cos A B C =+，②sin cos a C A =这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______．(1)求角A ；(2)若2b =，4c =，求ABC 的BC 边上的中线AD 的长．8．（陕西省西安地区八校2022届高三下学期5月联考文科数学试题）如图，在平面四边形ABCD 中，E 为AD 2AB =，3BC AE ==，5CD DE ==.(1)若2BE =，求()tan ABE BEA ∠+∠的值；(2)若120BCD ∠=︒，求BE 的长.（2）连接BD .在BCD △中，3BC =，CD 2235235cos1203430BD =+-⨯⨯⨯︒=-由余弦定理，得22232cos 23BE AEB BE +-∠=⨯⨯余弦定理，得22257cos BE BED +-==∠9．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b bc -=.(1)求证：2A B =；(2)若3cos 4B =，点D 为边AB 上的一点，CD 平分ACB ∠，1CD =，求边长b .中，由正弦定理可得：在ACD10．（2022·贵州贵阳·贵阳一中校考模拟预测）在①10ac =，②a =③()sin sin 6sin b A C B +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值及三角形ABC 的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由.问题：是否存在,ABC 它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos2,3,sin Bb bc C==___________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.11．（广东省潮州市2022届高三下学期二模数学试题）已知在ABC 中，A ，B ，C 为三个内角，a ，b ，c 为三边，2cos c b B =，2π3C =．(1)求角B 的大小；(2)在下列两个条件中选择一个作为已知，求出BC 边上的中线的长度．①ABC 的面积为4；②ABC 的周长为4+的三个12．（贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学（文）试题）设ABC的面积为S．且有关系式：内角A，B，C所对的边长为a，b，c，ABC2+=+．cos2cos22cos2sin sinA B C A B(1)求C；(2)求2cS的最小值．13．（广西四市2022届高三4月教学质量检测数学（文）试题）设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2sin c b A b A -=．(1)证明：()sin 2sin sin A B B A -=；(2)若3A B =，求B 的值．14．（广西南宁市第十九中学2023届高三数学（文）信息卷（三）试题）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ､b ､c ，已知2222cos cos b c a ac C c A +-=+.(1)求角A 的大小；(2)若5a =，2c =，求ABC 的面积.15．（江西省南昌市2022届高三第二次模拟测试数学（文）试题）如图，锐角OAB 中，OA OB =，延长BA 到C ，使得3AC =，4AOC π∠=，sin 3OAC =∠.(1)求OC ；(2)求sin BOC ∠.16．（江西省重点中学盟校2022届高三第二次联考数学（文）试题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：sin sin 2B C b a B +=，条件②：1cos 2b a Cc =+，条件③：tan (2)tan b A c b B =-这三个条件中选择一个作为已知条件．(1)求角A ；(2)若3AB AC ⋅=，求a 的最小值．17．（江西省景德镇市2023届高三上学期第二次质检数学（文）试题）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin tan cos 2cos C B C A =-且角A 为锐角.(1)求角B ；(2)若ABC b 的最小值.18．（宁夏银川一中2022届高三二模数学（文）试题）ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积tan S B =⋅.(1)求B ；(2)若a 、b 、c 成等差数列，ABC ∆的面积为32，求2b .19．（宁夏平罗中学2022届高三下学期第三次模拟数学（文）试题）已知函数()f x m n =⋅，向量()sin cos n x x x =+ ，()cos sin ,2sin m x x x =-，在锐角ABC 中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(1)若()1f A =，求角A 的大小；(2)在（1）的条件下，a =c b +的最大值.20．（内蒙古包头市2022届高三第一次模拟考试文科数学试题（A 卷））如图所示，经过村庄B 有两条夹角为60︒的公路BA 和BC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂F ，分别在两条公路边上建两个仓库D 和E （异于村庄B ），设计要求3FD FE DE ===（单位：千米）.(1)若30BDE ∠=︒，求BF 的值（保留根号）；(2)若设BDE θ∠=，当θ为何值时，工厂产生的噪音对村庄B 的居民影响最小（即工厂F 与村庄B 的距离最远），并求其最远距离.（精确到0.1 1.732≈）21．（内蒙古赤峰市2022届高三下学期5月模拟考试数学（文科）试题）ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且()()()sin sin sin b c C B c a A +-=-(1)求B ；(2)若2a =，b =ABC 的面积．22．（山西省晋中市2022届高三下学期5月模拟数学（文）试题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .在①23coscos cos 24A C A C --=；②()22sin sin sin 3sin sin A C B A C +=+；③2cos 2b C c a +=这三个条件中任选一个作为已知条件.(1)求角B 的大小；(2)若a c +=ABC 周长的最小值.23．（陕西省宝鸡中学2022届高三下学期高考模拟文科数学试题）已知())cos ,cos ,,cos a x x b x x ==-，()f x a b =⋅ ，(1)求()f x 的单调递增区间；(2)设ABC 的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，若()12f A =，且a 22b c +的取值范围.24．（广西桂林市第十八中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段性考试数学（文）试题）已知ABC 的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若角A B C ，，成等差数列，且2b =，（1）求ABC 的外接圆直径；（2）求a c +的取值范围.25．（甘肃省天水市田家炳中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学（文科）试题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知()()sin sin a B C b c B +=+，D 为边BC 的中点．(1)证明：2A B =；(2)若π3A =，AD ABC 的周长l ．26．（河南省平顶山市汝州市2022届高三3月联考文科数学试题）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积S AB AC →→=⋅.(2)延长AC 至点D ，使得CD ＝AC ，且BD ＝2BC ，若c ＝6，求△ABC 的周长.27．（甘肃省酒泉市2022届高三5月联考文科数学试题）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos cos 26A C b C ππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(2)若a b =，P 为ABC 内一点，2PA =，4PC =，则从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①BP CP ⊥；②PB =；③150∠= BPA ．28．（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（一）数学（文）试题）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，221cos 2a b bc ac B -+=．(1)求角A ；(2)若sin b A B =，求ABC 面积的最大值．29．（河南省2022-2023年度高三模拟考试数学（文科）试题）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且(sin sin )sin sin a A C c C b B -+=.(1)求角B ；(2)若5b =，求ABC 周长的最大值.30．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测文科数学试题）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos sin b c a B B +=+．(1)求角A 的大小；(2)若D 是BC 边上一点，且2CD DB =，若2AD =，求△ABC 面积的最大值．因为2CD DB=，23 AD AB=由222133AD AB AC⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以。

2020年高考数学(文数)解答题强化专练——解三角形含答案

（文数）解答题强化专练——解三角形一、解答题（本大题共10小题，共120.0分）1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a-c=2b cos C．（1）求的值；（2）若b=，求c-a的取值范围．2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=7，c（-cos A）=a cos C．（1）求c；（2）若B=，点D在边BC上，且AD=5，求△ADC的面积．3.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．（1）求△ABC外接圆的半径；（2）若c＝3，求△ABC的面积．4.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2A+sin2C-sin A sin C=sin2B．（1）求sin B的值；（2）若b=2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＝1－.(1)证明：sin A＝；(2)若sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，求tan B .6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，，求的面积．7.已知，，分别是的内角，，所对的边，.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.8.已知在中，角，，所对的边分别为，，，的面积为．（1）求的值；（2）若，，且的中点为，求的周长．9.已知中，角的对边分别为，.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.10.如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=.（1）求cos∠CAD的值;（2）若cos∠BAD=-，sin∠CBA=，求BC的长.答案和解析1.【答案】解：（1）因为2a-c=2b cos C=，整理可得，a2+c2-b2=ac，由余弦定理可得，cos B=，故B=60°，A+C=120°，所以=sin120°=；（2）由正弦定理可得，，所以a=2sin A，c=2sin C，所以c-a=2sin C-2sin A=2sin C-2sin（120°-C）=sin C-cos C，=sin（C-60°），因为0°＜C＜120°，所以-60°＜C-60°＜60°，所以，故【解析】（1）由已知结合余弦定理进行化简求解cos B，进而可求B，代入即可求解；（2）由已知结合正弦定理可表示c-a，然后结合和差角公式及正弦函数的性质即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式及辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．2.【答案】解：（1）∵b=7，c（-cos A）=a cos C．∴=a cos C+c cos A，由正弦定理可得=sin A cos C+sin C cos A，∴=sin（A+C）=sin B，由正弦定理可得=b=7，∴解得c=5．（2）∵B=，点D在边BC上，且AD=5，c=5，∴△ABD为等边三角形，∴在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，可得72=52+a2-2×，可得a2-5a-24=0，∴解得a=8，或-3（舍去），∴CD=a-BD=8-5=3，∴S△ACD=AD•CD•sin∠ADC=sin120°=．【解析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式即可求解c的值．（2）由已知可求△ABD为等边三角形，在△ABC中，由余弦定理可得a的值，进而解得CD的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．3.【答案】解:(1)依题意，由正弦定理化简得,即=,=-1,整理得整理得+-=-bc,所以A==-,因为,所以A=,故所求外接圆半径r===;(2)因为a=,c=3,A=,所以由余弦定理=+-2bc A,得13=+9-23b,解得b=1或b=-4(舍），则=13=.【解析】【分析】本题主要考查三角函数的和角公式、以及正、余弦定理等知识，考查了运算求解能力及化归与转化能力，属于中档题．（1）利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得+-=-bc,结合余弦定理，可求A==-即可得角A的值及外接圆半径r．（2）利用余弦定理，=+-2bc A,求解b值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．4.【答案】解：（1）因为sin2A+sin2C-sin A sin C=sin2B．由正弦定理可得，，由余弦定理可得，cos B=，故sin B=；（2）∵S△ABC===，所以ac=3，因为，所以=4+8=12，所以a+c+b=2+2．【解析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求cos B，然后结合同角平方关系可求sin B；（2）由已知结合三角形的面积公式可求ac，然后结合余弦定理即可求解a+c，进而可求三角形的周长．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，属于中档试题．5.【答案】(1)证明:因为＝1－，所以＋＝1，所以＋＝1，所以sin A cos B＋cos A sin B＝sin A sin B，所以sin(A＋B)＝sin A sin B，在△ABC中，A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，所以sin A sin B＝sin C，根据正弦定理可得b sin A＝c，即sin A＝;(2)解:因为sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，根据正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，可得cos A＝＝＝，又在△ABC中，所以sin A＝＝,由(1)知sin A cos B＋cos A sin B＝sin A sin B，所以sin B＝cos B＋sin B，所以－sin B＝cos B，故tan B＝＝－.【解析】本题考查正弦定理、余弦定理，考查同角三角函数的基本关系以及两角和与差的三角函数公式，属于中档题.(1)由同角三角函数的基本关系以及两角和与差的三角函数公式,结合已知得sin A sin B＝sin C，然后由正弦定理求解即可;(2)由已知结合正弦定理和余弦定理,得cos A,根据同角三角函数的基本关系求出sin A，然后利用(1)中的结论求解即可.6.【答案】解：（1）已知等式a sin B+b cos A=0，利用正弦定理化简得：sin A sin B+sin B cos A=0，∵sin B≠0，∴sin A+cos A=0，则.(2)由，，，∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bc cos A，即得或故【解析】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sin B不为0即可确定出角A的大小；（2）由cos A，a，b的值，利用余弦定理求出c的值，再由b，c，sin A的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．7.【答案】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得，得b sin A＝a sin B，又∴a sin B＝，即sin B＝＝，∴tan B＝，又B∈（0，π），∴B＝；（2）由余弦定理可知，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以△ABC面积的最大值为．【解析】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的三角函数公式，利用基本不等式求最值,属于基础题.（1）由正弦定理得b sin A＝a sin B，结合已知，可得sin B＝＝，易得角B的大小；（2）结合余弦定理以及基本不等式可得，根据三角形面积公式，即可求得△ABC 面积的最大值．8.【答案】解：（1）由△ABC的面积为ac sin B=ac sin2B．得sin B=2sin B cosB，∵0＜B＜π，∴sin B＞0，故cos B=，∴sin B==；（2）由（1）和 3sin2C=5sin2B•sin2A得16sin2C=25sin2A，由正弦定理得16c2=25a2，∵c=5，∴a=4，BD=a=2，在△ABD中，由余弦定理得：AD2=c2+BD2-2c•BD•cos B=25+4-2×5×2×=24∴AD=2，∴△ABD的周长为c BD+AD=7+2．【解析】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查二倍角的正弦公式和同角的平方关系，属于中档题．（1）运用三角形的面积公式和正弦定理、二倍角正弦公式，化简整理，即可得到的值；（2）运用正弦定理和（1）的结论，首先求得边a与线段BD的长，再根据余弦定理即可得到AD的长，从而得到所求周长．9.【答案】解：（1），由正弦定理可得，，，又，，，∵,∴；（2）由余弦定理可得，又，解得，，的面积为.【解析】本题考查正弦余弦定理及面积公式.（1）利用正弦定理及两角和与差的三角函数公式化简整理得出cos C,即可求出C；（2）利用余弦定理及三角形面积公式计算即可.10.【答案】解：(1)由题意，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=，在△ADC中，由余弦定理得，cos∠CAD＝＝＝；(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，且∠CAD和∠BAD均为三角形内角，所以sin∠CAD＝，sin∠BAD＝，于是sinα＝sin (∠BAD－∠CAD)＝sin∠BAD cos∠CAD－cos∠BAD sin∠CAD＝×－(－)×＝，在△ABC中，由正弦定理，得＝，故BC＝＝＝3.【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，考查同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式，属于中档题.（1）直接利用余弦定理即可求得结果；（2）设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD，求得sinα的值，在△ABC中，利用正弦定理便可求得BC的长.。

2020高考文科数学二轮分层特训卷：主观题专练平面向量、三角函数与解三角形(2) Word版含解析

平面向量、三角函数与解三角形(2)1．已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解析：(1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2.于是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )．(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.2．[2019·浙江卷，18]设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．解析：本题主要考查三角函数的性质、三角恒等变换，考查考生的逻辑推理能力及运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．(1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或3π2.(2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －32sin 2x＝1－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 因此，函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32. 3．[2019·山西大同联考]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝35，tan(A －B )＝13，角C 为钝角，b ＝5.(1)求sin B 的值； (2)求边c 的长．解析：(1)因为角C 为钝角，则A 为锐角，sin A ＝35，所以cosA ＝1－sin 2A ＝45，又tan(A －B )＝13，所以0<A －B <π2，且sin(A －B )＝110，cos(A－B )＝310，所以sin B ＝sin[A －(A －B )]＝sin A cos(A －B )－cos A sin(A －B )＝35×310－45×110＝1010.(2)因为a b ＝sin A sin B ＝3105，且b ＝5，所以a ＝310.由(1)知cos B ＝310，所以cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－9510，则c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝90＋25－2×310×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－9510＝169，所以c ＝13.4．[2019·安徽五校联盟第二次质检]如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝2，sin ∠CAD ＝2114，3AC sin ∠BAC ＋BC cos B ＝2BC ，且B ＋D ＝π，求△ABC 的面积的最大值．解析：在△ABC 中，由3AC sin ∠BAC ＋BC cos B ＝2BC ，结合正弦定理可得3sin B sin ∠BAC ＋sin ∠BAC cos B ＝2sin ∠BAC ， ∵sin ∠BAC ≠0，∴3sin B ＋cos B ＝2,2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝1，∵0<B <π，∴B ＋π6＝π2，∴B ＝π3.又B ＋D ＝π，∴D ＝2π3.在△ACD 中，D ＝2π3，sin ∠CAD ＝2114，∴cos ∠CAD ＝5714，则sin ∠ACD ＝sin(D ＋∠CAD )＝32×5714＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×2114＝217，由正弦定理得AC sin D ＝AD sin ∠ACD ，即AC 32＝2217，∴AC ＝7.在△ABC 中，7＝AC 2＝AB 2＋BC 2－AB ·BC ≥2AB ·BC －AB ·BC ＝AB ·BC ，当且仅当AB ＝BC 时取“＝”，则S △ABC ＝34AB ·BC ≤734，即△ABC 的面积最大值为734.5．[2019·南昌模拟]已知函数f (x )＝1＋23sin x 2·cos x 2－2cos 2x 2，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)求f (A )的取值范围；(2)若A 为锐角且f (A )＝2，2sin A ＝sin B ＋2sin C ，△ABC的面积为3＋34，求b 的值．解析：(1)f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∴f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6，由题意知，0<A <π，则A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，故f (A )的取值范围为(－1,2]．(2)由题意知，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝22，∴A －π6＝π4＋2k π，k ∈Z ，即A＝5π12＋2k π，k ∈Z ，∵A 为锐角，∴A ＝5π12.由正、余弦定理及三角形的面积得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝b ＋2c ，12bc ·sin 5π12＝3＋34，cos 5π12＝b 2＋c 2－a 22bc，解得b ＝ 2.6．[2019·四川绵阳第一次诊断]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且2c sin B ＝3a tan A .(1)求b 2＋c 2a 2的值；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解析：(1)∵2c sin B ＝3a tan A ，∴2c sin B cos A ＝3a sin A ，由正弦定理得2cb cos A ＝3a 2，由余弦定理得b 2＋c 2－a 2＝3a 2，化简得b 2＋c 2＝4a 2，∴b 2＋c 2a 2＝4.(2)∵a ＝2，由(1)知b 2＋c 2＝4a 2＝16，∴由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6bc .根据基本不等式知b 2＋c 2≥2bc ，即8≥bc ，当且仅当b ＝c 时“＝”成立，∴cos A ≥68＝34.由cos A ＝6bc ，得bc ＝6cos A ，且A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×6cos A ×sin A ＝3tan A .∵1＋tan 2A ＝1＋sin 2A cos 2A ＝cos 2A ＋sin 2A cos 2A ＝1cos 2A ，∴tan A ＝1cos 2A －1≤ 169－1＝73，∴S ＝3tan A ≤7. ∴△ABC 的面积的最大值为7.。

第二篇解三角形02-2020年高考数学二轮复习选填题专项测试(文理通用)(解析版)

2020高考数学选填题专项练习02（解三角形）（文理通用）第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·福建高三期中（理））ABC ∆中，60C AC AB =︒==，A =( )A ．ο35B ．ο45C ．ο60D ．ο75【答案】D 【解析】【分析】根据正弦定理求解角B ,进而利用内角和为180︒求解A 即可.【详解】由正弦定理有sin sin sin sin 2AC AB B B C B=⇒=⇒=.又AC AB <,故B C <,所以45B =︒.故180456075A ︒-︒-︒==︒.【点睛】本题主要考查了正弦定理的运用,属于基础题.2.（2020·四川省金堂中学校高三（文））小王同学骑电动自行车以24/km h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，20min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75︒方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．4km B．C．D ．23km【答案】C【解析】依题意有20248,30,1807510560AB BAS ABS o o o o =⋅=∠=∠=-=,45ASB ∠=o ，由正弦定理得sin 30sin 45BS AB=o o，解得BS = 3．（2020·河北高三月考（文））在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b =3c =，2B C =，则cos 2C 的值为( )A ．37B ．75 C ．97 D ．95 【答案】D 【解析】【分析】根据正弦定理、二倍角的正弦公式、余弦公式直接进行求解即可.【详解】由正弦定理可得：sin sin b c B C=，即sin sin 22sin cos 2cos cos sin sin sin b B C C C C C c C C C =====∴275cos22cos 12199C C =-=⨯-=．故答案为：59【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了数学运算能力. 4.（2020·宁夏贺兰县景博中学高三（文））已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,7,3C c ABC π==∆，则ABC ∆的周长为（） A．8B ．12C ．15D ．7+【答案】C 【解析】【分析】根据2,3ABC C S π∆==，解得15ab =，再由余弦定理得()22222cos 49c a b ab C a b ab =+-=+-=，求得+a b 即可.【详解】因为2,3C ABC π=∆的面积为4，所以1sin 2ab C =15ab =.由余弦定理得()22222cos 49c a b ab C a b ab =+-=+-=，所以8a b +=，又因为7c =，所以1sin 142ab C =，解得15ab =.由余弦定理得()22222cos 49c a b ab C a b ab =+-=+-=，所以8a b +=，所以ABC ∆的周长为15.故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5．（2020·湖南明达中学高三（理））设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )=ac ，sinAsinC ，则角C =（） A ．C =15°或C =45° B ．C =15°或C =30° C ．C =60°或C =45° D ．C =30°或C =60°【答案】A 【解析】【分析】直接利用关系式的恒等变换，把关系式变形成余弦定理的形式，求出B 的值.对sinAsinC =4进行变换，最后求出结果．【详解】因为()()a b c a b c ac ++-+=,所以222a cb ac +-=-．由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，因此120B =︒．所以60A C +=︒，所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+ cos()2sin sin A C A C =++ 122=+=，故30A C -=︒或030A C -=-，因此，15=︒C 或45C =︒．故选：A【点睛】本题主要考查三角函数关系式的恒等变换，考查余弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题型．6.（2019·安徽省怀宁中学高三月考（文））在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为( )A ．9B ．7C ．5D ．13【答案】A 【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．（2020·江苏金陵中学高三开学考试）在锐角ABC ∆中，已知sin 4cos cos C A B =，则tan tan A B 的最大值为( )A ．4B ．3C ．6D ．7【答案】A【解析】【分析】根据三角形内角和以及两角和的正弦展开整理得tan tan 4A B +=，再代入基本不等式即可求解．【详解】在锐角ABC ∆中，已知sin 4cos cos C A B =，则tan 0A >，tan 0B >，()sin sin sin cos cos sin 4cos cos C A B A B A B A B =+=+=，所以，tan tan 4A B +=，由基本不等式可得4tan tan A B =+≥，可得tan tan 4A B ≤.当且仅当tan tan 2A B ==时，等号成立，因此，tan tan A B 的最大值为4.故答案为：4.【点睛】本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式以及三角形内角和，基本不等式，难度不大，属于中等题．8.（2020·山西高三月考（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a c b －=cosCcosB，b=4，则△ABC 的面积的最大值为（）A ．B ．C ．D【答案】A 【解析】【分析】由已知式子和正弦定理可得3B π=，再由余弦定理可得16ac ≤，由三角形的面积公式可得所求．【详解】∵在△ABC 中2a c b －=cos cos CB，∴()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C B B C B C A =+=+=．又sin 0A ≠，∴1cos 2B =，∵0B π<<，∴3B π=．在△ABC 中，由余弦定理得 22222b 162cos 2a c ac B a c ac ac ac ac ==+-=+--=…，∴16ac ≤，当且仅当a c =时等号成立．∴△ABC 的面积1sin 24S ac B ac ==≤故选A ．【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.9.（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三月考（文））ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为（）A ．3B ．33C ．36D ．312【答案】C 【解析】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得c c ==-，所以2a c ==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．10.（2020·黑龙江高三期末（文））已知ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足2sin 1cos A C B =-．若2,a c ==b =（）A ．2B ．C ．D ．3【答案】B 【解析】2sin 1cos A C B =-为2sin sin A C B =，再利用正弦定理将角化成边，代入数值，即可求解.22sin 1cos sin A C B B =-=2b =，因为2,a c ==所以b =b =B【点睛】本题考查三角恒等变换和正弦定理的应用，属于基础题.11．（2020·湖北高三（文））已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2=8，则△ABC 面积的最大值为（）A ．5B ．5C ．5D ．3【答案】B 【解析】【分析】根据a 2+b 2+2c 2=8，得到22282a b c +=-，由余弦定理得到22cos 83ab C c =-，由正弦定理得到2sin 4ab C S =，两式平方相加得()()()22224834ab c S =-+，而222822a b c ab +=-≥，两式结合有()()()()222222248283165S c c c c≤---=-，再用基本不等式求解.【详解】因为a 2+b 2+2c 2=8，所以22282a b c +=-，由余弦定理得222283cos 22a b c c C ab ab+--==，即22cos 83ab C c =-①,由正弦定理得in 12s S ab C =，即2sin 4ab C S =②,由①，②平方相加得()()()()()222222222483482ab c S a b c =-+≤+=-，所以()()()()2222222222116556448283165525c c S cc c c ⎛⎫-+≤---=-≤= ⎪⎝⎭，即245S ≤，所以S ≤，当且仅当22a b =且221655c c-=即222128,55a b c ===时，取等号.故选：B 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.（2020·汕头市潮阳实验学校高三月考（理））如图，在平面四边形ABCD 中，1AD =，BD =，AB AC ⊥，2AC AB =，则CD 的最小值为( )A ．5B ．33C ．5D ．53【答案】 C 【解析】【分析】设ADB θ∠=，在ABD ∆中，利用正弦定理得sin AB BAD θ⋅∠=，利用余弦定理得26AB θ=-，从而得到θ与BAD ∠的关系，再由2BAD DAC π∠=+∠可得θ与DAC ∠之间的关系，利用余弦定理可得22520sin()CD θϕ=-+，再利用三角函数的有界性可得答案.【详解】设ADB θ∠=，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB BD BAD θ=∠，即sin sin A BA B Dθ=⇒∠sin AB BAD θ⋅∠=，由余弦定理得2222cos 6AB AD BD AD BD θθ=+-⋅⋅⋅=-，∵AB AC ⊥，∴2BAD DAC π∠=+∠，在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos CD AD AC AD AC DAC =+-⋅∠2144sin AB AB BAD =-+∠25θθ=--2520sin()θϕ=-+，∴当sin()1θϕ+=时，min CD =【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意确定以什么为变量，建立函数关系.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

三角恒等变换与解三角形专题卷(全国通用)

2020届二轮（理科数学）三角恒等变换与解三角形专题卷（全国通用）1.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosC ＝223，bcosA ＋acosB ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：c ＝bcosA ＋acosB ＝2，由cosC ＝223得sinC ＝13，再由正弦定理可得2R ＝csinC ＝6，所以△ABC的外接圆面积为πR 2＝9π，故选C.答案：C2.△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sinB ＝22，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个解析：∵asinB ＝102，∴sinB<b ＝3<a ＝5，∴符合条件的三角形有2个．答案：B3.已知cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋sinθ＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫θ＋7π6的值是( ) A.45 B.435 C ．－45 D ．－435解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋sinθ＝435，所以32cosθ＋32sinθ＝435，即3⎝⎛⎭⎫12cosθ＋32sinθ＝435，即3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝435，所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝－45.故选C. 答案：C 4.若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4解析：因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π，又sin2α＝55，故2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以cos2α＝－255.又β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，故β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，于是cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22，且α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4. 答案：A5.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，bsinB －asinA ＝12asinC ，则sinB 为( )A.74B.34C.73D.13解析：由bsinB －asinA ＝12asinC ，且c ＝2a ，得b ＝2a ，∵cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，∴sinB ＝1－⎝⎛⎭⎫342＝74. 答案：A6.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C)＋cosB ＝1，a ＝2c.则C ＝( ) A.π6或5π6 B.π6 C.π3或2π3 D.π3解析：cos(A －C)＋cosB ＝1，故cos(A －C)－cos(A ＋C)＝1,2sinAsinC ＝1. 又由已知a ＝2c ，根据正弦定理得，sinA ＝2sinC ， ∴sinC ＝12，∴C ＝π6或5π6.∵a>c ，∴A>C ，∴C ＝π6.答案：B7.在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B 2－cos2C ＝72，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为( )A.332B.32C.34 D.3348.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2sin 2A ＋b2sin 2B ＝2c 2，sinA(1－cosC)＝sinBsinC ，b ＝6，AB 边上的点M 满足AM →＝2MB →，过点M 的直线与射线CA ，CB 分别交于P ，Q 两点，则MP 2＋MQ 2的最小值是( )A ．36B ．37C ．38D ．39 解析：由正弦定理，知a 2sin 2A ＋b 2sin 2B＝2c 2，即2＝2sin 2C ，∴sinC ＝1，C ＝π2，∴sinA(1－cosC)＝sinBsinC ，即sinA ＝sinB ，∴A ＝B ＝π4.以C 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则M(2,4)，设∠MPC ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则MP 2＋MQ 2＝16sin 2θ＋4cos 2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)⎝⎛⎭⎫16sin 2θ＋4cos 2θ＝20＋4tan 2θ＋16tan 2θ≥36，当且仅当tanθ＝2时等号成立，即MP 2＋MQ 2的最小值为34. 答案：A11．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) A ．－25 B ．－15C.15D.25解析：选C.sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝15. 8.若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17B.16C.57D.56解析：选A.tan β＝tan []＋－α＝＋－tan α1＋＋＝12－131＋12×13＝1676＝17，故选A.11.设cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝( ) A.1－k 2k B ．－1－k 2kC.k 1－k 2 D ．－k1－k 2解析：选B.sin 80°＝1－cos 280° ＝1－cos2－＝1－k 2，所以tan 100°＝－tan 80°＝－sin 80°cos 80°＝－1－k 2k，故选B.12.已知sin α＋cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1 解析：选D.法一：由sin α＋cos α＝2得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝2，即2sin αcos α＝1，又因为α∈(0，π)，则当cos α＝0时，sin α＝1，不符合题意，所以cos α≠0，所以2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝1，解得tan α＝1，故选D.法二：由sin α＋cos α＝2得：2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1，∵0＜α＜π， ∴π4＜α＜5π4， ∴α＋π4＝π2，即α＝π4故tan α＝1，故选D.13.若sin α＋cos αs in α－cos α＝12，则sin αcos α＝( )A ．－34B ．－310C ．－43 D.4314.若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝45，则tan θ＝( ) A.43 B.34 C ．2 D.12解析：选C.法一：∵sin 2θ＝2sin θcos θ＝45，且sin 2θ＋cos 2θ＝1，θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴sin θ＋cos θ＝355， sin θ－cos θ＝55， ∴sin θ＝255，cos θ＝55，∴tan θ＝2，故选C.法二：由θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2知tan θ≥1， ∴sin 2θ＝45，∴2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝45∴2tan θtan 2θ＋1＝45解得tan θ＝12(舍)或tan θ＝2. 15.在△ABC 中，若3cos 2A －B 2＋5sin 2A ＋B2＝4，则tan A·tan B 等于( )A ．4 B.14C ．－4D ．－14解析：选B.由条件得3×cos A －B ＋12＋5×cos C ＋12＝4，即3cos(A －B)＋5cos C ＝0，所以3cos(A －B)－5cos(A ＋B)＝0，所以3cos Acos B ＋3sin Asin B －5cos Acos B ＋5sin Asin B ＝0，即cos Acos B ＝4sin Asin B ，所以tan Atan B ＝14，故选B.16.已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π6的值等于( )A.4＋3310B.4－3310C.33－410D.－4－3310解析：选A.∵α为第二象限角，sin α＝35，所以cos α＝－45，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝35×32－⎝⎛⎭⎫－45×12＝4＋3310，故选A.17.若α是第四象限角，tan ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－512，则cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝( ) A.15 B ．－15 C.513 D ．－513解析：选D.由题意知，sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－513，cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－513. 20．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13 D ．－79解析：选D.cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α－1 ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝2×19－1＝－79. 21．已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A.14 B ．－14 C.12 D ．－12解析：选A.原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝14，故选A. 22．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝( ) A ．－34 B ．－14C.34 D.14解析：选B.∵a ⊥b ，∴a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋4cos α－ 3 ＝23sin α＋6cos α－ 3 ＝43sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝14. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－14. 21. 已知tan(3π－x)＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝________.解析：tan(3π－x)＝tan(π－x)＝－tan x ＝2，故tan x ＝－2.故2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝－1.答案：－322.若tan θ＝2，则2sin 2θ－3sin θcos θ＝________. 解析：法一：原式＝cos 2θ(2tan 2θ－3tan θ)＝11＋tan 2θ(2tan 2θ－3tan θ)＝11＋22×(2×22－3×2)＝25. 法二：原式＝2sin 2θ－3sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan 2θ－3tan θtan 2θ＋1＝2×22－3×222＋1＝25. 答案：2523.已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17，则sin α＋cos α＝________. 解析：依题意，1＋tan α1－tan α＝17，解得tan α＝－34＝sin αcos α，因为sin 2α＋cos 2α＝1且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，解得sin α＝35，cos α＝－45，故sin α＋cos α＝35－45＝－15. 答案：－1524.已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin α＋cos α的值为________．25.已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g(x)＝2sin 2x 2. (1)若α是第一象限角，且f(α)＝335，求g(α)的值； (2)求使f(x)≥g(x)成立的x 的取值集合．解：f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ， g(x)＝2sin 2x2＝1－cos x.(1)由f(α)＝335得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g(α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f(x)≥g(x)等价于3sin x≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x≥1. 于是sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≥12. 从而2kπ＋π6≤x ＋π6≤2kπ＋5π6，k ∈Z ，即2kπ≤x≤2kπ＋2π3，k ∈Z .故使f(x)≥g(x)成立的x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2kπ≤x≤2kπ＋2π3，k ∈Z . 26.设f(x)＝sin xcos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意知f(x)＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2kπ≤2x≤π2＋2kπ，k ∈Z ，可得－π4＋kπ≤x≤π4＋kπ，k ∈Z ；由π2＋2kπ≤2x≤3π2＋2kπ，k ∈Z ，可得π4＋kπ≤x≤3π4＋kπ，k ∈Z . 所以f(x)的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋kπ，π4＋kπ(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋kπ，3π4＋kπ(k ∈Z )． (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得 sin A ＝12.由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立．因此12bcsin A≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 27.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＋c b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6. (1)求B ；(2)若b ＝27，△ABC 的面积S ＝33，求a ＋c 的值．解析：(1)由已知得a ＋c ＝2b sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6，由正弦定理知sin A ＋sin C ＝2sin B ⎝⎛⎭⎫sin C cos π6＋cos C sin π6，即sin (B ＋C)＋sin C ＝sin B(3sin C ＋cos C)，整理得3sin B sin C －cos B sin C ＝sin C ，因为sin C>0，所以3sin B －cos B ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)由(1)知B ＝π3，从而S ＝12ac sin B ＝12ac sin π3＝34ac ＝33，所以ac ＝10.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c)2－3ac ＝(a ＋c)2－3×10＝(a ＋c)2－36，故(a ＋c)2＝b 2＋36＝(27)2＋36＝64，所以a ＋c ＝6.30．已知点P(3，1)，Q(cos x ，sin x)，O 为坐标原点，函数f(x)＝OP →·QP →. (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若A 为△ABC 的内角，f(A)＝4，BC ＝3，△ABC 的面积为334，求△ABC 的周长．解析：(1)由题易知，OP →＝(3，1)， QP →＝(3－cos x,1－sin x)，所以f(x)＝3(3－cos x)＋1－sin x ＝4－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为f(A)＝4，所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝0，则x ＋π3＝k π，k ∈Z ，即x ＝－π3＋k π，k ∈Z ，因为0<A <π，所以A ＝2π3，因为△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝334，所以bc ＝1.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得b 2＋c 2＝6，所以(b ＋c )2＝b 2＋c 2＋2bc ＝10，即b ＋c ＝2 3. 所以△ABC 的周长为3＋2 3.。

2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)专题07 解三角形(教师版)

专题七解三角形本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·山西晋城一模)在△ABC中，若AB＝8，A＝120°，其面积为43，则BC＝()A．213 B．413C．221 D．47答案C解析S△ABC ＝12AB·AC·sin A＝43，故AC＝2；由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝84，故BC＝221.故选C.2．(2019·长春质量监测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝a cos C＋12c，则角A为()A．60°B．120°C．45°D．135°答案A解析由b＝a cos C＋c cos A可知cos A＝12，A＝60°.故选A.3．(2019·郴州模拟)在△ABC中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－3bc＝a2，bc＝3a2，则角C的大小是()A.π6或2π3 B.π3C.2π3 D.π6答案A解析由b2＋c2－3bc＝a2，得b2＋c2－a2＝3bc，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32，则A ＝π6，由bc ＝3a 2，得sin B sin C ＝3sin 2A ＝3×14＝34，即4sin(π－C －A )sin C ＝3，即4sin(C ＋A )sin C ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6sin C ＝3，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin C ＋12cos C sin C ＝23sin 2C ＋2sin C cos C ＝3，即3(1－cos2C )＋sin2C ＝3－3cos2C ＋sin2C ＝3，则－3cos2C ＋sin2C ＝0，则3cos2C ＝sin2C ，则tan2C ＝3，即2C ＝π3或4π3，即C ＝π6或2π3.故选A.4．(2019·漳州质量监测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，b ＋c ＝3，则a 的最小值为( )A ．1 B. 3 C ．2 D ．3 答案 B解析在△ABC 中，∵3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，∴3sin A cos A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ，即3sin A cos A ＝sin A ，又A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos A ＝13.∵b ＋c ＝3，∴两边平方可得b 2＋c 2＋2bc ＝9，由b 2＋c 2≥2bc ，可得9≥2bc ＋2bc ＝4bc ，解得bc ≤94，当且仅当b ＝c 时等号成立，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a 2＝b 2＋c 2－23bc ＝(b ＋c )2－8bc 3≥9－83×94＝3，当且仅当b ＝c 时等号成立，∴a 的最小值为 3.故选B.5．(2019·安徽联考)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ac sin B ＝10sin C ，a ＋b ＝7，且cos C 2＝155，则c ＝( )A ．4B ．5C ．2 6D ．7 答案 B解析 ∵ac sin B ＝10sin C .由正弦定理可得abc ＝10c ，即ab ＝10.∵cos C2＝155，∴cos C ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1552－1＝15，则c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72－2×10－20×15＝5.故选B.6．(2019·赣州中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝ 3.则S △ABC ＝( )A. 2B. 3C.32 D ．2答案 C解析 ∵A ，B ，C 依次成等差数列，∴B ＝60°，∴由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得c ＝2，∴由正弦定理得S △ABC ＝12ac sin B ＝32.故选C.7．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3 答案 A解析 ∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ，∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－(4c 2＋b 2)2bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴bc ＝6.故选A.8．(2019·哈尔滨三中二模)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，cos A cos B cos C >0，则a sin Ab 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫36，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫36，12 答案 D解析由cos A cos B cos C >0，可知，三角形是锐角三角形，由正弦定理可知，sin B ＝sin2A ＝2sin A cos A ，b ＝2a cos A ，a sin A b ＝12tan A ，∵A ＋B ＋C ＝180°，B ＝2A ，∴3A ＋C ＝180°，A ＝60°－C 3>30°，∵2A <90°，∴A ∈(30°，45°)，33<tan A <1，则36<a sin A b <12.故选D.9．(2019·曲靖一中质量监测)在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，R 是△ABC 的外接圆半径，且b ＋a cos C ＋c cos A ＝22R ，则B ＝( )A.π6B.π4C.π3D.2π3 答案 B解析由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，则a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sinC ，由b ＋a cos C ＋c cos A ＝22R ，得2R sin B ＋2R sin A cos C ＋2R sin C cos A ＝22R ，即sin B ＋sin A cos C ＋sin C cos A ＝2，则sin B ＋sin(A ＋C )＝2，即sin B ＋sin(π－B )＝sin B ＋sin B ＝2sin B ＝2，则sin B ＝22，因为△ABC 是锐角三角形，所以B ＝π4，故选B.10．(2019·呼和浩特二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形答案 C解析 ∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac ，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．故选C.11．(2019·东莞模拟)已知△ABC 的内角分别为A ，B ，C ，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高为( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得7＝AB 2＋4－4AB cos60°，即AB 2－2AB －3＝0，得AB ＝3，得BC 边上的高为AB sin60°＝332.故选B.12．(2019·沈阳二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是( )A ．a ＝5，b ＝5，A ＝50°B ．a ＝3，b ＝4，A ＝30°C ．a ＝5，b ＝10，A ＝30°D ．a ＝12，b ＝10，A ＝135°答案 B解析对于A ，a ＝5，b ＝5，A ＝50°，由a ＝b 得，B ＝A ＝50°，所以C ＝80°，故△ABC 有唯一解；对于B ，a ＝3，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝b sin A a ＝23，又b >a ，所以B >A ，故B 可以是锐角也可以是钝角，故△ABC 有两个解；对于C ，a ＝5，b ＝10，A ＝30°，则sin B ＝b sin A a ＝1，B 为直角，故△ABC 有唯一解；对于D ，a ＝12，b ＝10，A ＝135°，则sin B ＝b sin A a ＝5212，在△ABC 中，A ＝135°，故B 为锐角，所以△ABC 有唯一解．故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·吉林市第一次调研测试)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3b ，c ＝5，且cos C ＝56，则a ＝________.答案 3解析 ∵a ＝3b ，c ＝5，且cos C ＝56，由余弦定理可得，cos C ＝56＝a 2＋b 2－c22ab＝9b 2＋b 2－52×3b ×b，解得b ＝1，a ＝3.14．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝________.答案 3π4解析 ∵b sin A ＋a cos B ＝0，∴a sin A ＝b－cos B .由正弦定理，得－cos B ＝sin B ，∴tan B ＝－1.又B ∈(0，π)，∴B ＝3π4.15．(2019·河北衡水中学一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝4，a ＝42sin A ，且C 为锐角，则△ABC 面积的最大值为________．答案 4＋42解析因为c ＝4，又c sin C ＝a sin A ＝42，所以sin C ＝22，又C 为锐角，所以C ＝π4.因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－2ab ≥(2－2)ab ，所以ab ≤162－2＝8(2＋2)，当且仅当a ＝b ＝8(2＋2)时等号成立，即S △ABC ＝12ab sin C ＝24ab ≤4＋42，即当a ＝b ＝8(2＋2)时，△ABC 面积的最大值为4＋4 2.16．(2019·江苏省南通市模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________．答案533或－3解析 ∵203＝12×8×10sin C ，∴sin C ＝32，∵0<C<π，∴C＝π3或2π3，当C＝2π3时，显然C是最大角，那么有tan2π3＝－3，当C＝π3时，由余弦定理得c＝82＋102－2×8×10×cos π3＝221<10，∴b是最大边，由余弦定理得cos B＝2114，∴tan B＝533.综上，△ABC的最大角的正切值为533或－ 3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·四川省达州市第一次诊断)在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且cos2A＋cos B cos C＋1＝sin B sin C.(1)求角A；(2)若a＝7，c＝2，求b.解(1)由题意得，cos2A＋cos B cos C＋1＝sin B sin C，整理后，cos2A＋1＝sin B sin C－cos B cos C＝－cos(B＋C)＝cos A＝2cos2A－1＋1，化简结果后得cos A＝1 2.∵A∈(0，π)，∴A＝π3.(2)由余弦定理得，cos A＝b2＋c2－a22bc，由于a＝7，c＝2，整理得b2－2b－3＝0，解得b＝3或b＝－1，又∵b>0，∴b＝3.18．(本小题满分12分)(2019·吉林市第一次调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的边长分别为a ，b ，c ，且c ＝2.(1)若A ＝π3，b ＝3，求sin C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝3sin C ，且△ABC 的面积S ＝252sin C ，求a 和b 的值．解 (1)△ABC 中，c ＝2，A ＝π3，b ＝3；由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9＋4－2×3×2×cos π3＝7，解得a ＝7.由正弦定理a sin A ＝csin C ，得sin C ＝2·sin π37＝217.(2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝3sin C ，降幂得sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A2＝3sin C ，化简得sin A ＋sin B ＋(sin A cos B ＋cos A sin B )＝6sin C ，又∵sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ， ∴sin A ＋sin B ＝5sin C ，即a ＋b ＝5c ＝10. ① 又S ＝12ab sin C ＝252sin C ，得ab ＝25. ② 由①②解得a ＝b ＝5.19．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．解 (1)由题设及正弦定理得 sin A sin A ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B . 由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B2，故cos B 2＝2sin B 2cos B 2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32. 因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32.20．(本小题满分12分)(2019·蚌埠二模)如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，点P 为△ABC 内一点，且tan ∠P AB ＝13，tan ∠PBA ＝12.(1)求∠APB ； (2)求PC .解 (1)由条件及两角和的正切公式，得 tan(∠P AB ＋∠PBA )＝tan ∠P AB ＋tan ∠PBA1－tan ∠P AB ·tan ∠PBA＝13＋121－13×12＝1，而0<∠P AB＋∠PBA<π，所以∠P AB＋∠PBA＝π4，则∠APB＝π－(∠P AB＋∠PBA)＝π－π4＝3π4.(2)由(1)知，∠P AB＋∠PBA＝π4，而在等腰直角三角形ABC中，CA＝22，∠CAB＝∠CAP＋∠P AB＝π4，所以∠CAP＝∠PBA，则tan∠CAP＝tan∠PBA＝12，进而可求得sin∠CAP＝sin∠PBA＝55，cos∠CAP＝cos∠PBA＝25 5.在△P AB中，由正弦定理，得P A＝sin∠PBAsin∠APB·AB＝5522×4＝4105.在△P AC中，由余弦定理，得PC2＝AC2＋AP2－2AC·AP·cos∠CAP＝8＋325－2×22×4105×255＝85，∴PC＝210 5.21．(本小题满分12分)(2019·陕西联考)某市规划一个平面示意图为如右图五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道(不考虑宽度)，BE为赛道内的一条服务通道，∠BCD＝∠CDE＝∠BAE＝2π3，DE＝4 km，BC＝CD＝ 3 km.(1)求服务通道BE 的长度；(2)当∠AEB ＝π4时，求赛道BA 的长度．解 (1)连接BD ，在△BCD 中，由余弦定理得，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝9，∴BD ＝3.∵BC ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDB ＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2，在Rt △BDE 中，BE ＝BD 2＋DE 2＝5.故服务通道BE 的长度为5 km.(2)在△BAE 中，∠BAE ＝2π3，BE ＝5，∠AEB ＝π4，由正弦定理得，BE sin 2π3＝AB sin π4，即532＝AB 22，得BA ＝563，故赛道BA 的长度为563 km.22．(本小题满分12分)(2019·乌鲁木齐二诊)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝2c .(1)若C ＝30°，求b ；(2)求△ABC 的面积S 的最大值．解(1)∵a＝2，b＝2c，∴bsin B＝csin C⇔2csin B＝c12⇔sin B＝1，∴B＝90°，∴A＝60°，∴b＝a sin Bsin A＝433.(2)S△ABC＝12ab sin C＝2c sin C＝2c1－cos2C＝－9c4＋40c2－164≤43，当c＝253时，△ABC的面积S有最大值43.。

2020版高考数学大二轮培优文科通用能力升级解三角形典型试题及答案解析(11页)

2020版高考数学大二轮培优文科通用能力升级解三角形典型试题一、选择题1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=()A. B.C. D.△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理,得cos∠BAC=--=-,由A∈(0,π),得A=,即∠BAC=π.2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=()A. B.C.2D.3,得5=b2+22-2×b×2×,解得b=3,或b=-(舍去).13.(2019山东潍坊一模)若角α的终边过点A(2,1),则sin-=()A.-B.-C. D.,cos α=,-=-cos α=-.则sin4.若tan θ=-,则cos 2θ=()A.-B.-C. D.--.θ=cos2θ-sin2θ=5.(2019广东深圳模拟)一架直升飞机在200 m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°,则塔高为()A.mB.mC.mD.m23.在Rt △ACD 中可得CD==BE , 在△ABE 中,由正弦定理得°°,则AB=,所以DE=BC=200-(m).6.在△ABC 中,cos 2(a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边),则△ABC 的形状为( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形cos 2,所以2cos2-1=-1,所以cos B=,所以-,所以c2=a2+b2.所以△ABC为直角三角形.7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b sin C+c sin B=4a sin B sinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为() A. B.C. D.b sin C+c sin B=4a sin B sin C及正弦定理,得2sin B sin C=4sin A sin B sin C,易知sin B sin C≠0,∴sin A=.又b2+c2-a2=8,∴cos A=-,4则cos A>0.∴cos A=,即,则bc=.∴△ABC的面积S=bc sin A=.8.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是() A.10海里 B.10海里C.20海里D.20海里,易知,在△ABC中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理,得°°解得BC=10(海里).59.(2019山东济宁模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A==2sin A sin B,且b=6,则c=() A.2 B.3C.4D.6△ABC中,A=,b=6,∴a2=b2+c2-2bc cos A,即a2=36+c2-6c,①又=2sin A sin B,∴=2ab,即cos C=-,∴a2+36=4c2,②由①②解得c=4或c=-6(不合题意,舍去).∴c=4.二、填空题610.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为米.OC,由题意知CD=150米,OD=100米,∠CDO=60°.在△COD中,由余弦定理得OC2=CD2+OD2-2CD·OD·cos 60°,即OC=50.11.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,cos A=,sin B=2sin C,则△ABC的面积是.sin B=2sin C,cos A=,A为△ABC一内角,可得b=2c,sin A=-,∴由a2=b2+c2-2bc cos A,可得8=4c2+c2-3c2,解得c=2,则b=4.78∴S △ABC = bc sin A= ×4×2×.12.如图,在△ABC 中,B=45°,D 是BC 边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB= .△ACD 中,由余弦定理可得cos C=-,则sin C=. 在△ABC 中,由正弦定理可得,则AB=. 13.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 的对边,且B 为锐角,若,sin B=,S △ABC=,则b 的值为 .由及正弦定理,得,即a=c ,① 由S △ABC =ac sin B=,sin B=,得ac=5, ②9联立①②,得a=5,c=2.由sin B=且B 为锐角,得cos B=,由余弦定理,得b 2=25+4-2×5×2×=14,b= .三、解答题14.如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s .某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s 后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为多少米?(取 ≈1.4, ≈1.7),作CD 垂直于线段AB 的延长线于点D ,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°, 所以∠ACB=30°,AB=50×420=21 000(m). 又在△ABC 中,,所以BC=×sin 15°=10 500( ).因为CD⊥AD,所以CD=BC·sin∠DBC=10 500()×=10 500(-1)≈7 350(m).故山顶的海拔高度为10 000-7 350=2 650(m).15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2-ab-2b2=0.(1)若B=,求A,C;(2)若C=,c=14,求S△ABC.由已知B=,a2-ab-2b2=0结合正弦定理,得sin2A-sin A sin-2sin2=0,化简整理,得2sin2A-sin A-1=0,于是sin A=1或sin A=-(舍).因为0<A<π,所以A=,又A+B+C=π,所以C=π-.(2)由题意及余弦定理可知a2+b2-2ab cos=196,即a2+b2+ab=196,①由a2-ab-2b2=0,得(a+b)(a-2b)=0,因为a+b>0,所以a-2b=0,即a=2b,②10联立①②解得b=2,a=4.所以S△ABC=ab sin C=14.11。

2020高考文科数学二轮分层特训卷：客观题专练平面向量、三角函数与解三角形(6) Word版含解析

平面向量、三角函数与解三角形(6)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2019·河南新乡二中期中]已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 答案：B解析：∵点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin α>cos α，tan α>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α>0，tan α>1或⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，0<tan α<1，又0≤α<2π，∴π4<α<π2或π<α<5π4，∴α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4，故选B.2．[2019·山西吕梁阶段检测]sin 7°cos 37°－sin 83°cos 307°＝( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32 答案：A 解析：sin 7°cos 37°－sin 83°cos 307°＝sin 7°cos 37°－cos7°sin 37°＝sin(7°－37°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－12，故选A.3．[2019·陕西宝鸡四校第二次联考]若1＋cos αsin α＝3，则cos(π＋α)＋2sin (π－α)＝( )A.15B.25C.35D.45 答案：B解析：由1＋cos αsin α＝3，得cos α＝3sin α－1(sin α≠0)，所以sin 2α＋(3sin α－1)2＝1，即5sin 2α－3sin α＝0，因为sin α≠0，所以sin α＝35，从而cos α＝45.于是cos(π＋α)＋2sin(π－α)＝－cos α＋2sin α＝－45＋2×35＝25.故选B.4．[2019·河北保定二校联考]已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin αcosβ－2cos αsin β＝0，则tan(2π＋α)＋tan π2－β的最小值为( )A ．2 B. 2 C ．1 D ．2 2 答案：D解析：由sin αcos β－2cos αsin β＝0，得tan α＝2tan β，又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan α>0，tan β>0.于是tan(2π＋α)＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝tan α＋1tan β＝2tan β＋1tan β≥22tan β×1tan β＝22，当且仅当2tanβ＝1tan β，即tan β＝22时等号成立．故选D.5．[2019·成都检测]已知向量a ＝(2,1)，b ＝(3,4)，c ＝(k,2)，若(3a －b )∥c ，则实数k 的值为( )A ．－8B ．－6C ．－1D ．6 答案：B解析：由题意，得3a －b ＝(3，－1)．因为(3a －b )∥c ，所以6＋k ＝0，解得k ＝－6，故选B.6．[2019·安徽A10联盟月考]已知f (tan x )＝sin 2x －sin 2x ，记sin α＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，其中α是第四象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.17 B ．－17 C ．7 D ．－7答案：A解析：∵f (tan x )＝sin 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝tan 2x －2tan xtan 2x ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－35，即sin α＝－35，又α是第四象限角，∴cos α＝45，∴tan α＝－34，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17.故选A. 7．[2019·吉林省重点中学联考]在△ABC 中，内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c ，已知a 2bc －c b －bc ＝1，△ABC 外接圆的半径为3，则a ＝( )A ．2B ．3C ．3 3D ．2 3 答案：C解析：∵a 2bc －c b －b c ＝1，∴a 2－b 2－c 2bc＝1，即b 2＋c 2－a 2＝－bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－12，∴sin A ＝32，∵△ABC 的外接圆半径为3，∴由正弦定理得a ＝6sin A ＝33，故选C.8．[2019·郑州入学测试]将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象如图所示，则函数f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(x ∈R )B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(x ∈R )C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R )D ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )答案：A解析：依题意，设g (x )＝sin(ωx ＋θ)，其中ω>0，|θ|<π2，则有T ＝2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，ω＝2，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝1，则θ＝π6，因此g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，f (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选A. 9．[2019·黑龙江鹤岗一中月考]已知点A (0，－1)，B (2,0)，O 为坐标原点，点P 在圆C ：x 2＋y 2＝45上．若OP→＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ的最小值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案：B解析：通解设OP→＝(x ，y )，∵A (0，－1)，B (2,0)，OP →＝λOA →＋μOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2μ，y ＝－λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ＝x 2，λ＝－y ，∴λ＋μ＝x2－y .∵点P 在圆C ：x 2＋y 2＝45上，∴直线x2－y ＝λ＋μ和圆C 有公共点，∴2|λ＋μ|5≤25，∴|λ＋μ|≤1，∴－1≤λ＋μ≤1，∴λ＋μ的最小值为－1.故选B.优解 ∵OP →＝λOA →＋μOB →，∴OP →λ＋μ＝λλ＋μOA →＋μλ＋μOB →，设OP →λ＋μ＝OD →，∴A ，B ，D 三点共线，且|λ＋μ|＝|OP →||OD→|，∵点P 在圆C ：x 2＋y 2＝45上．∴|OP →|＝255.∵A (0，－1)，B (2,0)，∴|OD →|≥255，∴|λ＋μ|≤1，∴－1≤λ＋μ≤1，∴λ＋μ的最小值为－1.故选B. 10．[2019·合肥质量检测]已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，且f (x )在(0，π)上单调．下列说法正确的是( )A ．ω＝12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝6－22C ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上单调递增D ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0中心对称答案：C解析：由题意得函数f (x )的最小正周期T ＝2πω，因为f (x )在(0，π)上单调，所以T 2＝πω≥π，得0<ω≤1.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，所以f (x )在(0，π)上单调递减，又0<φ<π，0<ω≤1，所以⎩⎨⎧ωπ8＋φ＝3π4，ωπ2＋φ＝π，解得⎩⎨⎧ω＝23，φ＝2π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋2π3.选项A 显然不正确．对于选项B ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23×π8＋2π3＝2sin 7π12＝6＋22，故B 不正确．对于选项C ，当－π≤x ≤－π2时，0≤23x ＋2π3≤π3，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上单调递增，故C 正确．对于选项D ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×3π4＋2π3＝2sin 7π6≠0，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0不是函数f (x )图象的对称中心，故D 不正确．综上选C.11．[2019·广东深圳高级中学月考]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，b ＝1，△ABC 的面积为32，则b ＋c sin B ＋sin C的值为( )A. 3 B ．2 C ．4 D ．1 答案：B解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，∴A ＝π3，又b ＝1，△ABC 的面积为12bc sin A ＝32，解得c ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋4－2＝3，∴a ＝3，∴b ＋c sin B ＋sin C ＝asin A＝2，故选B.12．[2019·黑龙江鹤岗一中月考]已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，BC ＝8，M 为AB 边上的中点，则CM →·CA →＋CM →·CB →＝( ) A ．0 B ．25C ．50D ．100 答案：C 解析：通解 ∵AB ＝10，AC ＝6，BC ＝8，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴CA →⊥CB →，∴CA →·CB →＝0.又M 为AB 边上的中点，∴CM →＝CA →＋CB →2，∴CM →·CA →＋CM →·CB →＝(CA →＋CB →)22＝CA →2＋2CA →·CB →＋CB →22＝36＋642＝50.故选C.优解一如图，CD→＝CA →＋CB →， ∵M 为AB 边上的中点，∴CM →＝CA →＋CB →2＝CD →2，∴CM →·CA →＋CM →·CB →＝(CA →＋CB →)22＝CD →22.∵AB ＝10，AC ＝6，BC ＝8，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴|CD →|＝AB ＝10，∴CM →·CA →＋CM →·CB →＝50.故选C. 优解二 ∵AB ＝10，AC ＝6，BC ＝8，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴CA→⊥CB →.如图，以C 为坐标原点，CB ，CA 所在直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，其中CA→＝(0,6)，CB →＝(8,0)，∵M 为AB 边上的中点，∴CM →＝(4,3)，∴CM →·CA →＋CM →·CB→＝18＋32＝50.故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．[2019·湖南岳阳三校第一次联考]已知函数f (x )＝2－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4()1－x ＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4(1－x )x 2＋4x ＋5(－4≤x ≤0)，则f (x )的最大值为____________．答案：2＋ 2 解析：由已知得f (x )＝2－22cos πx 4－22sin πx 4＋22cos πx 4－22sin πx 4x 2＋4x ＋5＝2－2sin πx4(x ＋2)2＋1≤2＋2(x ＋2)2＋1≤2＋2，当且仅当x ＝－2时等号成立，因此f (x )的最大值为2＋ 2.14．[2019·吉林长春四校第一次联考]已知－π2<φ<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ为函数f (x )＝x 2－65x ＋925的零点，则tan(－φ)的值为________．答案：34解析：因为函数f (x )＝x 2－65x ＋925＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352，所以函数f (x )的零点为x ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝35，得sin φ＝－35<0.又－π2<φ<π，所以－π2<φ<0，所以cos φ＝45，于是tan(－φ)＝－tanφ＝－sin φcos φ＝－－3545＝34.15．[2019·湖北武汉模拟]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为12a ，则当c b ＋bc 取得最小值时，角A 的值为________．答案：π2解析：∵c b ＋b c ≥2，当且仅当b ＝c 时，c b ＋bc 取得最小值，∴B ＝C ，又BC 边上的高为12a ，∴B ＝C ＝π4，∴A ＝π2.16.[2019·北京四中期末]如图，在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA＝4，BC ＝2，D 是AC 边上一点，且DC →＝－34DA →，则BD →·AC→＝____________.答案：－4解析：∵∠ABC ＝120°，BA ＝4，BC ＝2，∴BA →·BC →＝－4，又DC →＝－34DA →，BC →－BD →＝DC →，DA →＝BA →－BD →，∴BC→－BD →＝－34BA →＋34BD →，∴BD →＝37BA →＋47BC →，又AC →＝BC →－BA →，∴BD →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫37BA →＋47BC →·(BC →－BA →)＝47BC →2－37BA →2－17BA →·BC →＝－4.。

2020届二轮(理科数学) 解三角形专题卷(全国通用)

2020届二轮（理科数学）解三角形专题卷（全国通用）【答案】1)+【解析】连接AC ，在ABC △中，由余弦定理可知，AC ===120ABC ∠=︒，AB AC =，30ACB ∴∠=︒， 1203090ACD BCD ACB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴在ACD △中，AD ===，设MAD θ∠=，在AMD △中，由正弦定理可知sin DM θ=DM θ=，13π13πsin()sin()2424AMD S AD DM θθθ∴=⋅-=⨯⨯-△)34πθ=-+，∴当22ππ4θ-=，即3π8θ=时，景观区域面积最大，为1)+，故答案为1)+．MBCDA一、选择题1．给定ABC △的三个条件：60A =︒，4b =，2a =，则这样的三角形解的个数为（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个2．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，12cos 13C =，1a =，则b =（）A ．2B ．5613C ．2113D ．56393．ABC △的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若7cos 8A =，2c a -=，3b =，则a =（） A ．2B ．52C ．3D ．724．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos cos cos a A b C c B =+，3b c +=，则a 的最小值为（）A ．1B ．3C ．2D ．35．在ABC △中，120BAC ∠=︒，AD 为BAC ∠的平分线，2AB AC =，则（） A ．2AB AD =B ．3AB AD =C ．2AB AD =或3AB AD =D ．5AB AD =6．在ABC △中，D 是边BC 上一点，22AB AD AC ==，1cos 3BAD ∠=，则sin C =（） A ．23B ．33C ．63D ．327．ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知ABC △的面积为3154，2a =，3b =，则sin aA=（） A ．463 B ．161515C ．4153D ．463或161515经典集训8．设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos b cB C a++=，则这个三角形的形状是（） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定二、填空题9．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c cos cos CA =，则角A 等于．10．如图，已知ABC △中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的平分线，且1AB =，AD =，2AC =．则BDDC 的值为，ABC △的面积为．三、简答题11．如图，在ABC △中，π3B ∠=，8AB =，点D 在边BC 上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=．求BD ，AC 的长．12．在锐角ABC △中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，已知3b =，2239a c c =-+．（1）求A ；（2）求22sin sin B C +的取值范围．13．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知(0)a b m +=>．（1）当3m =时，①若A B =，求sin C ； ②若π6B =，求sin()A C -的值．（2）当2m =时，若2c =，求ABC △面积的最大值．答案一、选择题 1．【答案】A 【解析】在ABC △中，2a =，4b =，60A =︒，∴由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 1b A B a ===>，则此三角形无解，故选A ． 2．【答案】D【解析】4cos 5A =，12cos 13C =，A ，B ，(0,π)C ∈．3sin 5A ∴==，5sin 13C ==，3124556sin sin()sin cos cos sin 51351365B AC A C A C ∴=+=+=⨯+⨯=．由正弦定理可得561sin 56653sin 395a Bb A ⨯==，故选D ． 3．【答案】A 【解析】2222cos a b c bc A =+-，22273(2)23(2)8a a a ∴=++-⨯⨯+⨯，解得2a =，故选A ． 4．【答案】B【解析】在ABC △中，3cos cos cos a A b C c B =+，3sin cos sin cos sin cos sin()sin A A B C C B B C A ∴=+=+=，即3sin cos sin A A A =，又(0,π)A ∈，sin 0A ∴≠，1cos 3A ∴=． 3b c +=，∴两边平方可得2229b c bc ++=，可得9224bc bc bc ≥+=，解得94bc ≤，当且仅当b c =时等号成立，2222cos a b c bc A ∴=+-，可得22222889()933334bc a b c bc b c =+-=+-≥-⨯=，当且仅当b c =时等号成立，∴解得a故选B ．5．【答案】B【解析】设AC x =，则2AB x =，在三角形ABC 中由余弦定理得2222(2)22cos1207BC x x x x x =+-⋅⋅⋅︒=，cos C ∴==，sin C ∴==， sin sin(60)sin 60cos cos60sin ADC C C C ∴∠=︒+=︒+︒12==在ADC △中由正弦定理得sin sin AD ACC ADC =∠= 223323AB ABAD x ∴==⨯=，3AB AD ∴=，故选B ． 6．【答案】B 【解析】如图所示，不妨设2AC =，AB AD AC ==，AB AD ∴==． 1cos 3BAD ∠=，1cos(π2)cos 23B B ∴=-=-，212sin 13B ∴=-，解得sin B =sin sin b cB C=，sin sin c B C b ∴===B ． 7．【答案】D【解析】2a =，3b =，ABC △11sin 23sin 22ab C C ==⨯⨯⨯，sin C ∴=，1cos 4C ∴==±，由余弦定理c =，可得c ==或4，∴由正弦定理可得sin sin a c A C ==D ． 8．【答案】C 【解析】cos cos b cB C a++=，(cos cos )b c a B C ∴+=+，由正弦定理得sin sin sin (cos cos )B C A B C +=+，2sincos 2sin cos (2cos cos222222B C B C A A B C B C+-+-∴=．由于cos 02B C -≠，sin sin cos 2cos 2222B C B C B C B C ++++∴=，22cos 12B C+∴=，cos2B C +∴=，π24B C +∴=，2πB C +=，π2A ∴=．故选C ．二、填空题 9．【答案】π6【解析】23cos cos 3b c CA a-=，(2)cos cos b A C ∴-=，2sin cos cos cos )B A A C C A A C B ∴=+=+=，cos A ∴=π6A ∴=．故答案为π6． 10．【答案】12；1【解析】在ABD △中，由正弦定理可得：sin sin AB BDADB BAD =∠∠，在ACD △中，由正弦定理可得：sin sin AC CDADC CAD=∠∠， sin sin BAD CAD ∠=∠，sin sin ADB ADC ∠=∠，12BD AB DC AC ∴==．设BAD α∠=，则11sin 2ABD S α=⨯=△，12sin 2ACD S α=⨯=△，112sin 22sin cos 2ABC S ααα=⨯⨯⨯=△，2sin cos αα=，∴解得cos α=，可得π4α=， 1sin sin 212ABC S AB AC BAC α∴=⋅⋅∠∠==△．故答案为12；1．三、简答题11．【答案】3BD =，7AC =．【解析】在ABC △中，1cos 7ADC ∠=，sin ADC ∴∠====则sin sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠⋅-∠⋅1127=-=在ABD △中，由正弦定理得sin 3sin AB BAD BD ADB ⋅∠===∠，在ABC △中，由余弦定理得2222212cos 85285492AC AB CB AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，即7AC =． 12．【答案】（1）π3A =；（2）53,42⎛⎤ ⎥⎝⎦．【解析】（1）在锐角ABC △中，3b =，2239a c c =-+，∴可得222c b a bc +-=，∴由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，∴由A 为锐角，可得π3A =．（2）2222222π1sin sin sin sin ()sin sin )32B C B B B B B +=+-=++11112cos 2)1sin(2)222π6B B B =+-=+-，又022π03ππ2B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，可得π6π2B <<，5π2,π66π6B ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，π1sin(2),162B ⎛⎤∴-∈ ⎥⎝⎦，22153sin sin 1sin π(2),2642B C B ⎛⎤∴+=+-∈ ⎥⎝⎦，即22sin sin B C +的取值范围是53,42⎛⎤⎥⎝⎦． 13．【答案】（1；②12；（2）1S =．【解析】（1）①ABC △中，3m =时，a b +=，sin sin A B C ∴+=，又A B =，22πA B A B C ∴+===-， π22C A B ∴==-，sin()sin()222π2πC C C ∴-+-=，2cos cos 222C C C ∴=，sin 2C ∴=，cos 2C ∴=，sin 2sincos 222C C C ∴===． ②6πB =，5ππ6A C B ∴+=-=，又sin sin A B C +=，1sin 2A C ∴+=，1sin 2A C ∴=-，又5π5π5π1sin sin()sin cos cos sin cos 6662A C C C C C =-=-=+，11cos 22C C C ∴+=-，11cos 22C C ∴-=-，11cos 22C C -=，即π1sin()62C -=， π3C ∴=，π5632πA =-=， π1sin()sin()sin 2ππ362A C ∴-=-==．（2）当2m c ==时，a b +==，2228a ab b ∴++=，22428ab a b ab ∴≤++=，2ab ∴≤，此时a b ==，ABC △是等腰直角三角形，其面积最大值为11122S ab ===．。

2020届高考数学(文)二轮复习过关检测：三角函数与解三角形二+Word版含答案

过关检测（二）1．函数f (x )＝sin x cos x ＋(1＋tan 2x )cos 2x 的最小正周期和最大值分别是( ) A ．π和32B.π2和1 C ．π和1D ．2π和32解析：选A ∵f (x )＝sin x cos x ＋(1＋tan 2x )cos 2x ＝12sin 2x ＋1，∴函数f (x )的最小正周期为π，最大值为32.故选A.2．(2019·合肥高三调研)若将函数f (x )＝cos 2x (1＋cos x )(1－cos x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )的单调递减区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，π2＋k π(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋14k π，14k π(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14k π，π8＋14k π(k ∈Z )解析：选A 因为f (x )＝cos 2x (1＋cos x )(1－cos x )＝cos 2x sin 2x ＝14sin 22x ＝18－18cos4x ，所以g (x )＝18－18cos 2x ，所以当－π＋2k π≤2x ≤2k π(k ∈Z )，即－π2＋k π≤x ≤k π(k∈Z )时，y ＝g (x )单调递减，所以g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )，故选A.3．(2019·山西平遥中学调研)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，已知点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝π12B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝2π3解析：选A 由题意知图象过A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，即f (0)＝2sin φ＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6·ω＋φ＝0，又ω>0，|φ|<π，并结合图象知φ＝2π3，π6·ω＋φ＝π＋2k π(k∈Z )，得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，因为图象向右平移π6个单位长度得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )，所以满足条件的一条对称轴方程是x ＝π12，故选A. 4．(2020届高三·江西红色七校第一次联考)函数y ＝sin2x －π6的图象与函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象( )A ．有相同的对称轴但无相同的对称中心B ．有相同的对称中心但无相同的对称轴C ．既有相同的对称轴也有相同的对称中心D ．既无相同的对称中心也无相同的对称轴解析：选A 令2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π3＋k π2，k ∈Z ，令x －π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝π3＋k π，k ∈Z ，故函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6与y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象有相同的对称轴．令2x －π6＝k π，k ∈Z ，得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，令x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，故函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6与y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象无相同的对称中心．5．(2019·武汉高三调研)已知函数f (x )＝a sin ωx ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(a >0，ω>0)，对于任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)＋f (x 2)－23≤0，若f (x )在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3，则实数ω的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 解析：选B f (x )＝a sin ωx ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝a sin ωx ＋cos ωx cos π6＋sin ωx sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a sin ωx ＋32cos ωx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322·sin(ωx ＋φ)，其中tan φ＝3212＋a.对于任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)＋f (x 2)－23≤0，即f (x 1)＋f (x 2)≤23，当且仅当f (x 1)＝f (x 2)＝f (x )max 时取等号，故2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝23，解得a ＝1或a ＝－2(舍去)，故f (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.因为0≤x ≤π，所以0≤ωx ≤ωπ，π6≤ωx ＋π6≤ωπ＋π6.又f (x )在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3，所以π2≤ωπ＋π6≤5π6，解得13≤ω≤23，故选B.6．(2019·山东三校联考)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，对x ∈R 恒有f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π15，π5上有且只有一个x 1使f (x 1)＝3，则ω的最大值为( )A.574 B.1054 C.1114D.1174解析：选B 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－π3ω＋φ＝k 1π，π3ω＋φ＝k 2π＋π2，k 1，k 2∈N ，则⎩⎪⎨⎪⎧ω＝3(2k ＋1)4，φ＝k ′π2＋π4，k ，k ′∈Z ，其中k ＝k 2－k 1，k ′＝k 2＋k 1＝k ＋2k 1，故k 与k ′同为奇数或同为偶数．又f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π15，π5上有且只有一个x ，使f (x )取得最大值，且要求ω最大，则区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π15，π5包含的周期应该最多，所以π5－π15＝2π15≤2T ，得0<ω≤30，即3(2k ＋1)4≤30，所以k ≤19.5.当k ＝19时，ω＝1174，k ′为奇数，φ＝3π4，此时1174x ＋3π4∈(2.7π，6.6π)，当1174x 1＋3π4＝4.5π或6.5π时，f (x 1)＝3都成立，舍去；当k ＝18时，ω＝1114，k ′为偶数，φ＝π4，此时1114x ＋π4∈(2.1π，5.8π)，当1114x 1＋π4＝2.5π或4.5π时，f (x 1)＝3都成立，舍去；当k ＝17时，ω＝1054，k ′为奇数，φ＝3π4，此时1054x ＋3π4∈(2.5π，6π)，当且仅当1054x 1＋3π4＝4.5π时，f (x 1)＝3成立．综上所述，ω最大值为1054.7．(2019·赣州崇义中学月考)若函数y ＝tan3ax －π3(a ≠0)的最小正周期为π2，则a＝________.解析：由题意得π|3a |＝π2，解得|3a |＝2，所以a ＝±23.答案：±238．(2019·昆明第一中学月考)已知函数f (x )＝2cos ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调，则ω的取值范围为________．解析：由已知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调，所以12T ≥π3，即πω≥π3，故0<ω≤3.答案：(0,3]9．(2019·赣州摸底)已知函数f (x )＝sin ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝________，函数f (x )的单调递增区间为________．解析：函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，由f (α)＝－12，f (β)＝12，且|α－β|的最小值为3π4，得T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23. 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6＋12.则f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝sin π3＋12＝3＋12.由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π， k ∈Z .答案：3＋12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z10．(2019·绍兴期末)已知函数f (x )＝2sin x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6；(2)求f (x )的最大值与最小值．解：(1)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝cos π6＝32，sin π6＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＝ 3.(2)f (x )＝2sin x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋cos x ＝2sin x ·12cos x ＋32sin x ＋cos x ＝32sin 2x＋32(1－cos 2x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋32.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6.令z ＝2x －π6，因为y ＝sin z 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减，所以，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值332；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值0.11．(2019·北京东城区期末)已知函数f (x )＝23sin ax ·cos ax ＋2cos 2ax －1(0<a ≤1)．(1)当a ＝1时，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2上的最大值与最小值；(2)当f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫π3，2时，求a 的值及函数f (x )的最小正周期．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝23sin x ·cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为π12≤x ≤π2，所以π3≤2x ＋π6≤7π6.所以当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2，当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1.(2)因为f (x )＝23sin ax ·cos ax ＋2cos 2ax －1(0<a ≤1)，所以f (x )＝3sin 2ax ＋cos 2ax ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ax ＋π6.因为f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a π3＋π6＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2a π3＋π6＝1.所以2a π3＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )．所以a ＝3k ＋12(k ∈Z )．因为0<a ≤1，所以a ＝12.所以f (x )的最小正周期T ＝2π1＝2π.。

2020年高考数学(文科)二轮复习押题特训专题07 三角恒等变换与解三角形(含答案解析)

2020年高考数学（文科）二轮复习押题特训专题07 三角恒等变换与解三角形1．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则sin αcos α＝( )A ．－34 B ．－310 C ．－43 D.43【解析】B2．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( )A ．－34 B ．－14 C.34D.14 【解析】选B.∵a ⊥b ， ∴a·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3＝23sin α＋6cos α－ 3 ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14.3．在△ABC 中，若3cos 2A －B 2＋5sin 2A ＋B2＝4，则ta n A ·tan B ＝( ) A ．4 B.14 C ．－4D ．－14【解析】选B.由条件得3×cos A －B ＋12＋5×cos C ＋12＝4，即3cos(A －B )＋5cos C ＝0，所以3cos(A －B )－5cos(A ＋B )＝0，所以3cos A cos B ＋3sin A sin B －5cos A cos B ＋5sin A sin B ＝0，即cos A cos B ＝4sin A sin B ，所以tan A ·tan B ＝sin A sin B cos A cos B ＝14.4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( )A.79 B.13 C ．－13D ．－79【解析】选D.cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝2×19－1＝－79. 5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38【解析】选B.由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.6．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b ，若a ＝1，3c －2b ＝1，则角B 为( )A.π4B.π6C.π3D.π12【解析】B7．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为334，a ＝3，B ＝π3，则b ＝________.【答案】7【解析】由题意可得S ＝12ac sin B ，解得c ＝1，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－3＝7，故b ＝7.8．已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝________.【答案】－3【解析】∵tan(3π－x )＝tan(π－x )＝－t an x ＝2，故tan x ＝－2.所以2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝－3.9．已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin α＋cos α的值为________．【答案】36565＋β)sin(α－β)＝－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝－5665，所以(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝1－5665＝965. 因为π2＜α＜3π4，所以sin α＋cos α＞0，所以sin α＋cos α＝36565.10．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝－12sin 4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310. 11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6的值．12．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1, CD ＝3，cos B ＝33. (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos B ＝33，所以cos D ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝－13. 因为D ∈(0，π)，。

2020年高考数学(文科) 历年真题模拟题高分必刷题之解三角形应用举例

[基础题组练] 1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°解析：选D.由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.2．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为() A．15 2 km B．30 2 kmC．45 2 km D．60 2 km解析：选B.如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，所以∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°.在△AMB 中，由正弦定理，得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM ＝302，故选B.3．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h解析：选B.设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝⎛⎭⎫110v 2＝⎝⎛⎭⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.4．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( )A ．5 kmB ．10 kmC ．5 3 kmD ．5 2 km解析：选C.作出示意图(如图)，点A 为该船开始的位置，点B 为灯塔的位置，点C 为该船后来的位置，所以在△ABC 中，有∠BAC ＝60°－30°＝30°，B ＝120°，AC ＝15，由正弦定理，得15sin 120°＝BCsin 30°，即BC ＝15×1232＝53，即这时船与灯塔的距离是5 3 km.5．海上有A ，B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛和C 岛间的距离是________ n mile.解析：如图，在△ABC 中，AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°，C ＝45°，由正弦定理，得AB sin C ＝BCsin A，所以BC ＝AB ·sin A sin C ＝10×sin 60°sin 45°＝56(n mile)．答案：5 66．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB ＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则这条河的宽度为________．解析：如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求河的宽度．在△ABC中，因为∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，所以∠ACB＝75°，所以AC＝AB＝120 m.在Rt△ACD中，CD＝AC sin∠CAD＝120sin 30°＝60(m)，因此这条河的宽度为60 m. 答案：60 m7．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，求山高MN .解：根据图示， AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3 m.在△AMN 中，MNAM ＝sin 60°，所以MN ＝1003×32＝150(m)． 8．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．解：如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h.此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理，得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)，即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．[综合题组练]1．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 km解析：选A.在△ABC 及△ACD 中，由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos (π－∠D )＝AC 2＝32＋52－2×3×5×cos ∠D ，解得cos ∠D ＝－12，所以AC ＝49＝7.2．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD . 已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为( )A ．50 5米B ．50 7米C ．5011米D ．5019米解析：选B.设该扇形的半径为r 米，连接CO .由题意，得CD ＝150(米)，OD ＝100(米)，∠CDO ＝60°，在△CDO 中，CD 2＋OD 2－2CD ·OD ·cos 60°＝OC 2，即1502＋1002－2×150×100×12＝r 2，解得r ＝50 7.3.(应用型)如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________．解析：依题意可得AD ＝2010(m)，AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得 cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. 答案：45°4．(2019·长春质量检测(二))在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝b 2sin A ，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，AD ＝233，a ＝3，则b ＝________．解析：由面积公式S ＝12bc sin A ＝b 2sin A ，可得c ＝2b ，即cb ＝2.由a ＝3，并结合角平分线定理可得，BD ＝233，CD ＝33，在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝4b 2＋3－b 22×2b ×3，在△ABD中，cos B ＝4b 2＋43－432×2b ×233，即4b 2＋3－b22×2b ×3＝4b 2＋43－432×2b ×233，化简得b 2＝1，解得b ＝1.答案：15．(应用型)某港湾的平面示意图如图所示，O ，A ，B 分别是海岸线l 1，l 2上的三个集镇，A 位于O 的正南方向6 km 处，B 位于O 的北偏东60°方向10 km 处．(1)求集镇A ，B 间的距离；(2)随着经济的发展，为缓解集镇O 的交通压力，拟在海岸线l 1，l 2上分别修建码头M ，N ，开辟水上航线．勘测时发现：以O 为圆心，3 km 为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头M ，N 的位置，使得M ，N 之间的直线航线最短．解：(1)在△ABO 中，OA ＝6，OB ＝10，∠AOB ＝120°，根据余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos 120° ＝62＋102－2×6×10×⎝⎛⎭⎫－12＝196，所以AB ＝14.故集镇A ，B 间的距离为14 km. (2)依题意得，直线MN 必与圆O 相切．设切点为C ，连接OC (图略)，则OC ⊥MN . 设OM ＝x ，ON ＝y ，MN ＝c ，在△OMN 中，由12MN ·OC ＝12OM ·ON ·sin 120°，得12×3c ＝12xy sin 120°，即xy ＝23c ，由余弦定理，得c 2＝x 2＋y 2－2xy cos 120°＝x 2＋y 2＋xy ≥3xy ，所以c 2≥63c ，解得c ≥63，当且仅当x ＝y ＝6时，c 取得最小值6 3.所以码头M ，N 与集镇O 的距离均为6 km 时，M ，N 之间的直线航线最短，最短距离为6 3 km.6．在△ABC 中，已知B ＝π3，AC ＝43，D 为BC 边上一点．(1)若AD ＝2，S △DAC ＝23，求DC 的长； (2)若AB ＝AD ，试求△ADC 的周长的最大值．解：(1)因为S △DAC ＝23，所以12·AD ·AC ·sin ∠DAC ＝23，所以sin ∠DAC ＝12.因为∠DAC <∠BAC <π－π3＝2π3，所以∠DAC ＝π6.在△ADC 中，由余弦定理，得DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos π6，所以DC 2＝4＋48－2×2×43×32＝28，所以DC ＝27.(2)因为AB ＝AD ，B ＝π3，所以△ABD 为正三角形，在△ADC 中，根据正弦定理，可得 AD sin C ＝43sin 2π3＝DCsin ⎝⎛⎭⎫π3－C，所以AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ，所以△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ＋4 3 ＝8⎝⎛⎭⎫sin C ＋32cos C －12sin C ＋43＝8⎝⎛⎭⎫12sin C ＋32cos C ＋43＝8sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π3＋4 3. 因为∠ADC ＝2π3，所以0<C <π3，所以π3<C ＋π3<2π3，所以当C ＋π3＝π2，即C ＝π6时，△ADC 的周长的最大值为8＋4 3.。

2020衡水名师文科数学专题卷：专题七《三角恒等变换与解三角形》

2020衡水名师原创文科数学专题卷专题七三角恒等变换与解三角形考点19：三角恒等变换（1-5题，12,13题，16,17题）考点20：正，余弦定理及解三角形（6-11题，14,15题，18-21题）考试时间：120分钟满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

） 1．考点19 易下列表达式中,正确的是( )A.()sin cos sin sin cos αβαβαβ+=+B.()sin cos sin sin cos αβαβαβ-=-C.()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=+D.()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=- 2．考点19 易已知锐角,αβ满足sin αβ=,则αβ+的值为( ) A.34πB. 6πC. 4πD. 34π或4π3．考点19 中难若10,0,cos ,cos 224342ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ( )B. -C.9D. 9-4．考点19中难若()3,5sin πθθ+=-是第二象限角,2sin ϕϕπ⎛⎫+=⎪⎝⎭是第三象限角,则()cos θϕ-的值是( )A. -5．考点19 中难若21sin()34πα-=,则2cos(2)3πα+= ( ) A. 78-B. 14-C. 14D. 786．考点20 易设ABC △的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c 若3,3a b A π===，则B =（）A.6π B.56π C. 6π或56π D.23π7．考点20 易在ABC △中，内角,,A B C 的对边为,,a b c ，且222a b c +=，则角c 为( ) A.π4 B. 3π4 C. π3 D. 2π38．考点20 易在ABC △中,,a b c 分别是,,A B C ,所对应的边, 90C ∠=︒ ,则a bc+的取值范围是( )A. (1,2)B.C.D. 9．考点20 中难在ABC △中，若,2cos ,13A b aB c π===，则ABC △的面积等于( )A. 2B.4C.6D.810．考点20 中难在ABC △中，π3A =，3BC =，AB =，则C =( ) A.π4或3π4 B.3π4 C.π6 D.π411．考点20 中难已知ABC △的内角,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c .若4sin aA=，则s i n s i ns i nb c a B C A +-+-等于( ) A.14 B.4 C.13D.3第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（每题5分，共20分） 12．考点19 易已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是________ 13．考点19 难已知tan 3α=，则sin cos sin cos αααα+=-_________.14．考点20 中难在△ABC 中,已知2c =,若222sin sin sin sin sin A B A B C +-=,则a b +的取值范围___.15．考点20难已知△ABC,π3AC B =∠=,则△ABC 的周长等于__________三.解答题（共70分）16．（本题满分10分）考点19 易已知是的三个内角,求证:1. ()cos 2cos A B C A ++=-2. sincos 22B C A+= 17．（本小题满分12分）【来源】考点19 中难在ABC ∆中,若()()()2,sin A B B πππ-=-=-求ABC ∆的三个内角c ，若3=a ，2=b ，36sin =B ，求当30π≤≤x 时，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=62cos 4πA x f x g 的取值范围．18．（本题满分12分）考点20 易在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222b a c ac =+-. 1.求角B 的大小；2.求sin sin A C +的取值范围.19．（本题满分12分）考点20 中难在ABC △中，角,,A B C 的对应的边分别为,,a b c ，且C A sin 3sin =. 1.若π4B =，求tan A 的值； 2.若2tan ABC S b B =△，试判断ABC △的形状.20．（本题满分12分）考点20 中难ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2cos (cos cos )C a B b A c +=．1.求C2.若c =ABC △ABC △的周长．21．（本题满分12分）考点20 难在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且1a =，c =3cos 4C =． 1.求sin A 的值； 2.求CB CA ⋅的值．参考答案1答案及详细分析：答案：A 详细分析：2答案及详细分析：答案：C详细分析：由锐角,αβ满足sinαβ==得cos α=,sin β=,∴()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-==又()0,αβπ+∈, 故4παβ+=.3答案及详细分析：答案：C 详细分析：4答案及详细分析：答案：B 详细分析：因为()3,5sin πθ+=-所以3,5sin θ=因为θ是第二象限角,所以4 5cos θ=-因为2sin ϕπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以cos 5ϕ=-因为φ是第三象限角,所以 sin ϕ=所以43cos()cos cos ()(55θϕθϕ-==-⨯+⨯=5答案及详细分析：答案：D 详细分析：6答案及详细分析：答案：A详细分析：3,3a b A π===由正弦定理可得sin 12sin 32b AB a===， ,a b B >为锐角，6B π∴=．故选A ．7答案及详细分析：答案：B 详细分析：8答案及详细分析：答案：C 详细分析：9答案及详细分析：答案：B详细分析：由正弦定理得2sinB sinAcosB =，故223tanB sinA sin π===0()B π∈，，所以3B π=，又3A B π==,则ABC △是正三角形，所以11sin 1122ABC S bc A ==⨯⨯=△故答案为：B10答案及详细分析：详细分析：11答案及详细分析：答案：B 详细分析：12答案及详细分析：答案：10详细分析：由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-. sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭222tan 1tan tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭，当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112133=210113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭13答案及详细分析：答案：2 详细分析：14答案及详细分析：答案：(2,4]详细分析：将已知222sin sin sin sin sin A B A B C +-=,由余弦定理化为:222a b ab c +-=,再利用余弦定理可得c 由正弦定理解出,?a b 代入a b +,利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出.15答案及详细分析：答案：3详细分析：16答案及详细分析：答案：1.∵,,A B C ∠∠∠是ABC ∆的三个内角A B C ∴∠+∠+∠=π()()cos 2cos cos A B C A A ∴++=+π=- ()cos 2cos A B C A ∴++=-2. sinsin22B C A+π-= sin cos 222A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sincos 22B C A+∴= 详细分析：17答案及详细分析：答案：由条件得,sinA ==平方相加得221,cos A cosA ==又∵()0,,4A A ππ∈∴=或34π当A π=时, 0,,,2cos B B π⎛⎫=<∴∈π ⎪⎝⎭∴,A B 均为钝角,不合题意,舍去,,426A cosB B ππ∴==∴=∴712C π= 详细分析：18答案及详细分析：答案：1.222b a c ac =+-，222a c b ac ∴+-=，2221cos 22a cb B ac +-∴==，0πB <<，π3B ∴=.2.πsin sin sin sin()sin sin()3A C A AB A A +=++=++3πsin )26A A A =+=+ 2(0,π)3A ∈,ππ5π(,)666A ∴+∈,π1sin()(,1]62A ∴+∈,π)(62A +∈.sin sin A C ∴+的取值范围是. 详细分析：19答案及详细分析：答案：1.根据余弦定理，22222cos 22a c b B ac +-===所以22(4b c =222cos 2b c a A bc +-===所以tan (3A =-+2.已知2tan ABC S b B =△,a =21tan sin 2ABC S b B ac B ==△，可得2cos B =再根据余弦定理2222cos 2a c b B ac +-==和a = 可得2254b c =，cos 0A <，故ABC △为钝角三角形详细分析：20答案及详细分析：答案： 1.在ABC △中，0πC <<，sin 0C ∴≠已知等式利用正弦定理化简得：2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 整理得：2cos sin()sin C A B C +=即2cos sin(π())sin C A B C -+=2cos sin sin C C C =1cos 2C ∴= π3C ∴= 2.由余弦定理得221722a b ab =+-⋅， 2()37a b ab ∴+-=，1sin 2S ab C === 6ab ∴=，2()187a b ∴+-=，5a b ∴+=，ABC ∴△的周长为5+详细分析：21答案及详细分析：答案：1.∵3cos 4C =，∴sin 4C = ，∵1a =，c =∴由正弦定理可得sin sin 8a C A c ==2.37cos cos()cos cos sin sin 4884B A C A C A C =-+=-+=+=-，∵31,4a c C ===，∴2b ==则3cos 2CB CA ab C ⋅==. 详细分析：。

2020高考文科数学二轮分层特训卷：客观题专练平面向量、三角函数与解三角形(7)

平面向量、三角函数与解三角形(7)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2019·湖北武汉部分重点中学第一次联考]已知角θ与角φ的终边关于直线y ＝x 对称，且θ＝－，则sin φ＝( )π3A ．－ B.3232C ．－ D.1212答案：D解析：因为角θ与角φ的终边关于直线y ＝x 对称，所以θ＋φ＝2k π＋(k ∈Z )，又θ＝－，所以φ＝2k π＋(k ∈Z )．于π2π35π6是sin φ＝sin＝sin ＝sin ＝.故选D.(2k π＋5π6)5π6π6122．[2019·四川成都二中月考]已知tan(α＋β)＝2tan β，则的值为( )(α，β≠k π2，k ∈Z)sin (α＋2β)sin αA. B.332C. D ．312答案：D解析：∵tan(α＋β)＝2tan β，(α，β≠k π2，k ∈Z )∴sin(α＋β)cosβ＝2cos(α＋β)sinβ，∴＝sin (α＋2β)sin α＝＝3.故选D.sin[(α＋β)＋β]sin[(α＋β)－β]3cos (α＋β)sin βcos (α＋β)sin β3．[2019·辽宁六校协作体期中]cos －sin π12的值等于( )π12(cos π12＋sin π12)A ．－ B.3212C ．－ D.1232答案：D 解析：＝cos 2－sin 2＝cos ＝，故选(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)π12π12π632D.4．[2019·全国卷Ⅱ，3]已知＝(2,3)，＝(3，t )，AB → AC→ ||＝1，则·＝( )BC → AB→ BC → A ．－3 B ．－2C ．2 D ．3答案：C解析：本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算，意在考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．因为＝－＝(1，t －3)，所以BC→ AC → AB → ||＝＝1，解得t ＝3，所以＝(1,0)，所BC → 1＋(t －3)2BC→ 以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.AB→ BC → 5．[2019·郑州测试]在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝，则＝( )3csin C A. B.83812393C. D ．226337答案：B解析：依题意得，bc sin A ＝c ＝，则c ＝4.由余弦定理12343得a ＝＝，因此＝＝.由正b 2＋c 2－2bc cos A 13a sin A 13sin60°2393弦定理得＝，故选B.c sin C 23936．[2019·福建五校第二次联考]为得到函数y ＝cos 的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )(2x ＋π3)A ．向右平移个单位长度5π12B ．向左平移个单位长度5π12C ．向右平移个单位长度5π6D ．向左平移个单位长度5π6答案：B解析：因为y ＝sin 2x ＝cos ＝cos，y ＝cos (π2－2x )(2x －π2)＝cos ，所以将函数y ＝sin 2x 的图象向左平(2x ＋π3)[2(x ＋5π12)－π2]移个单位长度可得到函数y ＝cos的图象．故选B.5π12(2x ＋π3)7．[2019·湖南岳阳三校第一次联考]若sin(π－α)＝，则13sin(π＋α)－cos 等于( )(π2－α)A ．－ B.2323C. D ．－223223答案：A解析：因为sin(π－α)＝sin α＝，所以sin(π＋α)＝－sin 13α＝－，cos ＝sin α＝，于是sin(π＋α)13(π2－α)13－cos ＝－－＝－.故选A.(π2－α)1313238．[2019·河南中原名校指导卷]若cos＝，且(α－π6)33α∈(0，π)，则cos 2α＝( )A.B ．－－1＋2661＋266C ．－ D.3232答案：B 解析：∵cos＝，∴cos ＝－.∵0<α<π，∴－<α－<(α－π6)33(2α－π3)13π6π65π6，又cos＝，∴0<α－<，∴<α<，∴0<2α－<π，sin (α－π6)33π6π2π62π3π3＝，∴cos(2α－π3)2232α＝cos＝－×－×＝－.故选B.[(2α－π3)＋π3]1312223321＋2669．[2019·河南开封定位考试]已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为4，且2b cos 3A ＋a ＝2c ，a ＋c ＝8，则其周长为( )A ．10B ．12C ．8＋D ．8＋233答案：B解析：因为2b cos A ＋a ＝2c ，所以由正弦定理得2sin B cos A ＋sin A ＝2sin C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以2sin B cos A ＋sin A ＝2sin(A ＋B )＝2sin A cos B ＋2cos A sin B ，所以sin A ＝2cosB sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝.又0<B <π，所以B ＝.由12π3△ABC 的面积为4，得ac sin B ＝4，所以ac ＝16.又3123a ＋c ＝8，所以a ＝c ＝4，所以△ABC 为正三角形，所以△ABC 的周长为3×4＝12.故选B.10．[2019·郑州入学测试]已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a ＋3b |等于( )A. B.710C. D ．413答案：C解析：依题意得a ·b ＝，|a ＋3b |＝＝，12a 2＋9b 2＋6a ·b 13故选C.11．[2019·江西九江两校第二次联考]已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋cos 4x ，若α∈，且f (α)＝，则α12(π2，π)22的值为( )A. B.5π811π16C. D.9π167π8答案：C解析：由题意知f (x )＝cos 2x sin 2x ＋cos 4x ＝sin 4x ＋cos 1212124x ＝sin，因为f (α)＝sin ＝，所以4α＋＝22(4x ＋π4)22(4α＋π4)22π4＋2k π，k ∈Z ，即α＝＋，k ∈Z .因为α∈，所以α＝π2π16k π2(π2，π)＋＝.故选C.π16π29π1612．[2019·湖北宜昌两校第一次联考]已知在△ABC 中，若AC ＝BC ，C ＝，△ABC 的面积S △ABC ＝sin 2A ，则S △ABC ＝( )3π63A. B.3432C. D ．23答案：A解析：由余弦定理得AB 2＝BC 2＋3BC 2－2BC ×BC ×＝BC 2，所以AB ＝BC ，则332A ＝C ＝，所以S △ABC ＝sin 2A ＝.故选A.π6334二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2019·安徽芜湖一中月考]设f (n )＝cos ，则f (1)(n π2＋π4)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 019)＝________.答案：－22解析：∵f (1)＝cos ＝－sin ＝－，f (2)(π2＋π4)π422＝cos＝－cos ＝－，f (3)＝cos ＝sin ＝，f (4)(π＋π4)π422(3π2＋π4)π422＝cos＝cos ＝，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，又f (5)(2π＋π4)π422＝f (1)，f (6)＝f (2)，f (7)＝f (3)，f (8)＝f (4)，…，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 019)＝f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝－.2214．[2018·北京卷]设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.答案：－1解析：a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )，则m a －b ＝(m ＋1，－m )．由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0，即m ＋1＝0，得m ＝－1.15.如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________ m.答案：1039解析：分析题意可知，设CD ＝h ，则AD ＝，BD ＝h ，h 33在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，所以由余弦定理得AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos120°，可得1302＝3h 2＋－2·h ··，h 233h 3(－12)解得h ＝10，故塔的高度为10 m.393916．[2019·四川内江期中]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4(tan A ＋tan B )＝＋，则cos C tan A cos B tan Bcos A 的最小值为________．答案：78解析：∵4(tanA ＋tanB )＝＋，∴tan Acos B tan Bcos A ＝，∴4sin(A ＋B )＝sin4(sin A cos B ＋cos A sin B )cos A cos B sin A ＋sin Bcos B cos A A ＋sin B ，∴4sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得a ＋b ＝4c ，即c ＝，∴cos C ＝＝，又a ＋b 4a 2＋b 2－c 22ab 15(a 2＋b 2)－2ab32ab a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，∴cosC ≥＝，∴cos C 的最小值为.28ab 32ab 7878。

2020高考文科数学二轮分层特训卷：热点问题专练(七) 解三角形

热点(七)解三角形1．(解三角形解的个数问题)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定答案：C解析：由bsin B＝csin C，得sin B＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在，故选C. 2．(解三角形求面积)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是()A．3 B.93 2C.332D．3 3答案：C解析：由c2＝(a－b)2＋6可得a2＋b2－c2＝2ab－6.①由余弦定理及C＝π3可得a2＋b2－c2＝ab.②由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6.所以S△ABC＝12ab sinπ3＝12×6×32＝332，故选C.3．(解三角形判断三角形形状)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb<cos A，则△ABC为() A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形答案：A解析：由cb<cos A，得sin Csin B<cos A，所以sin C<sin B cos A，即sin(A＋B)<sin B cos A，所以sin A cos B<0，因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故选A.4．(解三角形求角)在△ABC中，C＝60°，AB＝3，BC＝2，那么A等于()A．135°B．105°C．45°D．75°答案：C解析：由正弦定理知2sin A＝3sin 60°，所以sin A＝22，又由题知，BC<AB，∴A＝45°，故选C.5．(解三角形应用求面积)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b ＝3，则S△ABC＝()A. 2B. 3C.32D．2答案：C解析：∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，∴B＝60°. 又a＝1，b＝3，∴sin A＝a sin Bb＝32×13＝12，易知a<b，所以A<B，∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝12×1×3＝32，故选C.6．(解三角形求角)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2－b2＝3bc，且sin C＝23sin B，则角A的大小为________．答案：π6解析：由sin C＝2 3 sin B，得c＝23b，代入a2－b2＝3bc得，a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b2＝32，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6. 7．(解三角形求高)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于________．答案：1解析：在△ABC 中，∵tan ∠BAC ＝－3，∴sin ∠BAC ＝31010，cos ∠BAC ＝－1010，由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝⎛⎭⎪⎫－1010＝9，∴BC ＝3. ∴S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×31010＝32，∴BC 边上的高为2S △ABC BC ＝2×323＝1.8．(解三角形应用求高)如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________ m.答案：150解析：在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°，BC ＝100 m ，所以AC ＝100 2 m.在△AMC 中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，从而∠AMC ＝45°，由正弦定理得，AC sin 45°＝AM sin 60°，因此AM ＝100 3 m.在Rt △MNA 中，AM ＝100 3 m ，∠MAN ＝60°，由MN AM ＝sin 60°得MN ＝1003×32＝150 m.9．(和三角形面积有关的问题)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．解析：(1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0，得tan A ＝－3，又0<A <π，所以A ＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3.即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)或c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π612AC ·AD ＝1. 又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.10．(解三角形综合)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解析：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac≥2ac－ac2ac＝12，当且仅当a＝c时等号成立．∴cos B的最小值为12.。

2020高考文科数学二轮分层特训卷：客观题专练平面向量、三角函数与解三角形(6)含解析

优解一如图、＝＋、
∵M为AB边上的中点、∴ ＝＝、∴ · ＋ · ＝＝ .∵AB＝10、AC＝6、BC＝8、∴AB2＝AC2＋BC2、∴| |＝AB＝10、∴ · ＋ · ＝50.故选C.
优解二∵AB＝10、AC＝6、BC＝8、∴AB2＝AC2＋BC2、∴ ⊥ .如图、以C为坐标原点、CB、CA所在直线分别为x、y轴、建立平面直角坐标系、其中＝(0,6)、＝(8,0)、∵M为AB边上的中点、∴ ＝(4,3)、∴ · ＋ · ＝18＋32＝50.故选C.
C．－ D.
答案：A
解析：sin 7°cos 37°－sin 83°cos 307°＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(7°－37°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－、故选A.
3．2sin(π－α)＝( )
A. B．－
C．7 D．－7
答案：A
解析：∵f(tanx)＝＝、
∴f ＝－、即sinα＝－、又α是第四象限角、∴cosα＝、∴tanα＝－、∴tan ＝＝ .故选A.
7．[20xx·吉林省重点中学联考]在△ABC中、内角A、B、C的对边分别为a、b、c、已知－－＝1、△ABC外接圆的半径为3、则a＝( )
5．[20xx·成都检测]已知向量a＝(2,1)、b＝(3,4)、c＝(k,2)、若(3a－b)∥c、则实数k的值为( )
A．－8 B．－6
C．－1 D．6
答案：B
解析：由题意、得3a－b＝(3、－1)．因为(3a－b)∥c、所以6＋k＝0、解得k＝－6、故选B.
6．[20xx·安徽A10联盟月考]已知f(tanx)＝sin2x－sin 2x、记sinα＝f 、其中α是第四象限角、则tan ＝( )

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热点(七) 解三角形
1．(解三角形解的个数问题)在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A ．有一解
B ．有两解
C ．无解
D ．有解但解的个数不确定
答案：C
解析：由b
sin B ＝c sin C ，
得sin B ＝b sin C c ＝40×3220
＝3>1. ∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在，故选C.
2．(解三角形求面积)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的
边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3
，则△ABC 的面积是( )
A ．3 B.932
C.332 D ．3 3 答案：C
解析：由c 2＝(a －b )2＋6可得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6.①
由余弦定理及C ＝π3
可得a 2＋b 2－c 2＝ab .② 由①②得2ab －6＝ab ，即ab ＝6.
所以S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332
，故选C.
3．(解三角形判断三角形形状)在△ABC中，角A，B，C
所对的边分别为a，b，c，若c
b<cos A，则△ABC为( )
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形答案：A
解析：由c
b<cos A，得
sin C
sin B<cos
A，
所以sin C<sin B cos A，
即sin(A＋B)<sin B cos A，
所以sin A cos B<0，
因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，
所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故选A.
4．(解三角形求角)在△ABC中，C＝60°，AB＝3，BC ＝2，那么A等于( )
A．135°B．105°
C．45°D．75°
答案：C
解析：由正弦定理知
2
sin A＝
3
sin 60°
，所以sin A＝
2
2
，
又由题知，BC<AB，∴A＝45°，故选C.
5．(解三角形应用求面积)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC＝( )
A. 2
B. 3
C.
3
2
D．2
答案：C
解析：∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，∴B＝60°. 又a＝1，b＝3，
∴sin A ＝a sin B b ＝32×13＝12
，易知a <b ，所以A <B ， ∴A ＝30°，∴C ＝90°.
∴S △ABC ＝12×1×3＝32
，故选C. 6．(解三角形求角)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，且sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为________．
答案：π6
解析：由sin C ＝2 3 sin B ，得c ＝23b ，代入a 2－b 2＝3bc 得，a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b
2＝32，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6. 7．(解三角形求高)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于________．
答案：1
解析：在△ABC 中，∵tan ∠BAC ＝－3，
∴sin ∠BAC ＝31010，cos ∠BAC ＝－1010
，由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－
1010＝9，∴BC ＝3. ∴S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×31010＝32
， ∴BC 边上的高为2S △ABC BC ＝2×323
＝1. 8．(解三角形应用求高)如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠
MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN ＝________ m.
答案：150
解析：在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100 m，
所以AC＝100 2 m.
在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，
从而∠AMC＝45°，
由正弦定理得，
AC
sin 45°
＝
AM
sin 60°
，因此AM＝100 3
m.
在Rt△MNA中，AM＝100 3 m，∠MAN＝60°，
由MN
AM＝sin 60°得MN＝1003×
3
2
＝150 m.
9．(和三角形面积有关的问题)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b ＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解析：(1)由sin A＋3cos A＝0及cos A≠0，
得tan A＝－3，又0<A<π，
所以A＝2π3 .
由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·cos 2π3 .
即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4.
(2)由题设可得∠CAD＝π
2
，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD
＝π
6
.
故△ABD与△ACD面积的比值为
1 2AB·AD sin
π
6
1
2
AC·AD
＝1.
又△ABC的面积为1
2
×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为 3.
10．(解三角形综合)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A ＋C)；
(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．
解析：(1)证明：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.
由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.
∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．
(2)∵a，b，c成等比数列，
∴b2＝ac.
由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b2
2ac＝
a2＋c2－ac
2ac≥
2ac－ac
2ac
＝12
，当且仅当a ＝c 时等号成立．
∴cos B 的最小值为12
.。