§1.3.1 二项式定理习题课(三)
1.3.1 二项式定理 课件(人教A选修2-3)
(2)求展开式中的常数项．
解：(1)x2＋2
1
10
x
的展开式的第
5
项为
T5＝C410·(x2)6·21 x4＝C410·124·x12· 1x4＝1805x10.
(2)设第 k＋1 项为常数项，
则
Tk
＋
1
＝
C
k 10
2．相关概念
(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式． (2)各项的系数 Ckn(k∈{0，1，2，…，n}) 叫做二项式系数． (3)展开式中的 Cknan－kbk 叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1 ， 它表示展开式的第 k＋1 项．
(4)在二项式定理中，如果设 a＝1，b＝x，则得到公式 (1＋x)n＝ C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cknxk＋…＋Cnnxn.
()
A．10
B．－10
C．40
D．－40
解析：二项式(2x2－1x)5 展开式的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr5(2x2)5
－r(－1x)r＝Cr5·25－r×(－1)rx10－3r，当 r＝3 时，含有 x，其系数
为 C35·22×(－1)3＝－40. 答案：D
4．已知二项式x2＋21 x10. (1)求展开式中的第 5 项；
＋C44·( 1x)4 ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
法二：(3 x＋ 1x)4＝3x＋ x2 14 ＝x12(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12. (2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2 ＋C45(x－1)＋C55(x－1)0－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
高二数学 第一章1.3.1 二项式定理
本
解析 依题意 C57a2＋C37a4＝2C74a3.
课
时 由于 a≠0，整理得 5a2－10a＋3＝0，
栏
目 开 关
解得
a＝1±
10 5.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.3.1
4．求2
x－
1 6 x
的展开式．
解 先将原式化简，再展开，得
本
2 x－ 1x6＝2x－x 16＝x13(2x－1)6
开 关
(a＋b)在相乘时都有两种选择：选 a 或选 b，而且每个(a＋b)
中的 a 或 b 都选定后，才能得到展开式的一项．由分步乘法
计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2 展开式共有 2×2＝
22 项，而且 a2－kbk 相当于从 2 个(a＋b)中取 k 个 b 的组合数
Ck2，即 a2－kbk 的系数是 Ck2.
பைடு நூலகம்
当 9－2r＝5 时，解得 r＝2，所以系数为 36.
所以展开式中，不含 x6 项，含有 x5 项，系数为 36.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.1
探究点三 综合应用
例3
已知
x－ 2
1 4
x
n
的展开式中，前三项系数的绝对值依次
成等差数列．
本
(1)证明：展开式中没有常数项；
课
时
(2)求展开式中所有的有理项．
栏 目 开 关
(即1)证n2－明9n＋由8题＝意0，得：2Cn1·12＝1＋Cn2·122，
∴n＝8 (n＝1 舍去)．
∴Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·－241
xk＝－12k·Ck8x
8－k 2
·x－4k ＝
高中数学 第1章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理 新人教B版选修2-3
(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).
解 原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2 ＋C45(x－1)＋C55－1
＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
规律方法 运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的 通项公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简 捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式 系数的区别.逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问 题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律 以及各项的系数.
要点二 二项展开式通项的应用 例2 若 ( x＋ 1 )n展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项； 解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12， 即n2－9n＋8＝0， 解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tr＋1＝Cr8(
x)8－r·(
1
4
)r＝Cr8·2－r·x 4－34r，
＋
C
2 2n＋1
×142n
－
1×52
－
…
＋
C22nn＋1×14×52n－C22nn＋ ＋11×52n＋1＋52n＋1
＝
14(142n
－
C
1 2n＋1
×142n
－
1×5
＋
C
22n＋1×142n
－
2×52
－
…
＋
C22nn＋1×52n).
上式是14的倍数，能被14整除，所以34n＋2＋52n＋1能被14整除 .
10－2r 令 3 ＝2，得
r＝12(10－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
高中数学 1.3.1二项式定理课件 新人教A版选修23[1]
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二项式定理(dìnglǐ) 思维导航 1．我们已知(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，展开式中有3项；运 用多项式乘法可以求得(a＋b)3、(a＋b)4的展开式，并且它们分 别(fēnbié)有4项、5项，你能用类比归纳的方法得出(a＋b)n(n≥2) 的展开式吗？
第八页，共38页。
新知导学 1．二项展开式的推导：(a＋b)n(n∈N*)是 n 个因式(a＋b) 的积，按多项式乘以多项式的法则，可知确定乘积展开式中的 每一项，需要看有多少个因式(a＋b)中取 a，多少个因式(a＋b) 中取 b，如果从 k 个因式中选取 b，则就有__n_－__k____个因式中 选 a.∴积式为 an－kbk(k＝0、1、2、…、n)的形式的项共有__C_nk___ 个．合并同类项后为 _____C_nk_a_n－_k_b_k__________.因此(a ＋b)n＝ _C_0n_a_n＋__C__1na_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_rb_r_＋__…__＋__C_nn_－_1a_b_n_－_1_＋__C_nn_b_n__这个公式 叫做二项式定理．
D．－40
[解析] Tr＋1＝Cr5(x2)5－r(－x23)r＝Cr5x10－2r·(－2)r·x－3r ＝C5r (－2)r·x10－5r. 令 10－5r＝0，∴r＝2，常数项为 C25×4＝40.
第二十页，共38页。
若
x＋ 1 4
2
n x
展开式中前三项系数依次成等差
数列．求：
(1)展开式中含 x 的一次幂的项；
第三十一页，共38页。
[方法规律总结] 二项式系数与项的系数是两个不同的概 念，前者仅与二项式的指数及项数有关(yǒuguān)，与二项式的 构成无关，后者与二项式的构成、二项式的指数及项数均有关 (yǒuguān)．
1.3.1二项式定理课件-高二数学人教A版选修2-3
2 x
6
的展开式的常数项是
240
2.
1
1 x
10的展开式中含
1 x3 项的系数是
120
五、课堂小结
思想共鸣 经验共享
你
1.二项式定理
学
到
了
a b n Cn0an Cn1an1b Cnk ankbk Cnnbn n N *
什
么
2.二项展开式的通项
Tk1 Cnk ankbk，k 0,1, 2,…, n
C
0 3
a
3
C
1a
3
2b
C 32ab 2
C
3 3
b
3
思想共鸣 经验共享
请同学们类比 (a+b)2 ，(a+b)3的展开式的特
征及方法，你能直接写出 (a+b)4 的展开式
吗？
第 二
（ （ a a+ b ) b4 ） = 2( a + Cb ) 20( a a+ 2 b ) ( Ca + 21ab （ b) a + Cb 2) 2b2
恰有1个括号取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21
恰有2个括号取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = a2 +2ab+b2
对(a+b)3展开式的分析：
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
项的形式： a 3 a 2b ab2 b3
探
（a b）3= C 4 0 Ca 4 30+ aC 3 4 1 a 3 Cb + 31aC 24 2 ba 2 b 2 C+ 3C 2a4 3 a bb 23 + C C4 4 3b 3b4 3
高中数学 1.3.1《二项式定理》课件 新人教A版选修2-3
1 5 1、求(2 x − ) 的展开式 x 2、求（ + 2 x) 7的展开式第4项的系数 1 1 7 3、求（x − ) 的展开式中x 3的系数 x
破解疑惑： 破解疑惑： 今天是星期五,再过2 天后是星期几, 今天是星期五,再过22007 天后是星期几, 你知道吗？ 你知道吗？
解： = 8670 × 2 22011 = 2(7 +1)670
0 1 669 670 = 2(C670767010 + C670766911 + ...+ C670 711669 + C670 701670)
发现被7整除余 ，故相当过2天后是星期几是一样的 天后是星期几是一样的。 发现被 整除余2，故相当过 天后是星期几是一样的。 整除余 故是周日
拓 展 提 高 (x2+3x+2)5展开式中 的系数为 展开式中x的系数为 _____. 方法1 方法 (x2+3x+2)5=[(x2+2)+3x]5
在展开式中只有 C 1 (x 2 + 2)4 ⋅ 3x才存在 x的项 , 5 其系数为 5C 4 2 4 ⋅ 3 = 240 4
方法2 方法 (x2+3x+2)5=[x(x+3)+2]5
在展开式中只有 C 1 x(x + 3) ⋅ 2 4 才存在 x的项 , 5 其系数为 C 1 ⋅ 3 ⋅ 2 4 = 240 5
1 x
)10 的展开式中是否包含常数项? 的展开式中是否包含常数项?
分析:取通项来分析, 分析:取通项来分析, 常数项即 x 项.
0
Tr +1 = C ⋅ ( 3 x
r 10
2
)
课件1：1.3 二项式定理（习题课）
（三）展开式中各项系数和
例4.(2x2-1)n的展开式的各项系数和为……（ D）
A.2n+1
B.2n
C.0
D.1
分析：设(2x2-1)n=a0x2n+a1x2(n-1)+…+an，
展开式各项系数和为a0+a1+a2+…+an
∵上式是恒等式，所以当且仅当x=1时(2-1)n=a0+a1+a2+…+an
数相等.
2.如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且
最大.
n
2
3.在二项展开式中，所有二项式系数的和等于
；奇数项的
二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于 2 n 1.
(一)通项公式的应用
例1、（1）如果 （
1
+ ）2 的展开式中，第四项与第六项的系
第一章 计数原理
§1.3二项式定理复习
高中数学选修2-3·同步课件
概念复习
n
0 n
1 n 1
r nr r
n n
(
a
b
)
C
a
C
a
b
C
a
b
C
b
n
n
n
n
1、二项式定理：
通项（第r+1项）：Tr 1 C nr a nr b r
2、二项式系数的性质：
1.在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系
数相等，求展开式中的常数项；
人教版高中数学选修2-3教案：1.3.1二项式定理
§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。
【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。
【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。
如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。
问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。
高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.3 二项式定理习题课教案 3数学教案
1.3.3 二项式定理习题课教学目标知识与技能1．能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．3．能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质．4．会用二项式系数的性质解决一些简单问题，并能熟练地使用赋值法．过程与方法1．能解决二项展开式的有关概念问题：项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常数项、整数项等．2．能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题．3．能用二项式系数的有关性质，解决诸如：最值、二项式系数和、系数和等问题．情感、态度与价值观1．培养学生对整个数学知识的驾驭能力，能在一定高度上进行数学知识的应用．2．培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力．3．进一步提升学生学好数学用好数学的积极性，进一步提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：掌握二项展开式，掌握二项式系数的有关性质，掌握解决二项式定理性质等有关问题的方法．教学难点：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题．教学过程复习巩顾前面我们学习了二项式定理，请回顾：1．(a＋b)n＝________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的______________，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做______________，通项是指展开式的第__________________项，共有____________项．其中二项式系数是____________，系数是____________．2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性：____________________. (2)性质2：______________________.(3)二项式系数的最大值________________________．(4)二项式系数之和____________________，所用方法是____________________． 答案：1．(a ＋b)n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋C 2n an －2b 2＋…＋C r n an －r b r＋…＋C n n b n(n∈N )、展开式、二项式系数、r ＋1、n ＋1、C rn 、变量前的常数2．(1)C mn ＝Cn －mn (2)C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn(3)当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n 最大(4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C rn ＋…＋C nn ＝2n赋值法典型示例类型一：二项展开式的有关概念 例1试求：(1)(x 3－2x 2)5的展开式中x 5的系数；(2)(2x 2－1x)6的展开式中的常数项；(3)在(3x ＋32)100的展开式中，系数为有理数的项的个数．思路分析：理解二项展开式的有关概念，什么是二项式系数，什么是系数，什么是项，什么是常数项、有理项、无理项等，其实都是由通项入手，根据变量的系数、指数进行判断，当指数为0时是常数项，当指数是整数时是有理项，当指数是分数时是无理项．解：(1)T r ＋1＝C r5(x 3)5－r(－2x2)r ＝(－2)r C r 5x 15－5r ，依题意15－5r ＝5，解得r ＝2.故(－2)2C 25＝40为所求x 5的系数．(2)T r ＋1＝C r 6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r ，依题意12－3r ＝0，解得r ＝4.故(－1)4·22C 26＝60为所求的常数项．(3)T r ＋1＝C r 100(3x)100－r(32)r ＝C r100·350－r 2·2r 3x 100－r ，要使x 的系数为有理数，指数50－r 2与r 3都必须是整数，因此r 应是6的倍数，即r ＝6k(k∈Z )，又0≤6k≤100，解得0≤k≤1623(k∈Z )，∴x 的系数为有理数的项共有17项．点评：求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．【巩固练习】试求：(1)(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数；(2)(|x|＋1|x|－2)3的展开式中的常数项．解：(1)∵(x＋2)10＝x 10＋20x 9＋180x 8＋…，∴(x＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数是－1＋180＝179.(2)∵(|x|＋1|x|－2)3＝(|x|－1|x|)6，∴所求展开式中的常数项是－C 36＝－20.类型二：二项展开式的有关应用——简单应用例2求(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中x 2的系数． 解：∵(x－1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5＝x －1{1－[－x －1]5}1－[－x －1]＝x －1＋x －16x ，∴所求展开式中x 2的系数就是(x －1)6的展开式中x 3的系数－C 36＝－20.点评：这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式的问题，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．能够最大限度地考查学生对知识的把握程度．【巩固练习】(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中x 3项的系数是( ) A ．74 B ．121 C ．－74 D ．－121解析：先求和：(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8＝1－x 5[1－1－x4]1－1－x＝1－x5[4x －6x 2＋4x 3－x 4]x，分子的展开式中x 4的系数，即为原式的展开式中x 3项的系数，(－1)×1＋4×(－C 15)－6C 25＋4×(－C 35)＝－1－20－60－40＝－121，所以选D.答案：D类型三：二项展开式的有关应用：整除、不等式、近似值等问题 例3证明：(1)2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *；(2)证明：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．思路分析：对于二项式中的不等式，通过展开式，分析其中的特殊项，可以证明一些简单的不等式问题；对于整除问题同样如此，关键是把二项式拆成676的形式；对于比较麻烦的数列问题，我们经常采用的方法就是数学归纳法，本题也不例外．证明：(1)(1＋1n )n ＝1＋C 1n ·1n ＋C 2n (1n )2＋…≥2(当且仅当n ＝1时取等号)．当n ＝1时，(1＋1n)n＝2<3显然成立；当n≥2时，(1＋1n )n ＝C 0n ＋C 1n ·1n ＋C 2n ·1n 2＋…＋C nn ·1n n ＝2＋n(n －1)2！1n 2＋n(n －1)(n －2)3！1n 3＋…＋n(n －1)…2·1n ！1n n ＝2＋12！n n n －1n ＋13！n n n －1n n －2n ＋…＋1n ！n n n －1n …2n 1n <2＋12！＋13！＋…1n ！<2＋11×2＋12×3＋…＋1n(n －1)＝2＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )＝3－1n <3.综上所述：2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *.(2)当n ＝0，n ＝1时33n－26n －1＝0，显然33n－26n －1可被676整除．当n≥2时，33n－26n －1＝27n－26n －1＝(1＋26)n－26n －1＝1＋26n ＋C 2n ·262＋…＋C nn ·26n－26n －1＝C 2n ·262＋C 3n ·263＋…＋C nn 26n＝676(C 2n ＋26C 3n ＋…＋26n －2C nn)．综上所述：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．点评：用二项式定理解决整除问题是二项式定理的一大特色，这是二项展开式的一种基本应用，通过对二项式的拆解，我们可以解决一些看似很难但易解决的问题．【巩固练习】已知m ，n 是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x 的系数为7，(1)试求f(x)中的x 2的系数的最小值；(2)对于使f(x)中的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数； (3)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)． 解：根据题意得：C 1m ＋C 1n ＝7，即m ＋n ＝7.(*)(1)x 2的系数为C 2m＋C 2n＝m(m －1)2＋n(n －1)2＝m 2＋n 2－m －n2.将(*)变形为n ＝7－m 代入上式得：x 2的系数为m 2－7m ＋21＝(m －72)2＋354.故当m ＝3或4时，x 2的系数的最小值为9.(2)当m ＝3，n ＝4或m ＝4，n ＝3时，x 3的系数为C 33＋C 34＝5. (3)f(0.003)≈2.02.类型四：二项式系数的最大值、系数的最大值问题 例4求(x －1)9的展开式中系数最大的项．思路分析：二项式系数最大的项我们可以根据公式求解，但是系数最大的项怎么求呢？观察本题中二项式系数与系数之间的关系，我们发现它们只不过相差一个负号而已，所以可以通过二项式系数的大小反映系数的大小，只不过要注意正负号．解：T r ＋1＝(－1)r C r 9x 9－r .∵C 49＝C 59＝126，而(－1)4＝1，(－1)5＝－1，∴T 5＝126x 5是所求系数最大的项．点评：此类问题仍然是利用二项展开式的通项公式来求解，但在解题过程中要注意一些常用方法和数学思想的应用．【巩固练习】 求(x ＋124x)8展开式中系数最大的项．解：记第r 项系数为T r ，设第k 项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧T k ≥T k －1，T k ≥T k ＋1，又T r ＝C r －182－r ＋1，那么有⎩⎪⎨⎪⎧C k －182－k ＋1≥C k －282－k ＋2，C k －182－k ＋1≥C k 82－k，即⎩⎪⎨⎪⎧8！(k －1)！(9－k)！≥8！(k －2)！(10－k)！×2，8！(k －1)！(9－k)！×2≥8！k ！(8－k)！，∴⎩⎪⎨⎪⎧1k －1≥2k －2，29－k ≥1k .解得3≤k≤4，∴系数最大的项为第3项T 3＝7x 52和第4项T 4＝7x 72.类型五：二项式系数之和、系数之和等问题例5若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值等于__________；思路分析：注意到与系数的和差有关，所以可以用赋值法求得奇数项的系数之和与偶数项的系数之和，注意使用平方差公式．解：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(3－2)4，由此可得(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)＝[(3＋2)(3－2)]4＝1.点评：在二项式系数的性质应用中，尤其是系数和的问题，我们经常使用赋值法，这是一种奇妙的方法，可以帮助我们在不用计算每一个系数的前提下，求出各个系数的和．【巩固练习】已知(1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 求(1)a 0＋a 1＋…＋a 7的值；(2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6及a 1＋a 3＋a 5＋a 7的值； (3)各项二项式系数和．解：(1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a 7＝－1.(2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝2 187. 则a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094；a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093. (3)各项二项式系数和C 07＋C 17＋…＋C 77＝27＝128. 【拓展实例】例1(1＋3x)6(1＋14x)10的展开式中的常数项为( )A ．1B ．46C ．4 245D ．4 246思路分析：对于非一般的二项式问题，要注意转化成二项式问题解决．本题虽然有两个式子相乘，只要我们写出整个式子的通项，令指数为0，即可求得常数项．解：先求(1＋3x)6的展开式中的通项．T r ＋1＝C r 6(x 13)r ＝C r 6x r3，r ＝0,1,2,3,4,5,6.再求(1＋14x )10的展开式中的通项．T k ＋1＝C k10(x －14)k ＝C k 10x －k 4，k ＝0,1,2,3,4，…，10.两通项相乘得：C r 6x r 3C k10x －k 4＝C r 6C k 10x r 3－k 4，令r 3－k 4＝0，得4r ＝3k ，这样一来，(r ，k)只有三组：(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．故常数项为：1＋C 36C 410＋C 66C 810＝4 246.点评：对于乘积的式子或者三项的式子的展开问题，我们可以通过化归思想，将其转化成二项展开式问题．要注意本题中，常数项的位置有三处．【巩固练习】已知(1＋x ＋x 2)(x ＋1x 3)n 的展开式中没有．．常数项，n∈N *，且2≤n≤8，则n ＝______. 解析：依题意(x ＋1x 3)n ，对n∈N *，且2≤n≤8中，只有n ＝5时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与x 、x 2乘积为常数的项．故填5.答案：5 【变练演编】(1)对于9100你能编出什么样的整除问题？ 如9100被________整除的余数是________．(2)(2x 2－1x )6的展开式中的常数项是第____________项，整数项是第______________项，x 的最高次项是第______________项，二项式系数之和是______________，系数之和是______________．将你能得到的所有正确的答案一一列举出来．答案：(1)这是一个开放性的问题，学生可以有多种答案，比如说9100被8整除的余数是1,9100被80整除的余数是1等等．(2)T r ＋1＝C r6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r .依题意12－3r ＝0，解得r ＝4，所以常数项是第5项；整数项是第1,2,3,4,5项；x 的最高次项是第1项；二项式系数之和为64；系数之和为1.设计意图：变练演编——这种开放性的设计，能够有效地提高学生学习的积极性，使得编题不仅仅是老师的专利，学生在编题解题的过程中，领悟知识，提高能力，增长兴趣，增强信心，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维，最终提高学生的数学成绩．【达标检测】1)12展开式中的常数项为( )1．(x－3xA．－1 320 B．1 320 C．－220 D．2202．(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是( )A．－4 B．－3 C．3 D．43．若(1－2x)2 005＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 005x2 005(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 005)＝________(用数字作答)．答案：1.C 2.B 3.2 003反考老师：即由学生出题，教师现场解答(约8分钟)．(活动设计：请学生到黑板板书题目，要求别太烦琐，且与本节习题课内容相符．一般不多于3道题，教师尽可能全部解答，具体解答数目视题目难度和时间而定．教师要边做边讲，以向学生现场展示解题思路的发现过程和解题能力．做完后，请学生给“阅卷”)课堂小结活动设计：先给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，例题、题目类型、解题规律等；然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络，思想方法，解题规律等．活动成果：(板书)1．知识收获：二项式定理、二项展开式、二项式系数的性质．2．方法收获：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题．3．思维收获：合作意识，创新精神，增加了学习数学的积极性，提升学习数学的兴趣．设计意图：通过学生自己总结所学、所识、所想，不但能充分体现新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁”精神，真正体现了学生的主体地位．不仅可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！补充练习【基础练习】1．计算1－3C 1n ＋9C 2n －27C 3n ＋…＋(－1)n 3n C nn . 2．(x ＋1x －2)3的展开式中，常数项是________．3．已知(3x －13x2)n ，n∈N *的展开式中各项系数和为128，则展开式中1x3的系数是( )A ．7B ．－7C ．21D ．－21 4．求(x －13x)10的展开式中有理项共有________项．1．解：原式＝C 0n ＋C 1n (－3)1＋C 2n (－3)2＋C 3n (－3)3＋…＋C 3n (－3)n＝(1－3)n＝(－2)n. 2．解析：(x ＋1x －2)3＝[(x －1)2x ]3＝(x －1)6x 3. 上述式子展开后常数项只有一项C 36x3－13x3，即－20.3．解析：由已知条件可得：(3－1)n＝128，n ＝7. ∵T r ＋1＝(－1)r C r7(3x)7－r(13x2)r ＝(－1)r C r 737－rx7－53r.令7－5r3＝－3，则有：r ＝6.所以二项展开式中1x 3的系数是：T 7＝(－1)6C 6737－6＝21，故选C.4．解析：∵T r ＋1＝C r10(x)10－r(－13x)r ＝C r 10(－1)rx5－56r.∴当r ＝0,6时，所对应的项是有理项．故展开式中有理项有2项． 【拓展练习】5．已知(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中，x 8的系数小于120，则k ＝____________. 6．设n∈N ，则C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝____________.5．解析：(1＋kx 2)6按二项式定理展开的通项为T r ＋1＝C r 6(kx 2)r ＝C r 6k r x 2r，我们知道x 8的系数为C 46k 4＝15k 4，即15k 4<120，也即k 4<8，而k 是正整数，故k 只能取1.6．解：C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝16C 0n ＋C 1n ＋C 2n 6＋…＋C n n 6n －1－16C 0n ＝16(C 0n ＋C 1n 6＋C 2n 62＋…＋C n n 6n －1)＝16[(1＋6)n－1]＝16(7n －1)．设计说明二项式定理的内容，是各地高考中经常要考查的内容之一，其形式主要是选择题和填空题，题型往往相对稳定，思路方法常常是利用二项展开式的通项公式、二项式系数的有关性质等．常见的二项式问题有：求二项展开式中某一项或某一项的系数，求所有项系数的和或奇(偶)数项系数和，求展开式的项数，求常数项，求近似值，证明不等式等．实际教学的过程中，要努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生发挥其创造意识，以使他们能在创造的氛围中学习．二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式．二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系．掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习、深化作用，又可以为进一步学习概率统计做好必要的知识储备．所以有必要掌握好二项式定理的相关内容．备课资料 二项式定理 同步练习选择题1．已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，那么n 等于( )A ．14B ．12C ．13D ．15 2．C 0n ＋3C 1n ＋9C 2n …＋3n C nn 的值等于( )A ．4nB ．3·4nC.4n3－1 D .4n－133．C 111＋C 311＋…＋C 911的值为( )A ．2 048B ．1 024C ．1 023D ．5124．(x ＋1)(2x ＋1)(3x ＋1)……(nx＋1)展开式中x 的一次项系数为( )A ．C n －1nB ．C 2nC ．C 2n ＋1D ．不能用组合数表示5．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 2n x 2n ，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n 等于 …( )A ．22nB ．3n C.3n －12 D.3n ＋12 6．若n 是正奇数，则7n ＋C 1n 7n －1＋C 2n 7n －2＋…C n －1n 7被9除的余数为( ) A ．2 B ．5 C ．7 D ．87．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10展开式中x 4的系数为( )A ．C 511B ．C 411 C ．C 510D ．C 410填空题8．(a ＋b)n 展开式中第r 项为__________．9．11100－1的末位连续零的个数为__________．参考答案1．A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.A5．提示：令x ＝1即可．8．T r ＝C r －1n an ＋1－r b r －1 9．3。
原创1：1.3 二项式定理（习题课）
(1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
例2.已知 ( 3 x x2 )2n 的展开式的二项式系数和比 (3x 1)n 的展开式的二项式系数和大992，求 (2x 1 )2n的展开式中：
x
(1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．
变式:已知 10 M 1 (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系
整除或余数问题 例5 .求：112004被10除的余数.
(10 1)2004 C20004102004 C21004102003
C2200004310
C 2004 2004
10 M 1
变式： 1.求证：5555+1能被8整除； 证：5555+1=(56−1)55+1=56·M−1+1=56·M,所以5555+1能被8整除.
是 Tr 1 Cnr anrbr.
3. 对称性：Cnr =
C nr n
= 聚合性：Cnr
C r1 n
Cr n1
知识回顾
二项式系数的性质
（1）对称性：
C
r n
C nr n
（2）增减性即最大值
f
(r)
C
r n
在[0,
n 2
]上是增函数
;
在[
n 2
,
n]上是减函数。
当n为偶数时，f (r)max
n
f
第一章 计数原理
§1.3二项式定理(习题课)
高中数学选修2-3·精品课件
知识回顾
1.(a+b)n= Cn0an Cn1an1b Cn2a b n2 2 Cnnbn 展开式共有 n+1 项，其中C（nr r=0,1,2,……,n）
高中数学选修2-3课时作业9：1.3.1二项式定理
1.3.1二项式定理一、选择题 1.(1＋1x)4等于( )A ．1＋3x ＋6x 2＋3x 3＋1x 4B ．1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x 4C ．1＋4x ＋5x 2＋6x 3＋1x 4D ．1＋6x ＋5x 2＋4x 3＋1x42.在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154 B.154C ．－38 D.383．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( )A ．840B ．－840C ．210D ．－210 4．(x －13x )10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( )A ．1B ．2C ．4D ．6 5．若(3x －132x)n 的展开式中含有非零常数项，则这样的正整数n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．66．若(1＋x )n 的展开式中x 2项的系数为a n ，则1a 2＋1a 3＋…＋1a n的值( )A ．大于2B ．小于2C ．等于2D ．大于32二、填空题7.在(x －a )10的展开式中，x 7的系数是15，则实数a ＝________. 8.已知a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x)6展开式中含x 2项的系数是________． 9.设二项式(x －ax)(a >0)的展开式中x 3的系数为A,常数项为B.若B ＝4A,则a 的值是________． 三、解答题10．已知在(3x －33x)n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．11．求证：32n ＋2－8n －9(n ∈N *)能被64整除．12．求(1＋x＋x2)8的展开式中x5的系数．——★参考答案★——一、选择题1[答案]B[解析]由(1＋1x )4＝C 04＋C 141x ＋C 24(1x )2＋C 34(1x )3＋C 44(1x )4＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x 4. 2[答案]C [解析]T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·(－2x)r ＝(－1)r 22r －6C r 6x 3－r，令3－r ＝2，则r ＝1，所以x 2的系数为(－1)1×2－4×C 16＝－38，故选C . 3．[答案]A[解析]方法一：设二项展开式中的第(r ＋1)项为x 6y 4,则T r ＋1＝C r 10x 10－r ·(－2y )r ＝(－1)r ·(2)r ·C r 10·x 10－r ·y r ,∴10－r ＝6.∴r ＝4.∴该项系数为(－1)4·(2)4·C 410＝840.方法二：(x －2y )10可以看作是由10个括号形成的连乘积，而x 6y 4是10项中取6个x 、4个y ，∴系数是C 610x 6·C 44·(－2y )4中的系数．∴系数为C 610·22＝840. 4．[答案]A[解析]展开式通项为T r ＋1＝C r 10(x )10－r (－13x)r ＝ C r 10(－13)r x 10－3r 2，若展开式中含x 的正整数指数幂，即5－32r ∈N *，且0≤r ≤10，r ∈N ， 所以r ＝2，即含x 的正整数指数幂的项只有一项． 5．[答案]B[解析]T r ＋1＝C r n (3x )n －r(－132x)r＝C r n (3)n －r (－1)r (132)r ·x n －r ·x －r 3＝C r n (3)n －r(－132)r xn －4r3，令n －43r ＝0，得n ＝43r .∴n 取最小值为4.6．[答案]B[解析]由题意知a n ＝C 2n ＝nn －12，∴1a n ＝2nn －1＝2(1n －1－1n)，从而1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n )＝2(1－1n )<2.二、填空题7．[答案]－12[解析]T 4＝C 310x 7(－a )3，则C 310(－a )3＝15，解得a ＝－12. 8．[答案]－192[解析]由题意知，a ＝(－cos x ＋sin x )|π0＝2，则展开式中x 2的系数为C 16·25·(－1)＝－192.9．[答案]2[解析]展开式的通项为T k ＋1＝C k 6x 6－k ·(－a )k x -k 2 ＝(－a )k C k 6x 6－3k2 ，故A ＝(－a )2C 26，B ＝(－a )4C 46，由B ＝4A ，得a 2＝4，又a >0，故a ＝2. 三、解答题10．[解析](1)通项公式为T k ＋1＝C k n x n -k 3(－3)k x ―k 3＝C k n (－3)k xn -2k 3.∵第6项为常数项，∴k ＝5时有n －2k 3＝0，即n ＝10.(2)令n －2k 3＝2，得k ＝12(n －6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405. (3)根据通项公式，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2k3∈Z0≤k ≤10k ∈Z ，令10－2k3＝R (R ∈Z)，则10－2k ＝3R ，即k ＝5－32R .∵k ∈Z ，∴R 应为偶数．∴R 可取2,0，－2，即k 可取2,5,8. ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x －2.11．证明：32n ＋2－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n ＋1n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋1·82＋8(n ＋1)＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182，该式每一项都含因式82，故能被64整除． 12．解：方法一：(1＋x ＋x 2)8＝[1＋(x ＋x 2)]8， 所以T r ＋1＝C r8·(x ＋x 2)r ，则x 5的系数由(x ＋x 2)r 来决定，T′k ＋1＝C k r ·x r －k ·x 2k ＝C k r xr ＋k ， 令r ＋k ＝5，由r ≥k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝5k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝4k ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3k ＝2，∴含x 5的项的系数为C 58·C 05＋C 48·C 14＋C 38·C 23＝504.方法二：(1＋x ＋x 2)8＝[(1＋x )＋x 2]8＝C 08(1＋x )8＋C 18·(1＋x )7·x 2＋C 28·(1＋x )6·(x 2)2＋C 38·(1＋x )5·(x 2)3＋…＋C 78(1＋x )(x 2)7＋C 88(x 2)8，则展开式中含x 5的项的系数为C 08·C 58＋C 18·C 37＋C 28·C 16＝504.方法三：(1＋x ＋x 2)8＝(1＋x ＋x 2)(1＋x ＋x 2)…(1＋x ＋x 2)(共8个)，这8个因式的乘积的展开式中形成x 5的来源有三种．(1)有2个括号各出1个x 2，其余6个括号恰有1个括号出1个x ，这种方式共有C 28·C 16种； (2)有1个括号出1个x 2，其余7个括号中恰有3个括号出1个x ，共有C 18·C 37种； (3)没有1个括号出x 2，恰有5个括号各给出1个x ，共有C 58种；∴x 5的系数为：C 28·C 16＋C 18·C 37＋C 58＝504.。
新课标高中数学人教版选修2-3精品课件-【数学】1.3.1《二项式定理习题课》课件(新人教A版选修2-3)
(3)Cn1 2Cn2 3Cn3 ... nCnn
(4)Cn0
1 2
Cn1
1 3
Cn2
...
1 n
1
Cnn
6、（1-2x）6 a0 a1x a2 x2 a3x3 ... a6x6, 则 a0 a1 a2 ... a6 的值为（ ） A.1 B.64 C.243 D.729
⑷“第一盒中恰有三球”的概率。
P A
24 34
16 81
PB
C41 23 34
32 81
PC
C42 22 34
24 81
P
D
C43 34
2
8 81
如何产生［a,b］区间上均匀随机数呢？
利用计算器或计算机产生[0，1]上的均匀随机数
x=RAND,然后利用伸缩和变换，x x1 *(b a) a
7、若(2x 3)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 , 则(a0 +a2 +a4 )2 (a1 a3 )2的值为（ ） A.1 B.-1 C.0 D.2
8、(2x3
+
1 x2
)n
(n
N
* )的展开式中，若存在
常数项，则n的最小值是（ ）
A.3 B.5 C.8 D.10
i=1
s=0
s=0
i<=100? 否 输出s
结束
i=i+1
是
s=s+i
WHILE i<=100 s=s+i i=i+1
课件2：1.3 二项式定理（习题课）
则 10－2r＝3k，即 r＝5－23k， ∵r∈Z，∴k 应为偶数．∴k 可取 2,0，－2，即 r 可取 2,5,8. 所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为
C210(－21)2x2，C510(－21)5，C180(－12)8x－2.
[变式 1] (1)(1＋3 x)6(1＋ 1 )10 的展开式中的常数项为( D )
解 由题(2x－3y)10＝C010(2x)10(－3y)0＋C110(2x)9(－3y)＋…＋C1100(2x)0(－3y)10. (1)二项式系数和为 C010＋C110＋…＋C1100＝210. (2)在二项式展开式子中，令 x＝y＝1，得各项系数和为(2－3)10＝1. (3)奇数项的二项式系数和为 C100＋C210＋…＋C1100＝29，偶数项的二项式 系数和为 C110＋C130＋…＋C910＝29.
变式 3 (2014·琼海一模)已知(3 x＋x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x－1)n 的展开式的二项式系数和大 992，求(2x－1x)2n 的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．
解：由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32，解得 n＝5. (1)由二项式系数的性质知，(2x－1x)10 的展开式中第 6 项的二项式系数最大．即 C510＝252. ∴T6＝C510(2x)5(－1x)5＝－8064.
(4)(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10， 令 x＝1，y＝1，得 1＝a0＋a1＋a2＋…＋a10. ① 当 x＝1，y＝－1，得 510＝a0－a1＋a2－…＋a10. ② ①＋②得 2(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＝510＋1， ∴奇数项系数和为5102＋1. ①－②得 2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510. ∴偶数项系数和为1－2510.
高中数学2-3第一章1.3.1《二项式定理》【练习】(教师版)
1。
3。
1 二项式定理一、选择题1．在(x－错误!)10的展开式中，x6的系数是( ）A．－27C错误!B．27C错误!C．－9C错误!D．9C错误!【答案】D【解析】∵T r＋1＝C错误!x10－r(－错误!）r。
令10－r ＝6,解得r＝4。
∴系数为(－错误!)4C错误!＝9C错误!.2．在错误!n(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是( ）A．3 B．5 C．8D．10【答案】B【解析】T r＋1＝C错误!（2x3）n－r错误!r＝2n－r·C错误! x3n－5r。
令3n－5r＝0，∵0≤r≤n，r、n∈Z。
∴n的最小值为5。
3．在错误!n的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是( ）A ．3B ．4C ．5D ．6来源：学＊科*网］【答案】 D【解析】 通项T r ＋1＝C r ，10（x 2)n －r （－1x）r ＝（－1)r C 错误!x 2n －3r ,常数项是15，则2n ＝3r ，且C 错误!＝15，验证n ＝6时,r ＝4合题意，故选D 。
4．(x ＋错误!)5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10,则实数a 等于（ )[来源：学科网ZXXK]A ．－1 B.错误! C ．1 D ．2【答案】 D【解析】 C 错误!·x r （错误!）5－r ＝C 错误!·a 5－r x 2r －5，令2r －5＝3,∴r ＝4,由C 45·a ＝10,得a ＝2。
5．若(1＋2x ）6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )A.错误!＜x ＜错误!B.错误!＜x ＜错误! C 。
错误!＜x ＜错误! D.错误!＜x ＜错误!【答案】 A【解析】由错误!得错误!∴错误!＜x＜错误!。
6．在错误!20的展开式中，系数是有理数的项共有( )A．4项B．5项C．6项D．7项【答案】A【解析】T r＋1＝C错误!(错误!x）20－r错误!r＝错误! r·（错误!）20－r C错误!·x20－r,∵系数为有理数,∴（2)r与2错误!均为有理数，∴r能被2整除，且20－r能被3整除，故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20.∴r＝2，8,14,20.二、填空题7．若错误!6的二项展开式中x3的系数为错误!,则a＝________(用数字作答）．【答案】2【解析】C错误!(x2）3·错误!3＝错误!x3＝错误!x3，∴a ＝2。
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§1.3.1 二项式定理习题课（三） 学习目标
1. 进一步熟悉二项式定理及其二项式系数的性质；
2. 熟练掌握二项式系数各项和的推导方法；
3.会把二项式定理推广到两个以上二项式展开式的情况. 重点难点
学习重点：进一步熟悉二项式定理及其二项式系数的性质；
学习难点：.会把二项式定理推广到两个以上二项式展开式的情况 教学过程： ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 知识链接
复习1：⑴ n b a )(+＝ 展开式中r n C 叫做第 项的 系数，
通项公式是 ，展开式中共有 项.
⑵ 二项式系数的三个性质：
对称性是指
增减性：当r 满足 时，r n C 是增函数；
最值：当n 是偶数时，展开式中间项是第 项，它的二项式系数有最 值
为 ；当n 是奇数时，展开式中间项是第 项，它的二项式系数有
最 值为 ；
复习2：求91()x x -
的展开式中3x 的系数及它的二项式系数，并求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
合作探究：整除性问题，余数问题
问题：2008101除以100的余数是多少？
新知：整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除
的结构，展开后观察前几项或后几项,再分析整除性或余数。
这是解此类问题的最常用技巧，余数要为正整数.
试试： 20098除以7的余数是 ；996除以7的余数是 。
典型例题
例1 用二项式定理证明：()11-+n
n 能被2n 整除.
变式：证明10099能被1000整除.
例2 求
()()56121-+x x 展开式中6x 系数.
变式：求()()4
53121x x +-展开式中按x 的升幂排列的第3项.
例3
()100323+x 展开式是关于x 的多项式，问展开式中共有多少个有理项？
变式：已知
n
-的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列， （1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项
学习小结
1. 利用二项式定理解决有关余数以及整除问题；
2. 掌握二项式定理在两项以上项展开式中的应用，并会求有理项问题.
应用转化
1. ()n
x 21-展开式中各项系数的和是 2. 今天是星期三，再过20098是星期 3. 10211⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 展开式的5x 系数是
4. 已知()()2611-+ax x 展开式中3x 系数是56，则实数a 的值为
5. 812221221=+⋅⋅⋅+++n n n n n C C C ，则n n n n C C C +⋅⋅⋅++21＝ .
6.求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数.
7.（05湖南）.()()()()6
321111x x x x ++⋅⋅⋅++++++展开式中2x 的系数
课后作业 1. 求()()10
211x x x -++展开式中的4x 的系数.
2. 用二项式定理证明95555+能被8整除.
课后反思:。