2019-2020广东学业水平测试数学学考仿真卷+1+Word版含解析

学考仿真卷(一)(时间：90分钟；分值：100分，本卷共4页)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，m,3}，如果A ∩B ＝A ，那么实数m 等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4C [∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .∵A ＝{1,2}，B ＝{1，m,3}，∴m ＝2.]2．下列函数中，与函数y ＝1x定义域相同的函数为( ) A ．y ＝1x B ．y ＝x C ．y ＝x －2 D ．y ＝ln xD [函数y ＝1x的定义域是(0，＋∞)，A 中的定义域是{x |x ≠0}，B 中的定义域是{x |x ≥0}，C 中的定义域是{x |x ≠0}，D 中的定义域是(0，＋∞)，故选D.]3．复数z ＝21－i＋2＋i 的虚部是( ) A ．3 B ．2 C ．2i D ．3iB [依题意z ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＋2＋i ＝1＋i ＋2＋i ＝3＋2i ，故虚部为2，所以选B.]4．“sin A ＝12”是“A ＝30°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 B [因为sin 30°＝12，所以“sin A ＝12”是“A ＝30°”的必要条件．又150°，390°等角的正弦值也是12，故“sin A ＝12”不是“A ＝30°”的充分条件．故“sin A＝12”是“A ＝30°”的必要不充分条件．]5．已知直线的点斜式方程是y －2＝－3(x －1)，那么此直线的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6C [因为k ＝tan α＝－3，α∈[0，π)，所以α＝2π3.]6．若点A (2,22)在抛物线C ：y 2＝2px 上，记抛物线C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A.24 B.423 C ．2 2 D.223C [将A 坐标代入抛物线方程得(22)2＝2p ·2，p ＝2，故焦点坐标F (1,0)，直线AF 的斜率为22－02－1＝22，故选C.] 7．已知a ＝(－2,2)，b ＝(x ，－3)，若a ⊥b ，则x 的值为( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3D [a ·b ＝－2x －6＝0，解得x ＝－3.]8．在同一直角坐标系xOy 中，函数y ＝cos x 与y ＝－cos x 的图象之间的关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于直线y ＝－x 对称A [由于当自变量相同时，它们的函数值相反，故它们的图象关于x 轴对称，故选A.]9．三个数a ＝0.62，b ＝log 20.6，c ＝20.6之间的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜aC [易知0<a <1，b <0，c >1，故c >a >b .]10．在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 7成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n 等于( )A ．nB ．n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋1B [S 7＝12×7×(a 1＋a 7)＝7a 4＝35，故a 4＝5，又a 23＝a 1a 7，即(5－d )2＝(5－3d )(5＋3d )，即d ＝1，故a n ＝a 4＋(n －4)d ＝n ＋1.]11．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0，则z ＝2x ＋4y ＋1的最小值是( )A ．－14B ．1C ．－5D ．－9A [作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋5≥0x －y ≤0y ≤0表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z ＝2x ＋4y ＋1可得y ＝－12x＋z 4－14，则z 4－14表示直线y ＝－12x ＋z 4－14在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，当y ＝－12x ＋z 4－14经过点A 时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0x －y ＝0，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－52，此时z ＝－2×52－4×52＋1＝－14，故选A.] 12．圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5 C [r 2＝(1－0)2＋(2－0)2＝5，故圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.]13．当x >4时，不等式x ＋4x －4≥m 恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥8 B ．m >8 C ．m ≤8 D ．m <8C [x ＋4x －4＝x －4＋4x －4＋4≥2(x －4)×4x－4＋4＝8，故m ≤8.]14．已知函数f (x )是奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2A [f (1)＝12＋1＝2，f (－1)＝－f (1)＝－2.]15．某学校举办校园演讲大赛，如图为七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，要求去掉一个最高分和一个最低分点，求出所剩数据的平均数和方差为( )789⎪⎪⎪ 94 4 6 4 73 A ．84,4.84B ．84,1.6C ．85,4D ．85,1.6D [平均数x －＝84＋84＋84＋86＋875＝85，方差为15[(84－85)2＋(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.]二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中横线上)16．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，则该双曲线的离心率为________．2 [由于双曲线的一条渐近线为y ＝3x ，故b a ＝ 3.所以双曲线离心率e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2.] 17．函数f (x )＝12－cos 2π4－x 的单调递增区间是________． k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) [f (x )＝12－cos 2π4－x ＝12－1＋cos π2－2x 2＝－12sin 2x ，即求12sin 2x 的单调递减区间．∵2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，∴k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )．]18．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为________．25 [基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个，其中第一张大于第二张的有10个，所以P ＝1025＝25.]19．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为________．12 [不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点的坐标为(c,0)，上顶点的坐标为(0，b )，则l ：x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0. 由bc b 2＋c 2＝14×2b ，得3c 2＝b 2.又b 2＝a 2－c 2，所以a ＝2c ，故e ＝12.]三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)20．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且2a sin B cos A －b sin A ＝0，(1)求A ；(2)当sin B ＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6取得最大值时，试判断△ABC 的形状． [解] (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B 得a sin B ＝b sin A ≠0，又2a sin B cos A －b sin A ＝0，∴2cos A ＝1，即cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵A ＝π3，∴B ＝2π3－C ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝32cos C ＋12sin C ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin C －12cos C ＝2sin C ，∵0<C <2π3，∴当C ＝π2时，取得最大值，∴△ABC 是直角三角形．21．(本小题满分12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ，E 是PD 的中点．求证：(1)PB ∥平面EAC ；(2)平面PDC ⊥平面P AD .[证明] (1)连接BD 交AC 于O ，连接EO ，则EO 是△PBD的中位线，∴EO ∥PB .又PB ⊄平面EAC ，EO ⊂平面EAC ，∴PB ∥平面EAC .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD . ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ⊥CD .而P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD .又CD ⊂平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面P AD .。