高阶矩阵分块求逆的一组公式及应用
求解逆矩阵的常用三种方法
求解逆矩阵的常用三种方法逆矩阵是线性代数中一个非常重要的概念，它在解线性方程组、求解矩阵方程等问题中具有重要作用。
本文将介绍解逆矩阵的三种常用方法：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
方法一：伴随矩阵法伴随矩阵法是一种直接求解逆矩阵的方法。
对于一个n阶方阵A，它的伴随矩阵记为adj(A)。
首先，计算矩阵A的代数余子式构成的余子式矩阵A*，即A* = [Cij]，其中Cij是A的元素a_ij的代数余子式。
然后，将A*的转置矩阵记为adj(A)。
最后，计算逆矩阵A^-1 = adj(A) /det(A)，其中det(A)是矩阵A的行列式。
方法二：初等变换法初等变换法是通过一系列的初等行变换将矩阵A变为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同的变换，得到的矩阵就是原矩阵A的逆矩阵。
初等变换包括以下三种操作：1.对其中一行(列)乘以非零常数；2.交换两行(列)；3.其中一行(列)乘以非零常数加到另一行(列)上。
具体步骤如下：1.构造增广矩阵[A，I]，其中A是待求逆矩阵，I是单位矩阵；2.对增广矩阵进行初等行变换，使左侧的矩阵部分变为单位矩阵，右侧的部分就是待求的逆矩阵；3.如果左侧的矩阵部分无法变为单位矩阵，则矩阵A没有逆矩阵。
方法三：分块矩阵法当矩阵A有一些特殊的结构时，可以使用分块矩阵法来求解逆矩阵。
例如，当A是一个分块对角矩阵时，可以按照分块的大小和位置将其分解为几个小矩阵，然后利用分块矩阵的性质求解逆矩阵。
具体步骤如下：1.将方阵A进行分块，例如，将A分为4个分块：A=[A11A12;A21A22]；2.根据分块矩阵的性质，逆矩阵也是可以分块的，即A的逆矩阵为A^-1=[B11B12;B21B22]；3.通过求解分块矩阵的逆矩阵，可以得到原矩阵的逆矩阵。
以上就是解逆矩阵的常用三种方法：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
无论是在理论研究还是在实际应用中，这些方法都具有重要的作用。
在求逆矩阵时，我们可以根据具体的情况选择合适的方法，以获得高效、准确的计算结果。
分块矩阵的逆矩阵 和原矩阵逆矩阵
标题：分块矩阵的逆矩阵与原矩阵逆矩阵1.概述分块矩阵是指将一个矩阵按行或列分割成多个子矩阵，常用于简化复杂的线性方程组的求解问题。
在矩阵运算中，矩阵的逆矩阵是一个重要的概念，它在解决线性方程组、矩阵方程和求解特征值等问题中发挥着重要作用。
分块矩阵的逆矩阵和原矩阵的逆矩阵是矩阵理论中的重要内容，本文将对此进行详细的探讨。
2.分块矩阵的逆矩阵2.1分块矩阵的定义分块矩阵是将一个大矩阵按行或列分割成多个小矩阵的形式，通常用子矩阵的形式表示。
一个矩阵可以被分割成四个子矩阵的形式，即： A = [A11 A12][A21 A22]其中，A11、A12、A21、A22为子矩阵。
2.2分块矩阵的逆矩阵对于分块矩阵A的逆矩阵A^-1，有以下性质：若A可分块为A=[A11 A12; A21 A22]，且A11和A22可逆，则A可逆的充要条件是A11和A22都可逆，并且存在逆矩阵A^-1=[B11 B12; B21 B22]。
具体而言，A可逆的充要条件是A11和A22都可逆，反之亦然。
并且可以通过分块矩阵的形式求得A的逆矩阵A^-1。
2.3分块矩阵逆的计算方法分块矩阵的逆矩阵的计算方法大致为：- 计算A11的逆B11和A22的逆B22；- 利用B11、B22和A12、A21计算出B12和B21；- 最终得到A的逆矩阵A^-1=[B11 B12; B21 B22]。
3.原矩阵的逆矩阵3.1原矩阵的逆矩阵定义在矩阵运算中，矩阵A的逆矩阵表示为A^-1，它满足矩阵A与其逆矩阵的乘积为单位矩阵：AA^-1=I。
若矩阵A存在逆矩阵，则称矩阵A为可逆矩阵，也称为非奇异矩阵。
3.2原矩阵逆的求解方法计算原矩阵的逆矩阵可以通过多种方法，其中包括高斯消元法、伴随矩阵法、逆矩阵的初等变换法等。
这些方法都是为了求得原矩阵的逆矩阵，从而解决线性方程组、矩阵方程和求解特征值等问题。
4.分块矩阵的逆矩阵与原矩阵的逆矩阵的关系4.1逆矩阵的性质对于分块矩阵A的逆矩阵A^-1和原矩阵A的逆矩阵A^-1，它们有以下关系：- 若A可逆，则A的逆矩阵A^-1亦可逆，且(A^-1)^-1=A。
矩阵求逆方法大全-1
求逆矩阵的若干方法和举例苏红杏广西民院计信学院00数本（二）班[摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读者参考。
[关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。
但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。
为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。
定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B方法 一. 初等变换法（加边法）我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。
即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使E A Q Q Q m m =-11 （1） 则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2）把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3） 这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。
例 1 . 设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-012411210 求1-A 。
解：由（3）式初等行变换逐步得到：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012010411001210→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012001210010411 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----123200124010112001→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21123100124010112001于是1-A = ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21123124112说明：此方法适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简便，特别是当阶数较高时，使用初等变换法的优点更明显。
矩阵求逆公式
矩阵求逆公式
矩阵求逆公式是一种重要的数学工具，它可以帮助我们快速地求解复杂的数学问题。
矩阵求逆公式定义为：对于一个矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=E，其中E为单位矩阵，则称矩阵B为矩阵A的逆矩阵，记为A^(-1)，即A^(-1)=B。
矩阵求逆公式的应用非常广泛，它在线性代数中被广泛应用，可以用来求解线性方程组。
此外，它还可以用来求解多元函数的极值问题，计算微分，解决矩阵的可逆性问题，以及计算积分，等等。
矩阵求逆公式的计算方法也非常多样，最常用的方法是利用矩阵的分块来计算。
具体步骤如下：
1、将矩阵A分解为上下左右四个分块，分别记为A11，A12，A21，A22；
2、计算矩阵A的逆矩阵A^(-1)，其中A^(-1)=（A11-A12A22^(-1)A21）^(-1)A12A22^(-1)；
3、计算矩阵A22的逆矩阵A22^(-1)，其中A22^(-1)=（A22-A21A11^(-1)A12）^(-1)A21A11^(-1)；
4、重复上述步骤，可以求得矩阵A的逆矩阵A^(-1)。
当然，我们也可以通过数值方法来计算矩阵求逆公式，比如Gauss-
Jordan消元法，它可以快速地求解矩阵的逆矩阵。
矩阵求逆公式是一种重要的数学工具，可以用来求解复杂的数学问题，它的应用非常广泛，有多种计算方法可供选择。
求解逆矩阵的常用三种方法
求解逆矩阵的常用三种方法逆矩阵是一个矩阵的逆操作，即找到一个矩阵，与原矩阵相乘后得到单位矩阵。
逆矩阵在线性代数中具有重要的应用，比如求解线性方程组、计算矩阵的行列式等。
在实际应用中，常用的求解逆矩阵的方法包括：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
第一种方法是伴随矩阵法。
对于一个n阶矩阵A，如果它的行列式不为0，那么它存在逆矩阵。
首先计算矩阵A的伴随矩阵，记作Adj(A)，然后用伴随矩阵除以原矩阵A的行列式，即可得到逆矩阵。
具体步骤如下：1. 计算矩阵A的行列式det(A)；2. 计算矩阵A的伴随矩阵Adj(A)，其中第i行第j列的元素等于原矩阵A的代数余子式Aij的行列式乘以(-1)^(i+j)；3. 将伴随矩阵Adj(A)的每个元素除以原矩阵A的行列式det(A)，得到逆矩阵A^(-1) = Adj(A)/det(A)。
第二种方法是初等变换法。
利用矩阵的初等行变换和初等列变换来求解逆矩阵。
具体步骤如下：1.将原矩阵A和单位矩阵I进行横向拼接，得到一个增广矩阵[A,I]；2.对增广矩阵进行行变换，将矩阵A变为单位矩阵I，同时单位矩阵I经过相同的行变换得到逆矩阵A^(-1)；3.若矩阵A无法通过行变换变为单位矩阵I，则矩阵A不可逆。
第三种方法是分块矩阵法。
将原矩阵A按照其中一种方式进行分块，然后通过对分块矩阵进行运算来求解逆矩阵。
常见的分块矩阵法有Schur补法和Sherman–Morrison公式法，这里以Schur补法为例进行说明。
1.将原矩阵A分解为分块矩阵，例如A=[B,D;E,F]；2.利用矩阵分块的性质求解逆矩阵，A^(-1)=[B^(-1)+B^(-1)D(X-F^(-1)E)B^(-1),-B^(-1)DF^(-1);-F^(-1)EB^(-1),F^(-1)+F^(-1)EHF^(-1)]，其中X=(F-EF^(-1)D)^(-1)；3.若分块矩阵的逆存在，即B可逆、F可逆且B-DF^(-1)E可逆，那么原矩阵A也存在逆矩阵。
矩阵求逆方法大全-
求逆矩阵的若干方法和举例红杏广西民院计信学院00数本（二）班[摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读者参考。
[关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。
但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。
为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。
定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B方法 一. 初等变换法（加边法）我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。
即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使E A Q Q Q m m =-11 （1） 则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2）把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3）这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。
例 1 . 设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-012411210 求1-A 。
解：由（3）式初等行变换逐步得到：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012010411001210→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012001210010411 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----123200124010112001→⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----21123100124010112001于是1-A = ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21123124112说明：此方法适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简便，特别是当阶数较高时，使用初等变换法的优点更明显。
矩阵分块法求逆矩阵的公式
矩阵分块法求逆矩阵的公式矩阵分块法在处理大型矩阵运算时可是个超级实用的技巧，尤其是在求逆矩阵的时候。
咱先来说说啥是矩阵分块法。
想象一下，一个大大的矩阵就像一个大操场，我们把它分成几块小区域，每一块就像是操场上的不同活动区域，比如足球场、篮球场、跑道啥的。
这样分块之后，处理起来就方便多啦。
比如说，有一个大矩阵 A ，咱把它分成四块 A11、A12、A21、A22 。
然后呢，要是这个分块后的矩阵满足一定的条件，咱们就能用一些特别的公式来求它的逆矩阵啦。
那求逆矩阵的公式是啥呢？假设分块矩阵 M 是这样的：\[M = \begin{pmatrix}A &B \\C & D\end{pmatrix}\]如果 A 是可逆矩阵，并且 A 的逆矩阵 A^(-1) 存在，同时满足一个特定的条件（这个条件是啥呢？就是矩阵 AD - BC 可逆），那么 M 的逆矩阵 M^(-1) 就可以表示为：\[M^{-1} = \begin{pmatrix}(A - BD^{-1}C)^{-1} & -A^{-1}B(D - CA^{-1}B)^{-1} \\-(D - CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & (D - CA^{-1}B)^{-1}\end{pmatrix}\]这公式看起来有点复杂，是吧？但咱别害怕，多做几道题，多练习练习，就能慢慢掌握啦。
我记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个学生小周，一开始怎么都理解不了。
我就给他举了个特别形象的例子。
假设咱们有一个学校，学校里有不同的班级。
A 班级的同学成绩都很好，B 班级的同学成绩稍微差一点，C 班级的同学体育特别强，D 班级的同学艺术方面很出色。
我们把这四个班级看作是矩阵的四块。
然后呢，要计算整个学校在某次综合评比中的“逆表现”（就相当于求逆矩阵），就得考虑每个班级的特点以及它们之间的关系。
小周一开始听得云里雾里的，后来我让他把每个班级想象成一个具体的数字或者分数，再去套公式，慢慢地他就开窍啦。
逆矩阵的几种求法及解析
. .. . .. ..逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1求证: 如果方阵A 满足A K= 0, 那么E-A是可逆矩阵, 且（E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K证明因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K,因A K= 0 ,于是得(E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E，同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K.同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K.由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001 故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111 其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A *，于是有A 1-=A 1 A *.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1 A *. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡WZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00, 其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
分块矩阵逆矩阵公式
分块矩阵逆矩阵公式分块矩阵逆矩阵是指将一个大的矩阵划分成多个小的矩阵，并对它们进行求逆操作得到整个矩阵的逆矩阵。
分块矩阵逆矩阵的求解可以用到很多公式和算法，在本文中，我们将会介绍其中的一些常用的公式和算法。
1. 矩阵分块首先，我们需要了解矩阵分块的概念。
矩阵分块是将一个大的矩阵划分成多个小的矩阵的过程。
这些小的矩阵可以是行向量或列向量，也可以是子矩阵。
矩阵的分块有很多种方法，其中比较常用的是二分法和多分法。
例如，将一个 $4 \times 4$ 的矩阵分成四个 $2 \times 2$ 的子矩阵，可以表示为：$$\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{pmatrix}$$其中 $A_{11}, A_{12}, A_{21}, A_{22}$ 分别是四个 $2 \times 2$ 的子矩阵。
2. 矩阵的秩接着，我们需要了解矩阵的秩的概念。
矩阵的秩定义为矩阵中非零行的最大个数或者矩阵中非零列的最大个数。
对于任意一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$，其秩为 $r(A)$。
3. 矩阵的逆矩阵矩阵的逆矩阵是指一个矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 满足以下条件：$$A A^{-1} = A^{-1} A = I$$其中 $I$ 是单位矩阵。
注意，只有可逆矩阵才有逆矩阵。
如果一个矩阵不可逆，则称其为奇异矩阵。
4. 矩阵的分块逆矩阵公式对于大的矩阵的求逆，我们可以通过对其进行分块并应用一些公式和算法来实现。
常见的分块逆矩阵公式有以下几种：- 逆矩阵的分块公式对于一个分块矩阵：$$A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{pmatrix}$$如果 $A_{11}$ 是可逆矩阵，则它的逆矩阵为：$$A^{-1}=\begin{pmatrix} (A_{11}-A_{12} A_{22}^{-1}A_{21})^{-1} & -(A_{11}-A_{12} A_{22}^{-1} A_{21})^{-1} A_{12} A_{22}^{-1} \\ -A_{22}^{-1} A_{21} (A_{11}-A_{12} A_{22}^{-1} A_{21})^{-1} & A_{22}^{-1} + A_{22}^{-1}A_{21} (A_{11}-A_{12} A_{22}^{-1} A_{21})^{-1} A_{12}A_{22}^{-1} \end{pmatrix}$$其中 $A_{11} - A_{12} A_{22}^{-1} A_{21}$ 是一个 $k \times k$ 的可逆矩阵，$A_{22}^{-1}$ 是一个 $(n-k) \times (n-k)$ 的可逆矩阵。
分块矩阵求逆及其应用
实用标准文案目录摘要 (1)引言 (2)一、概述 (2)二、分块矩阵的求逆及其应用 (5)第一节２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (5)第二节 3×3分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (14)结束语 (21)分块矩阵求逆及其应用李东生（渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国）摘要：对于分块矩阵，我们比较熟悉分块矩阵的乘法，而对于分块矩阵的求逆，经常遇到的是22⨯分块矩阵的逆的证明问题，很少涉及分块矩阵逆的计算，并且我们在实际问题中还会遇到33⨯分块矩阵（或更高阶的分块矩阵）的求逆问题，所以我们研究这样的分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式显得很有意义。
分块是否合理是分块矩阵运算是否简便的关键，所以本文开头便对分块方法做了总结。
接着，本文研究了较为简单的22⨯分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并予以证明，总结了研究方法，还深入探讨了22⨯分块矩阵中含有零块时的可逆性存在条件以及求逆公式。
以22⨯分块矩阵的研究方法为基础，探讨研究了33⨯分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并试证成功，还总结出研究更高阶分块矩阵求逆方法。
此外本文不仅侧重理论研究，而且侧重于实际应用，在文中列举了大量典型的阶数较高的矩阵，对他们如何分块才能使求逆过程更为简单作出分析，并给出了求解过程，真正做到了“理论联系实际”。
关键字：分块方法，分块矩阵，逆矩阵，可逆条件Begging the negative matrix to a matrix of the centand it ′s applyingLi Dongsheng(Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract: For a matrix of the cent, we relatively know with the multiplication of dividing a matrix. But for begging the negative matrix to a matrix of the cent, we usually meet is 2 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank. It is seldom to involve to divide the calculation that a matrix inverse, and we also will meet in actual problem begging 3 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank.(or a matrix of more high-level cent).So it is very meaningfully to study this character of inverse of existence condition of such a matrix of cent; to beg the negative formula whether cent is reasonable is the key of whether a matrix operation is simple. What is more, the beginning of thesis does the summary to a method of cent. Immediately, the thesis has studied simple 2 ranks to divide a piece of matrix and the existence condition of inverse character. Finally the thesis gives the evidence. The method has been given, and whenthere are zero-pieces in a matrix, the character of inverse condition and begging the negative formula are explored in the 2 ranks to divide a piece of matrix. In the basis of research method of 2 rank to divide a piece of matrix, the character of inverse, and begging the negative formula in 3 ranks to divide a piece of matrix are successfully proved, and also be summed up the method of begging the negative .In addition of this, this thesis not only lays particular emphasis on the theories research, but also deals of high level matrix of typical model which are used in the thesis, and how they divide the piece to make begging negative process more simple is also be analyzed . The process of how to solve is also given. “Theories contact actual” is real attained in this thesis.key words: the method of dividing the matrix into pieces; a matrix of cent ; negative matrix ; the condition that the matrix has a negative matrix.引言我们在处理一些多元线性方程组时，常常用系数矩阵，而且一般情况下，它们的阶数较高，在求解过程中，我们还要常常要求它们的逆．若要用普通的初等变换法，或求伴随矩阵法求逆都很麻烦．这时我们就应该考虑用分块矩阵法求矩阵的逆．我们知道并不是所有的矩阵都有逆，我们要求逆就应该判断矩阵是否可逆，然后再求逆．本文首先介绍了分块矩阵的定义以及常用的分块方法，重点介绍２×２分块矩阵和３×３分块矩阵的可逆性存在条件，并给出了普遍使用的求逆公式，而且文中还举了一些有代表性的例题，并讨论是如何分块，如何应用求逆公式的．一概述１．分块矩阵的定义在处理级数较高的矩阵是常用矩阵分块的方法．我们可以把大矩阵看成是由小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样．特别在运算中，把这些小矩阵当作数来处理，这就是所谓的矩阵分块．而把这样的矩阵就叫做分块矩阵．２．常用的矩阵分块方法①找零块例如1001210100100000⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭可分块为10|0121|01|00|1000|00⎛⎫⎪⎪⎪----⎪⎪⎪⎝⎭可表示为A BD⎛⎫⎪⎝⎭型②找相同块例如1111111111111111⎛⎫⎪--⎪⎪--⎪--⎝⎭可分块为11|1111|11|11|1111|11⎛⎫⎪--⎪⎪----⎪--⎪⎪--⎝⎭可表示为A AA D⎛⎫⎪⎝⎭型③找单位块例如1212110010101001⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭可分块为1|2121|1001|0101|001⎛⎫⎪-----⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭可表示为3A BC I⎛⎫⎪⎝⎭型（这里的3I表示３阶单位阵,本文中的I都表示单位阵）④化为分块上（下）三角阵例如2011012103400002⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭可分块为2|01|10|12|10|34|00|00|2⎛⎫⎪------⎪⎪⎪⎪⎪------⎪⎪⎝⎭可表示为11121322233300A A AA AA⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭型⑤化为分块对角阵例如2000013002400002⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭可分块为2|00|00|13|00|24|00|00|2⎛⎫⎪------⎪⎪⎪⎪⎪------⎪⎪⎝⎭可表示为112233000000AAA⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭型在具体的运算中，我们要根据运算灵活地分块，上述方法只是比较常用，我们可以灵活地运用，宗旨是使运算变得更加简便．此外，我们在矩阵加法和乘法的运算中，分块矩阵的维数必须加以限制，以使所定义的运算能够进行．我们称任何满足上面这种限制的矩阵分块关于所讨论的运算是相容的．对于加法，相容要求两个矩阵按同样的方式分块；而对于乘法，在矩阵Ａ与矩阵Ｂ相乘时，对Ｂ的一个分块方式，Ａ可以有几种分块方式与之相容，这时便要考虑哪种分块方式使运算更加简便．例如Ａ＝100010002⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭Ｂ＝101001010110⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭ＡＢ＝？解：我们可以把Ｂ分块为10|1001|0101|10⎛⎫⎪⎪⎪-----⎪⎝⎭而这时若只考虑乘法的相容性，Ａ可以分块为10|001|0|00|2⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭，或10|0|01|000|2⎛⎫ ⎪---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭但是我们可以看到第一种分法中有单位块，对于乘法运算显然更简便.ＡＢ＝22200I A ⎛⎫ ⎪⎝⎭．222122I I B B ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2222212222II A B A B ⎛⎫⎪⎝⎭＝101001010220⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭３． 矩阵的逆定义：n 阶方阵Ａ可逆，如果有n 阶方阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝Ｉ，这里的Ｉ是n 阶单位阵．而我们将要研究的分块矩阵的求逆，只不过是先将矩阵分块，然后再求逆．二 分块矩阵的求逆及其应用第一节 ２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 首先我们从最简单的2×2分块矩阵开始研究,如何求2×2分块矩阵的逆,用初等变换的方法,这是一个很好解决的问题.而我们重点研究一下这种类型的分块矩阵可逆性的存在条件及其普遍适用的求逆公式. 设A B M C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭,A 为n 阶矩阵,B 与C 分别为n ×m 和m ×n 矩阵,D 为m 阶矩阵.定理1.若A 可逆,则M 可逆⇔1D CA B --可逆.这时[1]11111111111111()()()()A A B D CA B CA A B D CA B M D CA B CA D CA B --------------⎛⎫+---=⎪---⎝⎭证明: ⇒ 由 110A B A B CA C D D CA B ---⨯⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∵M =A ⋅10D CA B --≠ 故11()D CA B ---存在.由 1111110000()()n n m m A B I AB I CA ACD I D CA B CA I D CA B -------⨯⎛⎫⨯⎛⎫→ ⎪⎪---⨯⎝⎭⎝⎭1111110000()()n n m m A B I AB I CA ACD I D CA B CA I D CA B -------⨯⎛⎫⨯⎛⎫→ ⎪ ⎪---⨯⎝⎭⎝⎭111111100()()n mI A B A A B I D CA B CA D CA B -------⎛⎫⎪-⨯---⎝⎭111111111110()()0()()n mI A A B D CA B CA A B D CA B I D CA B CA D CA B -----------⎛⎫+---→ ⎪---⎝⎭即 11111111111111()()()()A A B D CA B CA A B D CA B MD CA B CA D CA B --------------⎛⎫+---= ⎪---⎝⎭⇐ 由1D CA B --可逆,可知1A -存在.∵M =A ⋅10D CA B --≠, 故1M - 存在.定理2. 若D 可逆,则M 可逆⇔1A BD C --可逆,这时 11111111111111()()()()A BD C A BD C BD MD C A BD C D D C A BD C BD --------------⎛⎫---= ⎪--+-⎝⎭证明方法同定理1,在此略去证明过程.在此,我们还可以得出推论:推论1:若B 可逆,则M 可逆⇔ 1C DB A --可逆 推论2:若C 可逆,则M 可逆⇔ 1B AC D --可逆通过以上的讨论,我们只要知道某一块可逆,运用定理及其推论就可以判断出M 是否可逆,如果可逆,我们就可以运用相应的求逆公式求出.我们在实际应用时,如果一个阶数较大的矩阵,找不到特殊的块(如零块,单位块,相同块等),或者不能化为特殊型(如分块对角阵,分块上(下)三角阵等),那么求它的逆运用分块的方法优势也就不明显了.而以上所研究的求逆条件和求逆公式的实用价值也就大打折扣.而我们在实际计算当中,最常遇到的便是矩阵中含有零块的情况,下面我们来研究一下2×2分块矩阵中含有零块时,它的可逆性存在条件及其可逆公式是什么形式的. 1. 分块矩阵中含有3个零块 即 000A ⎛⎫⎪⎝⎭ 、000B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 、 000C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 、000D ⎛⎫⎪⎝⎭这种情况下,分块矩阵是不可逆的.以第一种情况为例∵若A 可逆,而1D CA B --=0,是不可逆的 ∴M=000A ⎛⎫⎪⎝⎭不可逆.(若A 不可逆,那么M 就更不可逆了) 2. 分块矩阵中有两个零块Ⅰ. 分块矩阵的两个零块在同一行或同一列,即①00A B M ⎛⎫= ⎪⎝⎭和②00B M D ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则这种分块矩阵不可逆. ∵ 由定理1可知,在①中若1A -存在, 1D CA B --=0不可逆.∴M 不可逆. ∵ 由推论1可知,在②中若1B -存在, 1C DB A --=0不可逆.∴M 不可逆.Ⅱ.分块矩阵的两个零块不在同一行或同一列,即 ①00A M D ⎛⎫= ⎪⎝⎭和 ②00B M C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,∵ 由定理1可知,在①中若1A -存在, 1D CA B --=D,只有当D 可逆 时,M 才可逆. 代入求逆公式得 11100A MD ---⎛⎫= ⎪⎝⎭,反过来,若D 可逆,也只有A 可逆时,M 才可逆. 1M -同前面的一样.∵由推论1可知,在②中若1B -存在, 1C DB A --=C,只有当C 可逆时,M 才可逆, 此时 11100C MB---⎛⎫= ⎪⎝⎭可以用下面的方法求出上面的1M -,设1M -=11122122D D D D ⎛⎫ ⎪⎝⎭则 1M M -⋅=00B C⎛⎫⎪⎝⎭11122122D D D D ⎛⎫ ⎪⎝⎭=21221112BD BD CD CD ⎛⎫⎪⎝⎭=00I I ⎛⎫⎪⎝⎭=I ∴11100C MB---⎛⎫= ⎪⎝⎭3. 分块矩阵中只有一个零块Ⅰ. 分块矩阵的零块在主对角线上,即①0A B M C ⎛⎫= ⎪⎝⎭和②0B M C D ⎛⎫=⎪⎝⎭ⅰ.由定理1可知,在①中若1A -存在,只有 1CA B --可逆,M 才可逆 而11()CA B ---= 11B AC --- ∴ 只有当1B - 、1C -同时存在时,M 才可逆.ⅱ.若A 不可逆,则令1M -=11122122D D D D ⎛⎫⎪⎝⎭1M M -⋅=112112221112AD BD AD BD CD CD ++⎛⎫⎪⎝⎭=00I I ⎛⎫⎪⎝⎭=I 1M - =11110C BB AC ----⎛⎫⎪-⎝⎭,如果要使1M -存在,那么1B - ﹑1C -一定存在. ② 可用同样的方法讨论.总结: 这种类型的分块矩阵,无论A(D)是否可逆,只有B 、C 同时可逆时,M 才可逆.Ⅱ. 分块矩阵的零块不在主对角线上,即①0AM C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭和②0A B M D ⎛⎫= ⎪⎝⎭对于①,可以直接应用定理1判断是否可逆,然后直接代入求逆公式即只有当A 、D 同时可逆时,M 可逆.此时1M -= 11110A A BD D ----⎛⎫- ⎪⎝⎭对于②,同样应用定理2可得只有当A ﹑D 同时可逆时,M 可逆.此时1M -= 11110A D CAD ----⎛⎫⎪-⎝⎭通过以上的讨论,我们不难发现,如果分块矩阵中含有零块,那么判断其可逆性存在条件以及求逆公式都会相应地简单很多.因此,我们在对阶数较大的矩阵分块时应注意零块.下面我们来看一些典型的应用分块矩阵法来求逆的例子,看看是如何分块,如何应用公式及推论的. 例1. 判断下列矩阵是否可逆,如果可逆,求出它的逆.①M = 0001200023110000110000100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ②M = 01000002000003000004500⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭③M = 101010101000110000110001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭④M = [2]2100002100002100002100002⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⑤ M =[3]1111111111111111⎛⎫⎪-- ⎪⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭ ⑥M =1200023000111000101000001⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭解: ①分析: 观察矩阵中有一个2×3的零块和一个3×2的零块,而另外两个分别是上三角块和一个2×2的块,都很容易判断是否可逆.所以可将M 分块为000|12000|23110|00011|00001|00⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭它正好是00B M C ⎛⎫= ⎪⎝⎭型,由前面的讨论可知11100C MB---⎛⎫= ⎪⎝⎭而运用初等变换法很容易求出112322321--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 1110111011011001001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故M 可逆. 所以 1M -=001110001100001320002100-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭②.分析: 不难发现这是一个对角阵经过列变换而得到的矩阵,那我们就还要尽可能找到对角阵,因为对角阵的逆容易求得.结果发现正好还有两个零块.则可将M 分块为0|10000|02000|00300|00045|0000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪------ ⎪⎪⎝⎭,也是00B M C ⎛⎫=⎪⎝⎭型,B 、C 可逆很容易看出,故M 可逆.则1M -=1000051000010000210000310004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭③.分析:这是一个只有0和1组成的上三角矩阵,我们知道零块比单位块更容易计算,所以我们应本着先找零块的原则,故我们可以将M 分块为10|10101|01000|11000|01100|001⎛⎫⎪⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭这样分即有零块,又有一个单位块. 则M 可表示20I B D ⎛⎫⎪⎝⎭型.很容易看出2I 和D 都可逆,所以M 可逆. 根据关于零块的讨论,可得1M -=1210I BD D --⎛⎫-⎪⎝⎭而1D -=111011001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭1BD --=112011--⎛⎫ ⎪-⎝⎭, 所以1M -=101120101100111000110001--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭④.分析:这是一个很有规律的矩阵,我们可以找到它的一个最大零块,将M 分块为21|00002|10000|21000|02100|002⎛⎫⎪⎪ ⎪------⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭ 可以表示为0A B M T ⎛⎫= ⎪⎝⎭型 很容易看出1A -和1T -都存在,故M 可逆.用初等变换的方法求得1A -=1124102⎛⎫-⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭而我们在求1T -时,还可以把T 分块为 21|002|100|2⎛⎫ ⎪⎪⎪---- ⎪⎪⎝⎭可以表示为T=A H O K ⎛⎫⎪⎝⎭∵A 、K 可逆很容易看出, ∴1T -=1111A A HK K ----⎛⎫-⎪⎝⎭=111248110241002⎛⎫-⎪⎪⎪- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∴1M-=1111A A BT T ----⎛⎫- ⎪⎝⎭=11111248163211110248161110024811000241002⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭本题中两次运用分块,因为1A -只求一次，可以在两个地方应用,而且其它的计算也相应的简便.⑤．分析:这个矩阵中含有3个块相同，故分块很容易M=11|1111|1111|1111|11⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪----- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭即M=A A A D ⎛⎫⎪⎝⎭,∵1A -，1D -都存在,现在考虑是应用定理1还是应用定理2.ⅰ.若选择1A -存在，则需判断1D AA A --=D-A 是否可逆 ⅱ.若选择1D -存在， 则需判断1A AD A -- 是否可逆。
分块求逆矩阵的方法
分块求逆矩阵的方法在矩阵算法中，求逆矩阵是一个非常重要的问题。
逆矩阵求解算法的效率影响着很多其他算法的运行时间。
分块求逆矩阵方法是一种有效的求解逆矩阵的方法。
它通过将一个大的矩阵拆分为多个小块，然后对每个小块求逆矩阵，最终合并成整个矩阵的逆矩阵。
下面我们将详细介绍分块求逆矩阵方法。
一、问题描述假设我们要求解一个n×n 矩阵 A 的逆矩阵 A-1，即 A-1A=IA，其中 I 是n×n 的单位矩阵。
那么我们可以通过解方程组 Ax=I，即找到满足条件的n×n 矩阵 x。
二、分块求解过程分块求逆矩阵方法的基本思路是将原矩阵 A 分成若干个块，并按照一定的顺序进行计算，最终合并成整个矩阵的逆矩阵。
具体步骤如下所示：1. 将矩阵 A 横向和纵向分成若干个大小相等的块，即将 A 分解成下面这样的形式：A = [A11 A12 ... A1m;A21 A22 ... A2m;...An1 An2 ... Anm];每个块的大小为k×k，其中 k 是满足 k|n 的最小正整数。
在实际应用中，通常选择 k 的大小为 32 或 64。
2. 对角块求逆首先对 A 的对角块进行求逆操作，即对 Aii 求逆矩阵。
这个操作可以使用高斯-约旦消元法，将 Aii 元素变为单位元，同时在 Aij 中使用 Aii 的逆元素将除 Aii 以外的元素都变为零。
3. 计算 Schur 补矩阵根据 Schur 补定理，我们把 A 分解成下面这样的形式：A = [A11 A12;A21 A22]其中A11是上文提到的对角块，A12 和 A21 分别是 A 的非对角块。
那么根据 Schur 补矩阵的定义我们可以得到：我们只需求解 S 的逆矩阵即可，即 S-1。
4. 使用逆矩阵计算非对角块接下来我们需要利用 S-1，计算非对角块的逆矩阵。
我们可以得到下面这个方程：我们先解出 X 矩阵。
根据公式我们有：X = I - A11-1A12S-1Z接下来我们就可以计算出非对角元素的逆矩阵：A22-1 = S-1 + S-1A21A11-1(I - A11-1A12S-1A21)A11-1A12S-15. 合并逆矩阵我们将所有小块的逆矩阵合并成整个矩阵的逆矩阵。
矩阵的分块求逆及解线性方程组(完整版)实用资料
矩阵的分块求逆及解线性方程组（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）实验4：矩阵的分块求逆及解线性方程组一、问题化已知矩阵为上三角矩阵，构造范德蒙矩阵，高阶非奇异矩阵的分块求逆，非齐次线性方程组的通解二、实验目的1. 学会使用MATLAB编程，实施初等变换将矩阵化为上三角矩阵2. 掌握用循环语句由已知向量构造范德蒙矩阵3. 了解高阶非奇异矩阵用不同分块法求逆矩阵的误差分析4. 能根据由MATLAB所求得的非齐次线性方程组增广矩阵的阶梯形的行最简形式写出线性方程组的通解三、预备知识（一）线性代数知识（二）相关命令提示：1. 输入语句：变量名=input（‘提示信息’）2. for 循环3. if 结构4. 矩阵与向量的范数:norm(A5. 求矩阵A的秩:rank(A6. 求矩阵A的标准阶梯形：rref(A四、实验内容与要求1. 在建立的sy31.m文件中编程将任意给定的n阶方阵B1，化为上三角阵B1;调用时输入B1=A,n=6;其中A为实验：矩阵的基本运算中的矩阵A2. 在建立的sy32.m文件中编程用1—6单位增量的行向量产生一个范德蒙矩阵B23. 在建立的sy33.m文件中编程对任意输入的高阶分块可逆矩阵B3实现分块法求逆：（1）调用sy33.m文件时输入B3=A^2，输入n1=2,求出B3的逆C2；（2）调用sy33.m文件时输入同上的B3，输入n1=4,求出B3的逆C4；（3）调用sy33.m文件时输入同上的B3，输入n1=6,求出B3的逆C6；（4）调用norm 函数对上面三种方法所求的逆做误差分析（即做（B3×Ci-E）的范数）4. 建立sy34.m 文件，求下列非齐次方程组的通解。
五、思考与练习1. 求解下列齐次方程组的基础解系2. 用任意输入的8维行向量产生一个8解范德蒙矩阵项目五 矩阵运算与方程组求解实验1 行列式与矩阵实验目的掌握矩阵的输入方法. 掌握利用Mathematica (4.0以上版本) 对矩阵进行转置、加、减、 数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.基本命令在Mathematica 中, 向量和矩阵是以表的形式给出的.1. 表在形式上是用花括号括起来的若干表达式, 表达式之间用逗号隔开.如输入{2,4,8,16}{x,x+1,y,Sqrt[2]}则输入了两个向量.2. 表的生成函数(1) 最简单的数值表生成函数Range, 其命令格式如下:Range[正整数n]—生成表{1,2,3,4,…,n };Range[m, n]—生成表{m ,…,n };Range[m, n, dx]—生成表{m ,…,n }, 步长为d x .(2) 通用表的生成函数Table. 例如,输入命令Table[n^3,{n,1,20,2}]则输出 {1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859}输入Table[x*y,{x,3},{y,3}]则输出 {{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}}3. 表作为向量和矩阵一层表在线性代数中表示向量, 二层表表示矩阵. 例如,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5432 可以用数表{{2,3},{4,5}}表示.输入A={{2,3},{4,5}}则输出 {{2,3},{4,5}}命令MatrixForm[A]把矩阵A 显示成通常的矩阵形式. 例如, 输入命令:MatrixForm[A]则输出 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5432 但要注意, 一般地, MatrixForm[A]代表的矩阵A 不能参与运算.输入B={1,3,5,7}输出为{1,3,5,7}输入MatrixForm[B]输出为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7531虽然从这个形式看向量的矩阵形式是列向量, 但实质上Mathematica 不区分行向量与列向量. 或者说在运算时按照需要, Mathematica 自动地把向量当作行向量或列向量.下面是一个生成抽象矩阵的例子.输入Table[a[i,j],{i,4},{j,3}]MatrixForm[%]则输出⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛]3,4[]2,4[]1,4[]3,3[]2,3[]1,3[]3,2[]2,2[]1,2[]3,1[]2,1[]1,1[a a a a a a a a a a a a 注:这个矩阵也可以用命令Array 生成,如输入Array[a,{4,3}]//MatrixForm则输出与上一命令相同.4. 命令IdentityMatrix[n]生成n 阶单位矩阵.例如,输入IdentityMatrix[5]则输出一个5阶单位矩阵(输出略).5. 命令DiagonalMatrix[…]生成n 阶对角矩阵.例如,输入DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}]则输出 {{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}}它是一个以b[1], b[2], b[3]为主对角线元素的3阶对角矩阵.6. 矩阵的线性运算:A+B 表示矩阵A 与B 的加法;k*A 表示数k 与矩阵A 的乘法; A.B 或 Dot[A,B]表示矩阵A 与矩阵B 的乘法.7. 求矩阵A 的转置的命令:Transpose[A].8. 求方阵A 的n 次幂的命令:MatrixPower[A,n].9. 求方阵A 的逆的命令:Inverse[A].10.求向量a 与b 的内积的命令:Dot[a,b].实验举例矩阵A 的转置函数Transpose[A]例1.1 求矩阵的转置.输入ma={{1,3,5,1},{7,4,6,1},{2,2,3,4}};Transpose[ma]//MatrixForm输出为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛411365243271 如果输入 Transpose[{1,2,3}]输出中提示命令有错误. 由此可见, 向量不区分行向量或列向量.矩阵线性运算例1.2 设,291724,624543⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B A 求.24,A B B A -+ 输入A={{3,4,5},{4,2,6}};B={{4,2,7},{1,9,2}};A+B//MatrixForm4B-2A//MatrixForm输出为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43241801081151267 如果矩阵A 的行数等于矩阵B 的列数, 则可进行求AB 的运算. 系统中乘法运算符为“.”, 即用A.B 求A 与B 的乘积, 也可以用命令Dot[A,B]实现. 对方阵A , 可用MatrixPower[A,n]求其n 次幂.例1.3 设,148530291724,36242543⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mb ma 求矩阵ma 与mb 的乘积. 输入Clear[ma,mb];ma={{3,4,5,2},{4,2,6,3}}; mb={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5},{8,4,1}};ma.mb//MatrixForm输出为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛655642566532矩阵的乘法运算例1.4 设,101,530291724⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 求AB 与,A B T 并求.3A输入Clear[A,B];A={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5}};B={1,0,1};A.B输出为{11,3,5}这是列向量B 右乘矩阵A 的结果. 如果输入B.A输出为{4,5,12}这是行向量B 左乘矩阵A 的结果,A B T 这里不需要先求B 的转置. 求方阵A 的三次方, 输入MatrixPower[A,3]//MatrixForm输出为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26047754444932141555660119例1.5 (教材 例1.1) 设,421140123,321111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A 求A AB 23-及.B A T 输入A={{-1,1,1},{1,-1,1},{1,2,3}}MatrixForm[A]B={{3,2,1},{0,4,1},{-1,2,-4}}MatrixForm[B]3A.B -2A//MatrixFormTranspose[A].B//MatrixForm则输出A AB 23-及B A T 的运算结果分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----334421424141010 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----10120821444求方阵的逆例1.6 (教材 例1.2) 设,5123641033252312⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 求.1-A 输入Clear[ma]ma={{2,1,3,2},{5,2,3,3},{0,1,4,6},{3,2,1,5}};Inverse[ma]//MatrixForm则输出⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------16521161145810812181********161121162147 注: 如果输入Inverse[ma//MatrixForm]则得不到所要的结果, 即求矩阵的逆时必须输入矩阵的数表形式例1.7 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--027926243043286345248127的逆矩阵. 解 A={{7,12,8,24},{5,34,6,-8},{32,4,30,24},{-26,9,27,0}}MatrixForm[A]Inverse[A]//MatrixForm例1.8 设,221331317230,5121435133124403⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 求.1B A - 输入Clear[A,B];A={{3,0,4,4},{2,1,3,3},{1,5,3,4},{1,2,1,5}};B={{0,3,2},{7,1,3},{1,3,3},{1,2,2}};Inverse[ma].B//MatrixForm输出为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1671635583891898932516916619 对于线性方程组,b AX =如果A 是可逆矩阵, X ,b 是列向量, 则其解向量为.1b A -例1.9 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+-=++.2442,63,723z y x z y x z y x输入Clear[A,b];A={{3,2,1},{1,-1,3},{2,4,-4}}; b={7,6,-2}; Inverse[A].b输出为{1,1,2}求方阵的行列式 例1.10 求行列式 .3351110243152113------=D输入Clear[A];A={{3,1,-1,2},{-5,1,3,-4},{2,0,1,-1},{1,-5,3,-3}}; Det[A]输出为40例1.11 (教材 例1.3) 求.11111111111122222222ddd d c c c c b b b b a a a a D ++++=输入Clear[A,a,b,c,d];A={{a^2+1/a^2,a,1/a,1},{b^2+1/b^2,b,1/b,1}, {c^2+1/c^2,c,1/c,1},{d^2+1/d^2,d,1/d,1}}; Det[A]//Simplify则输出2222d c b a )abcd 1)(d c )(d b )(d a )(c b )(c a )(b a (+--------例1.12 计算范德蒙行列式.1111145444342413534333231252423222154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 输入Clear[x];Van=Table[x[j]^k,{k,0,4},{j,1,5}]//MatrixForm输出为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛444443333322222]5[]4[]3[]2[]1[]5[]4[]3[]2[]1[]5[]4[]3[]2[]1[]5[]4[]3[]2[]1[11111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x再输入Det[van]则输出结果比较复杂(项很多)若改为输入Det[van]//Simplify或Factor[Det[van]]则有输出(x[1]-x[2])(x[1]-x[3])(x[2]-x[3])(x[1]-x[4]) (x[2]-x[4])(x[3]-x[4])(x[1]-x[5])(x[2]-x[5]) (x[3]-x[5])(x[4]-x[5])例1.13 (教材 例1.4) 设矩阵 ,60975738723965110249746273⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 求.),(|,|3A A tr A 输入A={{3,7,2,6,-4},{7,9,4,2,0},{11,5,-6,9,3},{2,7,-8,3,7},{5,7,9,0,-6}}MatrixForm[A]Det[A] Tr[A]MatrixPower[A,3]//MatrixForm则输出3),(|,|A A tr A 分别为11592 3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12574547726668013841222451984174340410063122181713228151626315018483582949442062726向量的内积向量内积的运算仍用“.”表示, 也可以用命令Dot 实现 例1.14 求向量}3,2,1{=u 与}0,1,1{-=v 的内积. 输入u={1,2,3}; v={1,-1,0}; u.v输出为-1或者输入Dot[u,v]所得结果相同.实验习题1.设,150421321,111111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A 求A AB 23-及.B A '2.设,001001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλA 求.10A 一般地?=k A (k 是正整数).3.求⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++a a a aa1111111111111111111111111的逆.4.设,321011324⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 且,2B A AB +=求.B5.利用逆矩阵解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.353,2522,132321321321x x x x x x x x x第三章矩阵的初等变换与线性方程组知识点：矩阵的初等变换、矩阵的秩初等矩阵线性方程组的解学习目标:1.掌握矩阵的初等变换.2.理解矩阵秩的概念及求法.3.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解非齐次线性方程组有解的充要条件.4.掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法.一、填空题1.设矩阵，且，为的一个阶子式，则__0___.2.设3阶方阵的秩为2，矩阵，，若矩阵，则 .3. 已知，且其秩为2，则___3___4.设，且非齐次方程组有唯一解向量，则增广矩阵的秩___n____.5.已知的逆矩阵，那么方程组的解二、选择题1.已知有一个阶子式不等于零，则 ( DA. B. C. D.2.设为34矩阵，若矩阵的秩为2，则矩阵的秩等于（ B ）A．1 B．2 C．3 D．43.设是阶阵，且，则由( A 可得出.A. B.C. D. 为任意阶矩阵4．若方程组有非零解，则方程组必（ B ）A.有唯一解B.不是唯一解C.有无穷多解D.无无穷多解5．线性方程组只有零解，则（ B ）A. 有唯一解B. 可能无解C. 有无穷多解D. 无解6.设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（ C ）A．无解 B．有非零解C．只有零解 D．解不能确定7．非齐次线性方程有无穷多解的充要条件是（ D ）A． B．C． D．8.设线性方程组中，若，，则该线性方程组（ B ）A．有唯一解 B．无解C．有非零解 D．有无穷多解9.设矩阵的秩为2，则（ B ）A.2B.1C.0D.-110.设均为3阶矩阵，若可逆，，那么（ C ）A．0 B．1 C．2 D．311. 设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（B）A． B．C． D．三、将下列矩阵化成最简形矩阵：1 .2 . （练习）四、设，且，求。
关于分块矩阵求逆和行列式的方法探究与应用
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矩阵求逆方法大全
求逆矩阵的若干方法和举例苏红杏广西民院计信学院00数本（二）班[摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读者参考。
[关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。
但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。
为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。
定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B方法 一. 初等变换法（加边法）我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。
即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使E A Q Q Q m m =-11 （1）则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2）把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3） 这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。
例 1 . 设A= ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-012411210 求1-A 。
解：由（3）式初等行变换逐步得到：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1012010411001210→ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1012001210010411→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----12320124010112001→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----211231124010112001于是1-A = ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21123124112说明：此方法适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简便，特别是当阶数较高时，使用初等变换法的优点更明显。
分块矩阵求逆矩阵的方法
分块矩阵求逆矩阵的方法矩阵是线性代数中的重要概念，常常用于描述线性方程组的解法、计算线性变换的效果等。
在实际应用中，我们经常需要对矩阵进行求逆操作，以便进行矩阵的乘法、求解线性方程组等操作。
而分块矩阵求逆矩阵的方法是一种比较高效、实用的方法，本文将详细介绍其原理和实现方法。
1. 基本原理分块矩阵求逆矩阵的基本思想是将原矩阵分解成若干个子块矩阵，然后利用矩阵分块的性质，通过一系列简单的矩阵运算，将原矩阵求逆的问题转化为对子块矩阵求逆的问题。
具体来说，假设我们要求解一个n阶矩阵A的逆矩阵，可以将A分解成如下的分块矩阵：$$A = begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} A_{21} & A_{22}end{bmatrix}$$其中，$A_{11}$是一个$ktimes k$的矩阵，$A_{22}$是一个$(n-k)times(n-k)$的矩阵，$A_{12}$是一个$ktimes(n-k)$的矩阵，$A_{21}$是一个$(n-k)times k$的矩阵。
根据矩阵分块的性质，我们可以得到如下的矩阵分解式：$$A^{-1} = begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} B_{21} & B_{22} end{bmatrix}$$其中，$B_{11}$是一个$ktimes k$的矩阵，$B_{22}$是一个$(n-k)times(n-k)$的矩阵，$B_{12}$是一个$ktimes(n-k)$的矩阵，$B_{21}$是一个$(n-k)times k$的矩阵。
我们的目标是求解出$B_{11}$、$B_{12}$、$B_{21}$和$B_{22}$。
根据矩阵分块的性质，我们可以将原矩阵的逆矩阵表示为：$$A^{-1} = begin{bmatrix} A_{11}^{-1} +A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}A_{21}A_{11}^{-1} &-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22} -B_{22}A_{21}A_{11}^{-1} & B_{22} end{bmatrix}$$这个式子看起来很复杂，但是它的本质是非常简单的：将原矩阵分解成若干个子块矩阵，然后通过一系列简单的矩阵运算，将原矩阵的求逆问题转化为对子块矩阵的求逆问题。
矩阵的逆的计算及其应用
矩阵的逆的计算及其应用矩阵是数学中不可或缺的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
而矩阵的逆，更是矩阵计算中的一个重要概念，它在多元线性回归、矩阵运算等方面都有着重要的应用。
一、矩阵逆的定义矩阵逆的定义，是指对于一个方阵A，如果存在一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记为A^-1。
在计算矩阵的逆时，有一个非常重要的性质——只有方阵才有逆矩阵。
这是因为非方阵的矩阵，其行和列的个数不同，不符合逆矩阵的定义。
二、矩阵逆的计算对于一个n阶方阵A，要计算它的逆矩阵，可以通过高斯-约旦消元法、伴随矩阵法等方法进行计算。
以高斯-约旦消元法为例，对于一个n阶方阵A，我们可以将其扩展为一个n阶的增广矩阵[A,I]，其中I为n阶单位矩阵。
然后，通过对该增广矩阵进行初等行变换，将其变换成形如[I,B]的矩阵，其中B为A的逆矩阵。
具体步骤为：1. 将矩阵[A,I]进行初等行变换，使得矩阵A左下角的元素为0，以此类推，一直将A变换成一个上三角矩阵。
2. 将上三角矩阵A变换成一个对角线矩阵，同时，对应地调整单位矩阵I中的元素，使得[A,I]变为[I,B]。
3. 最后，得到的B即为A的逆矩阵。
需要注意的是，如果在进行初等行变换的过程中，发现某一行的元素全为0，则说明该矩阵不存在逆矩阵。
另外，当矩阵的行数和列数很大时，通过初等行变换的方式计算矩阵的逆，计算量较大，这时可以通过LU分解等方法进行计算。
三、矩阵逆的应用1. 多元线性回归在多元线性回归中，我们需要求解最小二乘解，而最小二乘解可以用线性方程组的形式表示。
通过使用矩阵的逆，可以将线性方程组的解求出来。
2. 矩阵运算矩阵的逆在矩阵运算中也有着广泛的应用。
例如，在求解线性方程组时，可以通过求解系数矩阵的逆来直接求解未知数的值。
此外，矩阵的逆也可以用于矩阵乘法的运算，通过将矩阵的逆预先计算出来，可以减少矩阵乘法的计算量。
总结：矩阵逆是矩阵计算中一个非常重要的概念，它能够帮助我们解决多元线性回归、矩阵运算等问题。
分块矩阵的逆矩阵公式推导
分块矩阵的逆矩阵公式推导好的，以下是为您生成的关于“分块矩阵的逆矩阵公式推导”的文章：咱先来说说分块矩阵这玩意儿，它在矩阵的世界里就像是被分成了不同小组的成员。
而研究分块矩阵的逆矩阵公式推导，就像是解开一道神秘的数学谜题。
比如说，咱假设有这么一个分块矩阵 A ，它被分成了四块，分别是A11 、A12 、A21 、A22 。
这四块就像是四个有着特殊任务的小分队。
要推导它的逆矩阵公式，咱们得先从一些基本的矩阵运算规则说起。
就像我们平时做算术，加法有加法的规则，乘法有乘法的规则，矩阵运算也一样。
比如说，两个矩阵相乘，要求前一个矩阵的列数和后一个矩阵的行数相等，才能进行运算。
那对于分块矩阵的逆矩阵，我们得先假设这个分块矩阵是可逆的。
这就好比我们要去一个地方，得先确定这条路是能走得通的。
然后呢，咱们就开始一步步推导。
假设 A 的逆矩阵是 B ，那按照矩阵乘法的规则，AB 就应该等于单位矩阵 I 。
这时候，咱们把 A 和 B 也按照同样的分块方式来写。
比如说 B 分成 B11 、B12 、B21 、B22 。
接下来，我们就可以按照分块矩阵的乘法规则来计算 AB 啦。
这计算过程可有点复杂，但是别着急，咱们一点点来。
就拿 A11 B11 + A12 B21 来说，它得等于单位矩阵 I 中对应的那一块。
这中间涉及到很多的计算和推导，咱就不一一细说了，不然能把人给绕晕喽。
我记得有一次，我给学生们讲这个分块矩阵的逆矩阵公式推导。
有个学生一脸迷茫地看着我，说：“老师，这也太难了，感觉像是走进了一个迷宫。
”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步一步走，总能找到出口的。
”然后我带着他们从最基础的概念开始，一点点深入，慢慢地，他们开始理解了，脸上也露出了恍然大悟的表情。
经过一系列的推导和计算，咱们最终就能得到分块矩阵的逆矩阵公式啦。
总之，分块矩阵的逆矩阵公式推导虽然有点复杂，但只要咱们掌握了基本的规则和方法，一步一个脚印，就能把这个难题给攻克下来。
矩阵求逆方法大全-1
求逆矩阵的若干方法和举例苏红杏广西民院计信学院00数本（二）班[摘要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读者参考。
[关键词]逆矩阵初等矩阵伴随矩阵对角矩阵矩阵分块多项式等引言在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。
但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。
为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。
定义:方法一. 初等变换法（加边法）（1）（2）n*2n阶矩阵（A，E），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成A，E=（E）（3）例 1 . 设阶数较高时，使用初等变换法的优点更明显。
同样使用初等列变换类似行变换，此略，注意在使用此方法求逆矩阵是，一般做初等行变换，避免做初等列变换。
方法 二. 伴随矩阵法定理：矩阵A 是可逆的充分必要条件是A 非退化，（） (4)我们用（4例 2. 求矩阵A解：用伴随矩阵法，得说明：但由于计算量大，一般只用于较低阶的矩阵的求逆比如二阶三阶矩阵的逆，尤以对二阶，此方法更方便。
方法 三. 矩阵分块求逆法在进行高阶矩阵运算时，经常将高阶矩阵按某种规则分成若干块，每一小块是一小矩阵，这样一方面对小矩阵进行运算，一方面每一小矩阵又可作为一个（5）说明：关于这个公式的推倒从略。
例 3. 求下列矩阵的逆矩阵，已知解：将矩阵W 分成四块，设E-A（6）我们通过上式（6例4.解：）替换（6）式中的“A ”，得K=4所以方法 我们知道，矩阵A 可逆的充分必要条件是有一常数项不为零的多项式f(x)，例A 满足多项式是可逆矩阵，并求其可逆矩阵。
在求一个矩阵的的逆矩阵时，可设出逆矩阵的待求元素，根据等式例 6.求解：求可逆矩阵A 的逆矩阵X ，则它满足AX=E（i=1,2,3）定义：形如是矩阵。
A解：所以方法八.恒等变形法有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出其逆矩阵之后，才能解决问题。
利用分块矩阵求逆
利用分块矩阵求逆求解矩阵的逆的时候，我们可以采用初等变换，伴随矩阵等方法解决，然而对于较高阶矩阵，此类运算方法的运算量较大，因此，对于某类矩阵可以适当地将其分块，再进行运算，大大减少了运算工作。
以下我们以2×2分块矩阵为例。
引理1：是一个分块矩阵，其中A ，D 分别为n 阶可逆矩阵，则引理2：是一个分块矩阵，其中A ，B ，D 分别为n 阶可逆矩阵，引理3：是一个分块矩阵，其中A ，C ，D 分别为n 阶可逆矩阵，命题：将2n 阶方阵T 分块为，其中A ，B ，C ，D 分别为n 阶方阵。
（1）当A 可逆时，（2）当B 可逆时，（3）当C 可逆时，（4）当D 可逆时， 证明：A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()()-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1A +A B D-CA B CA -A B D-CA B T =-D-CA B CA D-CA B ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；()()()()-1-1-1-1-1-1-1-111-11-1-C-DB A DB C-DB A T =B B A C-DB A DB -BA C-DB A ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭；()()()()-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-C D B-AC D C C D B-AC D AC T =B-AC D -B-AC D AC ⎛⎫+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；()()()()-1-1-1-1-1-1-1-11-111-11A-BD C -A-BD C BD T =-D C A-BD C D D C A-BD C BD ----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭。
A 00D ⎛⎫ ⎪⎝⎭111A 0A 00D 0D ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
A B 0D ⎛⎫ ⎪⎝⎭11111A B A A BD 0D 0D -----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则。
A 0C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭11111A 0A 0C D D CA D -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则。
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（ ； ） Ａ＋ ） ＝ Ａ ： （ ｙ ｌ ｘ
．
２ｚ
Ａ ｙ ＋ ｌ
Ａ ｙ＋ Ａ
， Ａ）（ ） 中 ｎ 分 为 ＡＡ同 的 ｏ ０， Ｅ 别 与 ． 阶 ２ Ｅ 其 ｎ ｗ
＝
单 位 阵 ， 记 为 Ｅ， 简 ０表示 零 矩 阵 ， 以下 类 同 。
比较 上 式 两 边 相 应 的子 块 ， 矩 阵方 程 组 ： 得
２
解① Ａ（ ， 。， Ａ （ ， ＝ 令・ Ａ ，＝ ４ ） Ａ（ 三 ＝ Ａ（ ＝ 则 三 ） ） ＝
．
Ｉ Ｉ＝ Ｉ ＩＩＩ ４Ｉ＝ １ Ａ Ａ Ａ
２ 得 ≠故 可 。对 子 ＡＡ 知 ｒ （ Ａ＝一 于 是 由公 式 （ ）， 。 Ａ 逆而 于块 Ｉ 易 ： 一 ） （ ） ， ， Ａ ＝ 一， 一 ４
： ＝
Ｏ Ｏ ２ ｌ
Ｏ Ｏ ３ ２ ２ ｏ
一
＼、●● ●●● ●●● ●、
（） ５
②
Ａ
＝
Ａ２ ＼
０
Ｊ Ｉ ・ Ａ
Ｉ
／０
一
（） ６
Ａ
证明
式， 即
Ａ 类似定理 １ 的证 法 易 知 公 式 （ ） （ ） 立 。当 ＝０或 Ａ ＝０时 ， 有 分 块 次 对 角 阵 求 逆 公 ５ ，６ 成 Ａｌ 则 Ａ
１ 定理 ２ 和 。
关 键 词 ： 阵 分 块 ； 阵 ； 角 阵 矩 逆 对
中图 分 类 号 ： ５ ．１ Ｏ１１２
文 献 标 识 码 ： Ｃ
文 章 编 号 ：０６—８ ９ （０２ ０ １０ ９６ ２０ ）５—０ ６ —０ ０２ ４
１ 主 要 结 论 与 证 明
定 ｌ Ａ（ 三， Ａ 凡可 阵 ｍ 可 阵 记 ＝ －ＡＡ￣ 理 设 ＝ ： 中． 阶逆 ，为 阶逆 ， ＢＡ Ａｆ２ ） 为 其 Ａ 并 ４ ３Ｉ， １ ］
，
Ａ （Ａ Ａ：２１０； －一。 。 ｌ ０ ｌ Ａ１ ０厂 、 ： Ａ １ 一 ｌ １ Ａ ）二 － ，
ｌ
Ａ３ 一
（ ＝。。 （ ） ，
、ｌ●ｌ ｌ－，
需 要 指 出的 是 ， 对 角 阵 Ａ ＝ｄａ（ ｌｎ … ， ［ 的 逆 阵 最 简 方 法 是 ： 子 块 Ａ （ ｆ ， Ａ】 求 ｉ ｎ ，２ ｎ ） ， ｇ ］ 令 ｎ）则 『 ＝
（ ） ｎ ≠０ ｉ ， ， ， ） 从 而 有 Ａ～ ＝ｄａ （ ｌ ｎ ， ， ） 关 于 次 对 角 阵 的 求 逆 则 类 同 于 该 ｎ （ ｆ ， ＝１ ２ … ｎ ， ｉ ａ ， … ｎ ｇ － ，
有
Ａ ？ｔ Ａ ￣ｔ ２ ＋ Ａ Ｂ ｔ ３ ｆ Ａ Ａ
－ ， ． ～
ｉｔ －Ａ
一
Ｂ１ １ Ｊ 一 ２
１
。 ‘
（ 工 １ ）
证明 应用解矩阵方程组法［。设 Ａ～：ｆ ｙ ， ， １ Ｉ ）其中 分另是与Ａ ， Ｕ Ｉ 同阶的方阵， Ａ 则由
Ｗ ／
ＡＡ 一 ： Ａ ～ Ａ ＝ Ｅ ，［ ３ 得 ｌ２ ，
第 ５期
苏连 存 ： 阶矩 阵分 块 求 逆 的一 组 公 式及 应 用 高
６ ３
（ ） （ Ｉ。０ Ａ 一 一 二ｒＡ） 。 Ａ３ ＝ Ａ 。
（ ）： －（ Ａ １ 一 ）
推 论 ３ 在 公 式 （） ， Ａ２ １中 当 ＝Ａ３ Ａ Ａ则 有 分 块 对 角 阵求 逆 公 式 ， ＝０时 ， 即 ， ；
＝ 一（ 一Ａ３ －Ａ２ 一Ａ３ ＝ 一Ｂ一Ａ３ Ａ４ Ａ１ ） Ａｆ Ａｒ
代 入 ⑤ 式 得 同理 ， 由② 式 得 代入 ⑥式得
＝Ａｆ ＋Ａｆ Ａ２ 。 Ａｆ Ｂ＿Ａ３ Ｙ＝ 一Ａｆ‘ Ａ２ （ 一Ａ３ ） Ａ４ ＡｆＡ２ Ｗ＝Ｅ 即 Ｗ＝Ｂ一 ｍ， １
⑥
方法 。
２ 应 用 实 例
例 １ 求 下 列 各 方 阵 的逆 阵 。
０ ０ ０ ０ ｌ ０ ０ ｌ ０ ｌ ｌ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ｌ ０ ０ ｌ ０ ０
①
Ａ：一Ａｉ Ａ２ － Ｂ
￣ －（ ］＝ １ １ Ａ
定理 １ 证 。 得
作者 简 介 ： 苏连 存 （ １
Ａ＋ ｔＡ －ｔ Ｉ
。
）
收 稿 日期 ：０ ０—１ ２０ ２—２ ９
）女 ， ， 青海 互助人 ， 助教 。
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第２ Ｏ卷 第 ５期
青 海 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ） Ｊｕ ｌ ｆ ｉｇａ ｎｖｒ ｔ ｏｍａ ｏ ｎ ｈｉ ｉｅ ｉ Ｑ Ｕ ｓｙ
Ｖ０ ． ０ １ ２ Ｎｏ． ５ Ｏｃ ． ０ ２ ｔ２ ０
２Ｏ Ｏ ２年 ｌ ０月
ｆ ＋ ２： ， Ａ１ Ａ 层ｌ
Ｊ ｌ ｙ＋ Ａ２ ＝０ Ａ Ｉ ３ ｘ＋ Ａ４ Ａ ｚ＝０
（ ３ ＋ Ａ ４ｗ ＝ Ｅ ｍ Ａ ｙ
① ② ③ ④ ⑤
由① 式 得 代 入③式得
解 出 得
＝Ａｆ 一Ａｆ Ａ２ Ａ３Ａｆ （ 一Ａｆ Ａ２ ＋Ａ４ ） ＝０
高 阶 矩 阵 分 块 求 逆 的 一 组 公 式 及 应 用
苏 连 存
（ 青海大 学基 础部 ， 青海 西 宁 ８０ １ ） １０ ６
摘 要 ： 出 了高 阶 矩 阵分 块 求逆 的 一 组 重 要 公 式 ， 应 用 效 果 显 著 ， 越 性 强 ， 要 结论 是 定 理 给 其 优 主
（） ２
（） ３
（
定 ２ Ａ（ 理 设 ＝３ ｏ
或
或
Ａ
＝
Ｏ Ａ
，
＝。。 （ ）
Ａ Ａ ４ Ａ Ａ ２ －
（） ４
ｌ ２ ７ ５
Ａ Ａ Ａ Ａ
一 ，
．
其 中 Ａ２ ｎ阶 可 逆 阵 ， 为 Ａ３为 ｍ 阶可 逆 阵 ， 有 则