矩阵的分块求逆及解线性方程组

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求解逆矩阵的常用三种方法

求解逆矩阵的常用三种方法逆矩阵是线性代数中一个非常重要的概念，它在解线性方程组、求解矩阵方程等问题中具有重要作用。

本文将介绍解逆矩阵的三种常用方法：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。

方法一：伴随矩阵法伴随矩阵法是一种直接求解逆矩阵的方法。

对于一个n阶方阵A，它的伴随矩阵记为adj(A)。

首先，计算矩阵A的代数余子式构成的余子式矩阵A*，即A* = [Cij]，其中Cij是A的元素a_ij的代数余子式。

然后，将A*的转置矩阵记为adj(A)。

最后，计算逆矩阵A^-1 = adj(A) /det(A)，其中det(A)是矩阵A的行列式。

方法二：初等变换法初等变换法是通过一系列的初等行变换将矩阵A变为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同的变换，得到的矩阵就是原矩阵A的逆矩阵。

初等变换包括以下三种操作：1.对其中一行(列)乘以非零常数；2.交换两行(列)；3.其中一行(列)乘以非零常数加到另一行(列)上。

具体步骤如下：1.构造增广矩阵[A，I]，其中A是待求逆矩阵，I是单位矩阵；2.对增广矩阵进行初等行变换，使左侧的矩阵部分变为单位矩阵，右侧的部分就是待求的逆矩阵；3.如果左侧的矩阵部分无法变为单位矩阵，则矩阵A没有逆矩阵。

方法三：分块矩阵法当矩阵A有一些特殊的结构时，可以使用分块矩阵法来求解逆矩阵。

例如，当A是一个分块对角矩阵时，可以按照分块的大小和位置将其分解为几个小矩阵，然后利用分块矩阵的性质求解逆矩阵。

具体步骤如下：1.将方阵A进行分块，例如，将A分为4个分块：A=[A11A12;A21A22]；2.根据分块矩阵的性质，逆矩阵也是可以分块的，即A的逆矩阵为A^-1=[B11B12;B21B22]；3.通过求解分块矩阵的逆矩阵，可以得到原矩阵的逆矩阵。

以上就是解逆矩阵的常用三种方法：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。

无论是在理论研究还是在实际应用中，这些方法都具有重要的作用。

在求逆矩阵时，我们可以根据具体的情况选择合适的方法，以获得高效、准确的计算结果。

分块矩阵的逆矩阵和原矩阵逆矩阵

标题：分块矩阵的逆矩阵与原矩阵逆矩阵1.概述分块矩阵是指将一个矩阵按行或列分割成多个子矩阵，常用于简化复杂的线性方程组的求解问题。

在矩阵运算中，矩阵的逆矩阵是一个重要的概念，它在解决线性方程组、矩阵方程和求解特征值等问题中发挥着重要作用。

分块矩阵的逆矩阵和原矩阵的逆矩阵是矩阵理论中的重要内容，本文将对此进行详细的探讨。

2.分块矩阵的逆矩阵2.1分块矩阵的定义分块矩阵是将一个大矩阵按行或列分割成多个小矩阵的形式，通常用子矩阵的形式表示。

一个矩阵可以被分割成四个子矩阵的形式，即： A = [A11 A12][A21 A22]其中，A11、A12、A21、A22为子矩阵。

2.2分块矩阵的逆矩阵对于分块矩阵A的逆矩阵A^-1，有以下性质：若A可分块为A=[A11 A12; A21 A22]，且A11和A22可逆，则A可逆的充要条件是A11和A22都可逆，并且存在逆矩阵A^-1=[B11 B12; B21 B22]。

具体而言，A可逆的充要条件是A11和A22都可逆，反之亦然。

并且可以通过分块矩阵的形式求得A的逆矩阵A^-1。

2.3分块矩阵逆的计算方法分块矩阵的逆矩阵的计算方法大致为：- 计算A11的逆B11和A22的逆B22；- 利用B11、B22和A12、A21计算出B12和B21；- 最终得到A的逆矩阵A^-1=[B11 B12; B21 B22]。

3.原矩阵的逆矩阵3.1原矩阵的逆矩阵定义在矩阵运算中，矩阵A的逆矩阵表示为A^-1，它满足矩阵A与其逆矩阵的乘积为单位矩阵：AA^-1=I。

若矩阵A存在逆矩阵，则称矩阵A为可逆矩阵，也称为非奇异矩阵。

3.2原矩阵逆的求解方法计算原矩阵的逆矩阵可以通过多种方法，其中包括高斯消元法、伴随矩阵法、逆矩阵的初等变换法等。

这些方法都是为了求得原矩阵的逆矩阵，从而解决线性方程组、矩阵方程和求解特征值等问题。

4.分块矩阵的逆矩阵与原矩阵的逆矩阵的关系4.1逆矩阵的性质对于分块矩阵A的逆矩阵A^-1和原矩阵A的逆矩阵A^-1，它们有以下关系：- 若A可逆，则A的逆矩阵A^-1亦可逆，且(A^-1)^-1=A。

求分块矩阵的逆矩阵方法

求分块矩阵的逆矩阵方法分块矩阵（Block matrix）是指将一个大矩阵划分成若干个小矩阵，以便更方便地进行运算和分析。

在实际应用中，分块矩阵被广泛应用于求解大型线性方程组、特征值问题以及优化问题等问题。

在矩阵分块的基础上，我们需要解决的问题之一就是分块矩阵的逆矩阵。

求解分块矩阵的逆矩阵方法有很多种，下面我们将介绍其中两种常见的方法：块LU分解法和块逆矩阵法。

一、块LU分解法块LU分解法是一种直接求解分块矩阵逆的方法。

它通过将分块矩阵分解成下三角矩阵和上三角矩阵的乘积的形式，然后再利用已知的LU分解公式求得下三角矩阵和上三角矩阵的逆矩阵，最后通过简单的矩阵运算求出原分块矩阵的逆矩阵。

具体地，假设分块矩阵为A，将其划分为n×n个块矩阵，即A = [A11 A12 (1)A21 A22 (2)... ... ... ...An1 An2 ... Ann]其中，Aij表示块矩阵中第i行j列的小矩阵，1≤i,j≤n。

则根据LU分解公式，A可以分解成下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积形式，即A = LU其中，L和U分别为下三角矩阵和上三角矩阵，且有对于求解下三角矩阵L和上三角矩阵U的逆矩阵，我们可以利用递推方式求解。

首先，我们可以得到L的逆矩阵L-1的形式为其中，Lii^-1表示Lii的逆矩阵。

其中，-U11^-1U12(U22^-1)表示矩阵U12乘以U22^-1再乘以-U11^-1。

这里需要注意的是，在实际计算中，我们需要使用矩阵分块的方式来计算U-1的每一个分块。

最后，我们可以通过以下公式求得原分块矩阵A的逆矩阵A-1：二、块逆矩阵法另一种经典的求解分块矩阵逆的方法是块逆矩阵法。

该方法主要是通过对分块矩阵进行逆矩阵分块，并利用矩阵分块的性质来求解分块矩阵的逆矩阵。

我们首先需要计算出每一个小矩阵的逆矩阵，即Aij^-1, 1≤i,j≤n然后，我们可以利用矩阵分块的性质求解分块矩阵的逆矩阵。

具体地，假设分块矩阵的逆矩阵为A-1，将其划分成n×n个块矩阵，即则我们可以得到以下公式：Bij = - Aij^-1 ∑k=1n Bik Akj^-1, 1≤i,j≤n其中，∑k=1n Bik Akj^-1表示Bii乘以Aii的逆矩阵再乘以矩阵Aij的逆矩阵，这里需要注意的是，在实际计算中，我们需要使用矩阵分块的方式来计算∑k=1n Bik Akj^-1。

逆矩阵的几种求法与解析（很全很经典）

逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容矩阵是线性代数的主要内容,,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷..逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, , , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一要内容之一..本文将给出几种求逆矩阵的方法本文将给出几种求逆矩阵的方法..1.利用定义求逆矩阵定义定义: : : 设设A 、B B 都是都是都是n n n 阶方阵阶方阵阶方阵, , , 如果存在如果存在如果存在n n n 阶方阵阶方阵阶方阵B B B 使得使得使得AB= BA = E, AB= BA = E, AB= BA = E, 则称则称则称A A 为可逆矩阵可逆矩阵, , , 而称而称而称B B 为A A 的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵..下面举例说明这种方法的应用下面举例说明这种方法的应用. .例1 求证求证: : : 如果方阵如果方阵如果方阵A A A 满足满足满足A k= 0, A k= 0, A k= 0, 那么那么那么EA EA EA是可逆矩阵是可逆矩阵是可逆矩阵, , , 且且（E-A E-A））1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明因为因为E E E 与与A A 可以交换可以交换可以交换, , , 所以所以所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,= 0 ,于是得于是得于是得(E-A)(E-A)（（E+A+A 2+…+…+A +A 1-K ）=E =E，，同理可得（同理可得（E + A + A E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E (E-A)=E，，因此因此E-A E-A E-A是可逆矩阵是可逆矩阵是可逆矩阵,,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明同理可以证明(E+ A)(E+ A)(E+ A)也可逆也可逆也可逆,,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（+…+（-1-1-1））1-K A 1-K .由此可知由此可知, , , 只要满足只要满足只要满足A A K =0=0，就可以利用此题求出一类矩阵，就可以利用此题求出一类矩阵，就可以利用此题求出一类矩阵E E ±A 的逆矩阵的逆矩阵. .例2 设 A =úúúúûùêêêêëé0000300000200010,求 E-A E-A的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵. .分析由于由于由于A A 中有许多元素为零中有许多元素为零, , , 考虑考虑考虑A A K 是否为零矩阵是否为零矩阵, , , 若为零矩阵若为零矩阵若为零矩阵, , , 则可以则可以采用例采用例2 2 2 的方法求的方法求的方法求E-A E-A E-A的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵. .解容易验证容易验证容易验证A 2=úúúúûùêêêêëé0000000060000200， A 3=úúúúûùêêêêëé0000000000006000， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,)=E,所以所以所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=úúúûùêêêëé1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法常用初等变换法常用初等变换法..如果如果A A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵等变换，化为单位矩阵I I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s pp p 21A=I A=I，用，用，用A A 1-右乘上式两端，得：右乘上式两端，得：（（2）s p p p 21I= A 1- 比较（比较（11（）（22）两式，可以看到当）两式，可以看到当A A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵矩阵I I 作同样的初等变换，就化为作同样的初等变换，就化为A A 的逆矩阵的逆矩阵A A 1-.用矩阵表示（用矩阵表示（A I A I A I））¾¾¾®¾初等行变换为（为（I A I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法它是实际应用中比较简单的一种方法..需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换等变换..同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. .例1 求矩阵求矩阵A A 的逆矩阵的逆矩阵..已知已知A=A=úúúûùêêêëé521310132.解 [A I]®úúúûùêêêëé100521010310001132®úúúûùêêêëé001132010310100521® úúúûùêêêëé--3/16/16/1100010310100521®úúúûùêêêëé-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=úúúûùêêêëé-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道在事先不知道n n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法..如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着则意味着A A 不可逆，因为此时表明A =0=0，，则A 1-不存在不存在. .例2 求A=úúúûùêêêëé987654321.解 [A E]=úúûùêêëé100987010654001321®úúûùêêëé------1071260014630001321® úúúûùêêêëé----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为由于左端矩阵中有一行元素全为00，于是它不可逆，因此，于是它不可逆，因此A A 不可逆不可逆. .3.伴随阵法定理 n n阶矩阵阶矩阵阶矩阵A=[a A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是为可逆的充分必要条件是A A 非奇异非奇异..且A 1-=A 1úúúúûùêêêêëénn nnn n A A A A A A A A A ............ (212221212111)其中其中A A ij 是A 中元素中元素a a ij 的代数余子式的代数余子式. .矩阵úúúúûùêêêêëénn nn n n A A A A A A A A A (2122212)12111称为矩阵称为矩阵A A 的伴随矩阵，记作的伴随矩阵，记作A A 3，于是有，于是有A A 1-=A 1A 3.证明必要性：设A 可逆，由A A 1-=I =I，，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ¹0，即A 为非奇异为非奇异. .充分性：充分性：设A 为非奇异，存在矩阵为非奇异，存在矩阵B=A 1úúúúûùêêêêëénn nnn n A A A A A A A A A (21222)1212111，其中其中AB=úúúûùêêêëénn n n n n a a a a a aa a a ............... (2)12222111211´A 1úúúûùêêêëénn nnn n A A A A A A A A A ............... (212)221212111=A 1úúúúûùêêêêëéA A A A ...00.........0...00...0=úúúúûùêêêêëé1...00...1......0...100 (01)=I同理可证同理可证BA=I. BA=I.由此可知，若由此可知，若A A 可逆，则可逆，则A A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循规律可循..因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，只需要将主对角线元素的位置互换，只需要将主对角线元素的位置互换，次对次对角线的元素变号即可角线的元素变号即可. .若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或个或99个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错出现符号及计算的差错..对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I =I来检验来检验来检验..一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查旦发现错误，必须对每一计算逐一排查. .4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题设设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且都是非奇异矩阵，且A A 11为n 阶方阵，阶方阵，A A 22为m 阶方阵阶方阵úûùêëé22110A A úûùêëé--12211100AA 证明因为A =22110A A =11A 22A ¹0, 0, 所以所以所以A A 可逆可逆. . 设A 1-=úûùêëéW ZY X，于是有úûùêëéW ZY X úûùêëé22110A A =úûùêëém nI I 00,其中其中 X A X A 11=I n ， Y A 22=0=0，，Z A 11=0=0，，W A 22=I m .又因为又因为A A 11、A 22都可逆，用都可逆，用A A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0Y=0，，Z=0Z=0，，W= A 122-故 A 21= úûùêëé--1221110A A把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-úúúúûùêêêêëék A A A =úúúúúûùêêêêêëé---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有都是非奇异矩阵，则有1221211-úûùêëéA A A =úûùêëé-----122122121111110A A A A A证明因为因为úûùêëé2212110A A A úûùêëé--I A A I 012111=úûùêëé22110A A两边求逆得两边求逆得1121110--úûùêëé-I A A I 12212110-úûùêëéA A A =úûùêëé--12211100A A 所以所以 1221211-úûùêëéA A A =úûùêëé--I A A I 012111úûùêëé--12211100A A=úûùêëé-----122122121111110A A A A A同理可证同理可证12221110-úûùêëéA A A =úûùêëé-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. . . 是特殊方阵求逆的是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E =E，把题目中的逆矩阵化简掉。

(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)

逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ，同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性：设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111，其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。

矩阵求逆方法大全-1

求逆矩阵的若干方法和举例苏红杏广西民院计信学院00数本（二）班[摘要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读者参考。

[关键词] 逆矩阵初等矩阵伴随矩阵对角矩阵矩阵分块多项式等引言在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。

但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。

为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。

定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B方法一. 初等变换法（加边法）我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21，从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。

即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使E A Q Q Q m m =-11 （1）则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2）把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ）（3）这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。

例 1 . 设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-012411210 求1-A 。

解：由（3）式初等行变换逐步得到：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012010411001210→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012001210010411 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----123200124010112001→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21123100124010112001于是1-A = ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21123124112说明：此方法适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简便，特别是当阶数较高时，使用初等变换法的优点更明显。

求矩阵的逆矩阵的方法

求矩阵的逆矩阵的方法矩阵的逆矩阵是线性代数中的重要概念，它在解线性方程组、计算行列式和求解线性变换等问题中具有重要的应用价值。

在实际问题中，我们经常需要求解矩阵的逆矩阵，因此掌握求解逆矩阵的方法对于深入理解线性代数具有重要意义。

本文将介绍几种常用的求解矩阵逆的方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。

方法一，代数余子式法。

对于一个n阶矩阵A，如果它的行列式|A|不等于0，则矩阵A是可逆的，即存在逆矩阵A^(-1)。

我们可以通过代数余子式的方法来求解矩阵的逆矩阵。

首先，我们需要计算矩阵A的伴随矩阵adj(A)，然后利用公式A^(-1) = adj(A)/|A|来求解逆矩阵。

这种方法在理论上是可行的，但在实际计算中可能会比较复杂，尤其是对于高阶矩阵来说，计算量会非常大。

方法二，初等变换法。

初等变换法是一种比较直观和简单的方法，它通过一系列的初等行变换将原矩阵变换为单位矩阵，然后将单位矩阵通过相同的初等行变换变换为逆矩阵。

这种方法在实际计算中比较方便，并且适用于各种情况，但是需要进行大量的计算，对于高阶矩阵来说，计算量也会比较大。

方法三，矩阵分块法。

矩阵分块法是一种比较灵活和高效的方法，它将原矩阵分解为若干个子矩阵，然后通过一定的变换将原矩阵变换为单位矩阵，再将单位矩阵变换为逆矩阵。

这种方法在理论上和实际计算中都比较方便，尤其适用于特殊结构的矩阵，如对称矩阵、三对角矩阵等。

但是对于一般的矩阵来说，可能会比较繁琐。

方法四，Gauss-Jordan消元法。

Gauss-Jordan消元法是一种经典的求解逆矩阵的方法，它通过一系列的行变换将原矩阵变换为单位矩阵，然后将单位矩阵变换为逆矩阵。

这种方法在实际计算中比较高效和方便，尤其适用于计算机程序实现。

但是对于特殊结构的矩阵，可能会存在一些特殊情况需要处理。

综上所述，求解矩阵的逆矩阵有多种方法，每种方法都有其适用的场景和特点。

在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来求解逆矩阵，以达到高效、准确地计算的目的。

矩阵求逆和线性方程组

1 1 0 1 1 2 ~ 0 0 1 2 1 2.
0 0 0 0 0
由于RA RB 2, 故方程组有解，且有
x1 x2 x4 1 2
x1 x3
x2 x4 1 2x4 1 2
2
x2 x3
x2 0 x4 0x2 2x4
1
2
x4 0 x2 x4
所以方程组的通解为
1
1
1
1 1
2
~ 0 1 1 2
0
1
1 2
1
2
1 1
~ 0 1 1
2
2
0
0
2 2
1
2
3
1 1
0 1
1
2
1
0
0
1 2
1
1
2
1 当 1时,
1 1 1 1 B ~ 0 0 0 0
0 0 0 0
RA RB 3,方程组有无穷多解.
bij
ms
,
其中A可逆。
A B r E A1B , 得解 X A1B .
伴随矩阵
⑴ 定义 A aij n , A Aji n .
⑵ 讨论伴随矩阵的永恒出发点
AA A E , A可逆时，A A A1.
⑶ 性质
a. AB B A ; b. AT A T ; c. A1 A 1 ;
a11 a12
A
a21 am1
a22 am2
a1n aam2nn ,
A 1 2 n
x1
X
xxn2 ,
b1
b
b2 bn
线性方程组
一 . 主要结论
A ai j mn , A A b , A 1 2 n .

线性方程组的解法与矩阵求逆

线性方程组的解法与矩阵求逆线性方程组是数学中的重要概念，它可以描述多个线性方程的关系。

解线性方程组的方法有很多种，其中一种常用的方法是矩阵求逆。

本文将介绍线性方程组的解法以及矩阵求逆的原理和步骤。

一、线性方程组的解法线性方程组可以用矩阵形式表示。

比如，我们有如下的线性方程组：```2x + 3y = 74x - 2y = 2```可以看出，这是一个二元一次线性方程组，其中未知数是x和y，常数项分别是7和2。

我们可以将方程组的系数写成一个矩阵A，未知数写成一个矩阵X，常数项写成一个矩阵B。

那么，上述线性方程组可以表示为下面的形式：```A*X = B```要求解这个线性方程组，可以使用消元法、代入法、剩余定理等多种方法。

在这里，我们将重点介绍矩阵求逆法。

二、矩阵求逆要使用矩阵求逆法解线性方程组，首先需要知道矩阵的逆。

一个n阶方阵A的逆矩阵记作A^-1，具有以下性质：```A * A^-1 = I```其中，I是n阶单位矩阵。

如果我们将线性方程组的系数矩阵A进行求逆操作，再将方程组的常数项矩阵B乘以矩阵A的逆矩阵，就可以得到未知数矩阵X的值。

具体求解步骤如下：1. 计算系数矩阵A的行列式D。

如果D=0，则矩阵A没有逆矩阵，线性方程组无解。

2. 计算A的伴随矩阵Adj(A)，即将A的每个元素的代数余子式组成的矩阵取转置。

3. 计算A的逆矩阵A^-1，使用如下公式：```A^-1 = (1/D) * Adj(A)```其中，D为A的行列式。

4. 将矩阵B乘以矩阵A的逆矩阵A^-1，即得到未知数矩阵X：```X = A^-1 * B```通过以上步骤，我们可以求解出线性方程组的未知数矩阵X。

需要注意的是，如果A的行列式D为0，则方程组无解或者有无穷解。

三、示例我们以一个三元一次线性方程组为例，来演示矩阵求逆法的求解过程：```2x + y - z = 7x - 3y + 2z = -113x + y - 4z = 5```首先，将系数矩阵A和常数项矩阵B写成矩阵形式：```A = | 2 1 -1 || 1 -3 2 || 3 1 -4 |B = | 7 ||-11 || 5 |```然后，按照矩阵求逆法的步骤进行计算：1. 计算A的行列式D，有D = -42。

矩阵求逆的几种方法

矩阵求逆的几种方法
矩阵求逆是线性代数中最基本的概念之一，它是一种求解方程组系数等式的有效方法。

矩阵求逆可以用来解决多元线性方程组，解决矩阵分解、合并及其他复杂的线性方程计算问题，并且可以用于机器学习、信号处理等领域。

但是，由于矩阵求逆的复杂性，它往往需要特定的计算方法才能够实现。

常见的矩阵求逆方法有三种。

第一种方法是元素反转法，也被称为除法法则，它是最常用的求逆方法之一，通过矩阵的乘法和逆矩阵的乘法定义来实现。

它可以用来求解较小的矩阵，但是当矩阵较大时，会出现精度问题，而且计算速度过慢。

第二种方法是LU分解法，又称为分块LU分解法。

它是一种应用矩阵分块技术的求逆方法，结合了高斯消去和Gauss-Jordan法，可以对矩阵进行分块化处理，从而减小解矩阵求逆的规模，节省计算时间。

第三种方法是QR分解法，又称为秩一QR分解法。

它是一种求解非线性方程组的一种有效方法，利用QR分解矩阵，可以求解矩阵求逆问题。

该方法既可以求解高维度矩阵求逆问题，又可以求解低维度矩阵的求逆问题。

此外，还有许多其他的求逆方法，比如列主元消去法、Jacobi
迭代法、Gauss-Seidel迭代法、稀疏矩阵求逆法、尺度不变技术、变分法等等。

以上就是求解矩阵求逆问题的几种常用方法，它们各有特色，并
且在不同的应用场景中都可能发挥作用。

在决定使用何种方法时，需要根据矩阵的大小以及要解决的问题的复杂程度来进行选择，这样可以获得更好的计算效果。

逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)

逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1　求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）= E + A + A +…+A 1-21-K 证明因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A +…+ A )= E-A ,21-K K 因A = 0 ,于是得　K (E-A)（E+A+A +…+A ）=E ，21-K 同理可得（E + A + A +…+A ）(E-A)=E ，21-K 因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)= E + A + A +…+A .1-21-K 同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)= E -A + A +…+（-1）A .1-21-K 1-K 由此可知, 只要满足A =0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵.K ±例2　设　A =,求 E-A 的逆矩阵.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00300000200010分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以K 采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解容易验证A =， A =， A =02⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000000600002003⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006004而　(E-A)(E+A+ A + A )=E,所以23(E-A)= E+A+ A + A =.1-23⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10003100621062112.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵使S P P P ,,21 （1）A=I ，用A 右乘上式两端，得：s p p p 211- （2） I= A s p p p 211-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A .1-用矩阵表示（A I ）为（I A ），就是求逆矩阵的初等行变换法，−−−→−初等行变换1-它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A =.1-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明=0，则A 不存在.A 1-例2 求A=.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321 .→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且ij A =1-A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111其中A 是中元素a 的代数余子式.ij A ij 矩阵称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A ，于是有A = A .⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A AA A A (2122212)1211131-A 13证明必要性：设A 可逆，由A A =I ，有=，则=，所以1-1-AA I A 1-A I A0，即A 为非奇异.≠充分性：设A 为非奇异，存在矩阵B=，A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111===I A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A AA A ...00.........0...00...0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1...00...1......0...100...01同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A =A .1-A13用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA =I 来检验.一1-旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题设A 、A 都是非奇异矩阵，且A 为n 阶方阵，A 为m 阶方阵11221122 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明因为==0, 所以A 可逆.A 22110A A 11A 22A ≠设A =，于是有=,1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡WZYX⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00其中 X A =I ， Y A =0，Z A =0，W A =I .又因为A 、A 都可逆，用11n 221122m 1122A 、A 分别右乘上面左右两组等式得：111-122-X= A ，Y=0，Z=0，W= A 111-122-故 A = 21⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：=121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题　设A 、A 都是非奇异矩阵，则有1122=12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A 证明因为=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得=1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 =1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A 同理可证=12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA =E ，把题目中的逆矩阵化简掉。

分块矩阵求逆及其应用

实用标准文案目录摘要 (1)引言 (2)一、概述 (2)二、分块矩阵的求逆及其应用 (5)第一节２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (5)第二节 3×3分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (14)结束语 (21)分块矩阵求逆及其应用李东生（渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国）摘要：对于分块矩阵，我们比较熟悉分块矩阵的乘法，而对于分块矩阵的求逆，经常遇到的是22⨯分块矩阵的逆的证明问题，很少涉及分块矩阵逆的计算，并且我们在实际问题中还会遇到33⨯分块矩阵（或更高阶的分块矩阵）的求逆问题，所以我们研究这样的分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式显得很有意义。

分块是否合理是分块矩阵运算是否简便的关键，所以本文开头便对分块方法做了总结。

接着，本文研究了较为简单的22⨯分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并予以证明，总结了研究方法，还深入探讨了22⨯分块矩阵中含有零块时的可逆性存在条件以及求逆公式。

以22⨯分块矩阵的研究方法为基础，探讨研究了33⨯分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并试证成功，还总结出研究更高阶分块矩阵求逆方法。

此外本文不仅侧重理论研究，而且侧重于实际应用，在文中列举了大量典型的阶数较高的矩阵，对他们如何分块才能使求逆过程更为简单作出分析，并给出了求解过程，真正做到了“理论联系实际”。

关键字：分块方法，分块矩阵，逆矩阵，可逆条件Begging the negative matrix to a matrix of the centand it ′s applyingLi Dongsheng(Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract: For a matrix of the cent, we relatively know with the multiplication of dividing a matrix. But for begging the negative matrix to a matrix of the cent, we usually meet is 2 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank. It is seldom to involve to divide the calculation that a matrix inverse, and we also will meet in actual problem begging 3 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank.(or a matrix of more high-level cent).So it is very meaningfully to study this character of inverse of existence condition of such a matrix of cent; to beg the negative formula whether cent is reasonable is the key of whether a matrix operation is simple. What is more, the beginning of thesis does the summary to a method of cent. Immediately, the thesis has studied simple 2 ranks to divide a piece of matrix and the existence condition of inverse character. Finally the thesis gives the evidence. The method has been given, and whenthere are zero-pieces in a matrix, the character of inverse condition and begging the negative formula are explored in the 2 ranks to divide a piece of matrix. In the basis of research method of 2 rank to divide a piece of matrix, the character of inverse, and begging the negative formula in 3 ranks to divide a piece of matrix are successfully proved, and also be summed up the method of begging the negative .In addition of this, this thesis not only lays particular emphasis on the theories research, but also deals of high level matrix of typical model which are used in the thesis, and how they divide the piece to make begging negative process more simple is also be analyzed . The process of how to solve is also given. “Theories contact actual” is real attained in this thesis.key words: the method of dividing the matrix into pieces; a matrix of cent ; negative matrix ; the condition that the matrix has a negative matrix.引言我们在处理一些多元线性方程组时，常常用系数矩阵，而且一般情况下，它们的阶数较高，在求解过程中，我们还要常常要求它们的逆．若要用普通的初等变换法，或求伴随矩阵法求逆都很麻烦．这时我们就应该考虑用分块矩阵法求矩阵的逆．我们知道并不是所有的矩阵都有逆，我们要求逆就应该判断矩阵是否可逆，然后再求逆．本文首先介绍了分块矩阵的定义以及常用的分块方法，重点介绍２×２分块矩阵和３×３分块矩阵的可逆性存在条件，并给出了普遍使用的求逆公式，而且文中还举了一些有代表性的例题，并讨论是如何分块，如何应用求逆公式的．一概述１．分块矩阵的定义在处理级数较高的矩阵是常用矩阵分块的方法．我们可以把大矩阵看成是由小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样．特别在运算中，把这些小矩阵当作数来处理，这就是所谓的矩阵分块．而把这样的矩阵就叫做分块矩阵．２．常用的矩阵分块方法①找零块例如1001210100100000⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭可分块为10|0121|01|00|1000|00⎛⎫⎪⎪⎪----⎪⎪⎪⎝⎭可表示为A BD⎛⎫⎪⎝⎭型②找相同块例如1111111111111111⎛⎫⎪--⎪⎪--⎪--⎝⎭可分块为11|1111|11|11|1111|11⎛⎫⎪--⎪⎪----⎪--⎪⎪--⎝⎭可表示为A AA D⎛⎫⎪⎝⎭型③找单位块例如1212110010101001⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭可分块为1|2121|1001|0101|001⎛⎫⎪-----⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭可表示为3A BC I⎛⎫⎪⎝⎭型（这里的3I表示３阶单位阵,本文中的I都表示单位阵）④化为分块上（下）三角阵例如2011012103400002⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭可分块为2|01|10|12|10|34|00|00|2⎛⎫⎪------⎪⎪⎪⎪⎪------⎪⎪⎝⎭可表示为11121322233300A A AA AA⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭型⑤化为分块对角阵例如2000013002400002⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭可分块为2|00|00|13|00|24|00|00|2⎛⎫⎪------⎪⎪⎪⎪⎪------⎪⎪⎝⎭可表示为112233000000AAA⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭型在具体的运算中，我们要根据运算灵活地分块，上述方法只是比较常用，我们可以灵活地运用，宗旨是使运算变得更加简便．此外，我们在矩阵加法和乘法的运算中，分块矩阵的维数必须加以限制，以使所定义的运算能够进行．我们称任何满足上面这种限制的矩阵分块关于所讨论的运算是相容的．对于加法，相容要求两个矩阵按同样的方式分块；而对于乘法，在矩阵Ａ与矩阵Ｂ相乘时，对Ｂ的一个分块方式，Ａ可以有几种分块方式与之相容，这时便要考虑哪种分块方式使运算更加简便．例如Ａ＝100010002⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭Ｂ＝101001010110⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭ＡＢ＝？解：我们可以把Ｂ分块为10|1001|0101|10⎛⎫⎪⎪⎪-----⎪⎝⎭而这时若只考虑乘法的相容性，Ａ可以分块为10|001|0|00|2⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭，或10|0|01|000|2⎛⎫ ⎪---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭但是我们可以看到第一种分法中有单位块，对于乘法运算显然更简便.ＡＢ＝22200I A ⎛⎫ ⎪⎝⎭．222122I I B B ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2222212222II A B A B ⎛⎫⎪⎝⎭＝101001010220⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭３．矩阵的逆定义：n 阶方阵Ａ可逆，如果有n 阶方阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝Ｉ，这里的Ｉ是n 阶单位阵．而我们将要研究的分块矩阵的求逆，只不过是先将矩阵分块，然后再求逆．二分块矩阵的求逆及其应用第一节２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用首先我们从最简单的2×2分块矩阵开始研究,如何求2×2分块矩阵的逆,用初等变换的方法,这是一个很好解决的问题.而我们重点研究一下这种类型的分块矩阵可逆性的存在条件及其普遍适用的求逆公式. 设A B M C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭,A 为n 阶矩阵,B 与C 分别为n ×m 和m ×n 矩阵,D 为m 阶矩阵.定理1.若A 可逆,则M 可逆⇔1D CA B --可逆.这时[1]11111111111111()()()()A A B D CA B CA A B D CA B M D CA B CA D CA B --------------⎛⎫+---=⎪---⎝⎭证明: ⇒ 由 110A B A B CA C D D CA B ---⨯⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∵M =A ⋅10D CA B --≠ 故11()D CA B ---存在.由 1111110000()()n n m m A B I AB I CA ACD I D CA B CA I D CA B -------⨯⎛⎫⨯⎛⎫→ ⎪⎪---⨯⎝⎭⎝⎭1111110000()()n n m m A B I AB I CA ACD I D CA B CA I D CA B -------⨯⎛⎫⨯⎛⎫→ ⎪ ⎪---⨯⎝⎭⎝⎭111111100()()n mI A B A A B I D CA B CA D CA B -------⎛⎫⎪-⨯---⎝⎭111111111110()()0()()n mI A A B D CA B CA A B D CA B I D CA B CA D CA B -----------⎛⎫+---→ ⎪---⎝⎭即 11111111111111()()()()A A B D CA B CA A B D CA B MD CA B CA D CA B --------------⎛⎫+---= ⎪---⎝⎭⇐ 由1D CA B --可逆,可知1A -存在.∵M =A ⋅10D CA B --≠, 故1M - 存在.定理2. 若D 可逆,则M 可逆⇔1A BD C --可逆,这时 11111111111111()()()()A BD C A BD C BD MD C A BD C D D C A BD C BD --------------⎛⎫---= ⎪--+-⎝⎭证明方法同定理1,在此略去证明过程.在此,我们还可以得出推论:推论1:若B 可逆,则M 可逆⇔ 1C DB A --可逆推论2:若C 可逆,则M 可逆⇔ 1B AC D --可逆通过以上的讨论,我们只要知道某一块可逆,运用定理及其推论就可以判断出M 是否可逆,如果可逆,我们就可以运用相应的求逆公式求出.我们在实际应用时,如果一个阶数较大的矩阵,找不到特殊的块(如零块,单位块,相同块等),或者不能化为特殊型(如分块对角阵,分块上(下)三角阵等),那么求它的逆运用分块的方法优势也就不明显了.而以上所研究的求逆条件和求逆公式的实用价值也就大打折扣.而我们在实际计算当中,最常遇到的便是矩阵中含有零块的情况,下面我们来研究一下2×2分块矩阵中含有零块时,它的可逆性存在条件及其可逆公式是什么形式的. 1. 分块矩阵中含有3个零块即 000A ⎛⎫⎪⎝⎭ 、000B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 、 000C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 、000D ⎛⎫⎪⎝⎭这种情况下,分块矩阵是不可逆的.以第一种情况为例∵若A 可逆,而1D CA B --=0,是不可逆的 ∴M=000A ⎛⎫⎪⎝⎭不可逆.(若A 不可逆,那么M 就更不可逆了) 2. 分块矩阵中有两个零块Ⅰ. 分块矩阵的两个零块在同一行或同一列,即①00A B M ⎛⎫= ⎪⎝⎭和②00B M D ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则这种分块矩阵不可逆. ∵ 由定理1可知,在①中若1A -存在, 1D CA B --=0不可逆.∴M 不可逆. ∵ 由推论1可知,在②中若1B -存在, 1C DB A --=0不可逆.∴M 不可逆.Ⅱ.分块矩阵的两个零块不在同一行或同一列,即 ①00A M D ⎛⎫= ⎪⎝⎭和 ②00B M C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,∵ 由定理1可知,在①中若1A -存在, 1D CA B --=D,只有当D 可逆时,M 才可逆. 代入求逆公式得 11100A MD ---⎛⎫= ⎪⎝⎭,反过来,若D 可逆,也只有A 可逆时,M 才可逆. 1M -同前面的一样.∵由推论1可知,在②中若1B -存在, 1C DB A --=C,只有当C 可逆时,M 才可逆, 此时 11100C MB---⎛⎫= ⎪⎝⎭可以用下面的方法求出上面的1M -,设1M -=11122122D D D D ⎛⎫ ⎪⎝⎭则 1M M -⋅=00B C⎛⎫⎪⎝⎭11122122D D D D ⎛⎫ ⎪⎝⎭=21221112BD BD CD CD ⎛⎫⎪⎝⎭=00I I ⎛⎫⎪⎝⎭=I ∴11100C MB---⎛⎫= ⎪⎝⎭3. 分块矩阵中只有一个零块Ⅰ. 分块矩阵的零块在主对角线上,即①0A B M C ⎛⎫= ⎪⎝⎭和②0B M C D ⎛⎫=⎪⎝⎭ⅰ.由定理1可知,在①中若1A -存在,只有 1CA B --可逆,M 才可逆而11()CA B ---= 11B AC --- ∴ 只有当1B - 、1C -同时存在时,M 才可逆.ⅱ.若A 不可逆,则令1M -=11122122D D D D ⎛⎫⎪⎝⎭1M M -⋅=112112221112AD BD AD BD CD CD ++⎛⎫⎪⎝⎭=00I I ⎛⎫⎪⎝⎭=I 1M - =11110C BB AC ----⎛⎫⎪-⎝⎭,如果要使1M -存在,那么1B - ﹑1C -一定存在. ② 可用同样的方法讨论.总结: 这种类型的分块矩阵,无论A(D)是否可逆,只有B 、C 同时可逆时,M 才可逆.Ⅱ. 分块矩阵的零块不在主对角线上,即①0AM C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭和②0A B M D ⎛⎫= ⎪⎝⎭对于①,可以直接应用定理1判断是否可逆,然后直接代入求逆公式即只有当A 、D 同时可逆时,M 可逆.此时1M -= 11110A A BD D ----⎛⎫- ⎪⎝⎭对于②,同样应用定理2可得只有当A ﹑D 同时可逆时,M 可逆.此时1M -= 11110A D CAD ----⎛⎫⎪-⎝⎭通过以上的讨论,我们不难发现,如果分块矩阵中含有零块,那么判断其可逆性存在条件以及求逆公式都会相应地简单很多.因此,我们在对阶数较大的矩阵分块时应注意零块.下面我们来看一些典型的应用分块矩阵法来求逆的例子,看看是如何分块,如何应用公式及推论的. 例1. 判断下列矩阵是否可逆,如果可逆,求出它的逆.①M = 0001200023110000110000100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ②M = 01000002000003000004500⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭③M = 101010101000110000110001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭④M = [2]2100002100002100002100002⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⑤ M =[3]1111111111111111⎛⎫⎪-- ⎪⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭ ⑥M =1200023000111000101000001⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭解: ①分析: 观察矩阵中有一个2×3的零块和一个3×2的零块,而另外两个分别是上三角块和一个2×2的块,都很容易判断是否可逆.所以可将M 分块为000|12000|23110|00011|00001|00⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭它正好是00B M C ⎛⎫= ⎪⎝⎭型,由前面的讨论可知11100C MB---⎛⎫= ⎪⎝⎭而运用初等变换法很容易求出112322321--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 1110111011011001001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故M 可逆. 所以 1M -=001110001100001320002100-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭②.分析: 不难发现这是一个对角阵经过列变换而得到的矩阵,那我们就还要尽可能找到对角阵,因为对角阵的逆容易求得.结果发现正好还有两个零块.则可将M 分块为0|10000|02000|00300|00045|0000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪------ ⎪⎪⎝⎭,也是00B M C ⎛⎫=⎪⎝⎭型,B 、C 可逆很容易看出,故M 可逆.则1M -=1000051000010000210000310004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭③.分析:这是一个只有0和1组成的上三角矩阵,我们知道零块比单位块更容易计算,所以我们应本着先找零块的原则,故我们可以将M 分块为10|10101|01000|11000|01100|001⎛⎫⎪⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭这样分即有零块,又有一个单位块. 则M 可表示20I B D ⎛⎫⎪⎝⎭型.很容易看出2I 和D 都可逆,所以M 可逆. 根据关于零块的讨论,可得1M -=1210I BD D --⎛⎫-⎪⎝⎭而1D -=111011001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭1BD --=112011--⎛⎫ ⎪-⎝⎭, 所以1M -=101120101100111000110001--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭④.分析:这是一个很有规律的矩阵,我们可以找到它的一个最大零块,将M 分块为21|00002|10000|21000|02100|002⎛⎫⎪⎪ ⎪------⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭ 可以表示为0A B M T ⎛⎫= ⎪⎝⎭型很容易看出1A -和1T -都存在,故M 可逆.用初等变换的方法求得1A -=1124102⎛⎫-⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭而我们在求1T -时,还可以把T 分块为 21|002|100|2⎛⎫ ⎪⎪⎪---- ⎪⎪⎝⎭可以表示为T=A H O K ⎛⎫⎪⎝⎭∵A 、K 可逆很容易看出, ∴1T -=1111A A HK K ----⎛⎫-⎪⎝⎭=111248110241002⎛⎫-⎪⎪⎪- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∴1M-=1111A A BT T ----⎛⎫- ⎪⎝⎭=11111248163211110248161110024811000241002⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭本题中两次运用分块,因为1A -只求一次，可以在两个地方应用,而且其它的计算也相应的简便.⑤．分析:这个矩阵中含有3个块相同，故分块很容易M=11|1111|1111|1111|11⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪----- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭即M=A A A D ⎛⎫⎪⎝⎭,∵1A -，1D -都存在,现在考虑是应用定理1还是应用定理2.ⅰ.若选择1A -存在，则需判断1D AA A --=D-A 是否可逆 ⅱ.若选择1D -存在，则需判断1A AD A -- 是否可逆。

矩阵的分块求逆及解线性方程组(完整版)实用资料

矩阵的分块求逆及解线性方程组（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）实验4：矩阵的分块求逆及解线性方程组一、问题化已知矩阵为上三角矩阵，构造范德蒙矩阵，高阶非奇异矩阵的分块求逆，非齐次线性方程组的通解二、实验目的1. 学会使用MATLAB编程，实施初等变换将矩阵化为上三角矩阵2. 掌握用循环语句由已知向量构造范德蒙矩阵3. 了解高阶非奇异矩阵用不同分块法求逆矩阵的误差分析4. 能根据由MATLAB所求得的非齐次线性方程组增广矩阵的阶梯形的行最简形式写出线性方程组的通解三、预备知识（一）线性代数知识（二）相关命令提示：1. 输入语句：变量名=input（‘提示信息’）2. for 循环3. if 结构4. 矩阵与向量的范数:norm(A5. 求矩阵A的秩:rank(A6. 求矩阵A的标准阶梯形：rref(A四、实验内容与要求1. 在建立的sy31.m文件中编程将任意给定的n阶方阵B1，化为上三角阵B1;调用时输入B1=A,n=6;其中A为实验：矩阵的基本运算中的矩阵A2. 在建立的sy32.m文件中编程用1—6单位增量的行向量产生一个范德蒙矩阵B23. 在建立的sy33.m文件中编程对任意输入的高阶分块可逆矩阵B3实现分块法求逆：（1）调用sy33.m文件时输入B3=A^2，输入n1=2,求出B3的逆C2；（2）调用sy33.m文件时输入同上的B3，输入n1=4,求出B3的逆C4；（3）调用sy33.m文件时输入同上的B3，输入n1=6,求出B3的逆C6；（4）调用norm 函数对上面三种方法所求的逆做误差分析（即做（B3×Ci-E）的范数）4. 建立sy34.m 文件，求下列非齐次方程组的通解。

五、思考与练习1. 求解下列齐次方程组的基础解系2. 用任意输入的8维行向量产生一个8解范德蒙矩阵项目五矩阵运算与方程组求解实验1 行列式与矩阵实验目的掌握矩阵的输入方法. 掌握利用Mathematica (4.0以上版本) 对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.基本命令在Mathematica 中, 向量和矩阵是以表的形式给出的.1. 表在形式上是用花括号括起来的若干表达式, 表达式之间用逗号隔开.如输入{2,4,8,16}{x,x+1,y,Sqrt[2]}则输入了两个向量.2. 表的生成函数(1) 最简单的数值表生成函数Range, 其命令格式如下:Range[正整数n]—生成表{1,2,3,4,…,n };Range[m, n]—生成表{m ,…,n };Range[m, n, dx]—生成表{m ,…,n }, 步长为d x .(2) 通用表的生成函数Table. 例如,输入命令Table[n^3,{n,1,20,2}]则输出 {1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859}输入Table[x*y,{x,3},{y,3}]则输出 {{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}}3. 表作为向量和矩阵一层表在线性代数中表示向量, 二层表表示矩阵. 例如,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5432 可以用数表{{2,3},{4,5}}表示.输入A={{2,3},{4,5}}则输出 {{2,3},{4,5}}命令MatrixForm[A]把矩阵A 显示成通常的矩阵形式. 例如, 输入命令:MatrixForm[A]则输出 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5432 但要注意, 一般地, MatrixForm[A]代表的矩阵A 不能参与运算.输入B={1,3,5,7}输出为{1,3,5,7}输入MatrixForm[B]输出为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7531虽然从这个形式看向量的矩阵形式是列向量, 但实质上Mathematica 不区分行向量与列向量. 或者说在运算时按照需要, Mathematica 自动地把向量当作行向量或列向量.下面是一个生成抽象矩阵的例子.输入Table[a[i,j],{i,4},{j,3}]MatrixForm[%]则输出⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛]3,4[]2,4[]1,4[]3,3[]2,3[]1,3[]3,2[]2,2[]1,2[]3,1[]2,1[]1,1[a a a a a a a a a a a a 注:这个矩阵也可以用命令Array 生成,如输入Array[a,{4,3}]//MatrixForm则输出与上一命令相同.4. 命令IdentityMatrix[n]生成n 阶单位矩阵.例如,输入IdentityMatrix[5]则输出一个5阶单位矩阵(输出略).5. 命令DiagonalMatrix[…]生成n 阶对角矩阵.例如,输入DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}]则输出 {{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}}它是一个以b[1], b[2], b[3]为主对角线元素的3阶对角矩阵.6. 矩阵的线性运算:A+B 表示矩阵A 与B 的加法;k*A 表示数k 与矩阵A 的乘法; A.B 或 Dot[A,B]表示矩阵A 与矩阵B 的乘法.7. 求矩阵A 的转置的命令:Transpose[A].8. 求方阵A 的n 次幂的命令:MatrixPower[A,n].9. 求方阵A 的逆的命令:Inverse[A].10.求向量a 与b 的内积的命令:Dot[a,b].实验举例矩阵A 的转置函数Transpose[A]例1.1 求矩阵的转置.输入ma={{1,3,5,1},{7,4,6,1},{2,2,3,4}};Transpose[ma]//MatrixForm输出为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛411365243271 如果输入 Transpose[{1,2,3}]输出中提示命令有错误. 由此可见, 向量不区分行向量或列向量.矩阵线性运算例1.2 设,291724,624543⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B A 求.24,A B B A -+ 输入A={{3,4,5},{4,2,6}};B={{4,2,7},{1,9,2}};A+B//MatrixForm4B-2A//MatrixForm输出为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43241801081151267 如果矩阵A 的行数等于矩阵B 的列数, 则可进行求AB 的运算. 系统中乘法运算符为“.”, 即用A.B 求A 与B 的乘积, 也可以用命令Dot[A,B]实现. 对方阵A , 可用MatrixPower[A,n]求其n 次幂.例1.3 设,148530291724,36242543⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mb ma 求矩阵ma 与mb 的乘积. 输入Clear[ma,mb];ma={{3,4,5,2},{4,2,6,3}}; mb={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5},{8,4,1}};ma.mb//MatrixForm输出为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛655642566532矩阵的乘法运算例1.4 设,101,530291724⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 求AB 与,A B T 并求.3A输入Clear[A,B];A={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5}};B={1,0,1};A.B输出为{11,3,5}这是列向量B 右乘矩阵A 的结果. 如果输入B.A输出为{4,5,12}这是行向量B 左乘矩阵A 的结果,A B T 这里不需要先求B 的转置. 求方阵A 的三次方, 输入MatrixPower[A,3]//MatrixForm输出为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26047754444932141555660119例1.5 (教材例1.1) 设,421140123,321111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A 求A AB 23-及.B A T 输入A={{-1,1,1},{1,-1,1},{1,2,3}}MatrixForm[A]B={{3,2,1},{0,4,1},{-1,2,-4}}MatrixForm[B]3A.B -2A//MatrixFormTranspose[A].B//MatrixForm则输出A AB 23-及B A T 的运算结果分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----334421424141010 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----10120821444求方阵的逆例1.6 (教材例1.2) 设,5123641033252312⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 求.1-A 输入Clear[ma]ma={{2,1,3,2},{5,2,3,3},{0,1,4,6},{3,2,1,5}};Inverse[ma]//MatrixForm则输出⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------16521161145810812181********161121162147 注: 如果输入Inverse[ma//MatrixForm]则得不到所要的结果, 即求矩阵的逆时必须输入矩阵的数表形式例1.7 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--027926243043286345248127的逆矩阵. 解 A={{7,12,8,24},{5,34,6,-8},{32,4,30,24},{-26,9,27,0}}MatrixForm[A]Inverse[A]//MatrixForm例1.8 设,221331317230,5121435133124403⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 求.1B A - 输入Clear[A,B];A={{3,0,4,4},{2,1,3,3},{1,5,3,4},{1,2,1,5}};B={{0,3,2},{7,1,3},{1,3,3},{1,2,2}};Inverse[ma].B//MatrixForm输出为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1671635583891898932516916619 对于线性方程组,b AX =如果A 是可逆矩阵, X ,b 是列向量, 则其解向量为.1b A -例1.9 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+-=++.2442,63,723z y x z y x z y x输入Clear[A,b];A={{3,2,1},{1,-1,3},{2,4,-4}}; b={7,6,-2}; Inverse[A].b输出为{1,1,2}求方阵的行列式例1.10 求行列式 .3351110243152113------=D输入Clear[A];A={{3,1,-1,2},{-5,1,3,-4},{2,0,1,-1},{1,-5,3,-3}}; Det[A]输出为40例1.11 (教材例1.3) 求.11111111111122222222ddd d c c c c b b b b a a a a D ++++=输入Clear[A,a,b,c,d];A={{a^2+1/a^2,a,1/a,1},{b^2+1/b^2,b,1/b,1}, {c^2+1/c^2,c,1/c,1},{d^2+1/d^2,d,1/d,1}}; Det[A]//Simplify则输出2222d c b a )abcd 1)(d c )(d b )(d a )(c b )(c a )(b a (+--------例1.12 计算范德蒙行列式.1111145444342413534333231252423222154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 输入Clear[x];Van=Table[x[j]^k,{k,0,4},{j,1,5}]//MatrixForm输出为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛444443333322222]5[]4[]3[]2[]1[]5[]4[]3[]2[]1[]5[]4[]3[]2[]1[]5[]4[]3[]2[]1[11111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x再输入Det[van]则输出结果比较复杂(项很多)若改为输入Det[van]//Simplify或Factor[Det[van]]则有输出(x[1]-x[2])(x[1]-x[3])(x[2]-x[3])(x[1]-x[4]) (x[2]-x[4])(x[3]-x[4])(x[1]-x[5])(x[2]-x[5]) (x[3]-x[5])(x[4]-x[5])例1.13 (教材例1.4) 设矩阵 ,60975738723965110249746273⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 求.),(|,|3A A tr A 输入A={{3,7,2,6,-4},{7,9,4,2,0},{11,5,-6,9,3},{2,7,-8,3,7},{5,7,9,0,-6}}MatrixForm[A]Det[A] Tr[A]MatrixPower[A,3]//MatrixForm则输出3),(|,|A A tr A 分别为11592 3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12574547726668013841222451984174340410063122181713228151626315018483582949442062726向量的内积向量内积的运算仍用“.”表示, 也可以用命令Dot 实现例1.14 求向量}3,2,1{=u 与}0,1,1{-=v 的内积. 输入u={1,2,3}; v={1,-1,0}; u.v输出为-1或者输入Dot[u,v]所得结果相同.实验习题1.设,150421321,111111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A 求A AB 23-及.B A '2.设,001001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλA 求.10A 一般地?=k A (k 是正整数).3.求⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++a a a aa1111111111111111111111111的逆.4.设,321011324⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 且,2B A AB +=求.B5.利用逆矩阵解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.353,2522,132321321321x x x x x x x x x第三章矩阵的初等变换与线性方程组知识点：矩阵的初等变换、矩阵的秩初等矩阵线性方程组的解学习目标:1.掌握矩阵的初等变换.2.理解矩阵秩的概念及求法.3.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解非齐次线性方程组有解的充要条件.4.掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法.一、填空题1.设矩阵，且，为的一个阶子式，则__0___.2.设3阶方阵的秩为2，矩阵，，若矩阵，则 .3. 已知，且其秩为2，则___3___4.设，且非齐次方程组有唯一解向量，则增广矩阵的秩___n____.5.已知的逆矩阵，那么方程组的解二、选择题1.已知有一个阶子式不等于零，则 ( DA. B. C. D.2.设为34矩阵，若矩阵的秩为2，则矩阵的秩等于（ B ）A．1 B．2 C．3 D．43.设是阶阵，且，则由( A 可得出.A. B.C. D. 为任意阶矩阵4．若方程组有非零解，则方程组必（ B ）A.有唯一解B.不是唯一解C.有无穷多解D.无无穷多解5．线性方程组只有零解，则（ B ）A. 有唯一解B. 可能无解C. 有无穷多解D. 无解6.设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（ C ）A．无解 B．有非零解C．只有零解 D．解不能确定7．非齐次线性方程有无穷多解的充要条件是（ D ）A． B．C． D．8.设线性方程组中，若，，则该线性方程组（ B ）A．有唯一解 B．无解C．有非零解 D．有无穷多解9.设矩阵的秩为2，则（ B ）A.2B.1C.0D.-110.设均为3阶矩阵，若可逆，，那么（ C ）A．0 B．1 C．2 D．311. 设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（B）A． B．C． D．三、将下列矩阵化成最简形矩阵：1 .2 . （练习）四、设，且，求。

逆矩阵的几种求法与解析

因此E-A是可逆矩阵,且
(E-A) = E + A + A +…+A .
同理可以证明(E+ A)也可逆,且
(E+ A) = E -A + A +…+（-1） A .
由此可知,只要满足A =0，就可以利用此题求出一类矩阵E A的逆矩阵.
例2设A = ,求E-A的逆矩阵.
分析由于A中有许多元素为零,考虑A 是否为零矩阵,若为零矩阵,则可以采用例2的方法求E-A的逆矩阵.
3.伴随阵法
定理n阶矩阵A=[a ]为可逆的充分必要条件是A非奇异.且
A =
其中A 是中元素a 的代数余子式.
矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，于是有A = A*.
证明必要性：设A可逆，由AA =I，有 = ，则 = ，所以 0，即A为非奇异.
充分性：设A为非奇异，存在矩阵
B= ，
其中
AB=
X= A ，Y=0，Z=0，W= A
故 A =
把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：
=
4.2.准三角形矩阵求逆
命题设A 、A 都是非奇异矩阵，则有
=
证明因为 =
两边求逆得
=
所以 =
=
同理可证
=
此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.
5.恒等变形法
恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA =E，把题目中的逆矩阵化简掉。
例1计算（A+4E）（4E-A）（16E-A ）的行列式，其中 A=

分块矩阵求逆矩阵的方法

分块矩阵求逆矩阵的方法矩阵是线性代数中的重要概念，常常用于描述线性方程组的解法、计算线性变换的效果等。

在实际应用中，我们经常需要对矩阵进行求逆操作，以便进行矩阵的乘法、求解线性方程组等操作。

而分块矩阵求逆矩阵的方法是一种比较高效、实用的方法，本文将详细介绍其原理和实现方法。

1. 基本原理分块矩阵求逆矩阵的基本思想是将原矩阵分解成若干个子块矩阵，然后利用矩阵分块的性质，通过一系列简单的矩阵运算，将原矩阵求逆的问题转化为对子块矩阵求逆的问题。

具体来说，假设我们要求解一个n阶矩阵A的逆矩阵，可以将A分解成如下的分块矩阵：$$A = begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} A_{21} & A_{22}end{bmatrix}$$其中，$A_{11}$是一个$ktimes k$的矩阵，$A_{22}$是一个$(n-k)times(n-k)$的矩阵，$A_{12}$是一个$ktimes(n-k)$的矩阵，$A_{21}$是一个$(n-k)times k$的矩阵。

根据矩阵分块的性质，我们可以得到如下的矩阵分解式：$$A^{-1} = begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} B_{21} & B_{22} end{bmatrix}$$其中，$B_{11}$是一个$ktimes k$的矩阵，$B_{22}$是一个$(n-k)times(n-k)$的矩阵，$B_{12}$是一个$ktimes(n-k)$的矩阵，$B_{21}$是一个$(n-k)times k$的矩阵。

我们的目标是求解出$B_{11}$、$B_{12}$、$B_{21}$和$B_{22}$。

根据矩阵分块的性质，我们可以将原矩阵的逆矩阵表示为：$$A^{-1} = begin{bmatrix} A_{11}^{-1} +A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}A_{21}A_{11}^{-1} &-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22} -B_{22}A_{21}A_{11}^{-1} & B_{22} end{bmatrix}$$这个式子看起来很复杂，但是它的本质是非常简单的：将原矩阵分解成若干个子块矩阵，然后通过一系列简单的矩阵运算，将原矩阵的求逆问题转化为对子块矩阵的求逆问题。

矩阵的逆与方程组的解法

矩阵的逆与方程组的解法矩阵是数学中一个重要的概念，它在各个领域中都有广泛的应用。

矩阵的逆和方程组的解法是矩阵理论中的两个基本问题，它们相互关联，共同构成了矩阵运算的重要部分。

一、矩阵的逆矩阵的逆是指对于任何一个可逆矩阵A，都存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。

当矩阵A可逆时，我们可以使用逆矩阵来解决一些与A相关的问题。

1. 逆矩阵的计算方法对于一个n阶矩阵A，如果其逆矩阵存在，那么可以使用伴随矩阵的方法来计算逆矩阵。

伴随矩阵的计算方式是将A的每个元素的代数余子式组成的矩阵，记作Adj(A)。

然后，逆矩阵可以通过公式A^(-1) = (1/|A|) * Adj(A)来计算，其中|A|表示矩阵A的行列式。

2. 逆矩阵的应用逆矩阵在方程组的解法中起到了重要的作用。

当我们需要求解一个线性方程组Ax=b时，如果矩阵A可逆，那么方程的解可以表示为x=A^(-1)b。

通过计算逆矩阵，我们可以高效地求解这个方程组，得到其唯一解。

二、方程组的解法方程组是由多个方程构成的数学等式组合，常用于描述多元线性关系。

对于一个n元方程组，可以使用矩阵的方法来求解。

1. 列主元消元法列主元消元法是常用的方程组求解方法之一。

首先，将方程组的增广矩阵进行初等行变换，化为上三角矩阵，然后通过回代的方式求解各个未知数。

2. 高斯-约当消元法高斯-约当消元法是另一种常用的方程组求解方法。

其思想与列主元消元法类似，但是在选取主元时，高斯-约当消元法关注的是当前列中绝对值最大的元素，而不是每个列的第一个非零元素。

3. 矩阵求逆法在一些情况下，我们可以通过求解方程组的逆矩阵来得到方程组的解。

当系数矩阵A可逆时，方程组的解可以表示为x=A^(-1)b，其中b 是方程组的常数向量。

不论是矩阵的逆矩阵求解，还是方程组的解法，都是矩阵理论中非常基础且重要的内容。

它们在线性代数、数学建模、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

矩阵的逆和方程组的解法不仅能够帮助我们求解现实问题，更深入理解矩阵运算的本质和规律。

分块矩阵求逆矩阵公式

分块矩阵求逆矩阵公式在学习线性代数的时候，有一个重要的知识点——分块矩阵求逆矩阵公式。

这玩意儿听起来好像挺复杂，但其实只要咱们静下心来，一步一步搞清楚，也没那么难。

先来说说啥是分块矩阵。

简单来讲，就是把一个大矩阵分成几个小块儿，就像切蛋糕一样。

比如说一个大矩阵 A ，我们可以把它分成四块儿， A 11 、 A 12 、 A 21 、 A 22 。

这样分块之后，处理一些大矩阵的运算就会方便很多。

那分块矩阵的逆矩阵公式是啥呢？咱先别着急，我给您举个例子您就明白了。

假设我们有一个分块矩阵 M ，它分成了四块儿，分别是 A 、B 、 C 、 D 。

而且 A 是可逆矩阵。

那 M 的逆矩阵 M -1 就可以通过一个特定的公式来计算。

这公式看起来可能有点吓人，但咱们慢慢拆解。

就像我们解一道数学难题，一步一步来，总能找到答案。

我记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地看着我，说：“老师，这也太难了吧！”我笑着跟他说：“别着急，咱们一起来啃下这块硬骨头。

” 然后我就在黑板上一步一步地推导，每一步都解释得清清楚楚。

那孩子也慢慢跟上了思路，眼睛里开始有了亮光。

回到分块矩阵求逆矩阵公式，这里面涉及到一些矩阵的运算和性质。

比如说，如果两个矩阵相乘等于单位矩阵，那么它们互为逆矩阵。

还有，可逆矩阵的行列式不为零等等。

在实际应用中，分块矩阵求逆矩阵公式可有用了。

比如说在处理大型的线性方程组的时候，通过分块矩阵的方法，可以大大简化计算的过程。

再比如说，在计算机科学中，处理大规模的数据矩阵时，分块矩阵求逆矩阵公式能提高算法的效率，节省计算资源。

总之，分块矩阵求逆矩阵公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了它的原理和方法，多做几道练习题，就能熟练运用啦。

就像我们学骑自行车，一开始可能会摇摇晃晃，但多练几次，就能轻松驾驭啦！希望您通过我的讲解，对分块矩阵求逆矩阵公式能有更清楚的认识。

加油，相信您一定能搞定它！。

矩阵的逆与解线性方程组

矩阵的逆与解线性方程组矩阵的逆和线性方程组是线性代数中的重要概念，它们在许多领域中都有广泛的应用。

矩阵的逆是指对于一个可逆（非奇异）矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。

解线性方程组的过程涉及使用矩阵的逆来求解。

1. 矩阵的逆一个矩阵是否可逆取决于它的行列式是否非零。

如果一个矩阵A可逆，那么它的逆记为A^-1。

可以通过计算A的伴随矩阵和行列式的倒数来得到A^-1。

如果A是一个n×n的矩阵，那么它的逆可以用以下公式表示：A^-1 = (1/det(A)) * adj(A)2. 解线性方程组线性方程组可以用矩阵和向量的形式表示。

考虑一个包含m个方程和n个未知数的线性方程组Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n维列向量，b是一个m维列向量。

如果A是可逆矩阵，那么可以通过左乘A^-1来解这个线性方程组：x = A^-1 * b3. 矩阵的逆与线性方程组的关系线性方程组可以通过矩阵的逆来求解，只要这个矩阵是可逆的。

如果A是可逆的，那么可以通过左乘A^-1来消去A，得到方程组的解。

这个过程可以用来求解不同数量的未知数和方程的线性方程组。

4. 举例说明考虑以下线性方程组：2x + 3y = 84x + 5y = 13将其表示为矩阵形式：A = [[2, 3], [4, 5]]x = [[x], [y]]b = [[8], [13]]首先，计算矩阵A的行列式：det(A) = (2*5) - (3*4) = -2由于det(A)不为零，A可逆，可以计算A的逆矩阵：A^-1 = (1/-2) * [[5, -3], [-4, 2]] = [[-5/2, 3/2], [2, -1]]然后，将逆矩阵与向量b相乘，以解线性方程组：x = A^-1 * b= [[-5/2, 3/2], [2, -1]] * [[8], [13]]= [[7/2], [1]]因此，线性方程组的解是x=7/2，y=1。

矩阵的分块求逆及解线性方程组

实验3 矩阵的分块求逆及解线性方程组一、问题化已知矩阵为上三角矩阵，构作范德蒙矩阵，高阶非奇异矩阵的分块求逆，求非齐次线性方程组的通解。

二、实验目的学会用Matlab 语言编程，实施矩阵的初等变换将已知矩阵化为上三角矩阵；掌握用循环语句由已知向量构造范德蒙矩阵；了解高阶非奇异矩阵用不同分块法求逆矩阵的误差分析；能根据由软件求得的非齐次线性方程组增广矩阵的阶梯型的最简形式写出线性方程组的通解。

三、预备知识1．线性代数知识：（1）向量},,,{21n x x x X 作出的 n 阶范德蒙矩阵为112112222121111n n n n n n x x x x x x x x x（2）分块矩阵22211211A A A A A ，其中11A 为方的可逆子块，求逆矩阵有如下公式：设222112111B B B B A，则221211112112111212222,)(B A A B A A A A B ， 111211211111111212221, A A B A B A A B B（3）常用的矩阵范数为Frobenius 范数；21112||||||n i n j ij F a A2．本实验所用Matlab 命令提示：（1）输入语句：input('输入提示')；（2）循环语句：for 循环变量=初始值：步长：终值循环语句组 end（3）条件语句： if(条件式1)条件块语句组1elseif(条件式2)条件块语句组2 else条件块语句组3 end（4）矩阵和向量的范数：norm(A)；（5）求矩阵A 的秩：rank （A ）；（6）求矩阵A 的阶梯型的行最简形式：rref(A)。

四、实验内容及要求1．在建立的sy31.m 文件中编程将任意给定的n 阶方阵B1，化为上三角矩阵B1；调用时输入：B1=A ，n=6；其A 为实验1[矩阵的基本运算]中的矩阵A 矩阵；2．在建立的sy32.m 文件中编程用1~6单位增量的行向量产生一个范德蒙矩阵B2； 3．在建立的sy33.m 文件中编程对任意输入的高阶分块可逆矩阵B3实现分块法求逆；（1）调用sy33.m 文件时输入：B3=A^2 ，输入n1=2求出B3的逆C2 ；（2）调用sy33.m 文件时输入同上的B3，输入n1=4求出B3的逆C4 ；（3）调用sy33.m 文件时输入同上的B3，输入n1=6求出B3的逆C6 ；（4）用norm()函数对上面三种方法所求的逆作误差分析[即作(B3*Ci －E)的范数]； 4．建立sy34.m 文件，求下列非齐次线性方程组的通解。

矩阵的分块求逆及解线性方程组

求解逆矩阵的常用三种方法

分块矩阵的逆矩阵 和原矩阵逆矩阵

求分块矩阵的逆矩阵方法

逆矩阵的几种求法与解析（很全很经典）

(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)

矩阵求逆方法大全-1

求矩阵的逆矩阵的方法

矩阵求逆和线性方程组

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