2.2逆矩阵与分块矩阵

第二章
矩阵及其运算
逆矩阵
•矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算.
•矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？
•这就是本节所要讨论的问题.
•这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵. 对于 n 阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵 A，都有
An En En An An
从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地 位类似于 1 在复数中的地位． 一个复数 a ≠ 0的倒数 a－1可以
T a1n 1 T a2 n 2 1 , 2 , , n . T amn m
于是设 A 为 ms 矩阵，B 为 s n 矩阵， 若把 A 按行分块，把 B 按列块，则
的系数矩阵是一个n 阶方阵 A ，若记
x1 y1 x2 y2 X , Y xn yn
则上述线性变换可记作 Y = AX .
2 2 1 例：设线性变换的系数矩阵是一个 3 阶方阵 A 3 1 5 3 2 3 x1 y1 记 X x2 , Y y2 , x y 3 3
a1n a2 n ann
A11 A12 * A A1n
A21 A22 A2 n
An1 An 2 Ann
定理：若| A | 0 ，则方阵A可逆，而且
1 * A A. | A|
1
若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即
A11 A1r B11 B1r A , B A A B B sr sr s1 s1 A11 B11 A1r B1r A B A B A B s1 sr sr s1
元素 aij 的代数 余子式 Aij 位于 第 j 行第 i 列
1 推论：若| A | 0 ，则 | A | . | A|
1
a b 例：求二阶矩阵 A 的逆矩阵. c d 1 d b A ad bc c a
1
2 2 例：求3阶方阵 A 3 1 3 2 解：| A | = 1， M 11 7,
( AB )1 B 1 A1 .
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn , y a x a x a x 21 1 22 2 2n n 线性变换 2 yn an1 x1 an 2 x2 ann xn
容易看出：对于n 阶方阵A、B，如果
AB E ,
那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵.
AT 、 A( 0) 推论： 如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 A1、 与AB也可逆，且
( A1 )1 A, ( AT )1 ( A1 )T ,
( A)
1
1

A 1 ,
b1 j s b2 j T cij i j ai 1 , ai 2 , , ais aik bkj . k 1 b sj
分块矩阵的转置
A11 A1r 若A A A sr s1
a11 A a21 a 例如： 31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
，则
T T A11 As 1 T A AT AT sr 1r
a14 a24 1 , 2 , 3 , 4 分块矩阵不仅形 式上进行转置， a34 而且每一个子块
C (cij )mn
T T T 1 1 1 1 2 1T n T T T T 2 2 1 2 2 2 n AB 1 , 2 , , n T T T T m n m m 1 m 2
方阵吗？
a11 A a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 A11 a24 A21 a34
Baidu Nhomakorabea
A12 A22
思考题
伴随矩阵是分块矩阵吗？
A11 A12 A A1n A21 A22 A2 n An1 An 2 Ann
矩阵分块法
前言
由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文 件无法上传的情况，如何解决这个问题呢? 这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依次 上传. 家具的拆卸与装配

问题一：什么是矩阵分块法？ 问题二：为什么提出矩阵分块法？
问题一：什么是矩阵分块法？
定义：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个 小块，这种操作称为对矩阵进行分块； 每一个小块称为矩阵的子块； 矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩 阵称为分块矩阵. 这是2阶
a11 b11 a12 b12 A11 B11 A B a21 b21 a22 b22 a A B 32 31 b31 21 a 21 b32
a13 b13 a14 b14 A12 B12 a23 b23 a24 b24 a33 A b22 a b B 33 34 34 22
A21 A22 A23
A31 A32 A33
M 31 7 4 9 M 32 6 3 7 3 M 33 2 4
| A | 0
此时，称矩阵A 为非奇异矩阵
方阵A可逆
1 * A A | A|
1
定理：若方阵A可逆，则 | A | 0 ．
则上述线性变换可记作 Y = AX ． 求变量 y1, y2, y3 到变量 x1, x2, x3的线性变换相当于求方阵 A 的逆矩阵.
7 4 9 已知 A1 6 3 7 ，于是 X A1Y ，即 3 2 4
x1 7 y1 4 y2 9 y3 , x2 6 y1 3 y2 7 y3 , x 3y 2y 4y . 1 2 3 3
定义： 如果矩阵 B 满足上述等式，那么 B 就称为 A 的逆矩阵， 记作 A－1 .
下面要解决的问题是： •在什么条件下，方阵 A 是可逆的？ •如果 A 可逆，怎样求 A－1 ？
* * 结论：AA A A | A | E ，其中
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
用等式 a a－1 = 1 来刻划. 类似地，我们引入
定义： n 阶方阵 A 称为可逆的，如果有 n 阶方阵 B，使得
AB BA E
这里 E 是 n 阶单位矩阵. 根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式. 对于任意的 n 阶方阵 A，适合上述等式的矩阵 B 是唯 一的（如果有的话）.
a13 a14 A12 a23 a24 A a a 33 22 34
A11 A1r 若 是数，且 A A A sr s1 A11 A1r A A A sr s1
形式上看成 是普通的数 乘运算！
则有
分块矩阵的乘法
m1 m2 m s m l1 l2 lt l n1 n2 nr n
一般地，设 A为m×l 矩阵，B为l ×n矩阵 ，把 A、B 分块如下： l1 l2 lt n1 n2 nr
m1 A11 m2 A21 A m s As1 A12 A1t l1 B11 A22 A2 t l2 B21 , B As 2 Ast lt Bt 1 B12 B1r B22 B2 r , Bt 2 Btr
mn 矩阵 A 有m 行 n 列，若将第 i 行记作
iT (ai 1 , ai 2 , , ain )
a1 j a2 j j , a mj
若将第 j 列记作
a11 a21 A 则 am 1 a12 a22 am 2
也进行转置．
a11 a12 T A a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 1T T a32 2 a33 3T T a34 4
分块对角矩阵
定义：设 A 是 n 阶矩阵，若 1. A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块， 2. 其余子块都为零矩阵， 3. 对角线上的子块都是方阵， 那么称 A 为分块对角矩阵．
C11 C12 C1r t C 21 C 22 C 2 r C ij Aik Bkj C AB , k 1 ( i 1, , s; j 1, , r ) C s1 C s 2 C sr
按行分块以及按列分块
1 5 的逆矩阵. 3 M 12 6, M 13 3,
M 21 4, M 22 3, M 23 2, M 31 9, M 32 7, M 33 4,
则
A11 1 * 1 * A A A A12 | A| A 13 M 11 M 12 M 13 M 21 M 22 M 23
形式上看成 是普通矩阵 的加法！
则有
分块矩阵的数乘
a11 a12 A11 A a21 a22 a A a 31 21 32 a13 a14 A12 a23 a24 A22 a34 a33
a11 a12 A11 A a21 a22 a A a 31 21 32
答：不是．伴随矩阵的元素是代数余子式 （一个数），而不是矩阵．
问题二：为什么提出矩阵分块法？
答：对于行数和列数较高的矩阵 A，运算时 采用分块法， 可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算， 体现了化整为零的思想.
分块矩阵的加法
a11 a12 A11 A a21 a22 a Aa 31 21 32 a13 a14 b11 b12 A12 B11 a23 a24 , B b21 b22 b B b a33A22a34 31 21 32 b13 b14 B12 b23 b24 b33B22b34