逆阵与分块矩阵
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A1 B, B1 A. 证明 A B E 1, 故 A 0, B 0,
因而A, B可逆;且 A1 A1E A1( AB) ( A1 A)B EB B. B1 EB1 ( AB)B1 A( B1B) AE A.
定理3. 设n阶方阵A, B可逆,则 (1) A1可逆, 且( A1 )1 A; (2) A1 A 1;
(3) ( A)1 ( A1 );
(4) 0时, (A)1 1 A1;
(5) AB可逆, 且( AB)1 B1 A1.
证明 A可逆, AA1 E, (1)故 A A1 AA1 E 1 0, 从而 A1 0, A1可逆, 且( A1 )1 A.
(2) A A1 1, A1 1 A 1. A
一. 逆阵的引入
y1 a11x1 a12x2 a1n xn
设有线性变换
y2 a21
x1
a22x2
a2n xn
yn an1x1 an2 x2 ann xn
a11 记A a21
an1
a1i a1n
x1
y1
a2i
a2n
,
X
x2
,
Y
2 5 2,
B1 3
1,
1 1 1
5 2
又由 AXB C A1 AXBB1 A1CB1 X A1CB1. E
于是 X A1CB1
343
21
21
A11 4
2, 3
A12 3
3, 3
同理可得 A13 2, A21 6, A22 6, A23 2, A31 4, A32 5, A33 2,
2 6 4
得
A
3
6
5 ,
2 2 2
故
A1
1 A
A
1 2
2 3 2
6 6 2
4 5
2
1 3 1
A21 A22
A2n
An1
An2
Ann
A 0 0
0
A
0
AE
0
0
A
同理A*A A E
(1) AA* A*A A E
(2)ac
b* d
d c
b a
三. 逆阵的性质 定理1 矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且
A1 1 A , A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
AB1 B1 A1.
四. 例题分析 解题常用公式：
(1)矩阵A可逆 A 0; (2)若AB E,则A1 B, B1 A; (3) A1 1 A*;
A (4) AA* A* A A E.
ex1
求方阵
1 A 2
2 2
3 1
的逆矩阵.
3 4 3
123 Solution. A 2 2 1 2 0, A1存在.
2
3 3 1
2 5 2. 1
ex
2.
设A
1 2
3
2 2 4
3 1, 3
B
2 5
1 , 3
C
1 2 3
3 0, 1
求矩阵X使满足 AXB C.
Solution. 1 2 3
21
A 2 2 1 2 0, B
1 0,
53
343
A1, B1都存在.
且
A1
1 3
2
3 3
(5) A与B是互逆的.
3. 伴随矩阵
设Aij是矩阵A的行列式 A中aij的代数余子式,
A11
矩阵A*
A12
A1n
A21 A22
A2n
An1
An2
称为A的伴随矩阵.
Ann
注意：
a11 a12 AA* a21 a22
an1 an2
a1n A11
a2n
A12
ann A1n
Y AX ABY ( AB)Y , X BY BAX (BA)X , 从而可知 AB E BA, 正如数一样, 若ab ba 1,则a b1, b a1, 记B A1, 称其为逆矩阵.
二. 逆阵的定义 1. 定义 设A为n阶方阵, 若存在n阶方阵B使得AB BA E, 则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵; B是A的逆矩阵, 记为 A1 B. 2. 几点说明 (1) A,B必须是方阵;
y2
,
ani ann
xn
yn
则 Y AX (*)
当A
0时, x1
A1 A
,
x2
A2 A
,
x3
A3 A
,
, xn
An A
.
其中Aj ( j 1,2, , n)为 A中第j列元素被y1, y2, , yn 代换而成; 把 A1 , A2 , An 按1,2, , n列展开得
(3) AA1 E, ( AA1) E,即( A1 )A E,
( A)1 ( A1 ).
(4) AA1 E,
A A1 E,
(A)1 A1 .
注 : ( A B)1 A1 B1
(5) AB A B 0, AB可逆,
且AB B1A1 A BB1 A1 AEA1 AA1 E,
证明 若 A 可逆，即有A1使AA1 E .
故 AA1 A A1 E 1, 所以 A 0. 若 A 0, AA A A A E A A A A E,
AA 按逆矩阵的定义得A可逆,且 A1 A .
A
注意：A可逆 A为非奇异矩阵. 定理2. 设A, B是n阶方阵, 若AB E,则A, B都可逆, 且
x1 b11 y1 b12 y2 b1n yn
b11
x2 b21 y1 b22 y2 b2n yn
B
b21
xn bn1 y1 bn2 y2 bnn yn
bn1
b1i b1n
b2i
b2n
bni bnn
则 X BY来自百度文库 (**)
(**)称为(*)的逆变换.
Chapter 1(3) 逆阵与分块矩阵
教学要求：
1. 了解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可 逆的充要条件;
2. 理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆;
3. 了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则.
一. 逆阵的引入 二. 逆阵的定义 三. 逆阵的性质 四. 例题分析 五. 分块矩阵的讨论
(2) 若A的逆矩阵存在, 则必唯一;
设B1, B2是A的逆矩阵, 则AB1 B1 A E, AB2 B2 A E, 而 B1 B1E B1( AB2 ) ( B1 A)B2 EB2 B2 .
(3) 若A的逆矩阵存在,则记为A1.从而AA1 E;
(4) A1 1 , AA1 1; A
因而A, B可逆;且 A1 A1E A1( AB) ( A1 A)B EB B. B1 EB1 ( AB)B1 A( B1B) AE A.
定理3. 设n阶方阵A, B可逆,则 (1) A1可逆, 且( A1 )1 A; (2) A1 A 1;
(3) ( A)1 ( A1 );
(4) 0时, (A)1 1 A1;
(5) AB可逆, 且( AB)1 B1 A1.
证明 A可逆, AA1 E, (1)故 A A1 AA1 E 1 0, 从而 A1 0, A1可逆, 且( A1 )1 A.
(2) A A1 1, A1 1 A 1. A
一. 逆阵的引入
y1 a11x1 a12x2 a1n xn
设有线性变换
y2 a21
x1
a22x2
a2n xn
yn an1x1 an2 x2 ann xn
a11 记A a21
an1
a1i a1n
x1
y1
a2i
a2n
,
X
x2
,
Y
2 5 2,
B1 3
1,
1 1 1
5 2
又由 AXB C A1 AXBB1 A1CB1 X A1CB1. E
于是 X A1CB1
343
21
21
A11 4
2, 3
A12 3
3, 3
同理可得 A13 2, A21 6, A22 6, A23 2, A31 4, A32 5, A33 2,
2 6 4
得
A
3
6
5 ,
2 2 2
故
A1
1 A
A
1 2
2 3 2
6 6 2
4 5
2
1 3 1
A21 A22
A2n
An1
An2
Ann
A 0 0
0
A
0
AE
0
0
A
同理A*A A E
(1) AA* A*A A E
(2)ac
b* d
d c
b a
三. 逆阵的性质 定理1 矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且
A1 1 A , A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
AB1 B1 A1.
四. 例题分析 解题常用公式：
(1)矩阵A可逆 A 0; (2)若AB E,则A1 B, B1 A; (3) A1 1 A*;
A (4) AA* A* A A E.
ex1
求方阵
1 A 2
2 2
3 1
的逆矩阵.
3 4 3
123 Solution. A 2 2 1 2 0, A1存在.
2
3 3 1
2 5 2. 1
ex
2.
设A
1 2
3
2 2 4
3 1, 3
B
2 5
1 , 3
C
1 2 3
3 0, 1
求矩阵X使满足 AXB C.
Solution. 1 2 3
21
A 2 2 1 2 0, B
1 0,
53
343
A1, B1都存在.
且
A1
1 3
2
3 3
(5) A与B是互逆的.
3. 伴随矩阵
设Aij是矩阵A的行列式 A中aij的代数余子式,
A11
矩阵A*
A12
A1n
A21 A22
A2n
An1
An2
称为A的伴随矩阵.
Ann
注意：
a11 a12 AA* a21 a22
an1 an2
a1n A11
a2n
A12
ann A1n
Y AX ABY ( AB)Y , X BY BAX (BA)X , 从而可知 AB E BA, 正如数一样, 若ab ba 1,则a b1, b a1, 记B A1, 称其为逆矩阵.
二. 逆阵的定义 1. 定义 设A为n阶方阵, 若存在n阶方阵B使得AB BA E, 则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵; B是A的逆矩阵, 记为 A1 B. 2. 几点说明 (1) A,B必须是方阵;
y2
,
ani ann
xn
yn
则 Y AX (*)
当A
0时, x1
A1 A
,
x2
A2 A
,
x3
A3 A
,
, xn
An A
.
其中Aj ( j 1,2, , n)为 A中第j列元素被y1, y2, , yn 代换而成; 把 A1 , A2 , An 按1,2, , n列展开得
(3) AA1 E, ( AA1) E,即( A1 )A E,
( A)1 ( A1 ).
(4) AA1 E,
A A1 E,
(A)1 A1 .
注 : ( A B)1 A1 B1
(5) AB A B 0, AB可逆,
且AB B1A1 A BB1 A1 AEA1 AA1 E,
证明 若 A 可逆，即有A1使AA1 E .
故 AA1 A A1 E 1, 所以 A 0. 若 A 0, AA A A A E A A A A E,
AA 按逆矩阵的定义得A可逆,且 A1 A .
A
注意：A可逆 A为非奇异矩阵. 定理2. 设A, B是n阶方阵, 若AB E,则A, B都可逆, 且
x1 b11 y1 b12 y2 b1n yn
b11
x2 b21 y1 b22 y2 b2n yn
B
b21
xn bn1 y1 bn2 y2 bnn yn
bn1
b1i b1n
b2i
b2n
bni bnn
则 X BY来自百度文库 (**)
(**)称为(*)的逆变换.
Chapter 1(3) 逆阵与分块矩阵
教学要求：
1. 了解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可 逆的充要条件;
2. 理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆;
3. 了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则.
一. 逆阵的引入 二. 逆阵的定义 三. 逆阵的性质 四. 例题分析 五. 分块矩阵的讨论
(2) 若A的逆矩阵存在, 则必唯一;
设B1, B2是A的逆矩阵, 则AB1 B1 A E, AB2 B2 A E, 而 B1 B1E B1( AB2 ) ( B1 A)B2 EB2 B2 .
(3) 若A的逆矩阵存在,则记为A1.从而AA1 E;
(4) A1 1 , AA1 1; A