逆矩阵与分块矩阵
逆矩阵及矩阵的分块
03 逆矩阵的应用
在线性方程组中的应用
线性方程组的求解
通过使用逆矩阵，可以方便地求解线性方程组。具体来说，如果一个线性方程组可以写成 Ax=b的形式，其中A是系数矩阵，x和b是向量，那么方程组的解可以通过计算A的逆矩 阵乘以b得到。
唯一解的条件
当系数矩阵A是可逆矩阵时，线性方程组有唯一解。此时，可以通过计算A的逆矩阵来求 解方程组。
提取重要信息
通过分块，可以突出矩阵 中的重要元素，便于观察 和分析。
应用广泛
矩阵分块在许多领域都有 应用，如线性代数、数值 分析、控制系统等。
矩阵分块的方法
按行分块
将矩阵按行划分成若干个子矩 阵。
按列分块
将矩阵按列划分成若干个子矩 阵。
按主对角线分块
将矩阵沿主对角线划分成若干 个子矩阵。
按次对角线分块
解的稳定性
使用逆矩阵求解线性方程组时，需要注意解的稳定性问题。如果A的逆矩阵计算不精确， 可能会导致解的误差较大。因此，在实际应用中，需要采用适当的算法和计算方法来提高 解的精度和稳定性。
在矩阵分解中的应用
矩阵分解
逆矩阵在矩阵分解中有重要的应用。例如，LU分解、QR分解和奇异值分解等都需要用 到逆矩阵的概念。通过这些分解，可以将一个复杂的矩阵分解为几个简单的组成部分，
02
逆矩阵要求原矩阵是可逆的，即行列式不为零，而分块矩阵则
没有这个限制。
逆矩阵是一种运算过程，而分块矩阵是一种矩阵的表示方式。
03
逆矩阵和分块矩阵的互补性
逆矩阵和分块矩阵在解决线性代数问题时可以相互补充。
在处理一些复杂的线性代数问题时，可以先通过分块矩阵将原问题分解为若干个子问题，再利用逆矩阵 解决子问题。
求解逆矩阵的常用三种方法
求解逆矩阵的常用三种方法逆矩阵是线性代数中一个非常重要的概念，它在解线性方程组、求解矩阵方程等问题中具有重要作用。
本文将介绍解逆矩阵的三种常用方法：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
方法一：伴随矩阵法伴随矩阵法是一种直接求解逆矩阵的方法。
对于一个n阶方阵A，它的伴随矩阵记为adj(A)。
首先，计算矩阵A的代数余子式构成的余子式矩阵A*，即A* = [Cij]，其中Cij是A的元素a_ij的代数余子式。
然后，将A*的转置矩阵记为adj(A)。
最后，计算逆矩阵A^-1 = adj(A) /det(A)，其中det(A)是矩阵A的行列式。
方法二：初等变换法初等变换法是通过一系列的初等行变换将矩阵A变为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同的变换，得到的矩阵就是原矩阵A的逆矩阵。
初等变换包括以下三种操作：1.对其中一行(列)乘以非零常数；2.交换两行(列)；3.其中一行(列)乘以非零常数加到另一行(列)上。
具体步骤如下：1.构造增广矩阵[A，I]，其中A是待求逆矩阵，I是单位矩阵；2.对增广矩阵进行初等行变换，使左侧的矩阵部分变为单位矩阵，右侧的部分就是待求的逆矩阵；3.如果左侧的矩阵部分无法变为单位矩阵，则矩阵A没有逆矩阵。
方法三：分块矩阵法当矩阵A有一些特殊的结构时，可以使用分块矩阵法来求解逆矩阵。
例如，当A是一个分块对角矩阵时，可以按照分块的大小和位置将其分解为几个小矩阵，然后利用分块矩阵的性质求解逆矩阵。
具体步骤如下：1.将方阵A进行分块，例如，将A分为4个分块：A=[A11A12;A21A22]；2.根据分块矩阵的性质，逆矩阵也是可以分块的，即A的逆矩阵为A^-1=[B11B12;B21B22]；3.通过求解分块矩阵的逆矩阵，可以得到原矩阵的逆矩阵。
以上就是解逆矩阵的常用三种方法：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
无论是在理论研究还是在实际应用中，这些方法都具有重要的作用。
在求逆矩阵时，我们可以根据具体的情况选择合适的方法，以获得高效、准确的计算结果。
逆矩阵与分块矩阵
A A .
例：A3 A2 A1 A1 A1 AA A32 A1
（2）若 A a a 0, 则A1存在， A1 1 .
a
6
第五讲：逆矩阵与分块矩阵
4.逆矩阵的计算举例
（1）求逆矩阵 例1 求方阵
A
1 2
2 2
3）可交换性： 若 AB E（或 BA E），则B A1.
证 A B E 1, 所以 A 0, 因而 A1存在，于是
B EB A1 A B A1AB A1E A1.
3.逆矩阵的运算规律： 方阵的逆矩阵满足下述运算规律
（i）若 A 可逆，则 A1 也可逆，且 A1 1 A.
证 AT A1 T A1 A T E T E, 所以有 AT 1 A1 T .
注（1）：方阵的幂的拓展
当 A 0时，还可定义 A0 E, Ak A1 k ,
这样，当 A 0 ，λ，μ均为整数时，有
A A A ,
x2
a2n
x
n
yn an1x1 an2 x2 ann xn
（1）
它的系数矩阵是一个 n 阶矩阵 A , 若记
则线性变换（1）可记作Y AX.源自 x1 X
xxn2 ,
（2）
y1
Y
yyn2 ,
3 1
逆矩阵.
教材例11
3 4 3
根据求逆矩阵的定理，由 此可见，求逆矩阵的运算 量是很大的。这在后面还 有更好的办法可以解决。
123
解 A 2 2 1 2 0, 则 A1 存在.
矩阵的逆及分块
在上述分块对角矩阵中 如果A可逆则
A11 A2 1 A1 1 As
5 0 0 例 2 设 A 0 3 1 求 A1 0 2 1
解 解
5 0 0 A O A 0 3 1 1 0 2 1 O A2 A1 (5) A11 1 A2 3 2 5
(4)若A可逆 则AT也可逆 且(AT )1(A1)T
§3 矩阵分块法
对于行数和列数较高的矩阵A 运算时常采用分块法 使 大矩阵的运算化成小矩阵的运算 将矩阵A用若干条纵线和横 线分成许多个小矩阵 每一个小矩阵称为A的子块 以子块为 元素的形式上的矩阵称为分块矩阵
第5讲：逆矩阵,分块矩阵
a1 j a2 j 其中 j 为A的第 j个列向量 ( j 1, 2, , n) am j
统计软件分析与应用
线性代数A
2.3-2.5分块矩阵、初等矩阵、逆矩阵
二、分块矩阵的运算规则
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 类似，但要注意：进行运算的各矩阵的分块应满 足彼此能进行运算的要求. （1）对同型矩阵 A, B 采用相同的分块法，
统计软件分析与应用
线性代数A
2.3-2.5分块矩阵、初等矩阵、逆矩阵
例: 设 AT A O, 证明 A O .
证: 设A (ai j )mn , 将 A按列分块为 A ( 1 , 2 ,, n ),
1T 1T 1 1T 2 1T n T T T T 2 2 1 2 2 2 n T A A ( 1 , 2 , , n ) , T T T T n n n n 2 n 1
A11 A1r B11 B1 r 其中 A 与 A , B , ij A A B B sr sr s1 s1 A11 B11 A1r B1 r Bi j同型, 则 A B . A B Asr Bsr s1 s1
（A1 , A2 ,…, As 都为方阵）的矩阵称为分块对角矩阵 简记为 A diag A1 , A2 , , As . （或准对角矩阵）；
其行列式 A A1 A2 As .
统计软件分析与应用
线性代数A
2.3-2.5分块矩阵、初等矩阵、逆矩阵
线性代数五：逆矩阵、伴随矩阵、分块矩阵的概念及其性质
线性代数五：逆矩阵、伴随矩阵、分块矩阵的概念及其性质⼀、逆矩阵、伴随矩阵的概念和性质
1、矩阵的逆
2.伴随矩阵
3.逆矩阵的性质，及与伴随矩阵、转置矩阵的⽐较
从性质5可以看出：如果转置、伴随、逆矩阵在⼀起的运算时，随便先做哪个运算，结果都是⼀样的。
⼆、求逆矩阵
1.求逆的三个⽅法
2.常⽤的⼏个求逆公式
3.证明可逆
三、分块矩阵
1.分块矩阵的概念
按任意垂直线分块，⼀般没什么意义：
按⾏或列分块，是有意义的，代表了⾏或列向量：
AB=0的推论：
2.分块矩阵的运算
分块矩阵的加法、数乘、乘法运算：
分块矩阵，求转置矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、⾏列式、幂：。
线性代数4.逆矩阵、分块矩阵
0
0
B2
As 0 0
0 A1B1 0
0
0
A2 B2
Bs
0
0
0
0
.
As
Bs
A1 0
0
A2
0
0
0 k
0
A1k
0
0 A2k
As
0 0
0
0
（k为正整数）
Ask
26
性质3 若A1 , A2 , As 都可逆，
A1
则A
A2
也可逆，且有：
As
A11
A1
A
3
1
5
的逆矩阵.
3 2 3
解：| A | = 1，
M11 7, M12 6, M13 3, M21 4, M22 3, M23 2, M31 9, M32 7, M33 4,
7 4 9
则
A1
|
1 A* A|
A*
6 3
3
7
2 4
6
二、可逆矩阵的运算性质
1 若A可逆,则A1亦可逆,且 A1 1 A.
As1B11
A1t Bt1 Ast Bt1
A11B1r As1B1r
A1t Btr
Ast Btr
21
1 0 0 0 1 0 1 0
例
设A
0 1
1 2
0 1
0 0
,
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,求
AB.
1
1
0
1
1
1
2
0
解
1 0 0 0 1 0 1 0
A1r
矩阵分块法求逆矩阵的公式
矩阵分块法求逆矩阵的公式矩阵分块法在处理大型矩阵运算时可是个超级实用的技巧，尤其是在求逆矩阵的时候。
咱先来说说啥是矩阵分块法。
想象一下，一个大大的矩阵就像一个大操场，我们把它分成几块小区域，每一块就像是操场上的不同活动区域，比如足球场、篮球场、跑道啥的。
这样分块之后，处理起来就方便多啦。
比如说，有一个大矩阵 A ，咱把它分成四块 A11、A12、A21、A22 。
然后呢，要是这个分块后的矩阵满足一定的条件，咱们就能用一些特别的公式来求它的逆矩阵啦。
那求逆矩阵的公式是啥呢？假设分块矩阵 M 是这样的：\[M = \begin{pmatrix}A &B \\C & D\end{pmatrix}\]如果 A 是可逆矩阵，并且 A 的逆矩阵 A^(-1) 存在，同时满足一个特定的条件（这个条件是啥呢？就是矩阵 AD - BC 可逆），那么 M 的逆矩阵 M^(-1) 就可以表示为：\[M^{-1} = \begin{pmatrix}(A - BD^{-1}C)^{-1} & -A^{-1}B(D - CA^{-1}B)^{-1} \\-(D - CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & (D - CA^{-1}B)^{-1}\end{pmatrix}\]这公式看起来有点复杂，是吧？但咱别害怕，多做几道题，多练习练习，就能慢慢掌握啦。
我记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个学生小周，一开始怎么都理解不了。
我就给他举了个特别形象的例子。
假设咱们有一个学校，学校里有不同的班级。
A 班级的同学成绩都很好，B 班级的同学成绩稍微差一点，C 班级的同学体育特别强，D 班级的同学艺术方面很出色。
我们把这四个班级看作是矩阵的四块。
然后呢，要计算整个学校在某次综合评比中的“逆表现”（就相当于求逆矩阵），就得考虑每个班级的特点以及它们之间的关系。
小周一开始听得云里雾里的，后来我让他把每个班级想象成一个具体的数字或者分数，再去套公式，慢慢地他就开窍啦。
分块矩阵的逆矩阵 和原矩阵逆矩阵
标题：分块矩阵的逆矩阵与原矩阵逆矩阵1.概述分块矩阵是指将一个矩阵按行或列分割成多个子矩阵，常用于简化复杂的线性方程组的求解问题。
在矩阵运算中，矩阵的逆矩阵是一个重要的概念，它在解决线性方程组、矩阵方程和求解特征值等问题中发挥着重要作用。
分块矩阵的逆矩阵和原矩阵的逆矩阵是矩阵理论中的重要内容，本文将对此进行详细的探讨。
2.分块矩阵的逆矩阵2.1分块矩阵的定义分块矩阵是将一个大矩阵按行或列分割成多个小矩阵的形式，通常用子矩阵的形式表示。
一个矩阵可以被分割成四个子矩阵的形式，即： A = [A11 A12][A21 A22]其中，A11、A12、A21、A22为子矩阵。
2.2分块矩阵的逆矩阵对于分块矩阵A的逆矩阵A^-1，有以下性质：若A可分块为A=[A11 A12; A21 A22]，且A11和A22可逆，则A可逆的充要条件是A11和A22都可逆，并且存在逆矩阵A^-1=[B11 B12; B21 B22]。
具体而言，A可逆的充要条件是A11和A22都可逆，反之亦然。
并且可以通过分块矩阵的形式求得A的逆矩阵A^-1。
2.3分块矩阵逆的计算方法分块矩阵的逆矩阵的计算方法大致为：- 计算A11的逆B11和A22的逆B22；- 利用B11、B22和A12、A21计算出B12和B21；- 最终得到A的逆矩阵A^-1=[B11 B12; B21 B22]。
3.原矩阵的逆矩阵3.1原矩阵的逆矩阵定义在矩阵运算中，矩阵A的逆矩阵表示为A^-1，它满足矩阵A与其逆矩阵的乘积为单位矩阵：AA^-1=I。
若矩阵A存在逆矩阵，则称矩阵A为可逆矩阵，也称为非奇异矩阵。
3.2原矩阵逆的求解方法计算原矩阵的逆矩阵可以通过多种方法，其中包括高斯消元法、伴随矩阵法、逆矩阵的初等变换法等。
这些方法都是为了求得原矩阵的逆矩阵，从而解决线性方程组、矩阵方程和求解特征值等问题。
4.分块矩阵的逆矩阵与原矩阵的逆矩阵的关系4.1逆矩阵的性质对于分块矩阵A的逆矩阵A^-1和原矩阵A的逆矩阵A^-1，它们有以下关系：- 若A可逆，则A的逆矩阵A^-1亦可逆，且(A^-1)^-1=A。
分块矩阵求逆矩阵的公式
分块矩阵求逆矩阵的公式在我们探索数学的奇妙世界时，分块矩阵求逆矩阵的公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开复杂问题的大门。
先来说说啥是分块矩阵吧。
想象一下，一个大大的矩阵被我们分成了几个小块，就像一块大拼图被分成了几块小拼图。
每个小块都有自己的特点和规律。
分块矩阵求逆矩阵的公式就像是一个魔法咒语，能让我们在处理这些分块矩阵时变得轻松许多。
比如说，有一个分块矩阵是这样的：\[\begin{pmatrix}A &B \\C & D\end{pmatrix}\] 其中 \(A\) 是可逆矩阵， \(D - CA^{-1}B\) 也可逆。
那它的逆矩阵公式就是：\[\begin{pmatrix}A^{-1} + A^{-1}B(D - CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}B(D -CA^{-1}B)^{-1} \\-(D - CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & (D - CA^{-1}B)^{-1}\end{pmatrix}\] 是不是看起来有点复杂？别担心，咱们慢慢理解。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这咋这么难啊，感觉像一团乱麻。
”我笑着跟他说：“别着急，咱们一点点来，就像解一个复杂的谜题，每一步都是线索。
”然后我就带着他们一步一步地推导，从最基础的矩阵运算开始，慢慢地，他们眼中的迷茫逐渐消失，取而代之的是那种恍然大悟的神情。
在实际应用中，分块矩阵求逆矩阵的公式用处可大了。
比如说在处理大型的线性方程组时，如果能巧妙地将矩阵分块，再运用这个公式，就能大大简化计算过程，节省时间和精力。
咱们再回到这个公式，要想熟练掌握它，得多做练习题。
通过不断地练习，才能真正理解每个部分的含义和作用。
总之，分块矩阵求逆矩阵的公式虽然有点复杂，但只要我们有耐心，多思考，多练习，就一定能掌握它，让它成为我们解决数学问题的有力工具。
逆矩阵与分块矩阵谷风教育
a21 x1
a22
x2
a2n xn b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
a11 a12 的系数行列式不等于零，即 D a21 a22
a1n a2n 0
软件网络
an1 an2
ann
32
那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成
x1
D1 D
,
x2
D2 D
amn
T m
软件网络
, n .
23
于是设 A 为 ms 矩阵，B 为 s n 矩阵，
若把 A 按行分块，把 B 按列块，则
C
(cij
)mn
AB
1T
T 2
1, 2,
T m
, n
1T
T 2
1 1
1T
T 2
2 2
T m
1
T m
2
1T
T 2
n n
T m
n
cij
T i
j
ai1, ai2 ,
b
a
软件网络
6
2 2 1
例：求3阶方阵
A
3
1
5
的逆矩阵.
3 2 3
解：| A | = 1， M11 7, M12 6, M13 3, M21 4, M22 3, M23 2, M31 9, M32 7, M33 4,
则
A1
|
1 A|
A*
A*
A11 A12 A13
A21 A22 A23
即 A= O．
a1 j
, amj
a2
j
a1 j 2
a2 j2
amj2 0
第五讲 逆矩阵及分块矩阵
2a + c = 1, 2b + d = 0, ⇒ − a = 0, − b = 1,
又因为
a = 0, b = −1, ⇒ c = 1, d = 2.
AB
BA
2 1 0 − 1 0 − 1 2 1 1 0 , = = − 1 0 1 2 1 2 − 1 0 0 1
cofA转置矩阵为 的伴随矩阵，记为∗或者 A的伴随矩阵， A adjA 并称
A 11 A 12 ∗ 即： A = ⋮ A 1n A21 ⋯ An1 A22 ⋯ An2 ⋮ ⋮ A2n ⋯ Ann
A∗ = (cofA)T
A 1 阶方阵， 的伴随矩阵， 定理 ：A为n阶方阵， ∗为A的伴随矩阵，则有 AA∗ = A∗ A = A E
的逆矩阵， 判断B是否为A的逆矩阵，
只需验证AB = E和BA = E中的一个即可
证明： 都可逆， 例5：设方阵 A满足A 2 − 3 A − 10 E = 0, 证明： A, A − 4 E都可逆， 并求它们的逆矩阵
证：由A − 3 A − 10 E = 0
2
A( A − 3 E )] 10 下证： 下证： A − 4 E 由A 2 − 3 A − 10 E = 0
( A − 4 E )( A + E ) = 6 E 1 ( A − 4 E )[ ( A + E )] = E 6 1 －1 (A 故： − 4 E ) ＝[ ( A + E )] 6
− 可逆， 也可逆， 如果 A 可逆，则 A −1也可逆，且（ A −1）1 = A
可逆， 也可逆且（ 如果A可逆，数 λ ≠ 0，则λ A也可逆且（ λ A)
[理学]逆矩阵和分块矩阵_OK
![[理学]逆矩阵和分块矩阵_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/507b9906f61fb7360a4c65b5.png)
于是 X A1CB1 E
1 3 2
1
3 3 1
2 1 5 2 2 1 3
03 1
3 5
1 2
1 1
2 1
0
0
2 2
3 5
曲2线1积分与曲面积1分100
4. 4
19
例5 设A为n阶方阵，适合
A4 3A3 6A2 11A 2E 0 求证：A为可逆矩阵，且求出A1
8
推论 若AB E或BA E ,则B A1.
证明 A B E 1, 故 A 0,
因而A1存在, 于是
B EB A1A B A1AB
A1 E A1
证毕
逆矩阵的运算性质
1 若A可逆,则A1亦可逆,且 A1 1 A.
曲线积分与曲面积分
9
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
3 若A, B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且
AB 1 B1 A 1
证明 AB B1A1 A BB1 A1
AEA1 AA1 E,
AB1 B1A1.
曲线积分与曲面积分
10
推广 A1 A2 Am 1 Am1 A21 A1.1
4 若A可逆,则AT亦可逆 ,且 AT 1 A1 T. 证明 AT A1 T A1A T E T E,
故 A A1 E 1, 所以A 0. 当 A 0时,
曲线积分与曲面积分
6
当 A 0时,
AA
a11 a12
a21 a22 a11 A11
a1n a2n
a12 A12
A11 A12
A21
A22 a1n A1n
An1 An2 A
aann11Ana1n2 an2 Aann2n A1n aAnn2nAnn AAnn
逆矩阵-分块矩阵
逆矩阵-分块矩阵逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，它是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
逆矩阵在求解线性方程组、求解行列式、计算特征值等方面有重要应用，因此研究逆矩阵的性质及其计算方法是线性代数中的重要内容。
分块矩阵是指将一个矩阵按照一定的规则划分成多个小块的矩阵。
分块矩阵在矩阵运算中有很大的便利，在求解高维线性方程组、矩阵分解、计算特殊矩阵的特征值等问题中具有广泛的应用。
本文将介绍逆矩阵和分块矩阵的基本概念和性质，并介绍如何在分块矩阵中求逆矩阵。
逆矩阵的定义和性质对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^-1。
逆矩阵的存在与唯一性定理表明，对于一个可逆矩阵A，其逆矩阵存在且唯一。
下面是一些逆矩阵的性质：1. (A^-1)^-1=A3. (A^T)^-1=(A^-1)^T，其中A为可逆矩阵。
4. 若A为可逆矩阵，则|A|≠0。
5. 若A和B都是可逆矩阵，则A+B和AB都是可逆矩阵。
求逆矩阵的方法求解逆矩阵的常见方法是高斯-约旦消元法和伴随矩阵法。
高斯-约旦消元法是通过矩阵初等变换将矩阵A转换为单位矩阵I，但这种方法的计算量比较大，不适合求解大型矩阵的逆矩阵。
伴随矩阵法可以较为简单地求解逆矩阵。
对于一个n阶可逆矩阵A，其伴随矩阵的定义如下：设A为一个n阶可逆矩阵，其余子式为Aij，则置Mij为(-1)^{i+j}Aij，称M为A的伴随矩阵。
则A的逆矩阵为A^-1=1/|A|M^T，其中|A|为A的行列式。
例如，对于一个2阶矩阵A=[a11,a12;a21,a22]，其伴随矩阵为M=[a22,-a12;-a21,a11]，则A的逆矩阵为分块矩阵是将一个矩阵按照一定规则划分成多个小块的矩阵。
例如，对于一个4阶矩阵A，可以按照以下方式划分成4个2阶矩阵：A=[A11,A12;A21,A22]其中A11、A12、A21、A22均为2阶矩阵。
分块矩阵逆矩阵公式
分块矩阵逆矩阵公式分块矩阵逆矩阵是指将一个大的矩阵划分成多个小的矩阵，并对它们进行求逆操作得到整个矩阵的逆矩阵。
分块矩阵逆矩阵的求解可以用到很多公式和算法，在本文中，我们将会介绍其中的一些常用的公式和算法。
1. 矩阵分块首先，我们需要了解矩阵分块的概念。
矩阵分块是将一个大的矩阵划分成多个小的矩阵的过程。
这些小的矩阵可以是行向量或列向量，也可以是子矩阵。
矩阵的分块有很多种方法，其中比较常用的是二分法和多分法。
例如，将一个 $4 \times 4$ 的矩阵分成四个 $2 \times 2$ 的子矩阵，可以表示为：$$\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{pmatrix}$$其中 $A_{11}, A_{12}, A_{21}, A_{22}$ 分别是四个 $2 \times 2$ 的子矩阵。
2. 矩阵的秩接着，我们需要了解矩阵的秩的概念。
矩阵的秩定义为矩阵中非零行的最大个数或者矩阵中非零列的最大个数。
对于任意一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$，其秩为 $r(A)$。
3. 矩阵的逆矩阵矩阵的逆矩阵是指一个矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 满足以下条件：$$A A^{-1} = A^{-1} A = I$$其中 $I$ 是单位矩阵。
注意，只有可逆矩阵才有逆矩阵。
如果一个矩阵不可逆，则称其为奇异矩阵。
4. 矩阵的分块逆矩阵公式对于大的矩阵的求逆，我们可以通过对其进行分块并应用一些公式和算法来实现。
常见的分块逆矩阵公式有以下几种：- 逆矩阵的分块公式对于一个分块矩阵：$$A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{pmatrix}$$如果 $A_{11}$ 是可逆矩阵，则它的逆矩阵为：$$A^{-1}=\begin{pmatrix} (A_{11}-A_{12} A_{22}^{-1}A_{21})^{-1} & -(A_{11}-A_{12} A_{22}^{-1} A_{21})^{-1} A_{12} A_{22}^{-1} \\ -A_{22}^{-1} A_{21} (A_{11}-A_{12} A_{22}^{-1} A_{21})^{-1} & A_{22}^{-1} + A_{22}^{-1}A_{21} (A_{11}-A_{12} A_{22}^{-1} A_{21})^{-1} A_{12}A_{22}^{-1} \end{pmatrix}$$其中 $A_{11} - A_{12} A_{22}^{-1} A_{21}$ 是一个 $k \times k$ 的可逆矩阵，$A_{22}^{-1}$ 是一个 $(n-k) \times (n-k)$ 的可逆矩阵。
分块矩阵逆矩阵的求法
分块矩阵逆矩阵的求法矩阵的逆矩阵是线性代数中一个重要的概念。
在实际应用中，分块矩阵逆矩阵的求法也是经常遇到的问题。
本文将介绍分块矩阵逆矩阵的求法，并通过实例进行说明。
一、分块矩阵的定义和性质分块矩阵是指将一个大的矩阵按照某种规则进行划分，形成多个小的子矩阵，并将这些子矩阵按照一定的顺序排列在一个大的矩阵中。
分块矩阵的逆矩阵的求法与普通矩阵逆矩阵的求法有很大的不同。
对于普通的矩阵，可以使用行列式和伴随矩阵的方法求解。
但是对于分块矩阵，由于其特殊的结构，不能直接使用普通矩阵的逆矩阵求法。
二、分块矩阵逆矩阵的求法分块矩阵逆矩阵的求法可以分为两种情况：一种是分块对角矩阵的逆矩阵求法，另一种是一般分块矩阵的逆矩阵求法。
1. 分块对角矩阵的逆矩阵求法分块对角矩阵是指矩阵的主对角线上的每个元素都是一个分块矩阵。
对于分块对角矩阵，其逆矩阵的求法相对简单。
只需要对每个分块矩阵求逆，然后按照与原矩阵相同的分块方式重新组合即可得到逆矩阵。
2. 一般分块矩阵的逆矩阵求法一般分块矩阵的逆矩阵求法比较复杂，需要使用到分块矩阵的性质和一些特殊的运算。
具体求法如下：（1）将一般分块矩阵表示为A = [A11, A12; A21, A22]，其中A11、A12、A21、A22都是分块矩阵。
（2）首先求解A11的逆矩阵A11^(-1)。
（3）计算A22 - A21A11^(-1)A12，记为M = A22 - A21A11^(-1)A12。
（4）求解M的逆矩阵M^(-1)。
（5）计算分块矩阵的逆矩阵A^(-1) = [A11^(-1) + A11^(-1)A12M^(-1)A21A11^(-1), -A11^(-1)A12M^(-1); -M^(-1)A21A11^(-1), M^(-1)]。
三、实例分析为了更好地理解分块矩阵逆矩阵的求法，下面通过一个实例进行说明。
设分块矩阵A = [A11, A12; A21, A22]，其中A11 = [1, 2; 3, 4]，A12 = [5; 6]，A21 = [7, 8]，A22 = 9。
分块矩阵的逆矩阵
分块矩阵的逆矩阵简介在线性代数中，分块矩阵是指将一个矩阵分割成多个子矩阵，并按照一定规则重新排列子矩阵的矩阵。
而分块矩阵的逆矩阵指的是对于一个分块矩阵，通过某种方法求得其逆矩阵的操作。
本文将介绍分块矩阵的定义和性质，以及求解分块矩阵逆的方法。
分块矩阵的定义分块矩阵的定义非常直观，就是将一个矩阵分割成若干个子矩阵，并按照一定规则重新排列子矩阵的矩阵。
通常来说，分块矩阵可以按照行分块和列分块两种方式进行。
对于一个矩阵A，它的分块形式可以表示为：A = [A11 A12 A21 A22]其中A11, A12, A21, A22是矩阵A的子矩阵。
分块矩阵逆矩阵的性质分块矩阵的逆矩阵具有一些特殊的性质：1.若矩阵A的分块形式为A = [A11 A12; A21 A22]，且矩阵A和A22的逆矩阵都存在，则分块矩阵的逆矩阵可以表示为： A^-1 = [M^-1 -M^-1 * A12 * A22-1; -A22-1 * A21 * M^-1 A22^-1 + A22^-1 * A21 * M^-1 * A12 * A22^-1] 其中M = (A11 - A12 * A22^-1 * A21)^-12.分块矩阵的逆矩阵与其逆子矩阵之间存在关系： (A^-1)11 = (M^-1)11 - (M^-1)11 * A12 * (A22-1)11 (A-1)12 = -(M^-1)11 * A12 * (A22-1)12 (A-1)21 =-(A22^-1)21 * (M-1)11 (A-1)22 = (A22^-1)21 * (M^-1)11 * A12 * (A22^-1)12 + (A22^-1)223.若矩阵B和C为可逆矩阵，则矩阵D = [B C]的逆矩阵可以表示为：D^-1 = [B^-1 + B^-1 * C * E * B^-1 -B^-1 * C * E; -E * B^-1 E]其中E = (C - D * B)^-1求解分块矩阵逆的方法对于一个给定的分块矩阵A，我们可以使用以下方法来求解其逆矩阵：1.利用分块矩阵逆的性质，将分块矩阵A转化为逆子矩阵的形式，并利用逆子矩阵的性质进一步简化计算。
分块矩阵逆矩阵公式
分块矩阵逆矩阵公式
分块矩阵的逆矩阵公式用于计算形如二维分块矩阵的逆矩阵。
具体而言，如果我们有一个如下形式的2x2分块矩阵：
css
Copy code
M = [A B]
[C D]
其中，A, B, C, D都是矩阵，那么M的逆矩阵M^(-1)可以通过以下公式计算：
scss
Copy code
M^(-1) = [A' B']
[C' D']
其中：
mathematica
Copy code
A' = (A - B * D^(-1) * C)^(-1)
B' = -A' * B * D^(-1)
C' = -D^(-1) * C * A'
D' = D^(-1) + D^(-1) * C * A' * B * D^(-1)
这个公式假设A和D都是可逆的，且 (A - B * D^(-1) * C) 也是可逆的。
如果这些条件不满足，那么分块矩阵可能没有逆矩阵。
使用这个公式的优点是，如果矩阵A和D相比于原始的矩阵M要小很多，那么计算分块矩阵的逆矩阵可能比直接计算原始矩阵的逆矩阵要快。
此外，这个公式也可以用于理论分析，帮助我们理解矩阵的逆矩阵和矩阵的各个部分之间的关系。
然而，应该注意的是，使用分块矩阵逆矩阵公式并不总是最有效的方法来计算矩阵的逆。
在某些情况下，例如当矩阵的大小不是很大，或者矩阵的结构不适合分块时，直接使用通用的矩阵逆矩阵算法，例如高斯消元法，可能更有效。
因此，应该根据具体的情况和需求来选择最合适的方法。
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An1
An2
L
Ann
答：不是．伴随矩阵的元素是代数余子式 （一个数），而不是矩阵．
问题二：为什么提出矩阵分块法？
答：对于行数和列数较高的矩阵 A，运算时 采用分块法，
可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算， 体现了化整为零的思想.
分块矩阵的加法
A
a11 a21
A1aa1 1222
yn an1 x1 an2 x2 L ann xn
的系数矩阵是一个n 阶方阵 A ，若记
x1
y1
X
x2
M
,
Y
y2
M
xn
yn
则上述线性变换可记作 Y = AX .
2 2 1
例：设线性变换的系数矩阵是一个
定义： n 阶方阵 A 称为可逆的，如果有 n 阶方阵 B，使得
AB BA E
这里 E 是 n 阶单位矩阵.
Ø根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式. Ø对于任意的 n 阶方阵 A，适合上述等式的矩阵 B 是唯 一的（如果有的话）.
定义： 如果矩阵 B 满足上述等式，那么 B 就称为 A 的逆矩阵， 记作 A－1 .
例：求二阶矩阵
A
a c
b d
的逆矩阵.
A1
ad
1
bc
d c
b
a
2 2 1
例：求3阶方阵
A
3
1
5
的逆矩阵.
3 2 3
解：| A | = 1， M11 7, M12 6, M13 3, M21 4, M22 3, M23 2, M31 9, M32 7, M33 4,
L
A1n
A21 L A22 L LL A2n L
An1
An
2
L
Ann
定理：若| A | 0 ，则方阵A可逆，而且 A1 1 A* . | A|
推论：若| A | 0 ，则 | A1 | 1 . | A|
元素 aij 的代数 余子式 Aij 位于
第 j 行第 i 列
3
阶方阵
A
3
1
5
3 2 3
x1
y1
记
X
x2
,
Y
y2
,
x3
y3
则上述线性变换可记作 Y = AX ． 求变量 y1, y2, y3 到变量 x1, x2, x3的线性变换相当于求方阵 A 的逆矩阵.
7 4 9
b12 b22
a31 Ab3211 aB321 b32
a13 a23
则
A1
|
1 A|
A*A* Nhomakorabea
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31
A32
A33
M11 M21 M31 7 4 9
M
12
M 22
M 32
6
3
7
M13 M23 M33 3 2 4
下面要解决的问题是： •在什么条件下，方阵 A 是可逆的？ •如果 A 可逆，怎样求 A－1 ？
结论：AA* A* A | A | E，其中
a11 a12 L
A
a21
a22
L
L L L
an1 an2 L
a1n
a2n
L
ann
A11
A*
A12
这是2阶
方阵吗？
a11
A
a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14
a24
a34
A11 A21
A12
A22
思考题
伴随矩阵是分块矩阵吗？
A11
A
A12 L
A1n
A21 L A22 L LL A2n L
a31 A2a1 32
aa1233A12aa1244
,
B
b11 b21
B1bb1 1222
a33A22a34
b31 B2b1 32
bb1233B12bb1244
b33B22b34
A
B
a11 a21
bbA121111
aaB121221
第二章 矩阵及其运算
逆矩阵
•矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算. •矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？ •这就是本节所要讨论的问题. •这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵.
对于 n 阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵 A，都有
An En En An An
从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地 位类似于 1 在复数中的地位． 一个复数 a ≠ 0的倒数 a－1可以 用等式 a a－1 = 1 来刻划. 类似地，我们引入
| A | 0
方阵A可逆
此时，称矩阵A 为非奇异矩阵
A1 1 A* | A|
定理：若方阵A可逆，则 | A | 0 ．
容易看出：对于n 阶方阵A、B，如果
AB E,
那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵.
推论： 如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 A1、AT 、 A( 0)
这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依次 上传.
家具的拆卸与装配
问题一：什么是矩阵分块法？
问题二：为什么提出矩阵分块法？
问题一：什么是矩阵分块法？
定义：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个 小块，这种操作称为对矩阵进行分块；
每一个小块称为矩阵的子块；
矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩
阵称为分块矩阵.
已知 A1
6
3
3
7
，于是
X
A1Y
，即
2 4
x1 x2
7 y1 6 y1
4 y2 3 y2
9 7
y3 , y3 ,
x3
3 y1 2 y2 4 y3 .
矩阵分块法
前言
由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文 件无法上传的情况，如何解决这个问题呢?
与AB也可逆，且
( A1 )1 A,
( AT )1 ( A1 )T ,
( A)1 1 A1 ,
( AB)1 B1 A1 .
y1 a11 x1 a12 x2 L a1n xn ,
线性变换
y2
a21 x1
a22 x2 L
L
a2n xn