东北大学秦皇岛分校2008高数二试题
下册东北大学高数期末考试试题
2008~2009学年第二学期试题一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1.设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =-，则[ ] (A)(0,0)3dzdx dy =-；(B) 曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的一个法向量为(3,1,1)-；(C)曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(1,0,3)；(D) 曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(3,0,1)2. 设10 (1,2,)n u n n≤<=L ，则下列级数中必收敛的是[ ](A)1n n u ∞=∑； (B)1(1)nnn u∞=-∑； (C)1n ∞= (D)21(1)nnn u∞=-∑.3. 如果81lim1=+∞→nn n a a ，则幂级数∑∞=03n n n x a [ ](A) (B)(C) (D) .4. 设Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域，则222x y z dv Ω++⎰⎰⎰= [ ] .(A) 545a π； (B) 44a π； (C) 543a π； (D) 525a π.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为 .2. 函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的全微分为 .3. 已知曲线L 为连接(1,0)和(0,1)两点的直线段，则曲线积分()Lx y ds +⎰= .4. 由曲面2243()z x y =-+与曲面22z x y =+所围立体的体积为 .5. 设∑为平面1234x y z++=在第一卦限中的部分，则曲面积分()234x y z dS ∑++⎰⎰= . 6. 设()f x 是周期为4的周期函数，它在[2,2)-上的表达式为0, 20()3, 022x f x x -≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，()f x 的Fourier 级数的和函数为()s x ，则(4)s = .三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1. 求过点1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且与平面0x y z ++=垂直的平面方程.2. 设z = f (e x sin y , x 2 + y 2), 其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.3. 设(,,)F x y z 具有连续偏导数，且对任意实数t 有(,,)F tx ty tz (,,)k t F x y z =(k 为自然数)，试证:曲面(,,)0F x y z =上任意一点的切平面相交于一定点(设在任意点处2220x y z F F F ++≠).4. 计算二重积分Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由两条抛物线y x =，2y x =所围成的闭区域.5. 将函数()arctan f x x =展开成关于x 的幂级数，并求展开式成立的区间. 四、 (8分) 设曲线积分[]⎰-+BA x dy x f ydx x f e )()(与路径无关，且21)0(=f ，求)(x f ，并求当A ，B 分别为（0，0），（1，1）时的曲线积分值.五、(8分) 计算积分222(I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是抛物面22z x y =+被平面4z =截下的有限部分的下侧.六、(8分) 3．(10分)平面通过球面x 2 + y 2 +z 2 = 4(x 2y 2z )的中心, 且垂直于直线L : 00x y z =⎧⎨+=⎩, 求平面与球面的交线在xOy 平面上的投影, 并求投影与(1,4, 1)点的最短和最长距离.七、(6分) )判断级数111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的敛散性.解答一、1. 【解】应选择C.),(),,(0000y x f y x f y x 存在只是全微分存在的必要条件，故A 是错误的。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(辽宁.文)含详解
2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) S =4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P(A ·B)=P(A) ·P(B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 V=43πR 3n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 P n (k )=C k n P k (1-p )n-k (k =0,1,2,…,n )一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合M =｛x |-3＜x ＜1|,N={x |x ≤-3},则M =⋃N (A)∅ (B) {x|x ≥-3} (C){x|x ≥1}(D){x |x ＜1|(2)若函数y=(x +1)(x-a )为偶函数，则a = (A)-2 (B) -2 (C)1 (D)2(3)圆x 2+y 2=1与直线y=kx +2没有公共点的充要条件是 (A)2,2(-∈k )(B) 3,3(-∈k )(C)k ),2()2,(+∞⋃--∞∈(D) k ),3()3,(+∞⋃--∞∈(4)已知0＜a ＜1,x =log a 2log a 3,y =,5log 21a z =loga 3,则 (A)x ＞y ＞z(B)z ＞y ＞x(C)y ＞x ＞z(D)z ＞x ＞y(5)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2),B (-1,-2),C (3,1),且2=,则顶点D 的坐标为 (A)(2,27) (B)(2,－21) (C)(3,2) (D)(1,3)(6)设P 为曲线C :y =x 2+2x +3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π，则点P 横坐标的取值范围为 (A)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1(B)[-1,0] (C)[0,1](D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21(7)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 (A)31 (B)21 (C)32 (D)43 (8)将函数y=2x +1的图象按向量a 平移得到函数y =2x +1的图象，则 (A)a =(-1,-1) (B)a =(1,-1) (C)a =(1,1) (D)a=(-1,1)(9)已知变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+,01,013,01x y x y x y 则z ＝2x+y 的最大值为第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）函数23()x y e x +=-∞+∞ 的反函数是 .（14）在体积为的球的表面上有A 、B 、C 三点，AB =1,BCA 、C 两点的球面距离为3π，则球心到平面ABC 的距离为 . （15）3621(1)()x x x++展开式中的常数项为 . （16）设(0,)2x π∈，则函数22sin 1sin 2x y x+=的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ,C ，对边的边长分别是a ,b ,c .已知2,3c C π==. （Ⅰ）若△ABCa ,b ;（Ⅱ）若sin 2sin B A =，求△ABC 的面积. （18）（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 （i ）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率; （ii ）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率. （19）（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD -A′B ′C ′D ′中，AP =BQ =b （0＜b ＜1），截面PQEF ∥A ′D ，截面PQGH ∥AD ′.（Ⅰ）证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直;（Ⅱ）证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值; （Ⅲ）若12b =，求D ′E 与平面PQEF 所成角的正弦值. （20）（本小题满分12分）已知数列{a n },{b n }是各项均为正数的等比数列，设(N*)nn nb c n a =∈. （Ⅰ）数列{c n }是否为等比数列？证明你的结论;（Ⅱ）设数列{tna n },{lnb n }的前n 项和分别为S n ,T n .若12,,21n n S n a T n ==+求数列{c n }的前n 项和.(21)（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点（0，－3）、（0，3）的距离之和等于4.设点P 的轨迹为C .(Ⅰ)写出C 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +1与C 交于A 、B 两点.k 为何值时?OB OA ⊥此时||的值是多少？(22)（本小题满分14分）设函数f (x )=ax 3+bx 2－3a 2x +1(a 、b ∈R )在x =x 1，x =x2处取得极值，且|x 1－x 2|=2. (Ⅰ)若a =1，求b 的值，并求f (x )的单调区间； (Ⅱ)若a ＞0，求b 的取值范围.2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(012)k k n kn n P k C P p k n -=-= ，，，，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}31M x x =-<<，{}3N x x =-≤，则M N = （ D ） A ．∅ B ．{}3x x -≥C ．{}1x x ≥D ．{}1x x <答案：D解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(辽宁卷_文科)(附答案,完全word版)
一般初等黉舍招生天下一致测验〔辽宁卷〕数学〔供理科考生应用〕本试卷分第一卷〔选择题〕跟第二卷〔非选择题〕两局部．第一卷 1至2页，第二卷3至4页，测验完毕后，将本试卷跟答题卡一并交回．第一卷〔选择题共60分〕参考公式：假如事情A ，B 互斥，那么球的外表积公式S4πR 2此中R 表现球的半径 球的体积公式4 P(AB)P(A)P(B)假如事情A ，B 相互独破，那么P(AB)P(A)P(B)A 在一次实验中发作的概率是P ，那么VπR 3 3假如事情 n 次独破反复实验中事情A 恰恰发作k 次的概率 k knkP n (k)CP(1p)(k01，，2，，n)此中R 表现球的半径n一、选择题：本年夜题共 12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项契合标题请求的．1．曾经明白聚集M x3x1，N xx ≤3，那么MN 〔〕xx ≥3xx ≥1xx1D ．A ．B ．C ． 2．假定函数 y (x1)(xa)为偶函数，那么a=〔 C ．1〕212A ．B ． D ． 223．圆xy1与直线ykx2不年夜众点的充要前提是〔 〕k(2，2) k(3，3) A ． B ． D ．k(∞，2)(2，∞)k(∞，3)(3，∞)C ． 10a1xlog2log3，y log5zlog21log3，那么〔 4．曾经明白， ， 〕a aa aa 2xyz zyxyxzzxy D ．A ．B ．C ． ABCD 的三个极点A(02)B(12)C(31)BC2AD ，那么极点，，且5．曾经明白四边形D 的坐标为〔，， ， ，〕A ．2，72B ．2，12C ．(3，2)D ．(1，3)2yx2x3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾歪角的取值范畴为6．设P 为曲线C ：0，，那么点P 横坐标的取值范畴为〔 4〕，1 2D ．1，12B ．10，C ．01，A ．17．4张卡片上分不写有数字 1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，那么掏出的2张卡 片上的数字之跟为奇数的概率为〔 〕 1 31 22 33 4A ．B ．C ．D ．x8．将函数y21的图象按向量 a 平移失掉函数y2x1的图象，那么〔〕A ．a (1，1)B ．a (1，1)C ．a (11)，D ．a (11)，yx1≤0，x ，y 满意束缚前提 y3x1≤0，那么z2xy 的最年夜值为〔 yx1≥0，〕9．曾经明白变量4 2 C ．1 10．一消费进程有4道工序，每道工序需求布置一人照看．现从甲、乙、丙等 排4人分不照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中布置1人，第四道工序只能从1人，那么差别的布置计划共有〔B ．36种C ．48种D ．72种4A ．B ． D ． 6名工人中安甲、丙两工人中布置 〕A ．24种15 22 211．曾经明白双曲线9ymx1(m0)的一个极点到它的一条渐近线的间隔为 m，那么〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．4ABCDABCD ，的中点，那么在空间中与三E ，F 分不为棱AACC1112．在正方体中，1 11 1 条直线AD EFCD 都订交的直线〔 ， ， 〕1 1 A ．不存在B ．有且只要两条C ．有且只要三条D ．有有数条第二卷〔非选择题共90分〕二、填空题：本年夜题共 4小题，每题4分，共16分． 2x113．函数ye(∞x ∞)的反函数是．14．在体积为43的球的外表上有A 、B ，C 三点，AB=1，BC=2，A ，C 两点的球面距3 离为ABC 的间隔为_________．，那么球心到破体 361 315．(1x)x开展式中的常数项为 ．x 222sinx1 16．设x0 ，，那么函数y 的最小值为 ．2sin2x三、解答题：本年夜题共 6小题，共74分．解容许写出笔墨阐明，证实进程或演算步调． 17．〔本小题总分值12分〕在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分不是a ，b ，c ，曾经明白c2，C ．3〔Ⅰ〕假定 △ABC 的面积即是3，求a ，b ；〔Ⅱ〕假定sinB2sinA ，求△ABC 的面积．18．〔本小题总分值12分〕某零售市场对某种商品的周贩卖量〔单元：吨〕进展统计，近来 示：100周的统计后果如下表所 2 3 4 周贩卖量 频数205030〔Ⅰ〕依照下面统计后果，求周贩卖量分不为2吨，3吨跟4吨的频率；〔Ⅱ〕假定以上述频率作为概率，且各周的贩卖量相互独破，求〔ⅰ〕4周中该种商品至多有一周的贩卖量为 〔ⅱ〕该种商品4周的贩卖量总跟至多为4吨的概率； 15吨的概率．19．〔本小题总分值12分〕如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD 中，AP=BQ=b 〔0<b<1〕，截面PQEF ∥AD ， 截面PQGH ∥AD ．D〔Ⅰ〕证实：破体PQEF 跟破体PQGH 相互垂直； CHGB〔Ⅱ〕证实：截面PQEF 跟截面PQGH 面积之跟是定值， A并求出那个值； 1 PQ 〔Ⅲ〕假定bDE 与破体PQEF 所成角的正弦值．，求 DC2FE A B20．〔本小题总分值12分〕b n *(n N )．在数列|a||b|是各项均为负数的等比数列，设， c nn n a n〔Ⅰ〕数列|c|能否为等比数列？证实你的论断；nSTa 12，S n ．假定nn|lna||lnb| 〔Ⅱ〕设数列n的前项跟分不为，求数，，n nn T n 2n1列|c|的前项跟． n n21．〔本小题总分值12分〕在破体直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，3)，(0，3)的间隔之跟即是4，设点P 的轨 迹为C ．〔Ⅰ〕写出C 的方程；〔Ⅱ〕设直线ykx1与C 交于A ，B 两点．k 为何值时 OAOB ？如今AB 的值是多少？22．〔本小题总分值14分〕322设函数f(x)axbx3ax1(a ，b R )xxxx 处获得极值，且 在，1 2x 1x2．2〔Ⅰ〕假定a1，求b 的值，并求f(x)的枯燥区间； 〔Ⅱ〕假定a0，求b 的取值范畴．一般初等黉舍招生天下一致测验〔辽宁卷〕数学〔供理科考生应用〕试题参考谜底跟评分参考一、选择题：此题考察根本常识跟根本运算．每题5分，共60分．1．D 7．C 2．C8．A3．B9．B4．C 5．A 6．A10．B 11．D 12．D二、填空题：此题考察根本常识跟根本运算．每题4分，总分值16分．1 2 3 213．y (lnx1)(x0) 14．15．35 16． 3三、解答题17．本小题要紧考察三角形的边角关联等根底常识，考察综算盘算才能．总分值12分．2 2解：〔Ⅰ〕由余弦定理得，abab4，1又由于△ABC的面积即是 3 ，因而absinC 3，得ab4 ．·······················4分22 2abab4，解得a2，b2．··············································6分ab4，联破方程组〔Ⅱ〕由正弦定理，曾经明白前提化为b2a，·························································8分2 2abab4，233 43 3联破方程组解得a ，b ．b2a，1 2 23 3因而△ABC的面积S absinC ．····················································12分18．本小题要紧考察频率、概率等根底常识，考察应用概率常识处理实践咨询题的才能．总分值12分．解：〔Ⅰ〕周贩卖量为2吨，3吨跟4吨的频率分不为0.2，0.5跟0.3．······················4分〔Ⅱ〕由题意知一周的贩卖量为概率为2吨，3吨跟4吨的频率分不为0.2，0.5跟0.3，故所求的4〔ⅰ〕P10.70.7599．···································································8分13 3 4〔ⅱ〕PC0.50.30.30.0621．···············································12分2 419．本小题要紧考察空间中的线面关联跟面面关联，解三角形等根底常识，考察空间设想能力与逻辑思想才能．总分值解法一：12分．〔Ⅰ〕证实：在正方体中，又由曾经明白可得AD AD，AD AB，PF∥ADPH∥AD，PQAB，，∥因而PHPF ，PHPQ ， 因而PH破体PQEF ．因而破体PQEF 跟破体PQGH 相互垂直．·························································4分 〔Ⅱ〕证实：由〔Ⅰ〕知PF 2AP ，PH 2PA ，又截面PQEF 跟截面PQGH 基本上矩形，且PQ=1，因而截面PQEF 跟截面PQGH 面积之跟是(2AP2PA)PQ 2，是定值．···························································8分〔Ⅲ〕解：设AD 交PF 于点N ，贯穿连接EN ， AD破体PQEF ，由于 D CC 因而∠DEN 为DE 与破体PQEF 所成的角． HB GQ A1 由于b，P ，Q ，E ，F 分不为AA ，BB ，BCAD 的中点．，因而D 2PNFE BA 3243 可知DNDE 32， ．22 43 因而sin ∠DEN．···································································12分22解法二：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD ′分不为x ，y ，z 轴的正半轴树破如图的空间直角坐标系 DF1b ，故 D －xyz ．由曾经明白得A(1，0，0)，A(1，0，1)，D(0，0，0)，D(0，0，1)，P(1，0，b)，Q(11，，b)，E(1b ，1，0)， zDCHGABB F(1b ，0，0)G(b ，11)，H(b ，0，1)．， ， C PQ 〔Ⅰ〕证实：在所树破的坐标系中，可得DFyEA PQ(010)，，，PF(b ，0，b)， xPH(b101，，b)，AD(101)，，，AD(10，，1)．ADPQ0ADPF0，由于AD 是破体PQEF 的法向量．，因而由于ADPQ0ADPH0，因而，AD 是破体PQGH 的法向量．由于ADAD0，因而ADAD ，因而破体PQEF 跟破体PQGH 相互垂直．···························································4分 〔Ⅱ〕证实：由于EF(0，10)，，因而EF ∥PQ ，EF=PQ ，又PFPQ ，因而PQEF 为矩形，同理PQGH 为矩形． 在所树破的坐标系中可求得 PH 2(1b)，PF 2b ，因而PHPF 2，又PQ1，因而截面PQEF 跟截面PQGH 面积之跟为2，是定值．·······································8分 〔Ⅲ〕解：由〔Ⅰ〕知AD(101)，，是破体PQEF 的法向量． PAA 中点可知，Q ，E ，F 分不为BB ，BCAD 的中点． 由 为 ，112因而E ，1，0，DE，1，1，因而DE 与破体PQEF 所成角的正弦值即是 2|cosAD ，DE|2．·············································································12分 220．本小题要紧考察等差数列，等比数列，对数等根底常识，考察综合应用数学常识处理咨询 题的才能．总分值12分． c n 解：〔Ⅰ〕是等比数列．··············································································2分证实：设a n 的公比为q 1(q0)b q 2(q0)，那么2，的公比为1nc n1b n1a n b n1a n q 20，故c 为等比数列．····································5分nc na n1b nba n1q 1n〔Ⅱ〕数列lna nlnb nlnqlnq 的等差数列． 跟 分不是公役为 跟 1 2n(n1)lnq 1nlna 12 2 由前提得，即n(n1)lnq 22n1nlnb 122lna(n1)lnq 1 n1 ．·········································································7分2lnb(n1)lnq 22n11故对n1，2，⋯，2(2lnqlnq)n(4lnalnq2lnblnq)n(2lnalnq)0．1 2 1 1 1 2 1 1因而2lnqlnq0， 12 4lnalnq2lnblnq 20， 1 1 1 2lnalnq0. 11将a2代入得q 14q16b8．·······················································10分 ， ， 12 1 816n1 24n1n从而有c n4．因而数列c nn的前项跟为4 244⋯4nn(41)．·········································································12分 321．本小题要紧考察破体向量，椭圆的界说、规范方程及直线与椭圆地位关联等根底常识， 考察综合应用剖析多少何常识处理咨询题的才能．总分值 解：12分． 〔Ⅰ〕设P 〔x ，y 〕，由椭圆界说可知，点 P 的轨迹C 是以(0，3)，(0，3)为核心，长半22(3)21，轴为2的椭圆．它的短半轴by 2 故曲线C 的方程为x 21 ．······································································4分4〔Ⅱ〕设A(x ，y)，B(x ，y)，其坐标满意 1 1 2 2y 24x 21，ykx1.消去y 并收拾得(k4)x2kx30，2k 2 2 3 故xx 21，xx12．····························································6分2k42k4OAOB ，即xxyy0． 121 22而yykxxk(xx)1， 1 2 1212233k 22k 24k1． 因而xxyy 2112 12222k4k4k4k412因而kx 1x 2yy0，故OAOB ．···············································8分12 时，1 24 12172当kx 1x 2，xx12时， ．17(xx)(yy)222 AB(1k)(xx)，2 12 12 122而(xx)(xx)4xx 2 2 12 114217243413 34，17172因而AB465．····················································································12分 1722．本小题要紧考察函数的导数，枯燥性、极值，最值等根底常识，考察综合应用导数研讨 函数的有关性子的才能．总分值 解：f(x)3ax2bx3a2 〔Ⅰ〕当a1时，14分2 ．①·····································································2分2f(x)3x2bx3；2由题意知x ，x3x2bx30的两根，因而为方程1 2 24b36 3x 1x 2．由xx2，得b0．···············································································分 41 2 22从而f(x)x3x1f(x)3x33(x1)(x1)．，当x(11)，时，f(x)0；当x(∞，1)(1，∞)时，f(x)0．故f(x)在(11)，枯燥递加，在(∞，1)，(1，∞)枯燥递增．······························6分 223x2bx3a0的两根，〔Ⅱ〕由①式及题意知x ，x1为方程 24b36a 32因而xx 21．3a22从而xx2b9a(1a)， 1 2由上式及题设知0a ≤1．············································································8分2思索g(a)9a9a 3，2 g(a)18a27a 227aa．······························································10分32 23 234．3故g(a)在0，枯燥递增，在，1枯燥递加，从而g(a)在01，的极年夜值为g 32 3 4 3又g(a)在g(1)0．因而b2 01，上只要一个极值，因而g 为在g(a)01，上的最年夜值，且最小值为4 2323，．········································14分30，，即b的取值范畴为3 3。
2008年专升本高数二考试真题及参考答案
2008年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案
一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
第1题
参考答案：C
第2题
参考答案：C
第3题
参考答案：A
第4题
参考答案：B
第5题
参考答案：D 第6题
参考答案：A 第7题
参考答案：C 第8题
参考答案：B 第9题
参考答案：A 第10题
参考答案：D
二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。
第11题
参考答案：1
第12题
参考答案：2
第13题
参考答案：cos x-xsin x
第14题
参考答案：20x3
第15题
参考答案：(1,1/3) 第16题
参考答案：
第17题
参考答案：x3+ x 第18题
参考答案：2
第19题
参考答案：x2+y2≤1第20题
参考答案：
三、解答题：共70分。
解答应写出推理、演算步骤。
第21题
第22题
第23题
第24题
第25题
第26题
第27题
第28题。
2008全国考研数学(二)真题及答案.doc
2008年研究生入学统一考试数学二试题与答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（ ）()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()at af x dx ⎰（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++=()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设函数f 连续，若2222()(,)uvD f x y F u v dxdy x y +=+⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂ ()A 2()vf u ()B 2()vf u u ()C ()vf u ()D ()vf u u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.（10）微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是____y =.（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为______. （13）设xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)____z x ∂=∂.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦. (16)（本题满分10分）设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22y x ∂∂. (17)（本题满分9分）求积分 12arcsin 1x x dx x-⎰.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)（本题满分11分）设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式. (20)（本题满分11分）(1) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x d x ϕϕϕϕ>>⎰，证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得 （21）（本题满分11分）求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）设矩阵2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程A X B =，其中()1,,Tn X x x =，()1,0,,0B =，（1）求证()1nA n a =+；（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ； （3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+， （1）证明123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 又()f x '中含有因子x ，故0x =也是()f x '的零点， D 正确. 本题的难度值为0.719. (2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．本题的难度值为0.829.(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭ 所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点.本题的难度值为0.486.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.本题的难度值为0.537. (6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()()222()22211,()vu uf r r Df u v F u v dudv dv rdr v f r dr u v +===+⎰⎰⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂ 本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆． 本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==----所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20xy x edx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx x x x x xy e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x yy xy F dy y x dx F x xy y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得1x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)-- 【详解】53235y xx =-⇒23131351010(2)333x y x x x -+'=-= ⇒134343101010(1)999x y x x x --+''=+=1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)【答案】2(ln 21)2- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yvvy u y y u uxy x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以(1,2)2(ln 21)2z x ∂=-∂本题的难度值为0.575.(14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯= 3|2|2||A A =32648λ∴ ⨯=- 1λ⇒=-本题的难度值为0.839.三、解答题 (15)【详解】 方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x→→--= 22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦ 本题的难度值为0.823. (16)【详解】方法一：由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dxt dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)x d y e x dx=+ 本题的难度值为0.742. (17)【详解】 方法一：由于221arcsin lim 1x x x x-→=+∞-，故212arcsin 1x x dx x-⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈22122222000arcsin sin cos 2cos sin ()cos 221x x t t t t t dx tdt t tdt dt t x πππ===--⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+ 方法二：212arcsin 1x x dx x -⎰12201(arcsin )2x d x =⎰121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈1222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故，原式21164π=+ 本题的难度值为0.631.(18)【详解】 曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+ 本题的难度值为0.524.(19)【详解】旋转体的体积20()tV f x dx π=⎰，侧面积202()1()tS f x f x dx π'=+⎰，由题设条件知220()()1()ttf x dx f x f x dx '=+⎰⎰上式两端对t 求导得 22()()1()f t f t f t '=+， 即 21y y '=-O 0.5 2 xD 1D 3 D 2由分离变量法解得 21l n (1)y y t C+-=+， 即 21t y y C e+-= 将(0)1y =代入知1C =，故21t y y e +-=，1()2t t y e e -=+于是所求函数为 1()()2x xy f x e e -==+ 本题的难度值为0.497.(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由 32(2)()()x d x ϕϕϕη>=⎰，知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂本题的难度值为0.719. (21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值 设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122a a a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a a n a a n ar ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++ 证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132aD a a a ==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a a D aD a a -=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-， 所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为 2221122(1)(1)112102121221122n n n n n n a aa a a aa a D na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D n x D n a-==+(III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,T Tk k +为任意常数． 本题的难度值为0.270.(23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3)因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 本题的难度值为0.272.赠送以下资料考研英语作文模板（英语一）大作文考研英语大作文一般是看图写作，从一幅图分析含义及意义，所以只需要几个好的模板，根据题目套上去就行了。
2008年考研数学二试题答案与解析
(B) E − A 不可逆, E + A可逆. (D) E − A 可逆, E + A不可逆.
[C]
(8)
设
A
=
⎛ ⎜ ⎝
1 2
2 1
⎞ ⎟ ⎠
,则在实数域上与
A
合同的矩阵为
(A)
⎛ −2
⎜ ⎝
1
1 −2
⎞ ⎟ ⎠
.
(B)
⎛2
⎜ ⎝
−1
−1⎞
2
⎟ ⎠
.
(C)
⎛2
⎜ ⎝
1
1⎞
2
⎟ ⎠
.
(D)
⎛1
⎜ ⎝
NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导!
由定积分性质,有
m(b
−
a)
≤
b
∫a
f
(
x )dx
≤
M
(b
−
a)
即
m
≤
b
1 −
a
b
∫a
f
(
x)dx
≤
M
由连续函数介值定理可知,至少存在一点η ∈[a,b] ,使得
f
(η
)
=
b
1 −
a
b
∫a
f
( x)dx
即
b
∫a
f
( x)dx
=
f
(η )(b − a)
x = ln (1+ t2 )
dy dx
=
dy
dt dx
=
ln (1+ t2 ) ⋅ 2t
2t
=
(1+ t2 ) ln (1+ t2 )
dt
2008高数专升本试卷及答案
河北省2008年普通专科教育考试《数学（二）》（财经类）试卷（考试时间60分钟）（总分100分）说明：请将答案填写在答题纸的相应位置上，填在其它位置上无效。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
在每小题给出的四个备选项中，选出一个正确的答案，并将所选项前的字母填写在答题纸的相应位置上，填写在其它位置上无效） 1．已知函数)(x f 的定义域是[0,1]，则)1(+x f 的定义域为（ ）。
A. [-2,-1] B. [-1,0] C. [0,1] D.[1,2] 2. 极限存在的充分必要条件是在处（ ）。
A. 连续B. 左、右极限至少有一个存在C. 左、右极限都存在D. 左、右极限存在且相等 3. 设)(x f y =是由方程0ln =+y xy 确定的函数，则dxdy=（ ）。
A. 12+-xy y B. 2y - C. x y ln - D. xyy 12+-4. 函数122+-=x x y 在区间[-1,3]上满足拉格朗日中值定理的ξ=( )A. 43-B. 0C. 43D. 15. 已知某商品的收入函数为2312Q Q R -=，则当Q =（ ）时边际收入为0。
A. 3B. 4C. 5D. 66． 设函数xe xf -=)(，则dx xx f ⎰')(ln =（ ）。
A. C x +-1 B. C x +-ln C. C x +1D. C x +ln7. 设⎰=k xdx e 0223，则k =（ ）A. 1B. 2lnC. 2ln 2D. 2ln 218. 设二元函数2yx ez xy+=,则)2,1(yz ∂∂=( )A. 12+eB. 122+e C. 1+e D. 12+e9. 关于级数∑∞=--11)1(n pn n 收敛性的正确答案是（ ） A. 10≤<P 时发散 B. 1>P 时条件收敛C. 10≤<P 时绝对收敛D. 10≤<P 时条件收敛 10. 设A 、B 、C 均为n 阶方阵，下列叙述中正确的是（ ） A. BA AB = B. T T T B A AB =)( C. 如果行列式,,0AC AB A =≠则C B =D. 如果0=AB ,则0=A 或0=B二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
(完整)东北大学历年期末高等数学试题
八、高等数学试题 2005/1/10一、填空题（本题20分，每小题4分）1．已知==⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→a a x a x xx ，则9lim2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=1112)(2x b ax x x x f ，，，当a = ,b = 时，f (x )在x =1处可导。
3．方程017=-+x x 共有 个正根。
4．当=x 时，曲线c bx ax y ++=2的曲率最大。
5．⎰=20sin πxdx x 。
二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（ ）（A ）若a x n n =∞→2lim ，a x n n =+∞→12lim ，则a x n n =∞→lim ；（B ）发散数列必然无界；（C ）若a x n n =-∞→13lim ，a x n n =+∞→13lim ，则a x n n =∞→lim ；（D ）有界数列必然收敛。
2．函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则必有（ ）。
（A ）0)(0='x f ； （B ）0)(0<''x f ；（C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在； （D ）0)(0='x f 且0)(0<''x f 。
3．函数⎰=xa dt t f x F )()(在][b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（ ）（A ）有界； （B ）连续； （C ）有定义； （D ）仅有有限个间断点。
4．设⎰-+=2242cos 1sin ππxdx x x M ，⎰-+=2243)cos (sin ππdx x x N ，⎰--=22432)cos sin (ππdx x x x P ，则必有关系式（ ）（A ） M P N <<；（B ）P M N <<；（C ）N P M <<；（D ）N M P <<。
2008年高考全国卷理科数学2全国卷数学2试卷与答案-推荐下载
C． b2 9a2
解： (a bi)3 a3 3a2 Abi 3aA(bi)2 (bi)3 （←考查和的立方公式，或二项式定理）
∵ a，b R 且 b 0
∴ 3a2 Ab b3 0
∴ b2 3a2 .
故选 A.
(a3 3aAb2 ) (3a2 Ab b3 )i （←考查虚数单位 i 的运算性质）
于 E、F 两点．
（Ⅰ）若 ED 6DF ，求 k 的值；（Ⅱ）求四边形 AEBF 面积的最大值．
22．（本小题满分 12 分）
设函数 f (x) sin x ． 2 cos x
（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何 x ≥ 0 ，都有 f (x) ≤ ax ，求 a 的取值范围．
A． b2 3a2
B． a2 3b2
3．函数 f (x) 1 x 的图像关于（ ） x
A． y 轴对称
C． 坐标原点对称 D． 直线 y x 对称
B． 直线 y x 对称
4．若 x (e1，1)，a，，ln x b 2 ln x c ln3 x ，则（ ）
A． a < b < c
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率 p ；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元，为保证盈利的期望不小于 0，求每位投保 人应交纳的最低保费（单位：元）． 19．（本小题满分 12 分）
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2008高考全国2卷数学理科试题及答案详解
2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2数学）理科数学(必修+选修Ⅱ)第Ⅰ卷一、选择题1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，2．设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（ ） A ．223b a = B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =3．函数1()f x x x=-的图像关于（ ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称4．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a5．设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ） A ．929B ．1029C ．1929D ．20297．64(1(1+的展开式中x 的系数是（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ．48．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1BCD ．29．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ） A． B．C ．(25)，D．(210．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ）A ．13B ．3C ．3D ．2311．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ） A ．3B ．2C ．13-D ．12-12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ． 14．设曲线axy e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ．15．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于 ．16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =． （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长． 18．（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=． （Ⅰ）证明：1A C ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小． 20．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值． 22．（本小题满分12分） 设函数sin ()2cos xf x x=+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．2008年参考答案和评分参考一、选择题1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B 9．B 10．C 11．A 12．C部分题解析：2. 设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（ ）A ．223b a =B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =，解：33223()33()()a bi a a bi a bi bi +=+++ （←考查和的立方公式，或二项式定理）3223(3)(3)a a b a b b i =-+- （←考查虚数单位i 的运算性质）R ∈ （←题设条件） ∵a b ∈R ，且0b ≠∴ 2330a b b -= （←考查复数与实数的概念） ∴ 223b a =. 故选A.6. 从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）AB CD EA 1B 1C 1D 1A ．929B ．1029C ．1929D ．2029思路1：设事件A ：“选到的3名同学中既有男同学又有女同学”，其概率为：211220102010330()C C C C P A C += （←考查组合应用及概率计算公式） 201910910202121302928321⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ （←考查组合数公式） 10191010109102914⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯ （←考查运算技能）2029=故选D.思路2：设事件A ：“选到的3名同学中既有男同学又有女同学”，事件A 的对立事件为A ：“选到的3名同学中要么全男同学要么全女同学”其概率为：()1()P A P A =- （←考查对立事件概率计算公式）3320103301C C C +=- （←考查组合应用及概率计算公式） 2019810983213211302928321⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯（←考查组合数公式） 2019181098302928⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯ （←考查运算技能）2029=故选D.12.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．2分析：如果把公共弦长为2的相互垂直的两个截球面圆，想成一般情况，问题解决起来就比较麻烦，许多考生就是因为这样思考的，所以浪费了很多时间才得道答案；但是，如果把公共弦长为2的相互垂直的两个截球面圆，想成其中一个恰好是大圆，那么两圆的圆心距就是球心到另一个小圆的距离3，问题解决起来就很容易了. 二、填空题13．2 14．2 5．3+16．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形． 注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．三、解答题 17．解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =， 由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=．····································· 5分 （Ⅱ）由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=， 由（Ⅰ）知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=， ························································································ 8分又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==，故2206513AB =，132AB =． 所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==． ········································································· 10分18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ， 则4~(10)B p ξ，．（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当0ξ=，2分()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4101(1)p =--，又410()10.999P A =-，故0.001p =． ······························································································ 5分 （Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 1000050000ξ+，盈利 10000(1000050000)a ηξ=-+，盈利的期望为 100001000050000E a E ηξ=--， ·········································· 9分由43~(1010)B ξ-，知，31000010E ξ-=⨯， 4441010510E a E ηξ=--⨯4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯． 0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥ 15a ⇔≥（元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元． ························································· 12分19．解法一：依题设知2AB =，1CE =．（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．由三垂线定理知，1BD A C ⊥． ········································································ 3分 在平面1A CA 内，连结EF 交1A C 于点G ，由于1AA AC FC CE==，故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AA C CFE ∠=∠，CFE ∠与1FCA ∠互余．于是1A C EF ⊥．1A C 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直，所以1A C ⊥平面BED ． ················································································· 6分 （Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥，故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角． ······················································· 8分EF =CE CF CG EF ⨯==3EG ==． 13EG EF =，13EF FD GH DE ⨯=⨯=AB CDE A 1B 1C 1D 1 FH G又1AC ==113A G A C CG =-=．11tan AG A HG HG∠== 所以二面角1A DE B --的大小为arctan ·················································· 12分 解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．(021)(220)DE DB ==，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，． ···································································· 3分 （Ⅰ）因为10AC DB =，10AC DE =， 故1A C BD ⊥，1A C DE ⊥． 又DBDE D =，所以1A C ⊥平面DBE ． ·················································································· 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥n ，1DA ⊥n ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ． ····················································· 9分1AC ，n 等于二面角1A DE B --的平面角， 11114cos 42A C A C A C==，n n n ． 所以二面角1A DE B --的大小为arccos 42． ················································· 12分 20．解：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123nn n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-． ·······································································4分因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ······························································ 6分（Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ，于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯ 1223(3)2n n a --=⨯+-， 12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，． ·························································· 12分 21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ····································· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=， 故21x x =-=由6ED DF =知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+．所以212k =+，化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． ····················································································· 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为1h ==2h ==······················································ 9分又AB ==，所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 14(12525(14k k +=+==≤当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为． ························· 12分 解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ···································································································· 9分===当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为 ······································· 12分 22．解： （Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++． ····························· 2分 当2π2π2π2π33k x k -<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>； 当2π4π2π2π33k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<． 因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是增函数， ()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是减函数． ···························· 6分 （Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+ 2232cos (2cos )a x x =-+++211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭．故当13a ≥时，()0g x '≥． 又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤． ······················· 9分 当103a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-． 故当[)0arccos3x a ∈，时，()0h x '>． 因此()h x 在[)0arccos3a ，上单调增加．故当(0arccos3)x a ∈，时，()(0)0h x h >=， 即sin 3x ax >．于是，当(0arccos3)x a ∈，时，sin sin ()2cos 3x xf x ax x =>>+．第11页（共11页） 当0a ≤时，有π1π0222f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭≥． 因此，a 的取值范围是13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． ··································································· 12分。
2008年各地高考试题
a3 a5 10 ，则它的前 10 项的和 S10
（ ） A．138 B．135 C．95 D．23
P ( A B) P( A) P( B)
球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率 是 P ，那么 V
6 ． 若 函 数 y f ( x 1) 的 图 像 与 函 数
B．
2 3 C． 3 3
D．
2 3
3 ， M、 N 分别是 AC、 BC 的中点， 则 EM、 3
AN 所成角的余弦值等于 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解 答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
12． 如图， 一环形花坛分成 A，B，C，D 四 块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块 里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则
2008 年高考数学
理数试卷
目录
2008 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷 1 理) ......................................................................... 3 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷 2 理） ..................................................................... 6 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷理） ....................................................................... 10 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷理） ....................................................................... 14 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷理） ....................................................................... 17 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(四川延考卷理) ................................................................... 21 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷理） ....................................................................... 25 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷理） ....................................................................... 28 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷理） ....................................................................... 32 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（福建理） ........................................................................... 36 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷理) ........................................................................... 40 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷理) ........................................................................... 44 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷理） ....................................................................... 48 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷理） ....................................................................... 51 2008 年普通高等学校统一考试（宁夏卷理） ....................................................................................... 56 2008 年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷理） ....................................................................... 61 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 （广东卷理） ..................................................................... 65 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷理） ....................................................................... 69 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） ........................................................................... 74 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷理） ....................................................................... 79 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷 1 文数） ............................................................... 85 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷 2 文数） ............................................................... 89
全国各地2008年数学高考真题及答案-(辽宁.理)含详解-推荐下载
(B)
1
2
(3)圆 x2 y2 1与直线 y kx 2 没有公共点的充要条件是
( A)k ( 2, 2)
(C)k ( 3, 3)
(4)复数 1 1 的虚部是 2 i 1 2i
( A) 1 i
5
(B) 1
5
(5)已知 O、A、B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C，满足 2 AC CB 0 ，则
的反函数是__________.
(14)在体积为 4 3 的球的表面上有 A、B、C 三点，AB=1，BC= 2 ，A、C 两点的球
而距离为 3 ，则球心到平面 ABC 的距离为_________. 3
(15)已知
(1
x
x2 )(x
1 xy
)n
的展开式中没有常数项，
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2008年高考数学全国Ⅱ卷答案无选择题
11，已知向量a =（1，2），b =（2，3），λa + b 与（-4，-7）共线，则λ=
16.△ABC 中，cosB=135-
，cosc=54 （I ）求sinA
（II ）若△ABC 的面积S=2
33，求边BC
17. 某项保险，投保人每年需交保险金a 元，一年内如果出险，保险公司需赔偿10000元。
某地预计有10000人投保，一年内保险公司至少赔偿10000元的概率为1-410999.0. （I ）一年内投保人出现的概率。
（II ）保险公司为该项保险的准备资金为50000元，为了不亏本，求a 的最小值
18.在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB=4,E 在CC 1上，C 1E=3CE.
（I ）求证：直线A 1C ⊥平面BDE
（II ）求二面角D 1-DE-B 的大小.
C
A
19.S n 是数列{a n }的前n 项之和，a 1= a ，a n+1=S n +3 n .
（I ）设b n = S n -3 n ，求b n
（II ）如果a n+1>a n 对一切n ∈N *均成立，求a 的取值范围.
20.中心在原点的椭圆C 的两个顶点为A （2，0），B （0，1），直线y=kx (k>0)与直线AB 交
于点D ，与C 交于E 、F 两点。
（I ）如果DF ED 6=，求k 的值.
（II ）求四边形AEBF 的面积的最大值.
21.f(x)=x
x cos 2sin + （I ）求f(x)的单调区间.
（II ）如果对一切x ≥0，都有f(x)≤ax ，求a 的取值范围.。
2007-2008-1T东北大学 期末考试高数题
七、 （7 分）设当 x 1 时，可微函数 f ( x) 满足
f ( x) f ( x)
1 x f (t )dt 0 ， x 1 0
f (0) 1 .
1. 求 f ( x) ； 2. 证明：当 x 0 时， f ( x) e x ．
六、 （7 分）求心形线 r a(1 cos ) 与圆 r 3a cos 所围图形公共部分的 面积．
八、 （ 4 分）设 f ( x) 在 [a, b] 上二阶可导，且 f ( x) 0 ，证明
b a
f ( x)dx (b a) f (
ab )． 2
3
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分）
1. y 3 e 2 x sin( xy ) 0 在 x 0 处的切线方程是
．
2. 一个圆锥形容器， 深度为 10m， 上面的顶圆半径为 4m， 则灌入水时水的体积 V 对
水面高度 h 的变化率为 ．
1
…………○…………密…………○…………封…………○………线……………………
2
1 x2 dx ． x2
d2 y x ln 1 t 2 3. 设 ， 计算 2 ． dx y arctan t
6. 求微分方程 y 4 y x cos x 的通解．
2
…………○…………密…………○…………封…………○………线……………………
五、 （7 分）由曲线 y 0 ， x 8 ， y x 2 围成曲边三角形 OAB ，其中 A 为 y 0 与 x 8 的交点，B 为 y x 2 与 x 8 的交点．在曲边 OB 上求一点，过此点 作 y x 2 的切线，使该切线与直线段 OA ， AB 所围成的三角形面积为最大．
2008-2009学年河北秦皇岛第一学期高二期末质量检测文
2008-2009学年度河北省秦皇岛市第一学期高二期末质量检测数学试卷（文科）本试卷分试题和答题纸两部分，试卷满分为150分，考试时间120分钟．注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号、科目填涂在答题卡和答题纸上．一、填空题（本大题共8小题，每题4分，共32分．将正确答案填在答题纸的相应位置）1．直线x＋5＝0的倾斜角为___________．2．双曲线x24－y29＝1的渐近线方程为__________．3．（1－2x）4的展开式中x2的系数是．4．抛掷四枚均匀的硬币,则恰好出现三枚正面向上，一枚反面向上的概率为．5．已知点A（2，0），动点P在抛物线y2＝8x上运动，则|P A|的最小值为．6．一个小组有2名女生,4名男生,从中选出3人参加一次竞赛活动,要求至少有1名女生参加,则不同的选派方法种数为．7．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，2），则线段AB的中点坐标．8．某城市中心广场，中间有一喷水池，四周划分成如图所示的四块区域，每块区域内摆放相同颜色的鲜花，相邻区域不得摆放相同颜色的鲜花，现共有4种不同颜色的鲜花供选择，则不同的摆放方法总数为．二、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．抛物线x2＝4y的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（2，0）2．已知双曲线中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线方程为x－y＝0，则双曲线的离心率为（）A．2 B． 3 C． 2 D．13．“k＝－1”是“直线y－1＝k（x－1）与圆x2＋y2＝2相切”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋y －3≤02x ＋y －4≤0下，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．某考生从6所不同的高校中选出4所学校，分别作为第一、二、三、四志愿填入报名表，其中甲、乙两所院校都不能作为第一志愿，则该考生不同的填报方法总数为 （ ） A ．36B ．72C ．144D ．2406．已知圆C 与圆x 2 ＋（y ＋1） 2＝2关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（ ）A ．（x ＋1） 2 ＋y 2＝2B ．x 2＋（y －1）2＝2C ．x 2＋ （ y ＋1）2 ＝2D ．（x －1）2＋ y 2＝27．若双曲线 x 264－y 236＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线距离是（ ）A ．10B ．327 7C ．27D ．3258．甲、乙两人练习投篮，甲每次投中的概率为 1 4，乙每次投中的概率为 13，甲、乙各投篮一次，则至少有一人投中的概率为（ ）A ． 112B ． 16C ． 12D ． 3 49．用0，1，2，3，4五个数字，组成无重复数字的三位数，则不同三位数的个数为（ ）A ．60B ．48C ．30D ．2410．设（1＋x ）＋（1＋x ）2＋（1＋x ）3＋…＋（1＋x ）5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＝（ ）A ．20B ．25C ．30D ．3511．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于8分的取法总数为 （ ）A ．66B ．64C ．62D ．6012．P 是椭圆x 216＋y 29＝1上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF 1 |·|PF 2|=12，则∠F 1PF 2＝ （ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°三、解答题（本大题有6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1．（本小题满分10分）已知圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的圆心为C，圆C与直线2x－y＋1＝0相交于A、B两点，求ΔABC的面积．2．（本小题满分12分）已知（x＋13x2）n的展开式中二项式系数和为32．（I）求n的值．（II）求展开式中的常数项．3．（本小题满分12分）从6名男生、5名女生中任选3人参加数学冬令营，求选出的3人中（I）恰有2名男生，1名女生的概率．（II）男生甲和女生乙两人中至少有1人入选的概率．4．（本小题满分12分）已知动圆P与两个定圆⊙F1：（x＋2）2＋y2＝254，⊙F2：（x－2）2＋y2＝14都外切．（I）求动圆圆心P的轨迹E的方程；（II）设直线y＝2x－4与曲线E交于A、B两点，求|AB|．5．（本小题满分12分）某位同学参加五科会考，已知他每一科成绩为A的概率均为1 3，求（I）该生恰有三科成绩为A的概率；（II）该生至少有一科成绩为A的概率．6．（本小题满分12分）已知椭圆C：x2m2＋y2n2＝1（m＞0，n＞0）一条准线与抛物线y2＝12x的准线重合，过点（0，－23）与x＋3y＋2＝0垂直的直线过椭圆C的一个焦点．（I）求椭圆C的方程；（II）经过点（0，2）的直线l与椭圆C交于A、B两点，若∠AOB为锐角，求直线l 的斜率k的取值范围．。
下册--东北大学高数期末考试试题
2008~2009学年第二学期试题一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1.设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =-，则[ ] (A)(0,0)3dzdx dy =-；(B) 曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的一个法向量为(3,1,1)-；(C)曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(1,0,3)；(D) 曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(3,0,1)2. 设10 (1,2,)n u n n≤<=，则下列级数中必收敛的是[ ](A)1n n u ∞=∑； (B)1(1)nnn u∞=-∑； (C)1n ∞= (D)21(1)nnn u∞=-∑.3. 如果81lim 1=+∞→nn n a a ，则幂级数∑∞=03n n n x a [ ](A) 当8<x 时收敛； (B) 当2<x 时收敛； (C) 当81>x 时发散； (D) 当21>x 时发散.4. 设Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域，则222x y z dv Ω++⎰⎰⎰= [ ] .(A) 545a π； (B) 44a π； (C) 543a π； (D) 525a π.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为 .2. 函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的全微分为 .3. 已知曲线L 为连接(1,0)和(0,1)两点的直线段，则曲线积分()Lx y ds +⎰= .4. 由曲面2243()z x y =-+与曲面22z x y =+所围立体的体积为 .5. 设∑为平面1234x y z++=在第一卦限中的部分，则曲面积分()234x y z dS ∑++⎰⎰= . 6. 设()f x 是周期为4的周期函数，它在[2,2)-上的表达式为0, 20()3, 022x f x x -≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，()f x 的Fourier 级数的和函数为()s x ，则(4)s = .三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1. 求过点1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且与平面0x y z ++=垂直的平面方程.2. 设z = f (e xsin y , x 2+ y 2), 其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.3. 设(,,)F x y z 具有连续偏导数，且对任意实数t 有(,,)F tx ty tz (,,)k t F x y z =(k 为自然数)，试证:曲面(,,)0F x y z =上任意一点的切平面相交于一定点(设在任意点处2220x y z F F F ++≠).4. 计算二重积分Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由两条抛物线y x =，2y x =所围成的闭区域.5. 将函数()arctan f x x =展开成关于x 的幂级数，并求展开式成立的区间. 四、 (8分) 设曲线积分[]⎰-+BA x dy x f ydx x f e )()(与路径无关，且21)0(=f ，求)(x f ，并求当A ，B 分别为（0，0），（1，1）时的曲线积分值.五、(8分) 计算积分222(I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是抛物面22z x y =+被平面4z =截下的有限部分的下侧.六、(8分) 3．(10分)平面通过球面x 2 + y 2 +z 2 = 4(x - 2y - 2z )的中心, 且垂直于直线L : 00x y z =⎧⎨+=⎩, 求平面与球面的交线在xOy 平面上的投影, 并求投影与(1, -4,1)点的最短和最长距离.七、(6分) )判断级数111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的敛散性.解答一、1. 【解】应选择C.),(),,(0000y x f y x f y x 存在只是全微分存在的必要条件，故A 是错误的。
2008年(全国卷II)(含答案)高考理科数学
2008年(全国卷II)(含答案)高考理科数学D9．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ） A ．22)， B ．25)， C ．(25)， D ．(25)，10．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ）A ．13B ．23C ．3D ．2311．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）A ．3B ．2C ．13-D ．12- 12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ．14．设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ．15．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于 ．16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ；充要条件② ．（写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =． （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长．18．（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=． （Ⅰ）证明：1A C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小． EA 1B 1C 1D 120．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．22．（本小题满分12分） 设函数sin ()2cos x f x x=+． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．2008年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题答案解析:一、选择题1．答案：B解析:依题M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},从而M∩N={-1,0,1},故选B. 2．答案：A解析: (a+bi)3=a3+3a2·bi+3a(bi)2+(bi)3=a3+3a2bi-3ab2-b3i=(a3-3ab2)+(3a2b-b3)i为实数3a2b-b3=0,又∵b≠0,∴3a2-b2=0.∴b2=3a2.选A.3．答案：C解析:∵f(x)=f(-x),∴f(x)= -x是奇函数.∴f(x)的图象关于坐标原点对称.4．答案：C解析:a=lnx,b=2lnx=lnx2,c=ln3x.∵x∈(e-1,1),∴x＞x2.故a＞b,排除A、B.∵e-1＜x＜1,∴-1＜lnx＜ln1=0.∴lnx＜ln3x.∴a＜c.故b＜a＜c,选C.5．答案：D解析:作出可行域.令z=0,则l0:x-3y=0,平移l在点M(-2,2)处z取到最小,最小值为-8.6．答案：D解析:排除法即可.P=1-=1-. 7．答案：B解析:化简原式=［(1-)4(1+)4］·(1-)2 =［(1-)(1+)］4·(1-)2=(1-x)4·(1-)2=(1-4x+6x2-4x3+x4)(1-2+x).故系数为1-4=-3,选B.8．答案：B解析:依题可知|MN|=|sina-cosa|=|sin(a-)|,故|MN|max=.9．答案：B解析:依题可知离心率e===,∵a＞1,∴0＜＜1.∴(+1)2∈(1,4).∴e∈(2,5).10．答案：C解析:作图.连结EO,则所求角为∠AEO或其补角.(∵EO∥SD)设侧棱长为a,则OE=SD=a,AO=a,AE= a.由余弦定理得cos∠AEO==. 11．答案：A解析:依题设底边所在直线斜率为k,则底边方程为l:y=kx,l1:x+y-2=0,k1=-1,l2:x-7y-4=0,k2=.由等腰三角形特征有:直线l到l1所成角的正切与直线l2到l所成角的正切相等,从而,得k=3,故选A.12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B．2C．3D．2答案：C解析:依题意有示意图截面示意图为其中AH为公共弦长的一半,OA为球半径,∴OH=.故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．答案：2解析:λa+b=λ(1,2)+(2,3)=(λ+2,2λ+3),∵λa+b与c共线,∴(λ+2)·(-7)-(2λ+3)·(-4)=0.解出λ=2.14．答案：2解析:y=e ax,y′=e ax·a,y′|x=0=e a·0·a=a.又x+2y+1=0的斜率为-,∴由题意a·(-)=-1.∴a=2.15．答案：解析:lAB:y-0=x-1,即y=x-1,联立xa =3+2,xb=3-2,∴=3+2.16．解析：两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由5cos13B=-，得12sin13B=，由4cos5C=，得3sin5C=．所以33sin sin()sin cos cos sin65A B C B C B C=+=+=． ······························ 5分（Ⅱ）由332ABCS=△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=， 由（Ⅰ）知33sin 65A =，故 65AB AC ⨯=， ································································· 8分又 sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==，故 2206513AB =，132AB =．所以 sin 11sin 2AB A BC C ⨯==． ······················································ 10分 18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ， 则4~(10)B p ξ，．（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当0ξ=，··········································································· 2分()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4101(1)p =--， 又410()10.999P A =-，故0.001p =． ················································································· 5分 （Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 1000050000ξ+，盈利 10000(1000050000)a ηξ=-+，盈利的期望为 100001000050000E a E ηξ=--， ································· 9分由43~(1010)B ξ-，知，31000010E ξ-=⨯， 4441010510E a E ηξ=--⨯4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯．0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥15a ⇔≥（元）． 故每位投保人应交纳的最低保费为15元． ·········································· 12分 19．解法一：依题设知2AB =，1CE =． （Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．由三垂线定理知，1BD A C ⊥． ··························································· 3分 在平面1A CA 内，连结EF 交1A C 于点G ， 由于122AA ACFC CE==， 故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AA C CFE ∠=∠，CFE ∠与1FCA ∠互余． 于是1A C EF ⊥．1A C 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直，所以1A C ⊥平面BED ． ····································································· 6分 （Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥， 故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角． ············································ 8分223EF CF CE =+= 23CE CF CG EF ⨯==2233EG CE CG =-=． 13EG EF =，12315EF FD GH DE ⨯=⨯= 又221126AC AA AC =+=1163A G A C CG =-=． A BC D E A 1B 1C 1D 1F H G11tan 55AG A HG HG∠== 所以二面角1A DE B --的大小为arctan 55 ······································ 12分 解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．(021)(220)DE DB ==，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，． ··························································· 3分 （Ⅰ）因为10AC DB =，10AC DE =， 故1A C BD ⊥，1A C DE ⊥． 又DB DE D =，所以1A C ⊥平面DBE ． ····································································· 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥n ，1DA ⊥n ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ． ··········································· 9分 1AC ，n 等于二面角1A DE B --的平面角， 11114cos 42A C A C A C==，n n n ． 所以二面角1A DE B --的大小为14． ······································ 12分 20．解：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-． ···························································· 4分A BC DE A 1B 1C 1D 1xz因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ···················································· 6分（Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ， 于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯ 1223(3)2n n a --=⨯+-， 12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=•+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔•+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，．12分21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=，直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ···························· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=， 故21214x x k=-=+由6ED DF =知01206()x x x x -=-，得0212215(6)77714x x x x k=+==+；D F B y A O E由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+． 所以2212714k k=++，化简得2242560k k -+=， 解得23k =或38k =． ········································································· 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为211122214)55(14)x kx k h k +-+==+22222222(1214)55(14)x kx k k h k +-+-+==+． ··············································· 9分又2215AB =+=，所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 21525(14)k =+214k=+22144214k kk ++=+22≤当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为22． ············ 12分 解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ······················································································· 9分222(2)x y =+22222244x y x y =++22222(4)x y +22=当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为22 12分 22．解：（Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++． ············ 2分当2π2π2π2π33k x k -<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>； 当2π4π2π2π33k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<． 因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是增函数， ()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是减函数． ··················· 6分 （Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+ 2232cos (2cos )a x x =-+++211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭．故当13a ≥时，()0g x '≥．又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤． ················ 9分 当103a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-． 故当[)0arccos3x a ∈，时，()0h x '>． 因此()h x 在[)0arccos3a ，上单调增加．故当(0arccos3)x a ∈，时，()(0)0h x h >=，即sin3x ax>．于是，当(0arccos3)x a∈，时，sin sin()2cos3x xf x axx=>>+．当0a≤时，有π1π222f a⎛⎫=>•⎪⎝⎭≥．因此，a的取值范围是13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．12分。
东北大学数学分析2008答案
1.(20 分)求 lim 解： lim
n
1 1 1 1 ( ). n n n 1 n2 nn
1 1 1 1 1 1 1 ( ) lim( ) n n n 1 n 2 nn n(n 1) n(n 2) n( n n)
1 x 1
解： dy
0
y
1 x 2 dx dx 1 x 2 dy x 1 x 2 dx
0 0 0
1 1 x 2 d ( x 2 1) 20 1 ( 8 1) 3 1 (2 2 1) 3
8.（10 分）设 f ( x, y ) 在 [0,1] [0,1] 上连续，证明 g ( x ) max f ( x, y ) 在 [0,1] 上
an 收敛. n 1 n
证明：因为 a n
an 1 1 1 2 2 ，又因为 收敛， 收敛，所以 a (a n 2 ) 收 2 n 2 2 n n n n 1 n 1 n n 1
敛，所以由比较原则，
an 收敛. n 1 n
r r r
5.（20 分）证明： (U V ) U V , U V 0, r 1 》 证明：当 U 0 时， V 0 ，显然上式等号成立. 当 U 0 时，原式变为 (U V ) V U ，即
1 1 1 1 1 1 lim( ) n n n 1 n n 2 n nn 1 1 1 1 lim( ) n n 1 n2 nn 1 1 1 1 lim( n n n ) n 1 2 n 1 1 1 n n n 1 1 1 1 dx 1 ln(1 x) 0 1 x 0 1 ln 2
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1、（9 分）设 = f (x + y + z, xyz) ， f 具有二阶连续偏导数，求 , 2 . x xz
解：
线 y = x2 − x +1 相切，求函数 y(x) . 解：
2、（9 分）计算 xyd ，其中 D 由抛物线 y2 = x 及直线 y = x − 2 所围成的闭 D
姓名 装
阅卷人
3、曲面 ez − z + xy = 3 在点 (2,1, 0) 处的切平面方程为
(A) 2x + y − 4 = 0
(B) 2x + y − z − 4 = 0
一、填空题：（每空 3 分，共 21 分）
【】
订
1、曲线
z
=3
−
(x2
−
y2
)
在点
(1,1,1)
处的切线与
y
轴正向所成的倾角为
1− y
dx
13x2 y2dy
0
0
订
线
3、 L 为圆周 x2 + y2 = 4, 则
2
( y + x) ds =
L
(C)
I=
1
dx
1−x2 3x2 y2dy
0
0
(D)
I =
1
dx
1+x2 3x2 y2dy
0
0
内 4、级数 lFra bibliotek n + 1 是
n=2
n
的（收敛、发散）
不
5、球体 x2 + y2 + z2 4a2 被圆柱面 x2 + y2 = 2ax(a 0) 所截得的立体的体积为【
4、（10 分）设 y = y(x) 满足方程 y − 3y + 2y = 2ex ，且其图形在点 (0, 1) 与曲
-2-
区域。 解：
四、（10 分）求级数 (−1)n−1 xn 的收敛域.
n=1
n
解：
3、（12 分）计算曲面积分 xdydz + ydzdx + (z2 − 2z)dxdy ，其中 是锥面
z = x2 + y2 被平面 z = 1所截有限部分的下侧 解：
五、（8 分）求函数 z = x2 + y2 在圆 (x − 2)2 + ( y − 2)2 9 上的最大、最小值。 解：
二、选择题：（每题 3 分，共 21 分）
y3 = e2x ，则其通解为
【】
-1-
(A) x + C1e x + C2e2x ；
(B) C1x + C2e x + C3e2x ；
(C) x + C1 (e x − e2x ) + C2 (x − e x ) ； 三：（40 分）试解下列各题
(D) C1 (e x − e2x ) + C2 (e2x − x)
x =1
(C) 2x + y − 5 = 0
(D) x + 2y − 4 = 0
4、 I =
1
dy
1−y 3x2 y2dx, 则交换积分次序后等于
0
0
【】
装
线
2、设 D :
x
2,
y
1，则
D
1+ x 1+ y2
d
=
1
(A) I = dx
1−x 3x2 y2dy
0
0
(B) I =
d
0
r
4a2 − r 2 dr
6 、 设 L 是 沿 曲 线 y = 2x − x2 从 点 A(2, 0) 到 点 O(0, 0) 的 有 向 弧 段 , 则
2
答
6、下列级数中条件收敛是
【】
题
xdy − ydx = L
7、设
f
(x)
=
4, sin
−1 x 0 ，则 x, 0 x 1
】
(A)
4 2 d
2a cos
r
4a2 − r2 dr
0
0
(B)
8 2 d
2 a cos
r
4a2 − r2 dr
0
0
5、微分方程 y − y = e−x 的通解是
要
2a cos
(C) 4 2 d
4a2 − r2 dr
0
0
(D)
2a cos
2 −
授课专业： 经济、管理、商贸、计工、自动化、材料、环境各专业 考试日期：2008 年 6 月 23 日试卷：共 2 页
2、设
f
(x,
y)
=
1
xy
sin(x2 y),
xy
0, 则
fx (0,1)
等于
0,
xy = 0
【】
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
(A) 0
(B) 1
(C) −1
(D) 1 2
学号
东北大学秦皇岛分校
课程名称： 高等数学二 试卷：( A ) 考试形式：闭卷
1、已知函数 f (x + y, x − y) = x2 − y2, 则 f (x, y) + f (x, y) =
x
y
(A) 2x − 2y (B) 2x + 2y (C) x + y (D) x − y
【】
班级
f
(
x)
的傅立叶级数在
x
=
2
收敛于
(A)
(- 1)n
n
(B)
(- 1)n
1
n=1
n +1
n=1
n
(C)
(- 1)n
1
n=1
n2
(D)
(-1)n
1
sin
n=1
n3 n
7、设二阶线性非齐次方程 y + p(x) y + q(x) y = f (x) 有三个特解 y1 = x ， y2 = e x ，