离散数学复习指导1

离散数学复习指导1
离散数学复习指导Ⅰ
命题逻辑部分一学习要求
1．理解命题、联结词的含义，掌握命题的符号化；
2．理解命题公式的赋值，能求出公式的真值表，判断公式的类型；3. 理解公式等值的定义,记住一些基本等值式,能进行等值演算;
4. 体会公式的主范式与公式赋值之间的关系,能利用等值演算求出范式;
5. 理解公式的蕴涵及推理的含义及联系,记住一些基本的推理规则, 能用演绎
推理方法进给出推理证明; 二范例
例1 将下列命题符号化⑴小王聪明但不用功；
⑵ 说数理逻辑枯燥无味或毫无价值，那是不对的；⑶ 你不及格就要补考。

⑷ 不经一事，不长一智；
解：⑴ 设p：小王聪明，q：小王用功，则该命题可符号化为：p??q。

⑵ p：数理逻辑枯燥无味，q：数理逻辑毫无价值，则：?(p?q)。

⑶ p：你及格了；q：你要参加补考，则：?p?q。

⑷ p：经一事；Q：长一智，则：?p??q。

⑸ 这是简单命题，则p：李卫与李星是兄弟。

例2 求命题公式(p?q)?r的主析取范式和主合取范式，指出公式的成真赋值和成假赋值，并判断公式的类型。

解：(p?q)?r?((p?q)?(q?p))?r
?((p?q)?r)?((q?p)?r) ?(?p?q?r)?(?q?p?r)
?M2?M4 （主合取范式）?m0?m1?m3?m5?m6?m7
??(0,1,3,5,6,7) (主析取范式)
公式的成真赋值为：000，001，011，101，110，111 成假赋值为：010，100 公式为非重言式的可满足式。

例3 构造下面推理的证明：
前提：p??q,p?r,q?s 结论：s?r 证：(1) p??q P;
(2) p T(1)化简规则;
(3) ?q T(1)化简规则(4) p?r P;
(5) r T(3)(4)假言推理; (6) q?s P; (7) s T(3)(6)析取三段论;
(8) s?r T(5)(7)合取式.
例4. 先将下列相关命题符号化,给出推理证明
如果4是偶数,则2不能整除5. 或者7不是素数或者2整除5. 7是素数.因此4不是偶数.
解: 设p: 4是偶数; q: 2能整除5; r: 7是素数; s: 2整除5,则
前提：p??q,?r?q,r, 结论：?p. 证明: (1) ?(?p) 结论之否定; (2) p T(1)等值式;
(3) p??q P;
(4) ?q T(2)(3)假言推理; (5) ?r?q P;
(6) ?r T(4)(5)析取三段论;
(7) r P;
(8) r??r T(6)(7)合取式.
三练习题
1．将下列命题符号化
⑴小王不但聪明而且美丽。

⑵不经历风雨，就不能见彩虹。

⑶只有天气又冷又下雨,他才乘车上班。

⑷ 天黑了，我就回家。

2．求下列公式的主析取范式和主合取范式，指出公式的成真赋值和成假赋值，并判断命公
式的类型
⑴((p?q)?r)?p
⑵(p?q)?r ⑶p?(p?q?r) ⑷p?(q?r)
3．构造下述推理的证明
⑴前提：?(p??q),?q?r,?r，结论：?p ⑵前提：p?r,p?q,s??r, 结论：s?q.
⑶前提：p?q,p?s,s??r 结论：q??r. 4. 先将下列相关命题符号化,给出推理证明
⑴如是我好好学习,那么我就不要补考.如果我不玩电脑游戏,我就会好好学习.我要补考.所以我玩电脑游戏了.
(2) 如果一班不参加篮球赛,那么二班也不参加,如果一班参加篮球赛,那么二班和三班
就参加,因此如果二班参加了篮球赛,那么三班也参加了.
谓词逻辑部分（信管不考）一学习要求
1．理解谓词逻辑的三要素，掌握命题的符号化；
2．理解谓词公式中量词的辖域、约束关系,及公式的解释，能求出在一个解释下公式的
真值，能判断公式的类型；
3. 理解公式等值的定义,记住谓词公式的特殊-的基本等值式,能进行等值演算;
4. 理解前束范式的定义,能利用等值演算求出公式的前束范式;
5. 理解公式的蕴涵及推理的含义及联系,特别记住谓词中的一些推理规则,能用演绎推理方法进给出推理证明; 二范例
例1 将下列命题符号化
⑴ 不是所以的人都要补考,但就有人要补考. ⑵ 天下乌鸦一般黑。

⑶ 不是所有火车都比汽车快，但有的火车比所有汽车快。

解：⑴P(x)：x是人；Q(x)：x要补考，则：??x(P(x)?Q(x))??x(P(x)?Q(x)) （注意特性谓词的用法）⑵ 设D={乌鸦}，P(x)：x是黑的，则：?xP(x) （本题使用了论域）
⑶P(x)：x是火车；Q(x)：x是汽车；R(x,y)：x比y快，则：
??x?y((P(x)?Q(y))?R(x,y))??x(P(x)??y(Q(x)?F(x,y))
或：??x(P(x)??y(Q(y)?R(x,y)))??x(P(x)??y(Q(x)?F(x,y))。

例2 设解释I如下:
D={2,3},f(2)?3,f(3)?2,F(2,2)?1,F(2,3)?0,F(3,2)?1,F(3,3)?0. 试求出下列公式在解释I下的真值.
⑴ ?x?yF(x,f(y)) ⑵?xF(x,f(x))??x?yF(x,y) 解: 在解释I下:
⑴ ?x?yF(x,f(y))??y F(2,f(y))??yF(3,f(y))
?(F(2,f(2))?F(2,f(3)))?(F(3,f(2))?F(3,f(3))) ?(F(2,3)?F(2,2))?(F(3,3)?F(3,
2)) ?(0?1))?(0?1) ?1
⑵?xF(x,f(x))??x?yF(x,y)
?(F(2,f(2))?F(3,f(3)))?(?yF(2,y)??yF(3,y))?(F(2,3)?F(3,2))?(F(2,2)?F(2,3 ))?(F(3,2)?F(3,3)) ?(0?1)?((1?0)?(1?0)) ?1
例3 求公式?xF(x)??yQ(y)的前束范式.
解: ?xF(x)??yQ(y)?(?xF(x)??yQ(y))?(?yQ(y)??xF(x))
?(??xF(x)??yQ(y))?(??yQ(y)??xF(x)) ?(?x?F(x)??yQ(y))?(?y?Q(y)??xF( x))?(?x?F(x)??xQ(x))?(?y?Q(y)??xF(x)) ??x(F(x)?Q(x))??y?x(Q(y)?F(x)) ??x(F(x)?Q(x))??y?z(Q(y)?F(z))
??x?y?z((F(x)?Q(x))?(Q(y)?F(z))) (前束范式)
例4 构造推理证明，前题: ?x(F(x)??H(x))，?x(H(x)?G(x))
结论:?xF(x)??yG(y)
证明:(1) ?xF(x) 附加前题; (2) F(a) T(1) EI规则; (3) ?x(F(x)??H(x)) P;
(4) F(a)??H(a) T(3) UI规则;
(5) ?H(a) T(2)(4)假言推理规则; (6) ?x(H(x)?G(x)) P;
(7) H(a)?G(a) T(6) UI规则; (8) G(a) T(5)(7)析取三段论. (9) ?yG(y) T(8) EG规则.
三练习题
1 将下列命题符号化
⑴ 所有的学生都通过了计算机等级考试或英语等级考试. ⑵ 是金子都会发光.但发光的不一定是金子.
⑶ 如果学生都认真学习了,就不会有毕不了业的学生了. ⑷ 如果没有了罪犯,也就没有了警察. ⑸ 没有搬不动的山,只有愚死的汉. ⑹ 所有人的指纹都不一样.
⑺ 不管白猫黑猫,抓住老鼠就是好猫.
⑻ 说学生考试不及格是因为学生不聪明或基础太差是不对的。

2. 设解释I如下:
D={0,1}, a =0，b=1，f(0)?1,f(1)?0,F(0,0)?0,
F(0,1)?0,F(1,0)?1,F(1,1)?1.
试求出下列公式在解释I下的真值. ⑴ ?x?yF(x,f(y))
⑵ ?x?yF(x,a)??xF(f(x),f(b))。

3．求下列公式的前束范式
⑴ ??x(F(x)?(?yQ(y)??zR(z)))
⑵ ?x?yF(x,y)??x?yQ(x,y) 4．将下列命题符号化，并证明之
⑴ 没有不守信用的人是可以信赖的.有些可以信赖的人是受过教育的.因此有些受过
教育的人是守信用的.
⑵ 有些人喜欢所有的花.但人人都不喜欢杂草.所以花不是杂草.
⑶ 三好生都是成绩好的学生. 学生干部不一定成绩好,所以学生干部不一定是三好
生.。