高三数学教案：极 限 的 概 念
数学分析讲义 - CH02(数列极限)
第二章 数列极限 §1 数列极限概念一、数列极限的定义()函数:,f N n f +→R n 称为数列。
()f n 通常记作12,,,,n a a a或简单地记作，其中称为该数列的通项。
}{n a n a 例如：11{}:1,,,,2n a n ，通项1n a n=。
如何描述一个数列“随着的无限增大，无限地接近某一常数”。
下面给出数列极限的精确定义。
n n a 定义1 设为数列，a 为定数．若对任给的正数}{n a ε，总存在正整数，使得当时，有N n N >n a a ε-<则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作}{n a a a }{n a a a n n =∞→lim ，或)(∞→→n a a n读作“当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于或趋于”． a n a a 若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列． }{n a }{n a }{n a 【注】该定义通常称为数列极限的“N ε-定义”。
例1 设（常数），证明n a c =lim n n a c →∞=.证 对0ε∀>，因为0n a c c c ε-=-=<恒成立，因此，只要取，当n 时，便有1N =N >n a c ε-<这就证得li .m n c c →∞=例2 1lim0n n→∞=(0)α>. 证 对0ε∀>，要110n nε-=< 只要1n ε>只要取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当时，便有N n >110n nε-=< 这就证得1lim0n n→∞=。
例3 lim 11n nn →∞=+.证 因为11111n n n n-=<++ 对0ε∀>，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当时，便有N n >11111n n n nε-=<<++ 这就证得lim 11n nn →∞=+。
关于数列极限的“N ε-定义”，作以下几点说明： 【1】定义中不一定取正整数，可换成某个正实数。
高中数学中的数列极限定义及其应用
高中数学中的数列极限定义及其应用数列极限出现在高中数学中，是一个重要的概念。
它是指随着自变量趋近于某个数的时候，函数值无限接近于某个数的现象。
在数学中，极限的概念是非常重要的，它广泛应用于计算、物理等科学领域。
下面我们将深入探讨高中数学中的数列极限定义及其应用。
一、数列极限定义数列极限是一个数学概念，它是指在数列中，当数列的每一项都无限接近一个常数时，这个常数就是该数列的极限。
正式的定义如下：设$\{a_n\}$为一个数列，$A$为一个实数，若对于任意一个$\epsilon>0$，都存在自然数$N$，使得当$n>N$时，都有$|a_n-A|<\epsilon$成立，那么称$A$是数列$\{a_n\}$的极限。
在这个定义中，$A$被称为数列$\{a_n\}$的极限，$\epsilon$是一个任意小的正数，$N$则是自然数中的一个整数。
这个定义说明了一个数列极限的核心概念：无限接近。
二、数列极限的概念在数学中的应用1.极限的运用数列极限的概念在证明极限的时候是非常常见的。
在数学中，极限是一种非常常见的概念。
当我们求解一个极限的时候，需要使用到数列极限的概念。
比如说，在分析某个函数的性质时，我们需要求解这个函数值在某个点附近的极限。
在数学中，数列极限的概念是非常重要的工具之一。
2.应用于微积分和数学分析数列极限的概念在微积分和数学分析中也得到了广泛的应用。
比如说，我们在求导的时候，需要求解函数在某个点附近的极限值。
在这种情况下，我们需要使用到数列极限的概念来求解函数的极限值。
3.应用于统计学数列极限的概念在统计学中也发挥着巨大的作用。
在统计学中，我们需要对样本数据进行相应的分析。
在这种情况下，我们可以使用数列极限的概念来判断样本数据是否具有显著性，从而得出更加准确的统计结论。
4.应用于物理学数列极限的概念还在物理学中得到了广泛应用。
比如说，在物理学中，我们需要对某个物理量进行相应的分析。
高三数学教学教案七篇
高三数学教学教案七篇高三数学教学教案七篇高三数学教学教案都有哪些？由于计数的需要，人类从现实事物中抽象出了自然数，它是数学中一切“数”的起点。
下面是小编为大家带来的高三数学教学教案七篇，希望大家能够喜欢！高三数学教学教案篇1一：说教材平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。
本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。
为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法。
本节内容也是全章重要内容之一。
二：说学习目标和要求通过本节的学习，要让学生掌握(1)：平面向量数量积的坐标表示。
(2)：平面两点间的距离公式。
(3)：向量垂直的坐标表示的充要条件。
以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。
三：说教法在教学过程中，我主要采用了以下几种教学方法：(1)启发式教学法因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易，所以这节课我准备让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引导学生发现几个重要的结论：如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直的坐标表示的充要条件。
(2)讲解式教学法主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的疑惑感;例题讲解时，演示解题过程!主要辅助教学的手段(powerpoint)(3)讨论式教学法主要是通过学生之间的相互交流来加深对较难问题的理解，提高学生的自学能力和发现、分析、解决问题以及创新能力。
四：说学法学生是课堂的主体，一切教学活动都要围绕学生展开，借以诱发学生的学习兴趣，增强课堂上和学生的交流，从而达到及时发现问题，解决问题的目的。
通过精讲多练，充分调动学生自主学习的积极性。
如让学生自己动手推导两个向量数量积的坐标公式，引导学生推导4个重要的结论!并在具体的问题中，让学生建立方程的思想，更好的解决问题!五：说教学过程这节课我准备这样进行：首先提出问题：要算出两个非零向量的数量积，我们需要知道哪些量继续提出问题：假如知道两个非零向量的坐标，是不是可以用这两个向量的坐标来表示这两个向量的数量积呢引导学生自己推导平面向量数量积的坐标表示公式，在此公式基础上还可以引导学生得到以下几个重要结论：(1) 模的计算公式(2)平面两点间的距离公式。
高考数学中的极限及相关概念
高考数学中的极限及相关概念在高考数学中，极限是一项非常重要的概念。
极限的定义是指当自变量无限接近某一固定值时，函数的取值趋近于某一固定值，这个固定值即为极限。
为了更好地理解极限及其相关概念，本文将从以下几个方面进行分析。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值趋近于某一特定值。
例如，当x趋近于1时，y趋近于2。
在高考数学中，函数的极限是非常重要的，因为它可以帮助我们确定函数的性质，从而更好地处理一些复杂的问题。
二、左极限和右极限左极限和右极限是指在函数存在极限的情况下，自变量趋近于这个极限时，函数的取值分别从左侧和右侧趋近于极限。
例如，当x趋近于2时，y趋近于3，此时左极限为3，右极限也为3。
在实际问题中，左极限和右极限的概念经常被用来描述物理或经济现象中的变化规律。
三、连续性连续性是指当自变量在某一固定点上发生微小变化时，函数的取值也随之发生微小变化。
具体来说，如果函数在某一固定点上的极限存在，并且等于函数在这一点上的取值，那么这个函数就是连续的。
连续性是数学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们更好地研究函数的变化规律。
四、无穷大与无穷小无穷大与无穷小是指当自变量趋近于某一固定值时，函数的取值趋近于无穷大或无穷小。
在实际问题中，我们经常需要讨论物理或经济现象中的最大值或最小值，因此无穷大与无穷小的概念也是非常重要的。
结语本文从四个方面论述了高考数学中的极限及其相关概念。
在实际应用中，极限与微积分、微分方程等数学学科密切相关，掌握极限及其相关概念是现代数学研究的基础。
希望读者在阅读本文后能够更好地理解极限及其相关概念，从而更好地应对高考数学考试。
最新高三教案-高三数学数列的极限1 精品
2.2数列的极限（1）教学目标：从数列的变化趋势了解数列的极限，并学会判断一些简单数列的极限. 教学重点：数列极限的概念及其求法；教学难点：数列的极限意义的理解．教学过程：一、导入战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰 日取其半 万世不竭”.引言中刘徽“割圆术”说起，提出问题：当n 无限增大时，圆内接正n 边形的 是否无限趋近于圆周长2πR 呢？二、数列的极限的定义考察数列231111,,,,,.10101010n ① 123,,,,,.2341n n + ② 11(1)1,,,,,.23nn--- ③ 当n 无限增大时，项a n 的变化趋势：（1）随着n 的增大，从数值变化趋势上看，a n 有三种变化方式：数列①是递减的，②是递增的，③是正负交替地无限趋近于a ．①随着n 的增大，从数轴上观察项a n 表示的点的变化趋势，也有三种变化方式：①是从点a 右侧，②是点左侧，③是从点a 两侧交替地无限趋近于a ．（3）随着 n 的增大，从差式|a n -a | 的变化趋势上看，它们都是无限地接近千 0，即a n 无限趋近于a ．这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于常数a （即|a n -a | 无限地接近于0）”．数列极限的直观描述性定义：如果当项数n 的无限增大，无穷数列{ a n }的项a n 无限地趋近于常数a （即|a n -a | 无限地接近于0）那么就说数列{ a n }以a 为极限，或者说数列{ a n }的极限是a ．记为lim .n x a a →∞= 三、例题例1 考察下面的数列，写出它们的极限：3111(1)1,,,,,;827n5(2) 6.5,6.95,6.995,,7,;10n - 1111(3),,,,,.248(2)n --- 例2 下列数列是否有极限？为什么？（1） 1,1,1,1,,(1),n ---（2）1000001111,,,,.1010010010（3）100000，10000，1000，……，(1)10000010,.n --⋅例3 求1lim 310n x →∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 问题：① 等于 吗？②比较－3与 的大小．例4 已知数列1.9，1.99，1.999，…，，…．（1）写出它的通项a n ；（2）计算|a n -2| ； （3）第几项以后所有的项与2的差的绝对值小于0.01？（4）第几项以后所有的项与2的差的绝对值小于0.001？（5）指出这个数列的极限．四、作业：同步练习 X18181。
高三数学极点与极线知识点
高三数学极点与极线知识点极点与极线是高等数学中的重要概念。
在解析几何和复变函数等多个数学领域中，极点与极线的研究具有广泛的应用价值。
本文将介绍高三数学中涉及的极点与极线的基本概念、性质以及相关的应用。
一、极点的定义和性质在复平面上，设有一个圆点P，在复平面上的任意一点M，如果经过点P的直线PM上除了点P外没有其他交点，则称点P为点M的极点。
在直角坐标系中，可以看作极点是由两条直线平行或者重合所限定的区域。
极点具有以下性质：1. 极点与极线是一对一对应的关系，也就是说，对于每一个极点，都存在对应的唯一一条极线与之对应，反之亦然。
2. 极点与极线之间存在镜像对称的关系，即如果点P为点M的极点，则直线PM也是点P关于实轴的镜像线。
3. 极点与极线之间存在垂直关系，也即极线是垂直于连接极点与任意一点M的线段的直线。
二、极点与极线的应用极点与极线的概念在解析几何的研究中有着广泛的应用，特别是在圆锥曲线的研究中发挥着重要作用。
下面将简单介绍几个与极点与极线密切相关的应用。
1. 极坐标系极坐标系是以极点为原点，以极线做为极轴的坐标系。
其优势在于较简洁地描述极点附近区域的几何特征，如圆、直线等形状。
因此，在解析几何中，使用极坐标系可以简化问题的处理过程，提高解题的效率。
2. 极线的划定对于给定的极点P，可以通过连接极点与不同点M所得到的线段PM，进而确定与极点P关联的极线。
根据极点所在的位置与情况不同，极线可以划定出不同的区域，从而在几何图形的分析和研究中起到了关键的作用。
3. 椭圆与双曲线的焦点在椭圆与双曲线的研究中，焦点是一个重要的概念。
对于椭圆而言，焦点是到椭圆上任意一点的距离之和等于常数的点；而对于双曲线而言，焦点是到双曲线上任意一点的距离之差等于常数的点。
这里的焦点实际上就是极点在坐标系中的位置，而极线则构成了椭圆或者双曲线的基本几何特征。
总结起来，极点与极线是高等数学中重要的概念，具有广泛的应用背景。
数学分析中的极限概念及限制条件
数学分析中的极限概念及限制条件数学分析是数学学科中的一门核心课程，因为它涉及到数学中最基本的概念：数与数量之间的关系。
其中，极限概念是数学分析中最重要的一个概念之一，它在数学研究中扮演着非常重要的角色，因此必须要有清晰的理解。
极限概念是在数学分析中实现量的无限可分性的基础。
极限是指数列或函数在某一点的近似值，是指序列中的一个元素趋近于无穷大或无穷小时的特殊值。
严格来说，对于一个无限数列中任意一个元素 a n，当 n 趋于无限大时，若 a n 趋近于一个确定的值 L，即当 n 充分大时，a n 与 L 之间差距可以任意的小，我们就称其为数列的极限，数学上可以表述为：当n→∞ 的时候，a n →L同样的，对于一个函数 y=f(x)，若 x 趋近于 a 时，f(x) 趋近于一个确定的值 L，即当 x 趋近于无穷大或无穷小时，f(x) 与 L 之间差距可以任意的小，我们就称 f(x) 在 x 为 a 的极限为 L，数学上可以表述为：当x→a 的时候，f(x)→L极限的研究使得我们能够更加深入地了解自然界中的变化规律，可以用来解决各个领域的问题。
但是，极限的概念也存在着许多限制条件，这些限制条件是我们在研究极限时必须要注意的问题。
首先，极限存在定理是寻找极限时需要遵循的一个基本原则。
其表述是：如果一个数列有极限，那么这个极限是唯一的。
数学上可以表示为：如果数列 a n 有极限 L，那么当 n 趋近于无限大时，a n 与 L 之间的差距可以任意小。
另外，如果存在一个数L’，当 n 趋近于无限大时，a n 与L’ 之间的差距也可以任意小。
那么，我们就有L=L’。
也就是说，如果不同的极限存在，则不是真正的极限。
其次，序列的有界性也是寻找极限时需要注意的限制条件之一。
对于一个数列 a n 来说，如果存在一个固定的数字 M，使得a n ≤M 对于所有的 n 都成立。
则这个数列就是有界的。
当数列 a n 是有界的时候，我们可以通过极值定理来证明该数列具有极限。
微积分(6)函数极限的概念
5.自变量 x 从有限值 x0 的左侧无限地接近于 x0 ， 或者说自变量 x 从有限值 x0 的左侧趋于 x0 ，记作 x x0 ； 6.自变量 x 从有限值 x0 的右侧无限地接近于 x0 ， 或者说自变量 x 从有限值 x0 的右侧趋于 x0 ，记作 x x0 。
f ( x) A 来表示，其中 是事先任意给定的一个正数。由于函数值 f ( x) 无限
地接近于 A 是在 x 这一过程中实现的，于是，对于任意给定的正数 ，只 要求充分接近于 的 x 所对应的函数值 f ( x) 满足不等式 f ( x) A 。与数列 中的 n 类似，充分接近于 的 x 可“翻译”为 x X ，其中 X 是某个充分 大的正数。显然， X 刻画了 x 接近 的程度。
x x
lim f ( x) A 0 ， X 0 ，当 x X 时，有 f ( x) A 。
x
类似地，我们也可以写出函数极限 lim f ( x) A 的否定形式：
x
lim f ( x) A 0 0 ， X 0 ， x0 X 时，使得 f ( x0 ) A 0 。
y f ( x) 的图像位于这两条直线之间；
5
（3）函数极限 lim f ( x) A 的的几何意义：不论给定的正数 有多小，作两
x
条直线 y A 与 y A ， 总可以找到某个正数 X ， 使得当 x X 或 x X 时， 函数 y f ( x) 的图像位于这两条直线之间（如图） 。
根据上述三个定义，注意到 x X x X 或 x X ，我们即可得到以下 结论： 定理： 函数 f ( x) 当 x 时极限存在的充分必要条件是函数 f ( x) 当 x 时以及当 x 时极限都存在，并且相等，即
函数的极限 高三数学极限全章教案[整理五套]人教版 高三数学极限全章教案[整理五套]人教版
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函数的极限教学目标：1、使学生掌握当0x x →时函数的极限；2、了解：A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0教学重点：掌握当0x x →时函数的极限教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解。
教学过程： 一、复习：（1）=∞→nn q lim ＿＿＿＿＿1<q ;（2）).(_______1lim*∞→∈=N k xk x （3）?lim 22=→x x二、新课就问题（3）展开讨论：函数2xy =当x 无限趋近于2时的变化趋势当x 从左侧趋近于2时 （-→2x ）从右侧趋近于2 （+→2x ）我们再继续看112--=x x y当x 无限趋近于1（1≠x ）时的变化趋势；函数的极限有概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是A ，记作A x f x x =→)(lim 0。
特别地，C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→三、例题求下列函数在X ＝0处的极限（1）121lim 220---→x x x x （2）x x x 0lim → （3）=)(x f 0,10,00,22<+=>x x x x x四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。
五、练习及作业：1、对于函数12+=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于1时的变化趋势，说出当1→x 时函数12+=x y 的极限2、对于函数12-=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数12-=x y 的极限3* 121lim 221---→x x x x 32302)31()1(lim x x x x x +-+-→ )cos (sin 2lim 22x x x x --→π2321lim4--+→x x x xa x a x -+→20lim（0>a ） x x 1lim 0→。
高三数学总复习 函数极限的运算法则教案
湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案：函数极限的运算法教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 教学过程： 一、引入：一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o==→∞→lim ,01lim.若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 二 、新课讲授对于函数极限有如下的运算法则：如果B x g A x f oox x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么B A x g x f ox x +=+→)]()([lim B A x g x f ox x ⋅=⋅→)]()([lim)0()()(lim≠=→B BAx g x f ox x 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf oox x x x →→=n x x n x x x f x f oo)](lim [)]([lim →→=这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例1 求)3(lim 22x x x +→例2 求112lim 231++-→x x x x例3 求416lim 24--→x x x分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数4162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限. 例4 求133lim 22++-∞→x x x x分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。
极限的概念说课稿
播放
3
二、授课
n （ 1） ; n 1
n （ 2） 2 ;
数学理论篇
单调增加趋近于1 单调增加但无极限 单调增加趋近于0
单调数列不一定有极限
1 （ 3） ;
（4） ( 1) n 1 ；
n (1) （ 5） n
n 1
n
数学文化篇
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不割， 则与圆周合体而无所失矣”
它包含了 ―用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”
的重要极限思想
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二、授课
1、割圆术：
数学文化篇
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
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二、授课
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
x1 x1
x2 1 lim( x 1) 2 lim g ( x) lim x1 x1 x1 x 1
y f(x)=x+1
y f(x)=x+1 (1,2)
极限与有无 定义无关
x
(1,2)
-1 O
1
-1 O
1
x
图１
图2
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二、授课
数学理论篇
定义4 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某一去心领域内有 定义. 如果当 x x0 ( x x0 ) 时,函数 f ( x ) 无限接 近于常数 A, 则称常数 A 为函数 f ( x ) 当 x x0
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二、授课
（一）数列的极限
定义1 按一定次序排列的一列数
数学理论篇
这一列有序的数就叫数列. 记为x n .其中的每个数称 为数列的项, x n 称为通项(一般项).
《数列极限》
【数列极限】教学设计（人教版全日制数学第三册（选修2））青海省青海油田第一中学高中数学组段炳玉二零一零年九月十四日《数列极限》教学设计青海油田一中数学组段炳玉各位评委、老师们：你们好！我是青海油田第一中学的数学教师段炳玉，很高兴能参加这次教学研讨活动，向各学校的老师们学习。
深切盼望大家对我的说课内容提出宝贵意见.。
我今天说课的内容是《数列极限》。
我打算从以下六个方面来阐述我的教学设想：一、教材分析1．教材的地位和作用（1）在数学中的地位和作用众所周知，对数列极限这个概念的理解是学习导数所必备的知识.另外,极限也是从初等数学的思维方式到高等数学的思维方式的质的转变,在重点考察思维方法的高考命题中是最好的命题素材之一.（2）在全章中的地位和作用《数列的极限》安排在高中数学第三册（选修2）第二章、第二节，是数列极限的起始课。
这部分内容在课本第73页至76页。
是全章内容的起点，重点。
2．本节内容的课标要求从数列的变化趋势来理解极限的概念；能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；体会极限思想。
3．教学重点、难点、关键的确定教学重点：数列极限的概念教学难点：如何从变化趋势的角度, 来正确理解数列极限的概念教学关键：教学中启发学生在分析问题时抓住问题的本质（即定义）确立依据：这样确定重难点及教学关键，主要是基于课标要求和对本节课全面分析。
二、教学目标分析根据我对教材的分析以及对新课程的教学理念的认识，确定教学目标如下：（1）知识目标：使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；（2）能力目标：1、通过设置问题情境、数列变化趋势的分析，使学生理解数列极限的定义，学会数学语言的表述，培养学生观察、分析、概括的能力。
2、通过分层练习，使学生的基础知识得到进一步的巩固，进而学会数列极限的分析方法，体会在探索问题中由静态到动态、由有限到无限的辨证观点和“从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊”的认识过程。
数学高考复习名师精品教案：第94课时：第十二章 极限-函数的极限与连续性
数学高考复习名师精品教案第94课时：第十二章 极限——函数的极限与连续性课题：函数的极限与连续性 教学目标：1.使学生掌握当0x x →时函数的极限；2.了解：0lim()x x f x A →=的充分必要条件是0lim ()lim ()x x x x f x f x A +-→→==掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：掌握当0x x →时函数的极限。
运用函数极限的运算法则求极限教学难点：函数极限法则的运用。
对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解。
教学过程：一．函数的极限有概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是A ，记作A x f x x =→)(lim 0。
特别地，CC x x =→0lim；00limx x xx =→二．对于函数极限有如下的运算法则：)0()()(lim≠=→B BA x g x f ox x也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([limx f C x Cf oox x x x →→=nx x nx x x f x f oo)](lim [)]([lim →→=这些法则对于∞→x 的情况仍然适用.三 典例剖析例1．求下列函数在X ＝0处的极限 （1）121lim220---→x x x x （2）xx x 0lim→ （3）22,0()0,01,0x x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪+<⎩例2 求)3(lim 22x x x +→例3 求112lim231++-→x x x x例4 求416lim24--→x x x分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数4162--=x x y在定义域4≠x内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限. 例5 求133lim22++-∞→x x x x分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。
高三数学教案——极限
高中三年级数学学案目录模块一极限（数学选1-1，高三上；高二新下）12．1 数学归纳法及其应用13．2 数列极限13．3 函数极限模块二导数（数学选1-1，高三上；高二新下）13．1 导数的概念、公式及其运算法则13．2 导数的应用（一）13．3 导数的应用（二）模块三复数（数学选1-2，高三上；高二新下）14．1 复数的相关概念和几何意义14．2 复数的代数形式及其运算模块一极限【知识网络】1．1 数学归纳法及其应用【考点透视】一、考纲指要1．了解数学归纳法的原理，理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质．2．能用数学归纳法证明一些简单的问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列的通项与和问题、几何问题、整除性问题等等．3．掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质．二、命题落点1．客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，如例1．2．解答题大多以考查数学归纳法内容为主，并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目。
和例3，例4．3．“观察→归纳→猜想→证明”是一种十分重要的思维方法，运用这种思维方法既能发现结论，又能证明结论的正确性．这是分析问题和解决问题能力的一个重要内容，也是近几年高考的一个考查重点，如例24．数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法. 在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时，要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧。
【典例精析】例1：（1994·上海）. 某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N+）时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时该命题不成立B．当n=6时该命题成立C．当n=4时该命题不成立D．当n=4时该命题成立解析：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立．因为当n=k时，命题成立可推出n=k+1时成立，所以n=5时命题不成立，则n=4时，命题也一定不成立，故应当选C．答案：C例2：（1993·全国理）已知数列811322··，…，8212122··nn n()()-+，…。
3、概念的限制和概括
定义
下定义的方法 属加种差定义 （1）公式表示为：被定义概念＝属概念 ＋ 种差 （2）三步骤： 第一步，找出被定义项的邻近的属概念 。 第二步，找出种差，也就是找出它的特有属性。 第三步，按照DS 是DP 这一形式把定义表述出来。 例如：给“刑法”下定义 →找出属概念“法律”→ 找出种差“规定犯罪和刑罚”→按照“DS是DP”形式， “刑法是规定犯罪和刑罚的法律”。
概念的限制和概括
【“反变关系”一例】 “反变关系”一例】 刘晓庆在《我的路》中说： “做人难。做女人难。做名女人更难。 做单身的名女人，难乎其难。” 人——女人——名女人——单身名女人 这四个概念构成了一个属种关系的系列， 相互之间在内涵与外延之间就存在一个 反变关系
概念的限制和概括
二、概念的限制 1.定义 定义：亦称概念外延的缩小法 外延的缩小法，是通过增加 定义 外延的缩小法 增加 概念内涵以缩小概念外延的一种逻辑方法。 概念内涵 2.根据：概念内涵与外延的反变关系。 3.思维路径：是由属概念过渡到种概念。也有 3. 方向性，是从一个外延较大的概念过渡到外延 较小的概念。 4.语言方法：增加附加语或限制词，如在名词 前加定语，动词、形容词前加状语。 例如： 民主——社会主义否定句形式或负概念 违反规则就不能揭示出对象的特有属性 举例：合法行为就是不违反法律的行为。 4.定义项必须用清楚确切的科学术语 如：生命就是内在关系对外在关系的不断适应。
概念的限制和概括
3.为了准确地使用概念，常常需要对外延过宽 的概念加以限制。如果应当限制而不加限制， 就会出现“外延过宽”的错误。 例如：1981年3月26日《解放日报》载有 《美国的一个病人移植心肺成功》一文，文中 说：美国斯坦福大学的医务人员，最近把一个 十五岁男孩的心脏和肺，同时移植给一个女患 者，两天以后，患者已能吃固体食物。这个患 者叫玛丽·戈尔克，对她进行的各种测试证明， 手术是成功的。
高等数学极限3篇
高等数学极限【高等数学极限】第一篇：极限的定义和性质一、前言极限是高等数学中极为重要的概念，在微积分中占据着核心地位。
它是许多数学定理和公式的基础，也是数学中最抽象的概念之一。
因此，对于学习高数的同学来说，理解极限的定义和性质，掌握其基本的计算方法和运用技巧，是非常必要的。
二、极限的定义在高等数学中，极限的定义是相对复杂的。
在此我们可以从直观的角度出发，来理解何为极限。
设有一个函数f(x)，当x趋近于某一点a时，f(x)的值越来越接近于一个常数L，如果说L存在，则称L为函数f(x)当x趋近于a时的极限，记为：lim{ x→a } f(x)=L读作“x趋近于a时f(x)的极限等于L”。
其中，“lim”表示极限的符号，x→a表示x趋近于a，f(x)为被极限运算的函数，L为极限。
三、极限的性质1.极限的唯一性：如果函数f(x)当x趋近于a时的极限L存在，那么L是唯一的。
2.收敛性：如果函数f(x)当x趋近于a时的极限L存在，那么称函数f(x)是收敛于L的。
3.无界性：如果函数f(x)当x趋近于a时的极限不存在或无穷大，那么称函数f(x)是无界的。
4.夹逼定理：设函数g(x)≤f(x)≤h(x)，且lim{ x→a } g(x)=lim{ x→a } h(x)=L，那么函数f(x)当x趋近于a时的极限也存在且为L。
5.四则运算法则：如果函数f(x)和g(x)分别在点a附近有极限L和M，则：(1)lim{ x→a } (f(x)+g(x))=L+M(2)lim{ x→a } (f(x)-g(x))=L-M(3)lim{ x→a } g(x)f(x)=LM(4)如果M≠0，那么lim{ x→a } f(x)/g(x)=L/M四、常用极限1.常数函数的极限：lim{ x→a } c=c (c为常数)2.多项式函数的极限：lim{ x→a }(a0+a1x+a2x²+...+anxⁿ)=aⁿ3.指数函数的极限：lim{ x→0 } (1+x)⁽¹/ˣ⁾=e4.三角函数的极限：(1)lim{ x→0 } sinx/x=1(2)lim{ x→0 } cosx-1/x=0(3)lim{ x→0 } (1+1/x)⁽x/π⁾=e²五、极限的计算方法1.代入法：直接将x的值代入函数中计算出函数值，得到极限。
limn趋于无穷x的n次方的极限讲解
Limn趋于无穷x的n次方的极限讲解一、引言在数学中，极限是一个重要概念，它在微积分、实分析、数学分析和相关领域都有着广泛的应用。
其中，limn趋于无穷x的n次方的极限是一种经典的极限问题，其求解过程涉及到数学分析、数列极限和函数极限等知识。
本文将从深度和广度的角度，对limn趋于无穷x的n 次方的极限进行全面的探讨和讲解，帮助读者更深入地理解这一数学概念。
二、数列极限和函数极限的基本概念在深入讲解limn趋于无穷x的n次方的极限之前，我们首先需要了解数列极限和函数极限的基本概念。
数列极限指的是数列中的元素随着项数的增加趋于某一确定的常数或无穷大的过程，而函数极限则是指函数在自变量趋于某一确定的常数或无穷大时，因变量的极限值。
这两个概念是理解和求解极限问题的基础，对于解决limn趋于无穷x的n次方的极限问题至关重要。
三、limn趋于无穷x的n次方的极限讲解考虑极限lim(n→∞)x^n的求解过程，我们可以采取从简到繁、由浅入深的方式来探讨这一问题。
我们可以从数列极限的角度入手，通过数学归纳法和数列的性质，证明当x的绝对值小于1时，极限lim(n→∞)x^n=0；当x的绝对值大于或等于1时，极限lim(n→∞)x^n不存在。
这一部分的讲解有助于读者对于limn趋于无穷x的n次方的极限有一个直观的认识。
我们可以转而从函数极限的角度对这一极限问题进行讨论。
通过使用泰勒展开、极限的基本性质和极限的运算法则等方法，可以得到lim(n→∞)x^n的一般解法。
当x大于1时，x^n将会以无限大的速度增长；而当x小于1时，x^n则会以指数级的速度衰减。
这一函数极限的分析将有助于我们更全面地理解limn趋于无穷x的n次方的极限及其性质。
在讲解limn趋于无穷x的n次方的极限过程中，我们不仅要侧重于其数学性质和解法，还应该结合实际的例子和应用来加深读者对这一概念的理解。
我们可以以牛顿第二定律为例，通过极限的概念和求解过程，探讨质点在力的作用下的运动规律，并举例说明lim(n→∞)x^n 对于实际问题的应用。
第一个重要极限的推广及应用探析
第一个重要极限的推广及应用探析1. 引言1.1 引言概述极限是微积分中的重要概念，它在数学和其他学科领域中具有深远的影响。
在数学中，极限可以帮助我们理解函数在某个点的变化趋势，揭示函数的性质和特点。
第一个重要极限是极限定义，通过极限定义我们可以准确地描述函数在某个点的极限值。
本文将围绕第一个重要极限展开探讨，从其定义推广至应用，深入分析极限在数学建模和实践中的意义。
我们将通过具体案例分析和数学模型建立来阐述极限在实际问题中的应用和重要性。
我们将结合已有研究成果对未来的研究方向和发展趋势进行展望，以期为相关领域的研究提供新的思路和启示。
【200字】1.2 研究目的研究目的是对第一个重要极限进行深入探究，掌握其定义及推广规律，从而能够更好地应用和理解数学知识。
通过对重要极限的研究，可以帮助我们更好地理解数学中的极限概念，拓展数学思维，提高数学解决问题的能力。
深入研究重要极限的推广可以为数学领域的发展提供新的思路和方法，拓展数学应用的领域和范围。
本文旨在通过对第一个重要极限的推广及应用进行探析，为数学爱好者和研究者提供更深入的数学知识和思维交流平台，促进数学研究的进步和发展。
通过本文的研究，希望能够揭示重要极限在数学领域中的重要性和应用价值，为数学研究贡献新的思想和理论。
2. 正文2.1 重要极限的定义与推广重要极限的定义与推广是微积分中的重要概念，它们为我们解决实际问题提供了重要的数学工具。
我们来看一下重要极限的定义。
在数学中，极限的概念描述的是一个函数在某一点附近的行为。
具体来说，给定函数f(x)，当x趋近于某个数a时，如果f(x)的值接近于一个确定的常数L，那么我们说f(x)当x趋近于a时的极限是L，记作lim(x→a) f(x) = L。
重要极限的推广包括一些常见的极限形式，如无穷小、无穷大、洛必达法则等。
无穷小是指在x趋近于某个数时，函数值趋近于0的情况。
无穷大是指在x趋近于某个数时，函数值趋近于无穷大的情况。
高三数学课文教案
高三数学课文教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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极 限 的 概 念（4月27日）
教学目的：理解数列和函数极限的概念；
教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限； 教学难点：数列和函数极限的理解 教学过程：
一、实例引入：
例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。
（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。
观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。
n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。
”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。
二、新课讲授
1、数列极限的定义：
一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数A （即A a n -无限趋近于0）
，那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作 A a n n =∞
→lim
注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。
“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。
A a n n =∞
→lim 有时也记作当n →∞时，n a →A
②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？
例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由 （1）1，21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1
+n n ，…；
（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n
)1.0(-，…； （5）－1,1，－1，…，n
)1(-，…；
注：几个重要极限： （1）01
lim
=∞→n n （2）C C n =∞
→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n
q （1<q ）的极限是0，即 ：)1(0lim <=∞
→q q n
n
2、当∞→x 时函数的极限
（1） 画出函数x
y 1
=
的图像，观察当自变量x 取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于正无穷大时，函数的极限是0，记作：01
lim =+∞→x
x
一般地，当自变量x 取正值且无限增大时，如果函数 )(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =+∞
→)(lim
也可以记作，当x +∞→时，A x f →)(
（2）从图中还可以看出，当自变量x 取负值而x 无限增大时，函数x
y 1
=
的值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于负无穷大时，函数x
y 1=的极限是0，记作：01
lim =-∞→x x
一般地，当自变量x 取负值而x 无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =-∞
→)(lim
也可以记作，当x -∞→时，A x f →)(
（3）从上面的讨论可以知道，当自变量x 的绝对值无限增大时，函数x
y 1
=
的值都无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于无穷大时，函数x
y 1=的极限是0，记作01
lim =∞→x x
一般地，当自变量x 的绝对值无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =∞
→)(lim
也可以记作，当x ∞→时，A x f →)(
特例：对于函数C x f =)(（C 是常数），当自变量x 的绝对值无限增大时，函数C x f =)(的值保持不变，所以当x 趋向于无穷大时，函数C x f =)(的极限就是C ，即 C C x =∞
→l i m
P
M N
A B
C
例2：判断下列函数的极限：
（1）x x )2
1(lim +∞→ （2）x
x 10lim -∞→
（3）21
lim x x ∞→ （4）4lim ∞
→x
三、课堂小结 1、数列的极限
2、当x ∞→时函数的极限 四、练习与作业
1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限 （1）1，
41，91，…，21
n
，… ；（2）7，7，7，…，7，…； （3） ,2
)1(,,81,41,21n
n
---； （4）2，4，6，8，…，2n ，…； （5）0.1，0.01，0.001，…，n
10
1
，…； （6）0，,32,21--
…，11
-n ，…； （7）,41,31,21-…，1
1)1(1
+-+n n ，…；
（8）,51,5
9
,54…，52n ，…；
（9）－2, 0，－2，…，1)1(--n
,…， 2、判断下列函数的极限：
（1）x
x 4.0lim +∞
→ （2）x
x 2.1lim -∞
→
（3）)1lim(-∞→x （4）41
lim
x
x ∞→ （5）x x )101(lim +∞→ （6）x
x )4
5(lim -∞→
（7）11
lim 2+∞→x x （8）5lim ∞
→x
补充：3、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面
ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点。
（1）求证：MN ⊥AB ；
（2）若平面PCD与平面ABCD所成的二面角为θ，
能否确定θ，使得MN是异面直线AB与PC的公垂线？若可以确定，试求θ的值；若不能，说明理由。