双曲线基础练习题(老师版)
双曲线基础题10道-含答案
近距离为 2，则双曲线 C 的方程为（ ）
A． y2 x2 1 34
C． y2 x2 1 49
B． y2 x2 1 9 16
D． y2 x2 1 9 34
3．若双曲线 1 ：
x2 a2
y2 b2
1（ a
0，b
0 ）的离心率为
2，则双曲线
2
：
y2 b2
x2 a2
1
的离心率为（ ）
A． 2 3 3
F
，准线为 l
，且 l 与双曲线
C． 3
【分析】由双曲线的离心率公式求解即可.
D． 5
【详解】因为双曲线 1 的离心率 e1
a2 b2 a2
2 ，所以 b2
3a2 ，
所以双曲线 2 的离心率 e2
a2 b2 b2
4 2 3 ． 33
故选：A
4．已知双曲线
x2 m
y2 8m
1（0
m
8 ）的一条渐近线与直线
x
3 y 1平行，则此 3
F
，准线为 l
，且 l 与双曲线
:
x2 a2
y2 b2
1
（ a 0,b 0 ）的两条渐近线分别交于 A, B 两点，若△ABF 是正三角形，则双曲线 的
离心率为（ ）
A． 21
3
B． 7 2
C． 2 3 3
D． 7 3
试卷第 2页，共 3页
8．已知双曲线 C :
y2 a2
x2 b2
1a
6．若方程
2
x2 m
2
y2 m
1 表示双曲线，则
m
的取值范围是（
）
A． 2 m 2
双曲线基础题(含答案)
双曲线基础题一、单选题1．已知动点(),P x y2=，则动点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的左支D ．双曲线的右支2．已知双曲线的两个焦点分别为()10,5F −，()20,5F ，双曲线上一点P 与1F ，2F 的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）A ．221916x y −=B ．221169x y −=C ．221916y x −=D ．221169y x −=3．已知平面内两定点()13,0F −，()23,0F ，下列条件中满足动点P 的轨迹为双曲线的是（ ） A ．127PF PF −=± B ．126PF PF −=± C ．124PF PF −=±D ．22126PF PF −=±4．已知双曲线22:1169x y C −=的两焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，若110PF =，则2PF =（ ）． A ．16B ．18C ．4或16D ．2或185．若双曲线22:1916x y E −=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ） A ．11B ．9C ．5D ．36．设双曲线22:4640C x y −+=的焦点为12,F F ，点P 为C 上一点，16PF =，则2PF 为（ ） A ．22B ．14C ．10D ．27．已知双曲线C ：221169x y −=的左右焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线C 的右支上，则21PF PF −=（ ） A ．－8B ．8C ．10D ．8．若方程22122x y m m−=+−表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A ．22m −<<B ．2m >−C ．0m ≥D ．2m ≥9．已知方程22111x y k k−=+−表示双曲线，则实数k 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，1）B ．（0，+∞）C ．[0，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 10．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．4B ．－4C ．－14D ．1411．若方程22154x y m m +=−+表示的图形是双曲线，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞5B ．m ＜－4C ．m ＜－4或m ＞5D ．－4＜m ＜512．“102a <<”是“方程22121x y a a+=−表示的曲线为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件13．若双曲线221y x m−=的一个焦点为()3,0−，则m =（ ）． AB ．18 C．D ．814．椭圆22214x y a +=与双曲线22212x y a −=有相同的焦点，则=a （ ）A ．1−B ．1C ．1±D ．215．若方程2244x ky k +=表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ） A．B．CD16．双曲线221916x y −=的左顶点与右焦点间的距离为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．817．若椭圆22125x y m +=与双曲线221515x y −=的焦点相同，则m 的值为（ ）A ．3±B ．4C ．6D ．918．已知椭圆221(1)x y a a +=>和双曲线221(0)x y m m −=>有相同焦点，则（ ）A ．2a m =+B ．2m a =+C ．222a m =+D ．222m a =+19．与双曲线22154x y −=有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（ ）A ．2212x y +=B ．22154x y +=C ．22110x y +=D ．221134x y +=20．若椭圆22125x y m +=与双曲线221515x y −=的焦点相同，则m 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．1221．双曲线2214x y −=的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）AB ．2 CD ．122．等轴双曲线的一个焦点是()10,6F −，则其标准方程为（ ）A ．2211818x y −=B ．22199y x −=C ．2211818y x −=D ．22199x y −=23．等轴双曲线的两条渐近线的夹角大小为（ ） A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π324．双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的一条渐近线方程为y x =，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2 BC ．3 D25．等轴双曲线C ：()222210,0x y a b a b−=>>焦距为4，则C 的一个顶点到一条渐近线的距离为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．1226．双曲线2214y x −=的渐近线方程为（ ）A ．12y x =± B ．2y x =± C．y =D．2y x =±27．双曲线2228x y −=的渐近线方程是（ ）A ．12y x =±B ．2y x =± C．y = D．y x =28．已知双曲线()222:1016x y C b b−=>的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =± D ．34y x =?29．双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>A．y =B．y =C．2y x =±D．y x = 30．若直线31y x =−与双曲线22:1C x my −=的一条渐近线平行，则实数m 的值为（ ） A ．19B ．9C ．13D ．331．双曲线22143x y −=的离心率是（ ）A ．32B ．54C2D ．5232．若双曲线C 两条渐近线方程是y x =±，则双曲线C 的离心率是（ ）． ABC ．2D33．已知直线20x y −=双曲线22221y xa b−=的一条渐近线，则双曲线的离心率为（ ）AB ．2 CD34．已知双曲线22221x y a b−=（0a >，0b >）的一条渐近线的斜率为12，则该双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D二、解答题35．求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）焦点在x轴上，a =A ()5,2−； （2）焦点在y 轴上，焦距是16，离心率43e =； （3）离心率e =M ()5,3−． 36．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点)，()3,2； (2)焦点为()0,5−，()0,5，经过点⎝； (3)a b =，经过点()3,1−； (4)经过(3,−和9,54⎫⎛ ⎪⎝⎭两点．37．求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，离心率为53，两顶点间的距离为6；(2)以椭圆22159x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点.38．求适合下列条件的曲线标准方程.（1）虚轴长为16的双曲线的标准方程； （2）过点()1,3P −的抛物线的标准方程.39．求双曲线22494x y −=−的顶点坐标､焦点坐标､实轴长､虚轴长､离心率和渐近线方程. 40．求下列双曲线的实轴和虚轴的长、离心率、焦点和顶点坐标、渐近线方程： (1)2277x y −=； (2)2228x y −=−． 41．根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）焦距为(－5,2)，且焦点在x 轴上； （2）焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A (－5,6).42．m ，n 为何值时，方程221x y m n+=表示下列曲线：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线？43．已知曲线C 的方程为22173x y m m−=−−，根据下列条件，求实数m 的取值范围：(1)曲线C 是椭圆； (2)曲线C 是双曲线．。
双曲线基础题(2)(教师版)
高二数学双曲线练习题1．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( A )A ．y ＝±32xB ．y ＝±23xC ．y ＝±94xD ．y ＝±49x2．双曲线2216436x y -=上一点P 到右焦点的距离是 8，则P 到左焦点的距离是 ( B )A.325 B. 965C. 8D. 27 3.已知双曲线的实轴长为6，焦距为10，则该双曲线的标准方程为（ C ）A.116922=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x 或116922=-x y D. 191622=-y x 或116922=-y x 4、若双曲线标准方程为1222=-y x ，则双曲线的离心率是( C )A.22 B.23 C.26 D.1 5．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ C ） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线6.双曲线14322=-y x 的实轴长和虑轴长分别是( A )A. 32，4B.4，32C.3，4D. 2，37.双曲线221102x y -=的焦距为( D ) A. 32B. 42C. 33D. 438. 双曲线2214x y k-=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 ( D ) A .(0, 6) B . (3, 12) C . (1, 3) D . (0, 12)9. “ab<0”是“方程ax 2+by 2=c 表示双曲线”的 ( B )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件10.双曲线221169x y -=上的点P 到点(5, 0)的距离是15则点P 到点(－5, 0)的距离是( D ) A.7 B.23 C.5或25 D.7或2311.已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为F 1、F 2 ，P 为C 的右支上一点，且||||212PF F F =，则△PF 1F 2 的面积等于( C )（A ）24 （B ）36 （C ）48 （D ）9612．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0)B ．(52，0)C ．(62，0) D ．(3，0)13．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2C ．1或12D ．1 解析：选D.依题意：⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0<a 2<4，4－a 2＝a ＋2.解得a ＝1.故选D.14．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到点(－5,0)的距离为( )A ．7B ．23C ．5或25D ．7或23解析:选D.(－5,0)和(5,0)都是双曲线的焦点，||PF 1|－|PF 2||＝8，∴|PF 1|＝15＋8或15－8，即7或23.15．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a 等于( )A ．2 B. 3 C.32D ．116．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( )A ．－14B ．－4C ．4 D.14解析:选A.由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14，故选A.17．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( ) A.y 24－x 24＝1 B.x 24－y 24＝1 C.y 24－x 29＝1 D.x 28－y 24＝1解析：选A.2a ＋2b ＝2²2c ，即a ＋b ＝2c ，∴a 2＋2ab ＋b 2＝2(a 2＋b 2)，∴(a －b )2＝0，即a ＝b .∵一个顶点坐标为(0,2)，∴a 2＝b 2＝4，∴y 2－x 2＝4，即y 24－x 24＝1.18．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e 为( )A ．2B ．3 C.43 D.53解析：选D.依题意，2a ＋2c ＝2²2b ，∴a 2＋2ac ＋c 2＝4(c 2－a 2)，即3c 2－2ac －5a 2＝0，∴3e 2－2e －5＝0，∴e ＝53或e ＝－1(舍)．故选D.19．(2009²宁夏、海南)双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2 3B ．2 C. 3D ．1[答案] A [解析] 本题主要考查双曲线的几何性质．由双曲线x 24－y 212＝1得焦点坐标为(±4,0)，渐近线方程为3x ±y ＝0，∴焦点到渐近线的距离d ＝|43|3＋1＝2 3. 20．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1D.x 28－y 24＝1[答案] B[解析] 顶点为(0,2)，∴a ＝2且焦点在y 轴上，又实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，∴有4＋2b ＝2²2c ，且4＋b 2＝c 2，解得b ＝2.21．如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．2 2[答案] A[解析] ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，又两渐近线互相垂直，所以a ＝b ，c ＝a 2＋b 2＝2a ，e ＝ca＝ 2. 二、填空题22.如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的短轴长为___52_____23.．等轴双曲线的一个焦点是F 1（4，0），则它的标准方程是12222=-y x24.椭圆22143x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到右焦点的距离为___7_____ 25.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的离心率为_5____26.若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是 (,4)(1,)-∞-+∞ 。
(完整版)双曲线基础练习题
(完整版)双曲线基础练习题
1. 引言
该练题旨在帮助读者巩固并提高对双曲线的理解。
通过一系列的基础练题，读者将能够熟悉双曲线的基本特征、图像以及相关的数学概念。
2. 练题
2.1 双曲线图像的分析
给定下列双曲线的方程，请绘制出相应的图像，然后回答相关问题。
1. 双曲线方程：$y = \frac{1}{x}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。
- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。
2. 双曲线方程：$y = \frac{2}{x+1}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。
- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。
2.2 数学概念的应用
回答下列问题，注意要用双曲线的相关概念来解释答案。
1. 为什么双曲线的渐近线可以帮助我们理解双曲线图像的特征？
2. 双曲线的离心率是什么？如何确定一个双曲线的离心率？
3. 通过改变双曲线方程中的参数，如何调整双曲线的形状？
3. 结论
通过完成上述练习题，读者应该能够更深入地理解双曲线的基
本概念和性质。
这些练习题不仅帮助读者熟悉双曲线的图像和方程，还能够加深对双曲线的数学概念的理解。
继续探索和练习双曲线，
将有助于读者在更高级的数学领域中应用这些概念。
双曲线基础练习题
双曲线基础练习题
1.已知$a=3,c=5$，且焦点在$x$轴上，则双曲线的标准方程是$ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$。
2.已知$b=4,c=5$，且焦点在$y$轴上，则双曲线的标准方程是$\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$。
3.双曲线$\frac{x^2}{169}-\frac{y^2}{25}=1$的焦点坐标是$(0,\pm 6)$。
4.双曲线$\frac{x^2}{169}-\frac{y^2}{25}=1$的焦点坐标是$(\pm 5,0)$。
5.化简方程$(x-5)^2+y^2-(x+5)^2+y^2=6$得到
$\frac{x^2}{169}-\frac{y^2}{25}=1$。
6.已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$。
7.删除此段落。
8.双曲线$\frac{x^2}{169}-\frac{y^2}{25}=1$的顶点坐标是$(0,0)$。
9.双曲线$\frac{x^2}{169}-\frac{y^2}{25}=1$的焦点坐标是$(\pm 4,0)$。
10.已知双曲线$a=1,b=2\sqrt{2}$，且焦点在$x$轴上，则双曲线的标准方程是$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{8}=1$。
11.双曲线$\frac{x^2}{169}-\frac{y^2}{25}=1$的渐近线方程是$4x\pm 3y=0$。
12.已知双曲线的渐近线为$3x\pm 4y=0$，且焦距为10，则双曲线的标准方程是$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$。
《双曲线》练习测试题经典（含参考答案）
《双曲线》练习测试题经典（含参考答案）《双曲线》练习题⼀、选择题：1．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线⽅程是y ＝±4x ，则该双曲线的离⼼率是( A )A. B.C.D.2．中⼼在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，⼀个焦点到⼀条渐近线的距离为，则双曲线⽅程为（ B ）A ．x 2﹣y 2=1B ．x 2﹣y 2=2C ．x 2﹣y 2=D ．x 2﹣y 2= 3．在平⾯直⾓坐标系中，双曲线C 过点P （1，1），且其两条渐近线的⽅程分别为2x +y=0和2x ﹣y=0，则双曲线C 的标准⽅程为（ B ）A ．B ．C ．或D ．4.已知椭圆222a x ＋222b y ＝1（a ＞b ＞0）与双曲线22a x －22b y ＝1有相同的焦点，则椭圆的离⼼率为（A ）A ．22B ．21C ．66D ．365．已知⽅程﹣=1表⽰双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ A ）A ．（﹣1，3）B ．（﹣1，）C ．（0，3）D ．（0，） 6．设双曲线=1（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0）（0，b ）两点，已知原点到直线l 的距离为，则双曲线的离⼼率为（ A ）A ．2B ．C ．D ． 7．已知双曲线22219y x a-=的两条渐近线与以椭圆221259y x +=的左焦点为圆⼼、半径为165的圆相切，则双曲线的离⼼率为（A ）A ．54B ．53C ．43D ．658．双曲线虚轴的⼀个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离⼼率为( B )A. B.C. D.9．已知双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>的⼀个焦点到⼀条渐近线的距离是2，⼀个顶点到它的⼀条渐近线的距离为613，则m 等于(D) A ．9B ．4C ．2D ．,310．已知双曲线的两个焦点为F 1(－，0)、F 2(，0)，M 是此双曲线上的⼀点，且满⾜12120,||||2,MF MF MF MF ==u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r g g 则该双曲线的⽅程是( A )A.－y 2＝1B ．x 2－＝1C.－＝1 D.－＝111．设F 1，F 2是双曲线x 2－＝1的两个焦点，P 是双曲线上的⼀点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的⾯积等于( C )A ．4B ．8C ．24D ．4812．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有⼀条弦PQ 在左⽀上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( C )A ．28B ．14－8C ．14＋8D ．8 13．已知双曲线﹣=1（b ＞0），以原点为圆⼼，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的⾯积为2b ，则双曲线的⽅程为（ D ）A ．﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=114．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆⼼，|F 1F 2|为半径的圆与双曲线在第⼀、⼆象限内依次交于A ，B 两点，若3|F 1B |=|F 2A |，则该双曲线的离⼼率是（ C ）A ．B ．C ．D ．215．过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（C ）条。
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双曲线基础训练题（一）1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ D ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ C ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的 曲线可能是 （ C ）5．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ B ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x6．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有 （ D ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点7．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ）A ．28B ．22C ．14D ．128．双曲线方程为152||22=-+-ky k x ，那么k 的取值范围是 （ D ）A ．k ＞5B ．2＜k ＜5C ．－2＜k ＜2D ．－2＜k ＜2或k ＞59．双曲线的渐近线方程是y=±2x ，那么双曲线方程是（ D ）A ．x 2－4y 2=1 B ．x 2－4y 2＝1 C ．4x 2－y 2=－1 D ．4x 2－y 2=110．设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF（C ）A ．1或5B ． 6C ． 7D ． 911．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则双曲线的离心率e 的最大值为 （ B ）A ．43B ．53C ．2D ．7312．设c 、e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线12222=-by a x (a>0, b>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是 （ D ）A ．caB ．c bC ．ea D ．eb 13．双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=,22+n 则△PF 1F 2的面积为 （ B ）A ．21 B ．1 C ．2 D ．414．二次曲线1422=+my x ，]1,2[--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ C ）A ．]23,22[B ．]25,23[C ．]26,25[D ．]26,23[15．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____6416．设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰好过F17．双曲线122=-by ax 的离心率为5，则a :b= 4或4118．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ，∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．19．(本题12分)已知双曲线12222=-b y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程； [解析]∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x双曲线基础练习题（二）一. 选择题1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0),(4,0)-，则双曲线的方程是A. 221412x y -=B. 221124x y -= C. 221106x y -= D. 221610x y -=2.设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 上，长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点距离差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程是A. 2222143x y -=B. 22221135x y -=C. 2222134x y -= D. 222211312x y -=3. 已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率等于A ．53B ．43C ．54D ．324. 已知双曲线22112x y n n+=-，则n = A.2- B .4 C.6 D.8-5.设1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=的两个焦点,若1F 、2F 、(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，那么其离心率是A.32 B. 52C. 2D. 3 6．已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线距离之比等于A C. 2 D.4 7．如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 的距离是A.B. C. D. 8.设12F F ，是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,若其右支上存在一点P 使得1290F PF ∠=,且12PF =,则e =A.B. 1C.D . 19. 若双曲线22221x y a b-=的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2，则双曲线的离心率是A ．3B ．5C D10. 设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为A ．221+ B ．231+ C ．21+D ．31+11. 双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ABCD ．312. 设1,a >则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是A ．B ．C ．(25)，D ．(213．已知双曲线()222102x y b b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，它的一条渐近线方程为y x =，点0)P y 在该双曲线上，则12PF PF =A ．12-B ．2-C ．0D ．414．双曲线22221x y a b-=的两个焦点为1F 、2F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则离心率e 的取值范围是A ．(1)，3B ．(1，3]C ．(3)∞，+D ．)+[3，∞15．设P 为双曲线22112y x -=上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，若1PF ：2PF =3：2，则12PF F ∆的面积为A ．B ．12C ．D ．2416．设1F 、2F 是双曲线2219y x -=的左、右焦点，P 为该双曲线上一点，且120PF PF =，则12PF PF +=A ．B ．CD ．二．填空题17．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程是y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为18．以1(60)F -，，2(60)F ，为焦点,离心率2e =的双曲线的方程是19．中心在原点,一个焦点是1(30)F -，20y ±=的双曲线的方程为20．过点(20)N ，且与圆2240x y x ++=外切的动圆圆心的轨迹方程是21．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 22． 已知双曲线22291(0)ym x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =23．已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近的夹角为3π，则双曲线的离心率为24．已知双曲线22221x y a b -=的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAF ∆的面积为22a ，（O 为坐标原点），则该双曲线的两条渐近线的夹角为25．过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交双曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN+-=26． 若双曲线22221x y a b-=的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则e 取值范围是27．.P是曲线22221x y a b-=的右支上一点,F为其右焦点,M 是右准线:2x =与x 轴的交点,若60,PMF ∠=45PFM ∠=,则双曲线方程是28．过双曲线221916x y -=的右焦点F 且平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B, A 为右顶点，则FAB ∆的面积等于 三．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是5x=，离心率e =（2）中心在原点，离心率2e =30.已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的两个焦点为1(20)F -，，2(20)F ，，点()P 在双曲线C 上．⑴求双曲线C 的方程； ⑵记O 为坐标原点，过点(02)Q ，的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，若O E F =△S l 方程．双曲线练习题答案（二）一．选择题1．A 2. A3.A4. B 5. C6．C7．A8D9. D10. B11. B12. B13．C14．B15．B16B 二．填空题17．223144y=18．221927x y-=19．22145x y-=20．()22113yx x-=≥21．322．42324．2π25．826．(11⎤⎦27．2211260x y-=28．3215二．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是x=e=2214yx-=（2）中心在原点，离心率2e=顶点到渐近线的距离为5；2214xy-=30. 已知双曲线22221(00)x yC a ba b-=>>：，的两个焦点为1(20)F-，，2(20)F，，点()P在双曲线C上．⑴求双曲线C的方程；⑵记O为坐标原点，过点(02)Q，的直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，若OEF=△S l方程．⑴解略：双曲线方程为22122x y-=．⑵解：直线:l2y kx=+，代入双曲线C的方程并整理，得22(1)460k x kx---=. ①直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，222110(4)46(1)0kkkk k≠±⎧⎧-≠⎪⎪∴⇔⎨⎨<<∆=-+⨯->⎪⎪⎩⎩，，，,(1)(11)(13)k∴∈--，，.②设1122()()E x yF x y，，，，则由①式得12241kx xk+=-，12261x xk=--，EF ∴21k -而原点O 到直线l 的距离d =1122OEFS d EF ∴=⋅==△．若OEFS =△，即422201k k k=⇔--=-，解得k =此满足②故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+双曲线基础练习题（三）一、选择题（每题5分）1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（ ）A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x 3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是 （ ） A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5） C. （0，5）、（5，0） D.（0，-5）、（-5，0） 5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（ ）A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y x C.191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ）A ．1222=-y x B ．122=+-y x C ．122=-y x D. 1222=+-y x8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（ ） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是 （ ） A ．（4，0）、（-4，0） B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3） D ．（3，0）、（-3，0）10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（ ） A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x 12．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（ ）A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 二、填空题（每题5分共20分）13．已知双曲线虚轴长10，焦距是16，则双曲线的标准方程是________________. 14．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.15．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________.16.椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是___________________三、解答题17．（本小题（10分）已知双曲线C ：191622=+-y x ，写出双曲线的实轴顶点坐标，虚轴顶点坐标，焦点坐标，准线方程，渐近线方程。
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双曲线基础训练题1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ D ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ C ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的 曲线可能是 （ C ）5．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ B ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x6．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有 （ D ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点7．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ）A ．28B ．22C ．14D ．128．双曲线方程为152||22=-+-ky k x ，那么k 的取值范围是 （ D ）A ．k ＞5B ．2＜k ＜5C ．－2＜k ＜2D ．－2＜k ＜2或k ＞59．双曲线的渐近线方程是y=±2x ，那么双曲线方程是 （ D ） A ．x 2－4y 2=1B ．x 2－4y 2＝1C ．4x 2－y 2=－1 D ．4x 2－y 2=110．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF （C ）A ．1或5B ． 6C ． 7D ． 911．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则双曲线的离心率e 的最大值为 （ B ） A ．43B ．53C ．2D ．7312．设c 、e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线12222=-by a x (a>0, b>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是 （ D ）A ．caB ．c bC ．ea D ．eb13．双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=,22+n 则△PF 1F 2的面积为 （ B ）A ．21 B ．1 C ．2 D ．414．二次曲线1422=+my x ，]1,2[--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ C ）A ．]23,22[ B ．]25,23[C ．]26,25[D ．]26,23[15．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____6416．设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰好过F17．双曲线122=-by ax 的离心率为5，则a :b= 4或4118．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ，∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．19．(本题12分)已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程； [解析]∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x。
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双曲线基础练习题特别推荐HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】双曲线基础练习一、选择题：1．已知3=a ，5=c ，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（ ）（A ）116922=+y x （B ）116922=-y x （C ）116922=+-y x （D ）191622=-y x 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）（A ）191622=-y x （B ）191622=+-y x （C ）116922=+y x （D ）116922=-y x 3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（ ） （A ） 12 （B ）14 （C ）16 （D ）184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是（ ） （A ）（5，0）和（-5，0） （B ）（0，5）和（0，-5）（C ）（0，5）和（5，0） （D ）（0，-5）和（-5，0）5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：（ ）（A ）116922=-y x （B ）191622=+-y x （C ）116922=+y x （D ）191622=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（ ）（A ）.116922=-y x 和116922=+-y x （B ）116922=-y x 和191622=+-y x （C ）191622=-y x 和191622=+-y x （D ）1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ）（A ）1222=-y x （B ）122=+-y x （C ）122=-y x （D ）1222=+-y x8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左、右焦点，且PB AP ⊥，则PAB ∆的面积为（ ）（A ） 9 （B ）18 （C ）24 （D ）369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是（ ） （A ）（4，0）和（-4，0） （B ）（0，-4）和（0，4）（C ）（0，3）和（0，-3） （D ）（3，0）和（-3，0）10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）（A ）1222=-y x （B ）122=-y x （C ）122=+-y x （D ）1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（ ） （A ）034=±y x （B ）043=±y x （C ）0169=±y x （D ）0916=±y x12．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（ ）（A ）116922=-y x （B ）191622=+-y x （C ）116922=+y x （D ）191622=-y x 二、填空题：13．已知双曲线虚轴长10，焦距是16，则双曲线的标准方程是________________.14．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.15．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________.16.椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是___________________三、解答题：17.已知双曲线C ：191622=+-y x ，写出双曲线的实轴顶点坐标，虚轴顶点坐标，焦点坐标，准线方程，渐近线方程。
双曲线基础知识练习测试题
A． B． C． D．
9．椭圆 与双曲线 有公共焦点，则椭圆的离心率是()
A B C D
10.设椭圆C1的离心率为 ，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()
14.已知P是双曲线 上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|的值为________
15.双曲线 与椭圆 有共同的焦点，则m=
16.与双曲线x2－ ＝1有共同渐近线且经过点(2,2)的双曲线方程
三、解答题
17.求适合下列条件的双曲线的标准方程
（1）焦点在 轴上，实轴长是10，虚轴长是6
（2）若经过点 的直线 交双曲线 于 两点，且 为 的中点，求直线 的方程。
22.已知直线 与双曲线 交于 两点，
（1）求 的取值范围；
（2）若以 为直径的圆过坐标原点，求实数 的值。
双曲线基础知识练习题
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1．双曲线 的焦点坐标为()
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.双曲线 的实轴长是()
A．2B．2 C．4Dห้องสมุดไป่ตู้4
3.双曲线 的渐近线方程为（）
A． B． C． D．
4.如果方程 表示双曲线，则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
5.动点 到点 及点 的距离之差为 ，则点 的轨迹是（）
A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线
6.设P是双曲线 上一点，该双曲线的一条渐近线方程是 ， 分别是双曲线的左、右焦点，若 ，则 等于（）
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a2 k b2 k
a2 b2
A．相同的虚轴 B．相同的实轴 C．相同的渐近线 D． 相同的焦点
x2
7．过双曲线
16
y2 9
1 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6，则 ABF2 （F2 为右焦点）的周长
是（ A ）
A．28
B．22
C．14
D．12
8．双曲线方程为 x 2 y 2 1，那么 k 的取值范围是 | k | 2 5 k
（D ）
A．k＞5
传承文明
B．2＜k＜5 C．－2＜k＜2 D．－2＜k＜2 或 k＞5
爱心教育
1
用思维去演绎你的学海生涯
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版权所有 翻印必究 1 5 3 9 3 6 5 6 8 0 5
9．双曲线的渐近线方程是 y=±2x，那么双曲线方程是
（D）
A．x2－4y2=1 B．x2－4y2＝1
一个顶点到它的一条渐近线的距离是
（ D）
a
A．
c
b
B．
c
a
C．
e
b
D．
e
13．双曲线 x 2 y 2 1(n 1) 的两焦点为 F1，F2，P 在双曲线上，且满足 n
|PF1|+|PF2|= 2 n 2, 则△PF1F2 的面积为
（B）
1
A．
B．1
C．2
D．4
2
x2
14．二次曲线
y2
1， m [2,1] 时，该曲线的离心率 e 的取值范围是
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双曲线基础训练题（一）
1．到两定点 F1 3,0、 F2 3,0的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹
高中《双曲线》专题训练经典练习题1（含答案）
⾼中《双曲线》专题训练经典练习题1（含答案）⾼中双曲线专题训练经典练习题【编著】黄勇权⼀、选择题1、已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线⽅程是y=±2x ，则该双曲线的离⼼率是（）。
A 、3 B 、 5 C 、33 D 、552、已知焦点在x 轴上的双曲线的实轴是虚轴的2倍，⼀个焦点到⼀条渐近线的距离为3，则双曲线的标准⽅程为（）。
A 、 19y 36x 22=-B 、 118y 36x 22=-C 、 115y 30x 22=-D 、19y 30x 22=- 3、椭圆12y 20x 22=+与双曲线12y a x 222=-有共同的焦点，则a 的值是（） A 、3 B 、 4 C 、 32 D 、234、双曲线的两条渐近线为x+3y=0和x-3y=0，且经过p （1，1）点，则双曲线的⽅程是（）A 、 18y 89x 22=- 或 18x 89y 22=-B 、 189y 8x 22=- C 、 189y 8x 22=-或 18y 89x 22=- D 、 18x 89y 22=- 5、双曲线1by a x 2222=-的右焦点为（c ，0），直线λ过点（a ，0），（0，b ），原点O到直线λ的距离是2c，则双曲线的离⼼率是（） A 、 2 B 、 3 C 、 2 D 、36、双曲线1by a x 2222=-的⼀个交点到⼀条渐近线的距离是3，⼀个顶点到⼀条渐近线的距离是512，则双曲线的⽅程是（） A 、19y 20x 22=-B 、116y 20x 22=-C 、18y 16x 22=-D 、19y 16x 22=- 7、曲线C 是以椭圆112y 16x 22=+的右焦点为圆⼼，半径为1的圆，若双曲线15y a x 222=-的两条渐近线与圆C 相切，则双曲线的离⼼率是（） A 、23 B 、332 C 、 233 D 、 3358、双曲线1by a x 2222=-的左右焦点为F1，F2，P 是双曲线上的⼀点，若⼁PF1⼁+⼁PF2⼁=6a ，∠PF1F2=30°，则双曲线的离⼼率是（）A9、已知双曲线1by a x 2222=-（a ＞0，b ＞0）的离⼼率为3，直线y=2与双曲线的两个交点间的距离为6，则双曲线的⽅程为（）A 、 18y x 22=- B 、116y 2x 22=- C 、18y 4x 22=-D 、 127y 3x 22=- 10、双曲线115y x 22=-的左右焦点为F1、F2,点P 为双曲线上的⼀点，若3⼁PF1⼁=4⼁PF2⼁，则△PF 1F 2的⾯积是。
双曲线基础练习题(后附答案)
双曲线基础练习题（后附答案）一、选择题（每题5分）1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（ ）A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x 3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是 （ ） A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5） C. （0，5）、（5，0） D.（0，-5）、（-5，0）5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（ ）A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y x C. 191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ）A ．1222=-y xB ．122=+-y xC ．122=-y x D. 1222=+-y x 8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（ ） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是 （ ） A ．（4，0）、（-4，0） B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3） D ．（3，0）、（-3，0）10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ） A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（ ） A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x12．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（ ）A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 二、填空题（每题5分共20分）13．已知双曲线虚轴长10，焦距是16，则双曲线的标准方程是________________.14．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.15．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________. 16.椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是___________________三、解答题 1. 求以椭圆18522=+y x 的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。
双曲线基础练习
双曲线基础练习1双曲线题目：1．平面内有两个定点F 1(－5，0)和F 2(5，0)，动点P 满足条件|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是题目：2．双曲线36x 2－49y 2＝1的渐近线方程是题目：3．双曲线5x 2－4y 2＝1与5x 2－4y 2＝k 始终有相同的（）（A ）焦点（B ）准线（C ）渐近线（D ）离心率题目：4．双曲线x 2－ay 2＝1的焦点坐标是（）题目：5．设双曲线1by a x 2222=-(b>a>0)的半焦距为c ，直线l 过(a, 0)、(0, b)两点，已知原点到直线l 的距离是43c ，则双曲线的离心率是（）题目：6．若双曲线x 2－y 2=1右支上一点P(a, b)到直线y=x 的距离是2，则a ＋b 的值为（）。
题目：7．双曲线9x 2－7y 2＝1的离心率是。
题目：8．已知方程k 3x 2++k2y 2-=1表示双曲线，则k 的取值范围是。
题目：9．若双曲线2222k4y k 9x -=1与圆x 2＋y 2=1没有公共点，则实数k 的取值范围是。
题目：10. 曲线3sin 2x 2+θ+2sin y 2-θ=1所表示的图形是（）。
（A ）焦点在x 轴上的椭圆（B ）焦点在y 轴上的双曲线（C ）焦点在x 轴上的双曲线（D ）焦点在y 轴上的椭圆题目：11. 双曲线4x 2－9y 2=1的渐近线方程是题目：12. 若双曲线与椭圆x 2＋4y 2=64共焦点，它的一条渐近线方程是x ＋y=0，则此双曲线的标准方程是题目：13. 双曲线的两准线之间的距离是532，实轴长是8，则此双曲线的标准方程是题目：14. 若双曲线的两条准线间的距离等于它的半焦距，则双曲线的离心率为题目：15. 以F(2, 0)为一个焦点，渐近线是y=±x 的双曲线方程是（）。
题目：16. 方程m 3x 2-－2m y 2+=1表示双曲线，则m 的取值范围是（）。
双曲线基础练习题(老师版)
双曲线基础练习题1．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8，离心率45=e 的双曲线为( A ) (A)191622=-y x (B)1251622=-y x (C)116922=-y x(D)1162522=-y x2.与椭圆125＋1622=y x 有共同焦点，且过点)10,2(-P 的双曲线是( A ) (A)14522=-x y (B)14522=-y x (C)13522=-x y (D)13522=-x y 3．设双曲线122=-m y x 的离心率e ＞2，则实数m 的取值范围是( B )(A )(0，3) (B )(3，＋∞) (C )(0，1) (D )(1，＋∞)4．若方程11222=+-+m y m x 表示双曲线，则m 的取值范围为( C ) (A )m ＞－1 (B )m ＞－2(C)m ＞－1，或m ＜－2 (D)－2＜m ＜15．若椭圆12222=+n y m x (m ＞n ＞0)与双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)有相同焦点F 1，F 2，设P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( C )(A )m －a(B ))(21a m - (C )m 2－a 2(D )a m -6．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( A )A ．－1B ．1C ．－1020 D.102解析 化双曲线的方程为x 21m －y 23m ＝1，由焦点坐标(0,2)知：－3m －1m ＝4，即－4m ＝4，∴m ＝－1.7．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( B )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析 由题意a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k 4. 又∵e ∈(1,2)，∴1<4－k4<4，解得－12<k <0.8．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( B )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析 由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ，∴c ≤3a .又∵c >a ，∴a <c ≤3a ，∴1<ca≤3，即1<e ≤3.9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线的离心率的取值范围是( C )A ．(1，5)B ．(1，5)∪(5，＋∞)C ．(5，＋∞D ．[5，＋∞)[解析] 用数形结合法解决较为简单，由图分析可知，只有当渐近线斜率ba >2时，才能保证y ＝2x与双曲线有公共点，∴c 2－a 2a 2>4，即c 2a 2>5. ∴ca> 5.10．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2截直线4x ＋5y ＝0所得弦长为41，则双曲线的实轴长是( D ) A.65 B.125 C.32D ．3 解析 注意到直线4x ＋5y ＝0过原点，可设弦的一端为(x 1，y 1)，则有 ⎝⎛⎭⎫1＋1625x 21＝412. 可得x 21＝254，取x 1＝52，y 1＝－2.∴a 2＝254－4＝94，|a |＝32. 11．如果x 2|k |－2＋y 21－k＝－1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c 的取值范围是(A)A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(1,2)[解析] 方程化为：y 2k －1－x 2|k |－2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －1>0，|k |－2>0.∴k >2. 又c ＝k －1＋(k －2)＝2k －3>1，故选A. 12．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ D ）A ．x ＝±152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34y D ．y ＝±34x[解析] 由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上， ∴椭圆焦点(3m 2－5n 2，0)，双曲线焦点(2m 2＋3n 2，0)．∴3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2.∴m 2＝8n 2.又∵双曲线渐近线为y ＝±6·|n |2|m |·x ，∴代入m 2＝8n 2，|m |＝22|n |，得y ＝±34x .13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( B )A.45B.53C ．2D.73[解析] 由题意|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝23a ，设P (x 0，y )，则x 0>0，∴23a ＝ex 0－a ，∴e ＝5a3x 0.∵|x 0|≥a ，∴a x 0≤1.∴e ＝53·a x 0≤53.故选B.14．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线方程是( D )A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1 [解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，依题意c ＝7，∴方程可化为x 2a 2－y 27－a 2＝1，由⎩⎨⎧x 2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 27－2a 2. ∵x 2＋x 22＝－23，∴－a 27－2a 2＝－23， 解得a 2＝2.故所求双曲线方程为x 22－y 25＝1. 15．设点F 1、F 2为双曲线C ：16x 2－9y 2＝144的两个焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝__90°__．16．已知点F 、A 分别为双曲线C x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为___1＋52_____．[解析] 由已知F (－c,0)，A (a,0)，∴FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )， ∴由FB →·AB →＝0得－ac ＋b 2＝0，即c 2－ac －a 2＝0，e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52(另一根舍去)．17．若双曲线经过点)3，6(，且渐近线方程是x y 31±=，求双曲线的方程．答案：若双曲线的焦点在x 轴上，因为渐近线方程是x y 31±=，∴ )0(,192222>=-k k y k x又双曲线经过点)3,6(，所以223936k k -＝1，解得k 2＝1，,此时，双曲线为1922=-y x；若双曲线的焦点在y 轴上，因为渐近线方程是x y 31±=，所以，设所求方程为192222=-k x k y ，又双曲线经过点)3,6(，所以1936322=-k k ，此方程无解．综上，所求的双曲线为1922=-y x ．18．设F 1，F 2为双曲线1169:22=-x y C 的两个焦点，点M 为双曲线上一点，且∠F 1MF 2＝60°，求△MF 1F 2的面积．答案：由题意，双曲线的实半轴a ＝3，虚半轴b ＝4， 因为c2＝a2＋b2＝25，所以焦点F1(0，－5)，F2(0，5)，因为∠F1MF2＝60°，所以|F1F2|2＝|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|·|F2M|cos60°， 即100＝|F1M|2＋|F2M|2－|F1M|·|F2M|， ①又由双曲线定义，得‖F1M|－|F2M ‖＝6，平方得|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|·|F2M|＝36， ②由①②，得|F1M|·|F2M|＝64，所以，△MF1F2的面积为31623642160sin ||||212121=⨯⨯=⋅=∆ M F M F S M F F .19．以双曲线1:2222=-b y a x C (a ＞0，b ＞0)的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做C 的共轭双曲线．(1)写出双曲线15422=-y x 的共轭双曲线的方程；(2)设双曲线C 与其共轭双曲线的离心率分别为e 1，e 2，求证1112221=+e e ． 答案：(1)双曲线15422=-y x 的共轭双曲线的方程为14522=-x y ；(2)在双曲线C 中，半焦距22b a c +=，所以离心率ab a ace 221+==；双曲线C 共轭双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a a xb y ，其半焦距为22b a +，所以离心率bb a e 222+=.所以，1112222222221=+++=+b a b b a a e e .20．F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝123，又离心率为2.求双曲线的方程．[解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因|F 1F 2|＝2c ，而e ＝ca ＝2，由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝c .由余弦定理，得(2c )2＝|PF 1|＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|·(1－cos60°)，∴4c 2＝c 2＋|PF 1|·|PF 2|， 又S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin60°＝123，∴|PF 1|·|PF 2|＝48，∴3c 2＝48，c 2＝16得a 2＝4，b 2＝12.所求双曲线方程为x 24－y 212＝1.。
双曲线基础练习题1.doc
双曲线基础练习题1双曲线练习题一.选择题1.已知双曲线的离心率为2,焦点是(4, 0), (4, 0),则双曲线的方程是x2y2x2y2x2y2x2y2A. 1B. 1C. ID. 1 4121241066102.设椭圆Cl的离心率为5,焦点在x±,长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆Cl的两个焦点距离差13的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程是x2y2x2y2x2y2x2y2A. 2 2 1B. 1C. 2 2 1D. 2 2 1 1312431325234x2y243.已知双曲线2 2 1的一条渐近线方程为y x,则双曲线的离心率等于ab3A. 5 3B. 4 3 C・ 5 4 D. 3 2x2y24.已知双曲线In nd12nA. 2B. 4C. 6D. 8x2y25.设Fl、F2是双曲线2 2 1的两个焦点，若Fl、F2、P(0, 2b)是正三角形的三个顶点,那么其离ab心率是 A. 35 B. C. 2 D. 3 2226.已知双曲线3x y2 9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线距离之比等于C. 2D. 4 A72x2y27.如果双曲线1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y的距离是4>/642A.2>/6B.x/6C.D.&设Fl, F2是双曲线x2y2 1的左、右焦点，若其右支上存在一点a2b2P使得F1PF2 90 ,且PF12,则eV3-1A.B.1x/3+lC. D• 1x2y29.若双曲线2 2 1的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,则双曲线的离心率是abA. 3B. 5 CD10.设AABC是等腰三角形，ABC 120 ,则以A, B为焦点且过点C的双曲线的离心率为C・ A・ 1 22 B・ 1 3 21 2 D. 1x2y211.双曲线2 2 1的左、右焦点分别是F,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于M, FF30121ab若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为A&点，B苗C73• 3x2y21的离心率e的取值范围是12.设3 1,则双曲线2 2a(a 1) A• B.C. (2, 5) D.(2x2y213. U知双曲线 1 b 0的左、右焦点分别为Fl、F2,它的一条渐近线方程为yX,点2b2PyO)在该双曲线上，则PF1 PF2A. 12B. 2C. 0D. 4,则离心率e的x2y214.双曲线2 2 1的两个焦点为Fl、F2,若P为其上一点，且PEI 2PF2ab取值范I韦I是A. (1, 3)15.设P为双曲线x 1上一点，Fl、F2是双曲线的两个焦点，若PF1： PF2 3： 2, 则PF1F212的血积为A*2B. 12 C73• D. 24 y216.设Fl、F2是双曲线x 1的左、右焦点，P为该双曲线上一•点，且PF1 PF2 0,则9PF1 PF2AVioBVio・cDV5二・填空题x2y217.已知双曲线2 2 1 (a 0, bV30)的两条渐近线方程是y x,若顶点到渐近线的距离甜为1,则双曲线方程为0), F2(6, 18.以F0)为焦点，离心率e 2的双曲线的方程是1( 6,0)19 •中心在原点，一个焦点是Fl( 3,2y 0的双曲线的方程为20.过点N(2, 0)且与圆x2 y2 4x 0外切的动圆圆心的轨迹方程是21.C知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为22.已知双曲线9y2 m2x2 1 (m 0)的一个顶点到它的一•条渐近线的距离为1,贝mx2y2 23・已知双曲线2 l(a的两条渐近的夹角为a23,则双曲线的离心率为x2y2a224.(2知双曲线2 2 1的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A, 0AF的血积为甜2为坐标原点)，则该双曲线的两条渐近线的夹角为,(025.过双曲线x2y2 1左焦点Fl的直线交双曲线的左支于M, N43二两点，F2为其右焦点，则MF2 NF2 MNx2y226.若双曲线2 2 1的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则e取值范围是ab27.. Px2y2是曲线2 2 1的右支上一点,Fab为其右焦点,M是右准V2线：X与X轴的交点，若PMF 60 , PFM 45 ，则双曲线方程是x2y21的右焦点F且平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B, A为右顶点,28.过双曲线916则FAB的面积等于三.解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方穆(1)屮心在原点，一条准线方程是Xe (2)屮心在原点，离心率e顶点2y[5x2y20), F2(2,30.已知双曲线C2 2 l(a 0, b 0)的两个焦点为F0),点P(3在1 ( 2, ab双曲线C上.(1)求双曲线c的方程;⑵记0为坐标原点，过点Q(0, 2)的玄线1与双曲线C相交于不同的两点E, F,若5厶OEF求1方程.双册线练习题答案%1.选择题1. A2. A3. A4. B5. C6. C7. A8D9. DIO. Bll. B12. B13. C14. B15. B16B%1.填空题23y217 118. 4x2y2x2y2y22 1 x 1 21. 22. 119. 120. x 39274523・ 24. 32二.解答题25. 26V2. 11 27. x2y232 128. 12601529.分别求满足下列条件的双曲线方程y22 (1)屮心在原点，一条准线方程是x1 54x2y2 1 (2)屮心在原点，离心率e4x2y20), F2(2,0),点P(3在30.已知双曲线C2 2 l(a 0, b 0)的两个焦点为Fl ( 2, ab 双曲线Ct.⑴求双曲线C的方程；(2)记0为坐标原点,过点Q(0, 2)的直线1与双曲线C相交于不同的两点E, F,若$厶OEF⑵解：直线I：x2y2 1方程•⑴解略：双曲线方程为 1. 22y kx 2,代入双曲线C的方程并整理，得(1E, F,k2)x2 4kx 60.①直线1与双曲线c相交于不同的两点2 1 k 0,k 1,1)(11),.,k (22 k(4k) 4 6(1k)0,73②设E(xl, yl), F(x2, y2),则由①式得xl x2 4k1 k2, xlx2 61 k2,J(吗一工2)'+(”一”)-J(]+ £_)(•*EFJl + F{(.州+兀)'_4.片5Jl + R」k2而原点0到肓线1y/T+lr的距离d ,y/l + k2Jl + F2冋3"2 近（3 FSAOEFll d EF 22x/2若$厶2近|1-A:2OEF42 k k 2 0,解得k此满足②V2y近-2和y 2故满足条件的玄线1有两条,其方程分别为。
苏教版数学高二《双曲线》基础训练(苏教版选修2-1)
1．(2011年高考安徽卷改编)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是________．解析：∵2x 2－y 2＝8，∴x 24－y 28＝1，∴a ＝2，∴2a ＝4. 答案：42．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下四个判断：①当1<t <4时，曲线C表示椭圆②当t >4或t <1时，曲线C 表示双曲线③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<t <52④若曲线C 表示焦点在y轴上的双曲线，则t >4，其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．解析：①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)<0，∴t <1或t >4；③正确，若C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t >t －1>0，∴1<t <52；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t <0t －1>0，∴t >4.答案：②③④3．双曲线9x 2－16y 2＝－1的焦点坐标为________．解析：双曲线方程可化为y 2116－x 219＝1，∴c ＝a 2＋b 2＝116＋19＝512.∴两焦点为(0，－512)和(0，512)．答案：(0，－512)和(0，512)4．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点，且过点Q (2,1)的双曲线方程是________．解析：由椭圆方程得焦点为F 1(－3，0)和F 2(3，0)，故设双曲线方程为x 2a 2－y 23－a 2＝1，将Q (2,1)坐标代入得4a 2－13－a2＝1，∴a 4－8a 2＋12＝0.∴a 2＝2或a 2＝6>c 2(舍去)．故所求方程为x 22－y 2＝1.答案：x 22－y 2＝1一、填空题1．过双曲线x 216－y 29＝1的左焦点F 1的直线l 交双曲线于A ，B两点，且A ，B两点在y轴的左侧，F 2为右焦点，|AB |＝10，则△ABF 2的周长为________．解析：∵A ，B 两点在双曲线的左支上，∴|AF 2|－|AF 1|＝8，|BF 2|－|BF 1|＝8.又∵|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝10，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋10＝26.∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝26＋10＝36.答案：362．已知双曲线x 2－4y 2＝4上任意一点P 到双曲线的一个焦点的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离等于________．解析：设点P 到另一个焦点的距离为d ，由双曲线的定义得|d －6|＝2×2＝4，即d ＝10或2.答案：10或23．焦点在坐标轴上，中心在原点，且经过点P (27，3)和Q (－7，－62)的双曲线方程是________．解析：设双曲线的方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，把P 、Q 两点的坐标代入，得⎩⎨⎧m ·272－n ·32＝1m －72－n ·－622＝1，解得⎩⎨⎧m ＝125n ＝175.答案：x 225－y 275＝14．若椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2m －y 22＝1有相同焦点，则实数m 的值为________．解析：由已知0<m <4，且4－m ＝m ＋2，∴m ＝1. 答案：15．已知点F 1(－2，0)、F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2.当点P的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是________．解析：因为动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2为定值，又2<22，所以P 点的轨迹为双曲线的一支，因为2a ＝2，所以a ＝1，又因为c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝1，所以P 点轨迹为x 2－y 2＝1的一支，当y ＝12时，x 2＝1＋y 2＝54，则P 点到原点的距离为|PO |＝x 2＋y 2＝ 54＋14＝62. 答案：626．椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)与双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F 1，F 2，且P是这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|等于________．解析：由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，① 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a .② 由①2减去②2的差再除以4得|PF 1|·|PF 2|＝m －a . 答案：m －a7．曲线x 210－m ＋y 26－m ＝1(m <6)与曲线x 25－n ＋y 29－n＝1(5<n <9)的________相等．解析：曲线x 210－m ＋y 26－m ＝1(m <6)为椭圆方程，焦点在x 轴上，c 2＝(10－m )－(6－m )＝4；曲线x 25－n ＋y 29－n＝1(5<n <9)为双曲线方程，焦点在y 轴上，c 2＝(9－n )＋(n －5)＝4.答案：焦距8．已知F是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．解析：A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F ′(4,0)，于是由双曲线性质|PF |－|PF ′|＝2a ＝4，而|PA |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5，两式相加得|PF |＋|PA |≥9，当且仅当A 、P 、F ′三点共线时等号成立．答案：9 二、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝4，且经过点A (1，4103)；(2)焦点在y 轴上，且过点(3，－42)，(94，5)．解：(1)若设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则将a ＝4代入，得x 216－y2b 2＝1.又∵点A (1，4103)在双曲线上，∴116－1609b2＝1. 由此得b 2<0，∴不合题意，舍去．若设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则将a ＝4代入得y 216－x 2b2＝1，代入点A (1，4103)，得b 2＝9， ∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)设所求双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．∵点(3，－42)，(94，5)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－19，n ＝116.∴双曲线标准方程为y 216－x 29＝1.10．一动圆与两定圆⊙A ：(x ＋5)2＋y 2＝49，⊙B ：(x －5)2＋y 2＝1都外切，求动圆圆心P 的轨迹方程．解：如图所示，设动圆的半径为r ， 则|PA |＝r ＋7，|PB |＝1＋r ， ∴|PA |－|PB |＝6.又A ，B 为定点，且6<10，则由双曲线的定义知点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支．设动圆圆心P 的轨迹方程为x 2a 2－y 2b2＝1(x ≥a )．∵A (－5,0)，B (5,0)， ∴|AB |＝10＝2c . ∴c ＝5，即c 2＝25.又∵2a ＝6，∴a ＝3，即a 2＝9， ∴b 2＝c 2－a 2＝16.∴动圆圆心P 的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．11．在△ABC 中，|AB |＝42，且三内角A 、B 、C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B．建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解：如图，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A (－22，0)、B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有CA －CB ＝12AB ＝22<AB .由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝22， ∴b 2＝c 2－a 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．。
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双曲线基础练习题1．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8，离心率45=e 的双曲线为( A ) (A)191622=-y x (B)1251622=-y x (C)116922=-y x (D)1162522=-y x2.与椭圆125＋1622=y x 有共同焦点，且过点)10,2(-P 的双曲线是( A ) (A)14522=-x y (B)14522=-y x (C)13522=-x y (D)13522=-x y 3．设双曲线122=-m y x 的离心率e ＞2，则实数m 的取值范围是( B )(A )(0，3) (B )(3，＋∞) (C )(0，1) (D )(1，＋∞)4．若方程11222=+-+m y m x 表示双曲线，则m 的取值范围为( C ) (A )m ＞－1 (B )m ＞－2(C)m ＞－1，或m ＜－2 (D)－2＜m ＜15．若椭圆12222=+n y m x (m ＞n ＞0)与双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)有相同焦点F 1，F 2，设P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( C )(A )m －a(B ))(21a m - (C )m 2－a 2(D )a m -6．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( A )A ．－1B ．1C ．－1020 D.102解析 化双曲线的方程为x 21m －y 23m ＝1，由焦点坐标(0,2)知：－3m －1m ＝4，即－4m ＝4，∴m ＝－1.7．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( B )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析 由题意a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k 4. 又∵e ∈(1,2)，∴1<4－k4<4，解得－12<k <0.8．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( B )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析 由题意知在双曲线上存在一点P ， 使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ，∴c ≤3a .又∵c >a ，∴a <c ≤3a ，∴1<ca≤3，即1<e ≤3.9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线的离心率的取值范围是( C )A ．(1，5)B ．(1，5)∪(5，＋∞)C ．(5，＋∞D ．[5，＋∞)[解析] 用数形结合法解决较为简单，由图分析可知，只有当渐近线斜率ba >2时，才能保证y ＝2x 与双曲线有公共点，∴c 2－a 2a 2>4，即c 2a 2>5. ∴ca> 5.10．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2截直线4x ＋5y ＝0所得弦长为41，则双曲线的实轴长是( D ) A.65 B.125 C.32D ．3 解析 注意到直线4x ＋5y ＝0过原点，可设弦的一端为(x 1，y 1)，则有 ⎝⎛⎭⎫1＋1625x 21＝412. 可得x 21＝254，取x 1＝52，y 1＝－2.∴a 2＝254－4＝94，|a |＝32. 11．如果x 2|k |－2＋y21－k＝－1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c 的取值范围是(A)A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(1,2)[解析] 方程化为：y 2k －1－x 2|k |－2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －1>0，|k |－2>0.∴k >2. 又c ＝k －1＋(k －2)＝2k －3>1，故选A. 12．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ D ）A ．x ＝±152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34y D ．y ＝±34x[解析] 由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上， ∴椭圆焦点(3m 2－5n 2，0)，双曲线焦点(2m 2＋3n 2，0)．∴3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2.∴m 2＝8n 2.又∵双曲线渐近线为y ＝±6·|n |2|m |·x ， ∴代入m 2＝8n 2，|m |＝22|n |，得y ＝±34x .13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( B )A.45B.53C ．2D.73[解析] 由题意|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝23a ，设P (x 0，y )，则x 0>0，∴23a ＝ex 0－a ，∴e ＝5a3x 0.∵|x 0|≥a ，∴a x 0≤1.∴e ＝53·a x 0≤53.故选B.14．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线方程是( D )A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1 [解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，依题意c ＝7，∴方程可化为x 2a 2－y 27－a 2＝1，由⎩⎨⎧x 2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 27－2a 2. ∵x 2＋x 22＝－23，∴－a 27－2a 2＝－23，解得a 2＝2.故所求双曲线方程为x 22－y 25＝1. 15．设点F 1、F 2为双曲线C ：16x 2－9y 2＝144的两个焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝__90°__．16．已知点F 、A 分别为双曲线C x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为___1＋52_____．[解析] 由已知F (－c,0)，A (a,0)，∴FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )， ∴由FB →·AB →＝0得－ac ＋b 2＝0，即c 2－ac －a 2＝0，e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52(另一根舍去)．17．若双曲线经过点)3，6(，且渐近线方程是x y 31±=，求双曲线的方程．答案：若双曲线的焦点在x 轴上，因为渐近线方程是x y 31±=，∴ )0(,192222>=-k k y k x又双曲线经过点)3,6(，所以223936k k -＝1，解得k 2＝1，,此时，双曲线为1922=-y x；若双曲线的焦点在y 轴上，因为渐近线方程是x y 31±=，所以，设所求方程为192222=-k x k y ，又双曲线经过点)3,6(，所以1936322=-k k ，此方程无解．综上，所求的双曲线为1922=-y x ．18．设F 1，F 2为双曲线1169:22=-x y C 的两个焦点，点M 为双曲线上一点，且∠F 1MF 2＝60°，求△MF 1F 2的面积．答案：由题意，双曲线的实半轴a ＝3，虚半轴b ＝4， 因为c2＝a2＋b2＝25，所以焦点F1(0，－5)，F2(0，5)，因为∠F1MF2＝60°，所以|F1F2|2＝|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|·|F2M|cos60°， 即100＝|F1M|2＋|F2M|2－|F1M|·|F2M|， ①又由双曲线定义，得‖F1M|－|F2M ‖＝6，平方得|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|·|F2M|＝36， ②由①②，得|F1M|·|F2M|＝64，所以，△MF1F2的面积为31623642160sin ||||212121=⨯⨯=⋅=∆ M F M F S M F F .19．以双曲线1:2222=-by a x C (a ＞0，b ＞0)的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做C 的共轭双曲线．(1)写出双曲线15422=-y x 的共轭双曲线的方程；(2)设双曲线C 与其共轭双曲线的离心率分别为e 1，e 2，求证1112221=+e e ． 答案：(1)双曲线15422=-y x 的共轭双曲线的方程为14522=-x y ；(2)在双曲线C 中，半焦距22b a c +=，所以离心率ab a ace 221+==；双曲线C 共轭双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a a x b y ，其半焦距为22b a +，所以离心率b b a e 222+=.所以，1112222222221=+++=+b a b b a a e e . 20．F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝123，。