高中人教a版数学选修1-1课时作业：3-1-3导数的几何意义 word版含答案答案
数学选修1-1人教版导学案3.1.3导数的几何意义(可编辑修改word版)
0 导数的几何意义预习目标：导数的几何意义是什么？（预习教材 P 78~ P 80，找出疑惑之处） 课前预习学案复习 1：曲线上向上 P (x , y ), P (x + ∆x , y + ∆y ) 的连线称为曲线的割线，斜率 k =∆y =1 1 1 1 1 ∆x复习 2：设函数 y = f (x ) 在 x 0 附近有定义当自变量在 x = x 0 附近改变 ∆x 时，函数值也相应地改变 ∆y = ，如果当 ∆x 时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l 称为函数 f (x ) 在点 x 0 的瞬时变化率.记作：当 ∆x 时， → l上 课 学 案学习目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数. 学习重难点： 导数的几何意义学习过程：学习探究探究任务：导数的几何意义问题 1：当点 P n (x n , f (x n ))(n = 1, 2, 3, 4) ，沿着曲线 f (x ) 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时， 割线的变化趋是什么？新知：当割线 P P n 无限地趋近于某一极限位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT ，叫做曲线 C 在点 P 处的切线割线的斜率是： k n =当点 P n 无限趋近于点P 时， k n 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数 f (x ) 在 x = x 0 处的导数就是切线PT 的斜率k ， 即 k = lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) = f '(x )新知： ∆x →0 ∆x 0 函数 y = f (x ) 在 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y = f (x ) 在 P (x 0 , f (x )) 处切线的斜率.即 k = f '(x ) = lim f (x + ∆x ) - f (x 0 )0 典型例题∆x →0 ∆x 例 1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h (t ) = -4.9t 2 + 6.5t + 10 的图象.根据图象,请描述、比较曲 线 h (t ) 在t 0 , t 1 , t 2 附近的变化情况.例 2 如图,它表示人体血管中药物浓度c = f (t ) (单位: mg / mL )随时间t (单位: m i n )变化的函数图象.根据图象, 估计t =0.2,0.4,0.6,0.8 时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到 0.1)( , 2) 0有效训练 练 1. 求双曲线 y = 1 在点 1 处的切线的斜率,并写出切线方程. x 2练 2. 求 y = x 2 在点 x = 1 处的导数.反思总结函数 y = f (x ) 在 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y = f (x ) 在 P (x 0 , f (x )) 处切线的斜率. 即 k = f '(x ) = lim f (x + ∆x ) - f (x 0 )0 ∆x →0 ∆x 其切线方程为当堂检测 1. 已知曲线 y = 2x 2 上一点,则点 A (2,8) 处的切线斜率为（） A . 4 B . 16 C . 8 D . 22. 曲线 y = 2x 2 + 1 在点 P (-1, 3) 处的切线方程为（） A ． y = -4x - 1 C ． y = 4x - 1 B ． y = -4x - 7D ． y = 4x + 73. f (x ) 在 x = x 可导，则lim f (x 0 + h ) - f (x 0 ) （ ）0 h →0 hA ．与 x 0 、 h 都有关B ．仅与 x 0 有关而与 h 无关C ．仅与 h 有关而与 x 0 无关D ．与 x 0 、 h 都无关4. 若函数 f (x ) 在 x 0 处的导数存在，则它所对应的曲线在点(x 0 , f (x 0 )) 的切线方程为5. 已知函数 y = f (x ) 在 x = x 0 处的导数为 11，则lim ∆x →0 f (x 0 - ∆x ) - f (x 0 ) = ∆x课后练习与提高1. 如图,试描述函数 f (x ) 在 x = -5, -4, -2, 0,1 附近的变化情况.2. 已知函数 f (x ) 的图象,试画出其导函数 f '(x ) 图象的大致形状.学校： 一中 学科：数学 编写人：由召栋 审稿人：张林3.教学目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数.教学重难点：函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义教学过程：情景导入：如图,曲线 C 是函数 y =f (x )的图象,P ( x 0,y 0)是曲线 C 上的任意一点,Q (x 0+Δx ,y 0+Δy )为 P 邻近一点,P Q 为 C 的割线,P M //x 轴,Q M //y 轴,β为 P Q 的倾斜角.0 则 : MP x , M Q y , y tan . x ∆y 请问： 是割线P Q 的什么? ∆x展示目标：见学案检查预习：见学案合作探究：探究任务：导数的几何意义 问题 1：当点 P n (x n , f (x n ))(n = 1, 2, 3, 4) ，沿着曲线 f (x ) 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时，割线的变化趋是什么？ 新知：当割线 P P n 无限地趋近于某一极限位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT ，叫做曲线 C 在点 P 处的切线割线的斜率是： k n =当点 P n 无限趋近于点P 时， k n 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数 f (x ) 在 x = x 0 处的导数就是切线PT 的斜率k ， 即 k = lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) = f '(x )新知： ∆x →0 ∆x 0 函数 y = f (x ) 在 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y = f (x ) 在 P (x 0 , f (x )) 处切线的斜率.即 k = f '(x ) = lim f (x + ∆x ) - f (x 0 )0 精讲精练：∆x →0 ∆x 例 1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h (t ) = -4.9t 2 + 6.5t + 10 的图象.根据图象,请描述、比较曲( , 2) 0线 h (t ) 在t 0 , t 1 , t 2 附近的变化情况.解:可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况.(1) 当 t = t 0 时, 曲线 h (t ) 在 t 0 处的切线 l 0 平行于 x 轴.故在 t = t 0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.(2)当 t = t 1 时, 曲线 h (t ) 在 t 1 处的切线 l 1 的斜率 h ’(t 1) <0 .故在 t = t 1 附近曲线下降,即函数 h (t )在 t = t 1 附近单调递减. (3)当 t = t 2 时, 曲线 h (t ) 在 t 2 处的切线 l 2 的斜率 h ’(t 2) <0 .故在 t = t 2附近曲线下降,即函数 h (t ) 在 t = t 2 附近也单调递减. 从图可以看出，直线 l 1 的倾斜程度小于直线 l 2 的倾斜程度，这说明 h (t ) 曲线在 l 1 附近比在 l 2 附近下降得缓慢。
人教a版数学【选修1-1】作业：3.1.3导数的几何意义(含答案)
3.1.3导数的几何意义课时目标1.了解导函数的概念；理解导数的几何意义.2.会求导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．1．导数f′(x0)表示函数____________________，反映了________________________________________．2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线在该点的切线斜率，相应地，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．3．如果把y＝f(x)看做是物体的运动方程，那么导数f′(x0)表示运动物体在时刻x0的瞬时速度．当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的________(简称________)，有时记作y′，即f′(x)＝y′＝________________.一、选择题1．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2D．62．如果曲线y＝f(x)在点(2,3)处的切线过点(－1,2)，则有()A．f′(2)<0 B．f′(2)＝0C．f′(2)>0 D．f′(2)不存在3．下面说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么() A．h′(a)＝0 B．h′(a)<0C．h′(a)>0 D．h′(a)不确定5．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直6．已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是() A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)题号12345 6答案二、填空题7．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．8．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．9．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.三、解答题10．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率．11．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1 (a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y ＝6平行，求a的值．能力提升12．已知抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7通过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x －y －3＝0，求a ，b 的值．13．在曲线E ：y ＝x 2上求出满足下列条件的点P 的坐标． (1)在点P 处与曲线E 相切且平行于直线y ＝4x －5； (2)在点P 处与曲线E 相切且与x 轴成135°的倾斜角．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即 k ＝0lim x →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导数，再计算这一点处的导数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y －f(x0)＝f′(x0) (x －x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．3．1.3 导数的几何意义答案知识梳理1．f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 函数f (x )在x ＝x 0附近的变化情况3．导函数 导数 lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx 作业设计 1．D [∵y ＝2x 3，∴y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 2(x ＋Δx )3－2x 3Δx ＝lim Δx →02(Δx )3＋6x (Δx )2＋6x 2Δx Δx ＝lim Δx →0[2(Δx )2＋6x Δx ＋6x 2]＝6x 2. ∴y ′|x ＝1＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.] 2．C [由题意知切线过(2,3)，(－1,2)， 所以k ＝f ′(2)＝2－3－1－2＝－1－3＝13>0.]3．C [f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．] 4．B [2x ＋y ＋1＝0，得y ＝－2x －1， 由导数的几何意义知，h ′(a )＝－2<0.]5．B [曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0，切线与x 轴平行或重合．] 6．B [根据导数的几何意义，在x ∈[2,3]时， 曲线上x ＝2处切线斜率最大， k ＝f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)>f ′(3)．]7．－1解析 由偶函数的图象和性质可知应为－1. 8．2x －y ＋4＝0解析 由题意知，Δy ＝3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2＝3Δx 2＋2Δx ，∴y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝2. ∴所求直线的斜率k ＝2.则直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0. 9．2解析 ∵点P 在切线上，∴f (5)＝－5＋8＝3， 又∵f ′(5)＝k ＝－1， ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.10．解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则有y 0＝x 20.因y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x . ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0.因切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，将点(1，－3)代入，得：－3－x 20＝2x 0－2x 20，∴x 20－2x 0－3＝0，∴x 0＝－1或x 0＝3. 当x 0＝－1时，k ＝－2；当x 0＝3时，k ＝6. ∴所求直线的斜率为－2或6. 11．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9. ∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12. ∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3.12．解 f ′(x ) ＝lim Δx →0a (x ＋Δx )2＋b (x ＋Δx )－7－ax 2－bx ＋7Δx ＝lim Δx →0(a ·Δx ＋2ax ＋b )＝2ax ＋b . 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －7＝12a ＋b ＝4，解得a ＝－4，b ＝12.13．解 f ′(x ) ＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， 设P (x 0，y 0)为所求的点，(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行， 所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)． (2)因为切线与x 轴成135°的倾斜角， 所以其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－12，即y 0＝14，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14.。
人教A版高中数学选修1-1课时自测 当堂达标：3.1.3 导数的几何意义 精讲优练课型 Word版含答案
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课时自测·当堂达标1.曲线y=在点(1,1)处的切线方程为( )A.x-y-2=0B. x+y-2=0C.x+4y-5=0D.x-4y-5=0【解析】选B.f′(1)====-1.故切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.2.下列点中,在曲线y=x2上,且在该点处的切线倾斜角为的是( )A.(0,0)B.(2, 4)C. D.【解析】选D.k===(2x+Δx)=2x.因为倾斜角为,所以斜率为1,所以2x=1,得x=.3.曲线f(x)=x2-2在点处切线的倾斜角为.【解析】f′(-1)==-1,即曲线f(x)=x2-2在点处切线的斜率为-1,故倾斜角为135°.答案:135°4.若曲线y=2x2-4x+p与y=1相切,则p= .【解析】由题意得k===4x-4=0,解得x=1,所以切点为(1, 1),所以2-4+p=1,所以p=3.答案:35.已知曲线y=上两点P(2,-1),Q.(1)求曲线在点P,Q处的切线的斜率.(2)求曲线在P,Q处的切线方程.【解析】将点P(2,-1)代入y=,得t=1,所以y=.y′=====,(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x=2==1;曲线在点Q处的切线斜率为y′|x=1=.(2)曲线在点P处的切线方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0,曲线在点Q处的切线方程为y-=,即x-4y+3=0.关闭Word文档返回原板块高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
重视基础题和领悟数学思想方法，多做综合题目。
人教新课标A版高二数学《选修1-1》3.1.3 导数的几何意义
1-x03=3x02(1-x0)，即2x03-3x02+1=0，解得x0=1或
x0=- 1 .
2 3 故所求的切线方程为y-1=3(x-1)或y-1= 4
(x-1)，
即3x-y-2=0或3x-4y+1=0.
题目类型二、求切点的坐标
【技法点拨】
求切点坐标的五个步骤
(1)先设切点坐标(x0,y0)； (2)求导函数f′(x)； (3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0,y0)在曲线f(x)上，将(x0,y0)代入求y0得切点坐标.
【典例训练】 1.曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1， 则点P0的坐标为( ) （A）（1，0） （C）（2，8） （B）（1，0）和（-1，-4） （D）（2，8）和（-1，-4）
这个概念:（1）提供了求曲线上某点切线的斜率的
一种方法；（2）说明了切线斜率的本质——函数在
x=x0处的导数.
2.“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、 “导数”之间的区别与联系 （1）区别 ①函数在一点处的导数，就是在该点附近的函数 值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是 一个常数，不是变量. ②函数的导数，是对某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数f′(x).
y x
y =tanβ.显然， x 是割线PQ的斜
率.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,
割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲
线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0
时,割线PQ的斜率称为曲线在点P处ห้องสมุดไป่ตู้切线的斜率.
高二数学人教A版选修1-1学案第三章3-13-1-3导数的几何意义Word版含答案
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3.1.3导数的几何意义1.导数的几何意义是什么，如何求切线的斜率？导思2．如何求函数的导函数？1.导数的几何意义(1)切线的定义如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(2)导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝f′(x0)．(3)本质：是曲线上一点处的切线的斜率．(4)应用：①求切线的方程；②求直线的倾斜角(1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？(2)曲线的切线与导数有什么关系？提示：(1)曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．(2)①函数f(x)在x＝x0处有导数，则函数f(x)在该点处必有切线，并且导数值就是该切线的斜率．②函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，例如f(x)＝3x 在x＝0处有切线，但不可导．2．导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)是自变量x的一个函数，称为函数f(x)的导函数(简称导数).(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx．f′(x)与f′(x0)相同吗？它们之间有何关系？提示：f′(x)与f′(x0)不相同．f′(x)是函数f(x)的导函数，f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值，是函数f′(x)在x＝x0时的函数值．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在x ＝x0处的函数值．(×)(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值．(×)(3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．(√)(4)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．(×)提示：(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值．(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线倾斜角的正切值.(3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．(4)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线的斜率，不是点(x 0，f(x 0))与点(0，0)连线的斜率．2．曲线f(x)＝x 3＋2x ＋1在点(0，f(0))处的切线的方程为( )A.y ＝x －1B ．y ＝x ＋1 C.y ＝2x －1 D ．y ＝2x ＋1【解析】选D.因为f′(0)＝lim Δx→0 f （Δx ）－f （0）Δx＝lim Δx→0 （Δx ）3＋2Δx ＋1－1Δx＝lim Δx→0 ((Δx)2＋2)＝2， 所以曲线f(x)＝x 3＋2x ＋1在点(0，f(0))处的切线的斜率为2， 所以切线方程为y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.3．设f(x)为可导函数，且满足条件x 0lim → f （x ＋1）－f （1）2x ＝5，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )A.10 B ．3 C ．6 D ．8【解析】选A.因为x 0lim → f （x ＋1）－f （1）2x ＝5， 所以x 0lim → f （x ＋1）－f （1）x ＝10， 即f′(1)＝x 0lim → f （x ＋1）－f （1）x ＝10， 因此曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝10.类型一 求曲线的切线方程(数学运算)1．设函数f(x)是定义在R 上周期为2的可导函数，若f(2)＝2，且x 0lim →f （x ＋2）－22x ＝－2，则曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是( )A.y ＝－2x ＋2 B ．y ＝－4x ＋2C.y ＝4x ＋2 D ．y ＝－12 x ＋2【解析】选B.因为f(2)＝2由题意，x 0lim → f （x ＋2）－22x ＝12 x 0lim → f （x ＋2）－f （2）x ＝12 f′(2)＝－2， 所以f′(2)＝－4，根据导数的几何意义可知，函数在x ＝2处的切线斜率为－4，所以函数在(2，2)处的切线方程为y －2＝－4(x －2)，即y ＝－4x ＋10，因为函数f(x)是定义在R 上周期为2的可导函数， 所以曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线向左平移2个单位即可得到(0，f(0))处的切线方程为y ＝－4(x ＋2)＋10，即y ＝－4x ＋2.2．若曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为3x ＋y ＋5＝0，则( )A.f′(x 0)>0 B ．f′(x 0)<0C.f′(x)＝0 D ．f′(x 0)不存在【解析】选B.由切线方程y＝－3x－5及导数的几何意义知f′(x0)＝－3<0.1．求曲线上某点处切线方程的三个步骤2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤(1)设切点为Q(x0，y0).(2)求出函数y＝f(x)在点Q处的导数f′(x0).(3)利用Q在曲线上和f′(x0)＝k PQ，解出x0，y0及f′(x0).(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).类型二求切点坐标(数学运算)【典例】已知曲线y＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标和实数a的值．【思路导引】根据切线方程得到切线斜率为8，解导数方程即可得到结论．【解析】设切点P的坐标为(x0，y0)，切线的斜率为k，由y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→02（x＋Δx）2＋a－（2x2＋a）Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x，得k＝y′⎪⎪x＝x0＝4x0，根据题意得4x0＝8，x0＝2，分别代入y＝2x2＋a和8x－y－15＝0，得a＝－7，y0＝1，故P(2，1)，a＝－7.求曲线切点坐标的步骤(1)设切点：先设出切点坐标(x0，y0).(2)求斜率：求切线的斜率f′(x0).(3)列方程：由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(4)求切点：因点(x0，y0)在曲线上，将(x0，y0)代入曲线方程求y0，得切点坐标．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是() A.(1，1) B．(－1，1)C.(1，1)或(－1，－1) D．(2，8)或(－2，－8)【解析】选C.因为y＝x3，所以y′＝limΔx→0（x＋Δx）3－x3Δx＝limΔx→0[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1. 当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1).类型三导数几何意义的应用(数学运算)点在曲线上的切线问题【典例】直线l过点(1，2)且平行于曲线y＝x2＋x－2在(1，0)处的切线，求直线l的方程．【思路导引】先求出曲线在点(1，0)处的切线斜率，从而得直线l的斜率，进而得出l的方程．【解析】y′＝limΔx→0（x＋Δx）2＋（x＋Δx）－2－x2－x＋2Δx＝limΔx→02xΔx＋（Δx）2＋ΔxΔx＝limΔx→0(2x＋Δx＋1)＝2x＋1，所以y′⎪⎪x＝1＝2×1＋1＝3，所以直线l的斜率为3，所以l的方程为：y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0.本例改为直线l过点(1，2)且与曲线y＝x2＋x－2在(1，0)处的切线垂直，求直线l的方程．【解析】y′＝limΔx→0（x＋Δx）2＋（x＋Δx）－2－x2－x＋2Δx＝limΔx→02xΔx＋（Δx）2＋ΔxΔx＝limΔx→0(2x＋Δx＋1)＝2x＋1，所以y′⎪⎪x ＝1 ＝2×1＋1＝3， 所以直线l 的斜率为－13 ，所以l 的方程为：y －2＝－13 (x －1)，即x ＋3y －7＝0.已知点不在曲线上的切线问题【典例】求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线与x 轴、y 轴围成的三角形面积．【思路导引】点(－1，－2)不在曲线上，所以先根据题意确定切点的坐标，再求出切线方程，然后求面积．【解析】y′＝lim Δx→0 2（x ＋Δx ）－（x ＋Δx ）3－2x ＋x 3Δx＝lim Δx→0 [2－3x 2－3xΔx －(Δx)2]＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0，2x 0－x 30 )，则切线方程为：y －2x 0＋x 30 ＝(2－3x 20 )(x－x 0)，因为切线过点(－1，－2)，所以－2－2x 0＋x 30 ＝(2－3x 20 )(－1－x 0)，即2x 30 ＋3x 20 ＝0，解得x 0＝0或x 0＝－32 ，所以切点坐标为(0，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38 . 当切点为(0，0)时，切线斜率k ＝－2－0－1－0＝2，切线方程为y ＝2x ，与坐标轴构不成三角形．当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38时，切线斜率为：k ＝38－（－2）－32－（－1）＝－194 ，切线方程为：y ＋2＝－194 (x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.在x 轴上的截距为x ＝－2719 ，在y 轴上的截距为y ＝－274 ，所以切线与坐标轴围成的三角形面积为：S ＝12 ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2719 ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－274 ＝729152 .利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．1．已知曲线f(x)＝x ，g(x)＝1x ，过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝1x ，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，所以两曲线的交点坐标为(1，1).由f(x)＝x ， 得f′(1)＝lim Δx→0 1＋Δx －1Δx ＝lim Δx→0 11＋Δx ＋1 ＝12 ， 所以y ＝f(x)在点(1，1)处的切线方程为y －1＝12 (x －1)，即x －2y ＋1＝0.答案：x －2y ＋1＝02．已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行且与曲线相切的切线方程．【解析】设切点坐标为M(x 0，y 0)，由f′(x 0)＝lim Δx→0 （x 0＋Δx ）2－x 20 Δx＝2x 0，则切线斜率为2x 0， 又直线PQ 的斜率为k PQ ＝4－12＋1＝1， 因为切线与直线PQ 平行，所以2x 0＝1，所以x 0＝12 ，所以切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 ，切线斜率为1. 所以切线方程为y －14 ＝x －12 即4x －4y －1＝0.1．已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ 为曲线的割线，当Δx→0时，若k PQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为()A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2【解析】选B.由题意可知曲线在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.2．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P坐标为________．【解析】设点P(x0, 2x2＋4x0)，则f′(x0)＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→02（Δx）2＋4x0·Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4，令4x0＋4＝16得x0＝3，所以P(3，30).答案：(3，30)3．如图，函数f(x)的图象是折线段f(x)，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f(f(0))＝________；lim Δx→0f（1＋Δx）－f（1）Δx＝________．(用数字作答)【解析】f(0)＝4，f(4)＝2；由导数的几何意义知limΔx→0f（1＋Δx）－f（1）Δx＝－2.答案：2－24．已知抛物线y＝2x2＋1，抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y －3＝0?【解析】设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，所以ΔyΔx＝4x0＋2Δx，所以y′|x＝x0＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(4x0＋2Δx)＝4x0.因为抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，所以切线斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2.该点为(2，9).关闭Word文档返回原板块。
高中数学选修1-1课时作业5：3.1.3 导数的几何意义
3.1.3 导数的几何意义一、选择题1．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数的增量与自变量增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率2．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为 ( )A ．2x ＋y ＋3＝0B ．3x －y ＋5＝0C ．2x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝03．函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则在y ＝f (x )的图象上A ，B 的对应点附近，有( )A ．A 处下降，B 处上升B ．A 处上升，B 处下降C ．A 处下降，B 处下降D ．A 处上升，B 处上升4．如图所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )A.12 B ．1 C ．2 D ．05．(2014·杭州高二检测)若直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点P (1,3)，则b 等于( )A ．3B ．－3C ．5D ．－5二、填空题6．已知y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则b a＝________. 7．曲线f (x )＝3x ＋x 2在点(1，f (1))处的切线方程为__________．8．y ＝f (x )，y ＝g (x )，y ＝α(x )的图象如图所示：而下图是其对应导数的图象：则y ＝f (x )对应________；y ＝g (x )对应________；y ＝α(x )对应________．三、解答题9．已知函数f (x )＝x 2＋2.(1)求f ′(x )；(2)求f (x )在x ＝2处的导数．10．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，求： (1)点P 处的切线的斜率；(2)点P 处的切线方程．11．(2014·宁波高二检测)曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，求a 的值．[[答案]]1．[[解析]] 由导数的定义知，应选C.[[答案]] C2．[[解析]] ∵点(－1,0)不在抛物线y ＝x 2＋x ＋1上，故点(－1,0)不是切点，但此点在切线上，应满足切线方程，经验证，只有D 符合．[[答案]] D3．[[解析]] ∵所给图象的导函数的图象，且A 点处y ＜0，B 点处y ＞0，故原函数图象上A 处下降，B 处上升．[[答案]] A4．[[解析]] 由图象知f (5)＝－5＋8＝3.由导数几何意义知f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.[[答案]] C5．[[解析]] ∵点P (1,3)既在直线上又在曲线上，∴3＝k ＋1，且3＝1＋a ＋b ，即k ＝2，a ＋b ＝2.根据导数的定义知y ＝x 3＋ax ＋b 的导数为y ′＝3x 2＋a ，∴3×12＋a ＝k ，∴a ＝－1，b ＝3.[[答案]] A6．[[解析]] 由题意lim Δx →0a (1＋Δx )2＋b －a －b Δx ＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2a ＝2， ∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，∴b a＝2. [[答案]] 27．[[解析]] k ＝lim Δx →03(1＋Δx )＋(1＋Δx )2－3－12Δx ＝5. ∵f (1)＝4.由点斜式得y －4＝5(x －1)，即y ＝5x －1.[[答案]] y ＝5x －18．[[解析]] 由导数的几何意义，y ＝f (x )上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变，则y ＝f (x )对应B.y ＝g (x )上任一点处的切线斜率均小于零，且在起始部分斜率值趋近负无限，故y ＝g (x )对应C.y ＝α(x )图象上任一点处的切线斜率都大于零，且先小后大，故y ＝α(x )对应A.[[答案]] B C A9．【解】 (1)∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )2＋2－(x 2＋2)＝(Δx )2＋2x ·Δx ，∴Δy Δx＝2x ＋Δx . ∴f ′(x )＝limΔx →0Δy Δx ＝2x . (2)f ′(2)＝f ′(x )|x ＝2＝2×2＝4.10．【解】 (1)由y ＝13x 3， 得y ′＝limΔx →0Δy Δx＝lim Δx →013(x ＋Δx )3－13x 3Δx ＝13lim Δx →03x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝13lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2] ＝x 2，y ′|x ＝2＝22＝4.所以点p 处的切线的斜率等于4.(2)在点p 处的切线方程为y －83＝4(x －2)， 即12x －3y －16＝0.11．【解】 ∵y ＝x 3，∴y ′＝limΔx →0(x ＋Δx )3－x 3Δx＝3x 2， ∴y ′|x ＝a ＝3a 2，∴曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )，即y ＝3a 2x －2a 3.令x ＝a ，则y ＝a 3；令y ＝0，则x ＝23a . ∴S ＝12×13|a |×|a 3|＝16|a |4， ∴16|a |4＝16，∴|a |4＝1，∴a ＝±1.。
高中数学人教A版选修1-1优化练习：3.1 3.1.3 导数的几何意义 Word版含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则在点P 的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．165°解析：∵f ′(1)＝ lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝ lim Δx →012(1＋Δx )2－2－⎝⎛⎭⎫12－2Δx＝ lim Δx →0⎝⎛⎭⎫12Δx ＋1＝1， ∴k ＝1.又∵k ＝tan α＝1，∴α＝45°. 答案：B2．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为3x ＋y ＋5＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x )＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：由y ＝－3x －5知f ′(x 0)＝－3<0. 答案：B3．设f (x )为可导函数且满足 lim －2x →0 f (1)－f (1－2x )2x＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 解析： lim －2x →0 f (1)－f (1－2x )2x＝ lim －2x →0 f (1－2x )－f (1)－2x ＝ lim －2x →0 f [1＋(－2x )]－f (1)－2x ＝f ′(1)＝－1. 答案：B4．曲线y ＝f (x )＝x 3在点P 处切线的斜率为k ，当k ＝3时点P 的坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8)D.⎝⎛⎭⎫－12，－18 解析：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝f ′(x 0)＝ lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝ lim Δx →0(x 0＋Δx )3－x 3Δx＝ limΔx →0[(Δx )2＋3x 20＋3x 0·Δx ]＝3x 20.∵k ＝3，∴3x 20＝3，∴x 0＝1或x 0＝－1，∴y 0＝1或y 0＝－1. ∴点P 的坐标为(－1，－1)或(1,1)． 答案：B5．曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9D ．15解析：由导数的定义得Δy Δx ＝(1＋Δx )3＋11－12Δx ＝3＋3Δx ＋(Δx )2，则曲线在点P (1,12)处的切线斜率k ＝ limΔx →0 [3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3，故切线方程为y －12＝3(x －1)，令x ＝0，得y ＝9.答案：C6．已知函数y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝2等于________．解析：因为直线3x －y －2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y ′|x ＝2＝3.答案：3 7.如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图象，则f (2)＋f ′(2)＝________. 解析：由题图可知切线方程为y ＝－98x ＋92，所以f (2)＝94，f ′(2)＝－98，所以f (2)＋f ′(2)＝98.答案：988．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.解析：由导数的几何定义知y ′|x ＝1＝ lim Δx →0 a (1＋Δx )2＋b －(a ＋b )Δx ＝ lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a ＝2.∴a ＝1，把切点(1,3)代入函数y ＝ax 2＋b 得3＝a ＋b ，∴b ＝3－a ＝2，故ba ＝2.答案：29．在抛物线y ＝x 2上求一点P ，使在该点处的切线垂直于直线2x －6y ＋5＝0. 解析：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则抛物线y ＝x 2在点P 处的切线斜率为f ′(x 0)＝limΔx →0(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0.直线2x －6y ＋5＝0的斜率为13，由题设知2x 0·13＝－1，解得x 0＝－32，此时y 0＝94，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－32，94. 10．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝⎛⎭⎫－1，12. (1)求曲线在点P 、Q 处的切线的斜率； (2)求曲线在P 、Q 处的切线方程． 解析：将P (2，－1)代入y ＝1t －x，得t ＝1， ∴y ＝11－x.∴y ′＝ lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝ lim Δx →011－(x ＋Δx )－11－xΔx＝ lim Δx →0 Δx[1－(x ＋Δx )](1－x )Δx ＝ lim Δx →0 1(1－x －Δx )(1－x )＝1(1－x )2. (1)曲线在点P 处切线的斜率为y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1；曲线在点Q 处切线的斜率为y ′|x ＝－1＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0. 曲线在点Q 处的切线方程为 y －12＝14(x ＋1)， 即x －4y ＋3＝0.[B 组 能力提升]1．若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )解析：依题意，y ＝f ′(x )在 [a ，b ]上是增函数，则在函数f (x )的图象上，各点的切线的斜率随着x 的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A 满足． 答案：A2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解析：y ′＝ lim Δx →0(x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b －(x 2＋ax ＋b )Δx＝ lim Δx →0(2x ＋a )Δx ＋Δx 2Δx ＝2x ＋a ，因为曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y＋1＝0，所以切线的斜率k ＝1＝y ′|x ＝0，且点(0，b )在切线上，于是有⎩⎪⎨⎪⎧0＋a ＝1，0－b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1. 答案：A3．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 解析：由导数的定义可求得y ′＝ lim Δx →0 Δy Δx ＝ lim Δx →0 a (x ＋Δx )2－ax 2Δx＝ lim Δx →02ax ·Δx ＋a (Δx )2Δx ＝2ax ，所以k ＝2ax ＝1，所以x ＝12a ，y ＝12a －1.代入y ＝ax 2可解得a ＝14.答案：144．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤π4，π2，则点P 横坐标的取值范围为________． 解析：设点P 坐标为(x ，y )，∵y ′＝ lim Δx →0(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx ＝ lim Δx →0 (Δx )2＋(2x ＋2)Δx Δx ＝ limΔx →0(2x ＋2＋Δx )＝2x ＋2，由题意知切线斜率k ∈ [1，＋∞)，由导数的几何定义可得2x ＋2≥1，∴x ≥－12. 答案：[－12，＋∞)5．设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax ＋b (a ＞0)．若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解析：因为Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝a (1＋Δx )＋1a (1＋Δx )＋b －⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋b Δx ＝a 2(1＋Δx )－1a (1＋Δx )，所以limΔx →0 a 2(1＋Δx )－1a (1＋Δx )＝a 2－1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不符合题意，舍去)．将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.6．求曲线y ＝x 2上分别满足下列条件的切线与曲线的切点． (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.解析：y ′＝ lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝ lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝ lim Δx →02Δx ·x ＋Δx 2Δx＝ limΔx →0(2x ＋Δx )＝2x . 设切点坐标为(x 0，y 0)．(1)当k ＝4时，2x 0＝4，x 0＝2.切点为(2,4)． (2)当k ·13＝－1时，k ＝－3，即2x 0＝－3，x 0＝－32.切点为⎝⎛⎭⎫－32，94. (3)当α＝135°，k ＝tan α＝－1. ∴2x 0＝－1，x 0＝－12.切点为⎝⎛⎭⎫－12，14.。
高中人教a版数学选修1-1课时作业3-3-1导数与单调性 word版含答案
课时作业(五)
一、选择题
．已知函数＝()在定义域[－]内可导，其图象如图，记＝()的导函数为＝′()，则不等式′()≤的解集为( )
．[－，]∪[，]
．[－]∪[，]
．[－，－]∪[，]
．[－，－]∪[]∪[]
解析：不等式′()≤的解集即函数＝()的减区间，由图知＝()的减
区间为[－，]，[，]，故
′()≤的解集为[－，]∪[，]
答案：．若函数()＝＋＋的图象的顶点在第四象限，则函数′()的图象
是( )
解析：′()＝＋，由于函数()＝＋＋的图象的顶点在第四象限，∴
＝－>，∴<，故选.
答案：
．函数()＝(－)的单调递增区间是( )
．(－∞，) ．()
．() ．(，＋∞)
解析：′()＝＋(－)＝(－)，
由′()>，得>.
∴()在(，＋∞)上是增函数．
答案：．[·北京卷] 下列函数中，在区间(，＋∞)上为增函数的是( ) ．＝．＝(－)
．＝－．＝(＋)
答案：
．函数()＝－的单调递减区间为( )
．(－∞，) ．(，＋∞)
．() ．(－∞，)和(，＋∞)
解析：函数定义域为(，＋∞)，′()＝－，令－<，解得<<，即减
区间为()．
答案：
．已知函数()＝＋，则有( )
．()<()<() ．()<()<()
．()<()<() ．()<()<()
解析：′()＝＋，
∴∈(，＋∞)时，′()>，。
人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(十九) 3.1.3 导数的几何意义 探究导学课型 Word版含答案
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课时提升作业(十九)导数的几何意义(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.曲线y=x3-3x在点(2,2)的切线斜率是( )A.9B.6C.-3D.-1【解析】选A.Δy=(2+Δx)3-3(2+Δx)-23+6=9Δx+6(Δx)2+(Δx)3,=9+6Δx+(Δx)2,=(9+6Δx+(Δx)2)=9,由导数的几何意义可知,曲线y=x3-3x在点(2,2)处的切线斜率是9.2.曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线方程为( )A.y=5x-1B.y=-5x+1C.y=x+1D.y=-x-1【解析】选A.k==5.f(1)=4.由点斜式得y-4=5(x-1),即y=5x-1.3.下面说法正确的是( )A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f′(x0)有可能存在【解析】选C.f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率,当切线垂直于x轴时,切线的斜率不存在,但存在切线.【补偿训练】曲线y=x3-2在点处切线的倾斜角为( )A.30°B.45°C.135°D.60°【解析】选B.Δy=(-1+Δx)3-2-×(-1)3+2=Δx-(Δx)2+(Δx)3,=1-Δx+(Δx)2,==1,所以曲线y=x3-2在点处切线的斜率是1,倾斜角为45°.4.(2015·武汉高二检测)已知曲线y=在点P(1,4)处的切线与直线l平行且距离为,则直线l的方程为( )A.4x-y+9=0B.4x-y+9=0或4x-y+25=0C.4x+y+9=0或4x+y-25=0D.以上均不对【解析】选C.y′==-4,所以k=-4,所以切线方程为y-4=-4(x-1),即4x+y-8=0,设l:4x+y+c=0(c≠-8),由题意=,所以c=9或-25.5.(2015·丽水高二检测)已知曲线y=x2-2上一点P,则在点P处的切线的倾斜角为( )A.30°B.45°C.135°D.150°【解析】选B.在点P处的切线的斜率k=f′(1)=====1.设切线的倾斜角为α,则tanα=1,又0°≤α≤180°,所以α=45°.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若抛物线y=x2与直线2x+y+m=0相切,则m=________.【解析】设切点为P(x0,y0),易知,y′=2x.由得即P(-1,1).又P(-1,1)在直线2x+y+m=0上,故2×(-1)+1+m=0,即m=1.答案:17.曲线y=x2-3x的一条切线的斜率为1,则切点坐标为________.【解析】设f(x)=y=x2-3x,切点坐标为(x0,y0),f′(x0)===2x0-3=1,故x0=2,y0=-3x0=4-6=-2,故切点坐标为(2,-2).答案:(2,-2)8.(2015·惠州高二检测)如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=________.【解析】因为点P在切线上,所以f(5)=-5+8=3,又因为f′(5)=k=-1,所以f(5)+f′(5)=3-1=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.在曲线E:y=x2上求出满足下列条件的点P的坐标.(1)在点P处与曲线E相切的直线平行于直线y=4x-5.(2)在点P处与曲线E相切的直线与x轴成135°的倾斜角.【解析】f′(x)===2x,设P(x0,y0)为所求的点.(1)因为切线与直线y=4x-5平行,所以2x0=4,x0=2,y0=4,即P(2,4).(2)因为切线与x轴成135°的倾斜角,所以其斜率为-1,即2x0=-1,得x0=-,即y0=,即P.10.(2015·天水高二检测)已知曲线C:y=经过点P(2,-1),求(1)曲线在点P处的切线的斜率.(2)曲线在点P处的切线的方程.(3)过点O(0,0)的曲线C的切线方程.【解析】(1)将P(2,-1)代入y=中得t=1,所以y=.所以===,所以=,所以曲线在点P(2,-1)处切线的斜率为k==1.(2)曲线在点P处的切线方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.(3)因为点O(0,0)不在曲线C上,设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点M(x0,y0),则切线斜率k==,由于y0=,所以x0=,所以切点M,切线斜率k=4,切线方程为y-2=4,即y=4x.【补偿训练】试求过点P(1,-3)且与曲线y=x2相切的直线的斜率.【解析】设切点坐标为(x0,y0),则有y0=.因为y′=了==2x.所以k=2x0.所以切线方程为y-=2x0(x-x0),将点(1,-3)代入,得:-3-=2x0-2,所以-2x0-3=0,所以x0=-1或x0=3.当x0=-1时,k=-2;当x0=3时,k=6.所以所求直线的斜率为-2或6.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.设f(x)为可导函数且满足=-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为( )A.2B.-1C.1D.-2【解析】选B.===f′(1)=-1.【补偿训练】(2015·聊城高二检测)设函数f(x)满足=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是( )A.2B.-1C.D.-2【解析】选B.因为==f′(1)=k=-1,所以y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是-1.2.(2015·贵阳高二检测)已知函数y=f(x)的图象如图,f′(x A)与f′(x B)的大小关系是( )A.0>f′(x A)>f′(x B)B.f′(x A)<f′(x B)<0C.f′(x A)=f′(x B)D.f′(x A)>f′(x B)>0【解析】选B.f′(x A)和f′(x B)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,故f′(x A)<f′(x B)<0.【补偿训练】已知y=f(x)的图象如图所示,则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是( )A.f′(x A)>f′(x B)B.f′(x A)=f′(x B)C.f′(x A)<f′(x B)D.f′(x A)与f′(x B)大小不能确定【解析】选 A.由y=f(x)的图象可知,k A>k B,根据导数的几何意义有:f′(x A)>f′(x B).二、填空题(每小题5分,共10分)3.函数y=f(x)=在x=1处的切线方程为________.【解析】f(1)==1,f′(1)====-1,则切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.答案:x+y-2=04.(2015·南京高二检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x),f′(0)>0,对于任意实数x,有f(x)≥0,则的最小值为________.【解题指南】由导数的定义,先求出f′(0)的值,从而求出的表达式,再利用“对于任意实数x,有f(x)≥0”这一条件,借助不等式的知识即可求解.【解析】由导数的定义,得f′(0)====b.又因为对于任意实数x,有f(x)≥0,则所以ac≥,所以c>0.所以=≥≥=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)5.直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切.(1)求切点的坐标.(2)求a的值.【解析】(1)设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0)点,则f′(x)===3x2-2x.由题意知,k=1,即3-2x0=1,解得x0=-或x0=1.于是切点的坐标为或(1,1).(2)当切点为时,=-+a,a=;当切点为(1,1)时,1=1+a,a=0(舍去).所以a的值为.【补偿训练】设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a 的值.【解析】因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-(+a-9x0-1)=(3+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3,所以=3+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2.当Δx无限趋近于零时,无限趋近于3+2ax0-9,即f′(x0)=3+2ax0-9,所以f′(x0)=3-9-.当x0=-时,f′(x0)取最小值-9-.因为斜率最小的切线与12x+y=6平行,所以该切线斜率为-12,所以-9-=-12.解得a=±3.又a<0,所以a=-3.6.(2015·厦门高二检测)试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.【解析】===3xΔx+3x2+Δx2.=3x2,因此y′=3x2,设过(1,1)点的切线与y=x3+1相切于点P(x0,+1),据导数的几何意义,函数在点P处的切线的斜率为k=3①,过(1,1)点的切线的斜率k=②,所以3=,解得x0=0或x0=,所以k=0或k=,因此y=x3+1过点M(1,1)的切线方程有两个,分别为y-1=(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0或y=1.【误区警示】本题易错将点(1,1)当成了曲线y=x3+1上的点.因此在求过某点的切线时,一定要先判断点是否在曲线上,再据不同情况求解.【补偿训练】若抛物线y=4x2上的点P到直线y=4x-5的距离最短,求点P的坐标.【解题指南】抛物线上到直线y=4x-5的距离最短的点,是平移该直线与抛物线相切时的切点.解答本题可先求导函数,再求P点的坐标.【解析】由点P到直线y=4x-5的距离最短知,过点P的切线方程与直线y=4x-5平行.设P(x0,y0),则y′====(8x+4Δx)=8x,由得故所求的P点坐标为.【拓展延伸】求最值问题的两种方法(1)目标函数法:通过设变量构造目标函数,利用函数求最值.(2)数形结合法:根据问题的几何意义,利用图形的特殊位置求最值.关闭Word文档返回原板块。
人教A版高中数学选修1-1课堂10分钟达标练 3.1.3 导数的几何意义Word版含答案
1.函数 y=x2 的导数为 ( .4
(x + Δx)2 ‒ x2
【解析】选 B. lim
= lim (2x+Δx)=2x.
Δx→0
Δx
Δx→0
2.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 3x+y+5=0,则 ( )
A.f′(x0)>0
可能相切.
4.若函数 f(x)在某点处的切线方程为 x-y+1=0,则函数在该点处的导数值为________.
【解析】由题意,函数在该点处的切线斜率 k=1,
故在该点处的导数值为 1.
答案:1
1
5.已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程为 y= x+2.求 f(1)与
2
f′(1)的值.
B.f′(x0)<0
C.f′(x)=0
D.f′(x0)不存在
【解析】选 B.由 y=-3x-5 知 f′(x0)=- 3<0.
3.直线与曲线有唯一公共点,则直线与曲线的位置关系是 ( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
【解析】选 D.由切线的定义可知:当直线与曲线有一个公共点时,该直线与曲线可能相交也
15
【解析】由题意得 f(1)= ×1+2= .
22
1
由导数的几何意义得 f′(1)=k= .
2
人教A版2019年高中数学选修1-1学案：第三章3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义_含答案
3.1.3 导数的几何意义学习目标：1.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)2.理解导函数的概念、会求简单函数的导函数．(重点)3.理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点)[自主预习·探新知]1．导数的几何意义(1)切线的定义设点P(x0，f(x0))，P n(x n，f(x n))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点P n(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k＝limΔx→0f x n－f x0x n－x0＝f′(x0)．(2)导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？[提示] 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．2．导函数的概念从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x 变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f x＋Δx－f xΔx.[基础自测]1．思考辨析(1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．( )(2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点．( )(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线．( )(4)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的．( ) [答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交B [由f ′(x 0)＝0知，曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0，所以切线与x 轴平行或重合．]3．如图315所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )【导学号：97792127】图315A ．12B ．1C ．2D ．0C [由题意知f ′(5)＝－1，f (5)＝－5＋8＝3，则f (5)＋f ′(5)＝2.][合 作 探 究·攻 重 难](1)y ＝－x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －12C ．y ＝4x －4D ．y ＝4x －2(2)已知曲线y ＝x 3－x ＋2，则曲线过点P (1,2)的切线方程为__________． [思路探究] (1)先求y ′|x ＝12，即切线的斜率，然后写出切线方程．(2)设出切点坐标，求切线斜率，写出切线方程，利用点P (1，2)在切线上，求出切点坐标，从而求出切线方程．[解析] (1)先求y ＝－1x 在x ＝12处的导数：Δy ＝－112＋Δx ＋112＝4Δx1＋2Δx.y ′|x ＝12＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 41＋2Δx＝4. 所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. (2)设切点为(x 0，x 30－x 0＋2)，则得y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0x 0＋Δx3－x 0＋Δx ＋2]－x 30－x 0＋Δx＝lim Δx →0((Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20－1)＝3x 20－1.所以切线方程为y －(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(x －x 0)． 将点P (1,2)代入得：2－(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(1－x 0)，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，所以x 0＝1或x 0＝－12，所以切点坐标为(1,2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198，所以当切点为(1,2)时，切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0，当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198时，切线方程为y －198＝－14x ＋12， 即x ＋4y －9＝0，所以切线方程为2x －y ＝0或x ＋4y －9＝0. [答案] (1)C (2)2x －y ＝0或x ＋4y －9＝02.求过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的步骤(1)设切点(x 0，y 0)(2)求f ′(x 0)，写出切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x (3)将点(x 1，y 1)代入切线方程，解出x 0，y 0及f (4)写出切线方程． 1．(1)曲线y ＝f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为__________．x ＋2y ＋4＝0 [y ′＝lim Δx →0fx ＋Δx －f xΔx ＝lim Δx →02x ＋Δx －2x Δx＝lim Δx →0－2·Δx x x ＋Δx Δx ＝－2x 2，因此曲线f (x )在点(－2，－1)处的切线的斜率k ＝－2－2＝－12.由点斜式可得切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.](2)试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程.【导学号：97792128】[解] 设所求切线的切点为A (x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2上， ∴y 0＝x 20，又∵A 是切点，y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x2Δx ＝2x .∴过点A 的切线的斜率y ′|x ＝x 0＝2x 0. ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即y ＝2x －1和y ＝10x －25.(1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.分别求出满足上述条件的点的坐标．[思路探究] 先求出函数的导函数f ′(x )，再设切点(x 0，y 0)，由导数的几何意义知切点(x 0，y 0)处的切线的斜率为f ′(x 0)，然后根据题意列方程，解关于x 0的方程即可求出x 0，又点(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上，易得y 0.[解] 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝4，即P (2,4)． (2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，且直线2x －6y ＋5＝0的斜率为13，所以2x 0·13＝－1，解得x 0＝－32，所以y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94.(3)因为切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为－1，即2x 0＝－1，解得x 0＝－12，所以y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.2．已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? [解] 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx ∴y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(4x 0＋2Δx )＝4x 0. (1)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1， 该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2， 该点为(2,9)．[探究问题]1．函数值增加的越来越快，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？提示：图象上升且下凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越大．2．函数值增加的越来越慢，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？提示：图象上升且上凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越小．如图316，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB 在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的( )图316[思路探究] 根据面积S增加的快慢情况判断S＝f(x)的图象形状．[解析]函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．故选D.[答案] D3．已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图317所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝k AB，则k1，k2，k3之间的大小关系为__________．(请用“>”连接)图317k 1>k 3>k 2 [由导数的几何意义可得k 1>k 2，又k 3＝f－f 2－1表示割线AB 的斜率，所以k 1>k 3>k 2.][当 堂 达 标·固 双 基]1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在B [由x ＋2y －3＝0知，斜率k ＝－12，∴f ′(x 0)＝－12＜0.]2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( ) A ．2B ．4C ．6＋6Δx ＋2(Δx )2D ．6D [∵y ＝2x 3，∴y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0x ＋Δx 3－2x 3Δx＝2 lim Δx →0Δx3＋3x Δx2＋3x 2ΔxΔx＝2 lim Δx →0[(Δx )2＋3x Δx ＋3x 2]＝6x 2.∴y ′|x ＝1＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.]3．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________． (3,30) [设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0Δx2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30)．]4．曲线y ＝x 2－2x ＋2在点(2,2)处的切线方程为________.【导学号：97792129】2x －y －2＝0 [Δy ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx ＋(Δx )2，∴ΔyΔx＝2＋Δx . ∴y ′|x ＝2＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2. ∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2. ∴切线方程为y －2＝2(x －2)， 即2x －y －2＝0.]5．函数f (x )的图象如图318所示，试根据函数图象判断0，f ′(1)，f ′(3)，f－f2的大小关系．图318[解] 设x ＝1，x ＝3时对应曲线上的点分别为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为BQ ，如图所示．则f－f 3－1＝k AB ，f ′(3)＝k BQ ，f ′(1)＝k AT ，由图可知切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角，直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角，即k BQ ＜k AB ＜k AT ，∴0＜f ′(3)＜f－f 2＜f ′(1)．。
人教新课标版数学高二数学选修1-1练习3-1-3导数的几何意义
技能演练1.设f (x )＝1x ，则lim x →af (x )－f (a )x －a 等于( ) A ．－1a B.2aC ．－1a 2 D.1a 2解析 lim x →a f (x )－f (a )x －a ＝lim x →a 1x －1a x －a＝ lim x →a a －x(x －a )·xa ＝－lim x →a1ax ＝－1a 2. 答案 C2．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)解析 由导数的定义，知y ′＝2x ，∴tan π4＝1，y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，∴x 0＝12，则y 0＝14，故选D.答案 D3．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )A ．1B.12 C ．－12D ．－1解析 由导数的定义知y ′＝2ax ，∴f ′(1)＝2a ＝2.∴a ＝1.答案 A4．若曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( )A ．h ′(a )<0B ．h ′(a )>0C ．h ′(a )＝0D ．h ′(a )的符号不定答案 A5．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t之间的函数关系为s ＝18t 2，则当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A. 2B. 1C.12D.14 答案 C6．函数f (x )＝－2x 2＋3在点(0,3)处的导数是________．答案 07．如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.解析 从图中可知，切线的方程为x 4＋y 4.5＝1，∴切线的斜率为－98，∴f ′(2)＝－98.当x ＝2时，代入方程得y ＝94，f (2)＝94，∴f (2)＋f ′(2)＝94－98＝98.答案 988．设曲线y ＝x 2在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为________．解析 由导数的定义可知y ′＝2x ，设P (x 0，y 0)，∴y ′|x ＝x 0＝2x 0＝3，∴x 0＝32.∴y 0＝x 20＝94，∴P 的坐标为(32，94)．答案 (32，94)9．已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．解 因为f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝4，所以过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k ，则4k＝－1，k ＝－14.所以所求的直线方程为y －2＝－14(x －1)，即x ＋4y －9＝0.10．求双曲线y ＝1x 在点(12，2)处的切线的斜率，并写出切线方程．解 ∵y ＝1x ，∴k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx＝lim Δx →0 －1x 2＋xΔx ＝－1x 2. ∴当x ＝12时，k ＝－4，∴切线斜率为k ＝－4.切线方程为y －2＝－4(x －12)，即4x ＋y －4＝0.。
高中数学选修1-1课时作业3：3.1.3 导数的几何意义
3.1.3 导数的几何意义一、选择题1．下列各点中，在曲线y ＝x 2上，且在此点处的切线倾斜角为π4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4)C.⎝⎛⎭⎫14，116 D.⎝⎛⎭⎫12，142．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其切线方程为( )A ．2x ＋y ＋2＝0B ．3x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0D ．x ＋y ＋1＝03.已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定4．若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )二、填空题5．曲线y ＝x 2－3x 在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为________．6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.三、解答题7．若曲线y ＝x 2－1的一条切线平行于直线y ＝4x －3.求这条切线的方程．8．求证：函数y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1.9．已知曲线y ＝x 2＋1，则是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．[[答案]]1．[[解析]] k ＝limΔx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x ，∵倾斜角为π4，∴斜率为1. ∴2x ＝1，x ＝12，故选D. [[答案]] D2．[[解析]] 设切点坐标为(x 0，y 0)，f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝lim Δx →0((2x 0＋1)＋Δx )＝2x 0＋1，所以x 20＋x 0＋1x 0＋1＝2x 0＋1， 解得x 0＝0或x 0＝－2，所以k ＝1或k ＝－3，所以切线方程为y ＝x ＋1或y ＝－3(x ＋1)，即x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0.[[答案]] C3. [[解析]] 由图象知函数在A 点处的切线倾斜角大于在B 点处的切线倾斜角，故f ′(x A )>f ′(x B )．[[答案]] A4．[[解析]] 依题意，y ＝f ′(x )在[a ，b ]上是增函数，则在函数f (x )的图象上，各点的切线的斜率随着x 的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A 满足，故选A.[[答案]] A5．[[解析]] 根据题意可设切点为P (x 0，y 0)，因为Δy ＝(x ＋Δx )2－3(x ＋Δx )－(x 2－3x )＝2x Δx ＋(Δx )2－3Δx ，Δy Δx＝2x ＋Δx －3，所以f ′(x )＝limΔx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx －3)＝2x －3. 由f ′(x 0)＝0，即2x 0－3＝0，得x 0＝32， 代入曲线方程得y 0＝－94， 所以P ⎝⎛⎭⎫32，－94 [[答案]] ⎝⎛⎭⎫32，－94 6．[[解析]] 由导数的几何意义得f ′(1)＝12， 由切线方程得f (1)＝12×1＋2＝52， 所以f (1)＋f ′(1)＝3.[[答案]] 37．若曲线y ＝x 2－1的一条切线平行于直线y ＝4x －3.求这条切线的方程．[[解析]] f ′(x )＝limΔx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－1－(x 2－1)Δx＝lim Δx →02x Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .设切点坐标为(x 0，y 0)，则由题意知，f ′(x 0)＝4，即2x 0＝4，∴x 0＝2.代入曲线方程得y 0＝3.故该切线过点(2,3)且斜率为4.所以这条切线的方程为y －3＝4(x －2)，即4x －y －5＝0.8．求证：函数y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1. 证明： ∵y ＝limΔx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫x ＋Δx ＋1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎫x ＋1x Δx＝x 2－1x 2＝1－1x2<1， ∴y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1. 9．已知曲线y ＝x 2＋1，则是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．[[解析]] 由Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋1－(x 2＋1)Δx＝2x ＋Δx . 得y ′＝limΔx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又因为切线过(1，a )，y 0＝x 20＋1，所以a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)，即x 20－2x 0＋a －1＝0.因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是{a |a <2}．。
高二人教A版数学选修1-1同步练习3-1-2导数的几何意义-Word版含答案
3.1.2导数的几何意义一、选择题1．曲线y ＝x 3－3x 在点(2,2)的切线斜率是( )A ．9B ．6C ．－3D ．－1[答案] A[解析] Δy ＝(2＋Δx )3－3(2＋Δx )－23＋6＝9Δx ＋6Δx 2＋Δx 3，Δy Δx＝9＋6Δx ＋Δx 2， lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (9＋6Δx ＋Δx 2)＝9， 由导数的几何意可知，曲线y ＝x 3－3x 在点(2,2)的切线斜率是9.2．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( ) A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°[答案] B[解析] Δy ＝13(－1＋Δx )3－13×(－1)3＝Δx －Δx 2＋13Δx 3，Δy Δx ＝1－Δx ＋13Δx 2， lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (1－Δx ＋13Δx 2)＝1， ∴曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫－1，－73处切线的斜率是1，倾斜角为45°. 3．函数y ＝－1x 在点(12，－2)处的切线方程是( ) A ．y ＝4xB ．y ＝4x －4C ．y ＝4(x ＋1)D ．y ＝2x ＋4 [答案] B[解析] Δy ＝2Δx Δx ＋12，Δy Δx ＝2Δx ＋12，lim Δx →0 2Δx ＋12＝4， ∴切线的斜率为4.∴切线方程为y ＝4⎝⎛⎭⎫x －12－2＝4x －4. 4．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在[答案] B[解析] 由导数的几何意义可知f ′(x 0)＝－12<0，故选B. 5．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线[答案] C[解析] 由于对导数在某点处的概念及导数的几何意义理解不透彻，不能认真分析题中所给选项，事实上A 、B 是一样的．它们互为逆否命题，讨论的是“f ′(x 0)存在与否”与切线存在与否的关系，而在导数的几何意义中讨论的是“切线的斜率”与“f ′(x 0)”，得C 是正确的，而A 、B 、D 都是不正确的，可一一举例说明．6．设f (x )为可导函数且满足lim x →0f (1)－f (1－2x )2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 [答案] B[解析] lim x →0 f (1)－f (1－2x )2x＝lim x →0 f (1－2x )－f (1)－2x＝lim －2x →0 f [1＋(－2x )]－f (1)－2x＝f ′(1)＝－1.7．在曲线y ＝x 2上的点________处的倾斜角为π4( ) A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116) D ．(12，14) [答案] D[解析] 倾斜角的正切值即为斜率，设点(x 0，y 0)则k ＝y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx＝lim Δx →0 2x 0Δx ＋Δx 2Δx＝lim Δx →0(2x 0＋Δx )＝2x 0＝1， ∴x 0＝12，y 0＝x 20＝14，∴点坐标(12，14)． 8．若函数f (x )的导数为f ′(x )＝－sin x ，则函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A ．90°B ．0°C ．锐角D ．钝角 [答案] C[解析] 函数图像在点(4，f (4))处的切线斜率为f ′(4)＝－sin4>0，所以函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为锐角．9．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(－1，－5)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(0,1)或(4,1) [答案] C[解析] k ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3＋(x 0＋Δx )－x 30－x 0Δx＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2＋1] ＝3x 20＋1＝4，∴3x 20＝3，即x 0＝±1， ∴点P 0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．10．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1B.12 C ．－12D ．－1[答案] A[解析] ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →1 a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝lim Δx →0 2a Δx ＋a (Δx )2Δx＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，∴a ＝1.二、填空题11．已知函数f (x )＝x 3＋2，则f ′(2)＝________.[答案] 12[解析] f ′(2)＝lim Δx →0 (2＋Δx )3＋2－23－2Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx －2)[(2＋Δx )2＋(2＋Δx )·2＋22]Δx＝lim Δx →0[4＋4Δx ＋(Δx )2＋4＋2Δx ＋4] ＝lim Δx →0[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12. 12．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．[答案] (2,4)[解析] 设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－3(x 0＋Δx )－(x 20－3x 0)Δx＝lim Δx →0 2x 0Δx －3Δx Δx＝2x 0－3＝1＝k ， 故x 0＝2，y 0＝x 20＝4，故切点坐标为(2,4)． 13．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴，x ＝2所围成的三角形的面积为________．[答案] 83[解析] y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx＝3x 2，所以k ＝y ′|x ＝1＝3×1＝3，所以在点(1,1)处的切线方程为y ＝3x －2，它与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫23，0，与x ＝2的交点为(2,4)，所以S ＝12×⎝⎛⎭⎫2－23×4＝83. 14．曲线y ＝x 3＋x ＋1在点(1,3)处的切线是________．[答案] 4x －y －1＝0[解析] 因为y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )＋1－(x 3＋x ＋1)Δx＝3x 2＋1， 所以k ＝y ′|x ＝1＝3＋1＝4，所以切线的方程为y －3＝4(x －1)，即4x －y －1＝0.三、解答题15．求曲线y ＝x 2＋3x ＋1在点(1,5)处的切线的方程．[分析] 点是曲线上的点→求切线的斜率k →得切线方程[解析] y ′|x ＝1＝lim Δx →0 (1＋Δx )2＋3(1＋Δx )＋1－(12＋3×1＋1)Δx＝lim Δx →0 5Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0(5＋Δx )＝5， 即切线的斜率k ＝5，∴曲线在点(1,5)处的切线方程为y －5＝5(x －1)即5x －y ＝0.16．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切．(1)求a 的值；(2)求切点的坐标．[解析] 设直线l 与曲线C 相切于P (x 0，y 0)点．f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx＝3x 2－2x .由题意知，k ＝1，即3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1. 于是切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327或(1,1)． 当切点为⎝⎛⎭⎫－13，2327时，2327＝－13＋a ，a ＝3227；当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，a ＝0(舍去)．∴a 的值为3227，切点坐标为(－13，2327)． [点评] 利用曲线在一点处的导数等于在这一点的切线的斜率，确定出切点．17．求过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程． [解析] 易知(2,0)不在曲线y ＝1x 上，令切点为(x 0，y 0)，则有y 0＝1x 0. 又y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝－1x 2， 所以y ′|x ＝x 0＝－1x 20， 即切线方程为y ＝－1x 20(x －2)① 而y 0x 0－2＝－1x 20② 由①②可得x 0＝1，故切线方程为y ＋x －2＝0.18．曲线y ＝x 2－3x 上的点P 处的切线平行于x 轴，求点P 的坐标．[解析] 设P (x 0，y 0)，Δy ＝(x ＋Δx )2－3(x ＋Δx )－(x 2－3x )＝2x ·Δx ＋(Δx )2－3Δx ，Δy Δx ＝2x ·Δx ＋(Δx )2－3Δx Δx＝2x ＋Δx －3. lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx －3)＝2x －3， ∴y ′|x ＝x 0＝2x 0－3，令2x 0－3＝0得x 0＝32， 代入曲线方程得y 0＝－94， ∴P ⎝⎛⎭⎫32，－94.。
2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1训练：3.1.3 导数的几何意义 Word版含解析
答案:B
6.曲线 y=x2-2x+2 在点(2,2)处的切线方程为 .
解析:∵Δy=(2+Δx)2-2(2+Δx)+2-(22-2×2+2)=2Δx+(Δx)2,
∴ΔΔ������������ = 2 + Δ������.
∴y'|x=2 = lim (2 + Δ������) = 2.
Δ������→0
.②
又抛物线过点 Q,∴4a+2b+c=-1.③
由①②③得 a=3,b=-11,c=9.
1
10.若函数 f(x)=x ‒ ������,求曲线������(������)与������轴交点处的切线的方程.
解:由
f(x)=x
‒
1 ������
=
0,得x=±1,
即与 x 轴交点坐标为(1,0)或(-1,0).
解析:由在点
M
处的切线方程
y
=
1
2������
+
2,得f(1)
=
1 2
×
1
+
2
=
5
2,������'(1)
=
1
2,则f(1)+f'(1)
51
= 2 + 2 = 3.
答案:3
8.已知两条曲线 y=x2-1 与 y=1-x3在点 x0处的切线平行,则 x0= .
解析:由 y=x2-1,得 y'|������ = ������0 = 2������0,
解:∵抛物线过点 P,∴a+b+c=1.①
又 y' =
a(x + ������x)2 + ������(������ + ������x) - ax2 - ������������
高中数学3.1.3导数的几何意义课时作业(含解析)新人教A版选修1_1
课时作业23 导数的几何意义知识点一导数的几何意义1.下面说法正确的是( )A.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在答案 C解析曲线在点(x0，y0)处有导数，则切线一定存在；但有切线，切线的斜率不一定存在，即导数不一定存在．2．曲线y＝x2在x＝0处的( )A.切线斜率为1B.切线方程为y＝2xC.没有切线D.切线方程为y＝0答案 D解析k＝y′＝limΔx→0＋Δx2－02Δx＝limΔx→0Δx＝0，所以k＝0，又y＝x2在x＝0处的切线过点(0,0)，所以切线方程为y＝0.知识点二导函数的概念3.函数在某一点的导数是( )A.在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比B．一个函数C.一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率答案 C解析根据函数在一某点处的导数的定义，可知选C.4．设f(x)在定义域内的每一点处都存在导数，且满足lim Δx→0f－f－ΔxΔx＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为__________．答案－1解析由题意得limΔx→0f[1＋－Δx－f－Δx＝f′(1)＝－1，则曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝－1.5．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得x 2＋4＝x ＋10，即x 2－x －6＝0，∴x ＝－2或x ＝3.代入直线的方程得y ＝8或y ＝13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y ＝x 2＋4， ∴y ′＝limΔx →0x ＋Δx2＋4－x 2＋Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6.即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0； 在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0. 易错点 求切线方程时忽略导数的几何意义6.已知曲线f (x )＝x 上的一点P (0,0)，求曲线在点P 处的切线方程．易错分析 本题易认为曲线在点P 处的导数不存在，则曲线在该点处的切线不存在． 解f＋Δx －fΔx＝Δx Δx ＝1Δx，根据切线的定义，当Δx →0时，割线的倾斜角无限逼近于π2，斜率不存在，故曲线在点P 处的切线为y 轴，即切线方程为x ＝0.一、选择题1．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A.f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )<f ′(x B ) C.f ′(x A )＝f ′(x B ) D ．不能确定 答案 B解析 由图象易知，点A ，B 处的切线斜率k A ，k B 满足k A <k B <0.由导数的几何意义，得f ′(x A )<f ′(x B )．2．已知曲线y ＝－12x 2－2上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52，则在点P 的切线的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.135° D.165°答案 C解析 ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52在曲线y ＝f (x )＝－12x 2－2上，则在点P 的切线斜率为f ′(1)＝k＝－1.∴在点P 的切线的倾斜角为135°.3．若曲线y ＝2x 2－4x ＋a 与直线y ＝1相切，则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0x 0＋Δx2－x 0＋Δx ＋a ]－x 20－4x 0＋aΔx＝lim Δx →0(4x 0＋2Δx －4)＝4x 0－4＝0，∴x 0＝1.即切点坐标为(1,1)． ∴2－4＋a ＝1，即a ＝3.4．如果曲线y ＝x 3＋x －10的一条切线与直线y ＝4x ＋3平行，那么曲线与切线相切的切点坐标为( )A.(1，－8)B.(－1，－12)C.(1，－8)或(－1，－12)D.(1，－12)或(－1，－8)答案 C解析 设切点坐标为P (x 0，y 0)， 则y 0＝x 30＋x 0－10的切线斜率为k ＝lim Δx →0x 0＋Δx3＋x 0＋Δx －10－x 30＋x 0－Δx＝lim Δx →03x 20Δx ＋3x 0Δx 2＋Δx 3＋ΔxΔx＝lim Δx →0[(3x 20＋1)＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20＋1＝4， 所以x 0＝±1，当x 0＝1时，y 0＝－8， 当x 0＝－1时，y 0＝－12，所以切点坐标为(1，－8)或(－1，－12)． 二、填空题5．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 解析 ∵y ＝x 2， ∴k ＝y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0x ＋Δx 2－x 2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x ，∴2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，则y ＝14.6. 如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图象，则f (2)＋f ′(2)＝________.答案 98解析 由题图可知切线方程为y ＝－98x ＋92，所以f (2)＝94，f ′(2)＝－98，所以f (2)＋f ′(2)＝98.7．曲线f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 围成的三角形的面积为16，则a ＝__________. 答案 ±1解析 因为f ′(a )＝lim Δx →0a ＋Δx 3－a 3Δx ＝3a 2，所以曲线在点(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )．令y ＝0，得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0，由题设知三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －23a |a 3|＝16，解得a ＝±1.三、解答题8．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线． 解 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →0＋Δx2－＋Δx ＋2－3＋4－2Δx＝limΔx→0(3Δx＋2)＝2.∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.9．已知曲线y＝1t－x上点P(2，－1)．求：(1)曲线在点P处的切线的斜率；(2)曲线在点P处的切线方程．解将P(2，－1)代入y＝1t－x，得t＝1，∴y＝11－x.∴y′＝limΔx→0f x＋Δx－f xΔx＝limΔx→011－x＋Δx－11－xΔx＝limΔx→0Δx[1－x＋Δx－xΔx＝limΔx→01－x－Δx－x＝1－x2.(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝2＝1－2＝1；(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0.。
【人教A版】高中数学：选修1-1全集第三章3.1-3.1.3导数的几何意义
2020年精品试题芳草香出品第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.1.3 导数的几何意义A级基础巩固一、选择题1．下列说法正确的是()A．曲线的切线和曲线有且只有一个公共点B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线D．若y＝f(x)在点(x0，f(x))处有切线，则f′(x0)不一定存在解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A、B错误；f′(x0)不存在，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x))的切线的斜率不存在，但切线可能存在，此时切线方程为x＝x0，故C 错误，D正确．答案：D2．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则()A．f′(x0)>0B．f′(x0)<0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在解析：因为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在x ＝x0处的切线的斜率，又切线2x－y＋1＝0的斜率为2，所以f′(x0)＝2>0.答案：A3．若曲线f (x )＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1 解析：因为f ′(1)＝ a （1＋Δx ）2－a ×12Δx＝ 2a Δx ＋a （Δx ）2Δx ＝ (2a ＋a Δx )＝2a ， 所以 2a ＝2，所以 a ＝1.答案：A4．y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x －12C ．y ＝4x －4D ．y ＝4x －2解析：先求y ＝－1x 的导数：Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δx x （x ＋Δx ），Δy Δx ＝1x （x ＋Δx ）， Δy Δx ＝ 1x （x ＋Δx ）＝1x 2，即y ′＝1x 2，所以y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝4.所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 即y ＝4x －4.答案：C5．曲线y ＝f (x )＝x 3在点P 处切线的斜率为k ，当k ＝3时点P 的坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1，1)。
2020-2021学年人教A版数学选修1-1配套学案：3.1.3 导数的几何意义 Word版含答案
3.1.3导数的几何意义内容标准学科素养1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义．2.会求简单函数的导函数．3.根据导数的几何意义，会求曲线上某一点处的切线方程.利用数学抽象发展逻辑推理提高数学运算授课提示：对应学生用书第53页[基础认识]知识点一导数的几何意义导数f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，反映了函数f(x)在x＝x0附近的变化情况．那么，导数f′(x0)的几何意义是什么呢？如图，当点P n(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n的变化趋势是什么？预习教材P76－79，思考并完成以下问题提示：当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．割线PP n的斜率是k n＝f(x n)－f(x0)x n－x0.当点P n无限趋近于点P时，k n无限趋近于切线PT的斜率．因此，函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)．知识梳理(1)导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．知识点二导函数的概念知识梳理从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.[自我检测]1．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A．4B．16C．8 D．2答案：C2．曲线y＝2x2＋1在点P(－1,3)处的切线方程为________．答案：4x＋y＋1＝0授课提示：对应学生用书第54页探究一导数几何意义的应用[阅读教材P77例2]如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t ＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．题型：导数几何意义的应用．方法步骤：①分别观察得出h(t)在t0，t1，t2处的导数，即切线的斜率的大小．②导数是刻画函数的变化快慢情况的量．③得出t0处h(t)几乎没有升降．又∵h′(t1)<h′(t2)<0，∴h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．[例1]如图表示物体运动的位移随时间变化的函数f(t)＝4t－2t2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况，并求出t＝2时的切线方程．[解析]用曲线f(t)在t0，t1，t2处的切线，刻画曲线f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．(1)当t＝t0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；(2)当t＝t1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f′(t1)<0，所以，在t＝t1附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t1附近单调递减；(3)当t＝t2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f′(t2)<0，所以，在t＝t2附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t2附近也单调递减．由图象可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢；(4)当t＝2时，f(2)＝0.在t＝2时的切线的斜率k＝f′(2)＝limΔx→0f(2＋Δt)－f(2)Δt＝limΔx→04(2＋Δt)－2(2＋Δt)2－8＋8Δt＝limΔx→04Δt－2(Δt)2－8ΔtΔt＝limΔx→0(－2Δt－4)＝－4.所以切线的方程为y＝－4(x－2)，即4x＋y－8＝0.方法技巧函数y＝f(x)在点P处的切线的斜率，即函数y＝f(x)在点P处的导数，反映了曲线在点P处的变化率．一般地，切线的斜率的绝对值越大，变化率就越大，曲线的变化就越快，弯曲程度越大；切线斜率的绝对值越小，变化率就越小，曲线的变化就越慢，弯曲程度越小，即曲线比较平缓；反之，由曲线在点P附近的平缓、弯曲程度，可以判断函数在P 处的切线的斜率的大小．跟踪探究1．已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)解析：从图象上可以看出f (x )在x ＝2处的切线的斜率比在x ＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0<f ′(3)<f ′(2)，此两点处的斜率f (3)－f (2)3－2比f (x )在x ＝2处的切线的斜率小，比f (x )在x ＝3处的切线的斜率大，所以0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选B.答案：B探究二 求曲线在某点处的切线方程[教材P 110复习参考题A 组1题]已知点P 和点Q 是曲线y ＝x 2－2x －3上的两点，且点P 的横坐标是1，点Q 的横坐标是4，求：(1)割线PQ 的斜率； (2)点P 处的切线方程．解析：(1)由题可知P (1，－4)，Q (4,5)， ∴k PQ ＝93＝3.∴割线PQ 的斜率为3.(2)点P 处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝limΔx →0 (1＋Δx )2－2(1＋Δx )－3－(12－2－3)Δx＝limΔx →0Δx ＝0， 当x ＝1时y ＝－4， ∴P 处切线方程为y ＝－4.[例2] 求曲线y ＝1x在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程． [解析] 因为y ′|x ＝2＝limΔx →0 12＋Δx －12Δx ＝lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14，所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.方法技巧 求曲线在某点处的切线方程的步骤 求斜率―→求出曲线在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率f ′(x 0)写方程―→用点斜式y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)写出切线方程变形式―→将点斜式变为一般式跟踪探究 2.曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 解析：k ＝limΔx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝limΔx →0(Δx ＋4)＝4， ∴曲线在P 处的切线方程为y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3， 令x ＝0得y ＝－3,∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3. 答案：－33．若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值． 解析：∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝limΔx →0 (x ＋Δx )3＋3a (x ＋Δx )－x 3－3ax Δx＝lim Δx →0 3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3＋3aΔx Δx＝limΔx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a . 设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)，结合已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得⎩⎨⎧a ＝1－322，x 0＝－342，∴a ＝1－322. 探究三 求曲线过某点的切线[例3] 已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3,9)的切线方程．[解析] y ′＝limΔx →0ΔyΔx＝limΔx →0 [2(x ＋Δx )2－7]－(2x 2－7)Δx＝limΔx →0(4x ＋2Δx )＝4x .由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)，将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.方法技巧求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤(1)设切点为A(x A，f(x A))，求切线的斜率k＝f′(x A)，写出切线方程．(2)把P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于x A的方程，解得x A的值，进而求出切线方程．跟踪探究 4.求过点A(2,0)且与曲线y＝1x相切的直线方程．解析：易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由y′|x＝x0＝limΔx→01x0＋Δx－1x0Δx＝－1x20，得所求直线方程为y－y0＝－1x20(x－x0)．由点(2,0)在直线上，得x20y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，所求直线方程为x＋y－2＝0.授课提示：对应学生用书第55页[课后小结](1)导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．(2)“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．(3)利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．[素养培优]切线问题中忽视切点的位置致误求过曲线f (x )＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．易错分析 求过一点P 的曲线的切线方程，该点P 不一定是切点，易把P 点当作切点求解致误．考查数学抽象及逻辑推理的数学素养．自我纠正 设P (x 0，y 0)为切点，f ′(x 0)＝limΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝limΔx →0 (x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )－x 30＋2x 0Δx ＝3x 20－2， 所以切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，所以－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)， 或y －⎝⎛⎭⎫－18＋1＝⎝⎛⎭⎫34－2⎝⎛⎭⎫x ＋12， 即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.。
黑龙江省海林市朝鲜族中学高中人教a版数学选修1-1课时作业：3-1-3导数的几何意义 word版含答案
课时作业(二)一、选择题1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是( )A ．在点x 0处的斜率B ．在点(x 0，f (x 0))处切线与x 轴所夹锐角的正切值C ．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率D ．点(x 0，f (x 0))与点(0,0)连线的斜率解析：由导数的几何意义知，选项C 正确．答案：C2．已知函数y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝2等于( )A ．－3B ．－1C ．3D ．1解析：由导数的几何意义知，在点(2,1)处的切线斜率为y ′|x ＝2，又切线与3x －y －2＝0平行，∴y ′|x ＝2＝3.故选C.答案：C3．函数f (x )＝－x 2在点(12，－14)处的切线方程是( ) A ．y ＝－x －18B ．y ＝－14x ＋18C ．y ＝－x ＋14D ．y ＝－14x －18解析：f ′(12)＝lim Δx →0－(12＋Δx )2＋14Δx ＝lim Δx →0(－1－Δx )＝－1，故所求切线方程为y ＝－(x －12)－14，即y ＝－x ＋14，故选C. 答案：C4．曲线y ＝f (x )＝x 2在点P 处的切线斜率为k ，当k ＝2时，点P 的坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)C ．(1,1)D ．(－12，－18) 解析：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝lim Δx →0(Δx ＋2·x 0)＝2x 0，即2x 0＝2.∴x 0＝1，此时y 0＝x 20＝12＝1，∴点P 的坐标为(1,1)．故选C.答案：C5．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是()A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：由图象易知，点A ，B 处的切线斜率k A ，k B 满足k A <k B <0.由导数的几何意义，得f ′(x A )<f ′(x B )．答案：B6．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P (1，－32)，则点P 处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45°C ．135°D ．165°解析：∵y ＝12x 2－2， ∴y ′＝lim Δx →012(x ＋Δx )2－2－(12x 2－2)Δx＝lim Δx →012(Δx )2＋x ·Δx Δx ＝lim Δx →0(x ＋12Δx )＝x . ∴y ′|x ＝1＝1.∴点P (1，－32)处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°，故选B. 答案：B7．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点，且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(2,8)或(－1，－4)解析：设P 0(x 0，y 0)，由f ′(x )＝3x 2＋1，知曲线在点P 0处切线的斜率为3x 20＋1，因为曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，所以3x 20＋1＝4，故x 0＝1或x 0＝－1，因此y 0＝0或y 0＝－4，所以P 0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)．答案：C8．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．38．D二、填空题9．已知曲线f (x )＝x 3在点(2,8)处的切线方程为12x －ay －16＝0，则实数a 的值为________．解析：因为f ′(2)＝lim Δx →0(2＋Δx )3－23Δx＝ lim Δx →012Δx ＋6(Δx )2＋(Δx )3Δx ＝12，所以曲线f (x )＝x 3在点(2,8)处的切线的斜率为12，所以12a ＝12，a ＝1.答案：110．[2014·广东卷] 曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．10．y ＝－5x ＋3 [解析] 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y ′＝－5e－5x ，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3.11．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数几何意义知f ′(1)＝k ＝12，又f (1)＝12×1＋2＝52，于是f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.答案：312.[2014·江西卷] 若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．13．(－ln 2，2) [解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－e －x .又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e －x 0＝－2，可得x 0＝－ln 2，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)．三、解答题13．求曲线y ＝1x 在点(12，2)处的切线的斜率，并写出切线方程． 解：∵y ＝1x ，∴k ＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx＝limΔx →0－1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2. ∴当x ＝12时，k ＝－4.∴切线斜率为k ＝－4. ∴切线方程为y －2＝－4(x －12)． 即4x ＋y －4＝0.14．已知曲线y ＝2x 2－7在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，求切点P 的坐标． 解：设切点P (x 0，y 0)，由y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0[2(x ＋Δx )2－7]－(2x 2－7)Δx＝lim Δx →0(4x ＋2Δx )＝4x ，得k ＝y ′|x ＝x 0＝4x 0. 根据题意4x 0＝8，x 0＝2，代入y ＝2x 2－7得y 0＝1.∴所求切点为P (2,1)．15．已知曲线y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋1在点P 处的切线平行于直线y ＝9x －1，求切线的方程．解：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝ (x 0＋Δx )3－3(x 0＋Δx )2＋1－x 30＋3x 20－1Δx＝(Δx )2＋3x 0Δx －3Δx ＋3x 20－6x 0. 所以f ′(x 0)＝lim Δx →0[(Δx )2＋3x 0Δx －3Δx ＋3x 20－6x 0]＝3x 20－6x 0，于是3x 20－6x 0＝9，解得x 0＝3或x 0＝－1，因此，点P 的坐标为(3,1)或(－1，－3)．又切线斜率为9，所以曲线在点P 处的切线方程为y ＝9(x －3)＋1或y ＝9(x ＋1)－3，即9x －y －26＝0或9x －y ＋6＝0.[拓展延伸]16．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．(1)求实数a ，b 的值；(2)求过已知函数图象上某点处切线的斜率的取值范围．解：(1)因为y ′＝f ′(x )＝lim Δx →0a (x ＋Δx )3＋b (x ＋Δx )2－ax 3－bx 2Δx＝3ax 2＋2bx .∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象过点M (1,4)，∴a ＋b ＝4.又∵曲线在点M 处的切线与直线x ＋9y ＝0垂直，∴f ′(1)＝9，∴3a ＋2b ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝4，3a ＋2b ＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3.(2)由(1)知y ′＝f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＝3x 2＋6x ＝3(x ＋1)2－3≥－3，∴过已知函数图象上某点处的切线的斜率的取值范围是k ≥－3.。
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课时作业(二)
一、选择题
1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是( ) A ．在点x 0处的斜率
B ．在点(x 0，f (x 0))处切线与x 轴所夹锐角的正切值
C ．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率
D ．点(x 0，f (x 0))与点(0,0)连线的斜率 解析：由导数的几何意义知，选项C 正确． 答案：C
2．已知函数y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝2等于( ) A ．－3 B ．－1 C ．3
D ．1
解析：由导数的几何意义知，在点(2,1)处的切线斜率为y ′|x ＝2，又切线与3x －y －2＝0平行，
∴y ′|x ＝2＝3.故选C. 答案：C
3．函数f (x )＝－x 2在点(12，－1
4)处的切线方程是( )
A ．y ＝－x －1
8
B ．y ＝－14x ＋1
8
C ．y ＝－x ＋1
4
D ．y ＝－14x －1
8
解析：f ′(1
2)＝lim Δx →0
－(12＋Δx )2＋14Δx
＝lim Δx →0
(－1－Δx )＝－1，故所求切线方程为y ＝－(x －
12)－14，即y ＝－x ＋1
4
，故选C. 答案：C
4．曲线y ＝f (x )＝x 2在点P 处的切线斜率为k ，当k ＝2时，点P 的坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1) C ．(1,1)
D ．(－12，－1
8
)
解析：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝f ′(x 0)＝
lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0
(x 0＋Δx )2－x 20Δx
＝lim Δx →0
(Δx ＋2·x 0)＝2x 0，即2x 0＝2.∴x 0＝1，此时
y 0＝x 2
0＝12＝1，∴点P 的坐标为(1,1)．故选C.
答案：C
5．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是(
)
A ．f ′(x A )>f ′(x
B ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )
C ．f ′(x A )＝f ′(x B )
D ．不能确定
解析：由图象易知，点A ，B 处的切线斜率k A ，k B 满足k A <k B <0.由导数的几何意义，得f ′(x A )<f ′(x B )．
答案：B
6．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P (1，－3
2)，则点P 处的切线的倾斜角为( )
A ．30°
B ．45°
C ．135°
D ．165°
解析：∵y ＝1
2
x 2－2，
∴y ′＝lim Δx →0
12(x ＋Δx )2－2－(1
2
x 2－2)Δx
＝lim Δx →0
1
2(Δx )2＋x ·Δx Δx ＝lim Δx →0
(x ＋1
2
Δx )＝x .
∴y ′|x ＝1＝1.
∴点P (1，－3
2)处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°，故选B.
答案：B
7．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点，且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( )
A ．(1,0)
B ．(2,8)
C ．(1,0)或(－1，－4)
D ．(2,8)或(－1，－4)
解析：设P 0(x 0，y 0)，由f ′(x )＝3x 2＋1，知曲线在点P 0处切线的斜率为3x 20＋1，因为曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，所以3x 20＋1＝4，故x 0＝1或x 0＝－1，因此y 0＝0或y 0＝－4，所以P 0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)．
答案：C
8．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 8．D
二、填空题
9．已知曲线f (x )＝x 3在点(2,8)处的切线方程为12x －ay －16＝0，则实数a 的值为________．
解析：因为f ′(2)＝lim Δx →0
(2＋Δx )3－23Δx
＝
lim Δx →0
12Δx ＋6(Δx )2＋(Δx )3Δx ＝12，所以曲线f (x )＝x 3在点(2,8)处的切线的斜率为12，所以
12a
＝12，a ＝1.
答案：1
10．[2014·广东卷] 曲线y ＝e
－5x
＋2在点(0，3)处的切线方程为________．
10．y ＝－5x ＋3 [解析] 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y ′＝－5e －5x
，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－
5x ＋3.
11．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝1
2x ＋2，则f (1)＋f ′(1)
＝________.
解析：由导数几何意义知f ′(1)＝k ＝12，又f (1)＝12×1＋2＝52，于是f (1)＋f ′(1)＝52＋1
2＝
3.
答案：3
12.[2014·江西卷] 若曲线y ＝e －
x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐
标是________．
13．(－ln 2，2) [解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－e －
x .又切线平行于直线2x ＋y
＋1＝0，所以－e －x 0＝－2，可得x 0＝－ln 2，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)．
三、解答题
13．求曲线y ＝1x 在点(1
2，2)处的切线的斜率，并写出切线方程．
解：∵y ＝1x ，∴k ＝lim Δx →0
Δy
Δx ＝lim Δx →0
1
x ＋Δx －1
x Δx
＝lim Δx →0
－1
x 2＋x ·Δx
＝－1
x 2
.
∴当x ＝1
2时，k ＝－4.∴切线斜率为k ＝－4.
∴切线方程为y －2＝－4(x －1
2)．
即4x ＋y －4＝0.
14．已知曲线y ＝2x 2－7在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，求切点P 的坐标． 解：设切点P (x 0，y 0)，
由y ′＝lim Δx →0
Δy
Δx ＝lim Δx →0
[2(x ＋Δx )2－7]－(2x 2－7)Δx
＝lim Δx →0
(4x ＋2Δx )＝4x ，
得k ＝y ′|x ＝x 0
＝4x 0.
根据题意4x 0＝8，x 0＝2， 代入y ＝2x 2－7得y 0＝1. ∴所求切点为P (2,1)．
15．已知曲线y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋1在点P 处的切线平行于直线y ＝9x －1，求切线的方
程．
解：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
＝
(x 0＋Δx )3－3(x 0＋Δx )2＋1－x 30＋3x 2
0－1
Δx
＝(Δx )2＋3x 0Δx －3Δx ＋3x 20－6x 0. 所以f ′(x 0)＝lim Δx →0
[(Δx )2＋3x 0Δx －3Δx ＋3x 20－6x 0]＝3x 20－6x 0，于是3x 2
0－6x 0＝9，解得x 0
＝3或x 0＝－1，因此，点P 的坐标为(3,1)或(－1，－3)．
又切线斜率为9，所以曲线在点P 处的切线方程为y ＝9(x －3)＋1或y ＝9(x ＋1)－3，即9x －y －26＝0或9x －y ＋6＝0.
[拓展延伸]
16．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．
(1)求实数a ，b 的值；
(2)求过已知函数图象上某点处切线的斜率的取值范围． 解：(1)因为y ′＝f ′(x )
＝lim Δx →0
a (x ＋Δx )3＋
b (x ＋Δx )2－ax 3－bx 2Δx
＝3ax 2＋2bx .
∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象过点M (1,4)， ∴a ＋b ＝4.
又∵曲线在点M 处的切线与直线x ＋9y ＝0垂直， ∴f ′(1)＝9，∴3a ＋2b ＝9.
由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝4，3a ＋2b ＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝3.
(2)由(1)知y ′＝f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＝3x 2＋6x ＝3(x ＋1)2－3≥－3， ∴过已知函数图象上某点处的切线的斜率的取值范围是k ≥－3.。