高中数学人教版选修2-2导数及其应用(定积分)知识点总结
最新人教版高中数学选修2-2第一章《定积分的简单应用》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、定积分在几何中的应用定积分可以用来计算曲边梯形的面积,某些曲面面积可以表示成几个曲边梯形面积的和或差的形式,因此也可以用定积分来计算.知识拓展 求面积的解题步骤:①画出图形; ②确定图形范围,定出积分的上、下限;③确定被积函数,注意分清被积函数的上、下位置; ④写出平面图形面积的定积分表达式;⑤运用微积分基本公式计算定积分,求出平面图形的面积. 二、定积分在物理中的应用 1.变速直线运动的路程物体做变速直线运动经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)〔v(t)≥0〕在时间区间［a,b ］上的定积分,即s=⎰badt t v )(.方法点拨 变速直线运动的速度函数往往是分段函数.所以求积分时要利用定积分的性质将其分成几段积分的和. 2.变力做功如果力是变力F(x)(F 是x 的函数),那么,物体沿着与F 相同的方向从x=a 移动到x=b 时,力F 做的功W=⎰badx x F )(.深化升华 只有当物体沿着与F 相同的方向从x=a 移动到x=b 时,力F 做的功才是W=⎰badx x F )(.当方向不同时,算法不同.问题·探究问题1 被积函数f(x)在区间［a,b ］上恒为正值时(如图1-7-2),定积分⎰badx x f )(表示什么呢?图1-7-2思路:本题考查定积分的几何意义,可以利用定积分来表示曲边梯形的面积. 探究:表示曲边梯形AMNB 的面积. 问题2 计算下列定积分:⎰⎰⎰ππππ2020sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ,由计算结果你能发现什么结论?思路:利用微积分基本定理,计算曲边梯形的面积,从中发现结论. 探究:因为(-cosx)′=sinx, 所以⎰πsin xdx =(-cosx)π0=(-cosπ)-(-cos0)=2;⎰ππ2sin xdx =(-cosx)π20=(-cos2π)-(-cosπ)=-2;⎰π20sin xdx =(-cosx)π20=(-cos2π)-(-cos0)=0.由以上结果可以发现,定积分的值可能取正值,可能取负值,也可能取0.(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时,定积分的值取正值,且等于曲边梯形的面积;(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时,定积分的值取负值,且等于曲边梯形的面积的相反数; (3)当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为0. 典题·热题例1如图1-7-3,求直线y=2x+3与抛物线y=x 2所围成的图形的面积.图1-7-3思路分析:从图形可以看出,所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差,进而可以用定积分求出面积.为了确定被积函数和积分的上,下限,我们需要求出两条曲线交点的横坐标.解:由方程组⎩⎨⎧=+=2,32xy x y 2可得x 1=-1,x 2=3. 故所求图形的面积为S=33231)3()32(31331231231=-+=-+----⎰⎰x x x dx x dx x . 深化升华 求平面图形面积的一般步骤是: ①画图,并将图形分割成若干曲边梯形;②对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确定积分上限和下限; ③确定被积函数;④求出各曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值之和. 拓展延伸 求由曲线y 2=x 和y=x 2所围成图形的面积.解:如图1-7-4,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.由⎪⎩⎪⎨⎧==22,xy x y 得出交点的横坐标为x=0及x=1.图1-7-4所以所求图形的面积为S=313132)3132(103231021=-=-=-⎰⎰x x dx x dx x . 例2求椭圆⎩⎨⎧==tb y t a x sin ,cos (0≤t≤2π)的面积.思路分析:椭圆是中心对称图形,故只需算出第一象限内的面积,再乘以4就是椭圆的面积. 解:如图1-7-5所示,椭圆在第一象限的面积图1-7-5P=4)22sin (2sin )sin (sin )cos (sin 022020220abt t ab tdt ab dt t a t b t a td b ydx aπππππ=-==-∙==⎰⎰⎰⎰所以S=4P=πab.例3一辆汽车的速度—时间曲线图如图1-7-6所示,求此汽车在这1 min 内行驶的路程.图1-7-6思路分析:由速度—时间曲线图可写出速度函数的表达式,进而运用公式可求得路程s. 解:由速度—时间曲线易知,v(t)=⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈∈].0640[,905.1]4010[,30]101[,3，；，，；，t t t t t 由变速直线运动的路程公式可得s=dt t dt tdt ⎰⎰⎰+-++6040401010)905.1(303604024010100)9043(3023t t t +-++==1 350(m).答:此汽车在这1 min 内行驶的路程是1 350 m. 方法归纳 ①由定积分的几何意义知,⎰badt t v )(表示由曲线v=v(t),直线t=a,t=b 及v=0围成图形的面积.故有以下解法:由定积分的几何意义知,此汽车在这1 min 行驶的路程s 等于梯形OABC 的面积, 即s=S 梯形OABC =230)6030(⨯+=1 350(m).②变速直线运动的路程:物体做变速直线运动经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)〔v(t)≥0〕在时间区间［a,b ］上的定积分,即s=⎰badt t v )(.拓展延伸 某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时,发现该厂生产的颗粒输送仪,其运动规律属于变速直线运动,且速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)满足函数关系:v(t)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+≤≤.6020,140,2010,604,100,2t t t t t 某公司拟购买一台颗粒输送仪,要求1 min 行驶的路程超过7673 m,问该厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一?思路分析:必须首先利用定积分将这家生产厂生产的颗粒输送仪1 min 行驶的路程计算出来,再与7 673作比较得出结论.解:由变速直线运动的路程公式有s=x t t t t dt dt t dt t 6020201021003602020101002140)602(31140)604(+++=+++⎰⎰⎰=7 13331(m)<7 673(m).答:不可以列入.例4一物体在力F(x)=2 004x+1(单位:N)的作用下,沿与力F 相同的方向,从x=1处运动到x=2处,求力F 做的功. 思路分析:力F 做的功就是⎰21)(dx x F解:W=⎰+21)12004(dx x =(1 002x 2+x)21=3 007(J).答:力F 所做的功为3 007 J.深化升华 应用问题最后要还原到题目中去用文字作答.例5设有一长为25 cm 的弹簧,若加以100 N 的力,则弹簧伸长到30 cm,求使弹簧伸长到40 cm 所做的功.思路分析:因为弹簧的力是一个变力,所以不能用常规方法解,要用定积分去求解. 解:设x 表示弹簧伸长的厘米数,F(x)表示加在弹簧上的力,则F(x)=kx. 依题意,使弹簧伸长5 cm,需要的力是100 N, 即100=5k,k=20,于是F(x)=20x. 现在需计算由x=0到x=15所做的功:W=1502151020x xdx =⎰2 250(N·cm).深化升华 本题考的是求变力所做的功:一物体在力F 的作用下,沿着与力F 相同的方向移动了s,则F 所做的功为W=Fs.如果力是变力F(x),由定积分的定义,物体沿与F 相同的方向从x=a 移到x=b 时,则力F 所做的功是W=⎰badx x F )(.例6列车以72 km/h 的速度行驶,当制动时列车获得加速度a=-0.4 m/s 2,问列车应在进站前多长时间以及离车站多远处开始制动?思路分析:因列车停在车站时,速度为0,故应先求速度的表达式,之后令v=0,求出t,再据v 和t 应用定积分计算出路程.解:已知列车的速度v 0=72 km/h=20 m/s,列车制动时获得的加速度a=-0.4 m/s 2.设列车由开始制动到经过t 秒后的速度为v,则v=v 0+⎰tadt 0=20-⎰tdt 04.0=20-0.4t.令v=0得t=50(s).设列车由开始制动到停止所走过的路程为s, 则有s=⎰⎰-=5050)4.020(t vdt dt=500(m).答:列车应在到站前50 s,离车站500 m处开始制动.。
高中数学人教版选修22导数及其应用知识点总结.pdf
数学选修 2-2 数系的扩充和复数的概念知识点必记
30.复数的概念是什么？ 答：形如 a．+．b．i．的数叫做复数，其中 i 叫虚数单位， a 叫实部， b 叫虚部，数集
C = a + bi | a,b R 叫做复数集。
规定：a + bi = c + di a．=．c．且．b．=．d．，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相
和综合法常结合使用，不要将它们：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的
否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤是什么？
答：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
22.什么是综合法？
答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条
件，直至推出要证的结论。
23.什么是分析法？
答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者
一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法
个是最小值。 注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？
答：分割 → 近似代替 → 求和 → 取极限 （“以直代曲”的思想）
10.定积分的性质有哪些？ 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质 1
b
1dx = b − a
a
性质 5
若 f (x) 0,
特别地：
b
kf (x)dx = k
a
b f (x)dx(k为常数)
a
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ； （2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程 描述： 利用导数求函数的切线方程 步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ； 步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )． 例题： 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程． 解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上，所以 3 3 ⎧ ⎪ 8 − y = x2 (2 − x0 ), 0 0 ⎨3 1 ⎪ ⎩ y = x3 , ⎪ 0 3 0 − 3x2 + 4 = 0, x3 0 0
整理得
即
(x0 − 2)2 (x0 + 1) = 0.
高中数学人教A版选修(2-2)1.7 素材 《定积分在物理中的应用》回顾总结(人教A版)
相同的方向从x＝a
移动到x＝b(a＜b)所作的功为:
Байду номын сангаас
b
W
F (x )dx
a
人民教育出版社 高二年级 | 选修2-2
课堂小结
2.利用定积分求变速直线运动的位移，其积分变量是时 间，被积函数是 速度对时间的函数；利用定积分求变力所作的功，其 积分变量是位移， 被积函数是力对位移的函数.
课堂小结
人民教育出版社 高二年级 | 选修2-2
1.在物理中，定积分主要应用于求变速直线运动的位移
和变力所作的功，
其基本原理如下：
原理1（求变速直线运动的位移）：
若物体运动的速度函数为v(t)，则物体在a≤t≤b时段内
的位移是:s
b
v(t )dt
a
原理2（求变力所作的功）：
如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，则物体沿着与F(x)
人教a版数学【选修2-2】第1章《导数及其应用》归纳总结课件
3 1 ∴x1＝2是极小值点，x2＝2是极大值点．
(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号， 结合①与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，∴Δ＝ 4a2－4a＝4a(a－1)≤0， ∵a＞0，知0＜a≤1. ∴a的取值范围为(0,1]．
1 2 5．(2014· 成都质量检测)已知函数f(x)＝－2x ＋2x－aex. (1)若a＝1，求f(x)在x＝1处的切线方程； (2)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围．
故函数g(x)在x＝3处取得极小值，亦即最小值， 1 1 即g(x)min＝－e3，所以a≤－e3， 1 即实数a的取值范围是(－∞，－e3]．
典例探究学案
1 2 [解析] (1)当a＝1时，f(x)＝－2x ＋2x－ex， 1 2 3 则f(1)＝－2×1 ＋2×1－e＝2－e， f′(x)＝－x＋2－ex，f′(1)＝－1＋2－e＝1－e， 3 故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－( 2 －e)＝(1－e)(x 1 －1)，即y＝(1－e)x＋2.
ex· 1＋ax2－2ax [解析] 对f(x)求导得f′(x)＝ .① 1＋ax22 4 (1)当a＝3时，令f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0， 3 1 解得x1＝2，x2＝2.
结合①，可知 x f ′( x ) f ( x) 1 (－∞，2) ＋ 1 2 0 极大值 1 3 (2，2) － 3 2 0 极小值 3 (2，＋∞) ＋
1.(2014· 黄山模拟)已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝ ( ) A．e2 ln2 C． 2 B．e D．ln2
[答案] B [解析] f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1， 由f′(x0)＝2，得lnx0＋1＝2，解得x0＝e.
2020版人教A版数学选修2-2___第一章 导数及其应用 定积分在几何中的应用
的函数的差的定积分.
知识梳理
【做一做2】 用S表示图中阴影部分的面积,则S的值是 ( )
A. B.
������ ������ ������ ������
������(x)dx f (x)d������
C.
������ ������
������(x)dx+
������ ������
������(x)dx
S=S(t)
=
4 3
������3-������2
+
13,0<t<1,
则
S'(t)=4t2-2t,解方程
4t2-2t=0,得
t1=0(舍去),������2
=
1.
2
当t变化时,S'(t)与S(t)的变化情况如下表:
1
1
1
t
0, 2
2
2 ,1
S'(t)
-
0+
S(t)
↘
1 ↗
4
由表知,当
t=
1 2
时,S(t)取极小值
曲线
y=x2(x≥0)以及
x
轴所围成的图形面积为
1 12
,
试求切点A
的坐
标以及过切点A的切线方程.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:如图,设切点A(x0,y0),
由y'=2x,则过点A的切线方程为y-y0=2x0(x-x0),
即 y=2x0x−������02.
令 y=0,得 x= ������0 , 即������ ������0 ,0 .
由 y2=8x(y≥0)可得 y= 8������,
2020版人教A版数学选修2-2___第一章 导数及其应用 定积分的概念
知识梳理
【做一做 1】
在定积分的概念中,定积分
������ ������
������(x)dx 的大小(
)
A.与f(x)和积分区间[a,b]有关,与ξi的取法无关 B.与f(x)有关,与区间[a,b]以及ξi的取法无关 C.与f(x)以及ξi的取法有关,与区间[a,b]无关 D.与f(x)、积分区间[a,b]和ξi的取法都有关 解析:根据定积分的概念可知,选项A正确,选项B,C,D都不正确,故
2×2sin
π 3
=
2π 3
−
3,
S 矩形=AB·BC=2 3,
所以 1
-1
4-������2dx=2
3 + 2π −
3
3 = 2π +
3
3.
题型一
题型二
(2)函数y=1+sin x的图象如图所示,
5π
所以
2 π
(1+sin
x)dx=2S
矩形
ABCD=2π.
2
典例透析
������
·1 =
������
∑
������ ������=1
3(������-1) ������ 2
+
5 ������
=
3 ������ 2
[0+1+2+…+(n-1)]+5
3 ������2-������ = 2 · ������2 + 5
13 3
= 2 − 2������.
(3)取极限
2 1
−
������+������-1 = 1.
������
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最新人教版高中数学选修2-2第一章《定积分在物理中的应用》知识梳理
1.7.2 定积分在物理中的应用1．通过具体实例了解定积分在物理中的应用．2．会求变速直线运动的路程、位移和变力做功问题．利用定积分求变速直线运动的路程和位移时，应如何区分路程和位移？【做一做1】 已知自由下落物体的速度为v ＝gt ，则物体从t ＝0到t ＝t 0所走过的路程为( )A.13gt 20B ．gt 20 C.12gt 20 D.14gt 20【做一做2】 一物体在F (x )＝5x ＋3(单位：N)的作用下，沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝5(单位：m)处，则F (x )做的功等于( )A ．75 JB ．77.5 JC ．79.5 JD ．80 J答案：s ＝∫b a v (t )d t W ＝∫b a F (x )d x思考探究提示：分清运动过程中物体运动的变化情况，即找出v (t )≥0的时间段及v (t )＜0的时间段，然后分别求积分即求各段上的位移．而路程是各段位移的绝对值之和．【做一做1】 C s ＝00220001d 22t t t gt t g gt ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭⎰.故选C. 【做一做2】 B W ＝∫50F (x )d x ＝∫50(5x ＋3)d x＝⎝⎛⎭⎫5x 22＋3x |50＝1252＋15＝77.5(J)．故选B.1．在变速直线运动中，如何求路程、位移？剖析：用定积分解决变速直线运动的位移与路程的问题时，分清运动过程中的变化情况是解题的关键，做变速直线运动的物体所经过的路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s 1分别为(1)若v(t)≥0(a≤t≤b)，则s＝∫b a v(t)d t，s1＝∫b a v(t)d t.(2)若v(t)≤0(a≤t≤b)，则s＝－∫b a v(t)d t，s1＝∫b a v(t)d t.(3)在区间[a，c]上v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)＜0，则s＝∫c a v(t)d t－∫b c v(t)d t，s1＝∫b a v(t)d t.对于给出速度—时间曲线的问题，关键是由图象得到速度的解析式及积分的上、下限，需要注意是分段函数的要分段求路程，然后求和．2．如何求变力做功？剖析：(1)求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F的表达式，这是求功的关键．(2)由功的物理意义，已知物体在变力F(x)的作用下，沿力F(x)的方向做直线运动，使物体从x＝a移到x＝b(a＜b)．因此，求功之前还应求出位移的起始位置与终止位置．(3)根据变力做功公式W＝∫b a F(x)d x即可求出变力F(x)所做的功．求变力做功时，要注意单位，F(x)的单位为N，x的单位为m.题型一求变速直线运动的路程、位移【例题1】有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求：(1)点P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；(2)点P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．分析：(1)解不等式v(t)>0或v(t)<0→确定积分区间→求t＝6时的路程以及位移(2)求定积分∫t0v(t)d t→令∫t0v(t)d t＝0，求t反思：(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．如本例第(1)小题求解时，易出现路程和位移相同的错误．题型二求变力所做的功【例题2】设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．分析：先根据拉长弹簧所用的力与其伸长的长度成正比求拉力F(x)的表达式，然后用积分求变力做功．反思：解决变力做功注意以下两个方面：①首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步．②根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．题型三利用定积分求解其他物理问题【例题3】A，B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点速度达24 m/s，从C点到B站前的D点也以1.2 t(m/s)的速度行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(24－1.2t)m/s.在B点恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离；(2)B ，D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间．分析：做变速运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )，v (t )≥0在时间区间[a ，b ]上的积分，即s ＝∫b a v (t )d t .需根据题意写出函数v ＝v (t )，确定时间区间，用定积分求解．反思：本题是利用定积分解决物理问题，分清运动过程中的变化情况是解题的关键．答案：【例题1】 解：(1)由v (t )＝8t －2t 2≥0，得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动，当t ＞4时，P 点向x 轴负方向运动．故t ＝6时，点P 离开原点的路程为s 1＝∫40(8t －2t 2)d t －∫64(8t －2t 2)d t＝⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3|40－⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3|64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为∫60(8t －2t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3|60＝0. (2)依题意∫t 0(8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6， t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是所求的值．【例题2】 解：设x 表示弹簧伸长的量(单位：m)，F (x )表示加在弹簧上的力(单位：N)． 由题意，得F (x )＝kx ，且当x ＝0.05 m 时，F (0.05)＝100 N ，即0.05k ＝100，∴k ＝2 000.∴F (x )＝2 000x .∴将弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时所做的功为W ＝∫0.150 2 000x d x ＝1 000x 2|0.150＝22.5(J)．【例题3】 解：设A 到C 经过t 1 s ，由1.2t ＝24得t 1＝20(s)，∴AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2|200＝240(m)．(2)设从D →B 经过t 2 s ，由24－1.2t 2＝0得t 2＝20(s)，∴DB ＝∫200(24－1.2t )d t ＝240(m)．(3)CD ＝7 200－2×240＝6 720(m)．从C 到D 的时间为t 3＝6 72024＝280(s)． 于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．1一质点沿直线以v ＝3t ＋2(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度运动，则该质点在第3 s 到第6 s 间的运动路程为( )A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 m2一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力的单位：N ，位移的单位：m)作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处，作用力F (x )所做的功为( )A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J3一物体在力F (x )＝15－3x 2(力的单位：N ，位移的单位：m)作用下沿与力F (x )成30°角的方向由x ＝1直线运动到x ＝2处，作用力F (x )所做的功为( )B． C．D.J 24一物体以v (t )＝t 2－3t ＋8(m/s)的速度运动，则其在前30 s 内的平均速度为________．5一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力—位移曲线如图所示．求该物体从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，力F (x )做的功．答案：1．B S ＝66263333d (32)d 22v t t t t t ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰ ＝223362632322⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝46.5(m)．2．C W ＝105()d F x x ⎰＝102321055(325)(5)x x x x x -+=-+⎰＝(103－102＋5×10)－(53－52＋5×5)＝825(J)．3．C W＝22232111()cos30d (153)d )F x x x x x x ︒=-=-⎰＝[(30－8)－(15－1)]＝．4．263 m/s 由定积分的物理意义，得s ＝30232300013(38)d 832t t t t t t ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭⎰ ＝7 890(m)，789030s v t ==＝263(m/s)． 5．分析：先根据图象确定力关于位移的函数关系式，再利用定积分求解．解：由力—位移曲线可知F (x )＝1023424x x x ⎧⎨+<⎩≤≤≤﹐0﹐﹐﹐因此该物体从x ＝0处运动到x ＝4处力F (x )做的功为242240202310d (34)d 10446(J)2x x x x x x ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭⎰⎰．。
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19 反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否 定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确， 即所求证命题正确。反证法的思维方法:正难则反。矛盾（1）与已知条件矛盾: （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾． 20 常见的“结论词”与“反义词”
常见的导数和定积分运算公式:若 f x， g x均可导（可积），则有：
和差的导数运算 积的导数运算 商的导数运算 复合函数的导数 微积分基本定理
和差的积分运算
积分的区间可加性
-1-
六安一中东校区高二数学选修 2-x)的导数 f '(x) ②令 f '(x) >0,解不等
证明当 n=k+1 时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数
n
都正确
新疆 王新敞
[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
b
f (x)dx
a
a
c1
ck
11 定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，
也可能取负值，还可能是 0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，
定积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时， 定积分的值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的 相反数；
（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于 位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值 为 0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图 形的面积．
原结论词
反义词
高中数学选修2-2-定积分的概念及其简单应用
定积分的概念及其简单应用知识集结知识元定积分的应用知识讲解1．定积分的应用【应用概述】正如前面定积分的概念哪里所说，定积分表示的是一个面积，是一个大于零的数．那么它在实际当中的应用也就和求面积相关．例1：定积分|sin x|dx的值是．解：|sin x|dx＝＝﹣cos x+cos x＝1+1+0﹣（﹣1）＝3．这个题如果这样子出，|sin x|在区间（0，）上与x轴所围成的面积，那么就成了一个应用题．如何解这类应用题呢？其实就是构建一个定积分，找到区间和要积分的函数即可．【定积分在求面积中的应用】1、直角坐标系下平面图形的面积2、极坐标系下平面图形的面积由连续曲线r＝r（θ）及射线θ＝α，θ＝β所围成的平面图形的面积（图6）为3、用定积分求平面图形的面积的步骤a）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；b）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；c）具体计算定积分，求出图形的面积．例题精讲定积分的应用例1.直线x=1，x=e与曲线y=围成的面积是（）A．B．C．D．例2.由曲线，直线y=x所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．1例3.抛物线y=x2-1与直线y=x+1所围成的平面图形的面积是（）A．B．C．5D．用定积分研究简单几何体的体积知识讲解1．用定积分求简单几何体的体积【知识点的知识】1、已知平行截面面积的立体的体积2、旋转体的体积例题精讲用定积分研究简单几何体的体积例1.祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个设计集合求积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等．由曲线x2=4y，x2=-4y，x=4，x=-4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1：满足x2+y2≤16，x2+（y-2）2≥4，x2+（y+2）2≥4的点（x，y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（）A．V1=V2B．V1=V2C．V1=V2D．V1=2V2例2.曲线y=e x，直线x=0，x=与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到旋转体的体积是（）A．B．C．D．例3.曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（）A．B．C．D．。
高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结
数学选修2-2导数及其应用知识点必记1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么？答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分y c ='y =0————————n y x =()*n N ∈1'n y nx -=11n nx x dx n +=+⎰xy a=()0,1a a >≠'ln xy a a = ln xxa a dx a =⎰x y e ='x y e =x xe dx e=⎰log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1'ln y x a =————————ln y x =1'y x=1ln dx x x =⎰sin y x = 'cos y x =cos sin xdx x =⎰ cos y x ='sin y x =-sin cos xdx x =-⎰6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？ 答：若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：和差的导数运算[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 积的导数运算[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±特别地：()()''Cf x Cf x =⎡⎤⎣⎦商的导数运算[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 特别地：()()21'()'g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦复合函数的导数x u x y y u '''=⋅微积分基本定理()baf x dx =⎰ （其中()()'F x f x =）和差的积分运算1212[()()]()()b bbaaaf x f x dx f x dx f x dx±=±⎰⎰⎰ 特别地：()()()bb aakf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数积分的区间可加性()()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？ 答：①求函数f (x )的导数'()f x②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； 注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.4知识点总结含同步练习题及答案
1 1 1 25 ． + +⋯+ < n+1 n+2 2n 36
即
2n 1 1 1 1 n + +⋯+ <∫ dx = ln x| 2 n = ln 2n − ln n = ln 2， n+1 n+2 2n x n
因为ln 2 ≈ 0.6931 ， 25 ≈ 0.6944 ，所以ln 2 < 25 ．所以
3 1
π 2 dx；（3）∫ 0 2 (sin x − cos x)dx． x
∫
(1 + x + x2 ) = ∫
3 1
1 2 3 1 x | 1 + x3 | 3 1 2 3 1 1 = (3 − 1) + (3 2 − 1 2 ) + (3 3 − 1 3 ) 2 3 44 = . 3 = x| 3 1 +
∑ f (ξi )Δx = ∑
i =1 i =1 n n
b−a f (ξi )， n
当 n → ∞ 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的定积分（definite integral），记作 ∫ ab f (x)dx，即
∫
b a
f (x)dx = lim ∑
∫
b a
f (x)dx = F (x)| b a = F (b) − F (a).
例题： 利用定积分定义计算： （1）∫ 1 (1 + x)dx；（2）∫ 0 xdx． 解：（1）因为 f (x) = 1 + x 在区间 [1, 2] 上连续，将区间 [1, 2] 分成 n 等份，则每个区间的
高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.1知识点总结含同步练习及答案
导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数 的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数 为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由 开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到 ．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。
人教版数学高二人教A版选修2-2第一章《导数及其应用》章末小结
章末小结知识点一导数的概念与几何意义求曲线的切线的方法求曲线的切线分两种情况(1)求点P(x0，y0)处的切线，该点在曲线上，且点是切点，切线斜率k ＝y′|x＝x0.(2)求过点P(x1，y1)的切线方程，此点在切线上不一定是切点，需设出切点(x0，y0)，求出切线斜率k＝y′|x＝x0，利用点斜式方程写出切线方程，再根据点在切线上求出切点坐标即可求出切线方程．已知函数y＝x3－x，求函数图象(1)在点(1，0)处的切线方程；(2)过点(1，0)的切线方程．解析：(1)函数y＝x3－x的图象在点(1，0)处的切线斜率为k＝y′|x＝1＝(3x2－1)|x＝1＝2，所以函数的图象在点(1，0)处的切线方程为y＝2x－2.(2)设函数y＝x3－x图象上切点的坐标为P(x0，x30－x0)，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝3x20－1，切线方程为y－(x30－x0)＝(3x20－1)(x－x0)，由于切线经过点(1，0)，所以0－(x30－x0)＝(3x20－1)(1－x0)，整理，得2x 30－3x 20＋1＝0，即2(x 30－1)－3(x 20－1)＝0，所以2(x 0－1)(x 20＋x 0＋1)－3(x 0＋1)(x 0－1)＝0， 所以(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， 解得x 0＝1或x 0＝－12.所以P (1，0)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，38，所以切线方程为y ＝2x －2或y ＝－14x ＋14.知识点二 导数与函数的单调性 求函数f (x )的单调区间的方法步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)计算函数f (x )的导数f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，得到函数f (x )的递增区间；解不等式f ′(x )<0，得到函数f (x )的递减区间．提醒：求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．(2014·高考大纲卷)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1，2)是增函数，求a 的取值范围． 解析：(1)因为函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x ， 所以f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3.令f ′(x )＝0，即3ax 2＋6x ＋3＝0，则Δ＝36(1－a )。
[高二数学]数学选修2-2-导数及其应用
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三、函数的单调性与导数 1.导数与函数单调性 函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导，如果f′(x)＞0，则 y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，则y=f(x)在 这个区间内单调递减.
2.讨论函数单调性应注意的问题 (1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的 定义域，解决问题的过程只能在定义域内通过讨论导数的符号 来判断函数的单调区间. (2)一般利用使导数等于零的点来分函数的单调区间. (3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么 这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“，”或“和” 字隔开.
二、导数的计算
1.基本初等函数的导数公式
(1)(c)′=0，(c为常数).
(2)(xα)′=αxα-1(α∈Q*).
(3)(sinx)′=cosx.
(4)(cosx)′=-sinx.
(5)(ax)′=axlna(a>0且a≠1).
(6)(ex)′=ex.
(7)(logax)′=
1 x ln a
(a>0且a≠1).
(4)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在 该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件 (例如，f(x)=x3). (5)如果函数在某个区间内恒有f′(x)=0，则f(x)为常数函数. (6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义 在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思 想. (7)若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有 f′(x)＞0，则f(x)在该区间上仍为增函数.
七、微积分基本定理
定理内容
符号表示
作用
如果f(x)是区间［a,b］上 的连续函数，并且 F′(x)=f(x)，那么
高中数学人教版选修精选范文新编导数及其应用知识点总结
数学选修2-2导数及其应用知识点必记1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么？答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
答：若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：答：①求函数f (x )的导数'()f x②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； 注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f (x )的极值的步骤是什么？答：(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f (x )的导数'()f x(3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
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数学选修2-2导数及其应用（定积分）知识点必记
1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为
=
∆∆=∆∆x
f
x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么？
答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim
lim
0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim
lim
0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？
答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景是什么？
答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
答：若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：
答：①求函数f (x )的导数'()f x
②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； 注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f (x )的极值的步骤是什么？
答：(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f (x )的导数'()f x
(3)求方程'()f x =0的根
(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？
答：求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；
⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？
答：分割→近似代替→求和→取极限 （“以直代曲”的思想） 10.定积分的性质有哪些？
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1
a b dx b
a
-=⎰1
性质5 若[]b a x x f ,,0)(∈≥，则0)(≥⎰b a
dx x f
①推广：1212[()()()]()()()b
b b
b
m m a
a
a
a
f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±
±=±±
±⎰⎰⎰⎰
②推广:12
1
()()()()k
b
c c b
a
a
c c f x dx f x dx f x dx f x dx =++
+⎰⎰⎰⎰
11定积分的取值情况有哪几种？
答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x 轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x 轴上方图形面积的相反数；
（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．
12．物理中常用的微积分知识有哪些？ 答：（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。
（2）力的积分为功。