4.2高等数学

z x f ， x x0 x y y
0
x x0 y y0
， z x
x x0 y y0
或 f x ( x 0 , y 0 ) .
f x ( x 0 , y 0 ) lim
f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) x
x 0
f x ( x , y , z ) lim f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) x ,
x 0
f y ( x , y , z ) lim
f ( x , y y , z ) f ( x , y , z ) y
f ( x , y , z z ) f ( x , y , z ) z .

yx
y 1
z x y ln x y
1 z ln x y
y
y x
y

x y
yx
y 1

1 ln x
x y ln x
x x 2z
例4-14 求三元函数 u x
y z
的偏导数．
解 将y、z看作常数,对x求导数,得
u x
同理

y z
y z
x
y 1 z

y xz
z x
时,只要暂时
z 3x 2 2 y x
z 3y2 2x 2 y y

z x
x2 y 1
14
z y
x2 y 1
3
例4-13 设 z x ,证明
y
x z y x

1 z ln x y
2z
证明
因为
所以
x z
z x
z x
，
f x
，z , 或 f x ( x , y ). x
类似可定义函数对自变量y 的偏导数,记作
z y
f ， y
， z y
或
f y ( x , y ) .
偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如三元函数 u f ( x , y , z ) 在 ( x , y , z ) 处
四、全微分
在许多实际问题中,我们需要全增量
z f ( x0 x , y 0 y ) f ( x0 , y 0 )
例如4-17 已知矩形的边长 x y 由 x0 , y 0 变 和 为 x0 x , y 0 y ，研究矩形面积 S的全增量 解
s f ( x0 x , y 0 y ) f ( x0 , y 0 )
一元函数在某点的导数存在
多元函数的各偏导数存在
微分存在．
全微分存在．
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分
存在
注意 只有偏导数存在且连续，全微分才存在
z 如果函数的 z f ( x , y ) 偏导数 、 y 在点 x P ( x , y )处连续,则函数在点 P ( x , y )处可微.
混合偏导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例4-16
解
2z
2
求 z x y sin xy 二阶偏导数.
2
z x
2 xy y cos xy ,
z
x y x 2z 2 x xy sin xy cos xy , yx
2 y y 2 sin xy ,
当 x与 y很小时，矩形面积的改变量 S 可近似表示为 x0 y y 0 x
类似一元函数,定义 x0 y y 0 x 为函数S在点 ( x0 , y 0 ) 的全微分.下面引入二元函数全微分的定义.
定义4-5 如果函数 z f ( x , y )在点 P ( x, y )的全增量 z f ( x x , y y ) f ( x , y ) 可表示为

z x
(1, 2 )
2,
z y
(1 , 2 )
10
所求全微分 dz
(1, 2 )
2 dx 10 dy
例4-20 有一两端封闭的圆柱形金属筒,底半径为 5cm, 高为18cm,如要把它涂上厚0.01cm的油漆,问共需 油漆多少? 解 设圆筒底半径为
2
r ,高为 h ,体积为 V
( x0 x )( y0 y ) x0 y0
( y 0 x x0 y ) x y
S x0 y y 0 x o ( ( x ) ( y ) )
2 2
线性主部
无穷小量
x y是 ( x ) 2 ( y ) 2 的高阶无穷小，所以
z A x B y o( ) ( x ) 2 ( y ) 2
其中 A, B 不依赖于 x , y 而仅与 x, y有关,o( ) 为 的 高阶无穷小,则称函数 z f ( x , y ) 在点 ( x , y )可微分,称 Ax By 为函数在点 ( x , y )的全微分，记为dz
即需要油漆 2.3cm 3 .
主要内容 1.偏导数的定义 2.偏导数的计算、偏导数的几何意义 3.高阶偏导数
4.全微分
z A x B y o( )
当 y 0 时 z A x o(| x |)
总成立
x
0( x ) z lim lim [ A ] A x 0 x x 0 x
z . 因此 A , 同理可得 B y x
RT V R V ; p T p
pV T V T ; R p R RT R V p V T RT 所以 2 1. V V T p p R pV
二、偏导数的几何意义
z
M 0 ( x0 , y 0 )
偏导数 f x ( x 0 , y 0 ) 就是曲面 被平面所截得的曲线在点M 0 处 x 的切线对 轴的斜率.
比如：一定量理想气体的体积V，压强P与绝对温 度T之间存在着某种联系，我们可以在等温条件下，考 察体积对于压强的变化率.
这种一个变量固定,另一个变量变化所对应的变化率 就是下面要介绍的偏导数.
一、偏导数
定义4-4 设函数 z f ( x , y )在点 ( x 0 , y 0 ) 及其邻域内 有定义,当 y y0 时,而在 x 0 处有增量 x 时，相应地函数 有增量 f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) 如果 f ( x0 x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) lim x 0 x 存在，则称此极限为函数 z f ( x , y ) 在点( x 0 , y 0 ) 处 x对 的偏导数，记为
y0 x0
o

y
x

偏导数 f y ( x 0 , y 0 ) 就是曲面 被平面所截得的曲线在点M 0 处 的切线对 y 轴的斜率.
三、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
z z 2 f xx ( x , y ), x x x
同理函数 z f ( x , y )在点( x 0 , y 0 ) 处对 y 的偏导
f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y0 ) lim 数,可定义为 y 0 记为 y
z f ， y y x x0
y y0
x x0 y y0
， z y
V h
,则
V r h
V dV
V r
r
h 2rh r r 2 h
把 r 5、 h 18 、 r 0.01 、 h 0.02 代入，得
V 2 5 18 0.01 5 2 0.02 2.3 (cm 3 )
y 2z
x 2 x cos xy
2 x xy sin xy cos xy
2z y
2
x 2 sin xy
注意 混合偏导数并不都是都相等的.
定理4-1 如果函数 z f ( x , y ) 的两个二阶混合偏导
2z 2z 数 及 在区域 D内连续，那末在该区域内这两 xy y x 个二阶混合偏导数必相等．
z
定理4-3（可微的充分条件）
例4-18 求
解 所以
z x
z arctan 的全微分. x
y x y
2 2
y

z
dz
y ydx xdy

x x2 y2
x2 y2
2 3 例4-19 求 z x y 2 xy 在 (1,2) 的全微分. z z 3 y2 2x 解 2x 2 y y x
第二节
偏导数与全微分
一、偏导数的概念 二、偏导数的几何意义 三、高阶偏导数 四、全微分
一元函数的导数是研究函数的重要工具,是一个十 分重要的概念.对于二元函数,当自变量x 和y同时变化时, 函数f(x,y)的变化情况一般较为复杂.所以往往采用先把 一个自变量看成固定常数,再研究另一个变量的变化的 方法,来考察函数f(x,y)相应的变化率.
2
z 2 z 2 f yy ( x , y ) y y y
z z f xy ( x , y ), y x x y
2
z 2 z y yx f yx ( x , y ) x
x
y z
u y
x ln x
y z
1 z

ln x z
x
y z
u z x ln x ( y z2)
y ln x z
2
x
y z