高中数学中外接球问题的解题策略
“外接球”问题的解题策略
义或球心 与其截 面 的 圆心连 线垂 直于 截 面这一 性 质 ， 就 是 确定球 心位置 的 理论 依据． 即球 心可 以通 过作 出过几
何体某两个 面的外接圆 圆心 ， 且垂 直于相 应面 的垂 线 ， 则 两直线交 点即为球心． 我们可以将几何体的外接球 问题分为以下几类题型．
有关 外接球 的立体几何 问题 是近 年高考试 题 的难 点 之一 ， 这与学生 的空 间想 象 能力 以及化 归 能力有 关． 《 普 通 高中数 学课 程标 准》 中对立 体几 何初 步 的学 习提 出 了
底补成直棱柱 ； （ ２ ）构造长方体确定球 心 ， 构造策 略 ： 长方体 的八个
模 型的求解来求几何体外接球的半径．
关键词 ： 外接球 ； 球心 ； 构造 ； 几 何 体
中图分类号 ： Ｇ ６ ３ ２
文献标 识码： Ａ
文章编号 ： １ ０ ０ ８— ０ ３ ３ ３ （ ２ ０ １ ７ ） ２ ８— ０ ０ ０ ７－ ０ ２ （ １ ）有一组线面垂直 的棱锥 ， 以该线 为侧 棱 ， 该面 为
Ｃ． １ ６竹 Ｄ． ８ １ Ｔ
解
因 为 ＡＰ Ａ Ｄ 为 等 腰 直 角 三 角形 ， Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 为 正方
形， 则 四棱 锥 Ｐ— Ａ Ｂ Ｃ Ｄ外接 球 的球 心 为正方 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ的 中心． Ｐ Ａ＝ Ｐ Ｄ＝ ， 故 Ａ Ｄ＝ ２ ， 则 球 的半 径为 ， 所 以该
Ａ Ｂ＝ ２ ， Ａ Ａ 。 ＝６ ， ／ ＿ Ａ Ｃ Ｂ＝１ ２ ０ 。 ． 若三 棱柱 Ａ Ｂ Ｃ— Ａ 。 Ｂ 。 Ｃ 。
）
Ａ． ２ ０７ ｒ Ｂ． ４２ ７ ｒ Ｃ． ５ ２ 叮 ｒ Ｄ． ５ ６竹
特别 的 ， 长方 体 ， 正方体 的外接球 的球心是其 体对角
高中数学外接球解题技巧
高中数学外接球解题技巧高中数学外接球解题技巧在高中数学中，外接球是一道常见的几何题，其目的是求出几何体 (如正方体、长方体等) 的外接球半径或直径，进而求解几何体的体积或表面积。
下面将介绍一些外接球解题技巧。
1. 熟悉常见几何体的外接球公式对于正方体、长方体等常见几何体的外接球，可以使用以下公式计算其半径或直径:正方体外接球半径 = √3/3 ×正方体边长长方体外接球半径 = √3/3 ×长方体边长×√2球体外接球半径 = 圆周率×球体直径其中，√表示开根号运算，√2 表示圆周率乘以 2。
2. 利用对称性求解外接球半径在某些情况下，几何体的外接球半径可以通过对称性得到求解。
例如，对于正方体，可以利用其对称性求解外接球半径。
正方体有六个等效面，每个面都是一个等边三角形，这些等效面都是正方体的外接球球面的一部分。
因此，可以利用对称性计算出正方体的外接球半径，进而求解其他几何体外接球半径。
3. 利用三角函数求解外接球半径对于一些较为复杂的几何体，可以利用三角函数求解外接球半径。
例如，对于正八面体，其外接球是一个正十二面体，可以利用正弦定理求解外接球半径。
具体而言，正八面体的每个面都是一个等腰三角形，相邻面的夹角为 30 度，正十二面体的每个面都是一个等边三角形，相邻面的夹角为 60 度。
因此，可以利用正弦定理计算正十二面体的外接球半径。
拓展:除了上述技巧外，还有一些其他的技巧可以用来求解外接球半径，例如用极坐标方程求解、用向量法求解等。
此外，外接球问题也与物理学中的牛顿第二定律、圆周运动等问题密切相关。
因此，对于外接球问题，需要从不同角度进行思考，灵活运用各种技巧和方法，以达到求解的目的。
高中数学论文：巧解外接球的问题
巧解外接球问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以与化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1 〔20XXXX高考题〕若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27π.例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，23所以球的半径为3.因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是43π.故该球的体积为2、求长方体的外接球的有关问题例3 〔20XXXX高考题〕一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条1,2,3，则此球的表面积为.棱长分别为解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。
长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π.例4、〔20XX全国卷I〕已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为〔〕.A.16πB.20πC.24πD.32π解析：正四棱柱也是长方体。
由长方体的体积16与高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C.3.求多面体的外接球的有关问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有263,1,296,8xxx hh=⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩∴正六棱柱的底面圆的半径12r=，球心到底面的距离d=.∴外接球的半径1R==.43Vπ∴=球.小结本题是运用公式222R r d=+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例5 〔20XXXX，则其外接球的表面积是_______________.解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图1，则AC=BC=CD=表面积是9π.(如图1)例3.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R，则有()222229R=++=.∴294R=.故其外接球的表面积249S Rππ==.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222R a b c =++.出现“墙角〞结构利用补形知识，联系长方体。
高考数学解题方法与技巧-----外接球解题模型与思路
-----外接球解题模型与思路
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
P
c
A
b
C
a
B
图1
P
c
C
b
A
a
B
图2
P
A
a
c C b B
图3
P O2
c
B
b
C
a
A
图4
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 (2R)2 = a2 + b2 + c2 ，即 2R = a2 + b2 + c2 ，求出 R
3
1
， 的外接球直径为 ， ， BC = 7 ∆ABC
2r = BC = 7 = 2 7 ∴ (2R)2 = (2r)2 + SA2 = ( 2 7 )2 + 4 = 40
sin ∠BAC 3 3
3
3
2
，选 S = 40π 3
D
类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图 5， PA ⊥ 平面 ABC 解题步骤： 第一步：将∆ABC画在小圆面上， A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直 P
∴ SA ⊥ 平面 SBC ，∴ SA ⊥ SC ，
A
C
D
H E
B
题 (3) -1
S
故三棱锥 S − ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，
M
∴ (2R)2 = (2 3)2 + (2 3)2 + (2 3)2 = 36 ，即 4R2 = 36 ，
A
∴ 正三棱锥 S − ABC 外接球的表面积是 36π
C B
简单几何体的外接球问题的解题策略
简单几何体的外接球问题的解题策略简单几何体外接球球问题是立体几何中的一难点，重在考查考生的直观想象能力和逻辑推理能力．此类问题实质是解决球的半径长与确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键．下面从四个方面分类阐述外接球问题问题的求解策略：一、利用长（正）方体的体对角线探索外接球半径1、若几何体可补形成长方体，直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2求出R.【例1】已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，沿AD进行折叠，使折叠后的∠BDC＝，则过A，B，C，D四点的球的表面积为( )A.3πB．4πC．5πD．6π[解析]连接BC(图略)，该几何体ABCD为三棱锥，BD＝CD＝1，AD＝，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥CD，三棱锥A-BCD可补成一个长、宽、高分别是，1，1的长方体，其体对角线长为＝=2R，故该三棱锥外接球的半径是，其表面积为5π.[评析]几何体（如图-1，图-2)存在三条两两垂直的线段(墙角模型)：PA⊥面ABC，△ABC是直角三角形或四边形ABCD是矩形，可补形成长方体。
图-1 图-2【例2】已知三棱锥P-ABC中，AB=3,AC=4,BC=5，PC=5,PC⊥平面ABC则过A，B，C，P四点的球的表面积为.[解析]三棱锥P-ABC可补成一个长、宽、高分别是3，4，5的长方体，其体对角线长为5，故该三棱锥外接球的半径是，其表面积为50π.[评析] 几何体（如图-3，图-4)存在三条线有两个垂直：AB⊥AC,AC⊥PC （“工”字模型），可补形成长方体。
图-3 图-42、利用长(正)方体的面对角线探索外接球半径【例3】三棱锥中PABC，PA＝BC＝，PB＝AC＝，PC＝AB＝，则三棱锥的外接球的表面积为________．[解析]如图-5，在长方体中，设AD＝a，BD＝b，CD＝c.则PC＝AB＝＝，PA＝BC＝＝，PB＝AC＝＝.从而a2＋b2＋c2＝14＝(2R)2，可得S＝4πR2＝14π.故所求三棱锥的外接球的表面积为14π.[评析] 三棱锥的相对棱相等（如图-6)，可在长（正）方体中构造三棱锥，从而利用长（正）方体体对角线求外接球半径．图-5 图-6二、利用底面与侧面的外心探索球心【例4】三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PB＝AB＝2，AC＝4，则三棱锥PABC的外接球的表面积为( )A.23π B．π C．64π D．π[解析]如图-7，设O1为正△PAB的外心，O2为Rt△BAC斜边的中点，H为AB中点．由平面PAB⊥平面ABC,可知O1H⊥平面ABC, O2H⊥平面PAB.作O1O∥HO2，OO2∥O1H，则交点O为三棱锥外接球的球心，连接OP，又O1P＝PH＝××2＝，OO1＝O2H＝AC＝2.∴R2＝OP2＝O1P2＋O1O2＝＋4＝.故几何体外接球的表面积S＝4πR2＝π.[评析] 三棱锥（如图-8)时，可利用球心与球截面圆圆心连线垂直于该截面这一性质，用底面与侧面的外心，外接球球心，构造三角形求球半径长．图-7 图-8三、利用直棱柱上下底面外接圆圆心的连线确定球心【例5】一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为________．[解析]设正六棱柱底面边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的半径为r，＝Sh＝h＝，∴h＝，R2＝外接球的半径为R，则a＝，底面积为S＝6··＝，V柱＋＝1，R＝1，球的体积为V＝.[评析] 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型（如图-9，图-10，图-11)：图-9 图-10 图-11其外接球球心就是上下底面外接圆圆心连线的中点．四、外接球综合问题举例【例6】(2019·全国卷Ⅰ-改编)已知三棱锥PABC（如图-12)的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，求球O的体积.[解析]因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB，因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.（如图-13)取AC的中点D，连接BD，PD，则AC⊥PD，AC⊥BD，又PB∩BD＝D，所以AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，三棱锥PABC S可补形成正方体．因为AB＝2，所以该正方体的棱长为，所以该正方体的体对角线长为，所以三棱锥PABC的外接球的半径R＝，所以球O的体积V＝πR3＝π＝π.图-12 图-13 图-14[评析] 本题难点是发现与证明：三棱锥PABC的PA，PB，PC两两垂直，是墙角模型，可补形成正方体。
内切球与外接球常见解法
内切球与外接球常见解法在立体几何的学习中，内切球与外接球问题常常让同学们感到头疼。
其实，只要掌握了常见的解法，这类问题就能迎刃而解。
下面咱们就来详细探讨一下内切球与外接球的常见解法。
首先，咱们得明白什么是内切球和外接球。
内切球就是一个几何体内部恰好能够容纳一个球，并且这个球与几何体的各个面都相切；外接球则是指一个几何体恰好能够被一个球完全包围，并且几何体的各个顶点都在这个球面上。
对于常见的几何体，比如长方体、正方体、正四面体等，都有比较固定的求解方法。
先来说说长方体的外接球。
假设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，那么其外接球的直径就是长方体的体对角线长度。
体对角线长度可以通过勾股定理求出，即\（＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}＼），所以外接球的半径\（R ＝＼frac{＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}｝｛2}＼）。
正方体就更简单啦。
设正方体的棱长为 a，那么其外接球的直径就是正方体的面对角线长度的\（＼sqrt{3}＼）倍，所以外接球的半径\（R ＝＼frac{＼sqrt{3}a}｛2}＼）。
再看看正四面体的外接球。
正四面体比较特殊，我们可以通过一些几何关系来求解。
设正四面体的棱长为 a，先求出正四面体的高\（h ＝＼frac{＼sqrt{6}｝｛3}a\），然后外接球的半径\（R ＝＼frac{＼sqrt{6}｝｛4}a\）。
接下来，咱们说说一般多面体的外接球求解方法。
其中一种常用的方法是补形法。
比如说，如果一个三棱锥的对棱相等，那么我们可以把它补成一个长方体，然后利用长方体的外接球求解方法来解决。
还有一种方法是找球心。
球心到几何体各个顶点的距离都相等，我们可以通过一些已知条件，比如垂直关系、距离关系等来确定球心的位置。
对于内切球的求解，通常会用到体积分割的方法。
比如说，对于一个三棱锥，如果知道了它的表面积和体积，那么内切球的半径 r 就可以通过体积分割来求。
设三棱锥的体积为 V，表面积为 S，那么\（V ＝＼frac{1}｛3}Sr\），从而可以求出内切球的半径 r 。
高中数学解题秘籍系列一篇文章攻克外接球
【高中数学解题秘籍系列】————一篇文章攻克外接球⚫外接球指一个空间几何图形的外接球，对于旋转体和多面体，外接球有不同的定义，广义理解为球将几何体包围，且几何体的顶点和弧面在此球上.正多面体各顶点同在一球面上，这个球叫做正多面体的外接球.⚫内切球球心到某几何体各面的距离相等且等于半径的球是几何体的内切球.如果一个球与简单多面体的各面或其延展部分都相切，且此球在多面体的内部，则称这个球为此多面体的内切球.一、外接球七大模型二、内切球万能公式(棱锥)①圆柱②直棱柱③侧棱垂直底面➢适用几何体：圆柱、直棱柱、一条侧棱垂直底面的棱锥.②和 ③ 可以通过补形转化为 ①，所以我们只需证明 ① 即可证明：设P 、O '分别为上下底面圆的圆心，O 为线段PO '的中点，( 2017•新课标 Ⅲ ) 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．πB ．3π4 C ．π2D ．π4由秒杀公式1得22222212=1442h R r r ⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭，解得234r =， 因此圆柱的体积233πππ144V r h =⋅=⋅⋅=，故选B.( 2017•新课标 Ⅱ ) 长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则 球O 的表面积为 ．由秒杀公式1得2222217=442h R r +=+=⎝⎭， 因此球O 的表面积为274π4π14π2S R ==⋅⋅=. 本题还可用秒杀公式4可得22222223217442a b c R ++++===，因此球O 的表面积为274π4π14π2S R ==⋅⋅=. 由此可知在选用公式的时候是比较灵活的，原因在于模型之间可以相互转化.典例例题1-1例题1-2( 2012•辽宁 ) 已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为PA =，则OAB △的面积为 ．由秒杀公式1得(22222=12424h R r +=⋅+=⎝，解得R =OAB △为等边三角形，所以(2OAB S ==△( 2011•四川 ) 如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 ．由秒杀公式1得222=4h R r +，于是2224=2π=4π4π2π22h r h S r h r R+⋅⋅⋅=侧， 当且仅当2h r ==时不等式取“=”，于是 222=4π2π=2πSS R R R −−侧球.( 2010•辽宁 ) 已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC ，则球O 的表面积等于( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π由秒杀公式1得222221=144h R r +=+=⎝⎭， 解得1R =，则球O 的表面积为24π4πS R ==.故选A .( 2008•浙江 ) 如图，已知球O 的面上四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，DA AB BC ==O 的体积等于 ．由秒杀公式1得222229=444h R r +=+=⎝⎭， 解得32R =，则球O 的体积为 334439πππ3322V R ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭.①圆锥 ②正棱锥➢适用几何体：圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥(正棱锥).② 可以通过补形转化为 ①，所以我们只需证明 ① 即可心O 为PO '上一点，于是在Rt OO A '△中有解得( 2018•新课标 Ⅲ ) 设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且面积为D ABC −体积的最大值为( ) A．B．C．D．依题意得，当三棱锥D ABC −为正三棱锥且hR 时，三棱锥D ABC −的体积最大，那么由秒杀公式2得22=42r h R h+=，①又因为ABC △为正三角形且面积为))1πsin23S =⋅⋅⋅=，解得r =①式解得2h =或6h =，又因为4hR =，所以6h =，于是()max 1=3D ABC V −⋅ 故选B .例题2-1典例( 2014•大纲版 ) 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A ．81π4B ．16πC ．9πD ．27π4由秒杀公式2得2222+49==2244r h R h+=⋅， 因此22981π=4π=4π=44S R ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， 故选A .( 2020•银川模拟 ) 已知圆锥的母线与底面所成的角等于60︒，且该圆锥内接于球O ，则球O 与圆锥的表面积之比等于( ) A ．4:3B ．3:4C ．16:9D ．9:16由秒杀公式2得22=2r h R h+，依题意得h =，因此R =， 于是2222224164ππ4π1633=ππππ23π9r r S R S r rl r r r r ⋅===++⋅球锥. 故选C .例题2-2例题2-3( 2018秋•太原期末 ) 在三棱锥P ABC −中，顶点P 在底面ABC 的投影G 是ABC △的外心，2PB BC ==，平面PBC 与底面ABC 所成的二面角的大小为60︒，则三棱锥P ABC −的外接球的表面积为 .如图所示，作BC 的中点M ，在Rt PMB △[1]中有PM ==依题意知60PMG ∠=︒[2]，在Rt PGM △中有3sin 60cos602h PG PM GM PM ==︒==︒=， 于是在Rt BGM △中有r BG =， 由秒杀公式2可得224=23r h R h +=，因此264π4π9S R ==.[1] 因为顶点P 在底面ABC 的投影G 是ABC △的外心，所以PA PB PC ==. [2] 因为BC PM ⊥且BC GM ⊥，所以PMG ∠为二面角P BC A −−的平面角.( 2020•娄底模拟 ) 如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．25π8B ．25π4C ．25π2 D ．9π8由秒杀公式2得2222+=2r hR h+= 因此2225π=4π=4π=2S R ⋅⎝⎭， 故选C .( 2019秋•东莞市期末 ) 已知球O 是正四面体A BCD −的外接球，2BC =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是( )A ．8π9B ．11π18C ．5π12 D ．4π9依题意易知3r =，3h =，由秒杀公式2得2222+=2r h R h +=， 如图所示，在OBD △中，由余弦定理可得222cos 23OB BD ODOBD OB BD+−∠==⋅⋅， 那么在OBE △中，由余弦定理可得222112cos 18OE OB BE OB BE OBD =+−∠=， 当截面圆垂直OE 时面积最小，故截面圆的最小半径为3r '==， 因此截面圆面积的最小值为()288πππ99S r '==⋅=.故选A .( 学生答疑 ) 在《九章算术》卷商功中称正四棱锥为“方锥”. 现有一“方锥”的体积为若该“方锥”的五个顶点都在球O 的球面上，则球O 表面积的最小值为 A ．18πB ．27πC ．36πD ．75π由秒杀公式2得22=2r h R h+， 依题意得211=233V S h r h ⋅⋅=⋅⋅=底，即2r =2223263=32244h rh h h h R h h h ++==+⋅=4h”，即“h =”时不等式取“=”，因此 2min min 27=4π4π27π4S R =⋅=，故选B.➢适用几何体：三组线线垂直型三棱锥.证明：在三棱锥P ABC=，−中，AB AC APAB a，AC b、、两两垂直，= =，将三棱锥补成长方体，则长方体的体对角线PQ即为外接球的AP c直径，于是所以()22222R a b c=++，即( 2019•新课标 Ⅰ ) 已知三棱锥P ABC −的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为( ) A．B．C．D依题意得三棱锥P ABC −为正三棱锥，CE EF ⊥，因为//EF PB ，所以PB CE ⊥，由正三棱锥性质可得PB CA ⊥[1]，又因为CE ⊂面PAC ，CA ⊂面PAC ，=CE CA C ，因此PB ⊥面PAC ，因此PA PB PC ，，两两垂直[2]，由秒杀公式3得2222222++3===442a b cR ++， 于是3344=π=π332V R ⎛⎫⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭， 故选D .[1] 设G 为AC 的中点，P 点在底面ABC 的投影为1O ，因为三棱锥P ABC −为正三棱锥， 所以1O 为ABC △的外心，故1B O G ，，三点共线，因为1AC PO AC BG ⊥⊥，，且 11PO BG O =，所以AC ⊥平面PGB ，又因为PB ⊂平面PGB ，故PB CA ⊥.[2] PAB PAC PBC ≅≅△△△.例题3-1典例( 2012•辽宁 ) 已知正三棱锥P ABC −，点P ，A ，B ，CPA ，PB ，PC 两两垂直，则球心到截面ABC 的距离为 ．由秒杀公式3可得2222222344PA PB PC a b c R ++++===，由正三棱锥性质可得PA PB PC ==，解得2PA PB PC ===，则球心到截面ABC 的距离为OH ===.( 2008•福建 ) 是 ．由秒杀公式3可得2222944a b c R ++===，故294π4π9π4S R ==⋅=. 例题3-3( 2020•山东学业考试 ) 在三棱锥P ABC −中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA =，2PB PC ==，则该三棱锥的外接球体的体积为( )A ．9π2B ．27π2C ．9πD ．36π由秒杀公式3可得22222221229444a b c R ++++===，于是334439πππ3322V R ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭. 故选A .( 2019春•湖南期末 ) 已知点P 在直径为2的球面上，过点P 作球的两两相互垂直的三条弦PA ，PB ，PC ，若PA PB =，则PA PB PC ++的最大值为( )A．B ．4C．2+D ．3由秒杀公式3可得22222222221444PA PB PC PB PC a b c R +++++====，即2224PB PC +=，因此()222PAPB PC PB PC⎡++=+=⎢⎣1PC =时，即3PB PC ==时不等式取“=”，故选A .例题3-5➢适用几何体：对棱长相等的三棱锥.证明：在三棱锥P ABC −中，PA BC x ==，PB AC y ==，PC AB z ==，将三棱锥P ABC −补成如图所示长方体，设DA a =，DB b =，DC c =，于是长方体的体对角线PD 即为三棱锥P ABC −外接球，因为222222222a b z a c y b c x ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，，， 所以()2222222x y z a b c ++=++，又因为那么即( 2020•红河州模拟 ) 在三棱锥A BCD −中，5AB CD AC BD ====，AD BC ==( )AB．C ．132D ．13由秒杀公式4得()((22222225+169==884x y z R +++=， 解得13=2R ，故选C .( 2016•蚌埠三模 ) 在四面体ABCD 中，2AB CD ==，AC BD AD BC ==== 面体的外接球的表面积为 ．由秒杀公式4得()22222222+==188x y zR +++=，因此四面体外接球的表面积为24π4πS R ==.典例例题4-1例题4-2( 2019秋•路南区校级期中 ) 四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上中，4AB BC CD DA ====，AC BD ==E 为AC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为( ) A ．5:4B2CD ．5:2由秒杀公式4得()()(22222224+4==588x y z R +++=，在等腰OAE △中，OE ==当截面圆所在平面垂直OE 时面积最小，截面圆所在平面过球心O 时面积最大，因此22min maxπ2ππ5πS SR =⋅==⋅=，，于是max min 52S S =， 故选D .例题4-3➢适用几何体：两全等等腰三角形折叠式棱锥.证明：在三棱锥P ABC −中，PAB CAB ≅△△，CA CB =，1O ，2O 分别是ABC △和PBC △的外心，M 为线段AB 的中点，1OO ⊥平面ABC ，2OO ⊥中有那么，在Rt MBO △中有( 2019•齐齐哈尔一模 ) 在边长为2的菱形ABCD中，BD =，将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D −−的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD −的外接球的表面积为.由秒杀公式5得因此三棱锥A BCD −的外接球表面积为234π4π6π2S R ==⋅=.典例例题5-1(2017•广西一模)在菱形ABCD中，60A=︒，AB=ABD∆的∆沿BD折起到PBD位置，若二面角P BD C−的外接球球心为O，BD的中−−的大小为120︒，三棱锥P BCD点为E，则(OE=)A．1B．2C D．由秒杀公式5得那么OE===，2故选B.( 原创 ) 已知空间四边形ABCD 中，2AB BD AD BC AC =====，若二面角C AB D −−的取值范围为π2π33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则该几何体的外接球表面积的取值范围为 ．由秒杀公式5得又因为π2π33α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以ππ263α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，那么tan 2α∈⎣，因此213793R ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，又因为2=4πS R ，故外接球表面积的取值范围为52π28π93⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.➢适用几何体：面面垂直型棱锥.证明：在三棱锥P ABC −中，平面ABP ⊥平面ABC ，1O ，2O 分别是ABP △和ABC △的外心，且1OO ⊥平面ABP ，2OO ⊥平面ABC ，1r ，2r 分别是ABP △和ABC △外接圆的半径，l 为线段AB 的长度，在2O BM △中有即同理所以( 原创 ) 在三棱锥S ABC −中，ABC △是边长为3的等边三角形，SA =，SB =面角S AB C −−的大小为90︒，则此三棱锥的外接球的半径为 ．由秒杀公式5得典例例题6-1( 2019•中卫一模 ) 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几 何体的外接球的表面积为( ) A ．16π3B ．8π3C． D．由秒杀公式5得因此外接球的表面积为正视图侧视图俯视图( 2019•开福区校级模拟 ) 已知等腰ABC △的面积为4，AD 是底边BC 上的高，沿AD 将ABC △折成一个直二面角，则三棱锥A BCD −的外接球的表面积的最小值为 ．设AD x BD y ==，，因为等腰ABC △的面积为4，则=4xy ，又因为12r r ==， 那么由秒杀公式5得2211242x ⋅2212x y =时，即x y ==时，不等式取“=”，故三棱锥A BCD −的外接球的表面积的最小值为2min min =4πS R .如图，三棱锥P ABC −的底面是边长为2的等边三角形，若PA PB =二面角P BA C −− 的大小为90︒，则三棱锥P ABC −的外接球的表面积等于 ．由秒杀公式5得因此外接球的表面积为➢适用几何体：普通三棱锥.证明：在三棱锥P ABC −中，1O ，2O 分别是ABP △和ABC △的外心，二面角12P AB C O MO α−−=∠=，M 为AB 的中点，1O M m =，2O M n =，且1OO ⊥平面ABP ，2OO ⊥平面ABC ， l 为线段AB 的长度，在四边形12OO MO 中，因为所以12OO MO 四点共圆，设四边形12OO MO 的外接圆的半径为r ，则因此( 2019秋•迎泽区校级月考 ) 在三棱锥S ABC −中，ABC △是边长为3的等边三角形，SA，SB =二面角S AB C −−的大小为120︒，则此三棱锥的外接球的半径为 ． 由秒杀公式7得典例例题7-1( 2019春•孝感期末 ) 将边长为2的正三角形ABC 沿中线AD 折成60︒的二面角B AD C −−，则三棱锥A BDC −的外接球的表面积为 ．由秒杀公式7得因此外接球的表面积为( 2015秋•绍兴校级期中) 如图，三棱锥P ABC −的底面是边长为2的等边三角形，若PA PB ==P BA C −−的大小为60︒，则三棱锥P ABC −的外接球的表面积等于 ．由秒杀公式7得因此外接球的表面积为( 2017•葫芦岛模拟 ) 已知空间四边形ABCD 中，2AB BD AD ===，1BC =，CD =，若二面角A BD C −−的取值范围为π2π43⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则该几何体的外接球表面积的取值范围为 ．由秒杀公式7得因为π2π43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以21sin 12α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，因此24533R ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，因此外接球的表面积的取值范围为➢适用几何体：所有棱锥.证明：设PAB PAC PBC ABC △、△、△、△的面积分别为1234S S S S 、、、，则那么即( 2020•来宾模拟 )已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则该正三棱锥内切球的表面积为 ．由秒杀公式8得所以外接球的表面积为典例例题8-1( 2020•浙江模拟 ) 几何体三视图如图所示，则该几何体的内切球表面积是 ．由秒杀公式8得所以外接球的表面积为( 2020•娄底模拟 ) 如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的内切球与外接球的半径之比为( )A ．12B ．23C ．25 D ．13由秒杀公式2得2222=2r hR h++==外， 由秒杀公式8得故该几何体的内切球与外接球的半径之比为故选C .。
高中数学中外接球问题的解题策略
高中数学中外接球问题的解题策略简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，外接球有关计算问题在近年高考试题中屡见不鲜，有些同学对于球类问题的解决，往往不知从何处入手，此类问题实质是解决球的半径R或确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键。
抓住球心就抓住了球的位置。
如何确定简单多面体外接球的球心，为此下面介绍解决球类问题的几个策略，以供参考。
一、直接法由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心.由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论.结论1正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.结论2正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.结论3直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.结论4正棱锥的外接球的球心是在其高上，具体位置可通过计算找到.结论5若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.因为正方体，长方体的外接球内切球问题较简单，在此不再赘述。
例1.（2009年高考全国卷Ⅰ）直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上。
若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于__________。
解：设球心为O，球半径为R，△ABC的外心是M，则O在底面ABC上的射影是点M，在△ABC中，AB=AC=2，，，AM=2，所以球的表面积为二、构造模型法长方体模型是学习立体几何的基础，掌握长方体模型，对于学生理解立体几何的有关问题起着非常重要的作用。
1、构造正方体例2。
（2012·辽宁高考题）已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上。
若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________。
解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，由已知条件可知，以PA，PB，PC为棱可以补充成球的内接正方体，如图。
高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题
高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型墙角模型是指三条线段两两垂直的几何体，通过公式(2R) = a + b + c，即2R = a^2 + b^2 + c^2，可以求出其外接球半径R。
例1：1）已知顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，求该球的表面积。
解：由V = ah = 16，得a = 2，4R = a + a + h = 4 + 4 + 16 = 24，S = 24π，答案为C。
2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，求其外接球的表面积。
解：由2R = a + b + c = 3 + 3 + 3 = 9，得R = 9/4，S =4πR^2 = 9π。
3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA = 23，求正三棱锥S-ABC外接球的表面积。
解：由墙角模型的特点可知，正三棱锥的对棱互垂直。
连接AB、BC的中点D、E，连接AE、CD，交于H，则H是底面正三角形ABC的中心。
由AM⊥MN，SB//MN，可得AM⊥SB，AC⊥SB，故SB⊥平面SAC，SB⊥SA，SB⊥SC，即SB⊥SA，BC⊥SA，故SA⊥平面SBC，SA⊥SC。
因此，三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，由2R^2 = 23^2 + 23^2 + 23^2 = 36，得R^2 = 9，S = 36π。
类型二、棱台模型棱台模型是指上底面和下底面都是正多边形，且两底面中心连线与侧棱垂直的几何体。
通过勾股定理和相似三角形，可以求出其外接球半径R和内切球半径r。
例2：1）已知棱台的上底面和下底面都是正三角形，上底边长为3，下底边长为6，侧棱长为5，求其外接球半径R和内切球半径r。
解：由勾股定理可得棱台的高为4√3.设外接球半径为R，内切球半径为r，则有R/r = (a + b + c)/(a + b - c) = (3 + 6 +5)/(3 + 6 - 5) = 7，解得R = 7r。
几类空间几何体的外接球问题的解法
解：要使函数存在2个零点，需使ìíîïïïïf (1)=1-a +b ≥0，f (2)=4-2a +b ≥0，Δ≥0，1≤a 2≤2，绘制如图3所示的可行域（可行域为箭头所指的曲边三角形）.对z =(x -a )2+(y -b )2变形，可得z +94=a 2+æèöøb -322，则将问题转化为求点(0,32)到可行域内任意一点（a ,b ）距离的平方的最值.从图3中可以看出点(0,32)到直线1-a +b =0的距离即为(0,32)到可行域内任意一点（a ,b ）的最小距离，利用点到直线的距离公式d =||Ax 0+By 0+C A 2+B 2，得d =522.则≥522，解得z ≥78.所以a 2+b 2-3b 取值范围为éëöø78，+∞.对于目标函数为z =(x -a )2+(y -b )2型的目标函数，我们可以依据(x -a )2+(y -b )2的几何意义，把问题转化为求可行域内动点P (x ,y )与定点A (a ,b )距离的平方的最值，从而求出z 的范围.综上所述，利用线性规划模型解答含参二次函数问题有如下几个步骤:1.根据题意建立不等式组，将其视为线性约束条件;2.将所求目标设为目标函数，将其变形为直线的截距式、两点的距离;3.画出可行域；4.在可行域内寻找使得直线的纵截距、动点到定点的距离取最值的点；5.将最值点的坐标代入求得问题的答案.同学们在解题的过程中要注意根据题意建立线性规划模型，利用线性规划模型来提升解答含参二次函数问题的效率.（作者单位：宁夏育才中学）空间几何体的外接球问题是高考试卷中的重要题型，主要考查球空间几何体的性质、面积公式、体积公式.此类问题的难度系数较大，要求同学们具备较强的空间想象能力和逻辑思维能力.本文介绍几种常见空间几何体的外接球问题的题型及其解法，以帮助同学们破解此类问题.类型一：三条棱两两互相垂直的三棱锥的外接球问题该类型的三棱锥具有明显的特征：三条棱两两互相垂直.我们可以抓住该特征，将其看作长方体、正方体的一部分，构造出一个完整的长方体、正方体.将三条棱看作长方体、正方体的三条边，于是三棱锥的外接球的直径等于长方体、正方体的对角线.求出三棱锥的外接球的半径、直径，空间几何体的外接球问题便可顺利获解.类型二：一条侧棱垂直于一个底面的三棱锥的外接球问题我们可将该三棱锥看作直棱柱的一部分，将其补成一个直棱柱，再将其补成一个圆柱，如图1、2、3、4所示，那么三棱锥的外接球即为圆柱的外接球.直棱柱的上、下底面为三角形，且三角形的外接圆的直径为a sin A =b sin B =c sin C =2r ，上下底面的距离为OO 1=12PA(此时PA 垂直与底面)，则有①(2R )2=PA 2+(2r )2，即2R =PA 2+(2r )2；②R 2=r 2+OO 12，即R =r 2+OO 12，这样便建立了PA 与三棱锥的外接球之间的关系，进方法集锦图341图5图6例2.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O 球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA ，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为_____．解：如图7，连接AO，OB，∵SC为球O的直径，∴O为SC的中点，∵SA=AC，SB=BC，∴AO SC，BO⊥SC，平面SCA∩平面SCB=SC的表面积为S=4πR=4π×3图7该三棱锥的两个平面相互垂直，根据已知条件证明AO⊥然后构造三角形，找出三棱锥的外接球半径与三棱锥的棱之间的关系，通过解三角形求得三根据球的表面积公式求得球由两个直角三角形构成的三棱锥的外接解答该类型问题的关键是抓住特征：.我们可以通过解直角三角形求得三图8由两个全等三角形或等腰三角形构成的三棱锥的外接球问题在求解该类型外接球问题时，我们要灵活运用全等三角形或等腰三角形的性质，关注中点为全等三角形或等腰三角形，和ΔA ′BD 的外心H 1和图9例3.三棱锥P -ABC △PAC 和△ABC 均为边长为棱锥外接球的半径.解：如图10，设O 1，O 2由题意可知O 2H =13由勾股定理可得R 2=8图11类型七：直棱柱、圆柱的外接球问题直棱柱、圆柱的外接球问题较为简单，球的球心为高线的中点，如图12所示，所以我们很容=1=1.再设小圆图12图13例4.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为______．解：设球半径为R ，上，下底面中心为M ，N ，由题意，外接球心为MN 的中点，设为O ，，得R =OA =3，由勾股定理可知，OM =1，。
学生讲义巧解外接球问题.docx
快速解决巧解外接球问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力 .研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法 (公式法 )1、求正方体的外接球的有关问题【例 1】（上海中学）若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .【例 2】（交大附中）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24 ，则该球的体积为______________.2、求长方体的外接球的有关问题【例 3】（复兴高级中学）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为______________.【例 4】（七宝中学）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.A.16B. 20C.24D.323.求多面体的外接球的有关问题【例 5】（上海实验中学）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶9点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 ，底面周长为3，则这个球的体积为______________. .二、构造法 (补形法 )1、构造正方体【例 6】（ 2015 年上海高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是_______________.【例 7】（上海中学）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是_______________.【小结】一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c ，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有 2Ra2b2c2.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
2020高考数学复习之空间几何体外接球和内切球解题策略
2020 年高考数学—几何体外接圆和内切球一、外接球的问题简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0 的位置问题，其中球心的确定是关键．（一）由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．（二）构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．（三）由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心O1 的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．二、内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
高中数学丨外接球与内切球解题方法，8大模型
高中数学I夕卜接球与内切球解题方法，8大模型空间几何体的外接球与内切球-、有关定义1.球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球。
2.外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
3.内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
二、外接球的有关知识与方法1.性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）;性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.初图1初图22.结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3:长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5:圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3.终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1.若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直。
高中数学外接球解题技巧
高中数学外接球解题技巧
1.确定外接球的圆心和半径：在解题之前，首先要确定外接球的圆心和半径，
这是解题的基础。
2.利用勾股定理求解：对于一个直角三角形，可以利用勾股定理求出其斜边的
长度，进而求出外接球的半径。
3.利用相似三角形求解：对于一个不规则图形，可以将其分解为多个三角形，
利用相似三角形的性质求出外接球的半径。
4.利用向量求解：对于一个平面图形，可以利用向量的知识求出外接球的圆心
和半径。
5.利用解析几何求解：对于一个平面图形，可以利用解析几何的知识求出外接
球的圆心和半径。
6.注意精度：在计算过程中要注意精度，保留足够的小数位数，避免计算误差。
7.多做练习题：外接球的解题方法有很多种，需要多做练习题，熟练掌握各种
解题方法，提高解题能力。
外接球与内切球问题解题技巧梳理
外接球与内切球问题解题技巧梳理一．外接球8大模型秒杀公式推导r α说明：为底面外接圆的半径，R 为球的半径，l 为两面公共边的长度 为两个面的二面角，h 是空间几何体的高，H 为某一面的高1.墙角模型(1) 使用范围：3组或3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合 （2）推导过程：长方体的体对角线就是外接球的直径(2) 秒杀公式：222222a b c 3a R (a b c R (a 44++==、、为长方体的长宽高）正方体的边长）（4）图示过程(3) 秒杀公式：2.汉堡模型（1）使用范围：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体 （2）推导过程第一步：取底面的外心O 1,，过外心做高的的平行且长度相等，在该线上中点为球心的位置第二步：根据勾股定理可得222h R r 4=+（3）秒杀公式：222h R r 4=+（4）图示过程3.斗笠模型（1）使用范围：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上 （2）推导过程第一步：取底面的外心O 1,，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h 第二步：在h 上取一点作为球心O第三步：根据勾股定理22222r h R (h R)r R 2h+=-+⇔=（3）秒杀公式：22r h R 2h+=（4）图示过程4.折叠模型（1）使用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠 （2）推导过程第一步：过两个平面取其外心H 1、H 2，分别过两个外心做这两个面的垂线且垂线相交于球心O第二步：计算2222222111OH H E tan=(CE-H E)tan (H r)tan (222ααα==-α为两个平面的二面角） 第三步：22222211OC OH CH (H r)tanr 2α=+=-+ （3）秒杀技巧：2222R (H r)tanr 2α=-+ （4）图示过程5.切瓜模型（1）使用范围：有两个平面互相垂直的棱锥 （2）推导过程：第一步：分别在两个互相垂直的平面上取外心F 、N ，过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心O ，取BC 的中点为M ，连接FM 、MN 、OF 、ON第二步：22222222212l ONMF OA AN ON AN MF R r r 4∴=+=+∴=+-为矩形由勾股可得（3）秒杀公式：222212l R r r 4=+-（4）图示过程6.麻花模型（1）使用范围：对棱相等的三棱锥（2）推导过程：设3组对棱的长度分别为x 、y 、z,长方体的长宽高分别为a 、b 、c2222222222222x a b x y z y b c R 8z a c ⎧=+⎪++⎪=+⇔=⎨⎪=+⎪⎩（3）秒杀公式：2222x y z R 8++=（4）图示过程7.矩形模型（1）使用范围：棱锥有两个平面为直角三角形且斜边为同一边（2）推导过程：根据球的定义可知一个点到各个顶点的距离相等该点为球心可得，斜边为球的直径（3）秒杀公式：22l R 4=（4）图示过程8.鳄鱼模型（1）使用范围：适用所有的棱锥 （2）推导过程：121212222121221212221122211O O O O O O OO E r (1sin O O E O O =O E O E 2O E O E cos 2 OD O O O D 3OD O O O D∴α∆+-α=+=+第一步：在两个平面上分别找外心、两外心做这两面的垂线相交于球心第二步：四点共圆，正弦定理可得OE=2=）在中，（）（）第三步：由（1）（2）（3)整理可得 且 过 2221122212112222221211122221212 =OE O E O DO O O EO Dsin O E O E 2O E O E cos O E O D sin O E O E 2O E O E cos =sin -+=-+α+-α=-+α+-α=2211O E O B-+α2122222O E=m O E=n AB=l,m n2mncos lR=+sin4α+-αα第四步：设，，两个面的二面角为由第三步可得（3）秒杀公式：22222m n2mncos lR=+sin4+-αα（4）图示过程二．内切球的半径---等体积法1.推导过程P ABC PAB PAC PBC ABCPAB PAC PBC ABC11111V S h RS RS RS RS 333331=R(S S S S)31=RS33VR=S-∆∆∆∆∆∆∆∆==++++++∴底面表面积几何体表面积以三棱锥P-ABC为例2.秒杀公式：3VR=S几何体表面积3.图示过程技巧1 外接球之墙角模型【例1】已知长方体''''ABCD A B C D -中，''A B =''1B C =，'A B 与平面''ACC A 所成角的正）A ．4πB ．16πC ．163π D ．323π 【举一反三】1．棱长为2的正方体的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．43π C ．12πD ．2．球面上有,,,A B C D 四个点，若,,AB AC AD 两两垂直，且4AB AC AD ===，则该球的表面积为（ ） A ．803πB ．32πC ．42πD ．48π技巧2 外接球之汉堡模型【例2】已知四棱锥A BCDE -中，四边形BCDE 是边长为2的正方形，3AB =且AB ⊥平面BCDE ，则该四棱锥外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．174πC ．17πD ．8π【举一反三】1．各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）高为2，体积为8，则这个球的表面积是（ ） A ．16πB ．12πC ．10πD ．8π2．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，BD ⊥平面ADC ，BD ＝1，AB ＝2，BC ＝3，AC A ﹣BCD 外接球的体积为（ ）A ．4πB ．3πC ．D ．3．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB CC ==1BC =，点M 在正方形11CDD C 内，1C M ⊥平面1ACM ，则三棱锥11M ACC -的外接球表面积为（ ）A ．11π2B ．7πC ．11πD ．14π4．（2020·全国高三月考（文））三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC AB ⊥，1AC =，AB =12AA =，则该三棱柱111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．8π技巧3 外接球之斗笠模型【例3】正三棱锥S ABC -中，2SA =，AB = ）A ．B ．4πC ．12πD ．6π【举一反三】1．已知正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________. 2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π技巧4 外接球之折叠模型【例4】在三棱锥A ﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角A BD C --的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．7π B ．8πC ．163πD ．283π【举一反三】 1．已知二面角PAB C 的大小为120°，且90PAB ABC ∠=∠=︒，AB AP =，6AB BC +=.若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.2．如图所示，三棱锥S 一ABC 中，△ABC 与△SBC 都是边长为1的正三角形，二面角A ﹣BC ﹣S 的大小为23π，若S ，A ，B ，C 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．73π B ．133π C ．43π D ．3π技巧5 外接球之切瓜模型【例5】已知三棱锥P ABC -中，1PA =，3PB =，AB =CA CB ==面PAB ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．143πB ．283πC ．11πD ．12π【举一反三】1．已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，且ABD △和BCD △都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ） A ．4πB ．163πC ．8πD ．203π技巧6 外接球之麻花模型【例6】在四面体ABCD 中，若AB CD ==2==AC BD ，AD BC ==ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π技巧7 外接球之矩形模型【例7】在四面体ABCD 中，AB =，1DA DB CA CB ====，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( ) A ．π B ．2πC ．3πD ．4π【举一反三】1．四面体SABC 中，AC BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，SA =AC =BC =，则该四面体外接球的表面积为（ ） A ．323πB ．163πC ．16πD ．32π2．已知四面体ABCD 满足：1AB BC CD DA AC =====，BD =，则四面体ABCD 外接球的表面积为_______.技巧8 内切球半径【例8】正四面体的外接球与内切球的表面积比为（ ） A ．9: 1 B ．27: 1C ．3: 1D ．不确定【举一反三】1．如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为a ，那么球的体积为（ ）A ．343a πB ．3aC 3aD ．316a π2．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（ ） A ．25︰1B ．1︰25C ．1︰5D ．5︰13的内切球，则此棱柱的体积是（ ）.A ．3B ．354cmC ．327cmD ．3巩固练习1．直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在同一球面上，且2AB AC ==，90BAC ∠=︒，1AA =则该球的表面积为（ ） A ．40πB ．32πC ．10πD ．8π2．在三棱锥P ABC -中，AB AC ==120BAC ∠=，PB PC ==，PA =棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．40πB ．20πC ．80πD ．60π3．已知四棱锥A BCDE -中，AB ⊥平面BCDE ，底面BCDE 是边长为2的正方形，且3AB =，则该四棱锥外接球的表面积为（ ） A ．4πB ．174πC ．17πD ．8π4．已知点P ，A ，B ，C 在同一个球的球表面上，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PB BC ，PC =2，则该球的表面积为（ ） A ．6πB ．8πC ．12πD ．16π5．四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，AB BD ==1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球表面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π6．平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，且2224AB BD +=，沿BD 将四边形折起成平面ABD ⊥平面BDC ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（ ）A ．2π B ．2πC ．4πD ．16π7．张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 1，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（ ）A ．30B ．C ．D ．368．已知直三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 上，且4AB =，16AA =，30ACB ∠=︒，则此直三棱柱的外接球O 的表面积是（ ） A ．25πB ．50πC ．100πD ．500π39．已知三棱柱111ABC A B C -(侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面111A B C △是正三角形)内接于球O ，1AB 与底面111A B C 所成的角是45°.若正三棱柱111ABC A B C -的体积是3，则球O 的表面积是（ ） A ．228π c m 3B ．256π c m 3C ．27π c m 3D ．214π c m 310．在四棱锥P ABCD -中，//BC AD ，AD AB ⊥，AB =6AD =，4BC =，PA PB PD ===P BCD -外接球的表面积为（ ）A ．60πB ．40πC ．100πD ．80π11．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．10B ．20πC ．24πD ．32π12．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =，3AC =，点P 在棱1BB 上，且1PC PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A ．45π2B C ．30π D ．45π13．已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54，6AB =，记三棱柱111ABC A B C -的外接球为球1O ，则外接球1O 的表面积是__________．14．在三棱锥P ABC -中，侧棱PA ⊥底面,120,1ABC BAC AB AC ∠===且2,PA BC =则该三棱锥的外接球的体积为__________．15．如图所示，在三棱锥B ACD -中，3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=，3AB =，2BC BD ==，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为______.16．鳖臑（bi ē n ào ）出自《九章算术·商功》：“斜解立方，得两重堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”鳖臑是我国对四个面均为直角三角形的三棱锥的古称．如图，三棱锥A BCD -是一个鳖臑，其中AB BC ⊥，AB BD ⊥，BC CD ⊥，且4AB BC DC ===，过点B 向AC 引垂线，垂足为E ，过E作CD 的平行线，交AD 于点F ，连接BF ．设三棱锥A BCD -的外接球的表面积为1S ，三棱锥A BEF -的外接球的表面积为2S ，则12S S =________．17．若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为______.18．在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱111ABC A B C -是一个“堑堵”，其中12AB BB ==，1BC =，AC =表面积为___.19．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB CC ==1BC =，点M 在正方形11CDD C 内，1C M ⊥平面1ACM ，则三棱锥11M ACC -的外接球表面积为______.20．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，120BAC ∠=︒，2SA =，BC =球的表面积为________.21．我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知某方锥各棱长均为2，则其内切球的体积为______.22．已知在三棱锥P ABC -中，PA PB ==，23APB ∠=π，6ACB π∠=，则当点C 到平面PAB 的距离最大时，三棱锥P ABC -外接球的表面积为_____．23．三棱锥A BCD -中，60ABC CBD DBA ===∠∠∠，2BC BD ==，面ACD，则此三棱锥外接球的表面积为___．24．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC，PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.25在三棱锥D ABC -中，AD ⊥平面ABC ，3AC =，BC =1cos 3BAC ∠=，若三棱锥D ABC-，则此三棱锥的外接球的表面积为______26．设A ，B ，C ，D 为球O 的球面上的四个点，满足2AB AC BC ===，DC BD ==.若四面体ABCD 的表面积为O 的表面积为______.。
高中数学立体几何外接球问题专题02 正四面体模型
专题02 正四面体模型一、解题技巧归纳总结1．正四面体如图，设正四面体ABCD 的的棱长为a ，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为R ==，即正四面体外接球半径为R =.二、典型例题例1．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）．A ．2B ．2C D例2．正四面体的棱长为1，则其外接球的表面积为 .三、配套练习1．棱长为1的正四面体的外接球的半径为( )A B C ．1 D 2．棱长为a 的正四面体的外接球和内切球的体积比是( )A ．9:1B ．4:1C ．27:1D ．8:13．如图所示，在正四面体A BCD -中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE +则该正四面体的外接球的体积是( )A B ．6π C D ．32π4．表面积为( )A ．B ．12πC ．8πD ．5．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的表面积为( )A ．6πB ．8πCD ．11π6．相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．，则两圆的公共弦长是( )A ．34BC ．1D ．127．如图所示，正四面体ABCD 中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE +则该正四面体的外接球表面积是( )A ．12πB ．32πC ．8πD ．24π8．已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是( )A ．24πB ．18πC ．12πD ．6π9．一个棱长为6的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是( )A ．4πB ．6πC ．12πD ．24π10．如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为BCD ∆的重心，M 是线段AG 的中点，则三棱锥M BCD -的外接球的表面积为( )A．πB．32πC．64πD．68π11．正四面体（四个面均为正三角形的四面体）的外接球和内切球上各有一个动点P、Q，若线段PQ长度的最大值为463，则这个四面体的棱长为．12．已知正四面体ABCD的棱长为1，M为棱CD的中点，则二面角M AB D--的余弦值为；平面MAB 截此正四面体的外接球所得截面的面积为．13．已知某正四面体的内切球体积是1，则该正四面体的外接球的体积是．14．一个正四面体的展开图是边长为22的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为．15．如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP PE+的最小值为14，则该正四面体的外接球的体积是．答案例1．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）．A B C D【解析】如图球的截面图就是正四面体中的∆ABD ，已知正四面体棱长为2，所以=AD =1AC ，所以=CD故选：C ．例2．正四面体的棱长为1，则其外接球的表面积为 .【解析】解析：依题意，正四面体的外接球半径R =，其表面积为23=42S R ππ=，故答案为32π. 三、配套练习1．棱长为1的正四面体的外接球的半径为( )A B C ．1 D 【解析】已知正四面体A BCD -的棱长为1，过B 作BE CD ⊥，交CD 于E ， A 作AF ⊥平面BCD ，交BE 于F ，连结AE ，设球心为O ，则O 在AF 上，连结BO ，BE AE ===23BF BE ==13EF BE ==，AF ， 设球半径为R ，则BO AO R ==，222)R R ∴=+-，解得R =故选：A ．2．棱长为a 的正四面体的外接球和内切球的体积比是( )A ．9:1B ．4:1C ．27:1D ．8:1【解析】把棱长为a 的正四面体镶嵌在棱长为x 的正方体内，∴外接球和内切球的球心重合，为正方体的中心O ，∴=2211)63x h =⨯，h =，h ==∴3:1=， ∴正四面体的外球和内切球的体积比是27:1，故选：C ．3．如图所示，在正四面体A BCD -中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE +则该正四面体的外接球的体积是( )A B ．6π C D ．32π 【解析】将侧面ABC ∆和ACD ∆展成平面图形，如图所示：设正四面体的棱长为a则BP PE +的最小值为1cos1202BE a a 2a ∴=． 在正四面体A BCD -的边长为2，外接球的半径R ==外接球的体积343V R π==． 故选：A ．4．表面积为( )A ．B ．12πC ．8πD ．【解析】表面积为将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的对角线长为，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴外接球的表面积的值为24(3)12ππ=．故选：B ．5．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的表面积为( )A ．6πB ．8πCD ．11π【解析】正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴外接球的表面积的值为264()62ππ=． 故选：A ．6．相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．，则两圆的公共弦长是( )A ．34BC ．1D ．12【解析】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1所以球的半径为：R =， 设相互垂直两圆的圆心分别为1O 、2O ，球心为O ，公共弦为AB ，其中点为E ，则12OO EO 为矩形，于是对角线12O O OE =，而OE =， 12AE ∴=，则1AB =； 故选：C ．7．如图所示，正四面体ABCD 中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE +则该正四面体的外接球表面积是( )A ．12πB ．32πC ．8πD ．24π【解析】将三角形ABC 与三角形ACD 展成平面，BP PE +的最小值，即为BE 两点之间连线的距离，则BE =设2AB a =，则120BAD ∠=︒，由余弦定理221414222a a a a+--=，解得a =则正四面体棱长为 所以，设外接球半径为R ，则6223R == 则表面积244312S R πππ===．故选：A ．8．已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是( )A ．24πB ．18πC ．12πD ．6π【解析】将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为∴外接球的表面积的值为24(6)24ππ=．故选：A ．9．一个棱长为6的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是( )A ．4πB ．6πC ．12πD ．24π【解析】正方体可以在正四面体纸盒内任意转动，∴正方体在正四面体的内切球中，∴正方体棱长最大时，正方体的对角线是内切球的直径，点O 为内切球的圆心，连接PO 并延长交底面ABC 与点D ，点D 是底面三角形ABC 的中心，PD ∴⊥底面ABC ，OD ∴为内切球的半径，连接BO ，则BO OP =，在Rt BDP ∆中，263BD ==PD在Rt BDO ∆中，2222222()OD BD OB BD OP BD OP OD =+=+=+-，代入数据得OD =，令正方体棱长为a ，则23a =a∴此时正方体的外接球半径：r =． ∴当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是：22446S r πππ==⨯=． 故选：B ．10．如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为BCD ∆的重心，M 是线段AG 的中点，则三棱锥M BCD -的外接球的表面积为( )A ．πB ．32πCD 【解析】连接BG ，四面体ABCD 中，由G 为BCD ∆的重心，可得AG ⊥面BCD ，M 是线段AG 的中点，BG =AG =M 为线段AG 的中点，MG ∴=设三棱锥M BCD -外接球的半径为R ，则2R =22)(R +，R ∴=， ∴三棱锥M BCD -外接球的表面积为2342R ππ=． 故选：B ．11．正四面体（四个面均为正三角形的四面体）的外接球和内切球上各有一个动点P 、Q ，若线段PQ 长度，则这个四面体的棱长为 4 ． 【解析】设这个四面体的棱长为a ，则它的外接球与内切球的球心重合，且半径R =外，r =内，+= 4a ∴=． 故答案为：4．12．已知正四面体ABCD 的棱长为1，M 为棱CD 的中点，则二面角M AB D --的余弦值为 ；平面MAB 截此正四面体的外接球所得截面的面积为 ．【解析】如图，M 为棱CD 的中点，AM CD ∴⊥，BM CD ⊥，又AM BM M =，CD ∴⊥平面AMB ，则AM B ∠为二面角A CD B --的平面角，由对称性，可知二面角C AB D --的平面角等于AM B ∠． 由正四面体ABCD 的棱长为1，可得AM BM ==，则1cos()2AMB ∠== 平面AMB 平分二面角C AB D --，∴二面角M AB D --的余弦值1cos()2AMB =∠= 设BCD ∆的外心为G ，连接AG，求得23BG BM ==AG ==， 设正四面体ABCD 的外接球的半径为R，则222)R R -+=，解得R = 平面MAB 过正四面体ABCD 的外接球的球心，∴平面MAB截此正四面体的外接球所得截面的面积为238ππ⨯=．38π． 13．已知某正四面体的内切球体积是1，则该正四面体的外接球的体积是 27 ． 【解析】正四面体的外接球和内切球的半径之比为3:1，∴正四面体的外接球和内切球的体积比是27:1，正四面体的内切球体积是1，∴该正四面体的外接球的体积是27．故答案为：27．14．一个正四面体的展开图是边长为的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为 3π ．【解析】如图，一个正四面体的展开图是边长为∴G ，则23AG AD ==，正四面体的高PG ==． 再设正四面体外接球的球心为O ，连接OA ，则222)R R =+-，解得R =．∴该四面体的外接球的表面积为243ππ⨯=． 故答案为：3π．15．如图所示，正四面体ABCD 中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE +则该正四面体的外接球的体积是 ．【解析】将侧面ABC ∆和ACD ∆展成平面图形，如图所示： 设正四面体的棱长为a ，则BP PE +的最小值为2cos1202a BE a ︒=a ∴=在棱锥A BCD -中，设底面三角形BCD 的中心为M ，外接球的球心为O ，F 为BC 的中点，则DF ==23DM DF ∴==AM ==．设外接球的半径OA OD r ==，则OM r =-，在Rt OMD ∆中，由勾股定理可得：222)r r =-+，解得：r =．∴外接球的体积为343r π=．故答案为：．。
课件高中数学必修外接球问题常见解法PPT课件_优秀版
C
求该三棱锥外接球的表面积.
球的体积公式：
1
球的截面圆圆心与球心的位置特点
球的D表面积公式：
R
2
O R= 6
R
2
B
P
D
2
2
方法介绍 法三： 向量法
z A（0,0,2）
P （0,0,0） B （1,0,0）
设外接球的球心坐标为：O(x,y,z)
由 | OP || OA || OB || OC |可得：
2、过底面的外心作底面的垂线；
由
可得：
球的截面圆圆心与球心的位置特点
3、外接球的球心必在该垂线上，
利用轴截面计算出球心的位置。 练习2 、 如图，在四面体ABCD中，
练三习棱3锥、的如外图接，球已半知径三的棱常锥见P解-AAB法C中: ，PA⊥底面ABC，PA=AB=AC=2，∠BAC=120。
求该三棱锥外接球的表面积.
练习巩固
练习1 已知三棱锥的各条棱长均为1，求其外 接球的表面积.
D
法一：补形法
法二：构造直角三角形法
法三：向量法
A
C
B
练习巩固
练习2 、 如图，在四面体ABCD中，
AB DC 10 ，AD BC 5,BD AC 13 ，
求其外接球的表面积.
A 5D
10
10
13 13
C
A
5
D
10
10
外接球半径等于长方体的体对角线的一半 球的截面圆圆心与球心的位置特点
注意：图中三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球。
2、构造直角三角形法 求该三棱锥外接球的表面积.
注意：图中三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球。 关键是求出外接球的半径R
高中数学论文设计：巧解外接球地问题
巧解外接球问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27π.例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是故该球的体积为.2、求长方体的外接球的有关问题例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。
长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π.例4、（2006年全国卷I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π解析：正四棱柱也是长方体。
由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C.3.求多面体的外接球的有关问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,2936,38x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩．∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离32d =.∴外接球的半径221R r d =+=.43V π∴=球.小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图1，则AC=BC=CD 3=，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，故所求表面积是9π.(如图1)例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R ，则有()()()()222223339R =++=.∴294R =.故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222R a b c =++.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
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高中数学中外接球问题的解题策略
简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，外接球有关计算问题在近年高考试题中屡见不鲜，有些同学对于球类问题的解决，往往不知从何处入手，此类问题实质是解决球的半径R或确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键。
抓住球心就抓住了球的位置。
如何确定简单多面体外接球的球心，为此下面介绍解决球类问题的几个策略，以供参考。
一、直接法
由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心.由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论.
结论1正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.
结论2正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.
结论3直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.
结论4正棱锥的外接球的球心是在其高上，具体位置可通过计算找到.
结论5若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.
因为正方体，长方体的外接球内切球问题较简单，在此不再赘述。
例1.（2009年高考全国卷Ⅰ）直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上。
若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于__________。
解：设球心为O，球半径为R，△ABC的外心是M，
则O在底面ABC上的射影是点M，
在△ABC中，AB=AC=2，
，，AM=2
，所以球的表面积为
二、构造模型法
长方体模型是学习立体几何的基础，掌握长方体模型，对于学生理解立体几
何的有关问题起着非常重要的作用。
1、构造正方体
例2。
（2012·辽宁高考题）已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上。
若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________。
解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，
由已知条件可知，以PA，PB，PC为棱可以补充成球的内接正方体，如图。
故而PA2+PB2+PC2=2R2，
由已知PA=PB=PC，得到PA=PB=PC=2，
因为VP-ABC=V A-PBC?13h·S△ABC=13PA·S△PBC，得到h=233，
故而球心到截面ABC的距离为R-h=33.
2、构造长方体
例 3.如图所示，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直，∠ABC=∠BCD=90°，AB=a，BC=b，CD=c，且a2+b2+c2=1，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为________ .
【解析】一般方法：由已知得∠ABD=∠ACD=90°，
设AD的中点为O，则AO=BO=CO=DO.即点O为三棱锥A-BCD外接球的球心。
又a2+b2+c2=1，即AD2=1，∴AD=2OA=1，
∴外接球的半径为12，
∴外接球的表面积为S=4π×（12）2=π.
法2：如图2，构造一个长方体，转化为长方体的外接球问题即可。
三、确定球心法
例4. （2013石家庄一模）已知正三棱锥的主视图和俯视图如图所示，则
此三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.
解：因为是正三棱锥，所以球心一定在高线PG上，易知
所以
小结：球心一定在多面体的任意表面所在的平面截球所得的截面圆的过球心的垂线上。
以上是我在多年的教学过程中总结的一点心得，希望对大家有所帮助。