高二定积分的简单应用(理科)
定积分的几个简单应用
定积分的几个简单应用一、定积分在经济生活中的应用在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或者求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决．例1 某商场某品牌衬衫的需求函数是q p 15.065-=，如果价格定在每件50元，试计算消费者剩余．解 由p 50=，q p 15.065-=，得10000=q ，于是dq q )5015.065(100000--⎰10000023)1.015(q q -=50000=，所求消费者剩余为50000元．例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+='（件／天），求从第5天到第10天产品的总产量．解 所求的总产量为⎰⎰+='=105105)1240()(dt t dt t Q Q 1052)640(t t +=650=（件）． 二、用定积分求极限例1 求极限 ∑=∞→n k n n k 123lim ．解 nn n n n n n n k n k 12111123+++=∑= )21(1nn n n n +++= ． 上式是函数[]1,0)(在x x f =的特殊积分和．它是把[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数[]1,0)(在x x f =可积，由定积分定义，有∑=∞→n k n n k 123lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∞→)21(1lim n n n n n n 3210==⎰dx x ． 例2 求极限 2213lim k n n k n k n -∑=∞→． 解 212213)(11n k nk n k n n k n k n k -⋅=-∑∑==． 上式是函数[]1,01)(2在x x x f -=的特殊积分和．它是把区间[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数21)(x x x f -=在[]1,0可积，由定积分定义，有2213lim k n n k n k n -∑=∞→31)1(31110232102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰x dx x x ． 三、用定积分证明不等式 定积分在不等式的证明中有着重要的应用．在不等式的证明中，可根据函数的特点，利用定积分的性质来证明．例1 设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数，且单调增加，求证：⎰⎰+≥b ab a dx x f b a dx x xf )(2)(． 证明 作辅助函数 dt t f x a dt t tf x xa x a ⎰⎰+-=)(2)()(ϕ， 显然0)(=a ϕ，且)(2)(21)()(x f x a dt t f x xf x x a ⎰+--='ϕ )(2))((21)(2x f a a x f x f x ---=ξ [])()(2ξf x f a x --=， 其中[]x a ,∈ξ．因为)(x f 在[]b a ,上单调增加，所以0)(≥'x ϕ，从而)(x ϕ在闭区间[]b a ,上单调增加，所以0)()(=≥a x ϕϕ，取b x =得⎰⎰+≥b a ba dx x fb a dx x xf )(2)(． 定积分在许多领域中有着重要应用，它是解决一些几何学问题、物理学问题和经济学问题的重要工具．这一章主要介绍了定积分在不同学科中的应用问题．。
试论定积分在物理及其他领域的应用
试论定积分在物理及其他领域的应用1. 引言1.1 定积分的基本概念定积分是微积分的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
定积分的基本概念可以简单地理解为一个函数在一定区间内的累积效果。
在几何学中，定积分可以用来计算曲线下面积，图形的面积和体积等问题。
在数学上，定积分可以看作是不定积分的反运算，通过定积分我们可以求解函数的定积分值。
在实际应用中，定积分被广泛运用于物理、工程、经济等领域。
它的应用使得复杂问题的计算变得简单清晰。
通过定积分，我们可以计算出物体的质量、力的大小、功的大小等物理量。
在力学中，定积分可以用来描述物体的运动规律，计算出物体的位置、速度和加速度等。
在电磁学中，定积分常常用来计算电场强度、磁场强度等问题。
在热力学中，定积分可以用来计算热量、熵等热力学量。
在工程学中，定积分可以帮助工程师计算出工程设计中的各种参数。
在经济学中，定积分在求解供求关系、成本、收益等问题上起着重要作用。
定积分在各个领域中都有着重要的应用价值。
它的基本概念对于理解定积分的应用具有重要意义。
通过深入研究定积分的基本概念，可以更好地理解其在不同领域中的具体应用。
1.2 定积分在物理领域的重要性定积分在物理领域的重要性体现在多个方面，首先在力学中，定积分可以用来描述物体的质量、速度、加速度、力和能量等物理量随时间的变化，从而帮助解决力学中的各种问题。
在电磁学中，定积分可以用来描述电流、电荷、电场、磁场等物理量在空间中的分布和变化规律，从而帮助解决电磁学中的各种问题。
在热力学中，定积分可以用来描述热量、温度、熵等热力学量在空间中的分布和变化规律，从而帮助解决热力学中的各种问题。
在工程学和经济学中，定积分也有着重要的应用，可以用来描述工程和经济系统中的各种物理量的变化规律，从而帮助解决工程和经济学中的各种问题。
定积分在物理领域中的重要性不可忽视，它为我们理解和应用物理定律提供了重要的数学工具和方法。
2. 正文2.1 定积分在力学中的应用在力学中，定积分是一个非常重要的数学工具，它可以用来描述物体在运动过程中的各种性质和运动规律。
高考数学第1轮总复习 第17讲 定积分及简单应用课件 理 (广东专)
二 定积分的简单应用
【例 2】(1)下图中，阴影部分的面积是( )
A．16 C．20
B．18 D．22
素材2
(1)由曲线 y＝cosx(0≤x≤32π)与坐标轴所围成图形的面积
是( )
A．2
B．3
5 C.2
D．4
(2)作变速直线运动的质点，其速度(单位：m/s)与时间(单
位：s)的关系式为 v(t)＝t2－4t＋3，则该质点在时间段[0,4]上
2定积分的几何意义：
ⅰ( )当 函 数 f x 在 区 间[a， b ]上 恒
为 正 时 ， 定 积 分 b a
f x dx的 几 何
意义是由曲线②
和直线
③
所围成的曲边
梯 形 的 面 积 (如 图 中 阴 影 部 分 )．
(ⅱ )一
ห้องสมุดไป่ตู้
般
情
况
下
定
积
分
b
a
f
x
dx
的 几 何 意 义 是 介 于 x轴 ， 函 数
a
b
D.cf(x)dx－bf(x)dx
b
a
5.如图，在一个长为 π，宽为 2 的矩形 OABC 内，曲线 y
＝sinx(0≤x≤π)与 x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC
内随机投一点(该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的)，
则所投点落在阴影部分的概率是( )
1
2
A.π
B.π
C.π4
当函数f x的图象在x轴上方和下方都有时，
b
a
f
x dx表示界于x轴、
曲线y f x以及直线
x a，x b之间各部分
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分是一种常见的数学工具，用来解决许多几何和物理问题。
它可以在几何学、物理学中解决积分、面积和容积计算题中应用。
首先，定积分在几何学中的简单应用。
比如，如果我们要计算一个几何图形的面积，则可以通过定积分来计算。
它可以计算任意形状的几何图形的面积，比如三角形、椭圆、圆形等。
它的应用范围非常广泛，比如可以用它来计算面积、周长、体积等。
其次，定积分也可以用在物理学中。
比如，如果我们要计算一个物体在多次不同力作用之下移动的路程，可以用定积分来计算。
它可以帮助我们精确地计算物体受力作用前后的距离，也可以帮助我们精确计算弹性作用力等。
最后，定积分也可以应用于物理学的温度问题中。
比如，我们可以通过定积分求出一个物体在单位温差下的热量传递，也可以求出一个物体的总热量。
还可以用它求解温度场、热传导率、热导率等问题。
以上是定积分在几何、物理学中的简单应用。
定积分是一种通用而有效的数学工具，在几何、物理学中都有着广泛的应用，不仅可以用来解决相关的面积、容积计算题，而且还可以用来解决物理热力学、温度等问题。
只要我们掌握它的基本使用方法以及它的一些特性和用途，就可以在几何、物理学中更好地应用它来解决其它问题。
- 1 -。
高二定积分的简单应用(理科)
一、教学目标1. 能用定积分知识解决在物理学中的一些简单问题及求曲边图形的面积等问题2. 体会数与形结合的思想、等价转化的数学思想的应用.二、知识要点分析1. 定积分在物理学中的简单应用（1）变速直线运动的路程：作变速直线运动的物体在时间t=a 到时间t=b （a<b ）内所经过的路程S 等于其速度V=v （t ）在区间[a ，b]上的定积分，（其中v （t ）恒为正）即⎰=badt t v S )(（2）变力做功：物体在力F （x ）的作用下做直线运动，且物体沿着力F （x ）相同的方向从x=a 移动到x=b （a<b ）变力所做的功W=⎰badx x F )(2. 定积分求曲边多边形的面积 （1）几种典型曲边梯形面积的计算方法（i ）由三条直线x=a ，x=b （a<b ），x 轴，一条曲线y=f （x ），（f （x ）恒为正）围成的曲边梯形面积⎰=badx x f S )(（ii ）由三条直线x=a ，x=b （a<b ），x 轴，一条曲线y=f （x ），（f （x ）恒为负）围成的曲边梯形面积⎰⎰-==babadx x f dx x f S )(|)(|（iii ）由三条直线x=a ，x=b （a<b ），x 轴，两条曲线y=f （x ），y=g （x ），))()((x g x f ≥围成的图形面积⎰-=badx x g x f S )]()([(（2）求曲边图形面积的一般步骤： （a ）画图，并将图形分割成若干个曲边梯形（b ）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上下限. （c ）确定被积函数（d ）求出各曲边梯形的面积和，即各种定积分的绝对值之和.【典型例题】知识点一：定积分在物理学中的简单的应用例1：一物体在力F ⎩⎨⎧>+≤≤=)2(,43)20(,10)(x x x x （单位：N ）的作用下沿力F 相同的方向，从x=0处运动到x=4处（单位：米），这力F （x ）所做的功是（ ）A . 44B . 46C . 48D . 50【题意分析】本题考查物理学中的变力做功问题，物体在x=0到x=4距离内所做的功是函数F （x ）在区间［0，4］上的定积分.【思路分析】由已知F （x ）的表达式是分段函数，故物体所做的功是函数F （x ）在［0，2］，［2，4］上的积分之和.【解题步骤】由定积分的物理意义知：⎰⎰⎰⎰++=+=42202042)43(10)()(dx x dx dx x F dx x F W ＝42220|)423(|10x x x ++ ＝46， 故选（B ）【解题后的思考】本题考查的知识点是利用定积分求变力做功的问题，易错点是：认为F （x ）在区间［0，4］内所做的功是⎰+4)43(dx x .例2：一物体做变速直线运动，其v －t 曲线（如图所示），求物体在s s 621-内的运动路程.【题意分析】本题考查物理学中变速直线运动路程问题，由v （t ）曲线知：0)(≥t v ，故在s s 621-间的物体运动的路程是v （t ）在区间]6,21[上的定积分.【思路分析】由v －t 曲线知：v （t ）是关于t 的分段函数，即在［0，1］时间内物体做加速直线运动 在［1，3］时间内物体做匀速运动，在［3，6］时间内物体也做加速运动但加速度不同所以首先要确定v （t ）分段函数的表达式，然后求物体在]6,21[内运动的路程，即是v（x ）在三个区间内的定积分之和.【解题步骤】由v （t ）曲线知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+≤≤≤≤=)63(,131)31(,2)10(,2)(t t t t t t v⎰⎰⎰⎰=+++=+++==∴6363231121231621121449|)t t 61(|t 2|t dt )1t 31(dt 2tdt 2dt )t (v S 故物体在s s 621-内运动的路程是m 449【解题后的思考】本题是考查利用定积分求变速直线运动的路程的问题，v （t ）往往是关于时间t 的分段函数，所以首先是求出v （t ）函数的分段表达式，再求在每一个区间上的定积分然后相加即得，体现的数学思想是数与形结合的思想.易错点是：求在每个时间区间的函数表达式有误.例3：一质点在直线上从时刻t=0（s ）开始以速度)/(342s m t t v +-=运动，求 （1）在t=4s 时该点的位置. （2）在t=4s 时运动的路程.【题意分析】本题的第一问中：在t=4s 的位置是由物体的位移确定的，故物体的位移就是在［0，4］内v （t ）的定积分.第二问中，从时刻t=0到时刻t=4不能保证0)(≥t v 恒成立.而路程是位移的绝对值之和.因此要把区间［0，4］分割，以便能准确的判断v （t ）在哪些区间为正哪些区间为负.【思路分析】由)3)(1(342--=+-=t t t t v 知：在区间［0，1］，［3，4］内v （t ）为正值，在区间［1，3］内v （t ）为负值.在时刻［1，3］内物体运动的路程是⎰+--312)34(dt t t.【解题步骤】（1）在时刻t=4s 时物体的位移是：⎰=+-=+-44023234|)3231()34(m t t t dt t t 即t=4s 时刻质点距出发点m 34（2）由)3)(1(342--=+-=t t t t v 知：运动物体在t=4s 时刻运动的路程⎰⎰⎰+-++-++-=43213122dt )3t 4t (|dt )3t 4t (|dt )3t 4t (S⎰⎰⎰+-++--+-=43213122dt )3t 4t (dt )3t 4t(dt )3t 4t(＝4【解题后的思考】本题考查的知识点是利用定积分求变速直线运动路程的问题，要明确仅当v （t ）恒为正时，物体在时刻t=0到时刻t=4时运动的路程⎰=badt t v S )(，因此本题正对v（t ）的表达式要把时刻区间［0，4］分割，确保在哪些时刻区间v （t ）为正，哪些时刻区间v （t ）为负.体现的数学思想是分类讨论的数学思想.同时要理解物理学中的路程与位移的区别.易错点是：混淆路程与位移的概念.【小结】这一题组三个例题主要讲述利用定积分求变力做功的问题和求变速直线运动物体的路程问题.对求变力做功问题要根据物理学的意义求力F 的表达式，及在力F 作用下位移的起始位置与末位置，以确定积分的上下限.在求变速直线运动路程问题时，要根据v （t ）曲线写出v （t ）函数的表达式，或由v （t ）表达式判断在时刻区间v （t ）是否为正.因为仅当v （t ）恒为正时，⎰=badt t v S )(.知识点二：求曲边梯形的面积例1：曲线3x y =与直线y=x 围成的图形的面积是（ ） A .⎰--113)(dx x xB .⎰--113)(dx x xC . ⎰-103)(2dx x xD . ⎰--013)(2dx x x【题意分析】根据定积分的几何意义要求两曲线围成的图形面积必须确定被积函数、积分的上下限.【思路分析】在同一坐标系内画出函数3x y =和y=x 的图象，求出交点坐标从而确定积分的上下限及被积函数.【解题过程】在同一坐标系内画出函数图象（如图）A （1，1），B （－1，－1）由两函数图象知：两图象围成的面积在第一、第三象限. 根据图象的对称性知：两部分面积相等.在第一象限两图象围成的面积OAC OAC S S S 曲边三角形∆∆-=1⎰⎰⎰-=-=∴1313101)(dx x x dx x xdx S故两曲线围成的图形面积⎰-==1031)(22dx x x S S ，选（C ）【解题后的思考】本题是利用定积分求曲边图形的面积，解题的关键是确定被积函数和积分的上下限.通过画出两函数的图象及求交点坐标来确定积函数和积分的上下限，体现了数形结合这一数学思想的应用，易错点：画函数图象不准确导致积分上下限的确定有误.例2：求抛物线)0y (x 8y 2>=与直线x+y －6=0及y=0围成的图形面积.【题意分析】画出图形确定被积函数和积分的上下限，再利用定积分的几何意义求面积 【思路分析】画出)0y (x 8y 2>=及x+y －6=0的图象，求两曲线的交点坐标，正确划分图形，然后确定被积函数及积分的上下限. 【解题过程】由题意画出图形（如图）由⇒⎩⎨⎧=-+>=06)0(82y x y x y 两曲线的交点A （2，4） 故所求的面积⎰⎰-+=+=∆622)6(8dx x dx x S S S ABC OAB 曲边三角形＝340|)216(|3286222032=-+⨯x x x【解题后的思考】本题考查求两条曲线围成的曲边梯形面积的问题，处理的方法（1）准确地画出两个函数的图象，（2）求出两曲线的交点坐标，然后对正确的图形分割后，（3）确定被积函数及积分的上下限.体现数形结合的思想及其应用，易错点是：图形分割不正确导致被积函数有误，如本题会误认为：S=⎰--4]8)6[(dx x x .例3：在曲线)0(2≥=x x y 上某一点A 处作切线，使之与曲线以及x 轴围成的面积为121，求切点A 的坐标，及过点A 的切线方程. 【题意分析】本题考查的知识点是：导数的几何意义及利用定积分求曲边图形的面积.利用导数的几何意义求切线AC 的方程，再利用曲边三角形的面积是121求切点坐标 【思路分析】设切点A （),00y x 求出切线方程进而求出C 点坐标，根据121=AOC S 曲边三角形求出0x .【解题过程】设切点A （),00y x ，由导数的几何意义知：切线AC 的斜率k=2x 0，所以切线方程是)(2000x x x y y -=-，200x y =， 2002x x x y -=∴切线方程是 令)0,2(000x C y ⇒=， 设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成的图形面积是S ， 则S==--=⋅-=-⎰∆2000x 03x 02ABC AOB x )2x x (21|x 31|AB ||BC |21dx x S S 00曲边三角形 30x 121， ,1121121030=⇒=∴x x 故切点A （1，1），所求的切线方程为y=2x －1. 【解题后的思考】本题是导数与积分综合试题，解题的关键是（1）利用导数求切线斜率进而求切线方程.（2）利用积分求曲边三角形AOB 的面积减去三角形ABC 的面积来表示曲边三角形AOC 的面积.求切点坐标，易错点是：求曲边三角形AOC 的面积时不会分割为曲边三角形AOB 的面积减去三角形ABC 的面积.【小结】本题组主要讲述利用定积分求曲边图形的面积，处理问题的关键是要能画出函数的图象，并且合理地分割图形，以便确定被积函数和积分的上下限.易错点：图形分割不合理导致被积函数和积分上下限的确定错误.【本讲涉及的数学思想、方法】本讲主要讲定积分的简单的应用，在处理定积分在物理学中的应用和求曲边图形面积时充分体现了数形结合的数学思想的应用和分类讨论的数学思想的应用.【模拟试题】（答题时间：60分钟，满分60分）一、填空题（每题5分，计20分）1. 已知函数f （x ）＝dx bx ax x)1(20++⎰是奇函数，且f （1）－f （－1）=31，则a+b=__________2. 直线y=2x+3与抛物线y=x 2围成的图形面积是3. 长为25cm 的弹簧，若加100N 的力，则弹簧伸长到30cm ，则弹簧从25cm 到30cm 所做的功是4. 曲线xy=1及直线y=x ，y=2围成的平面图形的面积是 .二、计算题（计40分）：5. 已知f （x ）=⎰-===-≠++1'2,2)(,0)0(,2)1(),0(,dx x f f f a c bx ax 求f （x ）的解析式.（10分）6. 某一物体沿数轴的正方向做变速直线运动，其速度v （t ）=1－t 2，初始位置为x 0=1，求它在前2秒内走过的路程及2秒末的位置.（10分）7. 在原点O 有一个带电量为＋q 的点电荷，它所产生的电场对周围的电荷有作用力，现有一个单位正电荷从距离原点a 处沿着射线方向移至距O 点为b （a<b ）的地方，求电场力所做的功.（10分）8. 求曲线y=2x －x 2，y=2x 2－4x 所围成图形的面积.（10分）【试题答案】一、填空题1. 25-解析：f （x ）=dx bx ax x )1(20++⎰=x x b x a x x b x a x++=++2302323|)23(，由f （x ）为奇函数知：b=0，又由f （1）－f （－1）=2531-=⇒a .2.332解析：3,132212=-=⇒⎩⎨⎧=+=x x xy x y 332)32(31312=-+=∴⎰⎰--dx x dx x S .3. 2250N 解析：设x 表示弹簧伸长的长度，则F （x ）=kx ，当F=100N 时，x=5，故k=20，所以F=20xN x xdx W 2250|1020150215===⎰4.2ln 23- 解析：由已知：舍去）或(11111⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==y x y x x y xy 以y 轴为积分变量可得面积2ln 23|)ln 21()1(21221-=-=-=⎰y y dy y y S二、计算题5. 解：由已知：f （－1）=2得：a －b+c=2 (1)00)0(2)(''=⇒=+=b f b ax x f ，由 (2)2c b 21a 31|)cx bx 21ax 31(dx )c bx ax (dx )x (f 102310210-=++=++=++=∴⎰⎰…（3） 由（1）（2）（3）解得：a=6，b=0，c=－4. 46)(2-=∴x x f6. 解：当10≤≤t 时，v （t ）0≥，当21≤≤t 时，v （t ）<0， 故前2秒内走过的路程是：⎰⎰⎰⎰=---=-1212210212)1()1()()(dt t dt t dt t v dt t v ，2秒末所在的位置是：31)1(1)(22201=-+=+=⎰⎰dt t dt t v x x ， 即它在2秒内走过的路程是2，2秒末的位置是31 7. 解：取电荷移动的射线方向为x 轴正方向，那么电场力k (xqk F 2⋅=为常数），这是一个变力，在]x x x [∆++上，显然x xqk w ∆⋅⋅=2， )11(|2ba kq x kq dx x kq wb ab a -=-==∴⎰ 8. 解：由2,04222122==⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=-=x x xx y xx y由图知：所求的面积⎰⎰-+-=202022|)42(|)2(dx x x dx x x S ＝⎰⎰---20222)42()2(dx x x dx x x ＝4.。
定积分的简单应用李楠
0
2
x
0
2
x
0
2
x
抽象概括：
一般地，设由曲线y=f(x)，y=g(x)以及直线x=a，y=b所围成
的平面图形（如图1）的面积S，则
y
s = f ( x)dx - g ( x)dx.
a
y
b
b
a
y
y=f(x) s y=g(x) o a b x o a
y=f(x) s b y=g(x) x o a
x
面图形的面积
（四）总结
（1）利用定积分求所围平面图形的面积， 要利用数形结合的方法确定被积函数和积 分上、下限。 （2）当平面图形是由多条曲线围成时，要 合理分区域积分求面积。
y
y=x
s2
y= x
x
s1
0 1 2
总结：
求平面图形的面积的一般步骤：
（1）根据题意画出图形； （2）求交点的横坐标，确定积分上、下限； （3）确定被积函数； （4）写出相应的定积分表达式； （5）用微积分基本定理计算定积分，求出 结果。
练习：
1 1、求曲线y = , 直线x = 1, x = 2以及x轴所围成 x 的平面图形的面积。 2、求曲线y = e , 直线x = 1以及坐标轴所围成的平
b
s = 1dx
a
5
h(x)
g(x)
y
f(x)Biblioteka 4y b xf(x)
0 a
0 a
a
b
b
x
g(x)
s = f ( x)dx - h( x)dx
0 0
a
a
s = f ( x)dx g ( x)dx
高考讲定积分及其应用举例课件理
总结词
定积分的定义包括将函数分割成小段， 然后求和；定积分的性质包括奇偶性、 可加性等。
VS
详细描述
定积分的定义是将一个函数分割成许多小 段，然后求这些小段的面积和。具体来说 ，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么 对于这个区间上的任意两个点a和b，都 有定积分∫(f(x))dx = F(b) - F(a)，其中 F(x)是f(x)的原函数。此外，定积分还具 有一些性质，例如奇偶性、可加性等。这 些性质在计算定积分时非常有用。
04
定积分的计算方法
直接积分法
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
总结词
直接积分法是最基本的 积分方法，主要依靠微 分的概念进行计算。
详细描述
直接积分法是将一个函 数的积分转化为另一个 函数的导数的过程。具
体地，对于一个函数 f(x)，其不定积分就是 所有使得f(x)成立的函 数F(x)的导数。换句话 说，不定积分就是找到 一个函数，使得这个函 数的导数等于原函数。
微积分基本定理
01
微积分基本定理的定义
微积分基本定理是指对于一个给定的函数f(x)，如果对其进行积分，那
么该积分等于f(x)的原函数在该区间上的增量。
02
微积分基本定理的意义
微积分基本定理是微积分学的基础，它揭示了可积函数的原函数与积分
之间的联系，为解决微积分问题提供了基本的方法和工具。
03
微积分基本定理的应用
05
定积分的应用扩展
物理应用
匀速直线运动
01
定积分可应用于计算位移，特别是在匀速直线运动中，速度是
恒定的，因此可以通过对速度的积分来求解位移。
简谐振动
02
高中数学选修2-2-定积分的概念及其简单应用
定积分的概念及其简单应用知识集结知识元定积分的应用知识讲解1．定积分的应用【应用概述】正如前面定积分的概念哪里所说，定积分表示的是一个面积，是一个大于零的数．那么它在实际当中的应用也就和求面积相关．例1：定积分|sin x|dx的值是．解：|sin x|dx＝＝﹣cos x+cos x＝1+1+0﹣（﹣1）＝3．这个题如果这样子出，|sin x|在区间（0，）上与x轴所围成的面积，那么就成了一个应用题．如何解这类应用题呢？其实就是构建一个定积分，找到区间和要积分的函数即可．【定积分在求面积中的应用】1、直角坐标系下平面图形的面积2、极坐标系下平面图形的面积由连续曲线r＝r（θ）及射线θ＝α，θ＝β所围成的平面图形的面积（图6）为3、用定积分求平面图形的面积的步骤a）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；b）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；c）具体计算定积分，求出图形的面积．例题精讲定积分的应用例1.直线x=1，x=e与曲线y=围成的面积是（）A．B．C．D．例2.由曲线，直线y=x所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．1例3.抛物线y=x2-1与直线y=x+1所围成的平面图形的面积是（）A．B．C．5D．用定积分研究简单几何体的体积知识讲解1．用定积分求简单几何体的体积【知识点的知识】1、已知平行截面面积的立体的体积2、旋转体的体积例题精讲用定积分研究简单几何体的体积例1.祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个设计集合求积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等．由曲线x2=4y，x2=-4y，x=4，x=-4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1：满足x2+y2≤16，x2+（y-2）2≥4，x2+（y+2）2≥4的点（x，y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（）A．V1=V2B．V1=V2C．V1=V2D．V1=2V2例2.曲线y=e x，直线x=0，x=与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到旋转体的体积是（）A．B．C．D．例3.曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（）A．B．C．D．。
高中数学选修2-2同步练习题库：定积分的简单应用(填空题：容易)
定积分的简单应用（填空题：容易）1、若，则实数的值是 .2、由曲线所围成的封闭图形的面积为________3、如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为___________.4、已知，则函数的单调递减区间是______.5、定积分的值为．6、_____________．7、曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为 .8、曲线与所围成的封闭图形的面积s=9、已知，则．10、曲线和曲线围成的图形面积是11、的值等于 .12、曲线与直线围成的封闭图形的面积是 .13、在平面直角坐标系内，由曲线所围成的封闭图形的面积为．14、二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为．15、．16、由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为______________．17、定积分．18、计算定积分：．19、已知函数，则。
20、= ．21、计算= ．22、计算：= .23、等于．24、________.25、定积分___________;26、＝。
27、求曲线，所围成图形的面积.28、由曲线，直线所围图形面积S= .29、定积分= .30、定积分的值为____________.31、计算定积分(x2+sinx)dx=.32、求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积为_______。
33、已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为________．34、dx + .35、曲线＝x与y＝围成的图形的面积为______________．36、＝________________。
37、设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.38、一物体在力(单位：)的作用下沿与力相同的方向,从处运动到(单位：)处,则力做的功为焦.39、由直线，，曲线及轴所围成的图形的面积是．40、计算定积分 .41、已知求 .42、曲线与直线所围成的封闭图形的面积为．43、在的展开式中的常数项为p，则 .44、设＝，则二项式展开式中含项的系数是。
35定积分及其简单应用(理)
§3.5 定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用知识要点梳理1.一般地，如果函数y=f(x)在某个区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I 上的连续曲线。
2 .以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤:①分割,②近似代替,③求和,④取极限. 3. 定积分的定义：如果函数f(x)在区间[a,b]上图像是连续曲线，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[a,b]等分成n 个小区间。
在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限趋近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[a,b]上的定积分。
记作: ⎰ba dx )x (f 。
即⎰ba dx )x (f =)(f n ab lim i n1i n ξ-∑=∞→.其中f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量， f(x)dx 叫做被积式，b,a 分别叫做积分上限和下限，区间[a,b]叫做积分区间。
4.定积分的几何意义: ⎰badx )x (f 表示介于x 轴,曲线y=f(x),与直线x=a,x=b 之间部分的曲边梯形面积的代数和,在x 轴上方的面积取正号,在x 轴下方的面积取负号.(如下图（1）、（2）5.微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式):如果f(x)是区间[a,b]上图像连续不断的函数,并且F ˊ(x)=f(x),那么⎰ba dx )x (f =F(x)|b a=F(b)-F(a).其中F(x)叫做f(x)的一个原函数。
6.定积分的性质:①⎰⎰=babadx )x (f k dx )x (kf ,(其中k 为常数);②⎰⎰⎰±=±bababadx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [;③⎰⎰⎰+=bcc ab adx )x (f dx )x (f dx )x (f (其中a<b<c)。
高二数学定积分的简单应用1
k = 1-
3
1 2
y＝kx
1
O 1－k x
小结作业
1.定积分在几何中的应用，主要用 于求平面曲边图形的面积.解题时，一般 先要画出草图，再根据图形确定被积函 数以及积分的上、下限. 2.定积分只能用于求曲边梯形的面 积，对于非规则曲边梯形，一般要将其 分割或补形为规则曲边梯形，再利用定 积分的和与差求面积.对于分割或补形中 的多边形的面积，可直接利用相关面积 公式求解.
3.位于x轴下方的曲边梯形的面积， 等于相应定积分的相反数.一般地，设由 直线x＝a，x＝b(a＜b)，y＝0和曲线y＝ f(x)所围成的曲边梯形的面积为S，则.
S =
ò
b
a
| f (x ) | dx
y
y＝|f(x)|
O a y＝f(x)
b x
作业： P58练习：（1），（2）. P60习题1.7B组：1，2，3.
思考3：该图形的面积用定积分怎பைடு நூலகம்表示？
y y＝x2 1 O C B D A 1 x y 2＝x
S =
蝌
0
1
xdx -
1 0
x dx
2
思考4：利用微积分基本定理计算，该图 形的面积等于多少？
y y ＝x 2 y 2＝x
1 O
3 2 1 0
C
B
D A 1
x
2 1 3 1 1 S = x | - x |0 = 3 3 3
探究（一）：曲线y2＝x与y＝x2所围成图
形的面积 思考1：曲线y2＝x与y＝x2所围成的图形 是什么？其交点坐标是什么？
y
y ＝x 2 1 O 1 y 2＝x
(1,1)
定积分的简单应用李用
b
a
f
x
g
xd. x
注：
两曲线围成的平面图形的面积的计算 例 1. 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组
y y
x x2
x
y
00或xy
1 1
y
y y2 xx B
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
返回
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
∴在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0.
∴在t＝4 s时的路程为
1
3
4
s＝0(t2－4t＋3)dt－1(t2－4t＋3)dt＋3(t2－4t＋3)dt
＝(13t3－2t2＋3t)|10－(13t3－2t2＋3t)|31＋(13t3－2t2＋3t)|43＝4(m)．
图1.7 3
s 30 60 30 1350
2
二、变力沿直线所作的功
1、恒力作功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过
程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力
的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移
动了距离 s时，力 F 对物体所作的功为W F s .
2、变力所做的功
问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所
围成的图形的面积.
y 2x
解: 两曲线的交点
y
2x
(0, 0), (8, 4).
y x 4
直线与x轴交点为(4,0)
专题1.5 定积分的概念 1.6 微积分基本定理 1.7 定积分的简单应用-20届高中数学同步讲义(理)
1．定积分的概念一般地，如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑（其中x ∆为小区间长度），当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作________，即1()d lim ()nbi an i b af x x f nξ→∞=-=∑⎰． 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()d f x x 叫做被积式．2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[,]a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()d baf x x ⎰表示由直线,()x a x b a b ==≠，0y =和曲线()y f x =所围成的__________．这就是定积分()d baf x x ⎰的几何意义．3．定积分的性质由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质： ①()d __________(ba kf x x k =⎰为常数）； ②1212[()()]d ()d ()d bb ba aaf x f x x f x x f x x ±=±⎰⎰⎰；③()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰（其中a c b <<）． 4．微积分基本定理一般地，如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么___________．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．为了方便，我们常常把()()F b F a -记成()|ba F x ，即()d ()|()()bb a af x x F x F b F a ==-⎰．微积分基本定理表明，计算定积分()d baf x x ⎰的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x ．通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出()F x ．学&科网5．定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用主要是计算由两条曲线所围图形的面积．由曲边梯形面积的求法，我们可以将求由两条曲线所围图形的面积问题转化为求两个曲边梯形的面积问题，进而用定积分求出面积．6．定积分在物理中的应用①变速直线运动的路程：我们知道，做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分，即________s =．②变力做功：一物体在恒力F (单位：N )的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s （单位：m ），则力F 所做的功为W Fs =．已知某物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且该物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到()x b b a =>，求变力()F x 所做的功W ，与求曲边梯形的面积及求变速直线运动的路程一样，可用“四步曲”解决，得到_________W =．K 知识参考答案：6．①()d bav t t ⎰②()d baF x x ⎰K —重点 定积分的几何意义，定积分的基本性质，运用微积分基本定理计算定积分，定积分的应用 K —难点 运用微积分基本定理计算定积分，用定积分求几何图形的面积 K —易错 运用微积分基本定理计算定积分时，弄错积分的上、下限利用定积分的几何意义计算定积分利用定积分所表示的意义求()d baf x x ⎰的值的关键是确定由曲线()y f x =，直线x a =，直线x b =及x轴所围成的平面图形的形状．利用定积分的几何意义求π22π22()sin d d cos x x f x x x --+⎰⎰，其中21,0()31,0x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩．【答案】6-． 【解析】ππ20222ππ2222d d d ()sin cos (31)(21)sin cos d d f x x x x x x x x x x x x ----+=-+-+⎰⎰⎰⎰⎰．∵sin cos y x x =为奇函数，∴π2π2sin cos d 0x x x -=⎰．利用定积分的几何意义，如下图：学科@网∴271(31)28d 2x x -+-=-⨯=-⎰，2031(21)122d x x +-=⨯=⎰，故π22π22()sin co 6d s 820d f x x x x x --+=-++=-⎰⎰．【名师点睛】（1）利用定积分的几何意义求解时，常见的平面图形的形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．（2）设函数()f x 在闭区间[,]a a -上连续，则若()f x 是偶函数，则0()d 2()d aaaf x x f x x -=⎰⎰；若()f x 是奇函数，则()d 0aaf x x -=⎰．利用微积分基本定理计算定积分求函数()f x 在某个区间上的定积分时，要注意：（1）掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解导数等于被积函数的函数．当这个函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差． （2）精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．计算下列定积分：（1）221(23)d x x x ++⎰； （2）πcos d (e )x x x --⎰； （3）π22d sin 2x x⎰；（4）94(1)d x x x +⎰．【答案】（1）253；（2）π11e -；（3）π24-；（4）2716．【名师点睛】微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到被积函数的一个原函数．定积分在几何中的应用对于简单图形的面积求解，我们可以直接运用定积分的几何意义，此时， （1）确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标． （2）确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差． 这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．求由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积（画出图形）．【答案】图形见解析，平面图形的面积为1S =．【解析】画出曲线22y x =+与3y x =，则下图中的阴影部分即为所要求的平面图形．解方程组223y x y x ⎧=+⎨=⎩，可得12x x ==或．故平面图形的面积为322312221201133(2)3d 3(2)d (2)|(2)|3223x x x x S x x x x x x x x =+-+-+=+-+--⎰⎰1=，所以所求图形的面积为1．【名师点睛】（1）定积分可正、可负或为零，而平面图形的面积总是非负的．（2）若图形比较复杂，可以求出曲线的交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上平面图形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．学科&网定积分在物理中的应用（1）已知变速直线运动的方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．（2）利用定积分求变力做功的问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即可．设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功． 【答案】将弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时所做的功为22.5J ．【名师点睛】求解时注意单位的换算，把cm 换算为m ．1．定积分()d baf x x ⎰的大小A ．与()f x 和积分区间[],a b 有关，与i ξ的取法无关B ．与()f x 有关，与区间[],a b 以及i ξ的取法无关C ．与()f x 以及i ξ的取法有关，与区间[],a b 无关D ．与()f x 、区间[],a b 和i ξ的取法都有关2．在求由抛物线26y x =+与直线1x =，2x =，0y =所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为 A ．1[,]i in n- B ．1[,]n i n in n +-+ C ．[1,]i i -D ．1[,]i i n n+3．已知31()d 56f x x =⎰，则A ．21()d 28f x x =⎰ B ．32()d 28f x x =⎰C ．212()d 56f x x =⎰D ．2312()d ()d 56f x f x x x +=⎰⎰4．定积分1(2e )d x x x +=⎰A ．e 2+B ．e 1+C ．eD ．e 1-5．直线34x y x y ==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A ．22B ．42C ．2D ．46．计算：11||d x x -=⎰A ．11d x x -⎰B ．11d x -⎰C ．11()d d x x x x --+⎰⎰D ．110d ()d x x x x -+-⎰⎰7．由直线0y =，e x =，2y x =及曲线xy 2=所围成的封闭图形的面积S = A ．2ln 23+ B ．3 C ．22e 3-D ．e8．定积分0|sin cos |d x x x π-=⎰A ．22+B ．22-C ．2D ．229．已知1201d 3x x =⎰，2217d 3x x =⎰，则220(1)d x x +=⎰________________． 10．计算：121(sin )d x x x -+=⎰________________．11．计算π220sin d 2xx =⎰________________．12．若11(2)d 3ln 2ax x x+=+⎰，则实数a =________________．13．已知函数22()31f x x x =++，若11()()d 2f x x f a -=⎰成立，则实数a =________________． 14．已知函数2max (),{}f x x x =，则22()d f x x -=⎰________________．15．已知()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+．（1）求()f x 的解析式；（2）求曲线()y f x =与曲线241y x x =--+所围成的图形的面积S ．16．如图，抛物线的方程为21y x =-，则图中阴影部分的面积可表示为A ．220()1d x x -⎰ B ．|220()1d x x -⎰|C ．220||1d x x -⎰D ．1222011d 1)d (()x x x x -+-⎰⎰17．设113d a x x =⎰，120d b x x =⎰，130d c x x =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c a b >>B ．a b c >>C ．a b c =>D ．a c b >>18．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m /s ）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是 A ．125ln5+ B ．11825ln3+ C ．425ln5+D ．450ln 2+19．下列命题不正确的是A ．若()f x 是连续的奇函数，则()d 0aa f x x -=⎰B ．若()f x 是连续的偶函数，则0()d 2()d aa af x f x x x -=⎰⎰C ．若()f x 在[],a b 上连续且恒正，则()d 0bax f x >⎰D ．若()f x 在[),a b 上连续且()d 0baf x x >⎰，则()f x 在[),a b 上恒正20．如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是A ．1B ．2C ．π2D ．π21．已知()f x 是一次函数，若1()d 5f x x =⎰，117()d 6x x x f =⎰，则函数()f x 的解析式为 A ．3(4)f x x =+B ．4(3)f x x =+C ．2(4)f x x =-+D ．4(3)f x x =-+22．已知分段函数21,0()e ,0x x x f x x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则31(2)d f x x -=⎰A ．13e + B ．2e - C ．713e-D ．12e-23．已知π207sin()d 4x x ϕ-=⎰，则sin 2ϕ=________________． 24．若0cos 2cos d tt x x =-⎰，其中,()0t ∈π，则t =________________．25．已知函数21,10()1,01x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，则11()d f x x -=⎰________________． 26．如图，求由曲线1y x=，2y x =与直线2x =，0y =所围成的阴影部分的面积．1．【答案】A【解析】由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤，可知定积分()d baf x x ⎰的大小与()f x 和积分区间[],a b 有关，与i ξ的取法无关，故选A ．学#科网2．【答案】B【解析】在区间[1,2]上等间隔地插入1n -个点，将它等分成n 个小区间[1，1n n +]，[1n n +，2n n+]， (1),]n i n i n n +-+，…，[21n n-，2]，所以第i 个区间为1[,]n i n in n +-+ 1,2,(),i n =．故选B ．3．【答案】D 【解析】由题可得323112()d ()d ()d 56f x f x x x x f x =+=⎰⎰⎰，故选D ．4．【答案】C 【解析】121212000(2e )d (e )|(1e )(0e )e x x x x x +=+=+-+=⎰，故选C ．5．【答案】D【解析】由已知得23242001(4)d (2)|44S x x x x x =-=-=⎰，故选D ． 6．【答案】C7．【答案】B【解析】由题可得1e21e010122d d 2ln 3S x x x x x x=+=+=⎰⎰，故选B ．8．【答案】D 【解析】44044|sin cos |d (cos sin )d (sin cos )d (sin cos )(sin cos )x x x x x x x x x x x x x πππππππ-=-=-=++--=⎰⎰⎰22，故选D ．9．【答案】143【解析】根据定积分的性质可得2122220011714(1)d d d 22333x x x x x x +=++=++=⎰⎰⎰． 10．【答案】23【解析】12311112(sin )d (cos )33x x x x x --+=-=⎰．学*科网 11．【答案】π24- 【解析】πππ22220001cos 1π2sin d d (sin )2224x x x x x x --==-=⎰⎰． 12．【答案】2【解析】221111111(2)d 2d d ln 1ln 3ln 2aa a aa x x x x x x xa a xx +=+=+=-+=+⎰⎰⎰，解得2a =．13．【答案】1-或1314．【答案】112【解析】如图，可得222,0(){},01,1max ,x x x f x x x x x x ⎧≤=⎪=<<⎨⎪≥⎩，所以201222221d d d d 11()2f x x x x x x x x --=++=⎰⎰⎰⎰． 15．【答案】（1）2()21f x x x =++；（2）9．【解析】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由题意可得240222b ac ax b x ⎧-=⎨+=+⎩，所以1,2,1a b c ===，所以2()21f x x x =++．（2）由2221341y x x x y x x ⎧=++⎪⇒=-⎨=--+⎪⎩或0x =， 所以022320332[(41)(21)]d (3)|93S x x x x x x x --=--+-++=--=⎰． 16．【答案】C【解析】由图形可知阴影部分的面积为1222011d 1)d (()x x x x -+-⎰⎰，而21220||(1)d 1d x x x x -=-+⎰⎰221()1d x x -⎰，故选C ．17．【答案】B【解析】由题可得141133033d 44a x x x===⎰，1231011d 33b x x x ===⎰，1341011d 44c x x x===⎰，因为113434<<，所以a b c >>．故选B ． 18．【答案】C【解析】令25()7301v t t t =-+=+，解得4t =或83t =-（舍去）．故所求距离是4025(73)d 1t t t -+=+⎰242033[725ln(1)]|74425ln 5425ln 522t t t -++=⨯-⨯+=+，故选C ． 19．【答案】D20．【答案】B【解析】根据余弦函数的对称性可得，曲线从π2x =-到π2x =与x 轴围成的面积与从π2x =到3π2x =与x 轴围成的面积相等，故阴影部分的面积ππ22ππ22cos d sin 2S x x x--===⎰，故选B ．21．【答案】A【解析】由题可设((0))f x ax b a =+≠，则11001()d ()d 52f x ax b x x a b =+=+=⎰⎰，1()d xf x x =⎰11117()d 326x ax b x a b +=+=⎰，所以152a b +=且1117326a b +=， 解得4a =，3b =，所以3(4)f x x =+．故选A ．学科@网 22．【答案】C23．【答案】916【解析】由题可得πππ2220sin()d (sin cos cos sin )d (cos cos sin sin )|x x x x x x x ϕϕϕϕϕ-=-=-+=⎰⎰7(sin cos )4ϕϕ--=，两边同时平方可得71sin 216ϕ-=，所以9sin 216ϕ=．24．【答案】π2【解析】由于00cos 2co s s s d in in tt t t x xx -=--==⎰，所以22sin sin 10t t --=，所以sin 1t =（负值舍去），又,()0t ∈π，所以t =π2． 25．【答案】124π+ 【解析】由题可得21012011121π1()d ()d d ()1|22144f x x x x x x x x ---π=+=++++=-⎰⎰⎰．26．【答案】2ln 23+．【解析】由题图知阴影部分的面积3121220101122d d|ln|ln233S x x x x xx=+=+=+⎰⎰．。
高中数学选修本(理科)定积分的概念与计算
定积分的概念与计算目的要求1．理解定积分的线性性质和对区间的可加性．2．了解微积分基本公式，知道这一公式显示了定积分与不定积分之间的关系．内容分析1．定积分概念的确立，给出了定积分的一种可操作的方法．但是这种方法既繁杂，技巧性又很强，甚至可能进行不下去．简化定积分的计算必然成为本节课的重点内容．它包括两个方面，一是定积分的线性性质和对区间的可加性，另一是微积分基本公式．2．微积分基本公式是17世纪英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨在研究微分与积分的互逆关系的基础上各自独立提出来的．它使定积分的计算变得十分简捷，为积分学的广泛应用提供了较多方便的条件，也沟通了定积分与不定积分之间的关系．3．证明微积分基本公式要用到微分中值定理或积分中值定理，超出了中学阶段的要求．教科书只是利用变速直线运动的路程函数与速度函数之间的关系加以说明．正确应用这一公式计算定积分却是本节课的重点与难点．4．定积分的简单性质是为利用微积分基本公式计算定积分扫清障碍，从而也简化了定积分的计算工作．尤其是定积分对区间的可加性在计算分段连续函数的定积分方面发挥着独特的优势，教学时宜补充适当的例子．定积分的简单性质可以利用定积分的定义及极限的运算法那么加以说明，或利用定积分的几何意义加以解释．但为了沟通内容间的联系，教学时建议利用微积分基本公式证明定积分的简单性质．教学过程1．复习引入设某物体沿直线运动，其中速度函数v(t)是连续函数，且v(t)≥0，路程函数s(t)是可导函数．(1)两个函数v(t)与s(t)之间存在什么关系？(s′(t)＝v(t)．)(2)用两种方法计算物体从时刻t＝a到时刻t＝b这段时间所经过的2．新课(1)推广上例中的计算方法，便得到微积分基本公式．简述其又名牛顿——莱布尼茨公式的原因．(2)阐述公式的意义：公式只对[a，b]上的连续函数适用，要计算定函数F(x)，再计算F(x)在区不定积分和定积分紧密联系起来：它们的关系是函数与函数值的关系．它(3)例1 计算以下定积分．对这道例题，教师应按解题格式板出过程示X．②将上节课讲的半球体积用积分表示，并用公式计算出来．③能否这样计算：(4)微积分基本公式实质上是不定积分与定积分的联系．根据这种联系及不定积分的线性性质猜测定积分有何运算性质．观察图形(教科书第166页图4－10)可知S曲边梯形AMNB＝S曲边梯形AMPC＋S曲边梯形CPNB．将这一等式用定积分的形式表达出来．(5)教师引导学生用微积分基本公式证明第一个性质，其他性质的证明留给学生课后完成．证明：设F(x)是f(x)的一个原函数，即F′(x)＝f(x)，又[kF(x)]′＝kF′(x)＝kf(x)，即kF(x)是kf(x)的原函数．方法：①按定积分定义计算，比如将[0，2]分2n等份．②按微积分基本公式求，关键是求F(x)，使F′(x)＝|x2－1|．③将|x2－1|写成分段函数，利用定积分对积分区间的可加性求．略解：布置作业1．用微积分基本公式证明定积分对积分区间的可加性：求f′(x)的解析式并证明f(x)是单调函数．。
高二年级理科数学选修2-2定积分的简单应用
定边四中高二年级理科数学学科教学案主备人：曹世鹏 审核人：李秀萍 时间：2013年 月 日 总第12课时 选修：2-2 第四章：定积分第3节： 定积分的简单应用 第1课时个人空间教后反思 课题： 定积分的简单应用《课标》要求：在利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题的过程中，领会运用定积分解决实际问题的方法和思路，提高利用数学知识解决实际问题的能力。
三维目标：1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2、掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
教材分析：本节内容在学习了平面图形面积计算和简单几何体体积计算之后进一步研究了物理上的问题，关键是对定积分思想的理解及灵活运用，建立起正确的数学模型，根据定积分的概念解决体积问题。
教学重点与难点：1、定积分的概念及几何意义；2、定积分的基本性质及运算在物理中应用。
教学过程： （一）、复习：（1）、求曲边梯形的思想方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？ （二）、定积分的应用 【定积分在物理中应用】 1、求变速直线运动的路程 我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即()bas v t dt =⎰例 1。
一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这 1 min 行驶的路程．根据定积分的定义，定积分既有几何背景，又有物理背景，进而定积分与这些知识有着天然的联系。
譬如：求几何图形的面积，求路程、平均速度、电荷量、电压、功、质量等。
上述种种尽管形式相异，然而所采用的思想方法均是：化曲为直，以不变代变，逼近，从某个角度而言充分展现了数学思想方法的高度抽象性及应用的广。
解：由速度一时间曲线可知：3,010,()30,10401.590,4060.t t v t t t t ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪-+≤≤⎩因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：10406010403[30( 1.590)s tdt dt t dt =++-+⎰⎰⎰210402*********|30|(90)|1350()24t t t t m =++-+= 答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .2．变力作功一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs . 探究:如果物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a<b) ，那么如何计算变力F(x ）所作的功W 呢？ 与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到()baW F x dx =⎰例2．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度x 成正比，即F( x ）= kx 其中常数 k 是比例系数．由变力作功公式，得到220011|()22ll W kxdx x kl J ===⎰答：克服弹力所作的功为212kl J . 例3．A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站B 开往站，电车开出ts 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C 点的速度为24m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经ts 后，速度为（24-1.2t ）m/s ，在B点恰好停车，试求 （1）A 、C 间的距离；（2）B 、D 间的距离；（3）电车从A 站到B 站所需的时间。
高二--理科--定积分
定积分的概念设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ζi (i ＝1,2，…，n )，作和式i ＝1n f (ζi )Δx ，记λ为每个小区间Δx i ＝x i ＋1－x i (i ＝0,1,2，…，n －1)中的长度最大者，当λ趋近于0时，所有小区间的长度都趋近于0.当λ→0时，此和式如果无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎜⎛abf (x )d x .即f (x )d x ＝lim λ→0∑i ＝0n －1f (ξi )Δx i ，这里a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．此时称函数f (x )在区间[a ，b ]上可积．对定义的几点说明：(1)定积分⎠⎜⎛ab f (x )d x 是一个常数．(2)用定义求定积分的一般方法是：①分割区间：将区间分为n 个小区间，实际应用中常常是n 等分区间[a ，b ]；②近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；③求和：∑i ＝1nf (ξi )·b －an；④取极限：⎠⎜⎛abf (x )d x ＝li m n →≦∑i ＝1nf (ξi )·b －a n . 2．定积分的几何意义当f (x )≥0时，定积分⎠⎜⎛abf (x )d x 的几何意义：表示由直线x＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．当y <0时，即曲边梯形在x 轴的下方时⎠⎜⎛abf (x )d x 在几何上表示这个曲边梯形面积的相反数．一般情况下(如图)，定积分⎠⎜⎛abf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象以及直线x ＝a 、x ＝b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号；在x 轴下方的面积取负号．3．定积分的性质4．微积分的定理5.常见的求定积分的公式ban nb ax n dx x 111++=⎰)为常数(C Cx Cdx b ab a=⎰b ab axdx -cos sinx =⎰b ab axdx sin cosx =⎰）0b （ln x1>>=⎰a x dxb a b ab ax x b aedx =⎰e)1,0(ln a ≠>=⎰a a aadx b axx b a6.几种典型的曲边梯形面积的计算方法(1)由三条直线x ＝a 、x ＝b (a ＜b )、x 轴，一条曲线y ＝f (x )(f (x )≥0)围成的曲边梯形的面积：S ＝⎠⎜⎛abf (x )d x.(2)由三条直线x ＝a 、x ＝b (a ＜b )、x 轴，一条曲线y ＝f (x )(f (x )≤0)围成的曲边梯形的面积：S ＝|⎠⎜⎛a b f (x )d x |＝－⎠⎜⎛ab f (x )d x.(3)由两条直线x ＝a 、x ＝b (a ＜b )、两条曲线y ＝f (x )、y ＝g (x )(f (x )≥g (x ))围成的平面图形的面积：S ＝⎠⎜⎛ab[f (x )－g (x )]d x (如下图)．。
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年 级 高二 学科 数学内容标题 定积分的简单应用（理科） 编稿老师胡居化一、教学目标1. 能用定积分知识解决在物理学中的一些简单问题及求曲边图形的面积等问题2. 体会数与形结合的思想、等价转化的数学思想的应用.二、知识要点分析1. 定积分在物理学中的简单应用（1）变速直线运动的路程：作变速直线运动的物体在时间t=a 到时间t=b （a<b ）内所经过的路程S 等于其速度V=v （t ）在区间[a ，b]上的定积分，（其中v （t ）恒为正）即⎰=badt t v S )(（2）变力做功：物体在力F （x ）的作用下做直线运动，且物体沿着力F （x ）相同的方向从x=a 移动到x=b （a<b ）变力所做的功W=⎰badx x F )(2. 定积分求曲边多边形的面积 （1）几种典型曲边梯形面积的计算方法（i ）由三条直线x=a ，x=b （a<b ），x 轴，一条曲线y=f （x ），（f （x ）恒为正）围成的曲边梯形面积⎰=badx x f S )(（ii ）由三条直线x=a ，x=b （a<b ），x 轴，一条曲线y=f （x ），（f （x ）恒为负）围成的曲边梯形面积⎰⎰-==babadx x f dx x f S )(|)(|（iii ）由三条直线x=a ，x=b （a<b ），x 轴，两条曲线y=f （x ），y=g （x ），))()((x g x f ≥围成的图形面积⎰-=badx x g x f S )]()([(（2）求曲边图形面积的一般步骤： （a ）画图，并将图形分割成若干个曲边梯形（b ）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上下限. （c ）确定被积函数（d ）求出各曲边梯形的面积和，即各种定积分的绝对值之和.【典型例题】知识点一：定积分在物理学中的简单的应用例1：一物体在力F ⎩⎨⎧>+≤≤=)2(,43)20(,10)(x x x x （单位：N ）的作用下沿力F 相同的方向，从x=0处运动到x=4处（单位：米），这力F （x ）所做的功是（ ）A . 44B . 46C . 48D . 50【题意分析】本题考查物理学中的变力做功问题，物体在x=0到x=4距离内所做的功是函数F （x ）在区间［0，4］上的定积分.【思路分析】由已知F （x ）的表达式是分段函数，故物体所做的功是函数F （x ）在［0，2］，［2，4］上的积分之和.【解题步骤】由定积分的物理意义知：⎰⎰⎰⎰++=+=42202042)43(10)()(dx x dx dx x F dx x F W ＝42220|)423(|10x x x ++ ＝46， 故选（B ）【解题后的思考】本题考查的知识点是利用定积分求变力做功的问题，易错点是：认为F （x ）在区间［0，4］内所做的功是⎰+4)43(dx x .例2：一物体做变速直线运动，其v －t 曲线（如图所示），求物体在s s 621-内的运动路程.【题意分析】本题考查物理学中变速直线运动路程问题，由v （t ）曲线知：0)(≥t v ，故在s s 621-间的物体运动的路程是v （t ）在区间]6,21[上的定积分.【思路分析】由v －t 曲线知：v （t ）是关于t 的分段函数，即在［0，1］时间内物体做加速直线运动 在［1，3］时间内物体做匀速运动，在［3，6］时间内物体也做加速运动但加速度不同所以首先要确定v （t ）分段函数的表达式，然后求物体在]6,21[内运动的路程，即是v（x ）在三个区间内的定积分之和.【解题步骤】由v （t ）曲线知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+≤≤≤≤=)63(,131)31(,2)10(,2)(t t t t t t v⎰⎰⎰⎰=+++=+++==∴6363231121231621121449|)t t 61(|t 2|t dt )1t 31(dt 2tdt 2dt )t (v S 故物体在s s 621-内运动的路程是m 449【解题后的思考】本题是考查利用定积分求变速直线运动的路程的问题，v （t ）往往是关于时间t 的分段函数，所以首先是求出v （t ）函数的分段表达式，再求在每一个区间上的定积分然后相加即得，体现的数学思想是数与形结合的思想.易错点是：求在每个时间区间的函数表达式有误.例3：一质点在直线上从时刻t=0（s ）开始以速度)/(342s m t t v +-=运动，求 （1）在t=4s 时该点的位置. （2）在t=4s 时运动的路程.【题意分析】本题的第一问中：在t=4s 的位置是由物体的位移确定的，故物体的位移就是在［0，4］内v （t ）的定积分.第二问中，从时刻t=0到时刻t=4不能保证0)(≥t v 恒成立.而路程是位移的绝对值之和.因此要把区间［0，4］分割，以便能准确的判断v （t ）在哪些区间为正哪些区间为负.【思路分析】由)3)(1(342--=+-=t t t t v 知：在区间［0，1］，［3，4］内v （t ）为正值，在区间［1，3］内v （t ）为负值.在时刻［1，3］内物体运动的路程是⎰+--312)34(dt t t.【解题步骤】（1）在时刻t=4s 时物体的位移是：⎰=+-=+-44023234|)3231()34(m t t t dt t t 即t=4s 时刻质点距出发点m 34（2）由)3)(1(342--=+-=t t t t v 知：运动物体在t=4s 时刻运动的路程⎰⎰⎰+-++-++-=432103122dt )3t 4t (|dt )3t 4t (|dt )3t 4t (S⎰⎰⎰+-++--+-=432103122dt )3t 4t (dt )3t 4t(dt )3t 4t(＝4【解题后的思考】本题考查的知识点是利用定积分求变速直线运动路程的问题，要明确仅当v （t ）恒为正时，物体在时刻t=0到时刻t=4时运动的路程⎰=badt t v S )(，因此本题正对v（t ）的表达式要把时刻区间［0，4］分割，确保在哪些时刻区间v （t ）为正，哪些时刻区间v （t ）为负.体现的数学思想是分类讨论的数学思想.同时要理解物理学中的路程与位移的区别.易错点是：混淆路程与位移的概念.【小结】这一题组三个例题主要讲述利用定积分求变力做功的问题和求变速直线运动物体的路程问题.对求变力做功问题要根据物理学的意义求力F 的表达式，及在力F 作用下位移的起始位置与末位置，以确定积分的上下限.在求变速直线运动路程问题时，要根据v （t ）曲线写出v （t ）函数的表达式，或由v （t ）表达式判断在时刻区间v （t ）是否为正.因为仅当v （t ）恒为正时，⎰=badt t v S )(.知识点二：求曲边梯形的面积例1：曲线3x y =与直线y=x 围成的图形的面积是（ ） A .⎰--113)(dx x xB .⎰--113)(dx x xC . ⎰-103)(2dx x xD . ⎰--013)(2dx x x【题意分析】根据定积分的几何意义要求两曲线围成的图形面积必须确定被积函数、积分的上下限.【思路分析】在同一坐标系内画出函数3x y =和y=x 的图象，求出交点坐标从而确定积分的上下限及被积函数.【解题过程】在同一坐标系内画出函数图象（如图）A （1，1），B （－1，－1）由两函数图象知：两图象围成的面积在第一、第三象限. 根据图象的对称性知：两部分面积相等.在第一象限两图象围成的面积OAC OAC S S S 曲边三角形∆∆-=1⎰⎰⎰-=-=∴1313101)(dx x x dx x xdx S故两曲线围成的图形面积⎰-==1031)(22dx x x S S ，选（C ）【解题后的思考】本题是利用定积分求曲边图形的面积，解题的关键是确定被积函数和积分的上下限.通过画出两函数的图象及求交点坐标来确定积函数和积分的上下限，体现了数形结合这一数学思想的应用，易错点：画函数图象不准确导致积分上下限的确定有误.例2：求抛物线)0y (x 8y 2>=与直线x+y －6=0及y=0围成的图形面积.【题意分析】画出图形确定被积函数和积分的上下限，再利用定积分的几何意义求面积 【思路分析】画出)0y (x 8y 2>=及x+y －6=0的图象，求两曲线的交点坐标，正确划分图形，然后确定被积函数及积分的上下限. 【解题过程】由题意画出图形（如图）由⇒⎩⎨⎧=-+>=06)0(82y x y x y 两曲线的交点A （2，4） 故所求的面积⎰⎰-+=+=∆622)6(8dx x dx x S S S ABC OAB 曲边三角形＝340|)216(|3286222032=-+⨯x x x【解题后的思考】本题考查求两条曲线围成的曲边梯形面积的问题，处理的方法（1）准确地画出两个函数的图象，（2）求出两曲线的交点坐标，然后对正确的图形分割后，（3）确定被积函数及积分的上下限.体现数形结合的思想及其应用，易错点是：图形分割不正确导致被积函数有误，如本题会误认为：S=⎰--4]8)6[(dx x x .例3：在曲线)0(2≥=x x y 上某一点A 处作切线，使之与曲线以及x 轴围成的面积为121，求切点A 的坐标，及过点A 的切线方程. 【题意分析】本题考查的知识点是：导数的几何意义及利用定积分求曲边图形的面积.利用导数的几何意义求切线AC 的方程，再利用曲边三角形的面积是121求切点坐标 【思路分析】设切点A （),00y x 求出切线方程进而求出C 点坐标，根据121=AOC S 曲边三角形求出0x .【解题过程】设切点A （),00y x ，由导数的几何意义知：切线AC 的斜率k=2x 0，所以切线方程是)(2000x x x y y -=-，200x y =， 2002x x x y -=∴切线方程是 令)0,2(000x C y ⇒=， 设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成的图形面积是S ， 则S==--=⋅-=-⎰∆2000x 03x 02ABC AOB x )2x x (21|x 31|AB ||BC |21dx x S S 00曲边三角形 30x 121， ,1121121030=⇒=∴x x 故切点A （1，1），所求的切线方程为y=2x －1. 【解题后的思考】本题是导数与积分综合试题，解题的关键是（1）利用导数求切线斜率进而求切线方程.（2）利用积分求曲边三角形AOB 的面积减去三角形ABC 的面积来表示曲边三角形AOC 的面积.求切点坐标，易错点是：求曲边三角形AOC 的面积时不会分割为曲边三角形AOB 的面积减去三角形ABC 的面积.【小结】本题组主要讲述利用定积分求曲边图形的面积，处理问题的关键是要能画出函数的图象，并且合理地分割图形，以便确定被积函数和积分的上下限.易错点：图形分割不合理导致被积函数和积分上下限的确定错误.【本讲涉及的数学思想、方法】本讲主要讲定积分的简单的应用，在处理定积分在物理学中的应用和求曲边图形面积时充分体现了数形结合的数学思想的应用和分类讨论的数学思想的应用.【模拟试题】（答题时间：60分钟，满分60分）一、填空题（每题5分，计20分）1. 已知函数f （x ）＝dx bx ax x)1(20++⎰是奇函数，且f （1）－f （－1）=31，则a+b=__________2. 直线y=2x+3与抛物线y=x 2围成的图形面积是3. 长为25cm 的弹簧，若加100N 的力，则弹簧伸长到30cm ，则弹簧从25cm 到30cm 所做的功是4. 曲线xy=1及直线y=x ，y=2围成的平面图形的面积是 .二、计算题（计40分）：5. 已知f （x ）=⎰-===-≠++1'2,2)(,0)0(,2)1(),0(,dx x f f f a c bx ax 求f （x ）的解析式.（10分）6. 某一物体沿数轴的正方向做变速直线运动，其速度v （t ）=1－t 2，初始位置为x 0=1，求它在前2秒内走过的路程及2秒末的位置.（10分）7. 在原点O 有一个带电量为＋q 的点电荷，它所产生的电场对周围的电荷有作用力，现有一个单位正电荷从距离原点a 处沿着射线方向移至距O 点为b （a<b ）的地方，求电场力所做的功.（10分）8. 求曲线y=2x －x 2，y=2x 2－4x 所围成图形的面积.（10分）【试题答案】一、填空题1.25-解析：f（x）=dxbxaxx)1(2++⎰=xxbxaxxbxax++=++232323|)23(，由f（x）为奇函数知：b=0，又由f（1）－f（－1）=2531-=⇒a.2.332解析：3,132212=-=⇒⎩⎨⎧=+=xxxyxy332)32(31312=-+=∴⎰⎰--dxxdxxS.3. 2250N 解析：设x表示弹簧伸长的长度，则F（x）=kx，当F=100N时，x=5，故k=20，所以F=20xNxxdxW2250|102015215===⎰4.2ln23-解析：由已知：舍去）或(11111⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==yxyxxyxy以y轴为积分变量可得面积2ln23|)ln21()1(21221-=-=-=⎰yydyyyS二、计算题5.解：由已知：f（－1）=2得：a－b+c=2 (1))0(2)(''=⇒=+=bfbaxxf，由 (2)2c b 21a 31|)cxbx 21ax 31(dx )c bx ax (dx )x (f 102310210-=++=++=++=∴⎰⎰…（3） 由（1）（2）（3）解得：a=6，b=0，c=－4. 46)(2-=∴x x f6. 解：当10≤≤t 时，v （t ）0≥，当21≤≤t 时，v （t ）<0， 故前2秒内走过的路程是：⎰⎰⎰⎰=---=-1212210212)1()1()()(dt t dt t dt t v dt t v ，2秒末所在的位置是：31)1(1)(22201=-+=+=⎰⎰dt t dt t v x x ， 即它在2秒内走过的路程是2，2秒末的位置是31 7. 解：取电荷移动的射线方向为x 轴正方向，那么电场力k (xqk F 2⋅=为常数），这是一个变力，在]x x x [∆++上，显然x xqk w ∆⋅⋅=2， )11(|2ba kq x kq dx x kq wb ab a -=-==∴⎰ 8. 解：由2,04222122==⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=-=x x xx y xx y由图知：所求的面积⎰⎰-+-=202022|)42(|)2(dx x x dx x x S ＝⎰⎰---20222)42()2(dx x x dx x x ＝4.。